Kapitel 2: Entscheidungstheorie

Transkript

1 Kapitel 2: Entscheidungstheorie 2.1 Einleitung Wie schon im Modulararbeitsbuch angegeben, wollen wir im zweiten Kapitel die Problemgebiete behandeln, die sich auf folgende Situationen beziehen: 2.2 Entscheidungen bei bekannten Wahrscheinlichkeiten. 2.3 Entscheidungen bei unbekannten Wahrscheinlichkeiten. 2.4 Entscheidungsbäume. Entscheidungen bei bekannten Wahrscheinlichkeiten deuten auf eine Situation hin, in der für die Nachfrage eine Wahrscheinlichkeitsverteilung anwendbar ist. Bei diesen Situationen ist es möglich, einen Erwartungswert zu berechnen, da die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist. Wenn aber die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachfrage unbekannt ist, spricht man von Entscheidungen unter unbekannten Wahrscheinlichkeiten. Bei diesen Situationen ist es unmöglich, einen Erwartungswert zu berechnen, da die Wahrscheinlichkeitsverteilung unbekannt ist. Darum müssen hier andere Kriterien zur Entscheidungsfindung angewandt werden. Auf Grund dieses Gedankenganges ist das Thema "Entscheidungstheorie" in zwei Stücke unterteilt worden. Schließlich wird noch die Problematik des Entscheidungsbaumes besprochen. 2.2 Entscheidungen bei bekannten Wahrscheinlichkeiten. Wenn die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse bekannt sind, werden meistens Entscheidungen auf Grund der Erwartungswertkriterien getroffen. Das Problem ist die richtige Bestellmenge herauszufinden. In diesen Fällen wird das Erwartungswertkriterium angewandt. Wenn jetzt aber eine große Streuung vorliegt, kann es auch nützlich sein, die Varianz in das Entscheidungswertkriterium einzuarbeiten. Wir werden uns allerdings nur auf das Kriterium des Erwartungswertes beschränken, weil das Arbeiten mit der Varianz einerseits in der Praxis nicht so oft vorkommt und andererseits dann die Grenzen dieses Moduls überschritten würden. Dies bedeutet, daß eine ganze Reihe von Alternativen und deren Gewinne betrachtet werden müssen. Macht man dies und vergleicht die entstandenen Erwartungswerte, so kann man die optimale Entscheidung treffen. Beispiel 1. Jedes Jahr können die Studenten, die ihr Studium abschließen, bei S. Plaats eine silberne Gedenkmünze bestellen. S. Plaats kann die Gedenkmünzen für 25,- pro Stück einkaufen, wobei nur Bestellungen akzeptiert werden, die durch 10 Stück teilbar sind. S. Plaats rechnet mit einer minimalen Nachfrage von 10 Stück und einer maximalen Nachfrage von 40 Stück. S. Plaats verkauft die Gedenkmünze für 95,- an die Studenten, wobei auch er nur Mengen akzeptiert, die durch 10 teilbar sind. Die Frage ist jetzt, wieviel Gedenkmünzen S. Plaats auf der Basis des Erwartungswertkriteriums bestellen soll. Um diese Frage zu beantworten, muß man wissen, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung aussieht. Die Nachfragemenge kann 10, 20, 30 oder 40 Stück sein. In den vergangenen 20 Jahren gab es folgende Nachfragemengen: 4 mal 10 Gedenkmünzen, 6 mal 20

