2 Stochastik. 2.1 Einstufige Zufallsexperiment

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1 2 Stochastik 2.1 Einstufige Zufallsexperiment Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei welchem keine Vorhersage getroffen werden kann, welches Ergebnis auftreten wird, es lassen sich jedoch vor dem Versuch alle möglichen Ergebnisse angeben. Bei einem Zufallsexperiment gibt es verschiedene Ergebnisse, diese ergeben zusammen die Ergebnismenge S. Fasst man mehrere Ergebnisse zusammen, so spricht man von einem Ereignis E. Beim Würfeln mit einem Standard-Würfel gibt es die 6 Ergebnisse Würfel zeigt Augenzahl 1, Würfel zeigt Augenzahl 2,... und Würfel zeigt Augenzahl 6. Dies ist ein Zufallsexperiment, da es unter gleichen Voraussetzungen beliebig oft wiederholt werden kann. Die Ergebnismenge S ist S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ein Ereignis wäre zum Augenzahl ist gerade E gerade = {2, 4, 6}. Wahrscheinlichkeitsverteilung Ordnet man jedem Ergebnis einen Wert k (reelle Zahl) zu, so bezeichnet man diese Zuordnung (Funktion) als Zufallsvariable, meistens verwendet man dafür X. Jeder Wert k der Zufallsvariable tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit P (X = k) auf. Die Zuordnung P nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung und sie wird oft in einer Tabelle dargestellt. Wahrscheinlichkeitsverteilung eines nicht fairen Würfel, die Zufallsvariable gibt die erzielte Augenanzahl an: X P (X) 0,1 0,2 0,25 0,25 0,1 0,1 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich durch addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. Summiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse auf, so muss dies stets 1 (100 %) ergeben.

2 3 Gn 14 2 Stochastik 2 Ein Glücksrad ist zur Hälfte grün, und jeweils zu einem Viertel rot bzw. blau. Eine Zufallsvariable wäre also eine Zuordnung, die diesen Ergebnissen einen Wert zuordnet z.b. X(grün) = 1, X(rot) = 2 und X(blau) = 3. In der Hälfte der Fälle ist grün zu erwarten, was dem Wert k=1 zugeordnet wurde, die Wahrscheinlichkeit für grün ist also P (grün) = P (X = 1) = 1 2. Dies führt zu folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung P : Die Wahrscheinlichkeit für rot oder blau ergibt sich durch Addition: P (X > 1) = P (X Ereignis grün rot blau = X(Ereignis) = k P (X = k) 1 2 = 50% 1 4 = 25% 1 4 = 25% 2) + P (X = 3) = = 1 2 (alle Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1, was leicht nach zu rechnen ist) Laplace-Experiment Laplace-Experiment Treten alle n möglichen Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf so nennt man ein solches Experiment ein Laplace-Experiment. Da jedes Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit p auftritt muss gelten: p = P (Ergebnis) = p + p + + p = 1 p = 1 }{{} n n mal 1 Anzahl der möglichen Ergebnisse für ein Ereignis E aus m Ergebnissen, folgt P (E) = m p p = P (Ereignis) = Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse Das Würfeln mit einem fairen Würfel ist ein Laplace-Experiment. Es gibt 6 Ergebnisse, also ist deren Wahrscheinlichkeit und zum P (1 oder 2) = 2 6 = Gegenereignis Gegenereignis Das Ereignis Ā nennt man Gegenereignis zu A und bedeutet, das NICHT A eintritt. P (A) = 1 P (Ā) Will man berechnen wie wahrscheinlich es ist eine Augenzahl zu werfen, die kleiner als 6 ist, so kann man entweder die Wahrscheinlichkeiten für 1 bis 5 addieren oder man geht über das Gegenereignis, also NICHT 6. P ( 6) = 1 P (6) = = pirmingohn@gmail.com

3 3 2.2 Häufigkeiten und Erwartungswert 3 Gn Häufigkeiten und Erwartungswert Häufigkeit Wenn bei n Zufallsexperiment n A mal das Ergebnis A aufgetreten ist, so heißt n A die absolute Häufigkeit und n A die relative Häufigkeit des Eintretens von A. n Gesetz der großen Zahl Für eine Statistik werden n Zufallsexperimente unter den gleichen Bedingungen und unabhängig voneinander durchgeführt. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Experimente gleichzeitig oder hintereinander ausgeführt werden, solange sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. Dann strebt die relative Häufigkeit n A für das Ergebnis A mit steigender Anzahl n der n Zufallsexperimente gegen die Wahrscheinlichkeit P (A). Reißnägel unterscheiden sich stark, es ist schwer vorhersagbar ob er nun auf der Fläche oder der Nadel landet. Wenn man 1000 mal einen Reißnagel wirft so bekommt man z.b. 632 mal Fläche (absolute Häufigkeit) und 632 = 63, 2 % (relative Häufigkeit). Je mehr Experimente man durchführt, desto besser wird die relative 1000 Häufigkeit als Näherungswert für P (F läche) 0, 63. Erwartungswert Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist der Wert, dem sich der Mittelwert der Zufallsvariablen bei häufiger Wiederholung einpendelt. Kennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, so gilt: E(X) = x 1 P (X = x 1 ) + x 2 P (X = x 2 ) + Für eine Zufallsvariable X, sei folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben: k P (X = k) 0,5 0,3 0,05 0,15 E(X) = 0 0, 5+1 0, 3+2 0, , 15 = 0, 85 Im Durchschnitt wird 0,85 gewonnen, falls es zum eine Lotterie war. 2.3 Mehrstufige Zufallsexperimente Pfadmultiplikationsregel In einem Baumdiagramm erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch Multiplikation aller Wahrscheinlichkeiten des Pfades, der zu dem gewünschten Ergebnis führt. pirmingohn@gmail.com 3

4 3 Gn 14 2 Stochastik 4 Wir würfeln zwei mal mit einem Würfel, uns interessieren nur die Ergebnisse 3 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten P (3) = 1 6 und P ( 3) = wie wahrscheinlich ist es genau eine 3 zu würfeln? Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ergibt 1, wir haben uns bisher also nicht verrechnet! Nun sehen wir, dass jedoch zwei Ergebnisse zu dem Ereignis genau einmal 3 gehören, wir müssen diese beiden Wahrscheinlichkeiten also addieren Wurf 2. Wurf P ( 3; 3) = P ( 3; 3) = 5 36 P (3; 3) = 5 36 P (3; 3) 1 36 P (genau eine 3) = P (3; 3) + P ( 3; 3) = = Kombinatorik In der Kombinatorik muss man vier Fälle unterscheiden: 1) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k mal mit Zurücklegen gezogen. Dann gibt es n } n {{ n} = k mal n k verschiedenen Ergebnisse. 2) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k mal ohne Zurücklegen gezogen. Dann gibt es n (n 1) (n k + 1) verschiedenen Ergebnisse. 3) Aus einer Urne mit n Kugeln werden alle n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Dann gibt es n (n 1) 2 1 = n! ( n Fakultät ) verschiedenen Ergebnisse. 4) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k mal ohne Zurücklegen gezogen. Jeweils alle k! Ergebnisse mit gleicher Auswahl aber unterschiedlicher Reihenfolge der k Kugeln werden als( Kombination zusammengefasst. Dann gibt es = ) n (n 1) (n k + 1) n! n k! (n k)!k! = k mögliche Kombinationen. Die Zahlen ( ) n k ( n über k ) nennt man Binomialkoeffizent. Es gibt ( ) n k Möglichkeiten, aus n verschiedenen Objekten k Objekte auszuwählen. Lotto - 6 Kugeln aus 49, dabei ist die Reihenfolge egal. Es gibt also Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge wichtig wäre. Für jede 6er-Serie gibt es ! 6! = Varianten der Reihenfolge. Es gibt also insgesamt = (49 6)!6! = ( ) 49 = Möglichkeiten 6 4 pirmingohn@gmail.com

5 5 2.5 stochastische Unabhängigkeit 3 Gn stochastische Unabhängigkeit stochastische Unabhängigkeit Sind A und B zwei Mengen, so gehören zur Menge A B alle Elemente die zu A und auch zu B gehören (Schnittmenge) Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig voneinander, wenn gilt: P (A B) = P (A) P (B) In einer Urne sind 3 Kugeln welche nummeriert sind. Es wird zweimal mit zurücklegen gezogen. Wir betrachten 4 Ereignisse } P (E 1 E 2 ) = 1 E 1 : im ersten Zug eine 1 mit P (E 1 ) = 1 9 nur {1;3} passt 3 P (E 1 ) P (E 2 ) = = 1 unabhängig 9 E 2 : im zweiten Zug eine 3 mit P (E 2 ) = 1 3 } E 3 : Beide Zahlen sind ungerade mit P (E 4 ) = 4 P (E 1 E 3 ) = {1;3} und {1;1} P (E 1 ) P (E 3 ) = = 4 abhängig Binomialverteilung Bernoulli-Experiment Ein Zufallsexperiment mit exakt zwei interessanten Ergebnissen heißt ein Bernoulli- Experiment. Die Ergebnisse bezeichnet man als Treffer und Nieten mit der Trefferwahrscheinlichkeit p und der Nietenwahrscheinlichkeit q = 1 p. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal wiederholt und ändert sich dabei die Wahrscheinlichkeit nicht, so spricht man von einer n-stufigen Bernoulli-Kette. Binomialverteilung Gegeben ist eine n-stufige Bernoulli-Kette mit Erfolgswahrscheinlichkeit p (q = 1 p) und Zufallsvariable X: Anzahl der Erfolge Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge beträgt: P (X = k) = ( n k ) p k q n k als verkürzte Schreibweise B n,p (k) (binompdf auf dem TI) Eine Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten für die n-fache Erfolge wird als Binomialverteilung bezeichnet. Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen erhält man durch E(X) = n p pirmingohn@gmail.com 5

6 3 Gn 14 2 Stochastik 6 Ein Glücksrad (rot-weiß) wird 7 mal gedreht, k ist die Anzahl der Treffer (weiß), gesucht wird die jeweilige Anzahl der Pfade für k Treffer. (0! = 1, ansonsten ncr ) für k = 4 gibt es ( 7) 4 = 7! 4!3! = = = = 35 Pfade Die Binomialverteilung hat folgende Eigenschaften: Die Form ist einen Glockenkurve Das Maximum der Kurve liegt beim Erwartungswert (oder knapp daneben, wenn der Erwartungswert keine natürlich Zahl ist) kumulierte Wahrscheinlichkeit kumulierte Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge wird aus der Summe aller Erfolge von 0 bis k berechnet und als kumulierte Wahrscheinlichkeit bezeichnet. (binomcdf auf dem TI) P (X k) = P (X = 1) + P (X = 2) + + P (X = k) Ein Glücksrad wird n = 20 mal gedreht, ein Treffer 1 tritt mit der Wahrscheinlichkeit von p = 1 4 auf. Die Zufallsvariable X ist also B 20; 1 verteilt (binomialverteilt mit n = 20 und p = ). a) Wahrscheinlichkeit, dass keine 1 kommt: P (X = 0) 0, 0032 b) Der Erwartungswert hat den Wert E(X) = = 5 c) Wahrscheinlichkeit, dass höchstens drei mal 1 erscheint: P (X 3) 0, 225 d) Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei mal, jedoch höchstens sieben mal eine 1 erscheint: P (2 X 7) = P (X 7) P (X 1) 0, 873 Nachfolgende Diagramme veranschaulichen die L osungen. Einige Balken sind jedoch zu klein um noch dargestellt werden zu können, die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind jedoch nicht Null! P (X) 0,2 0,15 0,1 0,05 Wahrscheinlichkeit P (X 3) E(X) = µ = Binomialverteilung mit n = 20 und p = 1 4 Trefferzahl X 6 pirmingohn@gmail.com

7 7 2.7 Hypothesen-Tests bei Binomialverteilungen 3 Gn 14 P (X) 0,2 0,15 0,1 Wahrscheinlichkeit Binomialverteilung mit n = 20 und p = 1 4 P (2 X 7) 0, Trefferzahl X 2.7 Hypothesen-Tests bei Binomialverteilungen Ein statistisches Testverfahren lässt sich im Prinzip mit einem Gerichtsverfahren vergleichen. Das Verfahren hat (meistens) als Zweck festzustellen, ob es ausreichend Beweise gibt, den Angeklagten zu verurteilen. Es wird dabei immer von der Unschuld eines Verdächtigen ausgegangen, und so lange große Zweifel an den Belegen für ein tatsächliches Vergehen bestehen, wird ein Angeklagter freigesprochen. Nur wenn die Indizien für die Schuld eines Angeklagten deutlich überwiegen, kommt es zu einer Verurteilung. Es gibt demnach zu Beginn des Verfahrens die beiden Hypothesen H 0 der Verdächtige ist unschuldig und H 1 der Verdächtige ist schuldig. Erstere nennt man Nullhypothese, von ihr wird vorläufig ausgegangen. Die zweite nennt man Alternativhypothese. Sie ist diejenige, die zu beweisen versucht wird. Um einen Unschuldigen nicht zu leicht zu verurteilen, wird die Hypothese der Unschuld erst dann verworfen, wenn ein Irrtum sehr unwahrscheinlich ist. Man spricht auch davon, die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art (also das Verurteilen eines Unschuldigen) zu kontrollieren. Aufgrund der stochastischen Struktur des Testproblems lassen sich wie in einem Gerichtsverfahren Fehlentscheidungen grundsätzlich nicht vermeiden Einseitige Tests Wer Entscheidungen zu treffen hat, weißoft erst im Nachhinein ob seine Entscheidung richtig war. Die Unsicherheit eine Entscheidung zu treffen, beinhaltet immer eine gewisse Fehlerwahrscheinlichkeit. Der Hypothesentest gibt uns eine Richtlinie für die Wahl einer Alternativentscheidung. Wir treffen unsere Entscheidung auf der Grundlage dessen, was wir für richtig erachten. Das nennen wir die Nullhypothese H 0. Eine Alternativentscheidung nennen wir Alternativhypothese H 1. pirmingohn@gmail.com 7

8 3 Gn 14 2 Stochastik 8 Ablaufplan Formulierung der Nullhypothese H 0 und der Alternativhypothese H 1 Festlegung des Signifikanzniveaus α (manchmal vorgegeben) Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs der Nullhypothese gegebenenfalls Ziehung der Stichprobe Treffen der Testentscheidung - liegt das Ergebnis der Stichprobe innerhalb des Annahmebereichs, wird H 0 angenommen, anderenfalls abgelehnt Tipps zum Aufstellen der Hypothesen Was ich zeigen oder beweisen will, gehört in die Alternativhypothese Das Gleichheitszeichen gehört immer in die Nullhypothese Die Annahme der Nullhypothese führt immer zur Ablehnung der Alternativhypothese, ist aber kein Beweis dafür, dass die Nullhypothese stimmt. Die Ablehnung der Nullhypothese führt zur Annahme der Alternativhypothese. Sollte man wissen Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie richtig ist Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist H 1 : p < p 0 hat einen linksseitigen Test zur Folge (Alternativhypothese!) Annahmebereich A = [a; n] mittels Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeit Signifikanzniveau α suchen H 1 : p > p 0 hat einen rechtsseitigen Test zur Folge (Alternativhypothese!) Annahmebereich A = [0; b] mittels Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeit 1 α suchen 8 pirmingohn@gmail.com

9 9 2.7 Hypothesen-Tests bei Binomialverteilungen 3 Gn 14 Eine Befragung aller Schüler im letzten Jahr, ergab dass 25 % von ihnen nicht mit dem Essen der Mensa zufrieden waren. Es wird vermutet, dass die Unzufriedenheit inzwischen zugenommen hat. Um dies zu beurteilen, werden 20 Schüler befragt. Die Nullhypothese lautet somit H 0 : p = 0, 25 und die Alternativhypothese H 1 : p > 0, 25 6 Schüler waren mit dem Essen unzufrieden, das ist zwar mehr als der Erwartungswert E(X) = = 5, jedoch ist die Abweichung noch recht gering, die sieht man an der Wahrscheinlichkeit P (X 6) = 1 P (X 5) 0, 383. In fast 40 % der Fällen sollte man also mit einem Ergebnis rechnen, dass größer als der Erwartungswert ist. Um einen Ablehnungsbereich festlegen zu können braucht man als ein Signifikanzniveau, will man eine Sicherheit von mindestens 95 %, also nur in 5 % der Fällen zu unrecht das Niveau des Essens kritisieren, so wählt man das Signifikanzniveau α = 1 0, 95 = 0, 05 und bestimmt k so, dass gilt P (X k) 0, 05 P (X k) 0, 05 1 P (X k 1) 0, 05 1 P (X k 1) 0, 95 P (X k 1) 0, 95 Gegenereignis ( 1) Achtung! Ungleichheitszeichen dreht sich! mit GTR P (X 7) 0, 898 P (X 8) 0, 959 k 1 = 8 k = 9 Bei 9 oder mehr negativen Äußerungen über das Annahmebereich : A = {0; 1;..; 8} Essen, kann man mit 95 %-iger Sicherheit davon Ablehnungsbereich : A = {9; 10;..; 20} ausgehen, dass die Qualität schlechter empfunden wird, als vor einem Jahr. P (X) 0,2 0,15 0,1 0,05 Wahrscheinlichkeit Annahmebereich P (X 8) > 95 % Binomialverteilung mit n = 20 und p = 1 4 α Ablehnungsbereich P (X 9) < 5 % Trefferzahl X Man spricht von einem rechtsseitigen Test, da der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite der Verteilung liegt. pirmingohn@gmail.com 9

10 3 Gn 14 2 Stochastik 10 Ein Losverkäufer verkauft 100 Lose und behauptet es seien 40 Gewinne darunter. Also H 0 : p = 0, 4 und H 1 : p 0, 4. Gehen wir von einer Stichprobe von 20 Losen aus (mit Zurücklegen), somit ist die Zufallsvariable X (Anzahl der Gewinne) B 20; 0,4 -verteilt (E(X) = µ = 8). Sei das Signifikanzniveau α = 0, 05, so gilt, da links der Ablehnungsbereich ist (linksseitiger Test): P (X k) 0, 05 P (X 3) 0, 016 P (X 4) 0, 051 k = 3 Annahmebereich A = {0; 1 ; 2; 3} Ablehnungsbereich A = {4;..; 20} Bei einer Stichprobe wurden nur 3 Gewinne gezogen, die Nullhypothese muss also abgelehnt werden und glauben dem Losverkäufer nicht und glauben die Alternativhypothese gilt. Allerdings können wir uns mit der Ablehnung der Null-Hypothese auch irren, da die Werte 0 bis 3 fã 1 4r X bei korrekter Null-Hypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,6 % eintreten. Das ist die sogenannte Irrtumswahrscheinlichkeit (oder Fehler 1. Art). (Bei einem vorsichtigeren Signifikanzniveau von z.b. 1 %, so würde die Nullhypothese NICHT abgelehnt werden. 2.8 Aufgaben Pflichtteil A 1 Abi 13 - PT - Stochastik Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch. a) Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch b) Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an. Welche Werte kann X annehmen? Berechnen Sie P (X 2). A 2 Abi 14 - PT - Stochastik An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele. a) Formuliere ein Ereignis A, für das gilt: P (A) = ( 10 8 ) ( ) 2 8 ( ) 1 2 ( ) 2 9 ( ) b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei mal? 10 pirmingohn@gmail.com

11 Aufgaben 3 Gn 14 Lösung zu Abi 13 - PT - Stochastik a) P (A) = 5 18 und P (B) = 2 9 b) X kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen. P (X 2) = Lösung zu Abi 14 - PT - Stochastik a) A: mindestens 8 Spiele verlieren b) P (X = 2) = 8 27 A 3 PT - Stochastik - Urne 1 In einer Urne sind 5 weiße und 2 schwarze Kugeln. Es wird zweimal mit zurücklegen gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine gezogene Kugel schwarz? b) Wie viele schwarze Kugeln müssten sich in der Urne befinden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 96 % mindestens eine der gezogenen Kugeln schwarz wäre? A 4 PT - Stochastik - Urne 2 In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 7. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine ungerade Zahl gezogen wird. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass erst mit dem dritten Zug eine ungerade Zahl gezogen wird? b) Berechne den Erwartungswert der Versuchsanzahl A 5 PT - Stochastik - Urne 3 In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 3 weiße Kugeln. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine weiße Kugel gezogen wird. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass erst im dritten Zug eine weiße Kugel gezogen wird? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht? A 6 PT - Stochastik - Glücksrad 1 Bei einem Glücksspiel wird ein Glücksrad benutzt. Als Einsatz zahlt man 3 e. Das Glücksrad wird einmal gedreht. Man erhält den Betrag ausgezahlt, dessen Sektor über dem Pfeil zu stehen kommt. Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Gewinn. 3 e 2 e 4 e pirmingohn@gmail.com 11

12 3 Gn 14 2 Stochastik 12 A 7 PT - Stochastik - Glücksrad 2 Ein Rummelplatzbesucher sieht ein Glücksrad und stellt folgende Rechnung auf: 1 e e e1 6 = 1 2 e Was bedeutet diese Rechnung vermutlich? Wie könnte das zugehörige Glücksrad aussehen und die Gewinnregel lauten? A 8 PT - Stochastik - Skat Ein Kartenspiel enthält 32 Karten mit vier Farben (Symbole) zu je acht Werten. Die Karten werden gemischt. A 9 a) Nacheinander werden drei Karten gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Die drei gezogenen Karten sind von gleicher Farbe B: Die drei gezogenen Karten haben den gleichen Wert (z.b. drei Asse) b) Das Kartenspiel wird zu einem Glücksspiel benutzt. Hierbei muss der Spieler nur eine Karte ziehen. Der Spieler setzt vor dem Ziehen einer Karte als Einsatz 1 e. Zieht der Spieler einen König, gewinnt er 4 e. Zieht er ein Herz-Ass, gewinnt er 8 e. Bei allen anderen Spielausgängen bekommt er nichts. Begründe wieso das Spiel unfair ist? Wie muss man den Gewinn bei der Ziehung des Herz-Ass ändern, damit das Spiel fair ist? PT - Stochastik - Kiste In einer Kiste befinden sich 10 beschriftete Kugeln. Sechs von ihnen tragen die Aufschrift 1 e, drei die Aufschrift 2 e und eine die Aufschrift 5 e. A 10 a) Ein Spieler zahlt 2 e Einsatz, zieht verdeckt eine Kugel und bekommt den Betrag ausgezahlt, der auf der Kugel steht. Ist das Spiel fair? b) Der Spielbetreiber ändert die Spielregel folgendermaßen ab: Der Spieler zahlt weiterhin 2 e Einsatz, zieht aber hintereinander zwei Kugeln und bekommt den höchsten, der auf einer der Kugeln steht, ausgezahlt. Wie stark hat sich die Gewinnaussicht des Spielers verbessert? PT - Stochastik - Münze Sabine wird von einer Mitschülerin zu einem Glücksspiel aufgefordert. Es sollen zwei Münzen geworfen werden und ihr Einsatz soll 2 e betragen. Nachdem sie die Gewinnregel erfahren hat, rechnet sie: 2 e 0, e 0, e 0, 25 = 0, 25 e Was hat sie gerechnet und welchen Schluss wird sie daraus vermutlich ziehen? Wie könnte die vorgeschlagene Gewinnregel aussehen? 12 pirmingohn@gmail.com

13 Aufgaben 3 Gn 14 A 11 PT - Stochastik - Pfeil & Bogen Bei einem Sportfest kann man mit Pfeil und Bogen auf eine Scheibe schießen. Ein Spieler trifft die Scheibe mit 70 % Wahrscheinlichkeit. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er bei zwei Würfen zweimal? b) Beschreiben die Ereignisse A und B, so dass gilt: P (A) = 0, 3 8 P (B) = ( ) 0, , 3 10 A 12 PT - Stochastik - Ampeln Ein Arbeitnehmer passiert auf seiner Fahrt zur Arbeit eine Kreuzung mit Ampel. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % muss er dort anhalten. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss er an drei aufeinander folgenden Tagen nicht an der Ampel anhalten? b) Beschreibe die Ereignisse A und B, so dass gilt: P (A) = 0, 3 3 P (B) = ( 5 2 ) 0, 3 2 0, pirmingohn@gmail.com 13

14 3 Gn 14 2 Stochastik 14 A 13 PT - Stochastik - Graphen Die Zufallsvariable ist B 10; 0,6 -verteilt a) Welche Abbildung zeigt die Verteilung von X? (Begründe) b) Bestimme mit Hilfe der Abbildung B näherungsweise P (X 5) c) Bestimme mit Hilfe der Abbildung B näherungsweise P (4 X 7) 1 0,75 P (X = k) Abbildung A 0,25 P (X = k) Abbildung B 0,5 0,125 0, k k 0,25 P (X = k) Abbildung C 0,25 P (X = k) 0,125 0,125 Abbildung D k k Lösung zu PT - Stochastik - Urne 1 a) P (mind. eine schw. Kugel) = b) 5 weiße und x schwarze Kugeln - Gegenereignis! x+5 x+5 = 0, 96 x = 20 Lösung zu PT - Stochastik - Urne 2 a) P (ggu) = 4 35 b) Zufallsvariable X sei die Anzahl der Versuche und kann die Wert 1 bis 4 annehmen. E(X) = 8 5 = 1, 6 14 pirmingohn@gmail.com

15 Aufgaben 3 Gn 14 Lösung zu PT - Stochastik - Urne 3 a) P (ssw) = 3 20 b) P (w) + P (sw) + P (ssw) = Lösung zu PT - Stochastik - Glücksrad 1 Die Zufallsvariable X ist der Auszahlungsbetrag: E(X) = 1 e e 3 8 = 1 8 e Lösung zu PT - Stochastik - Glücksrad 2 Die Rechnung gibt den erwarteten Gewinn des Besuchers an. Da dieser negativ ist, muss der Spieler durchschnittlich 0,50 e Verlust in Kauf nehmen (Erwartungswert). Einsatz: 3 e 4 e 0 e 7 e Lösung zu PT - Stochastik - Skat a) P (A) = und P (B) = b) Zufallsvariable X sei der Gewinn. E(X) = 0, 25 e, der Erwartungswert müsste Null sein, setzt man x als Gewinnbetrag für ein Ass an und löst danach auf, so ergibt sich x = 16 e. Lösung zu PT - Stochastik - Kiste Zufallsvariable X sei der Gewinn des Spielers a) E(X) = 0, 30 e - nicht fair, Spieler verliert langfristig Geld! b) E(X) = 4 e - nicht fair, Spieler gewinnt langfristig Geld! 15 Lösung zu PT - Stochastik - Münze Sabine hat den erwarteten Gewinn (Erwartungswert) berechnet. Das Ergebnis sagt aus, dass Sabine im Durchschnitt mit einem Verlust von 25 Cent pro Spiel rechnen muss. Eine mögliche Gewinnregel lautet: Wird zweimal Wappen geworfen, erhält Sabine eine Auszahlung von 3 e. Wird zweimal Zahl geworfen, erhält Sabine eine Auszahlung von 4 e. Ansonsten wird nichts ausgezahlt. Lösung zu PT - Stochastik - Pfeil & Bogen a) P (zwei Treffer) = 0, 49 b) A: der Spieler schießt 8 mal und trifft nie B: der Spieler schießt 30 mal und trifft genau 20 mal Lösung zu PT - Stochastik - Ampel a) P (AAA) = 0, 7 3 = 0, 343 b) A: Dreimal Anhalten hintereinander B: genau 2 mal Anhalten in 5 Tagen pirmingohn@gmail.com 15

16 3 Gn 14 2 Stochastik 16 Lösung zu PT - Stochastik - Graphen a) Abbildung B, denn E(X) = 10 0, 6 = 6 somit sind nur noch B und D möglich, da nur dort bei P (X = 6) maximal ist. in Abbildung D gilt jedoch n = 9, somit muss es Abb. B sein. 0,25 0,125 P (X = k) E(X) = 6 b) P (X 5) = 0, 8 (nicht schraffiert) c) P (4 X 7) = 0, 77 (blau) k Wahlteil A 14 Abi 13 - WT - Stochastik 1 Bei einer Lotterie sind 10 % der Lose Gewinnlose. Jemand kauft drei Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Gewinnlose? Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinnlose über 50 % liegt? A 15 Abi 13 - WT - Stochastik 2 Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils sechs gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist. Auf jedem Glücksrad sind je ein Sterne (S), zwei Diamanten (D) und drei Kleeblätter (K). D K K D S K K Rahmen S D K K D a) Zunächst werden die Räder als ideal angenommen. Bei einem Einsatz von 0,20 e sind folgende Auszahlungen vorgesehen: Stern - Stern 2,00 e Diamant - Diamant 0,85 e Kleeblatt - Kleeblatt 0,20 e In allen anderen Fällen wird nichts ausbezahlt. Weise nach, dass das Spiel fair ist. Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen. Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für Diamant - Diamant geändert werden. Berechne diesen neuen Auszahlungsbetrag. b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit p für Stern - Stern geringer als 1 ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden. Formuliere die Entscheidungsregel für die Nullhypothese H 0 : p 1, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5 % betragen soll. 16 pirmingohn@gmail.com

17 Aufgaben 3 Gn 14 A 16 Abi 14 - WT - Stochastik 1 In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln. a) Aus Gefäß G1 wird 20 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird. Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinander folgenden Zügen. b) Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz? A 17 Abi 14 - WT - Stochastik 2 Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5 %. a) Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechne P (X 30). Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 10 vom Erwartungswert von X ab? b) Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2 % der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H 0 soll mithilfe eines Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5 % betragen soll? Lösung zu Abi 13 - WT - Stochastik 1 Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Gewinne an; X ist B 3; 0,1 -verteilt. P (X 2) = 1 P (X 1) 0, 028(GTR mit binomcdf) Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 3 Losen mindestens 2 Gewinnlose sind, beträgt 2,8 %. Im zweiten Teil ist der Parameter n gesucht. P (X 2) = 1 P (X 1) > 0, 5 also P (X 1) < 0, 5 mit dem GTR: für n = 16 ist P (X 1) 0, 51 und für n = 17 ist P (X 1) 0, 48. Man muss dasher mindestens 17 Lose kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinnlose über 50 % liegt. (Table nutzen!) pirmingohn@gmail.com 17

18 3 Gn 14 2 Stochastik 18 Lösung zu Abi 13 - WT - Stochastik 2 a) Sei X die Auszahlung an den Spieler, es ist E(X) = 0, 20 e, also exakt so hoch wie der Einsatz, es ist also fair. mit y als neuen Gewinn ist E(X) = 2 e 1 + y , 20 e = 0, 15 e und somit y = 0, 40 e. Die Auszahlung bei D-D muss also 40 Cent betragen. b) Nullhypothese: H 0 : p 1 sowie Alternativhypothese H 36 1 : p < 1. Linksseitger 36 Test mit n = 500 und p = 1 und der Zufallsvariablen X als Anzahl S-S. Somit sind 36 (Table): P (X 7) 0, 032 P (X 8) 0, 063 Annahmebereich A = {8,..500} Ablehnungsbereich A = {0,.., 7} Wenn bei 500 Spielen höchstens siebenmal S-S erscheint, wird die Nullhypothese abgelehnt; andernfalls nicht. Lösung zu Abi 14 - WT - Stochastik 1 a) G1: Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der schwarzen Kugeln und ist B 20; 0,6 - verteilt. P (X 12) = 1 P (X 11) 0, 596 (GTR). G2: Die Wahrscheinlichkeit die beiden schwarzen Kugeln gleich zu beginn zu ziehen ist P (2s6w) = 0, 3 2 0, 7 6. Es gibt jedoch ingesamt 7 Möglichkeiten 2 schwarze Kugeln nacheinander zu ziehen. P (genau 2 schwarze Kugeln und dieser hintereinander) = 7 0, 3 2 0, 7 6 0, 074 Diese Wahrscheinlichkeit kann nicht mit der Binomialverteilung berechnet werden, da vorgegeben ist, an welchen möglichen Stellen die 2 schwarzen Kugeln zu ziehen sind! b) Es müssen 3 Startfälle (G1) und deren Fortsetzungen (G2) betrachtet werden: P G1 (ss) = 1 3 P G2.1 (s) = 5 12 P G1 (sw) + P G1 (ws) = 8 15 P G2.2 (s) = 4 12 = 1 3 P G1 (ww) = 2 15 P G2.3 (s) = 3 12 = 1 4 P G2 (s) = = 0, 35 Wahrs. für schwarze Kugel aus G2 18 pirmingohn@gmail.com

19 Aufgaben 3 Gn 14 Lösung zu Abi 14 - WT - Stochastik 2 a) die Zufallsvariable X ist B 800; 0,05 -verteilt und somit P (X 30) 0, 057(GT R) E(X) = 800 0, 05 = 40 somit wird P (30 X 49) = P (X 49) P (X 30) 0, 878 (GTR) gesucht. b) Die Zufallsvariable a Y beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte und ist B 800; 0,02 - verteilt. Nullhypothese: H 0 : p 0, 02 und die Alternativhypothese H 1 : p > 0, 02. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test, es wird als das kleinste k gesucht mit P (X k) 1 0, 05 = 0, 95. Ab k + 1 sollte man dann H 0 ablehnen. P (X 22) 0, 9436 P (X 23) 0, 9649 Annahmebereich A = {0,..23} Ablehnungsbereich A = {24,.., 800} Bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese. a X wurde schon verwendet! A 18 Muster - WT - Stochastik - Mäuse Ein Labor entwickelt einen neuen Impfstoff und testet ihn in einem Tierversuch mit 900 Mäusen. Mit dem Impfstoff dürfen keine klinischen Studien an Menschen durchgeführt werden, wenn sich im Tierversuch in mindestens 2 % der Fälle unerwünschte Nebenwirkungen zeigen. Bestimme für die Nullhypothese H 0 : p 0, 02 die Entscheidungsregel für den Test mit 900 Mäusen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1 %. A 19 Muster - WT - Stochastik - Flugzeuge Für einen Flug stehen zwei Flugzeuge zur Verfügung, der zweimotorige Adler und die viermotorige Juhu. Der Adler fliegt auch noch, wenn nur ein Motor intakt ist. Die Juhu braucht mindestens zwei intakte Motoren. p ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor während des gesamten Fluges einwandfrei arbeitet. a) Welches Flugzeug ist sicherer, wenn p = 0, 95 gilt? b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass der Adler bzw. die Juhu das Ziel erreicht, jeweils als Funktion von p dar. Für welche Werte von p ist der Adler sicherer als die Juhu? pirmingohn@gmail.com 19

20 3 Gn 14 2 Stochastik 20 A 20 Fundus - WT - Stochastik - zwei Urnen In einem Gefäß U 1 sind zwei blaue Kugeln, in einem weiteren Gefäß U 2 sind acht rote Kugeln. Lisa darf mit verbundenen Augen eines der beiden Gefäße wählen und daraus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel rot, dann gewinnt Lisa einen Preis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lisa einen Preis gewinnt? Lisa hat 50 weitere rote Kugeln zur Verfügung und darf nun bestimmen, wie viele zusätzliche rote Kugeln in U 1 gelegt werden. Allerdings werden dann genauso viele blaue Kugeln in U 2 gelegt. Lisa wählt fünf zusätzliche rote Kugeln. Hat sich dadurch ihre Gewinnwahrscheinlichkeit vergrößert? Wie viele von den 50 zusätzlichen roten Kugeln hätte Lisa wählen müssen, um ihre Gewinnchancen zu maximieren? A 21 Fundus - WT - Stochastik - Schulfest Eine Klasse will für einen guten Zweck beim Schulfest ein Glücksrad betreiben. Dieses besteht aus drei Sektoren mit den folgenden Mittelpunktswinkeln: rot: 180, gelb: 90 und blau: 90. Bei einem Spiel dreht der Kunde das Glücksrad dreimal und bezahlt dafür einen Euro. Er erhält zwei Euro, wenn er dreimal dieselbe Farbe erreicht, er bekommt seinen Einsatz zurück, wenn genau zweimal dieselbe Farbe angezeigt wird, in allen anderen Fällen wird sein Einsatz einbehalten. Welchen Gewinn erzielt die Klasse mit diesem Glücksrad pro Spiel durchschnittlich? Die Klasse will im nächsten Jahr durch eine Veränderung der Sektorengrößen die Wahrscheinlichkeit der Fälle, in denen der Einsatz einbehalten wird, erhöhen. Dabei sollen die Spielregeln erhalten bleiben und der rote Sektor soll weiterhin doppelt so groß sein wie der gelbe. Für welche Mittelpunktswinkel der drei Sektoren ist die Wahrscheinlichkeit für den Einbehalt des Einsatzes am größten? A 22 Fundus - WT - Stochastik - Franz & Hilde a) Eine Urne enthält drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Franz und Hilde ziehen abwechselnd ohne Zurücklegen eine Kugel, wobei Franz beginnt. Gewonnen hat, wer zuerst eine schwarze Kugel zieht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A Franz gewinnt B Hilde gewinnt b) In einer anderen Urne sind drei weiße und n schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Für welche Werte von n ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen, gleich 3 8? 20 pirmingohn@gmail.com

21 Aufgaben 3 Gn 14 A 23 Fundus - WT - Stochastik - Glücksrad Ein Glücksrad hat die Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung: Sektor Wahrs. 0,2 0,3 0,5 A 24 a) Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % wenigstens einmal die Zahl 1 zu bekommen? b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 1 größer als 0,2 ist. Daher wird die Hypothese H 0 : p 0, 2 durch 100 Versuche getestet. Wenn mehr als 28 Mal die 1 erscheint, wird die Hypothese abgelehnt. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit? Fundus - WT - Stochastik - Taschenrechner Eine Firma stellt Solartaschenrechner her. Die Herstellungskosten eines Rechners betragen 15 e. Die Firma verkauft ihn für 25 e an den Händler. 14,5 % aller produzierten Rechner sind defekt. Jeder defekte Rechner wird vom Händler entdeckt. Die Firma erstattet den Kaufpreis und nimmt den defekten Rechner zurück. Bei der Rücknahme entstehen der Firma zusätzlich Kosten in Höhe von 5 e. a) Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn der Firma pro Rechner b) Durch eine Kontrolle kann die Firma 95 % der defekten Rechner herausfinden, hält aber auch 1 % der intakten Rechner für defekt. Die beanstandeten Rechner werden dann nicht an den Händler verkauft, sondern ohne weitere Kosten entsorgt. Wie viel darf die Kontrolle eines Rechners höchstens kosten, damit sie sich für die Firma rentiert? A 25 Fundus - WT - Stochastik - Handys Eine Firma, die Handys herstellt, behauptet, dass höchstens 4 % der Geräte defekt seien. Die Behauptung soll mit einer Stichprobe von 250 Stück getestet werden. Man erhält 10 defekte Handys. Kann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 % schließen, dass die Firmenangabe nicht zutrifft? A 26 Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips. Erfahrungsgemäß sind 95 % der Chips einwandfrei. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips mehr als 26 einwandfrei, mindestens zwei defekt? b) Der Computerhersteller überprüft die Hypothese, dass mindestens 95 % der Chips einwandfrei sind, mit einer Stichprobe vom Umfang 100. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 10 % betragen. Ermittel den Ablehnungsbereich. pirmingohn@gmail.com 21

22 3 Gn 14 2 Stochastik 22 A 27 Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips 2 Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips. a) Erfahrungsgemäß sind 80 % der Chips einwandfrei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips 20 einwandfrei? b) Wie groß dürfte die Defektwahrscheinlichkeit eines Chips höchstens sein, damit von 10 Chips mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit alle einwandfrei sind? c) Die Chips, die zu 80 % einwandfrei sind, werden in Viererpackungen geliefert. Ab welcher Anzahl Viererpackungen muss mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit damit gerechnet werden, dass in mindestens einer Packung alle Chips defekt sind? A 28 Fundus - WT - Stochastik - multiple choice Bei einem Test gibt es 10 Fragen mit jeweils 4 Antworten, von denen nur eine richtig ist. a) Ein Kandidat kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er A genau 3 richtige Antworten B mindestens 3 richtige Antworten C mehr als 3, aber weniger als 8 richtige Antworten b) Es soll nun festgelegt werden, wie viele richtige Antworten zum Bestehen des Tests ausreichen sollen. Bei zufälligem Ankreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlichkeit für ein Bestehen des Testes höchstens 5 % betragen. Wie viele richtige Antworten müssen dazu mindestens verlangt werden? 22 pirmingohn@gmail.com

23 Aufgaben 3 Gn 14 A 29 Sonstiges - WT - Stochastik - Hotel Ein Hotel hat 150 Zimmer. Für sein beliebtes Wochenendangebot liegen immer deutlich mehr als 150 Anfragen für Reservierungen vor. Da die Hotelleitung im vergangenen Jahr die Erfahrung gemacht hat, dass im Mittel nur 90 % der Reservierungen in Anspruch genommen werden, entschließt sie sich nun, immer 160 Reservierungen anzunehmen. Die Anzahl der Reservierungen, die tatsächlich in Anspruch genommen werden, wird durch eine Zufallsvariable X beschrieben. Diese wird als binomialverteilt angenommen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: E 1 E 2 E 3 Genau 150 Reservierungen werden in Anspruch genommen Es müssen Gäste, die reserviert haben, abgewiesen werden Alle Gäste, die ihre Reservierung in Anspruch nehmen wollen, bekommen ihr Zimmer b) Falls Gäste, die reserviert haben, wegen Überbuchung kein Zimmer bekommen, müssen sie auf Kosten des Hotels in einem teureren Hotel in der Nähe untergebracht werden. Die Hotelleitung will daher erreichen, dass die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall unter 1 % liegt. Wie viele Reservierungen darf sie dann höchstens annehmen? Die Hotelleitung überlegt, ob sie das Hotel mit einer Sauna ausstatten soll. Das Vorhaben soll aber nur dann umgesetzt werden, wenn mindestens 20 % der Gäste dieses kostenpflichtige Angebot auch nutzen würden. Die Nullhypothese H 0 : Höchstens 20 % der Gäste würden die Sauna nutzen soll auf der Basis einer Umfrage bei 300 Gästen auf einem Siginifikanzniveau von 5 % getestet werden. c) Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel d) Vor der Konzeption des Tests stellte die Hotelleitung folgende Überlegungen an: I Wenn die Sauna nicht gebaut wird, obwohl sie mindestens 20 % der Gäste nutzen würden, entgehen dem Hotel zusätzliche Einnahmen. II Wenn die Sauna gebaut wird, obwohl sie höchstens 20 % der Gäste nutzen, entstehen dem Hotel finanzielle Verluste. Für einen dieser beiden Fälle kann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mit obigem Test auf 5 % begrenzt werden. Entscheiden Sie, welcher der beiden Fälle dies ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Lösung zu Muster - WT - Stochastik - Mäuse Falls bei einem Versuch mit 900 Mäusen höchstens 8 Tiere Nebenwirkung zeigen, dürfen klinische Tests durchgeführt werden. pirmingohn@gmail.com 23

24 3 Gn 14 2 Stochastik 24 Lösung zu Muster - WT - Stochastik - Flugzeug a) Der Adler kommt mit der Wahrscheinlichkeit 0, 9975 an, die Juhu mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 9995 und ist somit sicherer! b) Adler f(p) = 1 (1 p) 2 ( ) 4 Juhu g(p) = p 4 + p 1 3 (1 p) + ( 4 2 ) p 2 (1 p) 2 Graphen zeichnen und Schnittstelle für 0 p 1 bestimmen p 0, 67, ab diesem Wert ist die Juhu sicherer Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - zwei Urnen In 50 % der Fälle wählt Lisa zu Beginn die richtige Urne und gewinnt. Nachdem sie jeweils 5 Kugeln ergänzt hat steigen ihre Gewinnchancen auf 121. Das Maximum der Funktion 182 p(n) = 1 n liegt bei n = 4, also wäre die Gewinnchance bei jeweils 4 zusätzlichen 2 n+2 2 n+8 Kugeln maximal. Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Schulfest Ein Baumdiagramm hilft! Pro Spiel werden etwa 3 Cent Gewinn erzielt (E(X) = 0, 03125). Es gibt am neuen Glücksrad weiterhin 6 Pfade für alle drei Farben, sei der Mittelpunktswinkel von gelb α, so ist der von rot 2α und der von blau 360 3α, die Wahrscheinlichkeiten erhält man indem man jeweils durch den Vollwinkel teilt. Die Funktion α p(α) = α 360 3α hat bei α = 80 mit 16 ihren höchsten Punkt erreicht. Für gelb, 160 rot und 120 blau ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit 16 maximal. 81 Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Franz & Hilde a) P (A) = 3 5 und somit P (B) = b) P (genau eine schwarze) = 2 n = 3 Also ist für eine bzw. neun schwarze Kugeln 3+n n+3 8 ist die Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel zu ziehen gleich 3 8 Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Glücksrad a) X = #1er; P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 0, 85 n also n 14 b) Gilt H 0, dann ist X im Extremfall B 100; 0,2 -verteilt. P (X > 28) 0, 02, also ist die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 2 %. Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Taschenrechner a) 5,65 e (E(X)) b) neuen Erwartungswert bestimmen - die Kontrolle darf maximal 47,5 Cent kosten 24 pirmingohn@gmail.com

25 Aufgaben 3 Gn 14 Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Handys Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Handys an. Gilt H 0 : p 0, 04, so ist X im Extremfall B 250; 0,04 -verteilt. P (X 10) = 1 P (X 9) 0, Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist also deutlich höher als 5 %, wenn man ablehnen würde. Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips a) X gibt die Anzahl der funktionierenden Chips an und ist B 30; 0,95 -verteilt 0, 939 0, 446 b) Gilt H 0 : p 0, 95, dann ist X im Extremfall B 100; 0,95 -verteilt und der Ablehnungsbereich A = {0; 1;..; 91} Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips 2 a) X ist B 30; 0,8 -verteilt undp (X > 20) = 0, 939 b) Sei p die Defektwahrscheinlichkeit, also (1 p) 1 0 0, 9 also p 0, 0105 c) Die Wahrscheinlichkiet, dass in einem Viererpack alle kaputt sind beträgt 0,0016 mit n Packungen gilt also 1 0, 9984 n > 0, 5 und somit n 433. Ab 433 Packungen muss also mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit mit mindestens einer Packung gerechnet werden, in der alle Chips defekt sind. Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - multiple choice Die Anzahl X der richtigen Antworten ist B 10; 0,25 -verteilt a) P (A) 0, 25, P (B) 0, 474 und P (C) 0, 224 b) Es müssen mindestens 6 richtige Antworten verlangt werden Lösung zu Sonstiges - WT - Stochastik - Hotel a) P (E 1 ) 0, 0311, P (E 2 ) 0, 0359 und P (E 3 ) 0, 964 b) gesucht ist ein neues n - für eine B n; 0,9 -verteilte Zufallsvariable muss gelten P (X 150) 0, 99, dies ist für n = 159 erstmalig nicht mehr der Fall, also sollten maximal 158 Anmeldungen angenommen werden c) H 0 : p 0, 2 Die Zufallsvariable ist also im Extremfall B 300; 0,2 -verteilt. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Ab 73 Saunagängern von 300 kann man die Nullhypothese verwerfen und mit höchstens 5 %igem Risiko zum Bau der Sauna raten d) Fall II - siehe c) (Fehler 1. Art, ein Fehler 2. Art (Fall I) lässt sich nur berechnen, wenn man für die Alternativhypothese eine andere Wahrscheinlichkeit, als für H 0 annimmt pirmingohn@gmail.com 25