21 A ne und euklidische Geometrie

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1 253 2 A ne und euklidische Geometrie In diesem Kapitel werden wir die Grundbegri e der a Geometrie kennen lernen. nen und der euklidischen 2. Was ist Geometrie? Eine mögliche Antwort auf diese Frage hat Felix Klein in seinem Erlanger- Programm formuliert: Eine Geometrie ist eine Menge M zusammen mit einer Gruppe G von Transformationen (d.h. gewissen bijektiven Selbstabbildungen) von M. Eine Eigenschaft oder eine Größe heißt geometrisch, wenn sie invariant ist unter G. Ein (allgemeines) eispiel: Ist (M,d) ein metrischer Raum und G die Gruppe der Isometrien von M, so ist der Abstand zwischen zwei Punkten eine geometrische Größe (denn das ist gerade die Definition einer Isometrie). Der Kleinsche Geometrie-egri aus dem 9. Jahrhundert setzt (zu)viel Symmetrie voraus und ist deshalb zu restriktiv, um die gesamte moderne Geometrie (wie z.. die Riemannsche Geometrie oder die algebraische Geometrie) zu erfassen. 2.2 Gruppenaktionen Um a ne Räume definieren zu können, benötigen wir den egri einer Gruppen- Operation (oder -Aktion). Dieses fundamentale und nützliche Konzept kommt in vielen reichen der Mathematik vor. Definition 2. Eine Operation (oder Aktion) einer Gruppe (G, ) auf einer Menge X ist eine Abbildung ' : G X! X; (g, x) 7! '(g, x), die folgende Eigenschaften besitzt: Ist e das neutrale Element von G, so gilt '(e, x) =x für alle x 2 X. Für alle g, h 2 G und alle x 2 X gilt '(g h, x) ='(g, '(h, x)). Die ahn eines Punktes x 2 X bzgl. ' ist die Menge {'(g, x) X g 2 G}. Der Stabilisator von x bzgl. ' ist die Untergruppe G x := {g 2 G '(g, x) =x} von G

2 254 2 A ne und euklidische Geometrie Die ahnen einer G-Operation definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge X: x y () x gehört zur ahn von y. Damit folgt: die Menge X zerfällt in disjunkte ahnen (Äquivalenzklassen). Eine G-Aktion heißt transitiv, wenn es genau eine ahn gibt. In diesem Fall heißt die Menge X homogen. Eine G-Aktion ' heißt einfach transitiv, wenn es zu je zwei Elementen x und y aus X genau ein g 2 G gibt, so dass y = '(g, x). eispiel 2.2. Die Gruppe SO(2) operiert (einfach) transitiv auf dem Einheitskreis S := {(x,x 2 ) > 2 2 x 2 + x 2 2 =}. 2. Die Gruppe SO(2) operiert (mit unendlich vielen ahnen) auf der 2-dimensionalen Einheitssphäre S 2 := {(x,x 2,x 3 ) > 2 3 x 2 + x x 2 3 = } durch Drehungen um die x 3 -Achse. 3. Die Gruppe SO(3) operiert transitiv auf S A ne Räume Um lineare Selbstabbildungen eines -Vektorraumes V zu vestehen, haben wir versucht, diese durch möglichst einfache Matrizen darzustellen. Dazu muss man jeweils geeignete asen wählen. Die Elemente von V werden dann durch Koordinatenvektoren in n dargestellt. asiswechsel entsprechen linearen Koordinatentransformationen in n (siehe.). Für gewisse, mehr geometrische Fragestellungen in Vektorräumen ist es nun zweckmäßig, neben linearen Koordinatentransformationen auch die einfachsten nicht-linearen Abbildungen (also die Translationen) zu betrachten. Hier ist ein eispiel. eispiel 2.3 In 2 sei die folgende Teilmenge gegeben: K := {(x, y) 2 2 x 2 + y 2 2(x + y)+=}. Um zu sehen, was diese Menge K ist, formen wir zuerst die Definitionsgleichung um ( quadratisches Ergänzen ): x 2 + y 2 2(x + y)+=x 2 2x ++y 2 2y + =(x ) 2 +(y ) 2 =. Nun machen wir die (a ne) Koordinaten-Transformation x := x ỹ := y. In den neuen Koordinaten lautet die Gleichung für K dann einfach x 2 +ỹ 2 =, und wir erkennen, dass K ein Kreis ist mit Zentrum (, ).

3 2.3 A ne Räume 255 Um solche solche a nen Transformationen genauer untersuchen zu können, benötigen wir den egri eines a nen Raumes. Die Grundidee ist die folgende. etrachtet man n als Vektorraum, so ist der Nullvektor ausgezeichnet. Als a ner Raum betrachtet ist n aber homogen : jeder Punkt ist gleichwertig. Definition 2.4 Es seien V ein Vektorraum über einem Körper, A eine (nichtleere) Menge und :(V,+) A! A eine Operation der (additiven) Gruppe (V,+) auf A. Dann heißt das Tripel (A, V, ) ein a ner Raum, mit Translationsvektorraum V, falls die Operation einfach transitiv ist. Es gilt also: A Für alle p 2 A ist (,p)=p. A2 Für alle p 2 A und alle v,v 2 2 V ist (v, (v 2,p)) = (v + v 2,p). A3 Für alle p, q 2 A gibt es genau ein v 2 V mit (v, p) =q. Der nach A3 durch p und q eindeutig bestimmte Vektor v wird gelegentlich auch mit pq! bezeichnet (der Ortsvektor von p nach q ). eispiel 2.5 Ist V ein Vektorraum und = + die Vektorraum-Addition, so ist (V,V,+) ein a ner Raum. Ist speziell V = n so heißt ( n, n, +) n-dimensionaler a ner Standardraum. emerkung 2.6 Sei p 2 A beliebig (aber fest gewählt). Dann ist die Abbildung F p : V! A, F p (v) := (v, p) wegen A3 bijektiv. Heuristisch kann man F p so beschreiben: Heftet man in p 2 A eine Kopie von V an, so erhält man A. Die Umkehrabbildung Fp besagt: Wählt man in A einen Ursprung p, so wird A zu einer Kopie von V. Ein Vektorraum ist also dasselbe wie ein a Punkt (Nullvektor als Ursprung). ner Raum mit einem ausgezeichneten KONVENTION. Im Folgenden werden wir uns auf die in eispiel 2.5 beschriebenen a nen Räume (V,V,+) beschränken. Dadurch vereinfacht sich die Darstellungsweise (außerdem kann man zeigen: Jeder a ne Raum ist isomorph zu einem a nen Raum dieses Typs). Die Notation mit Tripeln ist zwar wichtig für die begri iche Klarheit, aber sehr schwerfällig. Wir werden daher im Folgenden den a nen Raum (V,V,+) einfach mit oder auch (V ) bezeichnen.

