Einzelteilchenbeschreibung problematisch wegen langreichweitiger WW Kinetische Gleichung ist wichtig, wenn kinetische Effekte (z.b.

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1 Einzelteilchenbeschreibung problematisch wegen langreichweitiger WW Kinetische Gleichung ist wichtig, wenn kinetische Effekte (z.b. Landau- Daempfung) eine Rolle spielen, ist relative aufwendig Einfacher ist eine Beschreibung analog zu einer Fluessigkeitsbeschreibung, die ok ist, wenn es ausreicht, globale Parameter wie Temperatur und Dichte zu kennen Unterschied zu normaler Fluessigketsbeschreibung: eigentlich haette man 2 Fluessigkeiten (e und i haben sehr unterschiedliche Masse), aber Oft trotzdem Einfluessigkeitsbeschreibung gewaehlt 1

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3 - Temperatur: 3/2 kt = m/2 u^2 - Fuer jede Sorte alpha eine Fluessigkeit definiert - Man darf Fl. beschr. nur waehlen, wenn das Plasmaverhalten tatsaechlich lokalisiert ist, d.h. die Groessen an verschiedenen Orten unabhaengig sind von anderen Orten Probleme: - stossfreie Plasmen wie in Fusion?? (Lokalisierung durch MF: Lamor-Radius) - kleinskalige Prozesse 3

4 - Temperatur: 3/2 kt = m/2 u^2 - Fuer jede Sorte alpha eine Fluessigkeit definiert - Man darf Fl. beschr. nur waehlen, wenn das Plasmaverhalten tatsaechlich lokalisiert ist, d.h. die Groessen an verschiedenen Orten unabhaengig sind von anderen Orten Probleme: - stossfreie Plasmen wie in Fusion?? (Lokalisierung durch MF: Lamor-Radius) - kleinskalige Prozesse 4

5 Wenn mehrere Teilchensorten ist nur die Summe des Stossterms ueber alle Teilchensorten (integriert ueber Geschwindigkeitsraum) = 0 (Stoss aendert Energie und Impuls von Teilchen, aber fuers Gesamtsystem gilt Energie-und Impulserhaltung) Teilchendichte aendert sich nur durch Stroemung oder Kompression 5

6 Wenn mehrere Teilchensorten ist nur die Summe des Stossterms ueber alle Teilchensorten (integriert ueber Geschwindigkeitsraum) = 0 (Stoss aendert Energie und Impuls von Teilchen, aber fuers Gesamtsystem gilt Energie-und Impulserhaltung) Teilchendichte aendert sich nur durch Stroemung oder Kompression 6

7 In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur auf Relativgeschwindigkeit an) Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich dem ueblichen Druckgradienten 7

8 In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur auf Relativgeschwindigkeit an) Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich dem ueblichen Druckgradienten 8

9 In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur auf Relativgeschwindigkeit an) Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich dem ueblichen Druckgradienten 9

10 Ein Fluessigkeitselement wir beschleunigt durch die von aussen einwirkenden Kraefte (bzw. Bei ruhendem Plasma muessen sich die Kraefte bilanzieren: - Kraft durch elektrisches Feld - Lorentz-Kraft -Reibungskraft -- Gewichtskraft manchmal wichtig fuer astrophysikalische Plasmne 10

11 Ein Fluessigkeitselement wir beschleunigt durch die von aussen einwirkenden Kraefte (bzw. Bei ruhendem Plasma muessen sich die Kraefte bilanzieren: - Kraft durch elektrisches Feld - Lorentz-Kraft -Reibungskraft -- Gewichtskraft manchmal wichtig fuer astrophysikalische Plasmne 11

12 Q: Waermefluss in W/m^3 entspricht externer Heizung oder Kuehlung 12

13 Da Ionen traeger als Elektronen sind, kann bei Einfluessigkeitsbeschreibung nur die Dynamik der langsameren Spezies beruecksichtigt werden Forderung an Stossfrequenz nun, dass auf betrachteter Zeitskala Energieaustausch zwischen Elektronen und Ionen erfolgen kann (wie frueher gelernt, ist Energieaustausch zwischen Teilchen verschiedener Masse langsamer als zwischen Teilchen gleicher Masse, Daher wreden bei Anfangsstoerung zuerst die Elektronen zur Maxwell-Verteilung zurueckkehren: tau_ee, dann die Ionen: tau_ii = sqrt(m_i/m_e) tau_ee (T_i/T_e)^1.5 Und noch langsamer tau_ei=tau_ie =sqrt(m_i/m_e) tau_ii (T_e/T_i)^1.5 Fuer Zwei-Fluessigkeitsmodell wuerde Wurzel aus Massenverhaeltnios nicht auftauchen 13

14 Kont.gl. Gleichung fuer Massendichte statt Teilchendichte 14

15 Der Einfachheit halber: betrachte nur einfach geladene Ionen und nur isotropen Druck 15

16 Resistivitaet durch Reibungskraft Zusaetzlich zu gewoehnlichem Ohmschen Gesetz: -El. Feld durch Plasmabewegung senkrecht zum MF -Hall-Effekt -Elektronentraegehit -Druckgradienten Letzte beiden Terme in MHD vernachlaessigt, sind nur wichtig fuer kleine Skalen (r_li << L_H), bewirken Trennung von e und Ionenbewegung, was mit Einfluessigkeitsbeschreibung nicht Vereinbar ist Hall-Term hat Besonderheit: er veraendert die lineare Beziehung zwischen E und j: E-Feld senkrecht zum MF bewirkt einen Strom (wegen Ablenkung der Ladungstraeger durch Lorentz-Kraft), wird spaeter detailliert noch beschrieben (MHD-Generator), Aber jetzt im folgenden zunaechst mal nicht betrachtet 16

