2.10 Skalarprodukte und euklidische Vektorräume

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1 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau Skalarprodukte und euklidische Vektorräume Viele der in der Mathematik auftauchenden reellen Vektorräume tragen eine zusätzliche Struktur, nämlich ein sogenanntes Skalarprodukt, das je zwei Vektoren eine Zahl (eben ihr Produkt ) zuordnet. Ein R- Vektorraum mit einer solchen Zusatzstruktur heißt euklidischer Vektorraum. Skalarprodukte können zur Behandlung der euklidischen Geometrie in analytischer Darstellung benutzt werden, etwas darüber hinausgehend zur Längen- und Winkelmessung. Sie tauchen aber auch in vielen Bereichen der angewandten Mathematik auf (manchmal explizit, manchmal verdeckt). Zu erwähnen wäre hier die Approximation von Funktionen durch andere (einfachere) Funktionen in der numerischen Mathematik oder Funktionalanalysis, aber auch die Approximation von Daten aller Art. Sogar die aus der Statistik bekannten Korrelationskoeffizienten können als Skalarprodukte aufgefasst werden. Wir behandeln hier die Grundbegriffe der Theorie der euklidischen Vektorräume: symmetrische Bilinearform, Skalarprodukt, Orthogonalität von Vektoren, Orthogonalraum und orthogonales Komplement, orthogonale Projektion, Orthonormalbasen, Cauchy-Schwarz sche Ungleichung, Längen und Winkel, orthogonale Abbildungen und Matrizen. Skalarprodukte sind spezielle (nämlich positiv definite) symmetrische Bilinearformen über dem Körper R der reellen Zahlen. Allgemeine symmetrische Bilinearformen über R und allgemeiner über im Prinzip beliebigen Körpern werden in einem späteren Kapitel behandelt. Ebenso werden die orthogonalen Abbildungen noch einmal aufgegriffen. Definition 2.. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Eine Bilinearform auf V ist eine Abbildung b : V V K mit folgenden Eigenschaften: b(v + v 2, w) = b(v, w) + (v 2, w) b(v, w + w 2 ) = b(v, w ) + b(v, w 2 ) b(αv, w) = αb(v, w) b(v, βw) = βb(v, w) für alle v, w, v, v 2, w, w 2 V, α, β K. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn b(v, w) = b(w, v) für alle v, w V. Für K = R, allgemeiner K R, heißt b positiv definit, falls b(v, v) > für alle v V {}. Eine positiv definite, symmetrische Bilinearform heißt auch Skalarprodukt. Bemerkung 2..2 Es sei b : V V K eine Bilinearform. a) Für jedes festes v V ist die Abbildung x b(v, x), V K eine lineare Abbildung. Das gleich gilt für x b(x, v), V K. b) Es gilt b(v, ) = = b(, v) für alle v V. Teil a) ergibt sich unmittelbar aus der Definition, b) folgt aus a). Eine lineare Abbildung mit dem Grundkörper als Zielraum wird auch als lineare Funktion oder Linearform bezeichnet. Wir kommen in Kapitel 4. darauf zurück.