4 256 2 A ne und euklidische Geometrie Definition 2.7 Es sei (V ) der zu einem Vektorraum gehörige a ne Raum. Eine Teilmenge A V heißt a ner Unterraum, falls ein a 2 A und ein Untervektorraum U von V existieren, so dass gilt A = a + U = {a + u u 2 U}. Der Untervektorraum U heißt Translationsraum von A. Die Dimension eines a nen Unterraumes A = a + U ist die Dimension seines Translationsraumes: dim A = dim U. Ein -dimensionaler a ner Unterraum heißt Punkt. Punkte sind also genau die Mengen x+{} = {x}, x 2 V. Ein -dimensionaler a ner Unterraum heißt Gerade, und ein 2-dimensionalen a ner Unterraum heißt Ebene. Ist dim A = n, so heißt A Hyperebene. Den Punkt a 2 A = a + U nennt man auch Fußpunkt oder im Fall A = a + V auch Ursprung. Neben a sind dann auch alle Punkte der Form a + u, u 2 U Fußpunkte (a ist also im Gegensatz zu U nicht eindeutig). eispiel 2.8. Sei n := ( n ) der zu n gehörige a ne Standard-Raum. Für einen Untervektorraum U n und einen (festen) Punkt x 2 n ist ein a ner Unterraum von n. A := x + U = {x + u u 2 U} x L U 2. Ist : m! n eine lineare Abbildung und y = (x) 2 ild n, so ist (y) ={v 2 m (v) =y} ein a ner Unterraum von m. Denn nach Hilfssatz 9.3 ist (y) =x +Kern. 3. Die Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten ist ein a ner Unterraum von n. Der zugehörige Untervektorraum (Translationsraum) ist die Lösungsmenge L h des entsprechenden homogenen LGS (siehe.2).

5 2.3 A ne Räume Manchmal ist es zweckmäßig ( n ) als a nen Unterraum von ( n+ ) aufzufassen: ( n )={ x x 2. x n A x i 2 } =. A + { x x 2. x n A x i 2 } n+. Hilfssatz 2.9 Es sei A ein nichtleeres System a ner Unterräume von (V ). Dann ist der Schnitt M := \ A2AA entweder leer oder ein a ner Unterraum von (V ) mit Translationsraum U M := \ A2AU A, wobei U A jeweils den Translationsraum von A bezeichnet. eweis: Sei M 6= ;. Dann gibt es einen Punkt x 2 V, der in allen a nen Unterräumen A 2 A liegt. Damit kann man jedes Element A 2 A in der Form A = x + U A darstellen. Es folgt M = \ A2A A = \ A2A x + U A = x + \ A2AU A = x + U M. Als Durchschnitt von Untervektorräumen von V ist U M auch ein Untervektorraum von V und x + U M ein a ner Unterraum. eispiel 2. Im a nen Raum 4 := ( 4 ) seien die a nen Unterräume A = 2 A + h A, A, A i, A 2 = 3 A + h 2 A, A i gegeben. Wir wollen ihren Schnitt bestimmen: x 2 A \A 2 ist äquivalent zur Existenz von, 2, 3,, 2 2 mit 2 A + A + 2 A + 3 A = x = 3 A + 2 A + 2 A

6 258 2 A ne und euklidische Geometrie Wir erhalten ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten, 2, 3,, 2 und der zugehörigen erweiterten Matrix 2 A. Der Gauß-Algorithmus liefert folgende Stufenform: 2 A. Daraus lesen wir ab: 2 =, 2 beliebig. Somit gilt 3 3 x = A + 2 A + A = 2 A + Satz 2. (Intrinsische harakterisierung eines a nen Unterraumes) Es sei = (V ) der zu einem Vektorraum V gehörige a ne Raum. Eine nichtleere Teilmenge A V ist genau dann ein a ner Unterraum von V, wenn für k 2 gilt 2 A. 8a,..., a k 2 A, 8,..., k 2 mit nx i= i ==) kx i= ia i 2 A. eweis: ) : Sei A = x + U, x 2 A, ein a ner Unterraum. Für i =,...,k seien a i 2 A und i 2 mit P n i= i =. Dann ist a i = x+u i für u i 2 U und i =,...,k. Also kx i= ia i = kx i= i(x + u i )=( kx i= i)x + kx i= iu i = x + kx i= iu i 2 x + U = A. ( : Wir wählen ein x 2 A und definieren U := A x := {a x 2 V a 2 A}. Zu zeigen ist, dass U ein Untervektorraum von V ist. Seien also a x, b x 2 U und 2. Wir haben (a x)+(b x) 2 U () x +(a x)+(b x) =a + b x 2 A. Die rechte Seite ist aber nach Voraussetzung erfüllt, da + =. Ebenso ist (a x) 2 U, da x + (a x) = a +( )x 2 A.