2 Gedenkmünzen, 8 mal 30 Gedenkmünzen und 2 mal 40 Gedenkmünzen. Die daraus resultierenden Wahrscheinlichkeiten sind 20%, 30%, 40% und 10%. S. Plaats macht pro Gedenkmünze 70,- (95-25) Gewinn. Aus diesen Informationen kann eine Matrix erstellt werden, wobei für jede Einkaufsentscheidung und für jede Verkaufsmöglichkeit der Gewinn errechnet werden kann. Diese Matrix heißt Pay-off-Matrix. In jeder Zelle dieser Matrix wird der dazugehörige Gewinn notiert. z.b. kann der Wert ,- beim Einkauf 30 und beim Verkauf 20 folgendermaßen errechnet werden: Verkauf 20 * 95= 1900 Einkauf 30 * 25= 750 Gewinn 1150 Für jede Einkaufsentscheidung kann man folgendermaßen den Erwartungswert errechnen: z. B. den Erwartungswert bei einer Einkaufsentscheidung von 30 Gedenkmünzen. E(Gewinn Einkauf 30) = 0,20* ,30* ,40* ,10*2100 = 1435,- Wahrscheinlichkeit 0,20 0,30 0,40 0,10 Verkauf 10 Verkauf 20 Verkauf 30 Verkauf 40 E(Gewinn) Einkauf , , , ,- 700,- Einkauf , , , ,- 1210,- Einkauf , , , ,- 1435,- Einkauf 40-50, , , ,- 1280,- Den zu erwartenden maximalen Gewinn macht S. Plaats, wenn er sich dazu entschließt, 30 Gedenkmünzen einzukaufen. In Beispiel 1 war der maximal erwartete Gewinn 1435,-. Darum hat man die Entscheidung getroffen 30 Stück einzukaufen. Man mußte dabei sowohl beachten, daß mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ein Gewinn von 200,- gegeben war, daß mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% ein Gewinn von 1150,- gegeben war und daß mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%(=40%+10%) ein Gewinn von 2100,- gegeben war. Jemand, der noch vorsichtiger mit seinen Entscheidungen ist, wird die Alternativen wohl noch genauer betrachten, bevor er die 30 Stück bestellt. Allerdings wird bei einer Bestellung von 30 Stück ein maximaler Gewinn von 1435,- erwartet. Ein optimistischer Wirtschaftler wird sich dazu entschließen 40 Stück zu kaufen, da der maximale Gewinn hier 2800,- ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß er wirklich diesen Gewinn macht ist aber nur 10%. Wenn aber solche Gedankengänge zur Entscheidungsfindung führen, werden Entscheidungen nicht mehr auf der Basis der Erwartungswerte, die zu gewissen Umständen gehören, getroffen. Die Haltung des Entscheidenden wird im Hinblick auf seine Unsicherheit beeinflußt (Siehe 2.3). Übrigens ist es nicht immer von Vorteil, seine Entscheidungen aufgrund von Erwartungswerten zu treffen. Der Erwartungswert ist nämlich nur ein Durchschnittswert, der daraus resultiert, daß sich eine Entscheidung mehrmals wiederholt. Man kann jetzt wieder Beispiel 1 hinzuziehen und jede Woche 30 Stück kaufen, so daß der durchschnittliche Gewinn 1435,- beträgt. Wenn es sich aber um eine einmalige Entscheidung handelt, kann man seine Entscheidung nicht auf der Basis des Erwartungswertes treffen. In manchen Situationen ist es ratsam, eine weiterführende Untersuchung (Marktforschung) im Hinblick auf die Nachfrage durchzuführen. Wenn man nämlich die Möglichkeit hätte, durch eine Marktforschung die genaue Nachfrage vorhergesagt zu bekommen, müßte man sich

3 überlegen, wieviel man für eine solche Marktforschung ausgeben sollte. Für Beispiel 1 läßt sich der Betrag folgendermaßen berechnen: Wenn das Ergebnis der Marktforschung einen Verkauf von 10 Gedenkmünzen ergibt, dann ist die optimale Entscheidung 10 Stück einzukaufen, weil dies den größtmöglichen Gewinn von 700,- einbringt. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese Situation eintritt, beträgt 0,20. Wenn das Ergebnis der Marktforschung einen Verkauf von 20 Gedenkmünzen ergibt, dann ist die optimale Entscheidung 20 Stück einzukaufen, weil dies den größtmöglichen Gewinn von 1400,- einbringt. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese Situation eintritt beträgt 0,30. Wenn das Ergebnis der Marktforschung einen Verkauf von 30 Gedenkmünzen ergibt, dann ist die optimale Entscheidung 30 Stück einzukaufen, weil dies den größtmöglichen Gewinn von 2100,- einbringt. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese Situation eintritt, beträgt 0,40. Wenn das Ergebnis der Marktforschung einen Verkauf von 40 Gedenkmünzen ergibt, dann ist die optimale Entscheidung 40 Stück einzukaufen, weil dies den größtmöglichen Gewinn von 2800,- einbringt. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese Situation eintritt beträgt 0,10. Mit diesen Informationen kann man nun den zu erwartenden Gewinn berechnen, den man mit einer vorausgegangenen Marktforschung erzielen könnte. E(Gewinn Marktforschung) = 0,20* ,30* ,40* ,10*2800 = 1680,-. Ohne die Markforschung beträgt der maximale Gewinn 1435,-. Man kann also berechnen, daß man maximal = 245,- für die Marktforschung ausgeben kann. Diese 245,- sind die absolute Obergrenze. 2.3 Entscheidungen unter unbekannten Wahrscheinlichkeiten. Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachfrage unbekannt ist, gibt es verschiedene Möglichkeiten doch noch zu einer Entscheidung zu kommen. Wir werden hierfür einige Regeln betrachten: Laplace-Regel Maximin-Regel Maximax-Regel Pessimismus-Optimismus-Regel Savage-Regel Laplace-Regel Da angesichts der Unsicherheit die Eintrittswahrscheinlichkeiten unbekannt sind, wird einfach unterstellt, daß alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Es wird also das Erwartungswertkriterium angewandt. Beispiel 2 Wir nehmen wieder Beispiel 1 als Grundlage, nur mit dem Unterschied, daß die Wahrscheinlichkeit des Absatzes unbekannt ist. Die Pay-off-Matrix können wir einfach übernehmen. Jetzt wird der Erwartungswert auf der Basis der gleichen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Es gibt hier 4 verschiedene Situationen, die eintreten könnten Verkauf 10, Verkauf 20, Verkauf 30 und Verkauf 40. Also beträgt jede Wahrscheinlichkeit 1 = 0, 25. Somit kann der Erwartungswert folgendermaßen berechnet werden: z. B. der Erwartungswert bei einer Einkaufsentscheidung von 30 Gedenkmünzen. E(Gewinn Einkauf 30) = 0,25* ,25* ,25* ,25*2100 4

