Vergleichsarbeiten Jahrgangsstufe (VERA-8) Mathematik - AUSWERTUNGSANLEITUNG. Testheft III

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1 Vergleichsarbeiten Jahrgangsstufe (VERA-8) Mathematik - AUSWERTUNGSANLEITUNG Testheft III

2 Inhaltsverzeichnis Allgemeine Informationen zur Auswertung... 3 Aufgabe 1: Damenuhr... 5 Aufgabe 2: Kauf eines DVD-Players... 6 Aufgabe 3: Nachfolgerzahl... 7 Aufgabe 4: Dreieckszahlen... 8 Aufgabe 5: Kaum eine Chance... 9 Aufgabe 6: Würfeln mit Quader... 9 Aufgabe 7: Passende Schuhe Aufgabe 8: Tee wiegen Aufgabe 9: Ampelkarte Aufgabe 10: Gleichung lösen Aufgabe 11: Punkte auf Geraden Aufgabe 12: Im Kreis laufen Aufgabe 13: Treppenmaße Aufgabe 14: Akrobatik Aufgabe 15: Aussagen über Dreiecke Aufgabe 16: Körper mit Seitenflächen Aufgabe 17: Schachteln packen Aufgabe 18: Lage der Würfel

3 Allgemeine Informationen zur Auswertung Um Ihnen den Umgang mit den Schülerlösungen zu erleichtern, haben wir im Folgenden einige allgemeine Informationen zur Auswertung der Aufgaben zusammengestellt. Zur allgemeinen Vergabe der Punkte Die Auswertungsanleitungen sehen nur die Kategorien richtig und falsch vor, Teilpunkte werden nicht vergeben. Damit werden richtige Lösungsansätze oder Teillösungen bei umfangreicheren Aufgaben oder auch kleinere Mängel, die Sie bei der Korrektur des Tests erkennen, in Ihrer Bepunktung nicht sichtbar. Diese nicht erfassten Details der Bearbeitung können Ihnen jedoch wichtige Informationen für die Einschätzung der Kompetenzen einzelner Schülerinnen und Schüler sowie für Maßnahmen zur individuellen Förderung liefern. Hierzu finden Sie unterstützende Hinweise in den Didaktischen Handreichungen zu den Aufgaben. Zu einzelnen Antwortformaten Bei Multiple-Choice-Aufgaben darf nur die richtige Lösung angekreuzt sein. Die Aufgabe wird als falsch gewertet, sobald auch nur eine falsche Antwort angekreuzt wurde. Bei Mehrfach-Multiple-Choice-Aufgaben mit nur zwei Antwortmöglichkeiten (z. B. ja/nein) fasst man wegen einer ansonsten zu hohen Ratewahrscheinlichkeit mehrere Fragen zu einer Teilaufgabe zusammen. Bei diesem Aufgabenformat müssen in der Regel alle Kreuze richtig gesetzt sein. Einfache Kurzantworten: Hier werden nur einzelne Begriffe, Größen oder Zahlen erfragt und eine Darlegung des Lösungsweges ist nicht erforderlich. Gegebenenfalls dargelegte Lösungswege, auch falsche, gehen nicht in die Bewertung ein. Erweiterte Antworten sind mit einem erhöhten Auswertungsaufwand verbunden. Die Anleitungen enthalten außer Kriterien zur Bewertung häufig mehrere Beispiele für Lösungen, die als richtig bzw. als falsch zu bewerten sind. Zur Abgrenzung werden in den Auswertungsanleitungen sogenannte Grenzfälle ausgewiesen. Grenzfälle für richtig sind solche Lösungen, die zwar nicht umfassend, aber im Sinne der Aufgabenstellung noch akzeptabel sind. Grenzfälle für falsch illustrieren Beispiele für Antworten, die richtige Teilaspekte enthalten, aber nicht hinreichend sind. Zur Auswertung Die in den Anleitungen genannten Beispiele für Lösungen sind weder als Musterlösungen noch als vollständige Aufzählungen aller Lösungsmöglichkeiten zu verstehen. Sie dienen vielmehr der Orientierung für die Auswertung und grenzen (noch) als richtig zu bewertende Lösungen von solchen ab, die den Anforderungen nicht mehr genügen. Demzufolge müssen die Schülerlösungen nicht notwendigerweise identisch mit der Angabe in der Auswertungsanleitung sein. 3