7 2.3 A ne Räume 259 Definition 2.2 Sei = (V ) der zu einem Vektorraum V gehörige a ne Raum. Sei X V eine beliebige Teilmenge. Die a ne Hülle A (X) vonx ist A (X) := { kx i= ip i p i 2 X, i 2, kx i= i =}. Hilfssatz 2.3 A (X) ist der kleinste a ne Unterraum von, der X enthält. eweis: Dass A (X) ein a ner Unterraum ist, folgt aus Satz 2.. Die zweite ehauptung folgt mit Hilfssatz 2.9. Definition 2.4 Sei = (V ) der zu einem Vektorraum V gehörige a ne Raum. Die Elemente einer Menge X = {p,p,...,p r } V heißen a n unabhängig oder in allgemeiner Lage, falls gilt rx i= ip i = und rx i= i =() = = = r =. Hilfssatz 2.5 Eine endliche Menge {p,p,...,p r } V ist a n unabhängig genau dann, wenn {p p,...,p r p } linear unabhängig ist im Vektorraum V. eweis: Sei {p,p,...,p r } a n unabhängig. Ist P r i= i(p i p ) =, so folgt P r i= P ip i +( r i= i)p = und damit i =für alle apple i apple r. Ist umgekehrt {p p,...,p r p } linear unabhängig, so folgt aus = rx i= rx i= ip i + p = ip i = und rx i= ip i +( rx i= i =, dass rx i= i)p = rx i= i(p i p ) und damit nach Voraussetzung i =für alle i. Definition 2.6 Sei = (V ) der zu einem Vektorraum V gehörige a ne Raum. Weiter seien A ein k-dimensionaler a ner Unterraum von V und {p,p,...,p k } a n unabhängige Punkte in A. Dann heißt {p,p,...,p k } eine a ne asis von A und (p ; p p,...,p k p ) ein a nes Koordinatensystem von A mit Ursprung p. Für einen Punkt a 2 A können wir dann schreiben a = p + kx i (p i p ), i 2. i= Die Komponenenten (,..., k ) heißen a der a nen asis {p,p,...,p k }. ne Koordinaten von a 2 A bezüglich

8 26 2 A ne und euklidische Geometrie Im Gegensatz zum Vektorraum V erhalten wir also im a nen Raum (V )für jeden Punkt p und jede asis von V eine a ne asis (p; ) vonv. Ein Vektorraum ist also dasselbe wie ein a ner Raum mit einem ausgezeichneten Ursprung. emerkung 2.7 Nach Hilfsatz 2.5 kann man ein a nes Koordinatensystem auch wie folgt konstruieren. Es sei A = x+u ein k-dimensionaler a ner Unterraum. Ist {u,...,u k } eine asis von U, so lässt sich jeder Punkt p 2 A in der Form p = x + u k u k, ( i 2 ) darstellen. Setzt man x i := x+u i für i =,...k, so ist (x, x,...,x k ) eine a ne asis von A und die a nen Koordinaten von p bezüglich dieser asis sind (,..., k ) 2 k. 2.4 A ne Abbildungen Wir suchen Abbildungen zwischen a nen Räumen, die strukturerhaltend sind, d.h. zum eispiel a ne Hüllen in a ne Hüllen abbilden. Wir definieren deshalb Definition 2.8 Es seien V und W -Vektorräume und (V ) und (W ) die zugehörigen a nen Räume. Eine Abbildung f : V! W heißt a n, falls für alle a, b 2 V und alle,µ2 mit + µ = gilt f( a + µb) = f(a)+µf(b). emerkung 2.9 Mit vollständiger Induktion folgt: Eine Abbildung f : V! W ist a n genau dann, wenn für k 2, alle a,..., a k 2 V und alle,..., k 2 mit P n i= i = gilt f( kx i= ia i )= kx i= if(a i ). eispiel 2.2 Sei (V ) der zu einem -Vektorraum V gehörige a ne Raum und b 2 V.. Die Translation T b : V! V ; T b (x) := x + b ist eine a ne Abbildung. Denn für,µ2 mit + µ = gilt T b ( x + µy) = x + µy + b = x + µy +( + µ)b = T b (x)+µt b (y). Eine Translation ist nur für b = eine lineare Abbildung.

9 2.4 A ne Abbildungen Eine Streckung mit Zentrum z 2 V und Streckungsfaktor bildet z auf sich ab und ordnet jedem von z verschiedenen Punkt x 2 V denjenigen Punkt y 2 V auf der Gerade durch x und z zu, für den y z = (x z) gilt. Somit hat eine solche Streckung : V! V die Darstellung (x) = y = x+( )z, ist also eine a ne Abbildung. = 2 (x 2 ) (x ) x 2 x z Für = bildet alle Punkte auf z ab, für = ist die Identität. 3. Für = gilt für die obige Streckung z = (x + (x)), d.h. z ist der Mittelpunkt der Punkte x und (x). In diesem Fall ist eine Punktspiegelung 2 an z. Satz 2.2 (Allgemeine Form von a nen Abbildungen) Sei (V ) der zu einem -Vektorraum V gehörige a ne Raum. Wir wählen einen Ursprung p 2 V. Eine Abildung f : V! W ist a n genau dann, wenn eine lineare Abbildung : V! W existiert, so dass gilt f(p + v) = (v)+f(p ). Die lineare Abbildung ist dabei durch f eindeutig bestimmt und unabhängig von der Wahl des Urprungs p. Sie heißt der lineare Anteil von f. eweis: (: Ist linear, so ist folgt für p = p + v, q = p + w 2 V und,µ2 mit + µ = f( p+µq) = ( v+µw)+f(p )= ( (v)+f(p ))+µ( (w)+f(p )) = f(p)+µf(q). ): Wir definieren : V! W ; (v) := f(p + v) f(p ).

10 262 2 A ne und euklidische Geometrie Zu zeigen ist, dass linear ist, d.h. dass für alle u, v 2 V und alle 2 gilt: (u + v) = (u)+ (v), ( u) = (u). Zunächst ist p + u, p + v 2 V und auch p + u + v =(p + u)+(p + v) p 2 V. Also haben wir mit 2.9 (u + v) = f(p + u + v) f(p ) = f(p + u)+f(p + v) f(p ) f(p )= (u)+ (v); ( u) = f(p + u) f(p )=f( (p + u)+( )p ) f(p ) = f(p + u)+( )f(p ) f(p )= (u). nen Raumes. Wir defi- Zur Eindeutigkeit: Sei p 2 V ein anderer Ursprung des a nieren dann wie oben die lineare Abbildung : V! W ; (v) := f(p + v) f(p ). Wir zeigen, dass =. Für beliebiges v 2 V ist (v) = f(p + v) f(p )=f(p +(p p )+v) f(p ) = ((p p )+v)+f(p ) f(p )= (v)+ (p p )+f(p ) f(p ) = (v)+f(p ) f(p )+f(p ) f(p )= (v). emerkung 2.22 Nach Satz 2.2 ist die Eigenschaft a ne Abbildung, unabhängig vom Ursprung. Wir können also insbesondere den Nullvektor als Ursprung wählen. Wir erhalten dann eine besonders übersichtliche Darstellung der a nen Abbildungen zwischen V und W. Jede a ne Abbildung f : V! W kann man schreiben als und der Translationsvektor b := f() durch f ein- wobei die lineare Abbildung deutig bestimmt sind. f = T b, Speziell sind die a nen Abbildungen zwischen den a nen Standardräumen ( n ) und ( m ) von der Form f(x) =Ax + b, wobei A 2 m n,b2 n. Wir benutzen jetzt noch a ne Koordinatensysteme, um a ne Selbstabbildungen von (V ) mittels Matrizen zu beschreiben.