4 = 0,25*( ) = 1387,50 Wahrscheinlichkeit 0,25 0,25 0,25 0,25 Verkauf 10 Verkauf 20 Verkauf 30 Verkauf 40 E(Gewinn) Einkauf , , , ,- 700,- Einkauf , , , ,- 1162,50 Einkauf , , , ,- 1387,50 Einkauf 40-50, , , ,- 1375,- Der höchste Wert ist 1387,50. Also wird man sich dazu entschließen, 30 Gedenkmünzen zu kaufen. Wenn es um Kosten geht, nimmt man natürlich den kleinsten Wert Maximin-Regel (Gewinn) und Minimax-Regel (Kosten). Dies ist das Kriterium des wahren Pessimisten. Er betrachtet nur die Nachteile einer Entscheidung. Zur Entscheidungsfindung vergleicht man alle größtmöglichen Nachteile, die eine Entscheidung mit sich bringen kann und nimmt davon den Günstigsten. Man kann also sagen, daß man die Entscheidung trifft, die beim schlechtesten Fall die besten Resultate bringt. Beispiel 2 Wir nehmen wieder Beispiel 1 als Grundlage, nur mit dem Unterschied, daß die Wahrscheinlichkeit des Absatzes unbekannt ist. Die Pay-off-Matrix können wir einfach übernehmen. Es handelt sich um Gewinn, also die Maximin-Regel. Von jeder Entscheidungsmöglichkeit nehmen wir jetzt den schlechtesten Fall. z.b. wenn S. Plaats sich entscheidet, 30 Gedenkmünzen einzukaufen, dann wird er im schlechtesten Fall einen Gewinn in Höhe von 200,- machen. Verkauf 10 Verkauf 20 Verkauf 30 Verkauf 40 Minimaler Gewinn Einkauf , , , ,- 700,- Einkauf , , , ,- 450,- Einkauf , , , ,- 200,- Einkauf 40-50, , , ,- - 50,- Von diesem minimalen Gewinn nimmt er dann den maximalen Wert. Das sind die 700,-. Er wird sich entscheiden, 10 Gedenkmünzen einzukaufen. Wenn es sich um Kosten handelt, nimmt man die Minimax-Regel. Von jeder Entscheidungsmöglichkeit nimmt man jetzt den schlechtesten Fall. Bei Kosten ist daß pro Entscheidungsmöglichkeit der höchste Wert! Von diesen maximalen Werten nimmt man dann den minimalen Wert Maximax-Regel (Gewinn) und Minimin-Regel (Kosten). Anders als bei der Maximin-Regel ist die Maximax-Regel eine eher optimistische Betrachtungsweise. Die Maximax-Regel besagt nichts anderes, als daß man bei jeder Entscheidungsmöglichkeit den maximalen Ertrag bestimmen sollte und dann den größten Ertrag wählt.

