Investitionsneutrale Steuersysteme bei zeitlich veränderbaren Steuersätzen

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1 Investitionsneutrale Steuersysteme bei zeitlich veränderbaren Steuersätzen Andreas Löffler April 1999 Boadway & Bruce (1984) und König (1997) haben investitionsneutrale Steuersysteme unter Annahme eines in der Zeit konstanten Steuersatzes vollständig charakterisiert Unter Benutzung einer Idee von Wenger (1983) werden die Untersuchungen auf den Fall zeitlich veränderbarer Steuersätze verallgemeinert 1 Einleitung Steuersysteme haben die Aufgabe, die Ausgaben eines Staates zu finanzieren Ein ideales Steuersystem sollte dabei so konstruiert sein, daß die Frage über die Rangfolge von Investitionsentscheidungen eines privaten Investors nicht von der Existenz dieser Steuer abhängig ist Solche Steuersysteme heißen investitionsneutral; sie verhindern Ausweichhandlungen der Investoren, die zu Wohlfahrtsverlusten in der Ökonomie führen könnten Bleibt der Kapitalwert einer Investition durch die Einführung der Steuer sogar konstant, so spricht man von einem niveauinvarianten Steuersystem In der Literatur hat sich zuerst Vickrey (1939) der Konstruktion investitionsneutraler Steuersysteme zugewandt Nach Vickrey (1939) hat jeder Investor seine Steuerzahlungen über die Lebenszeit einer Mittelwertbildung zu unterwerfen, um Investitionsneutralität zu erreichen Seit geraumer Zeit sind zwei weitere Varianten der investitionsneutralen Besteuerung bekannt Zum einen handelt es sich um die Cash flow Steuer, die auf Brown (1948) zurückgeht Sie unterstellt eine sofortige Abzugsfähigkeit der Anschaffungsausgaben, Bemessungsgrundlage sind die Cash flows der Investition Die Variante der Besteuerung des ökonomischen Gewinns Fachbereich Wirtschaftswissenschaft, Freie Universität Berlin, Boltzmannstr 20, Berlin, andras@zedatfu berlinde Ich danke Franz Hubert, Sven Husmann, Rolf König, Lutz Kruschwitz, Dirk Schneider und Franz W Wagner für hilfreiche Bemerkungen 1

2 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 2 wurde von Preinreich (1951) und Johansson (1969) entwickelt Hier entsprechen die in jeder Periode gewährten Abschreibungen der Ertragswertabschreibung (also der Differenz der Barwerte des Projektes in aufeinanderfolgenden Zeitpunkten) Auf Samuelson (1964) geht ein erster Beweisversuch, daß ausschließlich die Besteuerung des ökonomischen Gewinnes den Kapitalwert einer Investition unverändert läßt, zurück Das Problem der Charakterisierung aller investitionsneutralen Steuersysteme wurde zum ersten Mal von Boadway & Bruce (1984) in Angriff genommen Boadway & Bruce konnten unter der Annahme eines sich nicht ändernden Steuersatzes die Gesamtheit aller Abschreibungsregime charakterisieren, bei denen der Kapitalwert einer Investition unter Steuern eine (monotone) Funktion des ursprünglichen Kapitalwertes ist König (1997) erweiterte diesen Ansatz auf den Fall, daß nur ein Anteil der Zinsen abzugsfähig ist und behandelte die Frage, inwieweit die Ideen sich unter Unsicherheit aufrecht erhalten lassen Es entsteht die Frage, wie investitionsneutrale Steuersysteme unter der Annahme, der Steuersatz sei zeitlich nicht konstant, auszugestalten sind Die vorliegende Arbeit wird diese Frage beantworten Die Frage der Investitionsneutralität soll anhand eines Modells einer Tauschwirtschaft 1 diskutiert werden Es gibt daher keine Differenzierung nach Unternehmen und Eigentümern, da wir die Produktionsebene völlig ausblenden Die modellierte Steuer entspricht einer Einkommensteuer der Investoren Wir werden die bereits von Wenger (1983) eingeführte Idee, die Cash flow Steuer als zinskorrigierte Einkommensteuer aufzufassen, benutzen Wir werden uns bei der Beweistechnik im wesentlichen der Arbitragetheorie bedienen Daher ist es angebracht, die Notation der Arbitragetheorie zu verwenden; wir lehnen uns hier dem Lehrbuch Kruschwitz (1998), Kapitel 2, an Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut Im nächsten Abschnitt wird das Modell vorgestellt Dann werden investitionsneutrale Steuersysteme bei veränderlichen Steuersätzen charakterisiert Im letzten Abschnitt wird ein konstanter Steuersatz unterstellt Es wird eine Preisgleichung (PV Formel) im ursprünglichen Modell als auch eine Gleichung (APV Formel) bei Steuervorteilen aus anteiliger Fremdfinanzierung hergeleitet Der letzte Abschnitt soll insbesondere verdeutlichen, inwieweit die hier vorgestellten Ergebnisse in der Tat Verallgemeinerungen der bisherigen Literatur darstellen 2 Das Modell Es gebe Zeitpunkte t = 0, 1, T Auf einem Markt werden im Zeitpunkt heute (t = 0) Wertpapiere gehandelt Diese Wertpapiere verbriefen in der Zukunft (den Zeitpunkten t = 1 Der Begriff der Tauschwirtschaft wird hier im Sinne von Magill & Quinzii (1996), Abschnitt 2, verwendet

