Ausgewählte Probleme der Ökonometrie

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1 Ausgewählte Probleme der Ökonometrie Bernd Süßmuth IEW Institute für Empirische Wirtschaftsforschung Universität Leipzig November 28, 2011 Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

2 Kurzüberblick 1 Wiederholung: Multiples Regressionsmodell 2 Endogenität und IV-Schätzung 3 Modelle für longitudinale Daten (Random- und Fixed-E ects) 4 Box-Jenkins-Ansatz (ARIMA) 5 GARCH-Modelle 6 VAR-Modelle und Impulsantwortfunktion 7 Fehlerkorrekturmodell Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

3 Contents I 1 Klassisches lineares Regressionsmodell 2 Endogenität und IV-Schätzung 3 Modelle für longitudinale Daten: Panel-Modelle 4 Box-Jenkins-Ansatz (ARIMA) Box-Jenkins: Das Wichtigste in Kürze Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

4 Additives Unbeobachtetes Komponentenmodell (UKM) Reihe = Saisonkomponente + zyklische Komponente + Trend + Rest bn $ US year Verkaufszahlen des US-Einzelhandels (nach Monaten) Quelle: US Bureau of the Census Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

5 Multiplikatives UKM Reihe = Saisonkomponente zyklische Komponente Trend Rest Visuelle Indizien: Volatlität steigt mit steigendem Trend Legt nahe das Modell zu log-linearisieren (mithilfe von ln) ln Reihe = ln Saisonkomponente + ln zyklische Komponente + ln Trend + ln Rest Wir sehen im folgenden von der Saisonkomponente ab Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

6 Idealer Bandpass lter: Gain, ptf ( Verstärker ) β (ω) = ( 1 wenn ω1 ω ω 2 0 sonst Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

7 Anguläre, ordinäre und Nyquist-Frequenz ω j bezeichnet anguläre (nicht ordinäre) Frequenzen Anguläre Frequenz ω [Radian], ordinäre Frequenz f [Zeit-eh.] Periodenlänge (T ) = 2π ω = 2π 2πf, wobei ω = 2πf, f = ω 2π Frequenz wird auf Abszisse abgetragen entweder für [0; π] od. [0; 0, 5] Warum ist dabei 0,5 der Endwert? I I Weil die höchstmögliche Frequenz die Nyquist-Frequenz ist und die Nyquist-Frequenz hat eine Länge von 2 Perioden Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

8 : Grundidee min ey t T t=1 (y t ey t ) 2 + λ [(ey t+1 ey t ) (ey t ey t 1 )] 2 ; [alles. in ln] 1. Summe: Abweichung des Trends ey von Daten y 2. Summe: 2. Trenddi erenz, d.h. Steigungsänderung des Trend Parameter λ gibt die Glätte des Trends an Häu g gewählt: 100 für Jahres, für Quartals-Daten In EViews: hpf (Achtung gibt Trendfunktion, nicht ge ltertes y) Wichtige Bemerkung: I I detrended series gain (DSG) eines HP ist high-pass trend function s gain (TFG) eines HP ist low-pass Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

9 : Trendfunktionsgain (TFG) Links: HP für Jahresdaten λ = 100 (durchgezogen), λ = 6.25 (gestrichelt: Ravn/Uhlig-HP); rechts: für Quartalsdaten λ = 1, 600 (Hodrick/Prescott) Randnotiz: Eine nette Eigenschaft des HP-Filters ist, dass wir ihn parallel oder sequentiell geschaltet nutzen können, um einen Bandpass-Filter anzunähern Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

10 : Detrended series gain (DSG) Baxter-King lter (band: 6 to 32 quarters) vs. HP(1,600) [black colored line] Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

11 Box-Jenkins: Das Wichtigste in Kürze Contents I 1 Klassisches lineares Regressionsmodell 2 Endogenität und IV-Schätzung 3 Modelle für longitudinale Daten: Panel-Modelle 4 Box-Jenkins-Ansatz (ARIMA) Box-Jenkins: Das Wichtigste in Kürze Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

12 Box-Jenkins: Das Wichtigste in Kürze Zentrale Schritte des Box-Jenkins-Ansatzes: Schritt 1 Transformieren der Daten zu kovarianzstationärem Prozess Schritt 2 ARMA-Prozess mögl. niedriger Ordnung anpassen (Prinzip der Parsimonität) Schritt 3 Schätzen der Parameter des Prozesses Schritt 4 Prüfen, ob der geschätzte Prozess die Daten gut beschreibt Schritt 5 Geht Schritt 4 OK, vorhersagen; sonst zurück zu Schritt 2 Üblicherweise beinhaltet der Ansatz auch stochastische Trends (ARIMA-Modelle) Schritt 4 erfolgt normalerweise mithilfe der ACF. Die Ordnung der ARMA -Modelle wird in der Regel auf Basis von Informationskriterien gewählt (AIC, BIC). Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

13 Box-Jenkins: Das Wichtigste in Kürze ACF/PACF geben Aufschluss, welches Modell ein guter Start-Ansatz ist ARMA(p, q) % & ACF fällt (exp oder sinusartig) beginnend am Lag q PACF fällt (exp oder sinusartig) beginnend am Lag p Bernd Süßmuth (Universität Leipzig) APÖ November 28, / 13

14 ARIMA Spezi kation ADF Test HP Filter Korrelogramm ARMA Spektrum Korrelogramm Die Autokorrelationsfunktion (ACF) ist de niert als die Abfolge der Autokorrelationskoe zienten k = P T k t=k+1 = (y t k y)(y t y) P T 0 t=1 (y t y) 2 Die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) gibt die verbleibende Korrelation der Zeitreihe mit ihrem Lag k an, nachdem der " E ekt" der Lags 1; :::; k 1 bereits herausgerechnet wurde. Berechnung: ^ k eines AR(k)-Modells.

15 ARIMA Spezi kation ADF Test HP Filter Korrelogramm ARMA Spektrum Korrelogramm Eine idealtypische AR(p)-Zeitreihe weist p signi kante Lags in der PACF auf (und hat viele Ausschläge in der ACF). Eine idealtypische MA(q)-Zeitreihe weist q signi kante Lags in der ACF auf (und hat viele Ausschläge in der PACF). Idealtypisches weißes Rauschen hat keine signi kanten Ausschläge in ACF oder PACF. Bei einem Random Walk Prozess fällt sie ACF nur sehr langsam von 1 ab (hängt von Stichprobenumfang ab).

16 ARIMA Spezi kation ADF Test HP Filter Korrelogramm ARMA Spektrum Korrelogramm Weißes Rauschen hat (näherungsweise) k = 0 8k > 0. Ljung-Box Teststatistik: mx Q = T(T + 2) T k=1 1 k ^2 k Bei weißem Rauschen gilt: Q 2 m ARMA-Residuen sollten keine signi kante Q-Statitistik aufweisen.

17 ARIMA Spezi kation ADF Test HP Filter Korrelogramm ARMA Spektrum ARMA Spektrum Die Spektraldichte gibt auf Basis der Autokorrelationsstruktur an, welchen relativen Beitrag Schwingungen verschiedener Frequenzen zur gesamten Varianz der Zeitreihe liefern. ARMA Modelle implizieren auch Autokorrelationen, die in die Spektraldichte f umgerechnet werden können. f () = j 1 P q h=1 h expfi2hg j P 2 j 1 p j=1 j expfi2jg j 2 Frequenz 2 [0; 0:5] i Imaginäre Zahl p 1 Achtung: In EViews werden die Frequenzen im Bereich [0; ] angegeben. Nach Division durch 2 ist die Frequenz als Zahl der Zyklen pro Beobachtungsperiode zu interpretieren.