5 Beispiel 3 Wir nehmen wieder Beispiel 1 als Grundlage, nur mit dem Unterschied, daß die Wahrscheinlichkeit des Absatzes unbekannt ist. Die Pay-off-Matrix können wir einfach übernehmen. Es handelt sich um Gewinn, also die Maximax-Regel. Von jeder Entscheidungsmöglichkeit nehmen wir jetzt den günstigsten Fall. z.b. wenn S. Plaats sich entscheidet, 30 Gedenkmünzen einzukaufen, dann wird er im günstigsten Fall einen Gewinn in Höhe von 2100,- machen. Verkauf 10 Verkauf 20 Verkauf 30 Verkauf 40 Maximaler Gewinn Einkauf , , , ,- 700,- Einkauf , , , ,- 1400,- Einkauf , , , ,- 2100,- Einkauf 40-50, , , ,- 2800,- Von diesem maximalen Gewinn nimmt er dann den maximalen Wert, das sind die 2800,-. Er wird sich entscheiden, 40 Gedenkmünzen einzukaufen. Wenn es sich um Kosten handelt, nimmt man die Minimin-Regel. Von jeder Entscheidungsmöglichkeit nimmt man jetzt den günstigsten Fall. Bei Kosten ist das pro Entscheidungsmöglichkeit der niedrigste Wert! Von diesen minimalen Werten nimmt man dann den minimalsten Wert Pessimismus-Optimismus-Regel In den meisten Fällen wird eine Entscheidung (bei Gewinn) nicht rein pessimistisch (Maximin) oder rein optimistisch (Maximax) sein. Diese Regel stellt darum einen Zwischenweg dar. Bei jeder Entscheidungsalternative wird der minimalste und der maximalste Ertrag bestimmt. Von diesen beiden Werten wird nun ein gewichteter Durchschnitt berechnet. Der kleinstmögliche Wert wird mit dem Faktor 1-á und der größtmögliche Wert mit á gewichtet, wobei gilt: 0<á<1. Wenn es um Gewinn geht wird die Alternative gewählt, bei der der berechnete Wert am größten ist. Beispiel 4 Minimaler und maximaler Gewinn siehe Beispiel 2 und 3. Wir sind ziemlich optimistisch und wählen á=0,8. 1-á=0,2 á=0,8 Minimaler Gewinn Maximaler Gewinn (1-á)*Min + á*max Einkauf ,- 700,- 700,- Einkauf ,- 1400,- 1210,- Einkauf ,- 2100,- 1720,- Einkauf 40-50,- 2800,- 2230,- Also 40 Gedenkmünzen einkaufen Savage-Regel Das Entscheidungskriterium von Savage könnte man als die Minimalisierung des maximal erreichbaren Pechs bezeichnen. Wir führen den Begriff "Bedauern" ein, der den Unterschied zwischen dem realisierten Gewinn (Kosten) und dem maximalen Gewinn (die minimalen Kosten) darstellt, den man unter gegebenen Umständen hätte realisieren können. Auf diese

