Wahrscheinlichkeiten und Dichten. Interpretation von Wahrscheinlichkeiten. Einige Definitionen und Gesetze
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- Paul Lucas Geisler
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1 Wahrscheinlichkeitstheorie: Grunlagen un Definitionen Wahrscheinlichkeiten un Dichten Interretation von Wahrscheinlichkeiten Einige Definitionen un Gesetze PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Wahrscheinlichkeitstheorie: Grunlagen Definitionen
2 Zufallsvektoren Multivariate Daten: Mehrere Zufallsvariablen nehmen ihre Werte in gegenseitiger Abhängigkeit voneinaner an müssen also zusammen betrachtet weren. Bs: Körergröße un Körergewicht X X X... X... Zufallsvektor; Wertebereich: R zusammengesetzte multivariate Wahrscheinlichkeitsichte Wahrscheinlichkeit bei er Messung eines Vektors X [ + ] X [ + ]... X [ + ] un in erselben Messung un in erselben Messung... zu finen Nomenklatur: Messung Ziehen aus er Verteilung PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Wahrscheinlichkeitstheorie: Grunlagen Definitionen
3 Beisiel: Multivariate Gaussverteilung ϕ ì Ó π T e ì Ó ì / / et Ó µ Σ Mittelwert-Vektor Kovarianz-Matri Einschub: Bilinearform: T A Z.B. D: i j iaij j a a T A a + a + a + a a a D Gaussverteilung mit.0 Ó Links: Grauwertbil er f Rechts: Stichrobe von 300 Vektoren PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Wahrscheinlichkeitstheorie: Grunlagen Definitionen 3
4 Interretation von Wahrscheinlichkeiten Betrachte en Wert 0 einer Zufallsvariable X: Frequentistische Philosohie: Der Datenunkt ist eine Stichrobe aus einer eistierenen wahren Verteilung > kann als Grenzwert er relativen Häufigkeit interretiert weren Wahrscheinlichkeit als Prozentsatz Tisches Beisiel: Wahrscheinlichkeit 6 zu würfeln Baesianische Philosohie: Nur er Datenunkt 0 eistiert es gibt keine zugruneliegene Verteilung Wahrscheinlichkeit als Glaube Belief es Eintretens eines Sachverhalts Basiert allein auf Vorwissen un auf en beobachteten Daten Tisches Beisiel: Wahrscheinlichkeit en nächsten Marathon zu gewinnen PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Wahrscheinlichkeitstheorie: Grunlagen Definitionen 4
![+ ] bekannt ist Zusammengesetze Dichte: XY abhängig unabhängig Marginalisierung:](/docs-images/67/56968703/images/5-1.jpg "Statistische Unabhängigkeit: PD Dr.")
5 Einige Definitionen un Gesetze Betrachte zwei Zufallsvariablen X Y hier oba kontinuierlich : Beingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Y [ + ] zu finen wenn X [ + ] bekannt ist Zusammengesetze Dichte: XY abhängig unabhängig Marginalisierung: Statistische Unabhängigkeit: PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Wahrscheinlichkeitstheorie: Grunlagen Definitionen 5
6 PD Dr. Martin Stetter Siemens AG 6 Betrachte mehrimensionale Daten:... X X X X Dekomosition von zusammengesetzten Dichten: Sezialfall statistische Unabhängigkeit: Sezialfall Markov-Kette. Ornung: Wahrscheinlichkeitstheorie: Grunlagen Definitionen Satz von Baes: Denn:
7 Überblick über statistische Datenmoellierungs-Verfahren Techniken er Datenmoellierung Dichteschätzung Regression Klassifikation PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung 7
8 Techniken er Datenmoellierung Ziel er statistischen Datenmoellierung: Realistische Situation: Datensatz { M D... } gezogen aus er unbekannten Verteilung Datenvektoren weren auch als Datenunkte oer Muster bezeichnet Datenvektoren eistieren in einem Phasenraum Zustansraum z. B. abstrakter Datenraum Vektorraum Hilbertraum... Ziel: Etrahiere statistische Struktur aus en Daten... un zwar urch Erstellung eines Moells er zugruneliegenen Struktur. Problem: Finen eines guten Moells... > Maschinelles Lernen säter Wichtige Techniken: Dichteschätzung Funktionsaroimation PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung 8
9 Dichteschätzung Bemerkungen Datenunkt Schätzung er unterliegenen zusammengesetzten Wahrscheinlichkeitsichte aus en Daten Kenntnis er Dichte beeutet vollstänige statistische Charakterisierung! Charakterisierung er Struktur arin z.b. Form Abhängigkeiten Trens... Phasenraum PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung 9
10 Bemerkungen Fortsetzung Unüberwachtes Lernverfahren Struktur wir nur 5 Punkte aus en Daten etrahiert Ein Dichteschätzer stellt ein Generatives Moell ar kann zur Datengenerierung benutzt weren Fluch er Dimensionen : Im allgemeinen Fall 5 Punkte steigt ie Anzahl er benötigten Datenunkte eonentiell mit er Dimension es Problems an Man unterscheiet nichtarametrische un arametrische Dichteschätzung Fluch er Dimensionen PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung 0
11 Nichtarametrische Dichteschätzung: Es wir kein eliziter Funktionsverlauf für ie Dichte angenommen. Beisiele: Histogramm-Methoe: Teile Datenraum in Parzellen es Volumens ein. Berechne arin ie relativen Häufigkeiten h Kernel-Dichteschätzer: Glättung er Datenwolke M m ˆ M u u 0 u m Kernel h K-nächste Nachbarn Mittelung über K benachbarte Datenunkte kein festes h. Bem: -- Größen hk müssen geeignet gewählt weren -> Regularisierung -- h K Histogrammeinträge... können als Parameter aufgefasst weren PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung
12 Parametrische Dichteschätzung: Die Dichte wir als Dichtefunktion formuliert: w -- Der Verlauf er Dichtefunktion wir urch einen Parametersatz w beschrieben -- w heißt Parametervektor Moell manchmal Gewichtsvektor -> snat: Gewichte Lernen Otimierung es Parametervektors so aß ie Daten urch am besten beschrieben weren. w Beachte Schreibweise als beingte Wahrscheinlichkeit Vorteil: Wenige Parameter zu bestimmen Nachteil: Das Moell kann falsch/ungeeignet sein Beisiele: -- Hautkomonentenanalse PCA -- Ineenent Comonent Analsis ICA -- Clustering -- Baes-Belief Netze frequent. Interretation -- Grahische Moelle Beisiel: Gaußverteilung w ì Ó w ϕ ì Ó PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung
13 Funktionsaroimation Oft lassen sich ie Komonenten er Datenunkte als Inut un Outut auffassen:... Inut Daten Outut z.b. menschl. Bewertung Bs: Fertigungsarameter Prouktqualität. Man unterscheiet: Regression Oft reellwertiger/vektorwertiger Outut Charakterisierung eines zugruneliegenen funktionellen Zusammenhangs Klassifikation Binärer oer kategorialer outut Klassenmitglieschaft Aroimation er Klassenmitglieschaft oer Aroimation er Wahrsch. für ie Klassenmitglieschaft Funktionsaroimation überwachte Lernverfahren PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung 3
14 Regression Bemerkung Imlizit wir ein kausaler Zusammenhang zwischen In- un Outut angenommen m m Formulierung Erstelle Moell es zugruneliegenen eterministischen kausalen Zusammenhangs zwischen inut-outut Paaren. Lerne bestes Moell f w + n f Regressionsfunktion arametrisiert urch w n beschreibt stochastisches Rauschen Rauschvektor Beisiele: -- Polnomfit Lineares Moell... aber auch -- Multilagen-Percetron -- Raiale Basisfunktionen-Netzwerke Beisiel: f n gleichverteilt in [ ] w Vorfaktoren es Polnoms Wahres Moell: PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung 4
15 PD Dr. Martin Stetter Siemens AG 5 Verbinung zur arametrischen Dichteschätzung: w w f w w n Schätze ie zusammengesetzte Dichte Ansatz n Verteilung es Rauschens: Wenn er Mittelwert es Rauschens verschwinet gilt: f ˆ ˆ NB: Letzteres kann auch bei nichtarametrischer Dichteschätzung verwenet weren ˆ Überblick Datenmoellierung
16 Klassifikation Bemerkungen Datenimensionen weren in Inut un kategorialer Klassenmitglieschaft aufgesalten Outut heißt auch Klassenlabel Formulierung Erstelle Moell für ie Wahrscheinlichkeiten er Klassenmitglieschaft. Lerne bestes Moell Pr f w f Klassifikator Searierene Herfläche efiniert urch Searierene Herfläche Pr > θ z.b. θ / Deterministischer Klassifikator entsricht Regression einer binären Funktion PD Dr. Martin Stetter Siemens AG Überblick Datenmoellierung 6
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