5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen

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1 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen 5.1 Doppelbrechende Stoffe Viele in der Optik benutzte Materialien sind isotrop, d. h. ihre Eigenschaften sind von der Richtung unabhängig. In diesem Fall werden diese Materialien durch ihre Dielektrizitätskonstante bzw. Permittivität = 0 r oder durch ihre Brechzahl n = ε r beschrieben, es handelt sich um skalare Größen. Spannungsfreie Gläser, die meisten Flüssigkeiten, Gase und einige Kristalle verhalten sich so. Optisch anisotrope Materialien wie bestimmte Kristalle oder unter mechanischer Spannung stehende Gläser zeigen ein ganz anderes optisches Verhalten. Ordnet man ein Plättchen eines solchen Materials zwischen gekreuzten Polarisatoren an und lässt weißes Licht durch die Anordnung hindurch treten, erkennt man mit dem Auge u. U. farbige Figuren. So schreibt SOMMERFELD [5.1]: Die Interferenzfiguren von Kristallplatten im polarisierten Licht gehören zum Schönsten und Farbenprächtigsten, was die Natur uns zu zeigen vermag. Sie weisen noch deutlicher als die äußere Form der Kristalle auf ihren gesetzmäßigen Aufbau hin". Derartige Effekte kann man z. B. in Platten aus Kalkspat, Glimmer, Quarz oder Gips beobachten. Es ist zu beachten, dass nicht nur die erwähnten unter mechanischer Spannung stehenden Gläser, sondern verschiedene amorphe Dielektrika wie Polymere, die nach einem Erhitzen in einem starken elektrischen Feld polarisiert wurden, sich ähnlich wie Kristalle verhalten, siehe hierzu auch Kapitel 10.. Bei Quarzglas wurde beobachtet, dass durch Bestrahlung mit UV-Licht und Anlegen eines elektrischen Feldes man zu ähnlichen Ergebnissen kam, siehe [5.7]. Ferner wirken Flüssigkeiten mit durch Selbstorganisation ausgerichteten Molekülen ebenfalls doppelbrechend. Dies wird in den bekannten Flüssigkristall-Anzeigen ausgenutzt. Die nachstehende Darstellung folgt den Darlegungen nach [5.1]. Es ist zu beachten, dass in der Literatur auch andere Darstellungen zu finden sind, die die Sachverhalte nach einer anderen Methode beschreiben. Im Rahmen dieses Kapitels können nur die wichtigsten Zusammenhänge kurz behandelt werden.

2 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen 11 Ein elektrisch anisotropes Medium liegt vor, wenn die Beziehung zwischen der elektrischen Flussdichte D und der elektrischen Feldstärke E nicht wie im isotropen Fall durch die einfache Proportionalität D = ε E nach (.8), sondern durch eine lineare Vektorfunktion D = ε E (5.1) gegeben ist, wobei ε den Tensor der Dielektrizitätskonstante darstellt (es werden hier Tensoren durch Unterstreichen gekennzeichnet). Wenn es sich um einen Tensor. Stufe handelt (auch Dyade genannt, tritt u. a. bei doppelbrechenden Kristallen auf), kann man für die Komponenten der Vektoren schreiben D1 ε11 ε1 ε 1 E1 D ε1 ε ε E = oder Dk = εki Ei (5.) D ε1 ε ε E i = 1 mit k = 1,,. Hierin werden mittels der Indizes k drei zueinander normale, jedoch beliebig gelegte Koordinatenrichtungen gekennzeichnet, es wird also ein kartesisches Koordinatensystem benutzt. Man kann zeigen, dass der Tensor symmetrisch ist entsprechend ε ik = ε ki, wenn die pro Volumeneinheit geleistete Arbeit E d D ein vollständiges Differential ist, d. h., wenn die Arbeit von der Vorgeschichte unabhängig ist, also keine Hysterese auftritt. Wegen (5.1) bzw. (5.) sind die Richtungen von E und D i. A. verschieden. Die bei Anwesenheit eines elektrischen Feldes sich einstellende elektrische Energiedichte W e ist nach (.16) gegeben durch 1 1 We = E D = εik Ei Ek. (5.) i k Die folgende Behandlung bezieht sich auf dielektrische doppelbrechende Kristalle ohne Hysterese mit verschwindenden Verlusten, d. h. mit der spezifischen Leitfähigkeit κ = 0, und diese werden durch einen symmetrischen ε Tensor. Stufe beschrieben. Es ist zu beachten, dass die Dielektrizitätskonstante (Permittivität) praktisch aller Materialien innerhalb des optischen Frequenzbereichs kleiner ist als bei niedrigen Frequenzen. Dies gilt auch für optisch anisotrope Materialien. Die Permeabilität µ = µ 0 µ r ist im optischen Frequenzbereich für alle Materialien in guter Näherung gleich µ 0, der Permeabilität des Vakuums, d. h. diese Materialien verhalten sich magnetisch isotrop.

3 114 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen Es gelingt stets, die Achsenrichtungen des eingeführten kartesischen Koordinatensystems so zu wählen, dass (5.) die folgende einfache Form annimmt D1 ε1 0 0 E1 D1 = ε1e1 D 0 ε 0 E = oder D = ε E. (5.4) D 0 0 ε E D = εe Es wurde eine Hauptachsentransformation durchgeführt und es ist zu erkennen, dass die neuen Achsen mit den dielektrischen Hauptachsen des Kristalls übereinstimmen. Später werden die optischen Achsen eingeführt, die jedoch mit den dielektrischen Hauptachsen nicht identisch sind. Die Größen ε1, εund ε heißen Hauptdielektrizitätskonstanten, die andere Elemente der Matrix in (5.4), die Größen ε ik, haben durch die Hauptachsentransformation den Wert Null angenommen. Zur Beschreibung der Trägheitseigenschaften eines starren Körpers wird in der Mechanik ein Trägheitstensor benutzt und darauf beruhend wird eine Tensorfläche eingeführt. Man kann zeigen, dass es sich hierbei um ein Ellipsoid handelt, das Trägheitsellipsoid genannt wird. Jeder starre Körper besitzt demnach drei Hauptträgheitsmomente. In unserem Fall kann für einen symmetrischen Tensor nach (5.) bzw. (5.) ebenfalls eine solche Fläche eingeführt werden, die beschrieben wird durch ε ik xx i k = konst. (5.5) i k Wenn die Größen x i als Feldstärkekomponenten E i angesehen werden, dann stellt (5.5), wegen (5.), die doppelte elektrische Energiedichte dar, d. h. konst. = We. (5.6) Es kann gezeigt werden, dass es sich bei (5.5) um die Gleichung eines dreiachsigen Ellipsoids handelt. In der Kristalloptik heißt dieses Ellipsoid FRESNELsches Ellipsoid, es wird durch die Beziehung ε1 x1 + ε x + ε x = konst. (5.7) beschrieben; die Koordinatenachsen werden weiterhin mit x 1, x und x bezeichnet. Mit der MAXWELLschen Beziehung für unmagnetische Medien, n = ε ε0 = εr, kann (5.7) in nachstehender Form geschrieben werden n x + n x + n x =, (5.8) 1 1 konst.

4 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen 115 und dies ist die Gleichung des FRESNELschen Ellipsoids mit konst. = W e ε0 und ni = εi ε0. Die Größen n i heißen Hauptbrechungsindizes und die Größen ui = c ni Hauptlichtgeschwindigkeiten. Die Längen der halben Hauptachsen des FRESNELschen Ellipsoids sind identisch mit den Reziprokwerten der drei Hauptbrechungsindizes. Duale Betrachtungsweise. Es lässt sich nun ein dualer Standpunkt einnehmen, wonach E als lineare Vektorfunktion von D ausgedrückt wird, d.h. E = η D oder E η η η D und E η1 η η D = E η1 η η D E = η D. (5.9) k ki i i = 1 Hierin ist offensichtlich η = ε 1. Man kann zeigen, dass wegen der Symmetrie des ε Tensors auch der η Tensor symmetrisch sein muss. Die Beziehung für die elektrische Energiedichte kann hier in der Form 1 1 We = D E = ηki Di Dk (5.10) i= 1 k= 1 angeschrieben werden. Wenn nun auch hier eine Hauptachsentransformation durchgeführt wird, dann nimmt der η Tensor eine zu (5.4) analoge Diagonalform an mit den Diagonalelementen η 1, η und η. Auch hier kann eine Fläche eingeführt werden, sie folgt aus ηmn xm xn = const., (5.11) m= 1 n= 1 und diese Beziehung beschreibt ebenfalls ein Ellipsoid, das den Namen Indexellipsoid trägt. Auf seine Hauptachsen transformiert erhält man mit (5.11) η1 x1 + η x + η x = const. mit const. = W e ε0, (5.1) wobei für die Hauptbrechungsindizes n i gilt 1 1 ηi = = εi ni. (5.1) Damit folgt für das Indexellipsoid

5 116 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen x x x + + = const. (5.14) n n n 1 1 Die halben Hauptachsenlängen des Indexellipsoids entsprechen, wie aus (5.14) zu ersehen, den Hauptbrechungsindizes. Die Lage der Hauptachsen eines Kristalls kann sich mit der Temperatur oder mit der Wellenlänge der Strahlung ändern. Dies wird Dispersion der Hauptachsen genannt. Wenn eine übergeordnete Symmetrie des betrachteten Kristalls vorhanden ist, dann legt diese die Richtungen der Hauptachsen absolut fest. Es werden hier elektrisch anisotrope Körper behandelt. Es existieren auch magnetisch anisotrope Kristalle, jedoch hauptsächlich für den Bereich niedriger Frequenzen wie z. B. Mikrowellen. Bei optischen Frequenzen (sichtbarer Bereich und umgebende Bereiche) gilt stets µ = µ 0 und es tritt keine magnetische Anisotropie auf. Weitere Literatur siehe [5.] - [5.4]. 5. Ausbreitung ebener Wellen und Polarisationseigenschaften Wegen µ = µ 0 genügen zur Beschreibung des Feldes die Größen E, D und H, wobei D und E über D = ε E verknüpft sind. Die magnetische Flussdichte B wird bei der Behandlung nicht benötigt. Wenn für die spezifische Leitfähigkeit κ = 0 angenommen werden kann, lauten die MAXWELLschen Gleichungen (vgl. Kapitel ) D H rot H =, rot E = µ 0 und div H = 0. (5.15) t t Es werden hier monochromatische Wechselfelder mit der Kreisfrequenz ω vorausgesetzt und dann ist voraussichtlich die zugehörende Ladungsdichte ρ = 0 ; daher gilt div D = 0. (5.16) Man kann zeigen, dass (5.16) nicht bedeuten muss, dass div E = 0 ist. Zur Lösung der Beziehungen werden folgende Ansätze gemacht D r, t = A expj k r ω t E r, t = B expj k r ω t. (5.17) ( ) ( ) und ( ) ( )

6 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen 117 Hierin ist k der Wellenvektor und r der Ortsvektor. Die Raum-Zeitabhängigkeit beider Vektoren ist notwendigerweise gleich, die Amplituden sind jedoch i. A. verschieden und die Vektoren unterschiedlich gerichtet. Es kann gezeigt werden, dass die D Welle transversal ist, d. h. der D Vektor steht stets normal auf dem k Vektor und dies folgt aus div D = 0. Dies gilt nicht für den E Vektor. Der E Vektor steht normal auf dem POYNTINGschen Vektor S und es kann gezeigt werden, dass POYNTINGscher Vektor S und Wellenvektor k bezüglich ihrer Richtung i. A. nicht übereinstimmen. Die Lösung des Gleichungssystems soll hier nicht diskutiert werden (Einzelheiten siehe [5.1], wesentlich sind die Ergebnisse: Es zeigt sich, dass zu jeder Richtung k zwei Wellen mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten, u und u, sowie den Amplituden A und A existieren können. Man kann ferner zeigen, dass die Richtungen von A und A aufeinander normal stehen ( A bezieht sich auf die D Welle). Es wurde eine einfache geometrische Konstruktion gefunden, mit der die Werte u und u sowie die zugehörigen Schwingungsrichtungen ermittelt werden können. Die Konstruktion geht vom Indexellipsoid aus (s. Bild 5.1). Durch seinen Mittelpunkt wird eine zur vorgegebenen k Richtung normale Ebene gelegt. Diese Ebene schneidet das Indexellipsoid in einer Ellipse. Die Längen der beiden halben Hauptachsen dieser Ellipse, a und b, sind proportional zu 1 u und 1 u. Ferner stimmen die Richtungen der Hauptachsen mit den Richtungen von D (bzw. A ) und D (bzw. A ) überein. Bild 5.1 Indexellipsoid mit eingezeichneter Schnittellipse normal zum Vektor k. Es kann ferner gezeigt werden, dass die Schwingungsrichtung des H Vektors normal sowohl zu k als auch zu D liegt, d. h. es gilt

7 118 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen H k = 0 und H D = 0. (5.18) Wenn D parallel zu a liegt, dann schwingt H parallel zu b; für D und H sind die Richtungen gerade vertauscht. In Tabelle 5.1 wird dies verdeutlicht, wobei C = W e µ 0. Damit lässt sich die Bedeutung der Hauptlichtgeschwindigkeiten erklären; sie wurden mit u 1, u und u bezeichnet, wobei ui = c ni. Tabelle 5.1 Zuordnung der Größen Welle ' Welle '' a b a b D H H D u = C u = C a b Wenn die x 1 -Achse als Ausbreitungsrichtung angenommen wird, dann sind zwei Wellen möglich, mit Schwingungsrichtungen des D Vektors parallel zu x und x mit Phasengeschwindigkeiten u und u. Analoges gilt für Wellenausbreitung in x - und x -Richtung. Als Ergebnis der Überlegungen kann festgehalten werden: Alle im betrachteten anisotropen Medium sich ausbreitenden ebenen monochromatischen Wellen sind vollständig linear polarisiert, wobei die Schwingungsrichtungen durch die Struktur des Mediums festgelegt werden. Die Schwingungsrichtungen der '- Welle und der "- Welle stehen aufeinander normal. Es wurde hier mit dem D Vektor gerechnet, obwohl meist der E Vektor als der eigentliche Lichtvektor angesehen wird. Wegen D = ε E ist zugleich mit der D Welle auch die E Welle linear polarisiert. Bisher wurde mit dem Indexellipsoid gearbeitet, mit dem die Eigenschaften der D Welle und des Ausbreitungsvektors k behandelt werden konnten. Die Methoden zur Behandlung der Wellenausbreitung können unmittelbar auf das FRESNELsche Ellipsoid übertragen werden. Man erhält analoge Aussagen über die E Welle und den POYNTINGschen Vektor S = ( E H* ) (hier sind E und H komplexe Zeiger). Aus der Beziehung D = ε E ist direkt abzuleiten, dass i. A. D und E unterschiedliche Richtungen aufweisen. Hieraus folgt, dass i. A. k und S unter-

8 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen 119 schiedliche Richtungen besitzen. Es ist zu beachten, dass hier für die skalaren Produkte gelten muss H k = 0, H D = 0 und H E = 0, S E = 0, d.h., diese Vektoren stehen jeweils aufeinander normal (s. Tabelle 5.1). Es wird eine ebene Welle betrachtet, deren H Vektor normal zur Zeichenebene liegt. Die Vektoren k, D, E und S liegen daher in der Zeichenebene. Das Bild 5. zeigt den Schnitt F des FRESNELschen Ellipsoids mit der Zeichenebene, wobei die Vektoren wie oben angegeben liegen, d.h. der H Vektor der betrachteten Welle steht normal zur Zeichenebene, d. h. H projiziert sich im Mittelpunkt O der Ellipse F. Der zu k normale Durchmesser, w - w, stellt die Spur der Wellenebene (Fläche konstanter Phase) dar. In dieser Ebene liegt die früher erwähnte Schnittellipse nach Bild 5.1. Bild 5. Schnittellipse des FRESNELschen Ellipsoids, Mittelpunktsschnitt normal zu H. Der Durchmesser s - s ist die Spur der zu S normalen Ebene durch den Mittelpunkt O. Die in den Punkten s gezeichneten Tangenten (Spuren der Tangentialebenen an das FRESNELsche Ellipsoid) verlaufen normal zu D, also parallel zu k. Dieser Zusammenhang lässt sich analytisch beweisen. Unter einer Spur ist hier die Schnittgerade einer Ebene mit einer Koordinatenebene gemeint. Rechts ist ferner die Wellenebene w - w als stark ausgezogene Linie eingezeichnet. Es wird angenommen, dass die Welle mit der Phasengeschwindigkeit u um die Strecke OP weitergelaufen ist (in Richtung k ). Der in S Richtung laufende Strahl muss, um in Phase zu bleiben, in der gleichen Zeit den längeren Weg OQ zurücklegen, und zwar mit einer größeren Geschwindigkeit, die hier mit v bezeichnet wird. Aus dem rechtwinkeligen Dreieck OPQ folgt dann

9 10 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen cosσ = u, (5.19) v wobei σ einen Winkel darstellt, der u. A. zwischen D und E auftritt. Es gilt daher E D cosσ =. (5.0) E D Es wurde schon früher auf die Tatsache hingewiesen, dass E und D i. A. nicht parallel zueinander liegen. Es werden die Einheitsvektoren n (Wellennormale) und s (Richtung des Leistungsflusses) eingeführt k S n =, (5.1) s =. (5.) k S Man kann nun in einer Ableitung zeigen, dass für jede vorgegebene Richtung s zwei Wellen existieren, deren Feldvektoren E und E zueinander normal stehen und deren Geschwindigkeiten v und v i. A. unterschiedliche Werte annehmen. Man kann mit dem FRESNELschen Ellipsoid eine zum Indexellipsoid analoge Konstruktion angeben (Schnitt mit einer zu s bzw. S normalen Ebene, Feststellung der Hauptachsen der Schnittellipse). Es existieren also zwei zueinander duale Beschreibungsformen der Wellenausbreitung in einem Kristall. Folgende Größen entsprechen einander u u i D c c D, E, n,, ε0 E,, s,,. (5.) c c ε0 vi v Indexellipsoid FRESNELsches Ellipsoid Es ist zu beachten, dass die Geschwindigkeit u die Phasengeschwindigkeit angibt, mit der sich die Welle in Richtung k bzw. Richtung n ausbreitet. Die Geschwindigkeit v bezieht sich auf den POYNTINGschen Vektor S bzw. auf s und stellt die Richtung des Energietransportes dar. Daher ist v für die Praxis von größerer Bedeutung als u, und v wird als Strahlengeschwindigkeit bezeichnet. Strahlenfläche. Die Verteilung der Strahlgeschwindigkeiten v = v und v = v als Funktion der Raumrichtungen s wird hier untersucht. Hierzu

10 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen 11 werden die Beträge beider Geschwindigkeiten vom Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems aus in Richtung s aufgetragen. Die Koordinatenachsen werden mit ξ 1, ξ und ξ bezeichnet. Man erhält eine zweischalige Fläche, wobei eine Schale v und die zweite Schale v entspricht. Man kann zeigen, dass es sich um Flächen 4. Ordnung handelt. Die Bilder 5. und 5.4 zeigen die erwähnte Strahlenfläche; Bild 5. zeigt für einen allgemeinen Fall die obere Hälfte der äußeren Schale und Bild 5.4 die untere Hälfte der inneren Schale. Die nicht gezeigten fehlenden Hälften sind den dargestellten Hälften spiegelbildlich gleich. Bild 5. Obere Hälfte der äußeren Schale der Strahlenfläche mit eingezeichneten optischen Achsen; nach [5.1]. Bild 5.4 Untere Hälfte der inneren Schale der Strahlenfläche mit eingezeichneten optischen Achsen; nach [5.1]. Es ist zu erkennen, dass sich die Schalen in jeder Hälfte an zwei Punkten (Nabelpunkte) berühren. Die entsprechenden Richtungen sind eingezeichnet. Für Wellen, deren s Vektor in diese Richtungen weist, sind die Geschwindigkeiten v und v gleich. Nur für diese beiden ausgezeichneten Richtungen verhält sich der Kristall wie ein isotroper Körper. Diese Achsen tragen den Namen Achsen der Isotropie oder optische Achsen (siehe Pfeile in den Bildern 5. und 5.4). Optische Achsen. Für Anwendungen in der Optik sind die optischen Achsen der Kristalle wichtiger als die Hauptachsen des FRESNELschen Ellipsoids oder des Indexellipsoids, die dielektrische Hauptachsen genannt werden. Wie erwähnt, ergeben sich die Strahlgeschwindigkeiten v und v aus den Hauptachsen der Schnittellipse des FRESNELschen Ellipsoids, wobei die Fläche der Schnittellipse normal zu s steht. Wenn S in Richtung einer optischen Achse zeigt, dann sind definitionsgemäß v und v gleich und damit sind die Hauptachsen der Schnittellipse gleich groß, d.h. die Schnittellipse geht in einen Kreis über. Daraus folgt, dass die optischen Achsen normal auf den Kreisschnitten des FRESNELschen Ellipsoids stehen.

11 1 5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen Wenn man die Schwingungsrichtung einer Welle nach dem E Vektor benennt (teilweise wurde die Schwingungsrichtung mit dem D Vektor verknüpft), dann kann folgende Aussage getroffen werden: Für alle Strahlrichtungen besitzen die Wellen im Kristall lineare Polarisation, die Schwingungsrichtungen der beiden in gleicher Richtung fortschreitenden Strahlen stehen aufeinander normal. Eine Ausnahme stellen die optischen Achsen dar. Wegen der Kreisgestalt der zugehörigen Schnittellipsen ist keine Schwingungsrichtung vor der anderen ausgezeichnet. Daraus folgt auch der Name Achsen der Isotropie. Normalenfläche. Hierbei handelt es sich um eine zur Strahlenfläche duale Fläche, die in Bild 5.5 gestrichelt dargestellt ist. Man erhält die Normalenfläche, wenn man in jeder Richtung des Vektors k (bzw. n ) die Phasengeschwindigkeiten der beiden zugehörigen Wellen, u und u aufträgt. Bild 5.5 Strahlenfläche (ausgezogene Linie) und Normalenfläche (gestrichelte Linie). Die Normalenfläche ist die Fußpunktsfläche der Strahlenfläche, bzw. ist die Strahlenfläche die Hüllfläche der Wellenebenen; nach [5.1]. Eine Durchrechnung ergibt, dass i. A. eine zweischalige Fläche 6. Ordnung auftritt. Es treten zwei Paare von Berührungspunkten zwischen den Flächen auf, durch die zwei Geraden, die optischen Normalenachsen hindurchgelegt werden können. Sie definieren Richtungen, für die gilt u = u, es handelt sich um Achsen der Isotropie der D Wellen (analog zu den optischen Achsen). Die Schwingungsrichtung des D Vektors ist in diesem Fall nicht festgelegt, d.h. sie ist beliebig. Zwischen Normalen- und Strahlenfläche besteht ein einfacher Zusammenhang: Die Normalenfläche ist die Fußpunktsfläche der Strahlenfläche. Anmerkungen. Der Winkel δ n zwischen den optischen Normalenachsen ist i. A. nur wenig kleiner als der Winkel zwischen den optischen Achsen (s. Strahlenfläche).