6 Art und Weise kann man eine "Bedauern-Matrix" erstellen. Bei dieser "Bedauern-Matrix" wird dann die Minimax-Regel angewandt. Beispiel 5 Wir nehmen wieder Beispiel 1 als Grundlage, nur mit dem Unterschied, daß die Wahrscheinlichkeit des Absatzes unbekannt ist. Die Pay-off-Matrix können wir einfach übernehmen. Es handelt sich um Gewinn. Von jeder Entscheidungsmöglichkeit nehmen wir jetzt den schlechtesten Fall. z.b. wenn S. Plaats sich entscheidet, 30 Gedenkmünzen einzukaufen, dann wird er im schlechtesten Fall einen Gewinn in Höhe von 200,- machen. Verkauf 10 Verkauf 20 Verkauf 30 Verkauf 40 Einkauf , , , ,- Einkauf , , , ,- Einkauf , , , ,- Einkauf 40-50, , , ,- Erläuterung: Man hat 20 Stück eingekauft und hinterher festgestellt sich, daß nur 10 Stück verkauft werden können. Man macht dann einen Gewinn von 450,-. Man hätte aber einen Gewinn von 700,- machen können, wenn man 10 Stück eingekauft hätte. Hinterher bedauert man, daß man 20 Stück eingekauft hat, denn man hätte 250,- mehr Gewinn machen können. Man bedauert also die Entscheidung, daß man 20 Stück eingekauft hat um 250,-. Man hat 30 Stück eingekauft und hinterher festgestellt, daß nur 10 Stück verkauft wurden. Man macht dann einen Gewinn von 200,-. Man hätte aber einen Gewinn von 700,- machen können, wenn man 10 Stück eingekauft hätte. Hinterher bedauert man, daß man 30 Stück eingekauft hat, denn man hätte 500,- mehr Gewinn machen können. Man bedauert also die Entscheidung, daß man 30 Stück eingekauft hat um 500,-. Man hat 40 Stück eingekauft und hinterher festgestellt, daß nur 10 Stück verkauft wurden. Man macht dann einen "Gewinn" von - 50,-. Man hätte aber einen Gewinn von 700,- machen können, wenn man 10 Stück eingekauft hätte. Hinterher bedauert man, daß man 40 Stück eingekauft hat, denn man hätte 750,- mehr Gewinn machen können. Man bedauert also die Entscheidung, daß man 40 Stück eingekauft hat um 750,-. Man hat 10 Stück eingekauft und hinterher festgestellt, daß nur 10 Stück verkauft wurden. Man hat die richtige Entscheidung getroffen, denn zu dieser Entscheidung gehört der maximale Gewinn. Man bedauert also die Entscheidung, daß man 10 Stück eingekauft hat um 0,- Genau das gleiche macht man, wenn sich hinterher ergibt, daß der Verkauf 20, der Verkauf 30 und der Verkauf 40 ist. Das "Bedauern" kann also errechnet werden, indem man von jeder Verkaufsmöglichkeit das Maximum nimmt (Maximum Verkauf 10: 700,-; 450,-; 200,-; - 50,- ist 700,-) und dann für jede Entscheidungsmöglichkeit die Differenz zu diesem Maximum (hier 700,-) bestimmt (hier: 0,-; 250,-; 500,-; 750,-) Bedauern-Matrix: Verkauf 10 Verkauf 20 Verkauf 30 Verkauf 40 Maximum Einkauf 10 0,- 700,- 1400,- 2100,- 2100,- Einkauf ,- 0,- 700,- 1400,- 1400,- Einkauf ,- 250,- 0,- 700,- 700,- Einkauf ,- 500,- 250,- 0,- 750,-

7 Zuletzt wird dann die Minimax-Regel angewandt: Man wählt das Minimum von die maximalen Werten ( 2100,-; 1400,-; 700,-; 750,-). Das ergibt 700,-, so daß man sich dazu entschließt, 30 Stück zu kaufen. 2.4 Entscheidungsbaum Um mehrstufige Entscheidungsprobleme übersichtlich darstellen zu können, bedient man sich der Darstellung durch den sogenannten Entscheidungsbaum. Hierbei handelt es sich um mehrere Entscheidungsmomente, die sowohl aufeinander folgen, als auch voneinander abhängig sind. Bei der graphischen Darstellung benutzt man zwei Symbole: Ein Viereck für eine Entscheidungssituation und einen Kreis für eine Wahrscheinlichkeitssituation. Das Viereck deutet darauf hin, daß man eine Entscheidung aus möglichen Alternativen treffen muß. Der Kreis deutet auf die Anzahl der Möglichkeiten hin, die sich ereignen können, wobei die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse eine Rolle spielen. Beispiel 6 Es wird ein Motel namens "Schnarch" gebaut. Es besteht die Möglichkeit, einen eigenen Brunnen zu bohren oder das Motel an das öffentliche Wassernetz anzuschließen. Die Kosten für das Bohren sind abhängig von der Bodenstruktur vor Ort. Es gibt 3 verschiedene Bodenstrukturen. Ein Unternehmen "Maulwurf" bietet seinen Dienst an. Sie versuchen herauszufinden, was günstiger ist (Bohren oder Wassernetz). Um diese Situation im Entscheidungsbaum einzeichnen zu können, müssen zuerst die Entscheidungsalternativen festgelegt werden. Es kann aus folgenden Alternativen gewählt werden: Das würde graphisch folgendermaßen aussehen: A1: selbst bohren A2: Wassernetz A3: Untersuchung A Wassernetz Untersuchung Würde man Alternative 1 wählen, dann wären die Kosten abhängig von der Bodenstruktur. Da es für die Bodenstruktur 3 verschiedene Möglichkeiten gibt, nennen wir diese G1, G2 und G3. Da diese tatsächlichen Bodenstrukturen dem Zufall überlassen sind, benutzt man bei der graphischen Darstellung den Kreis. Bodenstruktur G1 1 Bodenstruktur G2 Bodenstruktur G3

8 Bei der Alternative 2 folgt kein Wahrscheinlichkeitsmoment, da die Kosten für den Anschluß an das Wasserversorgungsnetz feststehen. Auch folgt kein Entscheidungsmoment mehr, da beim Anschluß keine weiteren Entscheidungen mehr nötig sind. Bei der Alternative 3 folgt natürlich wieder ein Punkt mit mehreren Wahrscheinlichkeiten, da das Ergebnis der Untersuchung positiv oder negativ sein kann. Positiv Untersuchung 2 Negativ Nach dem Ergebnis des Gutachtens, kann man wieder zwischen 2 Entscheidungsalternativen wählen : A1: selbst bohren A2: Wassernetz Dies würde bei einem positiven Befund folgendermaßen aussehen: Positiv B Wassernetz Das gleiche Bild würde sich ergeben, wenn der Befund negativ wäre. Wenn man davon ausgeht, daß nach A1 wieder die Ereignisse G1, G2, G3 folgen, ergibt sich folgendes Bild: Bodenstruktur G1 1 Bodenstruktur G2 Bodenstruktur G3 Wassernetz A Bodenstruktur G1

9 In diesem Entscheidungsbaum sind Entscheidungssituationen und Wahrscheinlichkeitssituationen unterschiedlich numeriert. Wenn alle Wahrscheinlichkeiten bei den Wahrscheinlichkeitssituationen und die Kosten pro Zweig bekannt sind, kann man anfangen, das Optimum zu berechnen. Hierbei muß aber gelten, daß die Summe aller Wahrscheinlichkeiten bei einer Wahrscheinlichkeitssituation gleich 1 ist, da immer ein Ereignis daraus hervorgeht. Zur Veranschaulichung nehmen wir an, daß die Wahrscheinlichkeit, die aus einem positivem Untersuchungsergebnis hervorgeht 50% ist. P(G1)=0,30 P(G2)=0,30 P(G3)=0,40 P(G1 Positiv)=0,48 P(G2 Positiv)=0,36 P(G3 Positiv)=0,16 P(G1 Negativ)=0,12 P(G2 Negativ)=0,24 P(G3 Negativ)=0,64 Die Kosten zum Anschluß an das Wassernetz betragen ,- und die Kosten der Bohrungen betragen bei: G1: ,- G2: ,- G3: ,- Jetzt kann die optimale Entscheidung getroffen werden. Dies geschieht, indem man an Hand der Zweige den Baum von rechts nach links durchrechnet und darauf achtet, daß man bei Entscheidungssituationen die Alternative mit dem kleinsten Wert wählt.

10 Bodenstruktur G1; p=0,3; ,- 1 Bodenstruktur G2; p=0,3; ,- Bodenstruktur G3; p=0,4; ,- Wassernetz; ,- A Bodenstruktur G1; p=0,48; ,- 3 Bodenstruktur G2; p=0,36; ,- Untersuchung; 100,- B Bodenstruktur G3; p=0,16; ,- Positiv; p=0,5 Wassernetz; ,- 2 Bodenstruktur G1; p=0,12; ,- Negativ; p=0,5 4 Bodenstruktur G2; p=0,24; ,- C Bodenstruktur G3; p=0,64; ,- Wassernetz; ,- Außerdem ist bei A3 angegeben, daß die Untersuchungskosten 100,- betragen. Die Rechnung sieht dann also folgendermaßen aus: Wahrscheinlichkeitspunkt 1: Erwartete Kosten = 0,30 * ,- + 0,30 * ,- + 0,40 * ,- = ,- Wahrscheinlichkeitspunkt 3: Erwartete Kosten = 0,48 * ,- + 0,36 * ,- + 0,16 * ,- = ,- Wahrscheinlichkeitspunkt 4: Erwartete Kosten = 0,12 * ,- + 0,24 * ,- + 0,64 * ,- = ,- Entscheidungspunkt B: Wähle Minimum von ,- () und (Wassernetz), also wähle selbst bohren ,-. Entscheidungspunkt C: Wähle Minimum von ,- () und (Wassernetz), also wähle Wassernetz ,-. Wahrscheinlichkeitspunkt 2: Erwartete Kosten = 0,50 * ,- + 0,50 * ,- = ,-

11 Entscheidungspunkt A: Wahl des Minimums von ,- (), (Wassernetz) und ,- (10.840, ,-) (Untersuchung), also wählt man die Untersuchung ,-. Entscheidungen: Man entscheidet sich für eine Untersuchung. * Wenn das Gutachten positiv ausfällt, wählt man selbst bohren. * Wenn das Gutachten negativ ausfällt, wählt man das Wassernetz.