Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse

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1 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA , überarbeitete und erweiterte Auflage springer-gabler.de

2 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse, 3. Auflage 2015 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler 2 Foliensammlung zu den Kapitel 6 bis 8 Springer Gabler Wiesbaden 2015

3 Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse (6) Indexrechnung Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

4 Indexrechnung Einführung Bisher: Mit Hilfe einer Reihe von möglichen unabhängigen Variablen wird der Absatz eines Kleides prognostiziert. Dabei haben sich die Merkmalsausprägungen auf ein und denselben Zeitpunkt bezogen, denn zur Bestimmung der Absatzmenge (als abhängige Variable) wurde die Größe der Abbildung im Katalog (als unabhängige Variable) zum selben Zeitpunkt bzw. zum selben Zeitraum herangezogen. Beziehen sich alle Informationen auf den selben Zeitraum, spricht man von einer Querschnittsanalyse (engl.: cross-section analysis). Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

5 Indexrechnung Einführung Werden die Daten hingegen zeitlich geordnet analysiert, spricht man von einer Zeitreihenanalyse (engl.: time series analysis) oder einer Längsschnittanalyse (engl.: longitudinal-section analysis). Voraussetzung: Die abhängigen und unabhängigen Variablen eines Datensatzes können jeweils einem bestimmten Zeitpunkt (t=1,, n) zugeordnet werden. Im einfachsten Fall: Die Zeit selbst wird als unabhängige Variable auf der x- Achse aufgetragen. Die Zeitreihe ist in diesem Fall nichts anderes als die Verbindung von gleichartigen Sachverhalten über verschiedene Zeiträume hinweg Preisentwicklung von Dieselkraftstoff. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

6 Indexrechnung Einführung Beispiele für kompliziertere Fälle von Zeitreihenanalysen: Beispiel 1: Konsum in der nächsten Periode hängt nicht von der Zeit selbst, sondern je nach theoretischem Ansatz - vom Einkommen in der gleichen oder einer Vorperiode ab. Beispiel 2: Zum Zeitraum t ergibt sich die Nachfrage nach einem bestimmten Konsumgut y t aus dem Preis (p t ), den Werbeausgaben (a t ) der selben Periode und der Nachfrage aus der Vorperiode (y t-1 ). Ist die unabhängige Variable auf der x-achse also nicht die Zeitvariable selbst, sondern eine an die Zeit gebundene (andere) unabhängige Variable, wird das methodische Vorgehen sehr viel aufwändiger. Deshalb: Beschränkung auf die einfache Technik der Zeitreihen: Die Indexrechnung! Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

7 Indexrechnung Einführung Grund für den medialen Erfolg der Indexrechnung: Indexrechnung findet Eingang in die tägliche Presse (z.b. die Entwicklungen der Arbeitslosenquote, der Preise und des Wirtschaftswachstums, DAX, Dow Jones) und werden mit Spannung erwartet. Eine zeitpunktbezogene Betrachtung wird durch Zeitreihen dynamisiert. Swoboda (1971, S. 96) verwendet den treffenden Vergleich eines Filmes, der ebenfalls aus Einzelbildern zusammengesetzt ist, die durch das Hintereinanderabspielen eine Dynamik erzeugen, die Muster und Handlungen erkennen und im Hinblick auf die Zukunft ausmalen lassen. Themen der Indexrechnung 1. Preisindex 2. Mengenindex 3. Wertindex 4. Rechentechniken der Indexrechnung (Umbasieren; Deflationieren) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

8 Indexrechnung Preisindex: Preisrelativ Einfachster Ansatz: Preisrelativ (engl.: price relative) Die (ungewichtete) prozentuale Preisveränderung im Vergleich zu einem Basisjahr Beispiel: Dieselpreisveränderung zwischen 2001 und 2007: Was muss ich tun, wenn ich eine Veränderung bzgl. eines anderen Basisjahres berechnen möchte? Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

9 Indexrechnung Preisindex: Umbasieren von Preisrelativen Umbasieren von Preisrelativen auf ein anderes Basisjahr: Wie ist die Prozentuale Veränderung zwischen 2005 und 2007 (bezogen auf das Basisjahr 2005), wenn ich den Wert aus der Indexreihe des Basisjahres 2001 berechnen möchte? Lösung: Die alte Preisrelativreihe mit dem Basisjahr 2001 wird durch das Preisrelativ des Jahres 2005 geteilt. Alle Werte der Reihe mit dem Basisjahr 2001 werden durch 1,30 geteilt Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

10 Indexrechnung Preisindex: Umbasieren von Preisrelativen Umbasieren von Preisrelativen auf ein anderes Basisjahr: Wie ist die Prozentuale Veränderung zwischen 2004 und 2007 (bezogen auf das Basisjahr 2004), wenn ich den Wert aus der Indexreihe des Basisjahres 2001 berechnen möchte? Lösung: Die alte Preisrelativreihe mit dem Basisjahr 2001 wird durch das Preisrelativ des Jahres 2004 geteilt. Grund für die Darstellung alles Indexreihe. Indexreihen machen dynamische Entwicklungen vergleichbar. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

11 Indexrechnung Preisindex: Vergleich von Indexreihen Indexreihen machen dynamische Entwicklungen vergleichbar. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

12 Indexrechnung Preisindex bei heterogenen Produktgruppen Das dargestellte Preisrelativ eines homogenen Gutes ist nicht mehr anwendbar, wenn heterogene Produktgruppen vorliegen! Beispiel: Wie haben sich die Preise aller Treibstoffarten im Aggregat (Diesel, Benzin und Superbenzin) entwickelt? Lösung: Der gewichtete aggregierte Preisindex (engl.: weighted aggregated price index). Idee: Definition von sog. Warenkörben, deren Preisentwicklung dann als Index dargestellt werden können. Die Vergleichbarkeit von Preisen unterschiedlicher Perioden bleibt nur dann gewährleistet, wenn die Zusammensetzung des Warenkorbes und die Gewichtungen der im Warenkorb enthaltenen Produkte über den Zeitverlauf unverändert bleiben (engl.: fixed-weighted aggregated price index). Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

13 Indexrechnung Preisindex bei heterogenen Produktgruppen Beispiele für Warenkörbe: Verbraucherpreisindex für die Bundesrepublik Deutschland vom Statistischen Bundesamt: Er umfasst ca. 700 Produkte des Alltags, für die monatlich Preise ermittelt werden. Dabei gehen die einzelnen Preise nur mit einer bestimmten Gewichtung ein, die sich aus dem Verbrauch eines durchschnittlichen Konsumenten aus einem repräsentativen deutschen Haushalt bestimmt. Beispielsweise beträgt der Anteil der Kaltmietpreise 20,3 Prozent im Verbraucherpreisindex. In Abweichung vom Durchschnittskonsumenten können individuell unterschiedliche Lebensweisen natürlich auch zu anderen persönlichen Teuerungsraten führen Annahme aus unserem Treibstoffbeispiel: Warenkorb wird definiert durch eine festgelegte Menge Diesel, Normal- und Superbenzin Problem: I.d.R. verändern sich Mengenverhältnisse. Welche Mengen sollen für den Warenkorb angenommen werden? Die aus der Basisperiode oder die aus der Berichtsperiode? Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

14 Indexrechnung Preisindex nach Laspeyres Werden die Gewichte aus dem durchschnittlichen Verbrauch der Basisperiode (t=0) ermittelt, handelt es sich um den weltweit wohl bekanntesten und auch vom Statistischen Bundesamt verwendeten - Index nach Laspeyres: Nicht selten werden Indexzahlen mit dem Wert 100 oder (DAX) multipliziert. So gibt das Statistische Bundesamt die Inflation durch den mit 100 multiplizierten Wert von an: Im weiteren Verlauf werden die Indexwerte nur dann mit 100 multipliziert, wenn dies ausdrücklich angegeben ist. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

15 Indexrechnung Preisindex nach Laspeyres Wie hat sich der gesamte Kraftstoffpreis im Jahr 2007 im Vergleich zum Basisjahr 2001 entwickelt, wenn die Gewichtungen und somit die Verbrauchsanteile für die verschiedenen Kraftstoffe - seit 2001 gleich geblieben wären. Zähler: Preise der Beobachtungsperiode t=2007 (p i,2007 ) für Diesel, Benzin und Superbenzin werden mit den Verbrauchsmengen aus der Basisperiode 2001 q i,2001 gewichtet und aufaddiert. Nenner: Addition der mit den Preisen der Basisperiode (p i,2001 ) bewerteten Anteile der Basisperiode im Nenner Angenommenes Mengenverhältnis bei Laspeyres Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

16 Indexrechnung Preisindex nach Laspeyres Wie hat sich der gesamte Kraftstoffpreis im Jahr 2007 im Vergleich zum Basisjahr 2001 entwickelt, wenn die Gewichtungen und somit die Verbrauchsanteile für die verschiedenen Kraftstoffe - seit 2001 gleich geblieben wären. Anstelle der absoluten Marktmengen können auch die Verbrauchsanteile verwendet werden Das Preisniveau ist somit von 2001 bis 2007 um 36,5 Prozent angestiegen! Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

17 Indexrechnung Preisindex nach Laspeyres Generelle Probleme bei aggregierten Preisniveaus Repräsentativität der Zusammensetzung des Warenkorbes: Es interessiert einen Autofahrer eines Benzinfahrzeuges nicht, wenn der Preis für Diesel zunimmt, der Preis für Benzin aber unverändert bleibt. Er wird dann vielleicht mit Verwunderung vernehmen, dass der Index für die durchschnittlichen Kraftstoffpreise angeblich steigt. Je unterschiedlicher Verbrauchsstrukturen sind, umso mehr tritt dieses Problem zu Tage. In der Gesamtsumme aller Haushalte ist die Preisentwicklung allerdings durchaus stimmig abgebildet. Problem der Verkaufsstelle und der Qualität des Produktes: Es existieren regionale Preisunterschiede. Aber selbst innerhalb eines Stadtviertels kann der Preis eines Produktes um mehrere Eurocent differieren, sodass bei veränderter Wahl der Verkaufsstätten die Preisschwankungen künstlich erzeugt würden. Die Preisermittler der statistischen Ämter sind deshalb dazu angehalten, Verkaufsstellen und Produktqualitäten möglichst nicht zu wechseln. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

18 Indexrechnung Preisindex nach Laspeyres Spezielle Probleme des Preisindex nach Laspeyres Verkaufsstellenwechsel der Kunden (z. B. Tendenz zu Großmärkten) Verbrauchsanteile von Produkten verändern sich im Zeitverlauf ( Veraltende Warenkörbe ) Produktsubstitution (insbesondere in schnelllebigen Branchen) Anpassung der Warenkörbe durch die statistischen Ämter ca. alle 5 Jahre Um veraltenden Warenkörben entgegen zu wirken, kann man auch den Preisindex nach Paasche verwenden, der für jede Periode von einem neuen Warenkorb ausgeht, dessen Verbrauchsanteile genau denen des Berichtsjahres entsprechen. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

19 Indexrechnung Preisindex nach Paasche Werden die Gewichte aus dem durchschnittlichen Verbrauch der Berichtsperiode (t=t) ermittelt, handelt es sich um den weltweit wohl bekanntesten und auch vom Statistischen Bundesamt verwendeten - Index nach Paasche: Zähler: Preis, den man für einen im Berichtsjahr vorliegenden Warenkorb im bezahlen muss. Nenner: Preis, den man für einen im Berichtsjahr vorliegenden Warenkorb in einem zurückliegenden Basisjahr hätte bezahlen müssen. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

20 Indexrechnung Preisindex nach Paasche Wie hat sich der gesamte Kraftstoffpreis im Jahr 2007 im Vergleich zum Basisjahr 2001 entwickelt, wenn der Warenkorb des Berichtsjahres unterstellt wird Angenommenes Mengenverhältnis bei Paasche Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

21 Indexrechnung Preisindex: Vergleich Paasche und Lapeyres Vergleicht man die Ergebnisse des Laspeyres Index (36,5 Prozent) mit denen des Paasche Index (37,2 Prozent), so liegt die Inflationsrate beim Paasche Index über der des Laspeyres Index Ist dies der Fall, haben die Kunden zwischen den beiden Perioden ihre Nachfrage zu den Produkten, die sich - relativ gesehen - stärker verteuert haben, verschoben. Dieselkraftstoff ist in absoluten Beträgen gerechnet nach wie vor billiger als die anderen Kraftstoffe, was wohl letztlich auch dessen Zunahme der Verbrauchsanteile von 50,5 Prozent auf 57,7 Prozent zwischen 2001 und 2007 erklärt. Allerdings beträgt die Preissteigerung rund 42 Prozent, während sich Normalbenzin nur um 32 Prozent und Superbenzin nur um 31 Prozent verteuerten. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

22 Indexrechnung Preisindex nach Fisher Aufgrund dieser ökonomischen Rationalität liegt der Laspeyres Preisindex fast immer über dem Paasche Index, auch wenn dies wie unser Beispiel gezeigt hat nicht immer der Fall sein muss. Aufgrund der divergierenden Ergebnisse schlug Irving Fisher ( ) das geometrische Mittel aus dem Index nach Laspeyres und dem Index nach Paasche zur Berechnung des sogenannten Index nach Fisher vor: Dieser beschreitet somit einen diplomatisch ausgleichenden Weg zweier widerstreitender Konzepte, unterstellt allerdings unterschiedliche Warenkörbe mit verschiedenen Produkten und Gewichtungen, sodass ein eindeutiges Warenkorbkonzept fehlt. Auch bleibt das generelle Problem der jährlich notwendigen Neudefinition der Verbrauchsanteile im Warenkorb für den Index nach Paasche bestehen, was letztlich eine Neuberechnung der Inflationsraten - auch der zurückliegenden Jahre - erfordert. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

23 Indexrechnung Aufgabe In der nachfolgenden Tabelle ist für die Güter A, B, C und D die Preis- und Mengenentwicklung der Jahre 1 und 3 angegeben. a. Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres für das Berichtsjahr 3 mit dem Basisjahr 1! Interpretieren Sie die Ergebnisse! b. Berechnen Sie den Preisindex nach Paasche für das Berichtsjahr 3 mit dem Basisjahr 1! Interpretieren Sie die Ergebnisse! c. Warum ist die ausgewiesene Inflation i.d.r. beim Paasche Index geringer? d. Berechnen Sie den Preisindex nach Fisher für das Berichtsjahr 3 mit dem Basisjahr 1! e. Wie hoch ist die jährliche Preissteigerung in Prozent, wenn Sie den Preisindex nach Laspeyres berechnet haben? Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

24 Indexrechnung Aufgabe a. b. Die Inflationsrate zwischen den beiden Beobachtungsjahren beträgt 14 Prozent. Die Inflationsrate zwischen den beiden Beobachtungsjahren beträgt 12 Prozent. c. Die ausgewiesene Inflation beim Paasche Index ist deshalb geringer, weil sich die Nachfrage im Zeitverlauf zugunsten von Produkten mit einer unterdurchschnittlichen Preissteigerung verschoben hat. Substitution der Produkte mit überdurchschnittlicher Preissteigerung durch Produkte B und C: Produkt B hat sich mit 3,7 Prozent nur unterdurchschnittlich verteuert, Produkt C sogar um 7,1 Prozent verbilligt. Beide Produkte zusammen haben in der dritten Periode einen um vier Prozentpunkte erhöhten Verbrauchsanteil. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

25 Indexrechnung Aufgabe: Preisindex d. Die Inflationsrate zwischen den beiden Beobachtungsjahren beträgt 13 Prozent. e. 6,77% Preissteigerungsrate. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

26 Indexrechnung Mengenindex: Mengenrelativ Neben dem Preisindex gibt es eine Reihe wichtiger anderer Indizes, von denen besonders der Mengenindex (engl.: quantity index) bedeutsam ist: Analog zum einfachen Preisrelativ lässt sich die Mengenveränderung eines homogenen Produktes durch ein ungewichtetes Mengenrelativ darstellen: Beispiel: Veränderung des Dieselkraftstoffabsatzes zwischen 2001 und 2003? Bei (nicht homogenen Produkten) Warenkörben: Wie hat sich die mit konstanten Preisen einer gegebenen Periode - gewichtete Menge eines definierten Warenkorbes zwischen einer Basisperiode und einer Beobachtungsperiode verändert (gewichtete aggregierte Mengenindex)? Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

27 Indexrechnung Mengenindex: nach Laspeyres/ Paasche / Fisher Mengenindex nach Laspeyeres geht von einem in der Basisperiode definierten Warenkorb und den damit verbundenen konstanten Preisen aus. Mengenindex nach Paasche legt den Warenkorb und die konstanten Preise der Beobachtungsperiode zugrunde. Mengenindex nach Fischer Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

28 Indexrechnung Mengenindex nach Laspeyres: Ein Beispiel Wie hat sich beispielsweise der Kraftstoffabsatz zwischen 2001 und 2007 A) einerseits zu konstanten Preisen aus 2001 (Laspeyres) und B) andererseits zu konstanten Preisen aus 2007 (Paasche) entwickelt Angenommene Preise bei Laspeyres Das Ergebnis zeigt, dass der mit den Preisen der Basisperiode 2001 bewertete Kraftstoffabsatz (Mengenindex nach Laspeyres) in 2007 im Vergleich zu 2001 um 12,2 Prozent zurückgegangen ist! Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

29 Indexrechnung Mengenindex nach Paasche: Ein Beispiel Wie hat sich beispielsweise der Kraftstoffabsatz zwischen 2001 und 2007 A) einerseits zu konstanten Preisen aus 2001 (Laspeyres) und B) andererseits zu konstanten Preisen aus 2007 (Paasche) entwickelt Das Ergebnis zeigt, dass der mit den Preisen der Beobachtungsperiode 2007 gewichtete Kraftstoffabsatz um 11,7 Prozent zurückgegangen ist (Mengenindex nach Paasche Angenommene Preise bei Paasche Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

30 Indexrechnung Wertindex Der Wertindex häufig auch als Umsatzindex bezeichnet - lässt sich weder allein aus dem Produkt von Laspeyres Preis- und Mengenindex noch allein aus dem Produkt von Paasches Preis- und Mengenindex ableiten. Nur das Produkt aus Fishers Preis- und Mengenindex ergibt tatsächlich den gültigen Wertindex. Alternativ kommt man allerdings auf das gleiche Ergebnis, wenn man entweder Paasches Mengenindex mit Laspeyres Preisindex, oder Laspeyres Mengenindex mit Paasches Preisindex multipliziert. Es gilt somit: Beispiel: Der Kraftstoffumsatz ist 2007 im Vergleich zu 2001 um 20,5 Prozent gestiegen. Die Berechnungen ergeben sich dabei wie folgt: Mengenindex nach Fischer Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

31 Indexrechnung Deflationierung von Zeitreihen Entscheidungsträger sind an der realen also der inflationsbereinigten - Veränderung von Kenngrößen interessiert, welche die Wertentwicklung zu jeweils konstanten Preisen ausdrückt. Beispiel: Entwicklung der durchschnittlichen Lohnzahlungen pro Mitarbeiter in zwei Unternehmen, die in zwei verschiedenen Ländern mit jeweils unterschiedlichen Inflationsraten tätig sind. Auf das Basisjahr 2000 bezogen nimmt in Unternehmen 1 der nominale Lohn zwischen 2003 und 2004 um 0,5 Prozent zu. Allerdings ist für den gleichen Zeitraum eine Inflation von 1,5 Prozent zu beobachten. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

32 Indexrechnung Deflationierung von Zeitreihen Die Berechnung der Preisbereinigung bzw. die Deflationierung erfolgt dabei durch Division der nominalen Werte durch den Preisindex. Im Vorjahr beträgt der Wert noch 1.834,62 (siehe Tabelle), sodass die Arbeitnehmer in 2004 einen Kaufkraftverlust hinnehmen müssen. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

33 Indexrechnung Umbasierung Das Statistische Bundesamt erstellt in regelmäßigen (zumeist fünfjährigen) Abständen einen neuen Warenkorb und trägt somit der großen Dynamik auf den Produktmärkten Rechnung. Streng genommen ist eine Messung von Preis- und Mengenindizes nur bei Zugrundelegung ein und desselben Warenkorbes möglich, was allerdings eine Inflationsberechnung oder Deflationierung über eine längere Zeitreihe unmöglich machen würde Aus diesem Grund kommt die Technik des Umbasierens und der Verkettung zum Einsatz. Letztlich lässt sich beim Umbasieren für jede Indexreihe ein beliebiges Jahr als Basisjahr festlegen, wodurch sich die Indexwerte aller Jahre gemäß folgender Vorschrift verändern Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

34 Indexrechnung Umbasierung Beispiel: Der Index für die Veränderung der realen Einkommenswerte im Unternehmen 2 basiert zunächst auf dem Jahr 2002 (siehe vorletzte Spalte). Wollen wir diese Entwicklung nun auf das Basisjahr 2000 basieren, um sie mit der entsprechenden Indexreihe des Unternehmens 1 vergleichen zu können, müssen wir jeden Indexwert des Unternehmens 2 durch den Indexwert für das Jahr 2000 dividieren. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

35 Indexrechnung Verkettung Verkettung ermöglicht, gleichartige Indizes mit unterschiedlichen und zeitlich begrenzten Warenkörben miteinander zu verknüpfen. Einzige Bedingung hierfür ist, dass sich jeweils zwei dieser Zeitreihen in einer Beobachtungsperiode ( ) überlappen. Erfolgt die Verkettung in der Vorwärtsrechnung, bleibt der Index mit den ältesten Beobachtungen (I 1 zwischen den Zeitpunkten 0 und ) unverändert und die jüngere überlappende Indexreihe (I 2 ) wird auf diese umbasiert Bei der Rückwärtsrechnung bleibt der Index mit den jüngsten Beobachtungen (I 2 ab dem Zeitpunkt ) unverändert und die Werte der älteren überlappenden Indexreihe (I 1 ) werden durch den überlappenden Wert des jüngeren Index (zum Zeitpunkt ) dividiert Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

36 Indexrechnung Verkettung: Beispiel Vorwärtsrechnung Rückwärtsrechnung Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

37 Indexrechnung Aufgabe Gegeben seien folgende Informationen: 1. Ermitteln Sie den nominalen Wertindex [2005=100]! 2. Verketten Sie die gegebenen Preisentwicklungen auf das Basisjahr 2004! 3. Basieren Sie die so gewonnene Indexreihe auf das Basisjahr 2005 um! 4. Ermitteln Sie die reale Wertentwicklung und den realen Wertindex bezogen auf das Basisjahr 2005! Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

