Mathematische Methoden der Biowissenschaften II

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1 Universität Bieefed SS 2007 Fakutät für Mathematik Prof. Dr. M. Baake Mathematische Methoden der Biowissenschaften II TEXed by Marc Paffen Kristina Petkau Eya Wiing Inhatsverzeichnis Eementare Konzepte und Beispiee 2. Münzwurf Mehrfacher Münzwurf Binomiaverteiung Geichverteiung Weiterentwickung der agemeinen Theorie Fortsetzung: Diskrete Verteiung Geometrische Verteiung Poisson-Verteiung Theorie neu beeuchtet, Standardgrößen Statistik 4 2. Grundegende Definitionen Merkmatypen Skaen Intervaskaierte Größen

2 Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake) WS 2007 TEXed by ewiing , VL 0 Eementare Konzepte und Beispiee. Münzwurf Ene Münze besitzt die zwei Zustände Kopf/Zah. Wir gehen davon aus, dass nur diese beiden Zustände eintreten können. Es sei: n Versuche: n K Anzah Kopf, n Z Anzah Zah, n K + n Z = n Man erwartet, dass n K n Z (für n groß), obwoh (wei?) jeder einzene Wurf zufäig ist. Idee: n K p }{{} K := im n n Definition.. (fair) Wahrscheinichkeit für Kopf Eine Münze heißt fair, wenn p K = p Z git (Dann ist p K = p Z = 2 ). (abstrakte) Deutung: K, 0 Z; P() = p K = p P(0) = p Z = q = p Grundraum: Ω = {0, } Ereignisraum: P(Ω) = {, {0}, {}, {0, }} entspricht hier der Potenzmenge von Ω, aso der Menge aer Teimengen. {}, {0}: sind die Eementarereignisse.2 Mehrfacher Münzwurf Ereignis Deutung Wahrscheinichkeit weder K noch Z 0 unmögiches Ereignis {0} Z q = p {} K p {0, } K oder Z Sicheres Ereignis (s, s 2,...,s n ), s i {0, } Wie hoch ist die Wahrscheinichkeit -ma eine zu werfen? (Frage: P( ma )?) Ansatz: 2 n mögiche Eemtarereignisse, davon ( ) n = n!!(n )! mit ma. Daraus fogt: ) P( ma ) = P = 2 n ( n 0 2

3 Konsistenzcheck P = 2 n ( ) n = etztes Sem. Beispie n = 4 P Agemeiner P(K) = p, P(Z) = p = q, 0 p ( ) P( ma ) (!) n = P = p ( p) n Check ( ) n p ( p) n = (p + ( p)) n = n =.2. Binomiaverteiung Definition.2. (Binomiaverteiung) Die durch P := ( ) n p ( p) n, 0 p, n gegebene Verteiung heißt Binomiaverteiung zu den Parametern n und p, abgekürzt as B(n, p). Frage: Wieviee er dürfen wir denn erwarten? m := = P = n = n = n = ( n ( n k k=0 n ( n =n p k k= ( ) n p ( p) n ) p ( p) n = ) p k+ ( p) n k ) p k ( p) n k = n p Dabei heißt m Mittewert oder Erwartungswert der Verteiung. 3

4 Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake) WS 2007 TEXed by mpaffen , VL 02 Frage: Wie stark variiert das Ergebnis? V := ( m) 2 P = ( 2 2m + m 2 ) P ( n ) ( n ) n = 2 P 2m P +m 2 ( n ) = 2 P m 2 } {{ } m P }{{} Diese Größe heißt Varianz, und σ := V heißt Standardabweichung der Verteiung. Der Ausdruck 2 P heißt 2. Moment. Um die Varianz zu bestemmen müssen wir noch das 2. Moment berechnen: ( ) n ( ) n 2 P = p ( p) n = 2 p ( p) n = ( ) n = n p ( p) n = n = n p ( ) n ( + ) = p ( p) n =0 = n p Damit erhaten wir: Satz.2. [ n =0 ( ) ] n p ( p) n + } {{ } = = n p + n (n ) p 2 [ n V = n p + n(n )p 2 n 2 p 2 = n p + (n 2 n)p 2 n 2 p 2 ( ) ] n p ( p) n =0 }{{} =(n ) p = n p + n 2 p 2 n p 2 n 2 p 2 = n p n p 2 = n p ( p) = n p q Die Binomiaverteiung B(n, p) besitzt die (eementaren) Wahrscheinichkeiten ( ) n P = p ( p) n, 0 n, 4

5 den Erwartungswert und die Varianz m = n p V = n p q (q = p) Beispie: Faire Münze p = q = 2 m = 2 n, V = n 4 n bzw. σ = 2 n = 00, m = 50, σ = 5 Beachte: 2 n ist noch ziemich groß..2.2 Geichverteiung Ein anderes Beispie: Der kassische Würfe Eementarereignisse (Ω) :, 2, 3, 4, 5, 6 Fair: P() = = P(6) = 6 Erwartungswert: m = 6 = 6 = = 7 2 oder: P + 2 P(2) P(6) = ( ) 6 = 6 k(k + ) 2 = k= = 7 2 = 3, 5 ( 6 ) Varianz V = = = 35 2 = Definition und Satz.2. (Geichverteiung) Der faire Würfe mit n Seiten wird durch die Geichverteiung beschrieben, mit P = P 2 = = P n = n. Dabei git: m = (n + ) 2 V = (n + ) (n ) 2 Beweis: (i) (ii) m = n ( n) = n n + n (n + ) = P = = = 2 n = n = 2 (!) = n (n + )(2n + ) n (n + ) (2n + ) = 6 6 5

6 Dann ist die Varianz: V = (n + )(2n + ) 6 (n + )2 4 = = n2 2 = (n + )(n ) 2.3 Weiterentwickung der agemeinen Theorie Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} P(Ω) = {, {}, {2}, {3},..., {6}, {, 2}, {, 3},..., Ω} (Grundraum) Ereignisraum Der Ereignisraum hat 2 6 Eemente. Deutung: Wahrschenichkeiten: unmögiches Ereignis {}, etc Eementarwurf {, 2} Wurf von oder 2. {, 3, 5} Wurf ist ungerade. {, 2, 3, 4, 5, 6} sicheres Ereignis A P(Ω) P(A) Wir nehmen an, dass P(A) für ae A P(Ω) existiert. Axiome (offensichtiche Eigenschaften) 0 P(A), P( ) = 0 P(Ω) = A P(Ω) A B = P(A B) = P(A) + P(B) Ā := Ω \ A P(Ā) = P(A) Kompementärereignis Dies motiviert: Definition:.3. (Wahrscheinichkeitsraum) Ist ein endicher Grundraum Ω gegeben, zusammen mit einer Abbidung. P : P [0, ], die Axiome erfüt, so heißt das Tripe (Ω, P(Ω), P) ein Wahrscheinichkeitsraum. Beispie: Münzwurf, Würfe, Rouette Probem: Wenn Ω nicht endich ist, muss man P(Ω) durch eine keinere Menge ersetzen, genannt Σ. Satz von Vitai P(Ω) dann nicht mögich..4 Fortsetzung: Diskrete Verteiung.4. Geometrische Verteiung Ausgangspunkt: (gezinkte) Münze: Bernoui-Experiment mit Wahrscheinichkeit 0 < p < 6

7 Frage: Was ist die Wahrscheinichkeit, dass (Kopf) genau beim n-ten Wurf zum ersten ma auftritt? Normierung: Satz.4. P( zum ersten Ma genau in Wurf n) = ( p) n p = P n (Ω = N) P n = ( p) n p = p ( p) = p ( p) = p p = Die geometrische Verteiung mit Parameter p, 0 < p <, ist durch die Wahrscheinichkeit P n = ( p) n p, n N, gegeben. Sie erfüt m = p und V = p p 2 7

8 Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake) WS 2007 TEXed by kpetkau , VL 03 Erwartungswert: Varianz: m = n P n = n ( p) n p =p n x x= p n d = p (!) =p d dx n=0 x n }{{} x dx xn (!) x= p = p d dx x n x= p d = p = p dx x ( x) 2 = p p 2 = p x= p x= p x= p 2.Moment: n 2 P n = n 2 ( p) n p = p n d dx xn }{{} Varianz: (!!) =p =p d dx ( d x dx ) d dx xn = p x= p n x n d dx x= p x d dx }{{ x } ( x) 2 x= p x + x ( x) 2 =... = p ( x) 3 = 2 p p 2 x= p x= p V = 2 p p 2 V =2. Moment m 2 p 2 = p p p 2 σ = p Beispie: Ideaer Würfe Wann erscheint eine 6? p =, m = 6, V = 30 (groß!) Poisson-Verteiung Betrachte B(n, p) mit n riesig und p kein unbequem! Setze λ = n p Asymptotisch betrachten wir einen Grenzwert: { n p 0 } mit λ = n p 8

9 In diesem Limes wird die Wahrscheinichkeit, dass genau n-ma eintritt (extrem gezinkte Münze) gegeben durch: P(n ma ) = P n = λn n! e λ (n N 0 ) Der Beweis fogt mit der sogenannten Stiringschen Forme, wird hier aber ausgeassen. Normierung: Erwartungswert: n=0 λ n n! e λ = e λ n=0 n=0 λ n n! }{{} e λ n λn n! e λ = λe λ = e λ e λ = e 0 = λ n (n )! } {{ } =e λ = λ 2.Moment: n=0 n 2 λn n! e λ = λe λ (n )! = d λe λ dλ (n )! n n λn (!) = λe λ d λ n dλ (n )! = d λe λ dλ n λ λ n (n )! n = d ( λe λ λe λ ) dλ }{{} e λ = λe λ (e λ + λe λ ) = λ + λ 2 λ n Varianz: V = 2. Moment m 2 = λ + λ 2 λ 2 = λ Satz: Die Poisson-Verteiung mit Parameter λ > 0 ist gegeben durch die Wahrscheinichkeiten Sie besitzt Erwartungswert und die Varianz P n = λn n! e λ, n N 0. m = λ V = λ. 9

10 Beispie/Anwendung: (i) radioaktive Zerfäe pro Zeiteinheit. (ii) # Rosinen pro Voumeneinheit in (eng.) Kuchen (iii) # Regentropfen pro Pfasterstein und Zeiteinheit (iv) # Pferdehufschagtote in preussischen Kavaerieregimenten Drei Bemerkungen: (i) ( ) α n = α(α )... (α n+) n!, (α R) ( ) α (ii) ( + x) α = x n, für α R und x < (Newton 667) n n=0 (iii) Poisson aus Binomia Ergänzung! Siehe Skript 0

11 .5 Theorie neu beeuchtet, Standardgrößen Zurück zu (Ω, P(Ω), P)(bzw.(Ω, Σ, P)): Da Ω recht abstrakt sein kann ( Farbe,Kopf/Zah), benötigt man noch ein Konzept zum Quantifizieren. Definition.5. (Zufasvariabe, ZV) Unter einer Zufasvariabe (ZV) versteht man eine Abbidung X : Ω R. Die Werte, die X annehmen kann, heißen Ihre Reaisierungen. Je nach Bidbereich nennt man X diskrete oder kontinuieriche Zufasvariabe. Beispie: Ω = {Kopf, Zah}; X : Ω R : X(Kopf) = X(Zah) =0 Wei der Münzwurf zufäig ist, mit Ereignis w Ω, ist auch x = X(w) zufäig. Notation: X für Zufasvariabe, x für Reaisierung (oder auch K für Zufasvariabe, k für Reaisierung) Zuordnung: (im diskreten Fa): p i = P(X = x i ) = Definition.5.2 (Verteiungsfunktion) j X(w j)=x i P(w j ) Sei X eine Zufasvariabe, zum Wahrscheinichkeitsraum (Ω, Σ, P). Dann heißt: die zugehörige Verteiungfunktion. Eigenschaften (i) 0 F(x), mit im x ± F(x) = (ii) x y F(x) F(y) Beipie: Münzwurf: X(Ω) = {0, } R F(x) := P(X x) { (+) 0 ( ) (Monotonie) GRAPH rechtsseitig stetig Für diskrete Zufasvariaben ist die Verteiungsfunktion eine Funktion mit Sprungsteen versehen. Für kontinuieriche Zufasvariaben hingegen sieht das vieeicht so aus: GRAPH

12 Dies iegt nahe: x F(x) }{{} = f(ξ) }{{} dξ Verteiungsfunktion f(ξ)ist Dichtefunktion, f 0, Fäche Beispie: Geichverteiung auf [a, b] GRAPH, Funktionen { f(x) = b a, wenna x b 0, sonst 0, x < a x a F(x) = b a, a x b, b x P(X [α, β]) = β Definition.5.3 (Standardgrößen (E,V,SD)) Ist X eine diskrete Zufasvariabe (über(ω, Σ, P)), so heißt ihr Erwartungswert. Ist X kontinuierich, mit Dichte f(x), so ist Agemein: Weiter heißt E(g(x)) := + α f(x) dx = F(β) F(α) (!) m := E(X) := x i P(X = x i ) m := E(x) := + x f(x)dx g(x) f(x)dx (bzw. E(x) = V = E((X m) 2 ) Varianz von X, und σ = V heißt Standardabweichung. i (g(x i )) P(X = x i )) Lemma.5.: E ( (X m) 2) = E ( X 2) m 2 = E ( X 2) ( E(X) 2) 2

13 Beweis: Wie früher, nämich : E(.) ist inear!!! E ( (X m) 2) =E(X 2 2mX + m 2 ) = E(X 2 ) 2m E(X) +m 2 E() }{{}}{{} m = =E(X 2 ) 2m 2 + m 2 =E(X 2 ) m 2 =E(X 2 ) (E(X)) 2 3

14 Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake) WS 2007 TEXed by mpaffen , VL 05 2 Statistik Angenommen, wir haben eine faire Münze. Sie wird 4 ma geworfen. Wie hoch ist dann die Wahrschienichkeit 2 ma Kopf zu erhaten. P 4 (2 Erfoge) = ( ) 4 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 Wahrscheinichkeitsrechnung Berechne Wahrscheinichkeiten Schüsse über die Verteiung (schießende Statistik) Sammung und Darsteung von Daten (Beschreibende Statistik) 2. Grundegende Definitionen Beschreibende Statistik befasst sich mit der Sammung und Darsteung der Daten. Schießende Statistik zieht Schüsse über die Verteiung auf Geund von gesammeten Daten. Statistiche Einheiten sind die Objekte/Personen, über die wir unsere Daten samme, Gegenstück in der Wahrscheinichkeitsrechnung ist ω. Grundgesamtheit ist die Menge aer statistischen Einheiten. Gegenstück in der Wahrscheinichkeitsrechnung ist Ω. Stichprobenumfang nennt man die Größe der Stichprobe. Stichprobe ist eine Teimenge der Grundgesamtheit. (Teigesamtheit). x,...,x n. Die einzenen Eemente der Stichprobe müssen dabei zufäig (gut gemischt) aus der Grundgesamtheit ausgewäht werden. Merkmae sind Größen, die an den statistischen Einheiten gemessen werden. Merkmasprägungen sind die mögichen Werte der Merkmae. 2.. Merkmatypen Diskrete Merkmae haben endich viee oder abzähbar unendiche mögiche Werte. Stetige Merkmae können ae Werte eines Intervas annehmen. Stetige Merkmae assen sich durch Gruppierung des Intervas in diskrete Merkmae transformieren. 4

15 2..2 Skaen Nominaskaierte Merkmae sind soche, deren Werte Namen (Bezeichnungen) sind. (Farbe, Reigion, Geschecht) Ordinaskaierte Merkmae sind deren Werte Ordnungsreationenn zuassen, aber Wertedifferenzen haben keine Bedeutung. (Engagement) Intervaskaierte Merkmae erauben Ordnungsreationen und die Wertedifferenzen enthaten Informationen. (Temperatur) 2.2 Intervaskaierte Größen Merkma Ausprägung Stichprobe Skaenart auszähen ordnen Differenz biden nomina ja nein nein ordina ja ja nein interva ja ja ja Zufasvariabe X Die Mögichen Werte von X x, x 2,..., x n (unabhängige, zufäige n Reaisierungen von X) Ordne nach Werten ξ < ξ 2 <... < ξ r, r n Absoute Häufigkeiten Reative Häufigkeiten approkimierte wahrscheinichkeit empirischer Mittewert empirische Varianz n, n 2,..., n r, n j = n h j := n j n, hj = h = n n, h 2 = n 2 n,..., h r = n r n x x 2... x n ξ < ξ 2 <... < ξ r n n 2... n r h h 2... h r im n h j = p j = P(X = ξ j ) x := x x n n j = n r n i ξ i i= s 2 := (x x) (x n x) 2 n 5

16 Index Binomia -verteiung, 3 Binomiaverteiung, 5 Ereignisraum, 2 Erwartungswert, 3 Binomiaverteiung, 5 fair, 2 Geichverteiung, 5 Grundraum, 2 Münzwurf, 2 -mehrfacher, 2 Mittewert, 3 Raum Ereignis-, 2 Grund-, 2 Standardabweichung, 4 Varianz, 4 Binomiaverteiung, 5 Verteiung Binomia-, 3 Wahrscheinichkeitsraum, 6 6