3 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 3 1,, T ) Ansprüche auf Cash flows Man beachte, daß nur im Zeitpunkt t = 0 gehandelt werden kann, nicht dagegen in der Zukunft Die Zukunft ist sicher Das j te Wertpapier verspricht jeweils im Zeitpunkt t eine Zahlung in Höhe von X jt Wir interpretieren die Zahlungsansprüche der Wertpapiere als Netto Cash flows oder Rückflüsse nach Fremdkapitalzinsen Insbesondere wird das hier vorgestellte Modell im ersten Schritt einen eventuellen Steuervorteil durch anteilige Fremdfinanzierung ignorieren Wir rechnen daher ausschließlich in Nettogrößen Wir gehen im folgenden davon aus, daß am Markt endliche viele Wertpapiere j = 1,, J gehandelt werden können Kauft jemand jeweils mehrere Titel der Art j, so läßt sich ein solches Portfolio durch einen Vektor (n 1,, n J ) beschreiben Im Zeitpunkt t belaufen sich die Ansprüche aus dem Portfolio dann auf X t := n j X jt (1) j=1 Der Käufer des j ten Titels muß an den Veräußerer heute einen Preis bezahlen, den wir in der Form p τ j notieren werden Der Index τ steht für die Berücksichtigung des gleich einzuführenden Steuersystems Wir unterstellen die Gültigkeit des Wertadditivitätstheorems: 2 Annahme 1 (Wertadditivität) Der Preis eines Portfolios (n 1,, n J ) ergibt sich aus p τ = n j p τ j j=1 Wir benötigen, um die Gewinnsteuer einführen zu können, neben den Rückfluß sowie dem Preis eines Titels einen weiteren Begriff Dazu setzen wir voraus, daß man jedem Wertpapier in jedem Zeitpunkt einen verallgemeinerten Buchwert zuordnen kann Beim verallgemeinerten Buchwert einer Investition im Zeitpunkt t handelt es sich zuerst um eine Zahl, die die Einheit des Preises (DM oder $) besitzt Wir ignorieren eine Vielzahl der engen Beziehungen des externen Rechnungswesens, die zwischen einem realen Buchwert und einem Investitionsprojekt bestehen, und werden mit einer minimalen Anzahl von Annahmen auskommen Insbesondere werden wir im Gegensatz zur betriebswirtschaftlichen Praxis nicht voraussetzen, daß der verallgemeinerte Buchwert zu Beginn der Periode identisch der Anschaffungsausgabe ist Dieser hohe Abstraktionsgrad erlaubt es uns, weitgehend unabhängig von den speziellen rechtlichen Regelungen einzelner Länder oder Steuersysteme arbeiten zu können Den Rückfluß hatten wir als Zahlungsüberschuß vor Zinsen oder Netto Cash flow interpretiert Daher ist auch der verallgemeinerte Buchwert eine Größe, die die Finanzierung nicht 2 Siehe beispielsweise Kruschwitz (1998), S 45 oder auch Löffler (1996), S 4ff, für ein Axiomensystem, aus dem sich die Wertadditivität ableiten läßt

4 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 4 berücksichtigt: es handelt sich um einen Buchwert des Eigenkapitals, falls nur dieses Portfolio gehalten wird Daher wählen wir im folgenden die Bezeichnung E jt (equity) für den Buchwert des j ten Titels im Zeitpunkt t Wir werden im folgenden voraussetzen, daß sich der Buchwert eines Portfolios von Wertpapieren aus den Buchwerten der einzelnen Titel ermittelt: Annahme 2 (Buchwert eines Portfolios) Das Portfolio (n 1,, n J ) hat im Zeitpunkt t den Buchwert E t := n j E jt (2) j=1 Durch diese Annahme könnte der verallgemeinerte Buchwert einer Investition (etwa bei Multiplikation mit 1) negativ werden Dennoch machen wir in Annahme 2 keine Voraussetzungen über Insolvenzrisiken in dem Modell Durch einen negativen verallgemeinerten Buchwert wird nur ein Portfolio als überschuldet ausgewiesen, eine Aussage über die Optimalität oder Nachfrage nach diesem Portfolio ist jedoch noch nicht getroffen Weiter gelte für alle Titel die Gleichung E T := 0 Der verallgemeinerte Buchwert in der letzten Periode ist grundsätzlich null Dies wird sich gleichbedeutend zu der Annahme erweisen, daß alle Projekte während der Laufzeit vollständig abgeschrieben werden Mit Hilfe des verallgemeinerten Buchwertes gelingt es uns, zwischen Finanz und Sachinvestitionen zu unterscheiden Wir definieren: Definition 1 (Finanzinvestition) Das j te Wertpapier ist eine Finanzinvestition genau dann, wenn für die verallgemeinerten Buchwerte und die Rückflüsse vor Steuern die Gleichung gilt Alle anderen Wertpapiere heißen Sachinvestitionen X jt = (1 + r f )E j(t 1) E jt (3) Zu dieser Definition sind einige Anmerkungen notwendig Versuchen wir uns zuerst, den Sinn zu veranschaulichen Unterstellen wir einen Titel, dessen Marktwert zum Zeitpunkt t 1 gerade 100 und einen Zeitpunkt später 40 betrage Würde man weiter unterstellen, dieser Titel sei eine Kapitalmarktanlage, dann erwartet der Inhaber zuerst eine Zinszahlung in Höhe

