KAPAZITÄT und ENERGIE

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1 Kapitel 4 KAPAZITÄT und ENERGIE 4. Kondensator Ein Kondensator besteht aus zwei Leiterplatten, die sich in einem kleinen Abstand voneinander befinden. Häufig bringt man zwischen den Elektroden eine dielektrische Schicht ein. Diese führt zur Erhöhung der Kapazität. = > Beim Anlegen der Spannungsquelle im Schaltkreis (a) beobachtet man dass die Glühlampe für einige Zeit aufleuchtet, aber dann verlischt wenn der Kondensator aufgeladen ist. Ersetzt man die Spannungsquelle durch einen Kurzschluss (b) beobachtet man dasselbe Phänomen: Die Glühbirne leuchtet für einige Zeit auf, wird schwächer und verlischt, wenn der Kondensator entladen ist. = F A * = J J A H E A * = J J A H E A Zu Beginn besteht keine Potentialdi erenz zwischen den Kondensatorplatten. Deshalb erscheint beim Anlegen der Batterie die Potentialdi erenz U an der Glühlampe und sie leuchtet. Der Stromfluß durch die Lampe führt zur Aufladung des Kondensators, bis die Kondensatorspannung den Wert U erreicht. Mehr dazu in Kapitel 6. 37

2 38 KAPITEL 4. KAPAZITÄT UND ENERGIE Im geladenen Zustand beschreibt man den Kondensator durch zwei Elektroden, die jeweils die Ladungen und tragen. Die beiden Elektroden befinden sich auf dem Potential und 2. Die Potentialdi erenz beträgt U = 2. Die Flächenladungsdichte auf den Elektroden ist = /A, sieheseite9. Aus der Näherung (2.24) sehen wir, dass die elektrische Feldstärke im Kondensator proportional zur Ladung und invers proportional zur Größe der Elektrodenoberfläche A ist, E = 0 = 0 A. (4.) Ein Kondensator hat also eine gewisse Kapazität Ladung zu tragen, C = U. (4.2) Wie viel Ladung er trägt hängt ab von der Potentialdi erenz U, wobei C als Proportionalitätsfaktor erscheint, = C U. Mit E = U/d (d ist der Abstand zwischen den Platten) in (4.) und(4.) ergibt sich für die Kapaziät eines Plattenkondensators C = 0 A d, (4.3) eine rein geometrische Abhängigkeit mit der Einheit [Farad] = [Coulomb/Volt]. (4.4) Gebräuchlich sind Kondensatoren im Femto, Pico, Nano, Mikro und Millifarad Bereich. Beispiel: Bei A =cm 2 und d =mmistc =0.9 pf. Feldverlauf in einem Plattenkondensator Zwei Platten, bei x =0undbeix = d, tragen die Ladungen und. Im Raum dazwischen befinden sich keine freien Ladungen (auch keine Materie). Zur Berechnung der Potentialverteilung verwenden wir die LaplaceGleichung (siehe Seite 22) in einer Dimension d 2 dx 2 =0 ) (x) =ax b (4.5) mit den Randbedingungen x=0 = = b und x=d = 2 = ad.mit a =( 2 )/d = U/d ergibt sich der Potentialverlauf zwischen den Platten als (x) = U d x (4.6) und das Feld als ~E = r ~ = U ˆx. (4.7) d B B 7 Im Innenbereich ist das Feld homogen, ~ E = U d, das Potential steigt linear von nach 2 an.

3 3 H 4.. KONDENSATOR 39 Kapazität eines Kugelkondensators Zwei konzentrische Hohlkugeln mit den Radien r i und r a tragen die Ladungen und. Im Innenraum r<r i herrscht kein Feld da sich dort keine Ladungen befinden. Das Potential in diesem Bereich ist gleich dem der inneren Kugel i = f c /r i. (4.8) Das Feld zwischen beiden Kugelflächen ist gleich dem, das eine im Kugelmittelpunkt sitzende Ladung erzeugt : ~E(r>r i )=f c r 2 êr. (4.9) Das Potential für r i <r<r a ist (r) =f c r. (4.0) 3 H E H = Im Aussenraum (r>r a ) addiert sich das Feld der innernen Kugel (4.9) und das der äußeren Kugel zum Gesamtfeld Null da die eingeschlossene Gesamtladung gleich Null ist. 2 Die Feldstärke macht an der Innen bzw. Aussenwand jeweils den Sprung / 0, wobei in unserem Beispiel i =/(4ri 2 )und a = /(4ra ) 2 ist. Die Potentialdi erenz zwischen den Kugelflächen ist U = i a = f c. (4.) r i r a Mit der Definition der Kapazität eines Kondensators (4.2) ergibt sich für den Kugelkondensator C = U = i a = f c r i r a r a r i. (4.2) Wenn der Abstand zwischen den Kugelflächen klein ist (r i R r a ), führen wir für den Abstand d = r a r i ein und setzen R 2 r i r a C = f c R 2 d = 4 0R 2 d = 0 A d, (4.3) wobei A =4R 2 die Oberfläche der Kugel ist. Gleichung (4.3) entspricht also dem eindimensionalen Fall unendlich ausgedehnter Platten, (4.3). Kapazität einer Kugel Wenn wir den Radius der äußeren Kugel gegen anwachsen lassen, ergibt sich aus (4.) ein Ausdruck für die Kapazität einer einzelnen Kugel mit Radius R gegenüber einer Gegenelektrode im Unendlichen, C =4 0 R. (4.4) 2 Ob im Außenraum ein elektrisches Feld vorliegt, hängt von der Potentialdi erenz zwischen der äußeren Kugel und seiner Umgebung ab. Hier ist die äussere Hohlkugel geerdet.

4 40 KAPITEL 4. KAPAZITÄT UND ENERGIE Schaltung von Kondensatoren parallel: Die gleiche Spannung liegt an der Summe der Flächen, damit steigt gemäß (4.3) die Kapazität auf C ges = X i C i. (4.5) in Serie: Die gleiche Ladungsdi erenz ( und )verteilt sich über die Summe der Abstände zwischen den Kondensatorplatten. Für die gesamte anliegende Spannung gilt U 0 = P i U i. Damit sinkt nach Gleichung (4.3) die Kapazität C ges = X i C i. (4.6) Spannungsanstieg bei Vergrößerung des Plattenabstandes Wir laden einen Kondensator auf, an dem ein Elektrometer angeschlossen ist. Die Ladung verteilt sich auf Kondensator und Elektrometer gemäß ihrer Kapazität Ladungen zu tragen, ges = C E = C E U E C C U C =(C E C C ) U. Die positiv eingezeichnete Ladung ges sei zeitlich konstant (perfekt isoliert). Wenn wir den Plattenabstand d vergrößern beobachten wir einen erhöhten Ausschlag am Elektrometer! Beim Vergößern von d auf d 0 erniedrigt sich die Kapazität von C C = 0 A/d auf CC 0 = 0A/d 0. Weil U C = U E = U ist gilt bei konstanter Ladung, 7 ges = (C E C C ) U =(C E CC) 0 U 0 7, U 0 = d0 dce 0 A U d d 0. C E 0 A Der Ausdruck in Klammer ist Eins wenn die Kapazität des Elektrometers sehr viel kleiner ist als die des Kondensators. In diesem Fall gilt U/d U 0 /d 0 und man dürfte argumentieren, dass das Feld im Kondensator konstant bleibt, E=U/d. Das ist konsistent mit der Annahme, dass die Ladung am Kondensator C gleich bleibt denn E = 0 A. Damit bleibt aber E gleich, das Elektrometer hätte keinen Grund weiter auszuschlagen... Genauer lässt sich im Bild rechts argumentieren. Der Kondensator liegt an einer festen Spannungsquelle, U 0.BeiVergößerung von d sinkt C und, weil Ladung in die uelle und Erdung abfließen kann. Wenn im Bild links d erhöht wird, dann sinkt C. Weil erhalten bleibt steigt U c an. 7 U0 7 U0

5 4 ) Energie des elektrischen Feldes 3 Ein Ladungslö el überträgt die Ladungsmenge d auf eine isolierte Kugel im Vakuum und leistet dabei die Arbeit dw = d ( R )=d R wobei wir = 0 gesetzt haben. Für das Potential der Kugel schreiben wir Z W = f c R d= 4 0 R 2 2 = 2 2 C Eine geladene Kugel ist damit ein Energiespeicher R = f c R. Die Arbeit ist also gleich (4.7) W el = 2 2 C = 2 CU2 = U. (4.8) 2 Diese Gleichung verwenden wir jetzt für einen ebenen Plattenkondensator. Für ihn gelten die Beziehungen C = 0 A/d, U = Ed. Das Volumen des Kondensators ist V = Ad.Die in diesem Volumen im elektrischen Feld gespeicherte Energie ist daher W el = 2 CU2 = 2 0 E 2 Ad= 2 0 E 2 V. (4.9) Diese Beziehung gilt für beliebige elektrische Feldanordnungen im Vakuum. Über sie definiert sich die Energiedichte des elektrischen Feldes, w el = W el V = 2 0 E 2. (4.20) Die physikalischen Einheiten der Energiedichte des elektrischen Feldes sind apple [w el ]= 2 0 E 2 = A s V 2 V m m 2 = V A s m 3 = W s apple J m 3 = m 3. (4.2) Kondensator als Speicher Bei Ladungsentnahme sinkt die Spannung am Kondensator. Deshalb eignet er sich i.a. nicht als Ersatz für Batterien. Ein Bleiakku bringt etwa 00 kj/kg (das entspricht etwa 30 Wh/kg). Eine Alkali Batterie bringt bis zu 600 kj/kg. Konventionelle Kondensatoren liegen bei 0.3 kj/kg. Trotzdem finden Kondensatoren vielfache Anwendung als Leistungsspeicher: Bei der Elektroschocktheraphie braucht man einige hundert J die in 2 ms dem Patienten in die Brust deponiert werden (200 J in 2 ms entspricht 00 kw).

6 42 Ebenso bei Blitzlampen oder Netzgeräten für gepulste Laser. Eine Batterie wäre überfordert, da die chemischen Reaktionen nicht schnell genug sind. Ein wichtige Anwendung von vielen sehr kleinen Kondensatoren ( femtof) ist ihr Einsatz in Datenspeichern. ( ff bei V entspricht Elektronen). Kraft zwischen Platten eines Kondensators Das elektrische Feld zwischen den Platten eines Kondensators beträgt E = 0 = 0 A, (4.22) wobei A die Plattenfläche angibt. Die elektrische Feldstärke ist unabhängig vom Abstand der Platten (siehe Seite 9). Da die Platten entgegengesetzt geladen sind ( und ) ziehen sie sich mit einer Kraft F an. Vergrößern wir den Plattenabstand d um einen Betrag d, dann leisten wir die Arbeit F d. Dieser Arbeit entspricht eine Zunahme der elektrostatischen Feldenergie um 2 0E 2 A d. Damit ergibt sich für die Kraft zwischen beiden Platten F = 2 0 E 2 A = E, (4.23) 2 wobei wir E = /( 0 A) verwendet haben. Der Faktor /2 gegenüber dem Ausdruck (2.8) ist folgendermaßen einzusehen: Ausserhalb der Kondensatorplatten ist das elektrische Feld gleich Null. Die Feldstärke fällt also über die endliche Dicke der Ladungsschicht auf der Kondensatorplatte auf Null ab, sodass auf die Ladungen im Mittel nur das Feld E/2 wirkt. Sicherheitsaspekte Die Gefährlichkeit eines Stromschlages ist durch die Größe des Stromes bestimmt. Kleine Ströme (< 5 ma) spürt man als unangenehm, sie führen aber zu keinem dauerhaften Schaden. Ströme > 50 ma führen zu Schäden, da sie Nervensignale übertre en und Muskelbewegungen (Herz) einfrieren können. Tri t dies für mehrere Sekunden zu, kann dies zum Tod führen. Der typische Innenwiderstand des menschlichen Körpers liegt im Bereich von einigen 00. Damit ist die Spannungsgrenze für gefährliche Stromschläge im Bereich von U = IR= = 5 Volt! Das bedeutet, dass im Prinzip eine Autobatterie für einen tödlichen Stromschlag ausreicht. Auf Grund des hohen Widerstandes trockener Haut ( 20 k ) liegt aber die gefährliche Grenze erheblich höher. Aus diesem Grund überlebt man typisch den Stromschlag aus dem Netz (es sei denn, man sitzt in der Badewanne). Ein weiterer Gesichtspunkt ist die Leistung der Stromquelle. Eine kv Überlandleitung kann über lange Zeit sehr große Ströme abführen und ist damit tödlich. Ein VandeGra Generator scha t mehrere 00 kv, kann aber nur Strom für sehr kurze Zeit liefern. Dasselbe gilt für eine TeslaSpule die mehrere 0 6 V liefert, aber im Normalfall keine großen Ströme. Beim Gehen auf einem isolierten Teppich kann sich der Körper auf mehrere Tausend Volt aufladen und mit einem entsprechenden Blitz (z.b. bei Berührung mit einem geerdeten Stiegengeländer) entladen, ohne dass großer Schaden entsteht.

7 3 H 4 4 Kapitel 5 ELEKTRISCHER DIPOL Wegen der Linearität der Poisson Gleichung, = / 0 gilt das Superpositionsprinzip, ( ~ R)=f c X i i ~ R ~r i. (5.) Für Ladungen, die im Raum kontinuierlich verteilt sind gilt Z ( R)=f ~ (~r) dv c V R ~ ~r. (5.2) Die Potentialgleichung (5.2) ist allerdings nur in Spezialfällen analytisch lösbar. Interessiert man sich für Aufpunkte R ~ weit entfernt von der Ladungsverteilung, dann bewährt sich die sogenannte Multipolentwicklung, eine Taylorentwicklung des Terms / R ~ ~r um ~r = 0. Der Gedanke dahinter ist folgender: weit entfernt von der Ladungsverteilung, ist das Potential die Summe einfacher Verteilungen positiver und negativer Ladungen. Diese beschreiben das Potential eines Monopols (Punktladung), Dipols (Punktladungspaar), uadrupols (Dipolpaar), Oktopol (uadupolpaar).... H 8 4 H G Der elektrische Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen im Abstand d. Das elektrische Dipolmoment ist definiert als ~p = ~ d (5.3) Aus der Überlagerung des Potentialfeldes der beiden Punktladungen ergibt sich das Dipolpotential 3 3 G

8 44 KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL dipol = f c ~ R ~ d/2 ~ R ~ d/2! (5.4) wobei die Vektoren ~ R ± ~ d/2 von den entsprechenen Ladungen zum Aufpunkt zeigen. Das Bild zeigt den Potentialverlauf (die potentielle Energie einer Einheitsladung) in der Umgebung der beiden Ladungen ± die in der x y Ebene liegen. In einer ReihenEntwicklung für R d erhalten wir ~ R ± ~ d/2 = R q R ~d ± ~ d2 R 2 4R 2 R q R ~d ± ~ R 2 R ~R ~d! ±... 2 R 2 Einsetzen in (5.4) undeinführung des Polarwinkels (Seite 43) ergibt die für R d gültige Näherungslösung, R dipol = f c ~ ~d R ~ ~p R 3 = f c R 3 = f c p cos R 2. (5.5) In großer Entfernung ( R d ) nimmt das Dipolpotential mit /R 2 ab. Im Vergleich dazu nimmt das Potential des Monopols (2.40) mit/r ab, das des uadrupols mit /R 3.Jehöher die Ordnung des Multipols, je geringer ist die Reichweite des Potentials. Die obere Reihe gibt die exakte Potentialverteilung (5.4) im Nahfeld und im Fernfeld. Die untere Reihe zeigt die Näherung (5.5). Die beiden Ladungen befinden sich bei x=y =0,z=±. Weit von diesen Positionen sind die Lösungen (5.4) und (5.5) nahezu identisch (rechte Spalte). Das Bild unten links zeigt das Versagen der Näherung (5.5) bei kleinen Abständen. Zur Berechnung der elektrischen Feldstärke ~ E = ~ r aus der Näherung (5.5) benötigen wir den Nabla Operator in Kugelkoordinaten.

9 45 Nabla Operator in Kugelkoordinaten Zur Berechnung des Feldstärkeverlaufs aus Gleichung 5.5 brauchen wir den Nabla Operator in Kugelkoordinaten (sphärischen Koordinaten). In kartesischen Koordinaten haben wir für den Nabla Operator ~r = ê x x, ê y y, ê z. (5.6) z Also jeweils das Produkt aus Einheitsvektor mal der Änderung bei einem infinitesimalen Schritt in Richtung des Einheitsvektors. In einer beliebigen orthonormalen Basis gilt: ê ê 2 =ê 3,ê 2 ê 3 =ê,ê 3 ê =ê 2. Die Einheitsvektoren für Kugelkoordinaten sind in kartesischer Basis: ê R = { sin cos ', sin sin ', cos } radial (5.7) ê = { cos cos ', cos sin ', sin } tangential an Längenkreis (5.8) ê ' = { sin ', cos ', 0 } tangential an Breitenkreis (5.9) Der Winkel is Null am Nordpol und erreicht = /2 am Äquator. ' läuft im Uhrzeigersinn von 0! 2, wenn wir in Richtung der z Achse schauen. Den Differentialoperator in Kugelkoordinaten erhalten wir indem wir uns infinitesimale Reisen auf einer (Erd)Kugel überlegen: nach Osten ändert sich nur ', unser Weg ist R sin d' z R sin q dj dr R dq z dr R sin q dj R dq nach Süden ändert sich nur, unser Weg ist Rd y q dq y q dq nach Oben ändert sich nur R, unser Weg ist dr dj j x dj j x Damit wird Nabla in sphärischen Koordinaten: ~r = ê R R, ê R, ê ' R sin '. (5.0) Mit diesem Ausdruck berechnen wir die Feldstärke in Kugelkoordinaten: ~E = ~ r dipol = R, R, R sin ' dipol. (5.) Die Dipolachse liegt entlang der zachse (~p ~z ), siehe Seite 43. Für das Fernfeld des Dipols ergibt sich aus (5.) mit(5.5) ein um z rotationssymmetrisches Feld mit den Feldkomponenten E R = f c 2 p cos R 3, (5.2) E = f c p sin R 3, (5.3) E ' = 0. (5.4)

10 . H 46 KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL Potentielle Energie des Dipols im externen Feld Ein äußeres elektrisches Feld sei durch die Potentialwerte und 2 an den Orten der beiden Dipolladungen charakterisiert. Die potentielle Energie des Dipols in diesem Feld ist W pot = ( 2 ) = ~ d ~r = ~p ~E (5.5) W pot ist Null, wenn ~p? ~ E liegt. W pot ist ein Minimum für ~p ~ E. W pot ist ein Maximum für ~p ~ E. B B Kräfte auf einen Dipol im externen Feld Im Feld sind die Kräfte auf die Einzelladungen des Dipols ~ F = ~ E und ~ F 2 = ~ E 2.. Im homogenen Feld sind die Feldstärken gleich, ~ E = ~ E 2 = ~ E, die resultierende Kraft ist gleich Null, aber ein Drehmoment wirkt auf den Dipol ~D = ~p ~ E.. Im inhomogenen Feld ist die resultierende Kraft wobei ~F F ~ h 2 = ~E(~r d) ~ ~ E(~r) i = ~p d ~ E d~r. F x = E x E x = ~p grad Ex F y = E y E y = ~p grad Ey F z = E z E z = ~p grad Ez Dabei stellt d ~ E/d~r den Vektorgradienten dar. Im inhomogenen Feld erfährt der Dipol ein Drehmoment und eine Kraft in Richtung wachsender Feldstärke, F x = ~p grad E x = p x ( xe x)p y ( ye x)p z ( ze x), F y = ~p grad E y = p x ( xe y)p y ( ye y)p z ( ze y), F z = ~p grad E z = p x ( xe z)p y ( ye z)p z ( ze z).

11 = MOLEKULARE UND ATOMARE DIPOLMOMENTE 47 Elektrischer uadrupol Vier Monopole mit der Gesamtladung Null stellt man als eine Überlagerung zweier Dipole dar = dipol ( ~ R ~a/2) dipol( ~ R ~a/2). MultipolBeiträge wie Dipol, uadrupol und höherer Ordnung verwendet man als Maß für die Abweichung einer Ladungsverteilung von der Kugelsymmetrie. 5. Molekulare und atomare Dipolmomente Moleküle mit permanentem Dipolmoment, z.b. OH oder H 2 O werden im Feld ausgerichtet. Dabei entsteht eine makroskopische Polarisation (Orientierungspolarisation). Anwendung z.b. im gezielten Aussortieren von Wassertröpfchen. (mit Farbsto markierte Zellen, Chromosome,.. sind optisch erkennbar, stark verdünnt, auf einzelne Tropfen verteilt). Unpolare Moleküle, z.b. CO 2 im Grundzustand oder Atome tragen kein permanentes Dipolmoment. Ein äußeres Feld induziert in ihnen ein Dipolmoment. Zum Beispiel beobachtet man in einem OAtom, das einem Proton begegnet ein induziertes Dipolmoment. Die Kraftwirkung des Feldes von H mit dem induzierten Dipolmoment im neutralen Sauersto Atom ist z.b. durch die Bahnablenkung des Protons beobachtbar. Das induzierte Dipolmoment skaliert mit /r 2, wobei r der Abstand zwischen Proton und OAtom ist.. Das induzierte Dipolmoment ~p in einem einzelnen Atom beschreibt man über die Polarisierbarkeit mit ~p = ~ E. (5.6) Die Polarisierbarkeit ist klein für Edelgase, hingegen groß für Alkali Atome. Liegt das Feld entlang z, dann wandern die Ladungsschwerpunkte der positiven Kernladungen und der Elektronenhülle um den Betrag ~z auseinander, ~p = q ~z = E. ~ Die Wechselwirkungsenergie des induzierten Dipols im Feld des Protons ist gemäß Gl. (5.5) gleichv (r) = ~p ~E. Da ~p E ~ ergibt sich für die potentielle Energie der Wechselwirkung zwischen einer Punktladung und einem polarisierbaren Atom (Molekül) der Ausdruck V (r) / /r 4,dassogenannteLangevinPotential.

12 48 KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL 5.2 Methode der Bildladungen Wir betrachten die exakte Feldverteilung in der unmittelbaren Umgebung eines Dipols (2 Punktladungen mit q = q 2 ). Die Äquipotentialflächen sind strichliert eingezeichnet. Im Fall des Dipols sind die Äquipotentialflächen gestauchte Ellispoide, spiegelsymmetrisch um die Ebene senkrecht zur Verbindungslinie zwischen den beiden Ladungen. Wir wählen eine dieser Äquipotentialflächen aus und belegen sie (gedanklich) mit einer dünnen, leitenden Schicht. Damit ändert sich nichts an der Feldlinienverteilung! Mit dieser Überlegung haben wir ein neues Problem der Elektrostatik gelöst: Wie ist der Feldverlauf zwischen einer Punktladung und einer leitenden Schicht in der Form einer Äquipotentialfläche des Dipols? Rechts (oder links) von der leitenden Fläche können wir das Volumen mit einem Leiter oder Isolator füllen, es ändert nichts an der Verteilung des Feldes im linken (bzw. rechten) Raum. Das folgende Bild zeigt zwei solche Anordnungen. Einmal erhalten wir so das Feld zwischen einer Punktladung und einer ebenen Leiterfläche (linkes Bild). Im rechten Bild erhalten wir das Feld zwischen einer Punktladung und der blau eingezeichneten ellipsoiden Oberfläche. Das Feld ist so, als ob eine Bildladung entgegengesetzten Vorzeichens hinter der Leiterfläche läge, in einem Abstand, so dass die Feldlinien senkrecht in die Leiteroberfläche münden. Warum verschwindet im statischen Fall die Tangentialkomponente des ~ EFeldes an der Oberfläche des Leiters?! Sonst würde ein Strom fließen, bis sich die Ladungen im Leiter so verteilen, dass die Tangentialkomponente verschwindet.