2 28 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau Speziell für Skalarprodukte ist auch die Schreibweise (v, w) v, w R üblich, d.h. man verzichtet auf einen Funktionsnamen wie b und schreibt stattdessen ggf., (mit Leerstellen statt der Argumente v, w der Abbildung). Definition 2..3 Ein euklidischer Vektorraum ist ein Objekt (V,, ), wobei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum ist und, : V V R ein Skalarprodukt. Bevor wir zu Beispielen kommen, noch ein kleiner begrifflicher Exkurs. Definition 2..4 (Die Transponierte einer Matrix) a) Eine Matrix heißt symmetrisch,, wenn sie quadratisch ist, S K n n für ein n, und wenn a ij = a ji für alle i, j {,..., n} ist. b) Die Transponierte A t einer Matrix A K m n ist die Matrix (a ji ) Kn m, die durch a ji := a ij für alle i {,..., m} und j {,..., n} definiert wird. Die Zeilen von A t entsprechen also den Spalten von A, oder bildlich ausgedrückt: Die transponierte Matrix A t entsteht aus A durch Spiegeln an der Hauptdiagonalen, die aus den Diagonalelementen a ii gebildet wird. Eine Matrix S ist genau dann symmetrisch, wenn S = S t ist. In früheren Übungen ist die transponierte Matrix eventuell schon einmal bei der Berechnung einer Basis eines Spaltenraumes mittels des Gauß-Verfahrens vorgekommen. Dieses ist aber eine theoriefreie, rein rechentechnische Benutzung der Transponierten: Beim Rechnen mit der Hand arbeitet man gewohnheitsmäßig mit Zeilen(vektoren), nicht mit Spalten(vektoren). Erst in der Theorie der Bilinearformen sowie beim Begriff des Dualraums und der dualen Abbildung (Kapitel 4) bekommt die Transponierte eine eigenständige Bedeutung. Für den Augenblick halten wir noch fest: Bemerkung 2..5 a) Für beliebige Matrizen A K m n und B K n p gilt (AB) t = B t A t. b) Für jede Matrix A gilt rang(a) = rang(a t ). Teil a) ergibt sich durch einfaches Hinschauen aus den Definitionen, Teil b) folgt unmittelbar aus Satz (Zeilenrang gleich Spaltenrang). Beispiele Die auf R n R n durch x t y = n x i y i definierte Funktion (Zeile mal Spalte) ist ein Skalarprodukt, das sogenannte Standardskalarprodukt. 2. Für einen beliebigen Körper K ist die in definierte Funktion eine symmetrische Bilinearform auf K n. i= 3. Sei A K n n eine quadratische Matrix. Definiere b = b A : K n K n K durch b A ( x, y) = n x i a ij y j. i,j=

3 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau 29 Die so definierte Funktion ist eine Bilinearform auf K n. Dabei sind wie üblich x, y Spaltenvektoren. Unter Benutzung des transponierten Vektors x t, also des gleichen Vektors als Zeile geschrieben (das ist ein Spezialfall einer transponierten Matrix), kann man die rechte Seite der Definition schreiben als n x i a ij y j = x t A y. i,j= Hier ist x t A y ein zweifaches Matrizenprodukt, dessen Ergebnis eine -Matrix, also ein Zahl ist. 4. Für eine gegebene quadratische Matrix A ist die Bilinearform b A genau dann symmetrisch, wenn die Matrix A symmetrisch ist. Beweis als Übung. 5. Satz: Jede Bilinearform b auf K n ist von der Form b A für eine passende Matrix A. Zum Beweis von 5. definiert man a ij := b(e i, e j ). Bemerkung und Definition 2..7 Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. a) Zwei Vektoren v, w V heißen orthogonal oder senkrecht zueinander, in Zeichen v w, falls v, w = ist. b) Für v V ist v := {x V x, v = } = {x V x v} ein Untervektorraum von V. Er heißt der der Orthogonalraum zu v. c) Für eine Teilmenge M V ist M := {x V v M : x, v = } ein Untervektorraum von V. Er heißt der Orthogonalraum zu M. Die Orthogonalitätsrelation auf V ist symmetrisch: Für alle v, w V gilt v w w v. Die weitere Untersuchung von Orthogonalräumen bereiten wir mit der folgenden allgemeinen Bemerkung vor: Definition und Bemerkung 2..8 Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum über einem beliebigen Körper K. a) Ein Unterraum H