5 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 5 von r f 100 Da der Wert in t nur noch 40 beträgt, müssen weiter 60 entnommen worden sein Daher beträgt der Cash flow r f = (1 + r f ) im Einklang mit der Definition Die Rückflüsse eines Portfolios aus Finanzinvestitionen erfüllen wegen (1) sowie (2) wieder die Gleichung für eine Finanzinvestition X t = (1 + r f )E t 1 E t Streng genommen (dies zeigt auch unsere Veranschaulichung) handelt es sich bei dem Zins r f zuerst um einen Nominalzins r f gibt die dem Eigentümer versprochene Zahlung der Investition an Da im folgenden jedoch Aussagen über Realzinsen (Kapitalmarktzinsen) notwendig werden, muß eine weitere Annahme hinzutreten Die Identität von Nominal und Realzinsen entsteht durch die Annahme, die Finanzinvestitionen werden zum Preis E 0 gehandelt Annahme 3 (Finanzinvestition) Wenn das j te Wertpapier eine Finanzinvestition ist, dann gilt für den Preis p τ j = E j0 (4) Die Definition unterstellt implizit eine flache Zinsstrukturkurve (r f ist nicht von der Zeit abhängig) An dieser Stelle sind beliebige Verallgemeinerungen möglich Wir verlangen zuletzt, daß mindestens T der J Wertpapiere Finanzinvestitionen mit linear unabhängigen Cash flows vor Steuern sind ( vollständiger Markt ) Da die Cash flows von Finanzinvestitionen durch ihre Buchwerte vollständig charakterisiert werden, können wir unsere Annahme wie folgt formulieren: Annahme 4 (vollständiger Kapitalmarkt) Es gelte T J und es gebe T Finanzinvestitionen mit linear unabhängigen Cash flows Wir könnten diese Annahme auch dergestalt formulieren, daß Kreditaufnahmen oder Geldanlagen für jeden beliebigen Zeitpunkt unbegrenzt möglich sind Ein Wertpapier (unabhängig ob Finanz oder Sachinvestition) erleidet einen Wertverlust Dieser Wertverlust, die verallgemeinerte Abschreibung, wird durch die Veränderung des verallgemeinerten Buchwertes definiert Ein negativer Wertverlust (also eine Werterhöhung) wird üblicherweise als Zuschreibung bezeichnet; aber auch hier werden wir der Einfachheit halber von einer verallgemeinerten Abschreibung sprechen

6 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 6 Definition 2 (verallgemeinerte Abschreibung) Die verallgemeinerte Abschreibung eines Wertpapiers im Zeitpunkt t ist die Differenz der verallgemeinerten Buchwerte AfA jt := E j(t 1) E jt (5) Die Abschreibung eines Portfolios ergibt sich aus den Einzelabschreibungen AfA t = n j AfA jt j=1 In Einklang mit der steuerrechtlich orientierten Literatur definieren wir den Gewinn eines Wertpapiers durch die Differenz aus Cash flow und Abschreibung 3 Definition 3 (Gewinn) Der Gewinn G t eines Titels j im Zeitpunkt t > 0 ist die Differenz aus Cash flow und der verallgemeinerten Abschreibung G jt := X jt (E j(t 1) E jt ) (6) Der Gewinn eines Portfolios ergibt sich aus den Einzelgewinnen G t = n j G jt j=1 Wir sind jetzt in der Lage, die Gewinnsteuer in unser Modell einzuführen Diese Gewinnsteuer soll den Konsum besteuern, also ausschließlich die Zahlungen in t > 0 Der Handel in t = 0 ist nicht Gegenstand der Besteuerung Wir könnten die Gewinnsteuer mit dem Gewinn als Bemessungsgrundlage modellieren Jedoch wollen wir in dieser Arbeit etwas allgemeiner vorgehen und eine bereits von Wenger (1983) vorgeschlagene Idee nutzen Die Gewinnsteuer wird zinskorrigiert; das heißt die Bemessungsgrundlage wird durch einen bestimmten Anteil der Eigenkapitalzinsen (also r f E t 1 ) gekürzt 4 Gegenwärtig findet man diese Regelung im kroatischen Steuerrecht gerade deshalb erweist sich das kroatische Steuersystem als investitionsneutral Die Eigenkapitalzinsen mindern nicht den Gewinn, sondern erst die Bemessungsgrundlage, da es sich nur um kalkulatorische Zinsen handelt Es gebe in den Zeitpunkten t = 1,, T eine Gewinnsteuer mit den nachfolgenden Eigenschaften 3 Vergleiche Siegel & Bareis (1999), S70 oder im deutschen Einkommensteuerrecht den 4 Abs 1 EStG 4 In Wenger (1983) sind die gesamten Eigenkapitalzinsen abzugsfähig: Die Verletzung des Gleichmäßigkeitskriteriums läßt sich beheben, wenn der Erwerber des Sachvermögens in der zweiten Periode statt eines Buchgewinns in Höhe von P W nur einen Buchgewinn in Höhe von P (1 + r)w versteuern muß (S228) Es erweist sich als sinnvoll (in Hinblick auf die Nichtkonstanz der Steuersätze), hier abweichend nur einen von der Zeit abhängigen Anteil abzuziehen Es wird auch nicht vorausgesetzt, daß dieser Anteil immer zwischen null und eins liegt

7 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 7 Steuersubjekt Steuerpflichtig ist der Investor Steuerobjekt Die Rückflüsse eines Portfolios sind Gegenstand der Besteuerung Bemessungsgrundlage Die Bemessungsgrundlage dieser Gewinnsteuer ist der Gewinn korrigiert um einen Anteil (1 α t ) der Zinsen auf das Eigenkapital r f E t 1 BMG t := G t (1 α t )r f E t 1 (7) Die Gleichung (7) gilt auch für negative Werte der rechten Seite ( sofortiger Verlustausgleich ) Tarif Die Bemessungsgrundlage wird proportional besteuert Der Gewinnsteuersatz werde mit τ t bezeichnet Die Steuerschuld T t (tax) im Zeitpunkt t ergibt sich somit aus T t := τ t BMG t (8) Wir erhalten aus (6), (7) und (8) T t = τ t (X t AfA t (1 α t )r f E t 1 ) (9) Die Steuerschuld des j ten Wertpapiers bezeichnen wir mit T jt Es gilt offensichtlich T t = n j T jt (10) Man beachte weiter, daß nur in den Zeitpunkten t > 0 Steuern gezahlt werden, nicht dagegen in t = 0 Wir wollen ein beliebiges Portfolio bewerten, indem wir dessen Nach Steuer Cash flows durch Finanzinvestitionen duplizieren Der Markt soll im folgenden Sinne arbitragefrei sein: Annahme 5 (Arbitragefreiheit) Wenn für zwei Portfolios (n 1,, n J ) und (m 1,, m J ) und für alle Zeitpunkt t > 0 die Cash flows nach Steuern identisch sind t > 0 n j (X jt T jt ) = m j (X jt T jt ), j=1 j=1 dann gilt für die Preise beider Portfolios die Gleichung n j p τ j = m j p τ j j=1 j=1

8 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 8 3 Investitionsneutrale Steuersysteme Es ist möglich, daß sich die Anschaffungsausgabe einer Sachinvestition vom Marktpreis p τ unterscheidet Wir wollen diese Anschaffungsausgabe mit I 0 bezeichnen Die Differenz von p τ und der Anschaffungsausgabe ist der Kapitalwert NPV τ des Portfolios Jetzt sollen investitionsneutrale Steuersysteme, deren Abschreibungsregeln sich nicht mit dem Steuersatz ändern, charakterisiert werden Dazu interessiert uns der Verlauf des Kapitalwertes unter Berücksichtigung von Steuern NPV τ als Funktion des Kapitalwertes ohne Berücksichtigung von Steuern Wir sprechen im folgenden von investitionsneutralen Steuersystemen, wenn der Kapitalwert nach Steuern eine monotone (wie sich erweisen wird: sogar lineare) Funktion im Steuersatz ist Stimmt der Kapitalwert nach Steuern weitergehend mit dem Kapitalwert vor Steuern überein, dann wird das Steuersystem als niveauinvariant bezeichnet Wir benötigen, bevor das Hauptresultat der Arbeit bewiesen werden kann, die folgenden Zwischensummen p t Für ein Portfolio bezeichne 5 p t := k=t+1 X k, t = 0, 1, T 1 (11) (1 + r f ) t k Man kann jedem Portfolio derartige p t zuordnen Der Kapitalwert NPV eines Portfolios ist jetzt die Differenz aus dem Markpreis p und der Investitionsausgabe I 0 Umgekehrt ergibt sich aus einer Folge von (p t ) T 1 t=0 eindeutig eine Folge von Cash flows (X t) T, die die Zahlen ( Preise ) p t realisiert Die Gültigkeit der letzten Bemerkung erkennt man wie folgt: für die p t folgt aus der Gleichung (11) die Rekursionsbeziehung Stellt man diese um, dann erhält man p t = X t+1 + p t r f, t = 0, 1,, T 1 X t+1 = (1 + r f p t ) p t+1, t = 0, 1,, T 1 (12) Anhand dieser Gleichung wird jeder Folge von p t eine eindeutige Folge von Cash flows zugeordnet Aus diesen Cash flows läßt sich wegen Annahme 4 ein Portfolio konstruieren Unser Hauptresultat besteht in der Ableitung einer Gleichung für den Kapitalwert nach Steuern Wir können also einen expliziten Ausdruck für den Kapitalwert NPV τ angeben 5 Diese Zwischensummen haben eine schöne Interpretation: Wert des Portfolios im Zeitpunkt k > 0 Dennoch werden wir absichtlich nicht auf diese Interpretation zurückgreifen; würde man das Portfolio nämlich im Zeitpunkt k > 0 in der Tat verkaufen, dann wäre bei Einbeziehung der Steuern nicht klar, wie diese Situation gewinnsteuerlich zu behandeln wäre Man erinnere sich, daß nur in k = 0 Handel stattfand!

9 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 9 Satz 1 (Kapitalwert nach Steuern) Für den Kapitalwert nach Steuern gilt die Gleichung NPV τ 0 = NPV 1 + r T f (1 α 1 ) 1 + r f (1 α 1 τ 1 ) τ 1 1(p 0 E 0 ) + τ t τ t+1 (1 r f α t+1 τ t+1 (1 τ t+1 )) 1+r f (1 α t+1 τ t+1 ) (p t E t ) t k=1 (1 + r f (1 α k τ k )) (13) Beweis Nach Annahme 4 existieren Finanzinvestitionen mit linear unabhängigen Cash flows Da ein Portfolio aus Finanzinvestitionen wieder eine Finanzinvestition ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die ersten T Finanzinvestitionen derart wählen, daß das j te Wertpapier die folgenden Cash flows besitzt: 1 + r f X j1 := j (1 + r f (1 α t τ t )) 1 j 1 (1 + r f (1 α t τ t )) 1 + r f X j2 := j 1 (1 + r f (1 α t τ t )) 1 j 2 (1 + r f (1 α t τ t )) X j(j 1) := X jj := X j(j+1) := 0 X jt := r f 2 (1 + r f (1 α t τ t )) 1 1 (1 + r f (1 α t τ t )) 1 + r f 1 (1 + r f (1 α t τ t )) Die j te Finanzinvestition ist so konstruiert, daß eventuelle Steuerzahlungen in den Zeitpunkten bis zum Zeitpunkt j 1 vollständig dem Cash flow vor Steuern entsprechen werden (siehe unten) Nach dem Zeitpunkt j ist der Kredit getilgt Aus diesen Cash flows ergeben sich wegen Gleichung (3) folgende Buchwerte E 0 = E 1 = j j 1 1 (1 + r f (1 α t τ t )) 1 (1 + r f (1 α t τ t ))

10 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 10 E j 1 = E j = 0 E j+1 = 0 1 E T 1 = 0 1 (1 + r f (1 α t τ t )) Um die Nach Steuer Cash flows zu ermitteln, ist jetzt auf die Besteuerung einer Finanzinvestition einzugehen Aus der Gleichung für die Cash flows (3) und die verallgemeinerte Abschreibung (5) ergibt sich die Steuerschuld einer Finanzinvestition im allgemeinen Fall: T j = τ j ( (1 + rf )E j 1 E j (E j 1 E j ) (1 α j )r f E j 1 ) = T j = α j τ j r f E j 1 = X j T j = (1 + r f (1 α j τ j ))E j 1 E j Daraus ergeben sich folgende Nach Steuer Cash flows des j ten Titels X 1 T 1 = 0 X j 1 T j 1 = 0 X j T j = 1 X j+1 T j+1 = 0 X T T T = 0 Nach Annahme 4 folgt für den Preis des j ten Titels p τ j = E j0 = j 1 (1 + r f (1 α t τ t )) (14) Fassen wir das bisher bewiesene zusammen: die j te Finanzinvestition verspricht im Zeitpunkt j einen Nach Steuer Cash flow von 1 In den anderen Zeitpunkten kommt es nicht zu Zahlungen Das Wertpapier ist ein Nach Steuer Analogon eines Arrow Debreu Titels, es wird heute zu einem Preis von j 1 (1+r f (1 α t τ t )) gehandelt Wenden wir uns jetzt einem Portfolio aus beliebigen Wertpapieren (n 1,, n J ) zu Dieses Portfolio kann unter Umständen eine Sachinvestition sein Die Zahlungen dieses Portfolios

11 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 11 ergeben sich aus Gleichung (1) und sind damit identisch den Ansprüchen aus einem Portfolio (X 1 T 1,, X T T T, 0, 0) Dieses Portfolio enthält nur die ersten T Finanzinvestitionen, nicht aber die möglicherweise noch gehandelten Assets mit der Seriennummer T +1,, J Nun folgt aus dem Wertadditivitätstheorem (Annahme 1) Aus Gleichung (9) folgt dann p τ = p τ = (X t T t )p τ t X t (1 τ t ) + τ t AfA t + τ t (1 α t )r f E t 1 t l=1 (1 + r (15) f (1 α l τ l )) Um zu zeigen, daß dieser Ausdruck in der Tat der Gleichung (19) entspricht, wechseln wir die Bezeichnung des Laufindex von j nach t und definieren wir nun folgende Zwischensummen: ZW k := t=k+1 X t (1 τ t ) + τ t AfA t + τ t (1 α t )r f E t 1 t l=k+1 (1 + r (16) f (1 α l τ l )) Aus dieser Definition folgt, daß für die Zwischensummen die folgende Rekursionsbeziehung gilt ZW k = ZW k+1 + X k+1 (1 τ k+1 ) + τ k+1 AfA k+1 + τ k+1 (1 α k+1 )r f E k (17) 1 + r f (1 α k+1 τ k+1 ) Wir gehen zurück zur Gleichung (12) Setzt man sie in (17) ein, dann folgt unter Verwendung von (5) (1 + r f (1 α k+1 τ k+1 ))ZW k (1 + r f )(1 τ k+1 )p k τ k+1 (1 + r f (1 α k+1 ))E k = Dies kann man zu folgendem Ausdruck verkürzen (ZW k (1 τ k+1 )p k τ k+1 E k ) = Jetzt wird umgeformt = ZW k+1 (1 τ k+1 )p k+1 τ k+1 E k+1 = (ZW k+1 (1 τ k+1 )p k+1 τ k+1 E k+1 ) α k+1 r f τ k+1 (1 τ k+1 )(E k p k ) 1 + r f (1 α k+1 τ k+1 ) [ZW k (1 τ k+1 )p k τ k+1 E k ] = = [ZW k+1 (1 τ k+2 )p k+1 τ k+2 E k+1 ] α k+1 r f τ k+1 (1 τ k+1 )(E k p k ) 1 + r f (1 α k+1 τ k+1 ) + + (τ k+1 τ k+2 )(p k+1 E k+1 ) 1 + r f (1 α k+1 τ k+1 )

12 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 12 In der letzten Gleichung erscheint ein Ausdruck links in eckigen Klammern, der sich ebenfalls rechts, jedoch um eine Zeitperiode verschoben, wiederfindet Mit Hilfe eines Rekursionsarguments (vollständige Induktion) kann man nun zeigen, daß die folgende Summendarstellung gilt (p τ = ZW 0!) p τ (1 τ 1 )p 0 τ 1 E 0 = 1 t=0 r f α t+1 τ t+1 (1 τ t+1 )(p t E t ) t+1 k=1 (1 + r f (1 α k τ k )) 1 + (τ t τ t+1 )(p t E t ) t k=1 (1 + r f (1 α k τ k )) Der zweite Summand läuft dabei nur von t = 1, da in der letzten Rekursionsformel im zweiten Summanden der Zeitindex k + 1 und nicht k auftaucht Der Term (p 0 E 0 ) erscheint auf beiden Seiten der Gleichung Ebenso taucht (p t E t ) für t 1 auf der rechten Seite doppelt auf Umstellen liefert p τ = p r T f (1 α 1 ) 1 + r f (1 α 1 τ 1 ) τ 1 1(p 0 E 0 ) + Nach Subtraktion von I 0 ist das die Aussage des Satzes τ t τ t+1 (1 r f α t+1 τ t+1 (1 τ t+1 )) 1+r f (1 α t+1 τ t+1 ) (p t E t ) t k=1 (1 + r f (1 α k τ k )) Wir können nun einzelne investitionsneutrale Steuersysteme identifizieren Bekanntlich ist die klassische Cash flow Steuer bei veränderlichen Steuersätzen nicht mehr investitionsneutral Die einfache Zinskorrektur, die ja auf die Cash flow Steuer führte, kann also nicht zu einem investitionsneutralen Steuersystem führen Durch eine zeitliche Variation des Abzugsparameters α t läßt sich dennoch ein investitionsneutrales Steuersystem konstruieren Dabei ist wie folgt vorzugehen Wir betrachten ein Steuersystem, die mit folgenden zeitabhängigen Anteilen zinskorrigiert ist α 1 = 0, α t = 1 r f τ 2 t+1 τ t τ t+1 1 τ t+1 t > 0 (18) Erkennbar ist zuerst, daß der Abzugsparameter α t unter Umständen negativ werden kann Dann kommt es nicht zu einem Abzug, sondern einer Addition der Eigenkapitalzinsen in der Bemessungsgrundlage Ebenso wäre denkbar, daß α t den Wert von 1 übersteigt; dies hängt im wesentlichen von der Variation der Steuersätze und dem risikolosen Zins ab Angenommen, die Gewinnsteuer sei um diese Anteile α t aus (18) zinskorrigiert Die α t wurden gerade so gewählt, daß sich in (13) unabhängig der Differenz E t p t, also unabhängig von der Wahl der Abschreibungsregime sowie dem Portfolio, immer der rechte Summand kürzt Es verbleibt die Gleichung p τ = p 0 τ 1 (p 0 E 0 )

13 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 13 Für den Fall, daß der Buchwert im Zeitpunkt 0 gerade der Anschaffungsausgabe entspricht, ergibt sich nach Subtraktion von I 0 die Gleichung NPV τ = (1 τ 1 )NPV, mithin ist das resultierende Steuersystem in der Tat investitionsneutral Wir werden dieses Steuersystem weiterhin zinskorrigierte Gewinnsteuer nennen Wenn weitergehend die Steuersätze konstant sind, dann führt dies auf die Bedingung α t = 0 In diesem Fall verhält sich die zinskorrigierte Gewinnsteuer, unabhängig von der Wahl der konkreten Abschreibungsregel, immer wie eine Cash flow Steuer Wird andererseits neben der Zinskorrektur (18) nicht die Anschaffungsausgabe, sondern der faire Preis p abgeschrieben, so folgt NPV τ = NPV Das resultierende Steuersystem ist sogar niveauinvariant Wir kommen zuletzt zur Definition der Besteuerung des ökonomischen Gewinns Dieses Steuersystem ist so definiert, daß die verallgemeinerte Abschreibung (siehe Definition 5) gerade gleich der Ertragswertabschreibung, also der Differenz der Preise p t p t 1 ist Nun ist aber die verallgemeinerte Abschreibung ebenfalls eine Differenz, nämlich der verallgemeinerten Buchwerte Daher können wir eleganter schreiben: Definition 4 (Besteuerung des ökonomischen Gewinns) Ein Steuersystem besteuert den ökonomischen Gewinn, wenn für alle Portfolios E t = p t (t 0) gilt Angenommen nun, die Zinskorrektur werde nicht in der angegebenen Form (18) vorgenommen Dann gilt folgender Satz 6 Satz 2 (Investitionsneutrale Steuersysteme) Es gebe keine Zinskorrektur der Form (18) und die Buchwerte E t eines Portfolios seien vom Steuersatz τ t unabhängig Des weiteren gebe es Portfolios mit beliebigen Buchwerten E t und Cash flows X t Wenn der Kapitalwert nach Steuern eine strikt monton steigende Funktion im Kapitalwert vor Steuern sowie in jedem Steuersatz τ t ist, dann wird der ökonomische Gewinn besteuert Beweis Die Gleichung (13) enthält einen Term S NPV τ 0 = NPV 1 + r T f (1 α 1 ) 1 + r f (1 α 1 τ 1 ) τ 1 1(p 0 E 0 ) + τ t τ t+1 (1 r f α t+1 τ t+1 (1 τ t+1 )) 1+r f (1 α t+1 τ t+1 ) (p t E t ) t k=1 (1 + r f (1 α k τ k )) } {{ } =S 6 Für den Fall konstanter Steuersätze findet sich diese Aussage im wesentlichen bereits bei Wenger (1985), S138 Vergleiche dazu auch den nachfolgenden Abschnitt

14 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 14 Entscheidend ist nun die folgende Beobachtung: wenn für nur ein t die Ungleichung p t E t < 0 gilt, dann ist der Term S auf der rechten Seite keine monoton wachsende Funktion im Steuersatz τ t Vielmehr ist der Ausdruck monoton fallend im Steuersatz τ t Daher ist auch S notwendigerweise nicht monoton wachsend in τ t Dieselben Überlegungen gelten für den ersten Summand (p 0 E 0 ) Mithin muß E t = p t gelten und dies bedeutet, der ökonomische Gewinn wird besteuert Wir können unsere Ergebnisse in einer Grafik zusammenfassen: α 1 = 0, α t = 1 r f τ 2 t+1 E 0 = I 0 ( verallg Zinskorrektur ) investitionsneutral Investitionsneutralität τ t τ t+1 1 τ t+1 E 0 = p 0 (?) niveauinvariant E t = p t für t 0 (ökonom Gewinn) niveauinvariant 4 PV Formel und APV Formel In diesem Abschnitt wird die Annahme eines zeitlich veränderten Steuersatzes einer größeren Anschaulichkeit wegen aufgegeben Es soll gezeigt werden, daß sich dann in der Tat die in der Literatur teilweise bereits bekannten Ergebnisse herleiten lassen Wir betrachten zuerst eine Sachinvestition, also ein Portfolio (n 1,, n J ), dessen Cash flows sich nicht notwendig nach der Gleichung (3) ermitteln Dann kann für den Preis p τ eine Gleichung angegeben werden: Satz 3 (PV Formel) Für jedes Portfolio gilt p τ = (1 α)τ 1 ατ E 0 + X t (1 τ) + (1 τ)α 1 τα τafa t (1 + r f (1 ατ)) t (19)

15 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 15 Wenn der Buchwert in t = 0 gleich dem Preis ist, dann vereinfacht sich diese Gleichung zu p τ = X t (1 ατ) + ατafa t (1 + r f (1 ατ)) t Bevor wir zum Beweis dieses Satz kommen, sollen aus diesem Resultat zwei bekannte Ergebnisse hergeleitet werden Unter der Annahme, daß sich der Buchwert an der Anschaffungsausgabe orientiert, können wir sowohl das klassische Standardmodell sowie die Cash flow Steuer als zwei Varianten der einheitlichen Gewinnsteuer abgeleitet werden Dieses Resultat findet sich bereits bei Wenger (1983) Satz 4 (Wenger, 1983) Wenn der verallgemeinerte Buchwert gleich der Investitionsausgabe ist (E 0 = I 0 ), dann gilt für den Fall, daß keine Zinskorrektur erfolgt (α = 1) NPV τ 0 = p τ I 0 = I 0 + T X t (1 τ)+τafa t (1+r f (1 τ)) t und das ist die Gleichung aus dem klassischen Standardmodell, für den Fall, daß eine Zinskorrektur erfolgt (α = 0) NPV τ 0 = p τ I 0 = (1 τ) I 0 + T X t (1 τ) (1+r f ) t Das aber bedeutet, daß unabhängig von der gewählten Abschreibungsregel immer eine Besteuerung resultiert, die auf dieselben Ergebnisse wie eine Cash flow Steuer führt Die Steuer des letzten Falles wird als zinskorrigierte Gewinnsteuer bezeichnet Beweis Beide Aussagen folgen elementar aus (19) durch Einsetzen der Voraussetzungen E 0 = I 0 sowie α = 0, 1 Zwei Anmerkungen vor dem Beweis erleichtern den Zugang zur Gleichung (19) Der Nenner, der den versteuerten Kalkulationszins r f (1 ατ) enthält, ist zumindest aus der Literatur über die Gewerbesteuer bekannt 7 Die funktionale Form des Faktors vor τafa t ist in Abbildung 1 dargestellt Man erkennt, daß der Faktor im Falle vollständiger Zinskorrektur (α = 0) verschwindet, während er ohne Zinskorrektur (α = 1) gerade gleich 1 wird In allen anderen Fällen bewegt er sich zwischen 0 und α 7 Siehe Drukarczyk (1998), S200

16 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 16 1 (1 τ)α 1 τα 06 α =06 03 α = % 50% 80% 100% τ Abbildung 1: Der Faktor (1 τ)α 1 τα Beweis Wir gehen zurück zur Definition der Zwischensummen (16) und subtrahieren auf beiden Seiten dieser Rekursionsbeziehung den gleichen Term ZW k (1 α)τ 1 ατ E k = ZW k+1 + (1 τ)x k+1 + τafa k+1 + (1 α)r f τ E k (1 α)τ 1 + r f (1 ατ) 1 ατ E k und das führt dann weiter auf (1 α)τ ZW k 1 ατ E k = ZW k+1 + (1 τ)x k+1 + τafa k+1 (1 α)τ 1 ατ 1 + r f (1 ατ) ZW k ZW k (1 α)τ ZW k+1 + (1 τ)x k+1 + (1 α)τ 1 ατ E 1 ατ (AfA k+1 E k ) + k = 1 + r f (1 ατ) (1 α)τ 1 ατ E k = ZW k+1 (1 α)τ 1 ατ E k+1 + (1 τ)x k+1 + (1 τ)α 1 τα τafa k r f (1 ατ) E k ( τ (1 α)τ 1 ατ ) AfA k+1 Der Term ZW k (1 α)τ 1 ατ E k links taucht exakt so auch rechts auf, wobei er um genau eine Zeiteinheit versetzt ist Aus einer Rekursion ergibt sich somit die folgende Gleichung p τ = (1 α)τ 1 ατ E 0 + X t (1 τ) + (1 τ)α 1 τα τafa t (1 + r f (1 ατ)) t

17 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 17 Setzt man nun p τ = E 0, dann erhält man nach Umstellen die letzte zu beweisende Aussage des Satzes Wir haben in der bisherigen Vorgehensweise den verallgemeinerten Buchwert E t als den Wert des Eigenkapitals interpretiert Ebenso waren die Cash flows immer Zahlungsüberschüsse nach Fremdkapitalzinsen Jetzt soll gezeigt werden, wie man Fremdkapital, das einer anderen Besteuerung als Eigenkapital unterliegt, in das Modell einbauen kann Definition 5 Eine Investition V werde genau dann durch eine Investition E eigen und eine Investition D (debt) fremdfinanziert, wenn die Vor Steuer Cash flows von V gerade aus der Summe der Vor Steuer Cash flows von E und D bestehen und der verallgemeinerte Buchwert von V gleich der Summe der verallgemeinerten Buchwerte von E und D ist E eine Sachinvestition ist und Fremdkapital D eine Finanzinvestition ist Unter den gemachten Annahmen ist auch V eine Sachinvestition Eine reine Finanzinvestition kann demnach nicht mischfinanziert werden Wir bezeichnen den verallgemeinerten Buchwert des Fremdkapitals einer Investition mit D t Im folgenden werden wir bei den Preisen grundsätzlich den Index τ weglassen Der Preis des Fremdkapitals werde mit p D bezeichnet Der verallgemeinerte Buchwert des Gesamtkapitals (Fremd und Eigenkapital) ist dann durch die Summe E t + D t gegeben, der Gesamtpreis der Investition ist p E +p D Ebenso ermitteln sich die Brutto Cash flows (vor Steuern und Zinsen) zu X t + (1 + r f )D t 1 D t Ein Projekt, das vollständig eigenfinanziert wäre und die Cash flows X t + (1 + r f )D t 1 D t erwirtschaftet, habe den Preis p V Uns soll in diesem Abschnitt interessieren, welche Konsequenzen sich durch eine steuerliche Abzugsfähigkeit von Fremdkapitalzinsen ergeben Wir müssen dazu zurückkehren zur Definition der Bemessungsgrundlage der Gewinnsteuer und auf die Fremdkapitalzinsen Bezug nehmen Bemessungsgrundlage Die Bemessungsgrundlage dieser Gewinnsteuer ist der Gewinn minus ein Anteil der Eigenkapitalzinsen sowie ein Anteil Fremdkapitalzinsen BMG t = X t AfA t (1 β)r f D t (1 α)r f E t 1 (20) Die Gleichung (20) gilt auch für negative Werte der rechten Seite ( sofortiger Verlustausgleich )

18 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 18 Satz 5 (APV Formel) Unter den gemachten Annahmen gilt für eine gemischtfinanzierte Investition V p V = p V + (α β) τr f D t 1 (1 + r f (1 ατ)) t Beweis Der Cash flow der Investition V (vor Steuern) ergibt sich aus der Summe X t + (1 + r f )D t 1 D t, die verallgemeinerte Abschreibung aus der Differenz der verallgemeinerten Buchwerte AfA t + (D t 1 D t ) und die abzugsfähigen Zinsen auf Fremd bzw Eigenkapital ermittelt man anhand der Gleichung (20) (1 β)r f D t 1 + (1 α)r f E t 1 Der Preis eines Finanztitels, der nach Steuern ausschließlich im Zeitpunkt t einen Cash flow von 1 liefert, bleibt weiterhin bei (1 + r f (1 ατ)) t (da es eine Finanzinvestition ist, kann sie nicht mischfinanziert werden und deshalb ist ausschließlich der Faktor α relevant) Daher lautet die Preisgleichung in Anlehnung an (15) jetzt p V = (1 τ)x t + (1 + r f )D t 1 D t + τ(afa t + (D t 1 D t )) + τ((1 β)r f D t 1 + (1 α)r f E t 1 ) (1 + r f (1 ατ)) t Diese Summe schreibt sich übersichtlicher wie folgt p V (1 τ)x t + τafa t + (1 α)r f E t 1 ) + (1 + r f )D t 1 D t + τ(d t 1 D t + (1 α)r f D t 1 ) = (1 + r f (1 ατ)) t + }{{} =p V + (α β)τr f D t 1 (1 + r f (1 ατ)) t Dies ist die Behauptung Im deutschen Steuerrecht sind Fremdkapitalzinsen abzugsfähig (also β = 0), nicht aber Eigenkapitalzinsen (also α = 1)

19 Investitionsneutrale Steuersysteme von A Löffler Seite 19 Literatur Boadway, R & Bruce, N (1984) A general proposition on the design of a neutral business tax, Journal of Public Economics 24: Brown, E (1948) Business income and investment incentives essays in honor of alvin hansen, in L Metzler (ed), Income, Employment and Public Policy, pp Drukarczyk, J (1998) Unternehmensbewertung, 2nd edn, Gabler Verlag Johansson, S-E (1969) Income taxes and investment decisions, Swedish Journal of Economics 71: König, R (1997) Ungelöste probleme einer investitionsneutralen besteuerung gemeinsame wurzeln unterschiedlicher neutraler steuersysteme und die berücksichtigung unsicherer erwartungen, Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 49: Kruschwitz, L (1998) Finanzierung und Investition, 2nd edn, Oldenbourg, München Löffler, A (1996) Capital Asset Pricing Model mit Konsumtion, Gabler Verlag, Wiesbaden Magill, M & Quinzii, M (1996) Theory of Incomplete Markets, MIT Press, Cambridge Preinreich, G (1951) Models of taxation in the theory of the firm, Economia Internazionale 4: Samuelson, P (1964) Tax deductablity of economic depreciation to insure invariant valuations, Journal of Political Economy 72: Siegel, T & Bareis, P (1999) Strukturen der Besteuerung, 3rd edn, Oldenbourg, München Vickrey, W (1939) Averaging of income for income tax purposes, Journal of Political Economy 47: 379 Wenger, E (1983) Gleichmäßigkeit der besteuerung von arbeits und vermögenseinkünften, Finanzarchiv 41: Wenger, E (1985) Einkommmensteuerliche periodisierungsregeln, unternehmenserhaltung und optimale besteuerung, Zeitschrift für Betriebswirtschaft 55: