Bemessung für Querkraft und Torsion, Ermittlung der Druckstrebenneigung und Berücksichtigung auflagernaher Einzellasten

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1 Bemessung für Querkraft und Torsion, Ermittlung der Druckstrebenneigung und Berücksichtigung auflagernaher Einzellasten Referent: Dr.-Ing. Jürgen Feix Die esentlichen Änderungen der neuen Betonbaunorm DIN gegenüber den alten deutschen Massivbaunormen liegen im Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeierten, in der konsequenten Trennung in Grenzzustände der Tragfähigkeit und Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit soie im Bemessungskonzept für Querkraft und Torsion. Im folgenden sollen die Grundlagen der Bemessung für Querkraft und Torsion dargestellt erden. Ein besonderes Augenmerk ird dabei auf die Ermittlung der Druckstrebenneigung und die Berücksichtigung auflagernaher Einzellasten bei der Bemessung gerichtet. 1 Bemessung für Querkraft Die Querkrafttragfähigkeit von Betonbauteilen ird durch verschiedene Versagensmechanismen beschränkt. Der Bauteiliderstand ird hierbei durch folgende drei Werte beschrieben [1]: V Rd,ct (V Rd1 ) Bemessungsert der ohne Schubbeehrung aufnehmbaren Querkraft V Rd,max (V Rd2 ) Bemessungsert der durch die Druckstrebenfestigkeit begrenzten, aufnehmbaren Querkraft V Rd,sy (V Rd3 ) Bemessungsert der durch das Fließen der Schubbeehrung begrenzten, aufnehmbaren Querkraft Im Gegensatz zur derzeit gültigen DIN 1045 (1988) ist nach der neuen DIN [1] generell eine Mindestschubbeehrung gemäß Abschnitt einzulegen. Der Mindestschubbeehrungsgrad beträgt je nach Betonfestigkeitsklasse und Querschnittsform für vertikale Bügel: 0,07 % ρ = A / s b 0,33 % s Diese Gleichung ergibt als Bügelbeehrung je Meter: 0,07 [ cm] a [ cm² / m] 0, b [ cm] b 33 s Von dieser Anforderung ausgenommen sind Platten mit ausreichendem Querabtrag der Lasten soie Bauteile von untergeordneter Bedeutung ie z. B. Stürze. DIN1045-1: Bemessung für Querkraft und Torsion... 1

2 1.1 Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbeehrung Die im EC 2, Teil 1 [3] angegebene semiempirische Formel für die Bemessung von nicht schubbeehrten Bauteilen V [ τ k (1,2 + 40ρ ) 0, 15σ ] b d Rd1 = Rd l + cp urde nicht in DIN [1] übernommen. Der Ableitung dieser ursprünglich für den Model Code 78 [4] entickelten Gleichung lagen aus heutiger Sicht ungenaue Ansätze (vgl. [5], [6]) zugrunde. Wie in [5] dargestellt, führt die Formel vor allem bei hochfesten Betonen zu auf der unsicheren Seite liegenden Bemessungsergebnissen. Aus diesem Grunde urde in DIN der geringfügig modifizierte (nach [7]) Bemessungsansatz aus dem Model Code 90 [8] übernommen: V [ 0,10η k(100ρ f ) 0, 12σ ] b d Rd, ct = 1 l ck cp mit: k / d = mit d in mm Wie die überholte EC 2 - Formel berücksichtigt diese Formel als Einflußparameter für die Schubtragfähigkeit: - die Betonfestigkeitsklasse - den Längsbeehrungsgrad - die Bauteildicke - eine äußere Längskraft Bild 1 zeigt einen Vergleich verschiedener Bemessungsansätze für die Querkrafttragfähigkeit nicht schubbeehrter Bauteile. 2 Seminar DIN Friedrich + Lochner GmbH

3 EC2: VRd1 1 τrd1 = = τrd. EC2 (, ρl)(, 16 d) b z 09, MC90: τ 0,12 Rd1 = f ck (100 ρl ) 0, d MC90, mod: τ 0,10 Rd1 = f ck (100ρl ) 0, d 1/ 2 0,8 f Rd1 = ρl 0, 1 d ck Kordina / Blume: 0, 25 ( ) τ 1,5 8,2 Bild 1: Ohne Schubbeehrung aufnehmbare Schubbeanspruchung τ Rd1 nach verschiedenen ρ = 0,5 %, d = cm. Bemessungsansätzen in Abhängigkeit von der Betonfestigkeitsklasse ( ) l 20 Darüber hinaus enthält DIN eine Bemessungsformel für die Querkrafttragfähigkeit der ungerissenen f < / γ von vorgespannten bz. überdrückten nicht querkraftbeehrten Bauteilen. Bereiche ( ) ct f ct ;0,05 c DIN1045-1: Bemessung für Querkraft und Torsion... 3