4 Die folgenden Beispiele sollen das verdeutlichen: Wenn bei Aufgaben des Typs Kreuze an. Ja Nein. Begründe deine Antwort. kein oder ein falsches Kästchen angekreuzt wurde, aber aus dem offenen Teil der Antwort, z. B. aus der Begründung oder der Darlegung eines Rechenweges die richtige Entscheidung hervorgeht, wird die Teilaufgabe noch als richtig bewertet. - Korrekte äquivalente Angaben in Bezug auf 1 2 Bruchschreibweisen: z. B. = = 2 4 0,5 Einheiten: z. B. 2 m = 200 cm = 20 dm usw. werden als richtig gewertet. Es sei denn, dass eine bestimmte Einheit oder ein bestimmtes Format gefordert ist. - Bei Rechenfehlern und darauf aufbauenden folgerichtigen Schlüssen sowie bei Folgefehlern ist im Einzelfall zu entscheiden, ob die Lösung als richtig gewertet wird. Generell gilt, dass eine Teilaufgabe dann als richtig zu bewerten ist, wenn die jeweils zentralen Aspekte angemessen bearbeitet wurden. - Sind in einer Aufgabe Zeichnungen nötig, gilt in der Regel ein Genauigkeitsbereich von ±1 mm bzw. ±1, sofern die Auswertungsanleitung nichts anderes vorsieht. Zum Umgang mit Einheiten Ist die Darlegung eines Lösungsweges gefordert, können eventuell erforderliche Maßeinheiten in der gesamten Rechnung mitgeführt oder vollständig weggelassen werden. Das Ergebnis muss in der erforderlichen Einheit angegeben werden. Fehlen im Verlauf einer Rechnung stellenweise Einheiten, wird diese dennoch als richtig gewertet, sofern das Ergebnis einschließlich seiner Einheit korrekt ist. Wird eine Einheit trotz vorgegebener Antwortlinie mit dahinter genannter Einheit doppelt genannt, wird die Antwort als richtig gewertet z. B. 20 cm cm Temperaturdifferenzen werden in der Regel in C angegeben und nicht in Kelvin. Es wird meist die umgangssprachliche Bezeichnung Gewicht, statt physikalisch korrekt Masse gewählt. ( Toni hat ein Gewicht von 50 kg statt Toni hat eine Masse von 50 kg ). Zur Angabe von Wahrscheinlichkeiten Ist die Angabe einer Wahrscheinlichkeit gefordert, so muss diese als Zahl notiert sein. 1 Z. B. = 0,25 oder 25 %; oder auch 1:4 (Das : -Zeichen wird als Divisionszeichen 4 gewertet). Die Angabe als Chancenverhältnis ist nicht statthaft (z. B. 1 zu 3). 4