der Dimension dim H = dim V heißt Hyperebene in V. b) Wenn f : V K eine lineare Funktion ist, nicht die Nullfunktion, dann ist Kern f eine Hyperebene in V. c) Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Der Orthogonalraum v eines Vektors v ist eine Hyperebene. Beweis: Wegen dim Bild f = folgt Teil b) sofort aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen Satz Teil c) folgt aus b), weil v der Kern der linearen Abbildung x b(x, v), V R ist. Wegen b(v, v) ist dieses nicht die Nullabbildung. Wenn M ein Untervektorraum ist, muss man die Orthogonalitätsbedingung x, v = nicht für alle v M, sondern nur für die Vektoren eines Erzeugendensystems testen. Etwas anders gewendet gilt:

4 3 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau Bemerkung 2..9 a) Für jede Teilmenge M V gilt M = (Lin M). b) Wenn U ein Unterraum ist und u,..., u k eine Basis von U, so gilt U = u u 2 u k. Teil a) muss man nachprüfen, b) folgt sofort aus a). Bevor wir mit der letzten Bemerkung Orthogonalräume weiter untersuchen, noch eine generelle Feststellung über Schnitte mit einer Hyperebenen. Lemma 2.. Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum über einem beliebigen Körper, U ein Untervektorraum und H eine Hyperebene in V. Dann ist U H eine Hyperebene in U, also dim(u H) = dim U, oder es ist U H. Das folgt sofort aus der Dimensionsformel für Summe und Durchschnitt, denn es muss U + H = V oder U + H = H sein. Aus Bemerkung 2..9.b) folgt nun durch k-fache Anwendung des letzten Lemmas: Hilfssatz Es sei (V,, ) ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum der Dimension k. Dann gilt für die Dimension des Orthogonalraumes dim U n k. Der Hilfssatz wird nur für kurze Zeit gebraucht, denn aus dem folgenden Satz geht hervor, dass in Wirklichkeit sogar Gleichheit gilt. Wir erinnern vorher noch an den Begriff der direkten Summe und des Komplementes aus Satz und Definition 2.. (Orthogonales Komplement) Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum und U V ein beliebiger Untervektorraum. Dann hat man eine Zerlegung als direkte Summe V = U U. Man spricht von einer orthogonalen (direkten) Summe von Untervektorräumen und nennt U auch das orthogonale Komplement zu U in V. Beweis: Da ein Skalarprodukt positiv definitit ist, ist U U = {}, denn für einen Vektor u in diesem Schnitt ist u, u =, also u =. Die Summe U + U ist also direkt, und nach dem Korollar sowie dem vorigen Hilfssatz ist dim(u U ) = dim U + dim U k + (n k) = n = dim V. Es muss also U U = V (und weiter dim U = n k) sein. Wir gehen für einen Augenblick zu beliebigen Direkte-Summen-Zerlegungen zurück, ohne Berücksichtigung eines Skalarproduktes. Wenn V = U W ist, dann gibt es zu jedem v V eindeutige Vektoren u U und w W so, dass v = u + w ist. Ausgehend von dieser Festellung überlegt man sich leicht: Bemerkung und Definition 2..2 Sei V ein K-Vektorraum, zerlegt als direkte Summe von zwei Untervektorräumen: V = U W. Dann ist die Abbildung V U, v = u + w u, wobei u U, w W sinnvoll definiert und linear. Diese Abbildung heißt die Projektion von V auf U mit Kern W. Definition 2..3 Es seien (V,, ) ein euklidischer Vektorraum und U V ein Untervektorraum. Dann heißt die Projektion von V auf U mit Kern U auch die orthogonale Projektion auf U. Bezeichnung: pr U : V U.

5 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau 3 Wir haben folgende direkte Beschreibung von pr U (ohne ausdrückliche Benutzung von 2..2): Bemerkung 2..4 Ein Vektor v ist genau dann die orthogonale Projektion pr U (v) von v auf U, wenn gilt: v U, v v U. Nächstes Ziel ist nun eine explizite Berechung der orthogonalen Projektion. Hierzu zunächst ein Begriff, der für euklidische Vektorräume von ganz allgemeinem Interesse ist. Definition 2..5 Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. - Ein Vektorsystem v,..., v k von V heißt Orthogonalsystem, falls die v i paarweise orthogonal sind: v i, v j = für i j. Falls v,..., v k zusätzlich eine Basis ist, heißt diese Orthogonalbasis. - Ein Vektorsystem u,..., u k heißt Orthonormalsystem, falls die u i paarweise orthogonal sind und u i, u i =, für i =,..., k. Falls u,..., u k zusätzlich eine Basis ist, heißt diese Orthonormalbasis, kurz ON-Basis. Wenn man eine ON-Basis von U hat, kann man die orthogonale Projektion auf U direkt hinschreiben: Lemma 2..6 (Konstruktion der orthogonalen Projektion) Es seien (V,, ) ein euklidischer Vektorraum, U V ein Untervektorraum und u,..., u k eine Orthonormalbasis von U. Dann ist die orthogonale Projektion von V auf U gegeben durch pr U (v) = k v, u j u j. j= Beweis: Wenn wir die rechte Seite für den Moment v nennen, so ist zunächst einmal v U. Weiter rechnet man nach, dass v v orthogonal zu jedem u i ist. Nach 2..9 ist also v v U, und die Behauptung ergibt sich aus 2..4 Auf den ersten Blick nützt dieses Lemma nur etwas, wenn man eine ON- Basis von U bereits hat. Man kann aber durch sukzessive Anwendung der gleichen Formel eine ON-Basis (von U, ggf. von V ) auch berechnen. Dieses ist der Inhalt des folgenden Satzes (und seines Beweises): Satz 2..7 (Orthogonalisierung nach Gram-Schmidt) Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum und v,..., v n eine beliebige Basis von V. Dann gibt es eine Orthonormalbasis v,..., v n von V so, dass v i Rv + Rv Rv i für i =,..., n. Die v i sind bis auf das Vorzeichen eindeutig durch die v i (und deren Reihenfolge) bestimmt. Beweis: Man betrachtet die Kette von Unterräumen V i := Lin{v,..., v i }, für i =,..., n. Setze v := v / v, v (Normierung des Vektors v, siehe auch unten für weiteres hierzu). Wenn v,..., v i als ON-Basis von V i bereits gefunden sind, für ein i < n, bestimme zunächst ṽ i+ := v i+ pr Vi (v i+ ) gemäß 2..6 und normiere dann noch zu v i+ := ṽi+, ṽ i+ ṽi+. (Orthogonalisierung) (Normierung)

6 32 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau Die angesprochene Eindeutigkeit ist ebenfalls leicht zu sehen: im eindimensionalen orthogonalen Komplement von V i in V i+ gibt es nur zwei Vektoren w mit w, w =. In der Praxis führt das Normieren der Vektoren zu häufigem Wurzelziehen. Deswegen ist es gut, die folgende Variante der Formel aus Lemma 2..6 zur Hand zu haben, die lediglich voraussetzt, dass die u i eine Orthogonalbasis bilden: pr U (v) = k j= b(v, u j ) b(u j, u j )u j. (OP) Wir haben hier b(v, w) statt v, w geschrieben, um zu betonen dass ein beliebiges Skalarprodukt zugrundegelegt ist; auch im R n beschränkt sich die Gültigkeit der Formel (wie schon in Lemma 2..6) nicht auf das Standardskalarprodukt. Mit dieser Formel kann man das Gram-Schmidt- Verfahren etwas modifizieren, nämlich vollständig mit den Vektoren ṽ i (statt der v i ) durchführen. Man erhält ohne Wurzelziehen eine Orthogonalbasis, deren Vektoren in einem letzten, unabhängigen Schritt normiert werden können. Wir wenden dieses Vorgehen im folgenden Beispiel an. Beispiel 2..8 Wir betrachten den R 3 mit dem Standardskalarprodukt und wenden das modifizierte Gram-Schmidt-Verfahren auf folgende drei Vektoren an: Es ergibt sich: v =, v 2 =, v 3 =. ṽ = v ṽ 2 = v 2 v 2, v v, v v = 3 = /3 2/3 /3 ṽ 2, ṽ 2 = 2/3 ṽ 3 = v 3 v 3, v v, v v v 3, ṽ 2 ṽ 2, ṽ 2 ṽ2 = 3 + /3 2/3 /3 2/3 /3 = /2 /2 ṽ 3, ṽ 3 = /2 Abschließend führt man die Normierung durch:

7 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau 33 v = 3, v 2 = 6 2, v 3 = 2. Korollar 2..9 (Berechnung des orthogonalen Komplementes) Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum, U ein Untervektorraum. Wähle eine beliebige Basis v,..., v k von U, ergänze sie durch v k+,..., v n zu einer Basis von V. Es sei ṽ,..., ṽ n die hieraus nach Satz 2..7 berechnete Orthogonalbasis von V. Dann ist ṽ k+,..., ṽ n eine Basis von U. Wir stellen fest, dass dieses Korollar erneut die Dimensionsformel dim U + dim U = dim V, also den entscheidenden Teil von Satz 2.., beweist. Noch eine ergänzende Bemerkung zum Begriff der Orthonormalbasis: Um die lineare Unabhängigkeit muss man sich hier nicht kümmern, denn es gilt folgende generelle Bemerkung: a) Jedes Orthonormalsystem ist linear unab- Bemerkung 2..2 hängig. b) Wenn B = (u,..., u n ) eine Orthonormalbasis von V ist, dann ist die i-te Koordinate von v V bezüglich B gleich v, u i. Beweis: Sei u,..., u n ein Orthonormalsystem und v = n j= x ju j mit x j R. Dann ist n n v, u i = x j u j, u i = x j u j, u i = x i j= für jedes i =,..., n. Wenn v = ist, ergibt sich also x i = für alle i und somit die lineare Unabhängigkeit von B. Die Behauptung unter b) ist ebenfalls bewiesen. Wir kommen nun zu den metrischen Begriffen, die sich aus einem Skalarprodukt ableiten lassen: Länge eines Vektors (auch Norm genannt) bzw. Abstand zweier Punkte im Vektorraum, sowie der Winkel zwischen zwei Vektoren. Definition 2..2 Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. - Für v V heißt die Zahl v := v, v R die Länge oder Norm von v. Ein Vektor der Länge heißt normiert oder Einheitsvektor. - Der Abstand oder die Distanz von zwei Elementen x, y V (aufgefasst als Punkte ) ist definiert als die Länge des Differenzvektors: j= dist(x, y) := y x. Für den Vektorraum R n mit dem Standardskalarprodukt ist die Länge eines Vektors nach dieser Definition x = x t x = x 2 + x x2 n. Die Standardbasis des R n ist eine Orthonormalbasis, und die eben gegebene Definition der Länge bzw. des Abstandes entspricht im R 2 dem Satz des Pythagoras, ebenso im R 3 durch zweifache Anwendung.

8 34 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau Bemerkung Wenn (V,, ) ein beliebiger euklidischer Vektorraum ist und B = (u,..., u n ) eine Orthonormalbasis von V, ferner x R n der Koordinatenvektor bezüglich B eines Vektors v V, dann hat man die entsprechende Formel auch für die Länge von v: v = v, v = x 2 + x x2 n = x. Wenn y der Koordinatenvektor eines weiteren Vektors w V ist, so gilt entsprechend n v, w = x i y i = x t y. i= Wir kommen nun zur Interpretation des Skalarproduktes v, w von zwei (verschiedenen) Vektoren v, w. In der Geometrie oder Physik wird das Skalarprodukt oft als das Produkt der Länge v mit dem Produkt der Länge des w Anteils in Richung von v, d.h. der orthogonalen Projektion von w auf v definiert. Dabei ergibt sich der zweite Faktor als w cos α, wobei α = α(v, w) der von v und w eingeschlossene Winkel ist. Beim axiomatischen Aufbau der Theorie der euklidischen Vektorräume wird diese Gleichung benutzt, um umgekehrt den Winkel zwischen zwei Vektoren überhaupt erst zu definieren. Vorher muss man folgende Ungleichung beweisen: Satz (Cauchy-Schwarz sche Ungleichung) Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Dann gilt für alle v, w V : v, w v w. Beweis: Die Behauptung ist äquivalent zu v 2 w 2 v, w 2. Zum Beweis können wir w annehmen, sonst sind beide Seiten der behaupteten Ungleichung gleich. Ausgangspunkt ist nun die Ungleichung v λw, v λw = v 2 2λ v, w + λ 2 w 2, die für alle λ R gilt. Wenn wir λ := v, w / w 2 setzen, ergibt sich wie gewünscht. v 2 v, w 2 w 2, Nun ist die angekündigte Definition eines Winkels (Winkelmaßes) problemlos möglich: Definition Der Winkel zwischen zwei Vektoren v und w in einem euklidischen Vektorraum ist definiert als α(v, w) := arccos v, w [, π]. v w Neben der Möglichkeit, Winkel zu definieren, hat die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung noch eine weitere wichtige Folgerung, nämlich die sogenannte Dreiecksungleichung für die Norm von Vektoren bzw. den Abstand von Punkten. Im Hinblick auf den besonders für die Analysis wichtigen allgemeinen Begriff einer Norm auf einem Vektorraum halten wir im folgenden Satz noch zwei weitere Eigenschaften fest.

9 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau 35 Satz Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Dann hat die Normfunktion v v, V R die folgenden Eigenschaften: (N) v = v = (N2) αv = α v Homogenität (N3) v + w v + w Dreiecksungleichung für alle v, w V und alle α R. Beweis: Die Eigenschaft (N) ergibt sich unmittelbar aus der positiven Definitheit des Skalarproduktes. Die Eigenschaft (N2) rechnet man direkt nach: αv = αv, αv = α 2 v, v = α v. Zum Beweis von (N3) darf man beide Seiten der Behauptung quadrieren und benutzt dann 2..23: v + w 2 = v + w, v + w = v, v + 2 v, w + w, w v, v + 2 v w + w, w = ( v + w ) 2. Die Eigenschaft (N2) impliziert insbesondere, dass für jeden Vektor v der Vektor v := v v ein Einheitsvektor ist: v = v v = v v =. Wir hatten das bereits beim Gram-Schmidt-Verfahren benutzt. Der Name Dreiecksungleichung wird in folgender Skizze illustriert: v + w v w Wenn man genau hinsieht, handelt die Dreiecksungleichung von drei Punkten und ihren paarweisen Verbindungsvektoren. Für die Distanzfunktion formuliert bedeutet sie folgendes: dist(x, y) dist(x, z) + dist(z, y) für alle x, y, z V. Wir kommen nun zu einer Klasse von linearen Abbildungen, die für euklidische Vektorräume eine besondere Rolle spielt: Definition Es seien (V,, ) und (W,, ) zwei euklidische Vektorräume. Eine lineare Abbildung F : V W heißt orthogonal, falls für alle v, w V gilt: F (v), F (w) = v, w.

10 36 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau Orthogonale Abbildungen sind also diejenigen linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten. So wie lineare Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen allgemeinen Vektorräumen sind, sind orthogonale Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen. Sie erhalten insbesondere die aus dem Skalarprodukt abgeleitete Relation des Senkrecht-Stehens (Orthogonalität von Vektoren): Wenn F : V W orthogonal ist und v, v 2 V beliebig, dann gilt v v 2 F (v ) F (v 2 ). Die nächste Bemerkung klärt, dass für orthogonale Abbildungen das gilt, was man von strukturerhaltenden Abbildungen immer erwartet: Bemerkung a) Die Verkettung von zwei orthogonalen Abbildungen ist wieder eine orthogonale Abbildung. b) Die Inverse einer bijektiven orthogonalen Abbildung ist wieder eine orthogonale Abbildung. c) Für einen festen euklidischen Vektorraum (V,, ) ist die Menge O(V ) = O(V,, ) aller bijektiven orthogonalen Abbildungen F : V V eine Gruppe bzgl. Abbildungsverkettung (nämlich eine Untergruppe der Gruppe GL(V ) aller Vektorraumautomorphismen von V ). Sie heißt orthogonale Gruppe von (V,, ). Die nächste Bemerkung zeigt, dass der Begriff der orthogonalen Abbildung auch neues Licht auf den Begriff der Orthonormalbasis wirft. Bemerkung Es sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis B von V ist genau dann eine Orthonormalbasis, wenn der Basisisomorphismus Φ B : R n V eine orthogonale Abbildung ist. Zu beweisen ist nicht mehr viel: die Richtung wird genau durch die zweite Gleichung in ausgedrückt; die Richtung ist ebenfalls klar: das Bild eines Orthonormalsystems unter einer orthogonalen Abbildung ist offenbar wieder ein Orthonormalsystem. Wir kommen nun zu speziellen Eigenschaften von orthogonalen Abbildungen: Bemerkung a) Jede orthogonale Abbildung ist injektiv. b) Jede orthogonale Abbildung F : V V ist bijektiv, also ein Automorphismus von V. c) Jede orthogonale Abbildung F : V W erhält Norm und Distanz: F (v) = v und dist(f (x), F (y)) = dist(x, y) für alle v, x, y, V. Beweis: Zunächst zu c): die Aussage über die Norm folgt unmittelbar aus den Definitionen; die Aussage über die Distanz folgt daraus mittels der Linearität. Aussage a) ergibt sich dann als Folgerung aus c): wenn v Kern F ist, dann ist v = F (v) = =, also v = nach (N). Die Aussage b) schließlich folgt bekanntlich unmittelbar aus a) (siehe Korollar 2.9.4). Wir kommen schließlich zur Kennzeichnung derjenigen Matrizen, die orthogonale Abbildungen beschreiben (und zwar bezüglich Orthonormalbasen). Satz 2..3 (Kennzeichnung orthogonaler Matrizen) Für eine quadratische Matrix S R n n sind die folgenden fünf Bedingungen äquivalent:

11 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau 37 (i) S t S = E n. Dabei bezeichnet S t wie üblich die Transponierte zur Matrix S. (ii) Die Spalten von S bilden ein Orthonormalsystem im R n mit dem Standardskalarprodukt. (iii) Die Zeilen von S bilden ein Orthonormalsystem im R n mit dem Standardskalarprodukt. (iv) Die lineare Abbildung F S : R n R n ist eine orthogonale Abbildung bezüglich des Standardskalarproduktes auf R n. (v) Wenn (V,, ) und (W,, ) n-dimensionale euklidische Vektorräume sind und A und B Orthonormalbasen von V bzw. W, so ist die durch MB A (F ) = S definierte lineare Abbildung V W eine orthogonale Abbildung. Eine Matrix, die alle diese Eigenschaften hat, heißt orthogonale Matrix. Beweis: Die i-te Zeile von S ist gleich der i-ten Spalte von S t. Nach der Regel Zeile mal Spalte ist also der ij-eintrag von S t S gleich dem Standardskalarprodukt der i-ten mit der j-ten Spalte von S. Dieses zeigt die Äquivalenz (i) (ii). Die Aussage (iii) ist gleich der Aussage (ii) für die transponierte Matrix S t. Nach dem schon Gezeigten ist also (iii) äquivalent zu S S t = E n. Die Gleichungen S t S = E n und S S t = E n sind beide äquivalent zu S ist invertierbar und S = S t (siehe Satz 2.6.6), also sind sie auch zueinander äquivalent. Somit ist die Äquivalenz (iii) (i) bewiesen. Nun zur Äquivalenz (iv) (ii): Die Spalten von S sind die Bilder der Standard-Orthonormalbasis des R n unter F S. Da eine orthogonale Abbildung offenbar eine Orthonormalbasis wieder auf eine Orthonormalbasis abbildet, ist die Implikation klar. Die umgekehrte Implikation folgt sofort aus Bemerkung 2..28: Wenn B aus den Spalten von S besteht, ist Φ B : R n R n nichts anderes als die Abbildung F S. Schließlich die Äquivalenz (iv) (v): Wir betrachten das kommutative Diagramm F V W Φ A Φ B. R n F S R m Die Abbildungen Φ A und Φ B sind nach orthogonale Abbildungen. Nun können wir für beide Richtungen die Bemerkung anwenden: wenn F S orthogonal ist, dann ist auch F = Φ B F S Φ A orthogonal. Wenn umgekehrt F als orthogonal vorausgesetzt ist, dann ist auch F S = Φ B F Φ A orthogonal. Wir wollen schließlich noch die orthogonalen Abbildungen in der Dimension 2 klassifizieren. Für höhere Dimensionen geschieht das in einem späteren Kapitel. Satz 2..3 Die orthogonalen 2 2-Matrizen sind genau die Matrizen der Gestalt ( ) ( ) a b a b () (2), wobei a 2 + b 2 =. b a b a

12 38 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau Dieses sind die Matrizen ( cos α sin α () R α = sin α cos α ) bzw. (2) S α = ( cos α sin α sin α cos α ), wobei α [, 2π) angenommen werden kann. Die Matrix R α beschreibt die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel α, die Matrix S α beschreibt die Spiegelung an derjenigen Geraden durch den Nullpunkt, die mit der x -Achse den Winkel α/2 einschließt.

13 Index Abb, 25, 6 Abbildung, 9 bijektive, identische, injektive, lineare, 87 surjektive, abelsch, 26 abgeschlossen, 32 abzählbar, 2 Addition, 59 ähnlich, 7 Äquivalenzrelation, 47 Argument einer Abbildung, 9 einer komplexen Zahl, 38 assoziativ, Austauschsatz, 83 Automorphismus, 36 Basis, 79 Basiswechselmatrix, 5 Betrag einer komplexen Zahl, 37 Bezout, Lemma von, 22 bijektiv, Bild, 9 Bilinearform, 27 bsp:standardbasis, 79 Definitionsbereich, 9 Differenzmenge, 5 Dimension, 83 direkte Summe, 25 Distributivgesetz, 29 Division mit Rest, 7 Drehung, 38 Dreiecksungleichung, 38 Dualraum, 6 Durchschnitt, 5 Einheit in einem Ring, 3 Einselement, 29 endlich erzeugt, 8 Erzeugendensystem, 77 Erzeugnis, 63 euklidischer Vektorraum, 28 ggt, 2 gleichmächtig, 2 Gleichungssystem lineares, 68 größter gemeinsamer Teiler, 2 Gradformel, 42 Gruppe, 26 abelsche, 26 allgemeine lineare, 27 orthogonale, 36 symmetrische, 27 Hintereinanderausführung, Homomorphismus, 53 identische Abbildung, Imaginärteil, 35 Induktion vollständige, 6 injektiv, Inklusion, 5 echte, 5 invertierbar, 3 isomorph, 53, 9 Isomorphismus von Gruppen, 52 von Vektorräumen, 9 Kardinalität, 3 kartesisches Produkt, 7 Kern, 9 Körper, 3 kommutativ, 26, 29 Komplement eines Untervektorraumes, 25 orthogonales, 3 komplementär Untervektorraum, 25 komplexe Konjugation, 37 Komposition, kongruent, 47 konjugiert-komplex, 37 LGS, 68 linear unabhängig, 78 lineare Abbildung, 87 lineares Gleichungssystem, 68 Linearform, 27 Linearkombinationen, 63 39

14 4 Lineare Algebra 26/7 c Rudolf Scharlau linksinvers, 2 Mächtigkeit, 3 Matrix eines LGS, 68 erweiterte, 68 orthogonale, 37 Monom, 63 neutrales Element, 26 normiert Polynom, 42 Nullraum, 6 Nullstelle, 44 orthogonal -raum, 29 Abbildung, 35 Gruppe, 36 komplement, 3 Matrix, 37 Summe, 3 Vektoren, 29 Orthogonalbasis, 3 Orthogonalsystem, 3 Orthonormalbasis, 3 Orthonormalsystem, 3 Partition, 49 Permutation, 27 Pivotspalten, 93 Polarkoordinaten, 38 Polynom, 3, 4 Polynomring, 4 positiv definit, 27 Potenzmenge, 8 Produktmenge, 7 Rang einer linearen Abbildung, 2 einer Matrix, 94 eines LGS, 74 eines Vektorsystems, 93 Realteil, 35 rechtsinvers, 2 reflexiv, 47 Relation, 47 Restklassenring, 5 Ring, 29 von Untervektorräumen, 64 surjektiv, symmetrisch, 47 Bilinearform, 27 Gruppe, 27 Matrix, 28 symmetrische Gruppe, 27 teilerfremd, 2 Teilmenge, 5 echte, 5 Teilraum, 6 affiner, 7 Teilring, 33 transitiv, 47 transponierte Matrix, 37 Unbestimmte, 3, 42 Untergruppe, 32 Unterraum affiner, 7 Unterring, 33 Untervektorraum, 6 aufgespannter, 63 erzeugter, 63 komplementärer, 25 Vektor, 59 Vektorraum, 59 euklidischer, 28 Vektorraum-Isomorphismus, 9 Vektorsystem, 77 Vereinigung, 5 Verkettung, Verknüpfung, 25 äußere, 59 Vielfachheit einer Nullstelle, 44 Zeilenraum, 94 Zeilenstufenform, 93 Zielbereich, 9 Zielmenge, 9 Zykel, 27 Zyklus, 27 Skalarmultiplikation, 59 Skalarprodukt, 27 Spaltenraum, 94 Spiegelung, 38 Standardvektorraum, 6 Stufenform, 74 Summe direkte, 25