11 2.4 A ne Abbildungen 263 Sei := {v,...,v n } eine asis des Vektorraumes V und p ein Ursprung in V. Diese Wahl definiert die a ne asis {p ; } von V.Für x 2 V haben wir dann die Darstellung nx x = p + x j v j, d.h. x hat bezüglich {p ; } die a nen Koordinaten ˆx := (x,...,x n ) > 2 n. Weiter sei A := (a ij ) die Abbildungsmatrix des linearen Anteils einer a nen Abbildung f : V! V bezüglich der asis. Schließlich sei f(p )=p + P n i= b iv i, d.h. f(p ) hat die a nen Koordinaten ˆb := (b,...,b n ) >. Dann haben wir j= nx f(x) = ( x j v j )+f(p )=p + i=j nx nx ( a ij x j + b i )v i. i= j= In a nen Koordinaten bezüglich der a nen asis {p ; } wird die a ne Selbstabbildung f also dargestellt durch ˆf : n! n ; ˆx 7! Aˆx + ˆb. Definition 2.23 Eine bijektive a ne Selbstabbildung f : V! V heißt A nität. emerkung Translationen sind bijektiv: (T b ) = T b. 2. Eine a ne Abbildung f = T b ist genau dann injektiv (bzw. bijektiv), wenn der lineare Anteil injektiv (bzw. bijektiv) ist. Satz 2.25 Die A nitäten eines a nen Raumes (V ) bilden bezüglich der Verkettung von Abbildungen eine Gruppe A ( (V )). eweis: Wir wählen den Nullvektor als Ursprung von V. Dann haben A nitäten die Form f = T b, wobei der lineare Anteil : V! V ein Vektorraum- Isomorphismus ist. Es gilt id V 2 A ( (V )), da die Identität a n und bijektiv ist. Sind f = T b und g = T c A nitäten, so ist auch f g 2 A ( (V )): f g = T b ( T c ) = T b (T (c) ) = T b+ (c) ( ). Ist f = T b 2 A ( (V )) so ist auch f 2 A ( (V )), denn mit emerkung 2.24 gilt: f = T b = T b = T ( b).

12 264 2 A ne und euklidische Geometrie emerkung 2.26 Die a nen Selbstabbildungen von n = ( n ) sind nach Obigem alle von der Form f : n! n ; x 7! Ax + b (A 2 n n,b2 n ). eschreiben wir n als a nen Unterraum von n+ (siehe eispiel ), so können wir a ne Selbstabbildungen auch durch (n + ) (n + )-Matrizen beschreiben. Für eine a ne Abbildung f(x) =Ax + b definieren wir A b ea := 2 (n+) (n+). Dann haben wir ef : x n! n ; 7! A e x = Ax + b. 2.5 A ne Invarianten In diesem Abschnitt ist (V ) der zu einem -Vektorraum V gehörige a ne Raum. Wir geben einige Eigenschaften, egri e oder Größen an, die bei a nen Abbildungen f : V! V invariant bleiben (also Gegenstände der a nen Geometrie sind). Aus der Definition von a nen Abbildungen folgt: A ne Unterräume werden durch a ne Abbildungen wieder in a ne Unteräume abgebildet. Insbesondere sind a ne ilder von Geraden wieder Geraden. A ne Abbildungen sind also geradentreu. Definition 2.27 Zwei a ne Unterräume A und A 2 heißen parallel, geschrieben A ka 2, falls für die zugehörigen Translationsräume U,U 2 gilt: U U 2 oder U 2 U. Es seien p, q, r drei kollineare Punkte (d.h. Punkte, die auf einer Geraden liegen) und p 6= q. Ist q = p + v und r = p + tv, so heißt die Zahl t 2 das Teilverhältnis von r bezüglich p und q. emerkung 2.28 Parallelität ist eine reflexive und symmetrische Relation, aber im allgemeinen nicht transitiv. So sind zwei sich schneidende Geraden in einer Ebene zwar zu dieser Ebene parallel, aber sie selbst sind nicht parallel. eschränkt man sich jedoch auf a ne Unterräume gleicher Dimension, so ist Parallelität auch transitiv, also eine Äquivalenzrelation. Hilfssatz A ne Abbildungen bilden parallele Unterräume auf parallele Unterräume ab, sie sind parallelentreu. 2. A nitäten lassen das Teilverhältnis invariant, sie sind teilverhältnistreu.

13 2.6 Euklidische Isometrien 265 eweis:. Sei f : V! V eine a ne Abbildung und der lineare Anteil von f. Der Translationsraum des ildes ist gleich dem ild des Translationsraumes unter : Seien A = x + U und A 2 = x 2 + U 2 parallel. Dann ist f(a )= (U )+f(x ) und f(a 2 )= (U 2 )+f(x 2 ). Daraus folgt die ehauptung. 2. Sei f : V! V eine A nität und der lineare Anteil von f. Sind p, q = p+v und r = p + tv kollinear, so sind auch f(p),f(q),f(r) kollinear und f(p) 6= f(q). Weiter ist f(q) = (v)+f(p) und f(r) =t (v)+f(p). Damit folgt die ehauptung. emerkung 2.3 Es gilt die folgende harakterisierung von A nität, wenn sie gera- Eine bijektive Abbildung f : V! V ist genau dann eine A dentreu, parallelentreu und teilverhältnistreu ist. nitäten: 2.6 Euklidische Isometrien Es sei V ein Vektrorraum über den reellen Zahlen. Im vorherigen Abschnitt haben wir die Geometrie des a nen Raumes (V ) = (V, V, +) betrachtet. Jetzt versehen wir V zusätzlich mit einem Skalarprodukt: (V, h, i) ist dann ein euklidischer Vektorraum und damit insbesondere auch ein metrischer Raum (siehe Abschnitt 8.3.2): Wir wiederholen die Definition: Die euklidische Abstandsfunktion oder euklidische Metrik auf dem euklidischen Vektorraum (V, h, i) ist definiert durch: d : V V! ; d(x, y) := kx yk = p hx y, x yi. Definition 2.3 Eine euklidische Isometrie oder ewegung ist eine Isometrie des metrischen Raumes (V ) := (V,d), d.h. eine bijektive Abbildung f : V! V für die gilt: d(f(x),f(y)) = d(x, y) für alle x, y 2 V. emerkung 2.32 Für Vektorräume mit Skalarprodukt (V, h, i) hatten wir lineare Isometrien definiert als lineare Abbildungen : V! V,für die gilt h (x), (y)i = hx, yi für alle x, y 2 V. Da die euklidische Metrik d auf V mittels des Skalarproduktes definiert ist, sind also lineare Isometrien von (V, h, i) spezielle eispiele von euklidischen Isometrien.