38 Indexrechnung Aufgabe: Lösung Zu 1 ) Zu 2 ) Zu 3 ) Beispielhafte Berechnungen: Zu 1) Nominaler Wertindex [2005=100] für 2007: Zu 2) Verkettung der Preisentwicklung [2004=100] für 2008: Zu 3) Umbasierung des Preisindex [2004=100] auf [2005=100] für 2008: Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

39 Indexrechnung Aufgabe: Lösung Zu 1 ) Zu 4 ) Zu 5 ) Zu 2 ) Zu 3 ) Beispielhafte Berechnungen: Zu 4) Reale Wertentwicklung für 2008: Zu 5) Reale Wertindex [2005=100] für 2008: Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

40 Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse (7) Clusteranalyse Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

41 Schritte der Cluster-Analyse 1. Schritt: Die Idee der Cluster-Analyse 2. Schritt: Die Hierarchisch Agglomerative Cluster-Analyse 3. Schritt: Ein Beispiel zur Hierarchisch Agglomerative Cluster-Analyse 4. Schritt: Cluster-Analyse mit SPSS 5. Schritt: Übung zur Cluster-Analyse 6. Schritt: k-means-cluster-analyse Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

42 Cluster -Analyse Cluster in der Physik (Quartz Kristalle) Cluster in der Astronomie ( Sterne ) Cluster in der Ökonomie ( Länder-Cluster ) Umsatz Cluster in der Chemie (Atome) Länder BSP Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

43 Cluster-Analyse Definition von Cluster Gruppe von Objekten oder Subjekten 1. mit ähnlichen Eigenschaften innerhalb der Gruppe 2. aber mit wenig ähnlichen Eigenschaften zwischen den Gruppen sales countries GNP Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

44 Cluster-Analyse Zielsetzung der Clusteranalyse Identifikation homogener Gruppen/Cluster In einer Menge heterogener Objekte/Subjekte In Bezug auf Eigenschaften sales countries Die Eigenschaften sind vorher festzulegen GNP Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

45 Cluster-Analyse Single Linkage Shortest Single Linkage chaining Complete Linkage Longest Average Linkage Centroid Linkage Ward Linkage Min(with-in sum of sqares) of all cluster Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

46 Cluster-Analyse 1. Schritt: Messung der Homogenität Kosten pro Liter b 2 a 2 c 2 Budweiser Light Dos Equis Distance (D): Differenz zwischen zwei Objekten Two-Dimension-Case Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 Kalorien pro Liter Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

47 Cluster-Analyse 1. Schritt: Messung der Homogenität Dos Equis Distance (D): Differenz zwischen zwei Objekten r-dimensionaler Fall Euclidische Distanz Budweiser Light Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

48 Cluster-Analyse 1. Schritt: Messung der Homogenität Distanzen als Maß für Homogenität D(Bud,Tub)=11 D(Bud, Deq)=1,04? Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

49 Cluster-Analyse Dos Equis Z D(Bud,DEq)=1,84 Budweiser Tuborg Z D(Bud,Tub)=0,34 Unterschiedliche Maßeinheiten erfordern Standardisierung (z-transformiert) der Eigenschaften. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

50 Cluster-Analyse 2. Schritt: Fusionierung Hierarchischer Ansatz 0,009 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

51 Cluster-Analyse 2. Schritt: Fusionierung Hierarchischer Ansatz 1. Neues Cluster: Heineken & Becks 2. Status quo: Jetzt 16 Cluster Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

52 Cluster-Analyse Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

53 Cluster-Analyse Aufgabe: Finde die richtige Clusteranzahl Stop-Kriterium Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

54 Cluster-Analyse 2. Schritt: Fusionierung Hierarchischer Ansatz Agglomeration Schedule Distanz Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

55 Cluster-Analyse 2. Schritt: Fusionierung Dendrogramm Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

56 Cluster-Analyse 3. Schritt: Festlegung der Cluster-Anzahl Distanzzuwachs Anzahl der Cluster Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

57 Cluster-Analyse Cluster zugehörigkeit Distanz Matrix Bereich der Lösungen Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

58 Cluster-Analyse Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

59 Cluster-Analyse 1. Distanzmaße können durch Invertierung zu Ähnlichkeitsmaßen gemacht werden. 2. Es können nicht unterschiedliche Skalenniveaus in einer Clusteranalyse verwendet werden! Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