4 1.2 Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbeehrung Das grundlegende Bemessungsmodell für Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbeehrung bleibt das altbekannte Facherkmodell. Die Bemessungsregeln beruhen auf den im folgenden angegebenen Grundgleichungen der sogenannten ereiterten Facherkanalogie, die neben der variablen Druckstrebenneigung θ auch die Neigung α der Bügelbeehrung berücksichtigt. Bild 2 zeigt die esentlichen Zusammenhänge. Bild 2: Einirkende Schnittgrößen und Kräfte der Bauteiliderstände für den parallelgurtigen Balken dargestellt am Facherkmodell (aus [9]) 4 Seminar DIN Friedrich + Lochner GmbH

5 Von maßgeblicher Bedeutung für das Bemessungsergebnis ist die Wahl des Druckstrebeninkels θ. Je flacher der Winkel θ angesetzt ird, desto geringer ird die erforderliche Querkraftbeehrung bei gleichzeitiger Erhöhung des Versatzmaßes und damit der erforderlichen Biegezugbeehrung. Aus Versuchsausertungen ist schon lange bekannt, daß der sich einstellende Druckstrebeninkel von der Höhe der Querkraftbeanspruchung soie vom Längsspannungszustand abhängt. Diesem Sachverhalt urde z. B. in DIN 1045 (1972) dadurch Rechnung getragen, daß in Abhängigkeit von der Querkraftbeanspruchung drei Schubbereiche definiert urden: - geringe Querkraftbeanspruchung: tan θ = 0,4, d. h. θ = 24 - mittlere Querkraftbeanspruchung: τ τ 2 o tan θ = > 0, 4, d. h. 24 < θ < 45 o 2 - hohe Querkraftbeanspruchung: tan θ = 1, d. h. θ = 45 Diese Bemessungsregeln urden empirisch ermittelt. Inzischen urde in zahlreichen issenschaftlichen Abhandlungen versucht, geeignete Kriterien für die Wahl von θ in Abhängigkeit vom Verzerrungszustand in der Schubzone anzugeben. Ausführliche Angaben zu diesem Thema sind z. B. in [7], [9], [10], [11], [12], [13] zu finden. Im EC 2 [3] aren aufgrund der internationalen Zusammensetzung des Normungsgremiums zei verschiedene Bemessungsansätze für die Querkraftbemessung enthalten: das Standardverfahren als klassische Abzugsertmethode, bei der die flachere Neigung der Druckstreben (θ < 45 ) bei der Ermittlung der durch die Schubbeehrung aufzunehmenden Querkraft indirekt durch Ansatz eines Abzugsertes V erfaßt ird, ährend der Nacheis der Druckstrebenbeanspruchung mit θ = 45 = const. geführt ird: für den Bemessungsert der durch Fließen der Schubbeehrung begrenzten aufnehmbaren Querkraft gilt: V Rd3 = V d + V V = V Rd1 A s II V d = ( 1+ cotα ) sin α s f yd z für den Bemessungsert der durch die Druckstrebenfestigkeit begrenzten, aufnehmbaren Querkraft gilt: V Rd2 = 2 1 vf b z II (1+cot α) das Verfahren mit veränderlicher Druckstrebenneigung, bei dem die Neigung θ der Druckstreben direkt in die Bemessungsgleichungen für durch die Druckstrebenfestigkeit und das Fließen der Schubbeehrung be- DIN1045-1: Bemessung für Querkraft und Torsion... 5

6 grenzte Querkraft eingeht. Dabei darf θ innerhalb geisser Grenzen frei geählt erden: 4 4 = 0,571 tan θ = 1,75 (30 θ 60 ) 7 7 Als obere Grenze der nach dem Verfahren mit veränderlicher Druckstrebenneigung aufnehmbaren Querkraft ergibt sich die plastizitätstheoretische Lösung, obei von einer gleichzeitigen Ausnutzung der Fließgrenze der Schubbeehrung und der Druckfestigkeit der Betonstreben ausgegangen ird. Der zugehörige Druckstrebenneigungsinkel ergibt sich nach [5] zu: tan θ p = 2t t ( t cot α ) mit: t = b Vsd z v f Da die plastizitätstheoretische Lösung nur die Gleichgeichtsbedingungen erfüllt, jedoch den Verzerrungszustand der Schubzone völlig außer Acht läßt, kann es durchaus sinnvoll sein, andere Kriterien für die Wahl von θ anzuenden. Als Beispiele seien hier die Hauptdruckspannungsrichtung nach Zustand I oder die in [13] angegebene Formel cot σ Θ = 1,25 3 f cp genannt. Bei nennensertem Längszug sollte stets θ = 45 angesetzt erden. Die in EC 2 freigestellte Wahl des Druckstrebeninkels bedingte eine Reduktion der ansetzbaren Betondruckstrebenfestigkeit um das geünschte Sicherheitsniveau zu erreichen (Bild 3). Es zeigt sich, daß das Verfahren mit variabler Druckstrebenneigung bei mittlerer bis hoher Schubbeanspruchung zu einer geringeren erforderlichen Schubbeehrung führt als das Standardverfahren. Dabei darf aber nicht übersehen erden, daß die zugehörigen flacheren Druckstrebenneigungen zu einem größeren Versatzmaß und damit zu einem erhöhten Längsbeehrungsprozentsatz führen. Bild 3 zeigt u. a. den Einfluß der Bügelneigung auf die maximal aufnehmbare Querkraft. 6 Seminar DIN Friedrich + Lochner GmbH

7 Bild 3: Darstellung der plastizitätstheoretischen Lösung der Querkraftbemessung in Abhängigkeit von bezogenen Größen t und ω v für die schuberzeugende Querkraft und den Schubbeehrungsgrad für Bügelneigung α = 45, 60, 75, 90 (aus [5]) DIN1045-1: Bemessung für Querkraft und Torsion... 7

8 In der neuen DIN 1045 ird nach derzeitigem Beratungsstand ein modifiziertes Bemessungsverfahren Anendung finden. Hierbei erden als Grundgleichungen die Gleichungen des Verfahrens mit veränderlicher Druckstrebenneigung genutzt. Für die Wahl der Neigung der Druckstreben θ des Facherks erden jedoch beanspruchungsabhängige Grenzen angegeben: cot θ mit: 1,2 1,4 σ / f 1 V / V Rd, c V Rd,c Querkrafttraganteil des verbügelten Betonquerschnitts V Rd,c = σ β ct 0,10 f ck 1 + 1, 2 f b z In dieser Formel ird über den Wert V Rd,c der Bezug zu einem klassischen Abzugsertverfahren hergestellt, ie Bild 4 veranschaulicht. Vereinfachend dürfen für θ in Abhängigkeit vom Beanspruchungszustand folgende Grenzerte gesetzt erden: - bei Biegung ohne und mit Längsdruckkraft: cot θ = 1,2 - bei Biegung mit Längszugkraft: cot θ = 1,0 Für die Ermittlung der Querkraftiderstände gelten folgende Gleichungen: V Rd,sy = A s s V Rd,max = b z α c f f yd z (cot θ + cot α) sin α cot θ + cot α cot θ mit: α c = 0,75 η 1 Bild 4: Zulässiger Ergebnisbereich der Bemessungsformeln aus DIN 1045-Neu (α = 90, σ = 0, (20/25) 8 Seminar DIN Friedrich + Lochner GmbH

9 1.3 Berücksichtigung auflagernder Einzellasten bei der Bemessung für Querkraft Der günstige Lastabtrag bei auflagernahen Einzellasten darf nach der neuen DIN [1] traditionell ie in der alten DIN 1045 durch Reduktion des Bemessungsertes V mit dem Beiert β = x/(2,5 d) berücksichtigt erden. Im EC 2, Teil 1 [3] mußte dieser Einfluß durch Erhöhung des Widerstandes mit dem Faktor 1/β berücksichtigt erden. Dieser Ansatz ar zar physikalisch korrekt jedoch für die praktische Anendung ungeeignet. So konnte jeeils nur eine einzige auflagernahe Last berücksichtigt erden, die Überlagerung bei kombinierter Beanspruchung aus Linien- und Einzellast ar kompliziert (vgl. [5], [13]) und für das Verfahren mit variabler Druckstrebenneigung ar dieser Ansatz nicht verendbar. Aus diesem Grund nimmt der Gelbdruck das beährte Vorgehen der Lastreduktion auf. Bild 5 zeigt, daß die Ergebnisse der verschiedenen Ansätze in eiten Bereichen gut korrelieren. Bild 5: Erhöhungsfaktor für die zulässige Querkrafttragfähigkeit nach DIN [1] bz. EC 2 [3] im Vergleich zu DIN 1045 (1988) DIN1045-1: Bemessung für Querkraft und Torsion... 9

10 2 Torsion 2.1 Reine Torsion Die Bemessung für Torsion urde gering modifiziert aus dem EC 2, Teil 1 [3] übernommen. Wie in der zur Zeit gültigen DIN 1045 (1988) liegt der Bemessung für Torsion das bekannte räumliche Facherkmodell zugrunde (s. Bild 6), das sich für den Schubzustand II einstellt. Bild 6: Facherkmodell (räumlicher Facherkkasten) und Schubandmodell als äquivalente Bemessungsmodelle für die Torsionsbemessung orthogonal beehrter Bauteile Die Ersatzkastendicke t eff ist gleich dem doppelten Abstand von der Mittellinie zur Außenfläche, aber nicht größer als die vorhandene Wanddicke. Der Druckstrebeninkel θ darf gemäß der für Querkraftbeanspruchung fixierten Formel bestimmt erden. 2.2 Kombinierte Beanspruchungen Auch dieses Kapitel urde eitestgehend aus dem EC 2, Teil 1 [3] übernommen. Für die Überlagerung von Querkraft und Torsion sind nun jedoch 2 unterschiedliche Regeln in Abhängigkeit von der Querschnittsform angegeben, eil die quadratische Interaktion für Kastenquerschnitte auf der unsicheren Seite lag (vgl. [5]): - für Kompaktquerschnitte: T T Rd 2 2 V + V Rd für Kastenquerschnitte: T T Rd 2 V + V Rd Seminar DIN Friedrich + Lochner GmbH

11 Literatur [1] E DIN : Tragerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton, Teil 1: Bemessung und Konstruktion (Beratungsstand Mai 2000). [2] DIN 1045: Beton und Stahlbeton, Bemessung und Ausführung, Juli 1988, Beuth Verlag, Berlin. [3] DIN V ENV 1992, Teil 1-1 Eurocode 2. Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragerken; Teil 1: Grundlagen und Anendungsregeln für den Hochbau, Ausgabe Juni [4] MC 78, Model Code 1978, CEB/FIP-Mustervorschrift für Tragerke aus Stahlbeton, April [5] Feix, J.: Kritische Analyse und Darstellung der Bemessung für Biegung mit Längskraft, Querkraft und Torsion nach Eurocode 2 Teil 1, Diss. Technische Universität München 1993 [6] Walraven, J. C.: Shear in Prestressed Concrete Members a State-of-the-Art Report, in: Bulletin d Information No. 180, Comité Euro-International du Béton, Lausanne [7] Abschlußbericht für das DIBT-Forschungsvorhaben IV / 98: Überprüfung und Vereinheitlichung der Bemessungsansätze für querkraftbeanspruchte Stahlbeton- und Spannbetonbauteile aus normalfesten und hochfesten Beton nach DIN [8] MC 90, CEB/FIP Model Code 1990, Final Draft, CEB Bulletin d Information Nr. 203, 204 und 205, Juli [9] Grasser, E., Kupfer, H., Pratsch, G., Feix, J.: Bemessung von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen nach EC 2 für Biegung, Längskraft, Querkraft und Torsion, Beton-Kalender 1993, 1995, 1996, Ernst & Sohn, Berlin [10] Bulicek, H.: Zur Berechnung des ebenen Spannungs- und Verzerrungszustandes von schubbeehrten Stegen profilierter Stahlbeton- und Spannbetonträger im Grenzzustand der Schubtragfähigkeit, Diss. Technische Universität München [11] Kupfer, H. Roos, W.: Neigung des Druckfeldes der Schubzone schlanker Stahlbeton- und Spannbetonträger. Ein Vergleich zischen verschiedenen theoretischen Ansätzen und Normen, in: VBI-Fortbidlungs-Seminar Bayern Plastizität im Stahlbeton- und Spannbetonbau und innere Tragsysteme, Band 3, Bemessen unter Berücksichtigung begrenzter Plastizierbarkeit, Verband der Beratenden Ingenieure, Landesverband Bayern (Hrg.), München [12] Kupfer, H.: Ereiterung der Mörsch schen Facherkanalogie mit Hilfe des Prinzips vom Minimum der Formänderungsarbeit, Comité Euro-International du Béton, Bulletin d Information No. 40, 1964; nach einem Vortrag auf dem Stuttgarter Schubkolloquium, [13] Grasser, E., Feix, J.: Bemessung für Biegung und Längskraft soie Bemessung für Querkraft und Torsion. In: Heft 425 des DafStb, Bemessungshilfsmittel zu EC 2 Teil 1, Beuth Verlag, Berlin Autor: Dr.-Ing. Jürgen Feix ist geschäftsführender Gesellschafter des Ingenieurbüros CBP, Cronauer Beratung Planung Beratende Ingenieure GmbH, München DIN1045-1: Bemessung für Querkraft und Torsion... 11