14 266 2 A ne und euklidische Geometrie Satz 2.33 Die euklidischen Isometrien von (V ) =(V,d) bilden bezüglich der Verkettung von Abbildungen eine Gruppe Iso( (V )). eispiel Lineare Isometrien sind euklidische Isometrien, die auf abbilden und die orthogonale Matrizen (A > = A ) als Abbildungsmatrizen bezüglich Orthonormalbasen haben. 2. Translationen sind nicht-lineare euklidische Isometrien. 3. Verkettungen von Translationen und linearen Isometrien sind euklidische Isometrien. Der folgende Satz besagt, dass es keine weiteren euklidischen Isometrien gibt (vergleiche dazu den entsprechende Aussage 2.22 für a ne Abbildungen). Satz 2.35 (Struktur von euklidischen Isometrien) Jede euklidische Isometrie f : (V )! (V ) ist von der Form f = T b, wobei eine lineare Isometrie ist. Sowohl als auch der Translationsvektor b sind durch f eindeutig bestimmt. Um Satz 2.35 zu beweisen, benötigen wir den folgenden Hilfssatz. Hilfssatz 2.36 Seien a,a,...,a n a n unabhägige Punkte in (V ). Eine Isometrie f : (V )! (V ) ist eindeutig bestimmt durch die ilder f(a ),f(a ),...,f(a n ). eweis: Seien f und g euklidische Isometrien mit f(a i )=g(a i )für apple i apple n. Dann ist g f eine Isometrie mit g f(a i )=a i für alle i. Wir setzen b i := T a (a i )für apple i apple n. Dann ist b = und {b,...,b n } ist eine asis von V. Wir werden zeigen, dass h := T a g ft a die Identität ist. Insbesondere folgt dann die ehauptung f = g. Zunächst ist nach Konstruktion h() = und h(b i )=b i für alle i. Da h eine Isometrie ist, folgt daraus für x 2 V und y := h(x) Das ist äquivalent zu d(,x)=d(,y) und d(b i,x)=d(b i,y) 8 apple i apple n. hx, xi = hy, yi und hx b i,x b i i = hy b i,y b i i 8 apple i apple n. Durch Ausmultiplizieren erhält man aus den letzten n Gleichungen hx, b i i = hy, b i i 8 apple i apple n, und deshalb, da {b,...,b n } eine asis ist, hx, zi = hy, zi 8z 2 V. Also x = y = h(x) und h ist die Identität.

15 2.6 Euklidische Isometrien 267 eweis von Satz 2.35: Wir wählen eine asis {a,...,a n } von V. Die Punkte {a :=,a,...,a n } sind dann a n unabhängig und bilden somit eine a ne asis. Sei b := f(a )=f() und g := T b f.es ist dann g() =. Weiter setzen wir b i := f(a i )für apple i apple n. Wir konstruieren im Folgenden eine lineare Isometrie mit den gleichen ildern der asis wie g, so dass mit Hilfsatz 2.36 folgt, dass T b f = g =, was dann die ehauptung des Satzes beweist. Da g eine Isometrie ist, haben wir zunächst d(,a i )=d(,b i ) und d(a i,a j )=d(b i,b j ) für alle apple i, j apple n. Mit der Definition von d durch Norm bzw. Skalarprodukt folgt daraus insbesondere ha i,a j i = hb i,b j i für alle apple i, j apple n. ( ) Sei nun die eindeutige lineare Abbildung mit (a i )=b i für i =,...,n. Wir zeigen, dass eine euklidische Isometrie ist. Seien dazu x, y 2 (V ) beliebig. Wir schreiben x y = P n i= ia i. Dann gilt (x) (y) = (x y) = P n i= ib i und wir haben mit ( ) nx d( (x), (y)) 2 = k (x) (y)k 2 = = kx yk 2 = d(x, y) 2, i,j= i jhb i,b j i = nx i,j= i jha i,a j i d.h. die lineare Abbildung ist eine Isometrie. Zusammenfassend haben wir folgende Situation: Iso( (V )) ( A ( (V )) f = T b lineare Isometrie f = T b invertierbare lineare Abbildung Abbildungsmatrix A 2 O(n) Abbildungsmatrix A 2 GL(n, ) emerkung 2.37 Euklidische Isometrien heißen auch ewegungen. Ist f = T b eine ewegung so heißt f eigentlich bzw. uneigentlich, falls det = bzw. det =.

16 268 2 A ne und euklidische Geometrie 2.7 Quadriken In diesem Abschnitt benutzen wir frühere Ergebnisse, um ein geometrisches Klassifikationsproblem zu lösen. Wir betrachten den Vektorraum V = n versehen mit dem Standard-Skalarprodukt h, i. Entsprechend haben wir dann den a nen Raum n = ( n ) und den euklidischen Raum n = ( n ). Definition 2.38 Sei Q eine quadratische Form im Vektorraum n,b 2 n und 2. Eine Quadrik in n (oder Fläche 2. Grades) ist eine Menge der Form F := {x 2 n Q(x)+2hx, bi = }. In a nen Koordinaten bezüglich der a nen asis {,e,...,e n } haben wir F = {(x,...,x n ) > 2 n nx nx nx a ij x i x j +2 b k x k = }, i= j= k= wobei A =(a ij ) eine reelle symmetrische (n n)-matrix ist, (b,...,b n ) 2 2. n und Sei Q : V! die zu A gehörige quadratische Form und : V! V der zu Q (bzw. A) gehörige selbstadjungierte Endomorphismus. Setzen wir b := (b,...,b n ) und x := (x,...,x n ), so wird F durch folgende Gleichungen beschrieben: x > Ax +2b > x =, Q(x)+2hb, xi = oder auch hx, (x)+2bi =. Eine weitere nützliche Schreibweise für Quadriken ergibt sich, wenn man n als a - nen Unterraum von n+ au asst (siehe eispiel 2.8). Für die Quadrik F definieren wir die erweiterte Matrix A b ea := b >. (2.) Wir haben dann x 2 F () x > e A x =. sind durch F nur bis auf einen gemeinsamen, kon- emerkung 2.39 Q, b und stanten Faktor bestimmt. eispiel 2.4 Kegelschnitte oder Quadriken in 2.. Ellipsen: { x x a 2 x 2 + a 2 2x 2 2 = 2 }.

