Anfänger-Praktikum II. Praktikumsbericht: Schwingkreis Schwingungssiebe

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1 Anfänger-Praktikum II Praktikumsbericht: Schwingkreis Schwingungssiebe Michael Seidling Timo Raab Sommersemester 13. Juli 2012

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Grundlagen Gleichstromwiderstand Wechselstromwiderstand Ein Ohmscher Widerstand im Wechselstrom Ein Kondensator im Wechselstrom Eine Spule im Wechselstrom Ladevorgang eines Kondensators Energie elektrische Feldenergie eines Kondensators magnetische Feldenergie einer Spule Schwingkreis Schwingungsgleichung Erzwungene Schwingung induktive Kopplung RC-Hochpass/Tiefpass LC-Hochpass/Tiefpass Versuch Aufbau & Durchführung Schwingkreis Versuchsteil 1: langsame angestoßene gedämpfte Schwingungen Versuchsteil 2: angestoßene gedämpfte Schwingungen Versuchsteil 3: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven und Phasenverschiebung Auswertung Versuchsteil Versuchsteil Versuchsteil Aufbau & Durchführung Schwingungssiebe Versuchsteil 1: Zeitkonstante eines RC-Gliedes Versuchsteil 2: RC-Hoch- und -Tiefpass Versuchsteil 3:LC-Hoch- und -Tiefpass Auswertung Berechnung der Zeitkonstanten τ Durchlasskurven der RC- / LC-Kombinationen Fehlerbetrachtung Fragen & Aufgaben 23 5 Anhang 25 Literaturverzeichnis

3 2 GRUNDLAGEN 1 Einführung Im Versuch Elektrischer Schwingkreis soll untersucht werden, wie eine Umwandlung zwischen elektrostatischer Energie und magnetischer Energie abläuft. Ebenso wird der Einfluss von Dämpfung und einer äußeren Kraft betrachtet. In dem Versuch Schwingungssiebe sollen verschiedene Kombinationen von Spulen, Widerständen und Kondensatoren beobachtet werden. Insbesondere geht es darum, dass bei einem beliebigen Wechselstromsignal, mit Hilfe einer geeigneten Schaltung, bestimmte Frequenzanteile ausgewählt werden können. 2 Grundlagen 2.1 Gleichstromwiderstand Wenn man Gleichstrom durch einen Leiter schickt, der dem Ohmschen Gesetz folgt, dann sieht man, dass das Verhältnis der Spannung U und der Stromstärke I einen konstanten Wert ergibt. Dieser Wert ist abhängig von den Eigenschaften des Leiters und heißt Gleichstromwiderstand R. Diesen Wert kann man auch über die geometrischen Abmessungen des Körpers, wie in Bild (1) zu sehen ist, und einer Materialkonstanten, dem spezifischen Widerstand ρ, bestimmen: R = U I = const. (1) R = ρ l A (2) Abbildung 1: Abmessungen des Leiters 2.2 Wechselstromwiderstand Wenn man an einen Widerstand nun Wechselstrom anschließt, ändert sich permanent die Momentanspannung am Widerstand. Bei sinusförmigem Wechselstrom ist der Quotient von der effektiv Spannung U eff und der effektiven Stromstärke I eff der Scheinwiederstand Z. Z = U eff I eff (3) 3

4 2 GRUNDLAGEN Da es zu einer Phasenverschiebung ϕ zwischen maximaler Spannung und maximaler Stromstärke kommen kann, wird der Scheinwiderstand als komplexe Zahl betrachtet und wird Impedanz Z genannt: Z = Z e jφ (4) In der komplexen Zahlenebene kann man die Impedanz auftragen und erhält somit die komplexe Widerstandsebene mit: Z = R + jx (5) Wobei R = R(Z) Wirkwiderstand, und X = I(Z) Blindwiderstand heißt Ein Ohmscher Widerstand im Wechselstrom Wird an einen ohmschen Widerstand eine Wechselspannung U(t) angelegt, dann wird das Ohmsche Gesetz nicht verletzt. Das bedeutet, dass sich der Widerstand zu jeder Zeit t so verhält, wie er sich beim Anlegen einer Gleichspannung verhalten würde: U R (t) = R I R (t) (6) Wird beispielsweise eine sinusförmige Wechselspannung angelegt gilt: U R (t) = U 0 sin(ωt) (7) (6) I R (t) = U 0 sin(ωt) (8) R mit ω = 2πf. Der Ohmsche Widerstand wandelt elektrische Energie, wenn Strom durch ihn fließt, in z.b. Wärme um. Deshalb spricht man von dem Wirkwiderstand Ein Kondensator im Wechselstrom Wenn an Kondensator eine Wechselspannung anliegt, kommt es zum ständigen laden, bzw. entladen des Kondensators, wobei die Frequenz der Wechselspannung ausschlaggebend ist. Es scheint, als ob der Wechselstrom durch den Kondensator fließt, obwohl bei Gleichstrom der Strom nie durch den Kondensator fließen könnte. Das liegt daran, dass sich die Elektronen immer hin und her bewegen. Für den Strom durch den Kondensator können wir also sagen: I C (t) = Q(t) = d(u C(t) C) dt = C U C (t) (9) Betrachten wir nun die gleiche sinusförmige anregende Spannung wie beim Ohmschen Widerstand ergibt sich: U C (t) = U 0 cos(ωt) (10) = U 0 sin(ωt π 2 ) I C(t) = U 0 Cω sin(ωt) (11) 4