5 Kästchen wurde angekreuzt. Aufgabe 1: Damenuhr 1.2 Die richtige Antwort erfordert die Angabe aller Kombinationsmöglichkeiten (2;6), (3;4), (4;3), (6;2). 2 Wechselringe und 6 Wechselarmbänder und 3 Wechselringe und 4 Wechselarmbänder und 4 Wechselringe und 3 Wechselarmbänder und 6 Wechselringe und 2 Wechselarmbänder 2 Wechselringe und 6 Wechselarmbänder und 3 Wechselringe und 4 Wechselarmbänder und umgekehrt. [Anm.: In dieser Lösung ist erkennbar, dass zur Angabe der weiteren Kombinationsmöglichkeiten die jeweiligen Anzahlen der Wechselringe und der Wechselarmbänder zu vertauschen sind.] (Grenzfall) 1 Wechselring und 12 Wechselarmbänder und 2 Wechselringe und 6 Wechselarmbänder und 3 Wechselringe und 4 Wechselarmbänder und umgekehrt. (Grenzfall) 1 Wechselring und 12 Wechselarmbänder und 2 Wechselringe und 6 Wechselarmbänder und 3 Wechselringe und 4 Wechselarmbänder und 4 Wechselringe und 3 Wechselarmbänder und 6 Wechselringe und 2 Wechselarmbänder und 12 Wechselringe und 1 Wechselarmband. [Anm.: In der Aufgabenstellung ist von verschiedenen Wechselringen und Wechselarmbändern die Rede. Ein Wechselring bzw. ein Wechselband bietet keine Auswahlmöglichkeiten.] Alle fehlerhaften, unvollständigen oder falschen Antworten. Insbesondere, wenn eine der Kombinationen fehlt oder nur die Hälfte der Kombinationsmöglichkeiten angegeben ist. 5

6 ,99 (Grenzfall) 80 Nein UND Aufgabe 2: Kauf eines DVD-Players Richtige Begründung, in welcher darauf verwiesen wird, dass sich der Preisnachlass von 20 % und der Rabatt von 5 % auf unterschiedliche Grundwerte beziehen. [Anm.: Auch das Berechnen des jeweils zu zahlenden Betrages wird akzeptiert. Es können auch gerundete Werte verwendet werden. Die Lösung wird auch akzeptiert, wenn bei den Zwischenergebnissen mit aufgerundeten Werten weitergerechnet wird.] Der Preisnachlass von 20 % bezieht sich auf den Grundwert 99,99. Der Rabatt von 5 % bezieht sich dann jedoch auf einen niedrigeren Grundwert. Erst 20 %, dann 5 %: 0,80 99,99 = 79,99 dann 0,95 79,99 = 75,99 Sogleich 25 %: 0,75 99,99 = 74,99 (Stimmt nicht überein!) Alternative Berechnungsmethoden, z. B. Dreisatz Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten. Ja, man kann die beiden Prozentsätze addieren, da sie sich auf denselben Preis beziehen. (Grenzfall) Nein, denn wenn ich gleich 25 % abziehe, ist dies mehr als wenn ich zunächst nur 20 % und dann 5 % abziehe. [Anm.: Hier wird nicht erläutert, worauf diese Tatsache beruht.] (Grenzfall) Die beiden Grundwerte sind verschieden! 6

7 Aufgabe 3: Nachfolgerzahl Aus der Antwort muss deutlich werden, dass Franks Behauptung anhand der Zahlen 12 und 13 rechnerisch überprüft wird. In diesem Zusammenhang 2 2 muss der Term bzw konkret verwendet werden = = 25 = = = = = = = 25 = Alle anderen Antworten, bei denen nicht alle Schritte der Angaben im einleitenden Text hinreichend berücksichtigt wurden. Es findet kein Vergleich zwischen den Termen Ja und statt. UND angemessene Begründung. Algebraisch: ( n+ 1) n = n + 2 n+ 1 n = 2 n+ 1 = n+ ( n + 1) n ( n 1) = n n + 2 n 1= 2 n 1= n+ n 1 Zeichnerisch: In einer Zeichnung muss die Verallgemeinerung in irgendeiner Form deutlich werden! 7

8 zu 3.2 Iterativ: = 4 1= = = 9 4 = = = 16 9 = = 7 usw. Die Differenz der Quadrate (linke Spalte) sowie auch die Summe der Ausgangszahlen (rechte Spalte) sind jeweils identisch. Paradigmatisch: Wähle z. B. die beiden Zahlen 2 und = = = = = Hierbei wird mit einem konkreten Beispiel operiert, wobei jedoch durch die Termstrukturen die grundlegende allgemeine Struktur erkennbar wird. Daran kann man erkennen, dass dies bei allen weiteren Beispielen ebenso gilt. Alle anderen Antworten, insbesondere solche, bei denen die Behauptung lediglich an weiteren konkreten Beispielen überprüft wird, ein Schluss auf die allgemeine Struktur jedoch unterbleibt = 5 und 3+ 2= 5. Also stimmt es. [Anm.: Bei diesem Beispiel für Code 0 wird im Gegensatz zur paradigmatischen Begründung, wie sie in Code 1 angegeben ist, nicht deutlich, dass die Wahl der konkreten Zahlen 2 und ihres Nachfolgers 3 beliebig ist, und zudem ist die zugrundeliegende allgemeine Termstruktur nicht erkennbar. Stünde bei der Lösung zusätzlich z. B. bei den zwei gewählten Zahlen, so wäre die Lösung als richtig zu kodieren.] 4.1 D 5 = 15 D 6 = 21 Aufgabe 4: Dreieckszahlen 4.2 4tes Kästchen wurde angekreuzt D n = D n-1 + n [Anm.: Akzeptiert werden alle äquivalenten Formeln, auch unter Verwendung anderer (nachvollziehbarer) Bezeichnungen.] D 4 = 4 5 = 10 2 [Anm.: Der unausgerechnete Term ist ebenfalls als richtig anzusehen.] 8

9 n ( n + 1) D n = 2 [Anm.: Akzeptiert werden alle äquivalenten Formeln, auch unter Verwendung anderer (nachvollziehbarer) Bezeichnungen.] Aufgabe 5: Kaum eine Chance 1 6 [Anm.: Akzeptiert werden alle Werte im Intervall [0,16; 0,17] sowie die entsprechenden Prozentangaben.] Kästchen wurde angekreuzt. 6.1 Aufgabe 6: Würfeln mit Quader [Anm.: Statt Zahlen sind auch eine entsprechende Anzahl von Punkten möglich] 9

10 6.2 Die Zahlen müssen so eingetragen werden, dass folgende Bedingungen der Symmetrie und Normierung erfüllt sind: - gegenüberliegende Flächen haben gleiche Werte - die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1 - kleinere Flächen haben kleinere Werte. Augenzahl Wahrscheinlichkeit 24,9 % 8,1 % 17,0 % 17,0 % 8,1 % 24,9 % Augenzahl Wahrscheinlichkeit 25 % 8% 17 % 17 % 8% 25 % Augenzahl Wahrscheinlichkeit [Anm.: Auch die Angabe gröberer Zahlen ist möglich.] 7.1 Nein Ja UND Aufgabe 7: Passende Schuhe richtige Begründung, in welcher nachgewiesen wird, dass der Anteil der Befragten ohne passende Schuhe nicht 80 % beträgt. Dieser Nachweis kann mittels einer Rechnung oder einer verbalen Erklärung erfolgen. [Anm.: Die Antwort Ja wird dann akzeptiert, wenn aus der Begründung deutlich hervorgeht, dass sogar mehr als 80 % der Befragten keine passenden Schuhe tragen.] Ja Es sind sogar mehr als 80 %. ( ) : 200 = 0, % Nein Von den Frauen tragen 80 % Schuhe, die zu groß oder zu klein sind. Von den Männern sind es jedoch 85 %. Somit tragen mehr als 80 % aller Befragten keine passenden Schuhe. Nein Nein, denn es tragen nur 80 % aller Frauen keine passenden Schuhe. Bei den Männern sind es sogar 85 %. 10

