Proseminar: Grundlagen Bildverarbeitung / Bildverstehen. Bildverbesserung. Sylwia Kawalerowicz

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1 Proseminar: Grundlagen Bildverarbeitung / Bildverstehen Bildverbesserung Sylwia Kawalerowicz Betreuer: Michael Roth Abgabetermin: 8 April 2006

2 Inhaltverzeichnis Kapitel Die wichtigen Fragen der Bildverbesserung Die drei Gruppen der Methoden der Bildverbesserung....3 Kapitel Pixelbasierte Bildverbesserung Globaler Kontrast Lokaler Kontrast Maximierung der Entropie...7 Kapitel Bildverbesserung durch lineare Filterung Rauschunterdrückung durch lineare Filterung Generierung von Kantenmerkmalen durch lineare Filterung...2 Kapitel Nichtlineare Filterungen Rangordnungsfilter Diffusionsfilter...6 Kapitel Zusammenfassungen...8 Literatur:...9

3 Kapitel.. Die wichtigen Fragen der Bildverbesserung. Die Bildverbesserung soll die Erkennbarkeit von Objekten verbessern. Die wichtigsten Fragenstellungen sind, wie sich die Erkennbarkeit unabhängig von einer Bildinterpretation definieren lässt, welche Faktoren die Erkennbarkeit beeinflussen und wie die diese Einflussgrößen optimal verändert werden können. Die meisten Bildverbeserungmassnahmen werden den Kontrast zwischen Objekten oder zwischen Objekt und Hintergrund anheben. Das kann auch durch Anhebung des Signalabstands zwischen benachbarten Objekten, durch Unterdrückung von Rauschen oder durch Hervorhebung der Objektgrenzen selbst erfolgen. Bildverbesserungsmethoden können auch eine automatische Weiterverarbeitung des Bildes vorbereiten. Dann sorgt die Maßnahme dafür dass nur wesentliche Komponenten des Bildes(zb. Kanten) an den Analyseprozess weitergeleiten werden..2 Die drei Gruppen der Methoden der Bildverbesserung. Methoden der Bildverbesserung können einer von drei Gruppen zugeordnet werden: ) Pixelbasierte Verfahren erzielen eine Kontrastverbesserung durch Steigerung des Abstands zwischen Grauwerten. 2) Lineare Filter berücksichtigen die Nachbarschaften zwischen Pixeln. Die Kontrastverstärkung erfolgt hier durch Unterdrückung von Rauschen oder durch die Hervorhebung von Kanten. 3) Nichtlineare Filter sind so konstruiert, dass sie Nachteile von linearen Filtern bei Unterscheidbarkeit von Rauschen und Kanten aufheben. Kapitel 2 2. Pixelbasierte Bildverbesserung 2.. Globaler Kontrast Zuerst sollen wir Begriff Kontrast definieren. Intuitiv Kontrast versteht man über den Abstand zwischen Helligkeiten eines Bildes. Z.b. Ein von zwei Bildern mit gleichem Bildinhalt den bessere Kontrast hat, dessen Grauwerte über einen gössen Bereich verteilt sind. Kontrastumfang und Resultate einer Kontrastverbesserung können aus einem Histogramm abgelesen werden. Definition des globalen Kontrasts:

4 C global = g max g min. Der Abstand zwischen dem minimalen vorkommenden Grauwert g min und dem höchsten vorkommenden Grauwert g max wird globaler Kontrast genannt. Der globale Kontrast kann durch Grauwertspreizung vergrößert werden. Jedem Pixel mit Grauwert g wird über die Transferfunktion g ' ein von [ g min, g max ] abhängiger neuer Grauwert zugewiesen: g ' ( g ) = ( g g min ) Durch wmin und wmax wmax wmin + wmin g max g min wird der kleinste bzw. Größe repräsentierbare Grauwert bezeichnet. In den meisten Fällen wird wmin = 0 und wmax = 255 sein. Beispiel: Wenn der ursprünglich genutzte Grauwertbereich sehr klein war (z.b Grauwerte) führt das zu einer erheblichen Verbesserung der Erkennbarkeit. Die aus Definition des globalen Kontrasts resultierende Spreizung berücksichtigt die Verteilung der Grauwerte nicht. Sobald auch nur je ein einziges Pixel den Grauwert 0 bzw. 255 hat, ist keine Grauwertspreizung mehr möglich. Dennoch kann ein Grossteil der Pixel sehr ähnliche Grauwerte haben und das Bild kann deshalb als kontrastarm empfunden werden. Zur Messung der Eigenschaft dient der lokale Kontrast Lokaler Kontrast Definition des lokalen Kontrasts:

5 C lokal ( f)= MN M N _ f ( m, n ) f ( m, n) m =0 n =0 Hierbei ist f ( m, n ) der durchschnittliche Wert der Funktion f in einer definierten Nachbarschaft. Der Verbesserung des globalen Kontrasts führt zu einer Verbesserung des lokalen Kontrast. Man kann daher nach Abbildungen suchen g' ( g ) suchen, die den lokalen Kontrast weiter verstärken. Geht man von der Hypothese aus, dass Pixel mit häufig vorkommenden Grauwerten auch häufig zueinander benachbart sind, dann muss g' ( g ) von g der Häufigkeit von abhängig sein. Gamma-Korrektur dient der Verbesserung des lokalen Kontrasts. Die Gamma-Korrektur ist eine Abbildung: g wmin g ' ( g ) = wmax wmax wmin Es wird eine nichtlineare Grauwertspreizung auf wmin γ + wmin. bis wmax ausgeführt. Für γ < werden die hellen Grauwerte gespreizt und die dunkleren Grauwerte getaucht. Für γ > ist es umgekehrt. Wenn die Grauwertspreizung kompliziert ist (Verschiedene Objekten mit verschiedene kontraststarke oder mehrere als eine Maximum hat). Lässt der Bildinhalt eine Stauchung nicht ohne Minderung der Wahrnehmbarkeit der Bildinformation zu, kann eine von zwei Alternativen gewählt werden: Nichtmonotone Abbildung der Grauwerte. Diese Abbildung erreicht das, indem die Grauwertfolge auf eine Funktion abgebildet wird, die mehrere Maxima hat. Diese Abbildung als Beispiel:

6 g'( g ) = wmax ( g mod K ) K wmax, wobei der neue Grauwert nach jedem KK ten Wert von wmax nach Null wechselt. So wird den Kontrast im Bild erhöht. Allerdings kann die Änderung der Ordnung der Grauwerte zu schwer interpretierbaren Bildern führen. Es erfolgt eine Spreizung mit dem Faktor Falschfarbdarstellung. Um den Kontrast zu steigern können wir auch die Farbe nutzen. Der Grauwert wird durch drei unterschiedliche Funktionen auf die Farben rot, grün und blau abgebildet. Aus dem ursprünglich einfarbigen Bild entsteht ein Farbbild, dessen Farben künstlich sind. Da sie mit der aufgenommen Bildinformation nichts zu tun haben. Der Kontrast steigt, erheblich mehr Farben als Grauwerte voneinander zu unterscheiden. Aus zwei farblich unterschiedlich dargestellten Pixel auf die Ordnung der ursprünglichen Funktionswerte zu schlissen ist daher nicht möglich. Die Falschfarbdarstellung hat noch einen weiteren Nachteil. Es ist nicht gelungen, eine Farbskala zu definieren, bei der abstand zwischen zwei benachbarten Farben über die gesamte Skala als gleich empfunden wird. Bei Falschfarbtabellen kommt es wegen des Wechsels von drei unterschiedlichen miteinander korrelierenden Parametern (Farbton, Sättigung und Helligkeit) zu einem Foto von empfundenen Stauchungen und Spreizung der Helligkeitsänderung entlang des Farbkeils. So entstehen die künstlichen Kanten, die Bild behindert können. Beispiel: Die beiden Strategien ermöglichen es, die 256 auszubildenden Grauwerte so zu verändern, dass der Unterschied zwischen zwei benachbarten Grauwerten erkennbar ist.

7 2..3 Maximierung der Entropie Entropie ist ein Maß für die Informationen eingeführt. Entropie ist also neben globalem und lokalem Kontrast ein drittes Maß für den Kontrast. Mit der Entropie steht uns ein Maß zu Verfügung, das die Grauwertverteilung misst und damit geeignet ist, die Spreizung oder Stauchung von Grauwerten in Abhängigkeit von Ihrer Häufung zu steuern. Entropie E H p eines Bildes ist mit nominiertem Histogramm H p definiert. ( ) K E ( H p ) = H p ( i ) log 2 H p ( i ). i =0 Unser Ziel war es, ein Bild so weit zu komprimieren, dass die durchschnittliche Anzahl von Bits pro Pixel nahe an der Entropie liegt. Zur Bildverbesserung suchen wir dagegen nach einer Transferfunktion g ', durch welche die Grauwerte g so auf neue Grauwerte abgebildet werden, dass die Entropie des Histogramms H p ' der Anzahl der verwendeten Bits pro Pixel (in der Regel also 8) entspricht. Das wird genau dann erreicht, wenn H p ' für alle Grauwerte g ' konstant ist. Um die Entropie zu maximieren wird das kumulative Histogramm als Transferfunktion verwendet. Die endgültige Formel lautet: K g ' ( g ) = wmax H p ( i ) i =0 Diese Operation heißt Histogrammlinearisierung.. Durch Histogrammlinearisierung wurde der Kontrast sowohl im mehrheitlich dunklen Bereich und auch im hellen Hintergrund angehoben. Sehr häufig vorkommende Grauwerte liegen im Histogramm weit auseinander und selten vorkommende Grauwerte liegen dichter beieinander. Diese Verfahren können aber auch zu Verschlechterung der Entropie. Z.B.: Die Linearisierung genau wie alle anderen bisher vorgestellten Verfahren nur auf der Auswertung der Grauwerthäufigkeit basiert, können sich in Abhängigkeit vom Bildinhalt dennoch unerwünschte Nebeneffekte einstellen. Die zugrunde liegende Hypothese einer Linearisierung ist, dass häufig vorkommende Grauwerte besonders häufig aneinander grenzen

8 und dass daher ihr Abstand vergrößert werden soll. Das ist zwar der Fall, das gesuchte Objekt kann aber so klein sein, dass dessen Pixel im Histogramm schlecht repräsentiert sind, während die Grauwerte des Hintergrunds das Histogramm dominieren. Eine Linearisierung würde den Kontrast im Hintergrund zuungunsten der Erkennbarkeit des Vordergrunds verstärken. Nachteilig an der Histogrammlinearisierung ist, dass Kontrastanhebung unabhängig vom Bildinthalt ist. Durch lokale Berechnung der Transferfunktion einer Histogrammlinearisierung kann dies verhindert werden. Für jedes Pixel wird aus einer vorgegebenen lokalen Nachbarschaft ein lokales HIstogramm erzeuget. Die Verfahren heißt Adoptive Histogramlinearisierung. Diese Methode den Hintergrund unabhängig von Vordergrund behandelt, kann man erwarten dass in der lokalen Umgebung des Vordergrundsobjekts die Häufigkeit der dieses Objekt beschreibenden Pixelgrauwerte das Histogramm dominiert. Der Kontrast wird also auch dort verstärkt.nachteilig ist jedoch die extreme Anhebung des Kontrasts in sehr homogenen Bildbereichen. Die Bilder nie frei von Rauschen sind, werden sich in solchen Bereichen die Amplituden von Signal und Rauschen kaum unterscheiden. Die Rauschamplitude mag sogar größer sein als die des Signals. Um die Überbetonung von Rauschen auch nach Kontrastverbesserung zu vermeiden, kann man den AHE-Operator um einen Parameter ergänzen, der die maximale Kontrastanhebung begrenzt. Diese Variante heißt Kontrastlimitierte adoptive Histogrammlinearisierung. Kapitel 3 3. Bildverbesserung durch lineare Filterung 3.. Rauschunterdrückung durch lineare Filterung. Durch Rauschunterdrückung kann das Signal gegenüber stochastischen Störungen verstärkt werden. Diese Verfahren müssen die Nachbarschaft eines Pixels berücksichtigen, weil Rauschen nur als statische Eigenschaft einer Menge von Pixeln charakterisiert werden kann. Rauschen werden als stochastischer Prozess definiert. Zuerst die Erwartungswert E η m, n der Rauschfunktion 0 ist. Mit einer steigenden Anzahl der Stichproben des Rauschens η ergibt sich die bessere Schatzung des Erwartungswerts. Um die Verfahren Rauschunterdrückung zu entwickeln, können wir davon ausgehen dass der Erwartungswert der ungestörten Bildfunktion f konstant ist, d.h. E{ f ( m, n ) = f ( m, n )} Das verursachte Bild g ist gegeben durch g ( m, n ) = f ( m, n ) + η ( m, n ). Jetzt können wir Erwartungswert von g zu schätzen: { ( E{ g ( m, n )} = E{ f ( m, n )} + E{η (m, n} = E{ f ( m, n )} = f ( m, n ) )}

9 Also ist dass Problem gelöst, sobald eine gute Schätzung für E{ g ( m, n )} existiert. Wenn eine Bildsequentz g 0, g,..., g k derselben Szene zur Verfügen steht, dann kann das gemittelte Bild als Schätzer für E{ g ( m, n )} dienen. Wenn man betrachtet die Operation als Filterung entlang.... der Zeitachse mit dem folgenden Faltungskern durchgeführt werden: F = K K K Die Summe der Elemente des Faltungskerns ist. Jede von verschiedene Summe würde zu einer entsprechenden Skalierung der Grauwerte der Bildfunktion führen. Falls f die nicht gleich f E ( f ) ist führt die Rauschunterdrückung zur Arteffekten. Manchmal kann man die Einzelbilder zur Rauschunterdrückung addieren. (Summation über die Zeit) Existiert keine Bildfolge, kann man dennoch versuchen, den Erwartungswert von g ( m, n ) zu schätzen. Statt über eine Bildfolge wird nur über die Nachbarschaft jedes Pixels gemittelt z z.b. Mittelwertfilter. Für eine 3x3 Umgebung sieht es wie folgt aus: Mit der Anzahl der Werte steigt auch der Schätzung von E{ f }. Mit 5x5 Filter würden fast 3mal so viele Werte gemittelt als mit dem 3x3 Filter. Allerdings setzt dass voraus, das die Werte von f in der gewählten Umgebung tatsächlich konstant sind. Das gefilterte Bild wirkt immer unschärfer, weil die Artefakte mit größerem Filterkernen an den Kanten sind. Eine Mittelwertoperator weist jedem neuen Pixel der Mittelwert aller Pixel innerhalb des Operatorfenster zu und glätten die Harte Kanten im Bild. Der andere Typ des Rauschens heißt Impulsrausch. Die Erwartungswert dieses Rausch ist zwar auch Null, aber ist ein Große Teil des Pixels bleibt nicht betroffen. Die verbleibende Pixel nehmen entweder den dunkelsten Grauwert 0 oder der hellsten 255 an. So genanntes Salz und Pfeffer Filter kann durch Mittelwertfilter nur abgeschwächt, aber nicht beseitigt werden. Um das Verhalten des Mittelwertsfilters genauer zu beurteilen, kann man die Filterfunktion in den Frequenzbereich transformieren und untersuchen, wie sich die Amplitude des Bildsignals von der Frequenz verändern. Filterfunktion kann transformieren und die Amplitude des Bildsignals in Abhängigkeit von der Frequenz verändern. Die fouriertransformierte Funktion B eines Rechteckimpulses bk der Größe KxK mit Zentrum im Ursprung des k Koordinatensystems ist symmetrisch zum Koordinatenursprung und lässt sich so bestimmen: Bk ( u, v ) = sin ( πuk ) sin ( πvk ) πuk πvk

10 Tiefpassfilter- als lineare Filter zur Rauschunterdrückung. Die Amplitude nimmt wegen der Division mit u und v mit zunehmender Frequenz ab. Die niedrige Frequenzteile erhalten bleiben. Die hohen Frequenzen unterdrückt wurden. Allerdings ist das gefilterte Bild im Vergleich zum Original unscharf. Durch diese Methode verursachten Arteffekte die sich gut in Bild erkennen, das sich aus Wellen unterschiedlicher Frequenz und Richtung zusammensetzt. Für die Entwicklung eines besseren Filters sollen wir also versuchen, die Filterfunktion gleich im Frequenzraum zu entwickeln. Ideales Tieffpasfilter - für diese Filter muss diejenige Grenzfrequenz bestimmt werden, für die Signal und Rauschen etwa gleich stark sind. Nur Frequenzen unterhalb dieser Frequenz bleiben erhalten. Dieser Filter Formel sieht so aus: H Fmax ( u, v ) = { falls u + v Fmax 0 für sonstiges. Bei einer Rauschunterdrückung durch ein ideales Tiefpassfilter entstehen noch deutlichere Artefakte. Sie treten vornehmlich an Kanten auf und werden Ringing-Artefakte genannt. Ringing-Artefakte des idealen Tiefpassfilters entstehen wegen des wellenförmigen Verhaltens im Ortsbereich. Butterworth-Tiefpassfilter - ein ideales Rauschfilter der beides( Rauschen in Orts- und im Frequenzenbereich) vereinen. Man kann diese Anforderung ausgehend von einer Filterung im Ortsraum oder im Frequenzenraum angehen. Ringing-Arteffekte nach Filterung treten Erwartungsgemäß nicht mehr auf. Z.B.:

11 Binomialfilter - der Filter kann Rekursiv definiert werden. Dieser Filter bewirkt eine Glättung des Signals. Hohe Frequenzanteile werden gedämpft, umso stärker, je höher die Frequenz. Ein Binomialfilter B der Ordnung ist eine Funktion, deren Faltungskern ( ) 2 Weiter haben wir Filter B K mit höherer K Ordnung: B2 = ( 2 ) 4 B3 = ( 3 3 ) 8 Mit höherer Ordnung ähnelt das Verhalten der Filter immer mehr dem Verhalten des Buttterworth-Filters. Die Filterung mit Binomialfilter führt nicht zu Artefakten. Es gibt auch zweier eindimensionaler Filter von gleicher Ordnung: ( ) B K,K = B K x B K T Das bedeutet dass kann man hintereinander zwei eindimensionale Filterungen durchführen. Die Binomialfilter nähern ein optimales Rauschfilter aus Sicht einer Operation im Ortsbereich an, während das Butterworthfilter das Ergebnis einer Suche nach dem optimalen Verhalten im Frequenzbereich ist. Wird diese Optimierungsprozess konsequent zu Ende geführt, ergibt sich ein neues Filter. Dieses Filter ist die Faltung im Ortsbereich bzw. die Multiplikation im Frequenzbereich mit einer Gaus-Funktion:

12 x2 + y2 h( x, y ) = exp 2δ 2 δ 2π Die Analyse der Filterfunktion im Ortsraum und Frequenzraum zeigt ein ideales Verhalten, so dass die Gauss-Funktion ein optimales Filter für Rauschunterdrückung ist Generierung von Kantenmerkmalen durch lineare Filterung Durch Kantenhervorhebung kann die Grenze zwischen zwei Objekten betont oder extrahiert werden. Verfahren zur Kantenanhebung benötigt die Nachbarschaftinformation, weil Kanten über die approximierten partiellen Ableitungen der Bildfunktion sind. Die Auswertung von Kantenmerkmalen dagegen ermöglicht die bessere Betonung von Granzen zwischen Objekten. Idealen Hochpassfilter mit Grenzfrequenz im Frequenzraum: H Fmax ( u, v ) = { falls u + v Fmax 0 für sonstiges. Multipliziert man eine Funktion F mit H Fmax und Transformiert dann transformiert das Resultat züruck in den Ortsraum, dann enthält das Resultat fast ausschließlich Kanteninformation. Information über die Helligkeit innerhalb von Objekten ist zum großen Teil verloren gegangen. Ideale Hochpassfilter führen zur Ringing Artefakten, die durch Filter Butterworth-Hochpassfilter verhindert werden können: H Fmax ( u, v ) = F2 + max 2 2 u + v ( k ) Kannten haben nicht nur eine Stärke, sondern auch eine Richtung. Zur Berechnung von Ort und Richtung einer Kante ist es hilfreich, zu einer Betrachtung von Kanten und Kantenmerkmalen im Ortsraum zurückzukehren. Die Stärke einer Kante lässt sich über die Steilheit der Grauwertsfunktion, also den Betrag des Gradienten, bestimmen. Der Richtung der Kante verläuft orthogonal zur Gradientenrichtung. Der Gradient ist ein Vektor, dessen Länge die Kantenstärke repräsentiert und dessen Richtung orthogonall zur Kantenrichtung verläuft. Gradient:

13 dx( m, n ) f ( m, n ) hm wo = f ( m, n ) = dy ( m, n ) f ( m, n ) hn hm = hn = Die Abschätzung des Gradienten kann verbessert werden, indem andere oder Mehr Pixel in der Berechnung einbezogen werden. Faltungskerne eines bekannten Kantenoperators sind: Der Robert s Gradient und der Sobel-Operator. Der Robert s Gradient: 0 0 und. 0 0 Sobel-Operator: und 0 2 Beispiel: Der Sobel Operator hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Binomialfiltern und in der Tat ist das durch die Sobel - Filterung berechnete Ergebnis die Differenz von zwei Glättungen, die senkrecht zur Differentiationsrichtung ausgeführt würden. Vergleicht man der Furier-

14 Transformation des einfachen Diefferenzfilters mit dem Sobel-Filter, dann erkennt man dass, die Sobel Filter orthogonal zur Differentionsrichtung wie ein Tiefpassfirtel wirkt. Das hat Vorteile, wenn das verarbeitete Bild Rauschen beinhaltet, weil die einfache Differenzberechnung durch die Unterdrückung von niedrigen Frequenzen zu einer Verstärkung des Rauschens führt. Manchmal ist es nicht der Gradient, aus dem Kantenrichtung abgeleitet werden soll, sondern Pixel sollen detektiert werden, durch die Kanten in einer gegebenen Richtung verlaufen. Dazu werden Richtungsoperatoren für unterschiedliche Richtungen auf ein Bild angewendet. Ziel ist die Gruppierung von Bildpunkten nach Richtung. Für jede Bildpunkt wird festgestellt, welche der Richtungen die stärkste Filterantwort geliefert hat. Dazu dienen die zwei Operatoren, wie: Prewitt-Operator und Kirsch-Operator. Der Kirsch-Operator z.b. sieht so aus (die erste drei Faltungskerne): h = 3 0 3, h2 = 5 0 3, h3 = Alle hier ergeben sich Operatoren im Ortsraum basieren auf der erste Ableitung der Bildfunktion. Auch die zweite Ableitung dieser Funktion liefert Informationen über Kanten. Die Hesse-Matrix(auch Jackobi-Matrix genannt: f f 2x y x H( f ) = f x y f 2 y Jakobi-Matrix besteht aus den ersten Ableitungen eines Funktionalen. Die Determinante der Hesse-Matrix ist ein Indikator für Eckpunkte in einem Bild. Je höher der Wert der Determinante ist, desto wahrscheinlicher ist der Ort ein Eckpunkt. Hoche positive Werten stehen für dunkle Ecken von hellem Hintergrund, hohe negative Werte stehen für helle Ecken von dunklem Hintergrund. Durch die Eigenwerte von Hesse-Matrix werden lokale Extrema und Sattelpunkte charakterisiert. Die eigenen Werte sind Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung. Genau wie die erste Ableitung kann auch die zweite Ableitung durch Differenzen angenähert werden. Für Bildverbesserung ist auch die Summe der partiellen Ableitungen. Dort wo der Betrag der erste Ableitung maximal ist, gibt es einen Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung. Eine Kante verlaufen genau dort, wo dieser Vorzeichenwechsel - ein so genannten Nulldurchgang - stattfindet. Definition des Laplace-Operator: 0 0 L4 = 4, L8 = Beispiel:

15 Nullgange des Laplace-Operators. Dunkle Pixel bezeichnet negative, helle Pixel bezeichnen positive Werte. Kapitel 4 4. Nichtlineare Filterungen Leider Unterdrückung von Rauschen auch Kanten unterdrückt. Um sie trennen kann man die Filter konstruieren, die die Unterschiede zwischen Rauschen und Kanten nicht ausschließlich im Frequenzraum definieren. Diese Filter werden im Ortsraum konstruiert und sind nicht linear. 4.. Rangordnungsfilter Als ersten wird Medianfilter vorgestellt, der gehört zur Gruppe der Randordnungsfilter. Die unterschiedliche Behandlung von Kanten und Rauschen resultiert aus den unterschiedlichen Eigenschaften beider Einflüsse, wenn sie als stochastischer Prozess betrachtet werden. Durch Rangordnungsfilter werden die Grauwerte einer vorgegebenen Umgebung um einen zu filternden Punkt sortiert. Aus der sortierten Reihenfolge wird der an einem bestimmten Rang eingeordnete Wert anstelle des Ursprungsgrauwerts eingesetzt. Die Werte aus der Umgebung des zu filternden Pixels selektiert werden, bekommen keinen neuen Werten. Hier ist die Unterschied von linearen Filtern. Der an mittlerer Position eingeordnete Wert einer sortierten Folge ist der Median. Das Filterergebnis der in der Mitte Median und Mittelwert Folge von Werten nähen sich einander an. Durch Medianfilterung kann Impulsrauschen beseitigt werden. Unter bestimmten Umständen ist ein quadratisches Medianfilter darüber kantenerhaltend. Dem liegt das folgende Modell einer Kante zugrunde: Die Funktionswerte der ungestörten Funktion auf beiden Seiten der Kante sind jeweils konstant.

16 Der Signalabstand d.h. der Werteunterschied an einer Kante ist größer als die Rauschamplitude Die Kante verläuft die Fläche des Medianfilters gerade. Für die Diskussion über das Verhalten des Filters an einer Kante nennen wir in der sortierten Folge der Pixelwerte die Menge der Pixel auf der dunkleren Seite der Kante Kd und die auf der helleren Seite Kh. Das Medienfilter erhält Kanten nur, wenn sie innerhalb der Filterumgebung nahezu gerade verlaufen Diffusionsfilter Durch Diffusionsfilter wird der physikalische Diffusionsprozess zum Austausch von Konzentrationsunterschieden simuliert. Man nimmt an, dass durch die Bildfunktion die Konzentration einer Flüssigkeit beschreibt wird. Die 3 verschiedenen Diffusionsmodelle werden verwendet: Bei der isotropen homogenen Diffusion erfolgt ein gleichmäßiger Austausch in alle Richtungen

17 Bei der isotropen inhomogenen Diffusion hängt das Ausmaß der Diffusion davon ab, ob sich in der Nachbarschaft die Kanten befinden. Bei der anisotropen Diffusion findet auch an Kanten eine Diffusion statt, jedoch nur parallel und nicht über die Kanten hinaus. Der Fick schen Gesetz: f ( x, y ) x j ( x, y ) = D( x, y ) x u ( x, y ) = D( x, y ) x f ( x, y ) y D - Diffusionstensor (Die Austauschrate für die Konzentration der Diffusion u - Dichtergradient (Die Diffusion in Abhängigkeit von der Richtung von einem Konzentrationsgradienten). Der Diffusionstensor spezifiziert die Art der Fluss j in Abhängigkeit vom Dichtegradient u. Der Fluss verändert sich über die Zeit, deshalb können wir weiter schreiben: u ( x, y, t ) = div j ( x, y, t ) t Durch div wurde der Divergenzoperator bezeichnet: j ( x, y, t ) j y ( x, y, t ). div j = x + x y Die Diffusion können wir durch Approximation: u ( x, y, t i + ) = u ( x, y, t i ) + (t i + t i ) u ( x, y, t i ) t Bei der homogenen Diffusion sind alle Kanten vollständig verschwunden. Bei der isotropen inhomogenen Diffusion bleibt der Unterschied zwischen Vordergrund und Hintergrund erhalten, allerdings bleiben die Kanten verrauscht. Dies ist anders bei der anisotropen inhomogenen Diffusion, bei der auch eine Diffusion parallel zur Kante stattfindet. Diffusion im Vergleich:

18 Kapitel 5 5. Zusammenfassungen Bildverbesserung umfasst Methoden für die Hervorhebung von Objekten bzw. von objektbegrenzten Kanten. Hauptkriterium ist der Kontrast zwischen Objekt und Hintergrund. Kontrastverstärkung kann durch eine Grauwerttransformation, durch Rauschunterdrückung oder durch Hervorhebung von Kanten erzielt werden. Durch Grauwertspreizung kann man der globalen Kontrast zwischen hellstem und dunkelstem Pixel angehoben werden. Gamma-Korrektur sowie Histogrammlinearisierung steigern den lokalen Kontrast zwischen benachbarten Pixeln. Durch nichtlineare Grauwerttransformation und die Falschfarbdarstellung kann die Wahrnehmbarkeit von Unterschieden zwischen Pixeln mit ähnlichen Grauwerten gesteigert werden. Mit linearen Filtern können das Signal gegenüber Rauschen verbessert oder Kantenpixel verstärkt werden. Lineare Filtern können im Ortsbereich(als Faltung) oder im Frequenzbereich(als Multiplikation)angewendet werden. Lineare Filter zur Rauschunterdrückung sind Tiefpassfilter. Bekannte Filter zur Faltung im Ortsbereich sind Mittelwertfilter, Binomialfilter oder die Filterung mit Gauss-Funktion. Filter im Frequenzraum sind das Ideale Tiefpassfilter und das Butterworth-Filter. Bei der Filterung zur Rauschunterdrückung wird vorausgesetzt, dass die gefilterte Region homogen ist. An Kanten führt die Rauschunterdrückung zur Artefakten. Lineare Filter zur Kantenhervorhebung sind Hochpassfilter. Kantenfilter schätzen die partiellen Ableitungen durch Differenzen (Sobel-Filter, Robert s Gradient) oder die Summe zweite partielle Ableitung (Laplace-Filter). Die partiellen ersten Ableitungen ergeben den Gradienten, dessen Richtung orthogonal zur Kantenrichtung ist und dessen Stärke die Steilheit der Kante angibt. Die Berechnung von partiellen Ableitungen in eine der acht Richtungen von Kompassrose ergibt ein Bild der Kantenstärkste in diese Richtungen(Kompassfilter, z.b. Prewitt oder Kirsch-Operator). Das Laplace-

19 Fiter erzeugt an Kanten Nulldurchgänge. Auch Hochpassfilter können im Frequenzraum ausgeführt werden(ideales Hochpassfilter, Butterworth-Filter) Durch nicht lineare Filterung kann eine Kantenerhaltene Rauschunterdrückung vorgenommen werden, indem die Zufälligkeit von Rauschen als wesentlicher Unterschied zu den Eigenschaften von Kanten genutzt wird. Das Medianfilter nutz diese Eigenschaft richtungsunabhängig und über eine vorgegebene Nachbarschaft. Durch Diffusionfilter kann diese Berechnung richtungssensitiv und über beliebig große Nachbarschaften erfolgen. Literatur:. Klaus D.Tönnies, Grundlagen der Bildverarbeitung