17 Resistivitaet durch Reibungskraft Zusaetzlich zu gewoehnlichem Ohmschen Gesetz: -El. Feld durch Plasmabewegung senkrecht zum MF -Hall-Effekt -Elektronentraegehit -Druckgradienten Letzte beiden Terme in MHD vernachlaessigt, sind nur wichtig fuer kleine Skalen (r_li << L_H), bewirken Trennung von e und Ionenbewegung, was mit Einfluessigkeitsbeschreibung nicht Vereinbar ist Hall-Term hat Besonderheit: er veraendert die lineare Beziehung zwischen E und j: E-Feld senkrecht zum MF bewirkt einen Strom (wegen Ablenkung der Ladungstraeger durch Lorentz-Kraft), wird spaeter detailliert noch beschrieben (MHD-Generator), Aber jetzt im folgenden zunaechst mal nicht betrachtet 17

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19 Aus Kraftgleicung fuer d/dt=0 und u=0 folgt GG Neben Gewichtskraft (Sterne) kann Plasma durch MF eingeschlossen werden 19

20 Hier zunaechst endliche Leitfaehigkeit vernachlaessigt (Plasma als unendlich gut leitend angenommen), ist in Fusionsplasmen oft naehreungsweise ok Der erste Term beschreibt die zeitliche Aenderung von B durch die Flaeche A Der zweite Term beschreibt Flussaenderung dadurch, dass sich Spule bewegt mit Geschwindigkeit v (und daher nach Zeit delta t an einem anderen Ort und somit an einem anderen MF ist) Oberflaechenintegral ist ueber gesamte Oberflaeche zu nehmen: -Seitenflaechen sind Integrale ueber A (eins mit negativem Vorzeichen, weil n nach innen zeigt) -Mantelflaeche ist Ringintegral v dt x dl 20

21 Faradaysches Gesetz verbindet zeitl. Aenderung des MF mit E-Feld In idealer MHD (siehe Ohmsches Gesetz) E-Feld nur duch Plasmabewegung Oberflaechenintegral mit Stokeschem Staz umgeformt in Wegintegral, dann Vektoridentitaet: (A x B) C= - B (A x C) 21

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23 Kontraktion eines Sterns zum Neutronenstern passiert bei hohen T in Supernova- Explosionen (nachdem die Kernfusion wegen Brennstoffmangels ausgeht)-> MF ist praktisch eingefroren Beim Kollabieren erhoeht sich Dichte so stark, dass Elektronen in Protonen gepresset werden -> Neutronen Bei Kontraktion erhoeht sich wegen Drehimpulserhaltung (r p) die Rotationsgeschwindigkeit Beobachtung von Neutronensternen: Pulsare -Teilchen werden laengs des MF gefuehrt -Kruemmung des Feldes -> Teilchebewegung fuehrt zum Asussenden von Radiowellen -Gyrationsbewegung fuehrt zur Aussendung von Roentgenstrahlung -Magnetische Achse ist nicht Rotationsachse -> pulsierende Strahlung -Bild links: Krebsneben, in dessen Zentrum sich Pulsar befindet 23

24 Bei hoher Leitfaehigkeit aber nur sehr langsame Aenderung der MF-Topologie 24

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30 Out of plane currents 30

31 Only electrons are megnetised! 31

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37 Nur E-Feld in x-richtung, in y-richtung sind Elektroden kurzgeschlossen Da E_y = 0 (durch Kurzschluss der Elektroden) folgt grosser Strom in y- Richtung: -angelegtes E_x-Feld kann nur Elektronen beschleunigen (Ionen unendlich schwer) -Wegen Lorentz-Kraft folgt auch Strom in y-richtung -Lorentz-Kraft muss kompensiert werden durch Reibungskraft, dazu bracuht man grossen Strom in y-richtung 37

38 Sigma/(e n) B = e B/(m_e nu_ei) = om_c/nu nu_ei ~ nu_ee j_y erst aus e_y=0, dann Formel fuer E_x mit j_y Strom in y-richtung ist groesser, weil er per Reibungskraft die Lorentz-Kraft kompensieren muss, bei grosser Stossfrequenz ist das leichter und der Erhoehungsfaktor wird geringer 38

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40 Beim Hall-Generator wird Feld in x-richtung verstaerkt, man nimmt hier kalte Plasmen, so dass om_c < nu ausnahmsweise 40

41 Beim Hall-Generator wird Feld in x-richtung verstaerkt, man nimmt hier kalte Plasmen, so dass om_c < nu ausnahmsweise 41

42 Hier Stroeme in x-richtung unterdrueckt, daher spielt Hall-Effekt keine Rolle fuer E_y, Hier tritt also nur normale Leitfaehigkeit auf Plasmabewegung wird abgebremst F=j_y B_z Vorteil von MHD-Generatoren: - man kann sie bei hohen Temperaturen betreiben (bis zu 2700 Grad,Dampfturbinen nur bis 800 grad) und sowohl MHD-Effekt als auch nachgeschaltet eine normale Dampfturbine verwenden -damit ist Gesamtwirkungsgrad bis 60% erreichbar -Um Leitfaehigkeit der Gase zu erhoehen, werden Alkalimetalle zugesetzt Probleme: -kein kommerzieller Einsatz wegen Materialproblemen (agressives Na -> Korrosion) Aber Umkehrung des MHD-generatorprinzips (j x B -> Beschleunigung von Plasmen) in Weltraumanwendungen als Plasmatriebwerk, Geschwindigkeit des ausgestossenen Plasmas wesentlich hoeher als bei Verbrennungsmotoren. 42