5 2 GRUNDLAGEN Man sieht, dass der Strom neben seiner Ursprungsspannungsamplitude noch von der Kapazität C sowie der Kreisfrequenz ω abhängt. Der Kondensator beeinflusst also das Verhältnis zwischen Spannungsamplitude und Stromamplitude. Man kann also behaupten, dass der Kondensator einen Widerstand für Wechselstrom hat. Man nennt ihn kapazitiven Blindwiderstand X C : X C = 1 ωc Zudem erkennt man, dass die Spannung am Kondensator der Erregerspannung und dem Strom um π verschoben folgt. Man kann um leichter zu rechnen den kapazitiven 2 Blindwiderstand auch schreiben: Eine Spule im Wechselstrom (12) X C = i ωc Liegt an einer Spule eine Gleichspannung an, wird ein Magnetfeld im inneren der Spule aufgebaut, nach dem Faradayschen Induktionsgesetz gilt: (13) U L (t) = n Φ(t) (14) = n d(b(t)a) dt (15) n 2 = nµ 0 µ r l A I L (t) (16) = LI L (t) (17) n wobei L := µ 0 µ 2 r A die Induktivität der Spule ist.n die Windungszahl, A die Fläche l und l die Länge der Spule. µ 0 ist die magnetische Feldkonstante und µ r die Permeabilitätszahl. B ist die Magnetische Flussdichte und Φ der magnetische Fluss. Haben wir nun den selben Stromverlauf, wie bei dem Kondensator oder dem Ohmschen Widerstand ergibt sich: I L (t) = I 0 sin(ωt) (18) U L (t) = I 0 L d(sin(ωt)) (19) dt = I 0 lω sin(ωt + π 2 ) (20) Man sieht, wie bei dem Kondensator, dass das Verhältnis zwischen Spannungsamplitude und Stromamplitude beeinflusst wird. Man hat nun einen induktiven Blindwiderstand X L X L = ωl (21) bzw. = iωl (22) um wieder einfacher mit der Phasenverschiebung umgehen zu können. 5

6 2 GRUNDLAGEN Betrachtung im Komplexen Bisher wurde nur gesagt, dass man den Blindwiderstand als Imaginärteil betrachten soll. Um damit aber anständig zu rechnen sollte man den Strom und die Spannung auch umschreiben: I(t) = I 0 e iωt (23) U R (t) = RI 0 e iωt (24) U C (t) = i ωc I 0e iωt (25) U L (t) = iωli 0 e iωt (26) Für die reale Spannung und Stromstärke ist nur den Realteil ausschlaggebend. Der Vorteil der komplexen Betrachtung liegt darin, dass man sich nicht mit Phasenverschiebungen auseinandersetzen muss und dass man ganz einfach den komplexen Gesamtwiederstand einer Schaltung berechnen kann. Diese Größe bezeichnet man als Impedanz Z: Z = R + ix (27) Wobei R = R(Z) der Wirkwiderstand ist, und X = I(Z) der gesamte Blindwiderstand. Der Betrag von Z wird Scheinwiderstand Z genannt und man kann Z so auch in der Polarform angeben: Das Ohmsche Gesetz gilt im Komplexen immer noch. 2.3 Ladevorgang eines Kondensators Z = Z e iφ (28) mit : Z = R 2 + X 2 (29) ( ) X ϕ = arctan (30) R Wird ein Kondensator, wie in Bild (2), über eine konstante Gleichspannung U Quelle geladen, steigt die Spannung exponentiell gegen einen Grenzwert U 0, ebenso ist dies beim entladen, wie in Bild (3) dargestellt ist. Für die jeweiligen Spannungen im Stromkreis Abbildung 2: Schaltplan zum Laden eines Kondensators 6