60 Cluster-Analyse: Die wichtigsten Annahmen Die Cluster-Analyse ist keine Inference-Technik, so dass keine Voraussetzungen an die Verteilung, Homoscedastizität etc. gestellt werden müssen Representativität Existieren zwei (oder mehrere) multikollineare Variablen, so ist die Gefahr groß, dass diese Dimension im Modell doppelt (bzw. mehrfach) vertreten ist. Beobachtungen, die hinsichtlich dieser Dimension eine große Ähnlichkeit aufweisen, haben somit eine höhere Wahrscheinlichkeit in ein gemeinsames Cluster zu gelangen. Die agglomerative Cluster-Analyse besitzt eine von der Anzahl der Beobachtungen quadratisch abhängige Rechenkomplexität: Bei n Beobachtungen sind n*(n-1)/2 Distanzen in einer Distanzmatrix zu ermitteln. Bei großen n sollte eine Clusterzentren-Analyse durchgeführt werden. Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

61 Cluster-Analyse K-Means Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

62 Cluster-Analyse Rechenkomplexität: (n*(n-1)/2) mögliche Distanzberechnungen = 6*(6-1)/2= Problem bei großen Stichproben Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

63 Cluster-Analyse: K-Means Anzahl der Cluster und die Clusterzuordnung der Fälle ist festgelegt Cluster 3 (A) Berechnung der Centroids Z Wert: Kosten pro Liter Cluster 1 Cluster 2 (B) Veränderung der Zuordnung zum nächsten Centroid (C) Gehe wieder zu (A). Wenn keine neu Zuordnung möglich war: STOP Z Wert: Kalorien pro Liter Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

64 Cluster-Analyse: K-Means Anzahl der Cluster und die Clusterzuordnung der Fälle ist festgelegt (A) Berechnung der Centroids (B) Veränderung der Zuordnung zum nächsten Centroid (C) Gehe wieder zu (A). Wenn keine neu Zuordnung möglich war: STOP Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

65 Cluster-Analyse K-means cluster Anzahl der Cluster Variablen Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

66 Cluster-Analyse Ergebnisse eines 2-Mean-Clustering Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

67 Cluster -Analyse Final cluster centres Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

68 Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse (8) Faktorenanalyse Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

69 Faktorenanalyse Multivariate Analysetechnik Die Faktorenanalyse nutzt die Korrelation der einzelnen Items untereinander dazu, diese auf eine kleine Anzahl unabhängiger Dimensionen bzw. Faktoren zu aggregieren, ohne eine Eindimensionalität der verwendeten Skala vorauszusetzen. Bereits an der Korrelationsmatrix der Einzelitems ist erkennbar, bei welchen Fragen die einzelnen Probanden ein ähnliches Antwortverhaltensmuster an den Tag legen. Diese können dann zu Faktoren gebündelt werden. Goal: to decrease the size of a dataset by reducing it to underlying dimensions/factors Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

70 Faktorenanalyse Faktor 1 Faktor 2 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

71 Voraussetzungen der Faktorenanalyse Intervalskalierte Variablen Rohdaten sind zu standardisieren (wird häufig durch Statistiksoftware automatisch durchgeführt) Anzahl der Beobachtungen sollte dem 10-fachen der Variablenanzahl entsprechen Mindestens 100 Beobachtungen Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

72 Faktorenanalyse: Ein Beispiel Zahnpastaeigenschaften Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

73 Faktorenanalyse in 5 Schritten 1. Überprüfung ob Durchführung einer Faktorenanalyse sinnvoll ist 2. Extraktionsmethode 3. Bestimmung der Anzahl der Faktoren 4. Faktorrotation 5. Berechnung der Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

74 Schritt 1: Korrelationsmatrix Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

75 Schritt 1: Anti-Image-Kovarianz-Matrix (AIC) Eine Faktorenanalyse sollte nicht durchgeführt werden, wenn bei der Anti-Image-Kovarianz-Matrix (AIC) mehr als 25 Prozent der Elemente unterhalb der Diagonalen ungleich Null bzw. größer als 0,09 sind. Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

76 Schritt 1: Bartlett s Test of Sphericity Der Bartlett-Test (engl.: Test of Sphericity) überprüft die Hypothese, ob die Variablen der Erhebung unkorreliert sind. Ist der p-wert des Bartlett-Tests kleiner als 0,05, kann von einer Korrelation zwischen den Variablen/Items ausgegangen werden. Der Bartlett-Test geht dabei von einer Normalverteilung der Werte der einzelnen Items und damit von einer 2-Verteilung der Prüfgröße aus und überprüft die Zufälligkeit der Abweichung der Korrelationsmatrix von einer Einheitsmatrix. Eindeutiger Nachteil dieses Kriteriums ist die Unterstellung der Normalverteilung, da für die Durchführung einer Faktorenanalyse ansonsten keine Verteilungsannahmen getroffen werden müssen. Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