17 2.7 Quadriken Hyperbeln: { 3. Parabeln: { x x x 2 x a 2 x 2 a 2 2x 2 2 = 2 }. 2 2 a 2 x 2 x 2 =}. Hilfssatz 2.4 (Quadrik als egri der a nen Geometrie) Das ild einer Quadrik unter einer A nität ist wieder eine Quadrik. eweis: Sei f 2 Aff ( n ). Wir fassen n als a nen Unterraum von n+ auf. Dann können wir x = f (y) schreiben als x M c y =, wobei M 2 GL(n, ) und c 2 n ist. Somit haben wir x 2 F () = x > A e x M y = f(x) 2 f(f) () = y > > A c > b > b M c y. Weiter ist M > A c > b > b M c M > AM M > Ac + M > b = c > AM + b > M c > Ac + c > b + b > c (2.2) Diese Matrix kann man au assen als erweiterte Matrix (2.) einer Quadrik. Damit folgt, dass auch f(f) eine Quadrik ist. Mit dem letzten Ergebnis können wir definieren Definition 2.42 Zwei Quadriken F und F 2 in n sind genau dann a n äquivalent, F a F 2, wenn eine A nität f 2 Aff ( n ) existiert, so dass F 2 = f(f ). Weil Aff ( n ) eine Gruppe ist, ist a eine Äquivalenzrelation. Zwei Quadriken F und F 2 in n sind genau dann euklidisch äquivalent, F e F 2, wenn eine euklidische Isometrie f 2 Iso( n ) existiert, so dass F 2 = f(f ). Weil Iso( n ) eine Gruppe ist, ist e eine Äquivalenzrelation. Ziel der folgenden beiden Abschnitte ist es, Quadriken in (für die obigen Äquivalenzrelationen) zu klassifizieren. 3 durch Repräsentanten

18 27 2 A ne und euklidische Geometrie 2.7. Euklidische Klassifikation von Quadriken Wir untersuchen zuerst, ob der lineare Teil durch eine Translation des Koordinatensystems weggescha t werden kann. Wir setzen x = x + c für c =(c,...,c n ) 2 n (c ist dabei als Ortsvektor des Ursprungs des neuen (a nen) Koordinatensystems aufzufassen). Wir formen dazu die Gleichung für F wie folgt um: = hx, (x)+2bi, = hx + c, (x + c)+2bi, = hx, (x )i + hx, (c)i + hx, 2bi + hc, (x )i + hc, (c)i + hc, 2bi, = hx, (x )i +2hx, (c)i +2hx,bi + hc, (c)+2bi, hx, (x )i +2hx, (c)+bi = hc, (c)+2bi. Der lineare Term verschwindet also genau dann, wenn (c) = b. Damit ergeben sich 2 FÄLLE: FALL (I) b 2 ild. Das ist genau dann der Fall, wenn das LGS nx a ik x k = b i, i =, 2,...,n ( ) k= mindestens eine Lösung besitzt. FALL (II) b/2 ild. Das ist genau dann der Fall, wenn das LGS ( ) keine Lösung besitzt (in diesem Fall muss A singulär sein). Im Folgenden diskutieren wir diese beiden Fälle ausführlich für n = 3. Der Fall (I): Flächen mit Zentrum Ist c eine Lösung von ( ) und setzt man x = x + c so ist die Fläche durch die Gleichung hx, (x )i = gegeben. Dabei gilt = hc, (c)+2bi = hc, bi. Insbesondere folgt, dass mit x auch x die Gleichung der Fläche erfüllt: Der Ursprung des neuen Koordinatensystems ist ein sogenanntes Zentrum der Fläche. Nach dem Spektralsatz 9.9 existiert eine ON {a,a 2,a 3 } aus Eigenvektoren der Abbildung mit Eigenwerten, 2, 3. ezüglich dieser asis schreiben wir x = y a + y 2 a 2 + y 3 a 3 (d.h. y,y 2,y 3 sind neue a ne Koordinaten, die durch eine Translation und eine Rotation aus x,x 2,x 3 hervorgehen). Die Gleichung der Fläche lautet dann y y y3 2 =. Wieder sind verschiedene Fälle zu unterscheiden.

19 2.7 Quadriken 27 I.: Alle i 6=,i =, 2, 3. In diesem Fall ist A regulär und das LGS ( ) hat genau eine Lösung, also genau ein Zentrum. I..: = Haben alle i gleiches Vorzeichen, so ist F ein Punkt. Haben nicht alle i gleiches Vorzeichen, also o..d.a. >, 2 > und 3 <, so ist F ein (Doppel-)Kegel mit Spitze in und der 3-Achse als Achse. Wenn = 2, so ist F ein Kreis-Kegel. I..2: 6=(o..d.A. = und 2 3 ). Sind alle i >, so ist F ein Ellipsoid mit Halbachsen / p i. F ist ein Rotationsellipsoid, wenn = 2 oder 2 = 3. Wenn = 2 = 3, so ist F eine Kugel. Falls 2 > > 3, so ist F ein Einschaliges Hyperboloid. Wenn = 2, so ist F rotations-symmetrisch bezüglich der 3-Achse. Falls > > 2 3, so ist F ein Zweischaliges Hyperboloid. Wenn 2 = 3, so ist F rotations-symmetrisch bezüglich der -Achse. I.2: Nicht alle i 6=,i =, 2, 3. In diesem Fall hat das LGS ( ) unendlich viele Lösungen und F hat unendlich viele (Symmetrie-)Zentren. O..d.A. sei 3 =. Die Fläche F wird dann beschrieben durch die Gleichung y y 2 2 =. I.2.: = Seien 6= und 2 6=. Haben und 2 gleiches Vorzeichen, so ist F die 3-Achse. Haben und 2 verschiedenes Vorzeichen, so ist F ein Paar von Ebenen mit der 3-Achse als Schnittgeraden. Sei = oder 2 =. O..d.A. 2 =.Ist 6=, so ist F die (2, 3)-Ebene. Ist =, so ist F = 3. I.2.2: 6= (o..d.a. = und 2 ).