7 2 GRUNDLAGEN gilt: U Quelle (t) = U 0 beim Ladevorgang (31) U Quelle (t) = 0 beim Entladevorgang (32) U R (t) = R I(t) (33) = R Q(t) (34) U C = Q(t) C wobei U 0 die angelegte Spannung, R der Ohmsche Widerstand und C die Kapazität des Kondensators ist. Da die Spannungen nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz in Verbindung zueinander stehen, erhält man folgende Differentialgleichung: (35) U Quelle = U R + U C (36) U Quelle = R Q(t) + Q(t) C Diese Differentialgleichung löst man mit exponentiellem Ansatz und erhält: ( ) U Quelle = U 0 1 e t RC und für den Entladevorgang gilt: (37) (38) U Quelle = U 0 e t RC (39) Man stellt fest, dass RC eine zeitlich Konstanter Wert ist und nur von der Art der Bauteile abhängt. Man nennt sie Zeitkonstante des RC-Gliedes τ. Sie sagt, dass nach der Zeit τ der Ladevorgang zu 1 1 abgeschlossen ist. e Abbildung 3: (Ent-)Ladekurve eines Kondensators 7

8 2 GRUNDLAGEN 2.4 Energie elektrische Feldenergie eines Kondensators Ein Kondensator besteht aus 2 nicht miteinander verbundenen Elektroden. Er besitzt die Fähigkeit elektrische Ladung zu speichern. Somit wird ein Elektrisches Feld zwischen den Elektroden aufgebaut, in dem Energie gespeichert ist. Zwischen den beiden Elektroden liegt eine Spannung U an, diese ist proportional zur Ladung Q auf der Elektrode: C = Q U = const. (40) Wobei C die Kapazität des Kondensators ist. Bei dieser Spannung U ist dann die Feldenergie W E : W E = 1 2 CU 2 (41) magnetische Feldenergie einer Spule Eine Spule besteht aus Wicklungen in einem Leiter. Durch Strom, der durch diese Spule fließt, baut sich im inneren ein Magnetfeld auf. In diesem Magnetfeld ist die Energie W B gespeichert. Diese hängt von der spezifischen Eigenschaft der Spule, der Induktivität L, und der Stromstärke I ab: 2.5 Schwingkreis W B = 1 2 LI2 (42) In einem Schwingkreis ist eine Spule, mit Induktivität L, und ein Kondensator, mit Kapazität C, in Reihe geschaltet. Lädt man den Kondensator auf und trennt die Stromquelle, stellt man fest, dass die Spannung am Kondensator sinusförmig verläuft. Das liegt daran, dass bei der Entladung des Kondensators Strom durch die Spule fließt und sich so ein Magnetisches Feld aufbaut. Nach nach der Lenzschen Regel, fließt der Strom beim Abbau des Magnetfeldes in die selbe Richtung weiter, wie in Bild (4) veranschaulicht wird, und lädt den Kondensator entgegen seiner ursprünglichen Polung wieder auf. Jedoch geht ein bisschen Energie verloren, da an der Spule aufgrund des Ohmschen Widerstandes etwas Energie in Wärme umgewandelt wird. 8

9 2 GRUNDLAGEN Abbildung 4: Skizze eines Schwingkreises Schwingungsgleichung Wenn man nun noch mittels eines Ohmschen Widerstandes R dämpft, erkennt man den Zusammenhang: U L (t) + U R (t) + U C (t) = 0 (43) Q + R L Q + 1 LC Q = 0 (44) Damit erhält man eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die wir im folgenden abkürzen: β := R 2L (45) ω 0 := 1 LC wobei β die Dämpfungskonstante und ω 0 die Eigenfrequenz des gedämpften Systems ist. Diese Differentialgleichung erinnert stark an die Differentialgleichungen bei der Mechanischen Schwingung. Wir nehmen den komplexen Ansatz: (46) Q(t) = Q 0 e λt (47) wobei Q 0 die Anfangsladung ist. Wir erhalten die beiden Lösungen: Q(t) = Q o e βt e ±jt ω 2 0 β2 (48) Aus diesen beiden Lösungen lässt sich für jedes Problem, wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind die Lösung darstellen. Man unterscheidet in 3 Fälle: Schwingfall: (β 2 < ω 2 0) Es entsteht eine Schwingung, bei der die Amplitude nachlässt: Q(t) = Q 0 e βt a sin ωt + ϕ (49) 9

10 2 GRUNDLAGEN wobei ω = ω 2 0 β 2 und a undϕ zwei reelle Konstanten sind die durch die Anfangsbedingung gegeben sind. Das gedämpfte System schwingt also mit einer kleineren Frequenz wie das ungedämpfte System. Die Spannung am Kondensator und die Stromstärke sind auch sinusförmig, da gilt: U c (t) = Q(t) C (50) I(t) = Q(t) (51) Im Experiment kann man die Dämpfungskonstante β über das Logarithmische Dekrement Λ und der Periodendauer T ermitteln: wobei : Λ = ln Λ = βt (52) Ûn Û n+1 (53) aperiodischer Grenzfall: (β 2 = ω 2 0) In diesem Fall geht die Ladung schnellst möglich gegen 0. Es kommt zu keiner Schwingung, jedoch ist ein Nulldurchgang möglich. Da die Wurzel in diesem Fall 0 ist muss man die zweite linear unabhängige Lösung noch suchen. Dies geschieht durch Variation der Konstanten. Man erhält: Q(t) = (a + bt)e βt (54) wobei a und b durch die Anfangsbedingungen gegeben sind. Kriechfall: (β 2 langsam auf 0: > ω 2 0) Es gibt keine Schwingung Ladung und Spannung fallen Q(t) = e βt (ae t ω 2 0 β2 + be t ω 2 0 β2 ) (55) wobei a und b durch die Anfangsbedingungen gegeben sind Erzwungene Schwingung Wenn man an einen Schwingkreis eine sinusförmige Wechselspannung U err = U err,0 sin(ω err t) anlegt, so entsteht eine erzwungene Schwingung. Um dies zu beschreiben muss man die inhomogene Differentialgleichung lösen: U C (t) = U C,homogen (t) + U err (t) (56) lim U C(t) = U err (t) = U C,0 sin(ω err t ϕ) (57) t ω0 2 mit : U C,0 = U err,0 (ω 2 0 ωerr) β 2 ωerr ( ) 2 2βωerr ϕ = arctan (ω0 2 ωerr) 2 (58) (59) 10

11 2 GRUNDLAGEN wobei ϕ die Phasenverschiebung von der erregenden Schwingung zu der Eigenschwingung ist. Es gibt verschiedenen Möglichkeiten einen Schwingkreis anzuregen, wie in Bild (5) gezeigt: Abbildung 5: erzwungene Schwingung am Schwingkreis Im Falle von der Parallelschaltung kommt es bei der Resonanzfrequenz zu einer maximalen Stromstärke. Bei einer Reihenschaltung ist die Spannung maximal. In jedem Fall ist die Phasenverschiebung 0 und die Resonanzfrequenz ist ω = ω 2 0 2β induktive Kopplung Sind zwei oder mehrere Stromkreise durch den Magnetischen Fluss verbunden, d.h. Strom in einem der Stromkreise hat über den magnetischen Fluss Einfluss auf die anderen Stromkreise und dort wird Strom induziert. wie es zum Beispiel bei einem Transformator der Fall ist. 2.7 RC-Hochpass/Tiefpass Eine RC-Hochpass/Tiefpass Schaltung ist eine Reihenschaltung eines Kondensators und einem Ohmschen Widerstand. Sie unterscheiden sich lediglich an der Abnahme der Ausgangsspannung, wie im Bild (6) gezeigt. Greift man über dem Ohmschen Widerstand ab erhält man einen RC-Hochpass, über dem Kondensator einen RC-Tiefpass. Denn der Blindwiederstand eines Kondensators, wie in Gleichung (13) gezeigt, hängt von der Kreisfrequenz des Erregers ab, so wird das Ausgangssignal auch frequenzabhängig. Man kann also je nach Schaltung die hohen oder die tiefen Frequenzen unterdrücken. 11