77 Schritt 1: Kaiser-Meyer-Olkin MSA Allerdings ist die Eignung der Korrelationsmatrix nicht immer in ausreichendem Maße gegeben. Ein zu geringes KMO-Kriterium kann häufig darin begründet liegen, dass einige Items nicht hoch mit anderen Items der Itembatterie korrelieren. Diese Items sollten dann aus der Faktorenanalyse entfernt werden Um die Eignung eines gegebenen Items im Zusammenspiel mit den anderen Items besser bewerten zu können, lassen sich Item-spezifische Measures of sampling adequacy (MSA) Werte berechnen. SPSS weist diese im Rahmen der Berechnung der Anti-Image-Korrelationsmatrix auf der Diagonalen aus. Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

78 Schritt 2: Hauptkomponentenanalyse Die Hauptkomponentenanalyse geht davon aus, dass sich die einzelnen Variablen durch eine Linearkombination der einzelnen Faktoren vollständig beschreiben lassen. Dieser Ansatz unterstellt, dass sich die Varianzen der Items einer Itembatterie möglichst vollständig durch einzelne Faktoren abbilden lassen. Definiert man die Kommunalitäten als den Anteil der Varianz eines Items, der durch alle Faktoren gemeinsam bestimmt wird, würde sich unter dieser Annahme eine Kommunalität von 100 Prozent bzw. von Eins ergeben müssen. Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

79 Schritt 2: Hauptachsenanalyse Der Hauptachsenanalyse hingegen liegt die Annahme zugrunde, dass sich die Varianzen der einzelnen Variablen in zwei Komponenten zerlegen lassen: Ein Teil der Varianz eines Items bestimmt sich durch die gemeinsame Varianz aller in die Analyse eingeschlossenen Items, ein anderer Teil durch die nur bei dem betrachteten Item spezifisch auftretende Varianz. Es kann also nicht die gesamte Varianz der beobachteten Variablen durch zugrunde liegende, gemeinsame Faktoren erklärt werden. Bei der Hauptachsenanalyse erklären die Faktoren nur die erste Varianzkomponente, nämlich den durch alle Variablen gemeinsam gebildeten Varianzanteil, sodass die Kommunalitäten zwangsläufig kleiner als Eins sein müssen. Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

80 Schritt 3: Bestimmung Faktoranzahl Kaiser Kriterium Bei diesem Kriterium werden alle Faktoren berücksichtigt, die einen Eigenwert von größer als Eins aufweisen. Da Eigenwerte kleiner als Eins die Faktoren kennzeichnen, deren Varianzerklärungsanteil kleiner ist als der eines einzelnen Items, ist dieses Kriterium nicht nur allgemein anerkannt, sondern vor allem plausibel in seiner Begründung.) Scree Plot Hierbei wird die Faktorenanzahl in aufsteigender Reihenfolge (1, 2, 3, 4 ) auf der x-achse aufgetragen. Der mit dem jeweiligen Faktor verbundene Eigenwert wird in abnehmender Reihenfolge auf der y-achse aufgetragen. Die Faktorenanzahl, deren Punkte eine sich der Abszisse asymptotisch nähernde Gerade bilden, machen hinsichtlich der zusätzlichen Varianzerklärung durch die Faktoren in der Regel kaum mehr einen Sinn, sodass sich die zu wählende Faktorenanzahl an der Stelle ablesen lässt, an der der Screeplot einen Ellenbogen formt (Ellenbogen-Kriterium). Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

81 Schritt 3: Bestimmung Faktoranzahl Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

82 Schritt 3: Bestimmung Faktoranzahl Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

83 Schritt 4: Rotation Zur Erleichterung der Interpretation wird die Faktormatrix in der Regel vorher rotiert. Um die statistische Unabhängigkeit der Faktoren zu bewahren, erfolgt in den meisten Fällen eine rechtwinklige (orthogonale) Rotation. Diese wird auch als Varimax Rotation bezeichnet. Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

84 Schritt 4: Unrotierte Lösung Faktor 2 Frischer Atem Faktor 1 Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

85 Schritt 4: Rotierte Lösung Faktor 2 Frischer Atem Faktor 1 Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

86 Schritt 4: Rotation Nach Festlegung der Anzahl der Faktoren erfolgt die Interpretation der Faktoren Die gängige Regel ist, dass ein Item einem Faktor zugeordnet wird, wenn die Faktorladung des entsprechenden Items größer als 0,5 ist. Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

87 Schritt 5: Faktorwerte Nachdem nun die Anzahl sowie die inhaltliche Interpretation der Faktoren feststehen, interessiert in einem letzten Schritt vor allem die Frage, wie die einzelnen Befragten sich hinsichtlich der Faktoren unterscheiden. Hierzu liefern die auf regressionsanalytischem Wege erzeugten Faktorwerte Auskunft. Sie können für jeden Befragten individuell berechnet werden: Überprüfung Faktor Extraktion Bestimmung Faktoranzahl Rotation Faktorwerte Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler