Auswertung: Wärmekapazität

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1 Auswertung: Wärmekapazität M. Axwel & Marcel Köpke

2 Inhaltsverzeichnis spezische Wärmekapazität von Aluminium und Kupfer 3. einzelnes Metallstück Diskussion der Messwerte Granulat Diskussion der Messwerte Temperaturabhängigkeit der spezischen Wärmekapazität 9 2. Besprechung der Messwerte Fehlerrechnung systematischer Fehler statistischer Fehler

3 spezische Wärmekapazität von Aluminium und Kupfer Wie in der Vorbereitung beschrieben führten wir die Messung der spezischen Wärmekapazität von Aluminium und Kupfer aus. Allerdings verwendeten wir 2 Methoden. Einmal mit einem soliden Metallstück und einmal mit Granulat. Zuvor bestimmten wir jedoch mit einer Wasser-Wasser Mischung die Wärmekapazität des Kalorimeters. Dabei verwendeten wir eine Wassermenge mit m = 23, 25g und T = 23, 2 C und eine zweite Wassermenge mit m 2 = 8, 08g und T 2 = 60, 0 C. Es stellte sich die Mischtemperatur T E = 37, 7 C ein. Die Masse des Kalorimeters betrug: m K = 425, 829g bei einer Anfgangstemperatur von T 0 = T = 23, 2 C. Damit berechnet sich die Wärmekapazität c K des Kalorimeters zu: c K = (m 2 T 2 m T ) = 5, m K T K (beachte: T > 0). Da die einzelnen Messgröÿen (m, T ) nicht korrelieren benutzen wir Gauÿfehlerfortpanzung um den systematischen Fehler anzugeben. Zuerst berechnen wir jedoch den systematischen Fehler für die T i (ebenfalls Gauÿfehlerfortpanzung): σ Ti = ( T i ) T 2 (σt) 2 + ( T i ) E T 2 (σt) 2 = (σt) 2 ( + ) = σ T 2 A Der Skalenfehler des Temperaturmessgeräts betrug: damit erhalten wir für alle i: σ T = 0, 05K σ Ti = 0, 07K Der systematische Fehler der spez. Wärmekapazität c K kann geschrieben werden als: σ ck = i ( c K ( T i ) )2 (σ Ti ) 2 + i ( c K m i ) 2 (σ mi ) 2 Den Massenfehler schätzen wir ab mit: σ mi = 0, 0g 3

4 Damit dann: σ ck = (σ Ti ) 2 (( m ) m K T 2 + ( m 2 ) K m K T 2 + ( K m K ( T K ) 2 (m 2 T 2 m T )) (σ mi ) 2 (( T ) m K T 2 + ( T 2 ) K m K T 2 + ( K (m K ) 2 (m 2 T 2 m T )) T 2 K σ ck = 7, 0 Analog erhielten wir für eine Messung der spezischen Wärmekapazität c H der Halterung des Granulats: c H = ( m W T W + c K m K T K ) = 49, m H T H mit m H = 24, 83g, T H = 73, 6K, m W = 39, 535g, T W = T K =, 3K und m k = 425, 829g. Wir benutzten auch hier wieder die Gauÿ-Fehlerfortpanzung: σ ch = i ( c H ( T i ) )2 (σ Ti ) 2 + i ( c H m i ) 2 (σ mi ) 2 + ( c H c K ) 2 (σ ck ) 2 σ ch = (σ Ti ) 2 (( m W ) m H T 2 c K + ( m K ) H m H T H... ( m H ( T H ) 2 ( m W T W + c K m K T K )) (σ mi ) 2 (( T W ) m H T 2 + ( T K ) H m H T H... ( (m H ) 2 ( m W T W + c K m K T K )) T H... (σ ck ) 2 ( m K T K m H T H ) 2. einzelnes Metallstück σ ch = 22, 68 Mit den zuvor bestimmten Korrekturwärmekapazitäten erhalten wir für die spezischen Wärmekapazitäten von den einzelnen Metallstücken: wobei T K = T W ist. c M = c K m M T M ( m W T W + c K m K T K ) 4

5 Wir erhielten folgende Messwerte: Messung m M [g] m W [g] T W,0 [ C] T M,0 [ C] T E [ C] c M [ kg K ] Aluminium 30,735 82,283 23, 98, 25,6 862,58 Aluminium 30,735 59,455 23, 99,3 25,9 835,75 Aluminium 30,735 45,735 23, 99,5 26,7 99,08 Kupfer 7,75 7,975 23, 98,6 29, 366,0 Kupfer 7,75 27,935 23, 99,5 33,3 487,46 Kupfer 7,75 52,755 23, 94,6 30,2 45,65 Tabelle.: Messwerte Trägt man die Messwerte über äquidistante Stellen auf und ttet eine Konstante an diesen Plot so erhält man: Die statistischen Fehler sind dabei: c Al = 896, 47 c Cu = 423, 04 σ stat,al = 47, 93 σ stat,cu = 35, 25 Wie zuvor sind korrelieren auch hier die Fehler nicht, sodass wir wieder Gauÿfehlerabschätzung für den systematischen Fehler anwenden: σ cm = i ( c M ( T i ) )2 (σ Ti ) 2 + i ( c M m i ) 2 (σ mi ) 2 + ( c M c K ) 2 (σ ck ) 2 σ cm = (σ Ti ) 2 (( m W ) m M T 2 c K + ( m K ) M m M T M... ( m M ( T M ) 2 ( m W T W + c K m K T K )) (σ mi ) 2 (( T W ) m M T 2 + ( T K ) M m M T M... ( (m M ) 2 ( m W T W + c K m K T K )) T M... (σ ck ) 2 ( m K T K m M T M ) 2 c K 5

6 Wir erhalten 3 verschiedene systematische Fehler (je einen pro Messung) und wählen den gröÿten aus: σ cal = 24, 44 σ ccu = 4, 55 Somit können wir unsere Messwerte nun angeben: Die Literaturwerte lauten:.. Diskussion der Messwerte c Al = (896, 5 ± 24, 4 ± 47, 9) c Cu = (423, 0 ± 4, 6 ± 35, 3) c Al,lit = 896 c Cu,lit = 38 Wie man sieht liegt das Ergebnis von Aluminium im Bereich des Literaturwerts. Es ergaben sich hier also kaum Komplikationen mit einem unvollständig durchwärmten Aluminiumblock. Das Ergebnis von Kupfer weicht allerdings schon eher vom Lit.-Wert ab, was sich durch das höhere, verwendete, Volumen klar machen kann. Der Kupferblock konnte auf Grund der gröÿeren Masse nicht gleichmäÿig durchwärmt werden, was das Ergebnis verfälschte..2 Granulat Mit den zuvor bestimmten Korrekturwärmekapazitäten erhalten wir für die spezischen Wärmekapazitäten von den einzelnen Metallstücken: c M = m M T M ( m W T W + c K m K T K c H m H T H ) wobei T K = T W und T H = T M ist. Wir erhielten folgende Messwerte: 6

7 Messung m M [g] m W [g] T W,0 [ C] T M,0 [ C] T E [ C] c M [ kg K ] Aluminium 3,2 99,095 23, 99,8 28, 433,5 Aluminium 3,2 0,905 23, 99,8 28,6 74,24 Aluminium 3,2 90,285 23, 99,9 29,2 79,72 Kupfer 9,2 7,85 23, 98,5 26,3 62,4 Kupfer 9,2 6,55 23, 99,5 26, 50,45 Kupfer 9,2 95,495 23, 99,8 26,8 530,85 Tabelle.2: Messwerte Trägt man die Messwerte über äquidistante Stellen auf und ttet eine Konstante an diesen Plot so erhält man: Die statistischen Fehler sind dabei: c Al = 63, 37 c Cu = 55, 5 σ stat,al = 99, 3 σ stat,cu = 3, 06 Wie zuvor sind korrelieren auch hier die Fehler nicht, sodass wir wieder Gauÿfehlerabschätzung für den systematischen Fehler anwenden: σ cm = ( c M ( T i i ) )2 (σ Ti ) 2 + ( c M ) m 2 (σ mi ) 2 + ( c M ) i i c 2 (σ ck ) 2 + ( c M ) K c 2 (σ ch ) 2 H σ cm = (σ Ti ) 2 (( m W ) m M T 2 c K + ( m K ) M m M T M... ( m M ( T M ) 2 ( m W T W + c K m K T K c H m H T H )) (σ mi ) 2 (( T W ) m M T 2 + ( T K ) M m M T M... ( (m M ) 2 ( m W T W + c K m K T K c H m H T H )) T M c K... (σ ck ) 2 ( m K T K m M T M ) 2 + (σ ch ) 2 ( m H T H m M T M ) 2 Wir erhalten 3 verschiedene systematische Fehler (je einen pro Messung) und wählen den gröÿten aus: σ cal = 38, 87 7

8 σ ccu = 26, 97 Somit können wir unsere Messwerte nun angeben: Die Literaturwerte lauten:.2. Diskussion der Messwerte c Al = (63, 3 ± 38, 9 ± 99, 3) c Cu = (55, ± 27, 0 ± 3, ) c Al,lit = 896 c Cu,lit = 38 Die Ergebnisse für die Granulatmessungen liegen im Gegensatz zu den vorherigen Messwerten deutlich über den Erwartungswerten. Dies kann eventuell mit der verwendeten Gröÿenordnung der Masse und dem Halterungssieb erklärt werden. Das Halterungssieb hatte eine Masse von 24,83g. Die verwendeten Granulatproben lagen sämtlich unterhalb dieses Wertes. Dadurch beeinusste das Sieb die Messung stark, da es einen groÿen Anteil der zugeführten Wärmemenge mit sich trug. Ungenaue Messungen der Wärmekapazität des Siebs können hier also zu groÿen Fehlern führen, die nicht weiter abgeschätzt werden können. Auch treten durch das Sieb weitere Fehlerquellen, wie das Mitführen von heiÿem Wasser in das Kalorimeter auf. Dies verfälschte weiterhin die Messung. Man kann jedoch deutlich sehen, dass der Messwert für Aluminium stärker vom Lit.- Wert abweicht als der von Kupfer. Auch hier lässt sich dies wieder durch das Massenverhältnis erklären. In den gesamten Messungen wurde die Masse von Aluminium stets kleiner gewählt als diejenige von Kupfer, sodass der Einuss von Fehlerquellen wie dem Sieb für Aluminium natürlich stärker ins Gewicht fällt als für Kupfer. 8

9 2 Temperaturabhängigkeit der spezischen Wärmekapazität 2. Besprechung der Messwerte Wie in der Vorbereitung angegeben kühlten wir einen Aluminiumzylinder auf ~00K ab und erhitzen ihn dann mit einer konstanten (elektrischen) Heizleistung P H = U I = 2, 3V 2, 35A = 28, 9W. Unsere Messwerte waren: t [s] U [mv] T [K] 0-5,722 76,5 60-5,598 83,5 20-5,309 00,5 80-5,0 4, ,72 27, ,426 39, ,62 49, ,904 59, ,646 68, ,387 77,5 t [s] U [mv] T [K] 600-3,38 85, ,904 92, ,674 97, , , ,22 22, ,99 229, ,76 226, ,54 232, ,33 238,5 40 -,23 244, ,95 249,5 Tabelle 2.: Messwerte t [s] U [mv] T [K] 260-0, , , , ,3 265, , 270, , , , , , , , , ,8 293, ,99 296,5 Für den Temperatur-Zeit-Zusammenhang erhalten wir: T (t) = a t b mit (±statistischer Fehler) a = 2, 9482 ± 2, 003 b = 0, 478 ± 0, Das Schaubild zeigt die Übereinstimmung: 9

10 Damit ergibt sich für die Steigung: verwenden wir noch t = mit ( T a ) b Abbildung 2.: Fit-Kurve T t = a b tb ergibt sich: α(t ) = T t = a b(t a ) b b e = 93, d =, = e T d Wir müssen jedoch noch die Erwärmung ohne P H berücksichtigen. Dafür greifen wir uns einige wenige Zahlenwerte aus der in der Vorbereitungshilfe gegebenen Tabelle heraus: 0

11 t [s] U [mv] T [K] t [s] U [mv] T [K] t [s] U [mv] T [K] 300-5,39 95, ,09 86, ,97 247, ,20 05, ,86 93, ,84 25, ,99 5, ,64 200, ,72 254, ,75 26, ,5 204, ,55 259, ,57 33, ,3 20, ,40 263, ,42 39, ,5 24, ,20 268, ,27 45, ,96 220, ,00 273,5 00-4,3 50, ,8 225, ,2 278, ,0 55, ,7 227, ,4 283, ,76 64, ,55 232, ,62 288, ,5 73, ,34 237, ,7 29, ,25 8, ,5 243, ,82 293,5 Tabelle 2.2: Tabellenwerte Für den Temperatur-Zeit-Zusammenhang erhalten wir: mit (±statistischer Fehler) Das Schaubild zeigt die Übereinstimmung: T (t) = a t b + c a = 860, 93 b = 0, c = 8757, 85

12 Damit ergibt sich für die Steigung: Abbildung 2.2: Fit-Kurve T t = abtb Nutzen wir nun noch t = ( T c a ) b aus so folgt: β(t ) = T t = ab(t c a ) b b = 43, 6435( Hier nun die beiden Steigungskurven gegenübergestellt: T , 85 ) 97,09 860, 93 Abbildung 2.3: α(t )//β(t ) 2

13 Wie in der Vorbereitungshilfe beschrieben erhalten wir: c(t ) = P H m α(t ) β(t ) mit P H = 28, 905W und m = 0, 376kg. Damit ergibt sich folgende Kurve: Abbildung 2.4: c(t ) Man sieht, dass die spezische Wärmekapazität annähernd linear mit der Temperatur ansteigt. Es gilt: c(300k) 74, 39 Die Ergebnisse von Aufgabe zeigen sich auch hier wieder näherungsweise. 2.2 Fehlerrechnung 2.2. systematischer Fehler Wir geben zuerst den systematischen Fehler für die Heizleistung P H an. Da U und I korreliert sind schätzen wir den Fehler mit der Gröÿtfehlerabschätzung ab. Die sys. Fehler für die Messgröÿen geben wir dabei mit 5% der Skalenabstandseinstellmöglichkeit an: σ U = 0, 005V σ I = 0, 0005A 3

14 Damit: σ PH = P H U σ U + P H I σ PH = 0, 079W σ I = I σ U + U σ I Die Messung der Temperatur erfolgte über ein Thermoelement, welches eine temperaturabhängige Spannung registrierte. Die Auswertung der Temperatur erfolgt mit Hilfe einer Referenztabelle, deren Skalenabstand 2 K beträgt. Dies ist um 3 Gröÿenordnungen ungenauer als die eigentliche Spannungsmessung. Daher schätzen wir den systematischen Fehler der Temperaturmessung ab mit: σ T = K Für die Fit-Gröÿen können wir keinen systematischen Fehler angeben, da sie nicht direkte Messgröÿen widerspiegeln. Da α und β damit jeweils nur von einer Messgröÿe abhängen sind in diesem Fall Gauÿ- und Gröÿtfehlerabschätzung identisch. Wir verwenden jeweils die kleinste gemessene Temperatur um den gröÿten Fehler auszuwählen: σ β = σ α = ( α T )2 (σ T ) 2 = ( β T )2 (σ T ) 2 = [ ] α K T σ T = e d T d σ T = 0, s β T σ T = (b ) ( T c [ ] a ) K b σt = 0, s Die Masse des Zylinders war auf dem Aufgabenblatt ohne Fehler angeben. Wir nehmen diesen daher als verschwindet gering an. Da alle Messgröÿen (P H, α, β) unkorreliert sind wählen wir auch hier wieder Gauÿfehlerabschätzung um den systematischen Fehler für c(t ) anzugeben: σ c = = ( ) c 2 ( ) c 2 ( ) (σ PH P )2 + (σ α ) 2 c 2 + (σ β ) 2 H α β ( ) ( ) 2 2 PH ( (σ PH m α β )2 + m (α β) 2 (σ α ) 2 + (σ β ) 2) Wir wählen für α(t ) und β(t ) jeweils diejenige Temperatur aus, mit dem α β am kleinsten und damit am gröÿten wird. Am Schaubild 2.4 erkennt man, dass dies (α β) 2 Gerade für hohe Temperaturen der Fall ist. Wir wählen also T = 296, 5K und haben damit: α(296, 5K) = 0, K s β(296, 5K) = 0, K s Schlussendlich folgt: σ c = 57, 9 4

15 2.2.2 statistischer Fehler Um den statistischen Fehler der Messung anzugeben betrachten wir den statistischen Fehler der Fit-Parameter. Allerdings berechnete unser Fit-Programm (Gnuplot) für die Fit-Parameter von β relative Fehler von 900%. Wir schlieÿen hier auf einen Fehler im Algorithmus des Fit-Programms und schätzen den statistischen Fehler für β dann später mit demselben Fehler wie für α ab. Dies ist zudem sinnvoll da die Messwerte für α und β aus dem gleichen Messvorgang hervorgehen. Berechnen wir nun also den statistischen Fehler von α: Die Parameter e und d sind Funktionen der Parameter a und b: e = ab( a ) b b d = b b Da es nicht entscheidbar ist ob die Parameter a und b korrelieren benutzen wir Gröÿtfehlerabschätzung um so auf jeden Fall keinen Fehler zu unterschlagen: σ e,stat = e a σ a,stat + e b σ b,stat = 24, σ d,stat = d b σ b,stat = 0, Wir schätzen die Fehler nun für α weiterhin mit Gröÿtfehlerabschätzung ab: σ α,stat = α e σ e,stat + α d σ d,stat = T d e σ e,stat + ln (T ) T d σd,stat Die Funktion σ α,stat (T ) nimmt, wie folgendes Schaubild zeigt, für T = 00K im Intervall [00K : 300K] ihr Maximum an: 5

16 Abbildung 2.5: σ α,stat (T ) Damit erhalten wir dann: und setzten wie oben erwähnt: σ α,stat = σ α,stat (00K)) = 0, K s σ β,stat = σ α,stat Analog wie zuvor schätzen wir nun den stat. Fehler für c(t ) mit Gauÿfehlerabschätzung ab: ( ) c 2 ( ) σ c,stat = (σ α,stat ) 2 c 2 + (σ β,stat) 2 α β Wir erhalten damit: σ c,stat = 9442, 2 Dieser Wert kann nur als Obergrenze des stat. Fehlers dienen, da zuvor immer versucht wurde diesen zu maximieren. Annahmen, wie das setzen der Temperatur auf 00K in den oberen Rechnungen, sind für Messungen im Bereich von z.b. 300 K natürlich 6

17 völlig übertrieben. Da in dieser Aufgabe jedoch nach keinem Messwert der spezischen Wärmekapazität bei einer bestimmten Temperatur gefragt war belassen wir es bei diesem Ergebnis. Man kann jedoch gut erkennen, dass die Messung der spezischen Wärmekapazität bei tiefen Temperaturen ( 00K) sehr schwierig ist, da allein der statistische Fehler enorm groÿ wird. 7