12 2 GRUNDLAGEN (a) Hochpass (b) Tiefpass Abbildung 6: RC-Schaltpläne Für den RC-Hochpass gilt: Für den RC-Tiefpass gilt: U 3 U 1 = U 3 U 1 R (60) R + X C R = R + 1 (61) iωc = ( 1 ωrc ) 2 (62) U 4 = X C (63) U 1 R + X C 1 iωc = R + 1 (64) iωc U 4 = 1 (65) 1 + (ωrc) 2 U 1 Man erhält nach Gleichung (30) somit eine Phasenverschiebung von: ( ) 1 Hochpass : ϕ = arctan ωrc (66) Tiefpass : ϕ = arctan ( ωrc) (67) Besondere Bedeutung hat die sogenannte Grenzfrequenz ω gr. Dort ist der Wert für das Verhältnis Ausgangsspannung zu Eingangsspannung genau 1 2 und aus Gleichungen (62) und (65) folgt: ω gr = 1 RC = 1 τ (68) 12

13 2 GRUNDLAGEN 2.8 LC-Hochpass/Tiefpass Ebenso ist es möglich Frequenzfilter aus einer Spule und einem Kondensator, welche in Reihe geschaltet sind, bauen. Man hat wieder 2 Möglichkeiten die Spannung abzugreifen, an der Spule (Hochpass) oder am Kondensator (Tiefpass), wie in Bild (7) dargestellt. Man erhält ebenso die Gleichungen: (a) Hochpass (b) Tiefpass Abbildung 7: LC-Schaltpläne LC Hochpass : U 5 = U 1 U 5 U 1 LC Tiefpass : U 6 = U 1 U 6 U 1 X L X L + X C (69) = ω 2 LC (70) X C X L + X C (71) = 1 1 ω 2 LC Zu einer Phasenverschiebung, zwischen Erreger und Ausgangsfrequenz kommt es in diesem Fall nicht. Ein besonders starkes Ausgangssignal kommt bei der Grenzfrequenz ω gr zustande, wenn der Nenner 1 ergibt. Dies ist der Fall bei: (72) ω gr = 1 LC (73) Es ist also nicht nur eine Filterung möglich, sondern auch eine Überhöhung des Ausgangssignals bei idealisierten Bedingungen um ω gr. 13

14 3 VERSUCH 3 Versuch 3.1 Aufbau & Durchführung Schwingkreis Versuchsteil 1: langsame angestoßene gedämpfte Schwingungen Wir bauen eine Schaltung nach Bild (8) und zeichnen den Spannungsverlauf auf. Abbildung 8: Schaltplan für Versuchsteil Versuchsteil 2: angestoßene gedämpfte Schwingungen In der Schaltung nach Bild (9) bestimmen wir, bei einer Rechteck -Spannung, für 3 verschiedene Werte von dem regelbaren Widerstand R jeweils die Schwingzeit T und das Dämpfungsverhältnis k zweier aufeinander folgender Maxima. Abbildung 9: Schaltplan für Versuchsteil Versuchsteil 3: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven und Phasenverschiebung In dem Schaltplan (10) sind die beiden Spulen induktiv gekoppelt wobei eine mit Sinus - Spannung angeregt wird. Wir messen, bei 3 verschiedenen Werten von dem regelbaren Widerstand R, die Amplitude am Kondensator sowie die Phasenverschiebung. 14

15 3 VERSUCH 3.2 Auswertung Versuchsteil 1 Abbildung 10: Schaltplan für Versuchsteil 3 Aus den aufgenommen Kurven bestimmen wir die Periodendauer T aus der Schreibgeschwindigkeit v und der Strecke s zwischen 2 Nullstellen. Daraus lässt sich dann die Frequenz f bestimmen: mit der Genauigkeit von: f = 1 T = 1 v s (74) δf = f s δs = 1 δs (75) vs2 Und das Dämpfungsverhältnis k berechnet man aus den Verhältnis 2 aufeinanderfolgender Maxima: k = M n M n+1 (76) Für den Fehler wird die Standartabweichung genommen. Man erhält dann: Frequenz f in δ f Theoretische Dämpfungsverhältnis δk in Hz in Hz Frequenz k Spule 1 0,95 ±,2 0,95 1,81 ±0,09 Spule 2 1,89 ±0,3 1,91 1,8 ±0,1 Tabelle 1: Dämpfungsverhältnis und Frequenz Aus der Frequenz und dem Dämpfungsverhältnis lässt sich die Dämpfungskonstante β berechnen: β = f ln k (77) δβ = β k δk + β f δf = f δk + ln k δf (78) k 15

16 3 VERSUCH Aus β lässt sich dann mit der Induktivität L der Spule der Gesamtwiderstand des Schwingkreises berechnen: R G = β 2L (79) δr = R G β δβ = 2L δβ (80) β in N s m 1 δβ R G in Ω δr G Spule 1 0,56 ±0, ±198 Spule 2 1,1 ±0,4 357 ±120 Tabelle 2: Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand Der Gesamtwiderstand ist im Vergleich zu den angegebenen 280Ω bzw. 140Ω ist unser gesamte Widerstand um einiges größer. Vermutlich liegt das daran, dass die Spule warm wurde und so der Widerstand zunimmt, da der Spezifische Widerstand von Kupfer mit der Temperatur zunimmt. Natürlich haben die anderen Bauteile auch einen Widerstand, aber dieser ist so gering, dass das keine Erklärung für diese große Differenz Versuchsteil 2 Aus Gleichung 46 und der bekannten Kapazität C sowie mit der gemessenen Periodendauer T lässt sich die Induktivität der Spule berechnen. Man erhält eine Induktivität von: C = 0, 01µFT = 66 ± 3µsL = T 2 (2π) 2 C δl = L T δt = L = 11 ± 1, 2mF T 2π 2 C Mit den selben Gleichungen wie bei Versuchsteil 1 berechnet man k,β und R G : Geregelter Widerstand R Dämpfungsverhältnis k δk β δβ R G δr G in Ω in kn s m 1 in Ω 50 1,8 0,2 8,6 2, ,9 0,3 9,5 2, ,6 0,4 14,3 2, (81) Tabelle 3: Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand Man sieht, dass bei dem großen Regelwiderstand das Ergebnis sehr nahe an dem eingestellten Widerstand. Bei kleinen Widerständen sind die Stromstärken so groß, das sich die Leitungen erhitzen und so der Widerstand steigt. 16

17 3 VERSUCH Versuchsteil 3 Bei dem angeregten Schwingkreis wurde die Resonanzkurve aufgenommen, zudem wurde die Phasenverschiebung notiert. Abbildung 11: Resonanzkurve Man sieht, dass das Amplituden Maximum bei größeren R bei einer niedrigeren Kreisfrequenz ist als bei kleineren. Jedoch ist die Phasenverschiebung immer an der selben Stelle. Wie es nach der Theorie zu erwarten war. Abbildung 12: Phasenverschiebung bei verschiedenen Erregerfrequenzen 17

18 3 VERSUCH 3.3 Aufbau & Durchführung Schwingungssiebe Versuchsteil 1: Zeitkonstante eines RC-Gliedes Wir bestimmen in dem Aufbau nach Bild (2) die Zeitkonstante τ bei 5 verschiedenen Kombinationen aus Kondensatoren und Ohmschen Widerständen. Dazu benutzen wir die Rechteckspannung am Funktionsgenerator Versuchsteil 2: RC-Hoch- und -Tiefpass In dem Aufbau nach Bild (6) mit einem Widerstand von R = 600Ω, einem beliebigen Kondensator und einer sinusförmigen Erregerspannung nehmen wir eine Durchlasskurve für den RC-Hoch- und Tiefpass auf. Dabei messen wir die Phasenverschiebung unterhalb der Grenzfrequenz, bei der Grenzfrequenz und oberhalb der Grenzfrequenz Versuchsteil 3:LC-Hoch- und -Tiefpass In der Schaltung nach Bild (7) mit einem Kondensator mit C 27nF, einem Widerstand von R = 600Ω und einer beliebigen Spule messen wir das Spannungsverhältnis zuerst ohne den angeschlossenen Widerstand und nehmen anschließend, mit Widerstand, ebenso die Durchlasskurven auf und bestimmen die Phasenverschiebung unterhalb der Grenzfrequenz, bei der Grenzfrequenz und oberhalb der Grenzfrequenz. 18

19 3 VERSUCH 3.4 Auswertung Berechnung der Zeitkonstanten τ Da wir die Halbwertszeit T 1 gemessen haben, müssen wir diesen Wert umrechnen. Nach 2 der Halbwertszeit liegt die Hälfte der maximalen Spannung am Kondensator an. Nach der Zeit τ liegt 1 der Maximalen Spannung an. e U(t) = U 0 (1 e t τ ) (82) U(T 1 ) = U T = U 0 (1 e τ ) (83) τ = T 1 2 ln 2 (84) mit der Genauigkeit: τ δτ = δt 1 2 T 1 2 = δt 1 2 ln 2 (85) Kombination R in Ω C in nf τ theo in µs τ exp in µs δτ exp in µs ,0 23,1 ± ,8 31,7 ± ,0 43,3 ± ,5 14,4 ± ,5 20,0 ± 2 Tabelle 4: Theoretische und experimentell Zeitkonstanten Durchlasskurven der RC- / LC-Kombinationen Die Durchlasskurven werden logarithmisch aufgetragen. Die Genauigkeit berechnet sich: δ U E U E U = A U A U A δu U E U A + A U E δu E = 1 δu A + U A δu E (86) U E Dabei wird die Frequenz als genau angenommen, da das Oszilloskop und der Frequenzgenerator fast immer identische Werte lieferten. U 2 E 19

20 3 VERSUCH Abbildung 13: Durchlasskurve der RC-Kombinationen Die Grenzfrequenz liegt nach Gleichung 68 bei f gr = 10610Hz Während dem Versuch nahmen wir an sie liegt bei 11000Hz in Bild 13 ist sie als x-wert des Schnittpunktes der Durchlasskurven abzulesen. Phasenverschiebung in Frequenz Hochpass Tiefpass f 1 = 4kHz f gr 60 ± 5 20 ± 4 f 1 = 20kHz f gr 25 ± 4 61 ± 2 f 1 = 11kHz f gr 47 ± 3 44 ± 3 Tabelle 5: Gemessene Phasenverschiebung bei RC-Hoch- und RC-Tiefpass Kommentar zu der Phasenverschiebung Bei dem Hochpass und dem Tiefpass ist die Phasenverschiebung bei der Grenzfrequenz bei 45. Jedoch verhalten sich Hoch- und Tiefpass genau unterschiedlich, wenn man die Frequenz erhöht, senkt. Die Phasenverschiebung beim Tiefpass nähert sich 90 wenn man die Frequenz erhöht und 0 wenn man die Frequenz senkt. Bei dem Hochpass ist dies genau umgekehrt. Da bestätigen auch unsere Messwerte: 20

21 3 VERSUCH Abbildung 14: Durchlasskurve der LC-Kombinationen Die Grenzfrequenz f 0 bei der LC-Kombination ist ebenso im Bild 14 als x-wert des Schnittpunktes der Durchlasskurven abzulesen. In der Theorie berechnet er sich nach Gleichung 73: f 0 = 10065Hz womit wir mit unserer Auswertung im Versuch von 10000Hz sehr genau bei der theoretischen Grenzfrequenz. Phasenverschiebung in Frequenz Hochpass Tiefpass f 1 = 4kHz f ± 8 23 ± 3 f 1 = 20kHz f 0 40 ± ± 4 f 1 = 10kHz f 0 90 ± 2 77 ± 3 Tabelle 6: Gemessene Phasenverschiebung bei LC-Hoch- und LC-Tiefpass Kommentar zu der Phasenverschiebung An der Grenzfrequenz ist bei Hoch- und Tiefpass die Phasenverschiebung 90. Hoch- und Tiefpass verhalten sich bei der Frequenz Erhöhung, Senkung wieder entgegengesetzt. Der Hochpass nähert sich für höheren Frequenzen 90 an und für niedrige 90. Der Tiefpass reagiert genau andersherum. Das stimmt auch mit unseren gemessenen Werten überein: 21

22 3 VERSUCH 3.5 Fehlerbetrachtung Vergleicht man bei den Durchlasskurven die Messwerte mit den Theoriekurven sieht man, dass die Messwerte bei niedrigen Ausgangsspannungen nicht sehr gut sind. Das kann daran liegen, dass unsere Schaltungen nicht so optimal funktionieren wie es die Theorie vorhersagt. Dennoch ist es möglich diese Schaltungen als Frequenzfilter zu benutzen, da die nicht gewollten Frequenzen auf ein Minimum gesenkt werden und die gewollten mit voller Intensität durchgelassen werden. Die Zeitkonstanten der Schaltungen sind auch im Rahmen unserer Genauigkeit bestimmt worden. Um die Durchlasskurven besser nähern zu können wären mehrere Messpunkte nötig gewesen. Ebenso wären höhere und niedrigere Frequenzen interessant gewesen. Bei dem Versuch Schwingkreis hatten wir bei Versuchsteil 1 unerklärliche Messwerte, aber bei einem erneuten Durchführen kamen wir auf die jetzigen Werte. Diese Werte sind realistisch und auch zu erklären. Jedoch wäre es besser gewesen einen Widerstand in den Schwingkreis einzubauen, da dann die Kabel nicht so heiß werden würden und der Gesamtwiderstand näher an den Werten der Bauteile liegen. Ebenso ist dies bei Versuchsteil 2 besser große Widerstände zu benutzen. Alles in allem sind die Messwerte aber gut. 22

23 4 FRAGEN & AUFGABEN 4 Fragen & Aufgaben Schwingkreis 1 Ist die in diesem Experiment mit dem Oszilloskop erzielte Messgenauigkeit ausreichend, um die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Dämpfung zu bestimmen? Nein, denn um die Abhängigkeit sichtbar zu machen, müsste man die Dämpfung durch große Widerstände erhöhen. Wird dies aber getan, so ist die Amplitude der Schwingung nicht mehr auf dem Oszilloskop zu erkennen oder ist wegen Störsignalen nicht mehr erkennbar. Schwingkreis 2 Beweisen Sie, dass das sog. Spannungsresonanzmaximum für die Spannung UC am Kondensator bei ω err = ω0 2 β 2 liegt. In Gleichung 58 suchen wir das Maximum in Abhängigkeit von ω: 0! = U C,0 ω err (87) 0! = U err,0 2ω2 0ω err (ω 2 0 2β 2 ω 2 err) (ω 2 0 ω 2 err) 2 + 4β 2 ω 2 err3 (88) = ω err,1 = 1 (89) & 0 = ω0 2 ωerr 2 + 2β (90) = ω err,2;3 = ± ω0 2 β 2 (91) Physikalisch relevant ist nun, dass das Maximum entweder bei ω err = ω 2 0 β 2 liegt, da die negative Lösung nur mathematisch Sinn macht, oder bei ω err = 0, wenn β groß genug ist. Schwingkreis 3 Beweisen Sie, dass im Gegensatz zur vorhergehenden Aufgabe das Stromresonanzmaximum bei ω res = ω 0 liegt. Für den Strom gilt nach Gleichung 51 und 50: I(t) = C U err (t) = C U err,0 ω err cos (ω err t ϕ) (92) = I(ω) = Cω err U err,0 ω 2 0 (ω 2 0 ω 2 err) 2 + 4β 2 ω 2 err (93) 23

24 4 FRAGEN & AUFGABEN Sucht man die Maxima: 0 =! I ω err (94) Cω0 2 (ω0 4 ω 4 0 = U err,0 err) (ω 2 0 ωerr) β 2 ωerr3 2 (95) = 0 = ω 4 0 ω 4 err (96) = ω err = ±ω 0 (97) Wobei die negative Lösung nur mathematische Bedeutung hat und physikalisch irrelevant ist. Schwingkreis 4 Warum muss bei der induktiven Ankopplung des Erregerkreises an den Schwingkreis die gegenseitige Induktivität der Spulen klein gegen die Selbstinduktivität der Spule im Schwingkreis sein? Um eine Rückkopplung zu vermeiden, denn wäre die gegenseitige Induktivität groß, so würde der Schwingkreis einen nicht vernachlässigbaren Teil der Energie an den Sinusgenerator abgeben, welche beim eigentlichen Schwingvorgang dann fehlt. 24

25 Literatur 5 Anhang Abbildungsverzeichnis 1 Abmessungen des Leiters Schaltplan zum Laden eines Kondensators (Ent-)Ladekurve eines Kondensators Skizze eines Schwingkreises erzwungene Schwingung am Schwingkreis RC-Schaltpläne LC-Schaltpläne Schaltplan für Versuchsteil Schaltplan für Versuchsteil Schaltplan für Versuchsteil Resonanzkurve Phasenverschiebung bei verschiedenen Erregerfrequenzen Durchlasskurve der RC-Kombinationen Durchlasskurve der LC-Kombinationen Tabellenverzeichnis 1 Dämpfungsverhältnis und Frequenz Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand Theoretische und experimentell Zeitkonstanten Gemessene Phasenverschiebung bei RC-Hoch- und RC-Tiefpass Gemessene Phasenverschiebung bei LC-Hoch- und LC-Tiefpass Literatur Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung. Universität Konstanz, 2012, Abbildung (3) Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008 Dekorsy, Thomas/Nowak, Ulrich: Mitschrift des IK 2. Markus Gruber, 2010 Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2008 Internet: Internet: 25