20 272 2 A ne und euklidische Geometrie Falls 2 >, ist F ein Elliptischer Zylinder mit der 3-Achse als Achse. Falls > 2 = ist F ein Paar von parallelen Ebenen. Falls > > 2 ist F ein Hyperbolischer Zylinder mit der 3-Achse als Achse. Der Fall (II): Flächen ohne Zentrum In diesem Fall hat das LGS ( ) keine Lösung. Nach dem Spektralsatz 9.9 existiert eine ON {a,a 2,a 3 } aus Eigenvektoren der Abbildung. Da im vorliegenden Fall A singulär ist, muss mindestens einer der Eigenwerte, 2, 3 gleich Null sein. O..d.A. sei 3 =.Für x = y a +y 2 a 2 +y 3 a 3 und b = c a + c 2 a 2 + c 3 a 3 lautet die Gleichung von F y y (c y + c 2 y 2 + c 3 y 3 )= (dabei muss c 3 6= sein, da sonst ( ) lösbar wäre). Wir machen nochmals Fallunterscheidungen. Wieder sind verschiedene Fälle zu unterscheiden. II.: 6= und 2 6=. In diesem Fall können wir quadratisch ergänzen (Translation): (y + c ) (y 2 + c 2 ) 2 +2c 3 y 3 = + c2 2 + c Setzt man: z := y + c, z 2 := y 2 + c 2 so gilt im neuen Koordinatensystem 2, z 3 := y 3 c 3 ( + c2 z 2 + 2z2 2 +2z 3 = ( i = i,i=, 2). c 3 + c2 2 2 Haben und 2 (und damit auch, 2 ) gleiches Vorzeichen, so ist F ein Elliptisches Paraboloid (mit 3-Achse als Achse) und rotationssymmetrisch genau dann, wenn = 2. Haben und 2 (und damit auch, 2 ) verschiedenes Vorzeichen, so ist F ein Hyperbolisches Paraboloid (mit 3-Achse als Achse). ),

21 2.7 Quadriken 273 II.2: = oder 2 =. O..d.A. sei 2 =. Sei 6=. Dann haben wir zunächst Wir setzen (y + c ) 2 +2(c 2 y 2 + c 3 y 3 )= + c2. u := y + c,u 2 := y 2,u 3 := y 3, (und := + c2 ). Damit erhalten wir als Gleichung für F u 2 +2(c 2 u 2 + c 3 u 3 )=. Eine Drehung um die u -Achse ergibt ein weiteres Koordinatensystem definiert durch u =: v u 2 =: c p 2 c v 2 p 3 v 3 c c 2 3 c c 2 3 u 3 =: c p 3 c v 2 + p 2 v 3 c c 2 3 c c 2 3 ergibt q v 2 +2( c c 2 3)v 2 =. Eine weitere Translation definiert durch ergibt schließlich z := v,z 2 := v 2 2 p c c 2 3,z 3 := v 3 z 2 +2z 2 = mit = p c c 2 3 und F ist ein Parabolischer Zylinder mit 3-Achse als Achse. Ist =, so ist F eine Ebene (c 3 6=). Zusammenfassend haben wir also gezeigt:

22 274 2 A ne und euklidische Geometrie Satz 2.43 Zu einer Quadrik (Fläche 2.Ordnung) F in 3 (verschieden von Punkt, Gerade und Ebene) existiert eine Quadrik F und Translationen bzw. Drehungen um 2 3, f,...,f r, so dass gilt F = f f 2 f r (F) F wird durch eine Gleichung aus der folgenden Liste beschrieben: x 2 + x2 a 2 2 a 2 x 2 3 a 2 = Kegel x 2 a 2 x 2 2 a 2 = Paar sich schneidender Ebenen x 2 + x2 a x2 a a 2 3 = Ellipsoid, Kugel für a = a 2 = a 3 x 2 + x2 a 2 2 a 2 2 x 2 3 a 2 3 = Einschaliges Hyperboloid x 2 a 2 x 2 2 a 2 2 x 2 3 a 2 3 = Zweischaliges Hyperboloid x 2 + x2 a 2 2 a 2 2 = Elliptischer Zylinder x 2 a 2 x 2 2 a 2 2 = Hyperbolischer Zylinder x 2 a 2 = Paar paralleler Ebenen x 2 + x2 a 2 2 a 2 2 =2x 3 Elliptisches Paraboloid x 2 a 2 x 2 2 a 2 2 =2x 3 Hyperbolisches Paraboloid x 2 a 2 =2x 3 Parabolischer Zylinder emerkung 2.44 Die a i in Satz 2.43 sind beliebige reelle Zahlen > ( freie Parameter ).

23 2.7 Quadriken 275 Kegel Paar sich schneidender Ebenen Ellipsoid einschaliges Hyperboloid zweischaliges Hyperboloid

24 276 2 A ne und euklidische Geometrie elliptischer Zylinder hyperbolischer Zylinder parabolischer Zylinder Paar paralleler Ebenen elliptisches Paraboloid hyperbolisches Paraboloid

25 2.7 Quadriken 277 Satz 2.43 können wir auch als Klassifikationsresultat (durch Repräsentanten) formulieren. Satz 2.45 Jede Quadrik F in 3 (F 6= Punkt, Gerade, Ebene) ist euklidisch äquivalent zu einer Quadrik aus der Liste in Satz eweis: Wir müssen noch zeigen, dass keine zwei Quadriken in der Liste von Satz 2.43 euklidisch äquivalent sein können. Dazu sei A bzw. A e die zu einer Quadrik gehörige symmetrische bzw. erweiterte Matrix. Wegen Formel (2.2) sind Rang A und Rang A e a ne Invarianten einer Quadrik. Außerdem ist nach dem Satz über Hauptachsentransformationen 2.5 die Menge der Eigenwerte von A eine euklidische Invariante. Man prüft nun direkt nach, dass diese drei Invarianten für alle Quadriken in Satz 2.43 verschieden sind. eispiel 2.46 Für 2 sei eine Quadrik F 3 gegeben durch die Gleichung 5x 2 +x x 2 3 6x x 2 2x x 3 4x 2 x 3 +4x +x 2 28x 3 =. Die zugehörige symmetrische Matrix A 2 3 und der Vektor b 2 3 sind dann A =(a ij )= 8 2 A, b = 5 A Für die Eigenwerte von A findet man: =9, 2 = 9, 3 =8. Das LGS (x) =Ax = b, also 5x 8x 2 x 3 = 7 8x +x 2 2x 3 = 5 x 2x 2 +2x 3 = 4, hat genau eine Lösung c =(,, ) >, das Zentrum der Fläche F. Um den Typ von F zu bestimmen, muss man Damit haben wir folgendes Ergebnis: berechen: = hc, (c )+2bi = hc,bi = +26. = 26, F ist ein Kegel > 26, F ist ein einschaliges Hyperboloid < 26, F ist ein zweischaliges Hyperboloid Hauptachsen von F = Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten, 2, 3: b = 3 (, 2, 2)>,b 2 = 3 (2,, 2)>,b = 3 (2, 2, )>.

26 278 2 A ne und euklidische Geometrie A ne Klassifikation von Quadriken Manchmal ist man lediglich an der Sylvesterform einer Quadrik interessiert (d.h. nicht unbedingt an den expliziten Werten der Parameter a i in der Liste aus Satz Im eweis von Satz 2.43 haben wir sukzessive eulidische Isometrien (Translationen und Rotationen) verwendet um neue a ne Koordinaten einzuführen, in denen die Quadrik eine immer einfachere Definitionsgleichung besitzt. Will man die Quadriken nur bis auf a ne Äquivalenz bestimmen, hat man die größere Gruppe Aff ( 3 ) zur Verfügung. Wir können also insbesondere durch A nitäten der Form y i := x i a i i =, 2, 3 die Gleichungen aus Satz 2.43 weiter vereinfachen. Damit haben wir dann gezeigt

27 2.7 Quadriken 279 Satz 2.47 Jede Quadrik F in 3 (F 6= Punkt, Gerade, Ebene) ist a n äquivalent zu einer Quadrik aus folgender Liste: y 2 + y 2 2 y 2 3 = Kegel y 2 y 2 2 = Paar sich schneidender Ebenen y 2 + y y 2 3 = Ellipsoid y 2 + y 2 2 y 2 3 = Einschaliges Hyperboloid y 2 y 2 2 y 2 3 = Zweischaliges Hyperboloid y 2 + y 2 2 = Elliptischer Zylinder y 2 y 2 2 = Hyperbolischer Zylinder y 2 = Paar paralleler Ebenen y 2 + y 2 2 =2y 3 Elliptisches Paraboloid y 2 y 2 2 =2y 3 Hyperbolisches Paraboloid y 2 =2y 3 Parabolischer Zylinder eweis: Wir müssen noch zeigen, dass keine zwei Quadriken in der Liste von Satz 2.47 a n äquivalent sein können. Dazu sei wieder A bzw. A e die zu einer Quadrik gehörige symmetrische bzw. erweiterte Matrix. Wegen Formel (2.2) sind Rang A und Rang A e a ne Invarianten einer Quadrik. Außerdem ist nach dem Trägheitssatz von Sylvester 2.7 die Signatur von A eine lineare Invariante. Man prüft nun direkt nach, dass diese drei Invarianten für alle Quadriken in Satz 2.47 verschieden sind. Ist man nur an der a nen Klassifikation interessiert, so gibt es ein einfacheres Verfahren, als das in eispiel 2.46 durchgeführte, nämlich das quadratisches Ergänzen. Dazu zwei eispiele.

28 28 2 A ne und euklidische Geometrie eispiel Für t 2 sei eine Quadrik F t 3 gegeben durch die Gleichung 2x 2 +3x x2 3 +4x x 2 6x x 3 8x 2 x 3 +2tx 3 + t 2 =. Wir beginnen mit 2x 2 und betrachten alle Summanden in denen x als Faktor vorkommt. Durch quadratisches Ergänzen ergibt sich: 2[x 2 +2x (x x 3)+(x x 3) 2 ] 2(x x 3) 2 +3x 2 2 8x 2 x x2 3+2tx 3 +t 2 = also 2(x + x x 3) 2 + x 2 2 2x 2 x 3 2x tx 3 + t 2 =. Jetzt betrachtet man entsprechend x 2 2 und die (restlichen) Summanden in den x 2 vorkommt und ergänzt quadratisch: 2(x + x x 3) 2 +(x 2 2 2x 2 x 3 + x 2 3) 3x tx 3 + t 2 =. Eine letzte quadratische Ergänzung ergibt: 2(x + x x 3) 2 +(x 2 x 3 + x 3 ) 2 3(x 3 3 t) t2 =. Definiert man eine a ne Koordinaten-Transformation durch: y := p 2(x + x x 3) y 2 := x 2 x 3 y 3 := p 3(x 3 3 t), so lautet die Gleichung für F t in den neuen Koordinaten y 2 + y2 2 y t2 =. Damit haben wir folgendes Ergebnis: t =, F ist ein Kegel t 6=, F t ist ein zweischaliges Hyperboloid 2. Die Quadrik F sei gegeben durch x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 +2x =.

29 2.7 Quadriken 28 Um quadratisch ergänzen zu können, brauchen wir quadratische Terme. Diese verscha en wir uns durch folgenden Trick. Wir machen die (lineare) Koordinatentransformation x := y y 2 x 2 := y + y 2 x 3 := y 3. Damit lautet die Gleichung von F Jetzt kann man quadratisch ergänzen: y 2 y y y 3 +2y 2y 2 =. y 2 +2y (y 3 +)+(y 3 +) 2 (y 3 +) 2 y 2 2 2y 2 =, (y + y 3 +) 2 (y 2 +) 2 (y 3 +) 2 =. Macht man schließlich noch die a ne Koordinatentransformation z := y + y 3 z 2 := y 2 + z 3 := y 3 +, so erhält man als Ergebnis z 2 z2 2 z3 2 =, d.h. F ist ein Kegel.