11 zu 7.1 (Grenzfall, da der Rückschluss Anteil an Personen ohne passende Schuhe an der Gesamtheit der Befragten fehlt) Nein Frauen: 20 % + 60 % = 80 % Männer: 10 % + 75 % = 85 % (Grenzfall) Nein Nein, es sind sogar mehr als 80% aller Befragten. [Anm.: Hier ist die Begründung knapp.] (Grenzfall) Nein Es sind insgesamt weniger als 20 % mit passenden Schuhen. Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten. Nein Nur bei den Frauen sind es genau 80 %. [Anm.: Hier wird nicht explizit auf die Männer eingegangen. Falls steht:... und bei den Männern mehr, wird es zum Grenzfall für Code 1.] Kästchen wurde angekreuzt ,4 Aufgabe 8: Tee wiegen 8.2 Bei Elvira werden alle Werte markiert. Bei Sheila werden alle Werte außer 66, 67, 83 und 84 markiert. 8.3 wahr falsch Bei allen drei Jugendlichen entspricht jeweils der Median der Füllmengen der Sollmenge von 75 g. Sheila und Mario haben gleich genau abgefüllt, weil ihre Antennen gleich lang sind. Elvira und Mario haben gleich genau abgefüllt, weil ihre Boxen gleich breit sind. Elvira hat sehr genau abgefüllt: Ihre Box ist schmal und die Antennen sind kurz. Die Hälfte von Marios Tüten wiegt 74 g, 75 g, 76 g oder 77 g. 11

12 9.1 Aufgabe 9: Ampelkarte Fett Farbe: rot gesättigte Fettsäure Farbe: rot Zucker Farbe: gelb Salz Farbe: grün Kästchen wurde angekreuzt. Aufgabe 10: Gleichung lösen 11.1 Aufgabe 11: Punkte auf Geraden Es kann eine Rechnung (Punktprobe) durchgeführt oder inhaltliche Überlegungen unter Verwendung des y-achsenabschnitts und der Steigung dargelegt werden. 3 y = x 3 2 Also liegt der Punkt auf der Geraden. Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt ( 0-3 ). Bewegt man sich von diesem Punkt aus gemäß der Steigung schrittweise nach rechts, erreicht man auch den Punkt A ( 4 3 ) = 3 Alle anderen Antworten. Der Punkt A liegt auf der Geraden mit der Gleichung. Ja, denn die Punktprobe stimmt. [Anm.: Nachweis fehlt] 12

13 11.2 Nein UND Begründung Zur Begründung kann rechnerisch eine Geradengleichung mithilfe zweier Punkte bestimmt und damit überprüft werden, ob der dritte Punkt ebenfalls auf dieser Geraden liegt. Alternativ kann die Begründung auch durch ein gedankliches Abschreiten von Punkt zu Punkt im Koordinatensystem und dessen Darlegung oder eine Zeichnung (Skizze ausreichend) erfolgen. für rechnerische Begründungen aus P 1 und P 2 Geradengleichung bilden: y = x + 2 und x-wert von P 3 einsetzen: y = y = - 1,5-2 für zeichnerische Begründungen y 2 1 P 1 P x -2 P 3 [Anm.: Eine Skizze ohne eingezeichnete Gerade ist ebenfalls als richtig zu werten, wenn Nein angekreuzt wurde.] 13

14 zu für Begründungen mit Bezug zu der Schrittfolge im Koordinatensystem: Die Punkte P 1 und P 2 liegen auf einer Geraden. Um von P 1 zu P 2 zu kommen, gehe ich zwei Schritte nach rechts und einen Schritt nach unten. Mit einer entsprechenden Schrittfolge gelange ich dann von P 2 aber nicht zu P 3. Also liegt Punkt P 3 nicht auf dieser Geraden. Geht man von P 1 zu P 2, so geht man zwei Einheiten nach rechts und eine nach unten. Von P 2 zu P 3 geht man drei Einheiten nach rechts, also anderthalb mal so weit wie von P 1 zu P 2. Um von P 2 zu P 3 zu gelangen, müsste man, wenn alle drei Punkte auf derselben Geraden liegen würden, ebenfalls anderthalb mal so weit von P 2 aus nach unten gehen. Man geht aber zwei Einheiten nach unten statt nur anderthalb. Also liegen die drei Punkte nicht auf derselben Geraden. Die Punkte P 1, P 2 und P 3 liegen nicht auf einer Geraden, da die Schrittfolge im Koordinatensystem von Punkt zu Punkt nicht identisch ist. Alle anderen Antworten. Drei Punkte können niemals auf einer Geraden liegen. Die Lageveränderung der Geraden wird richtig beschrieben (Gerade wird parallel verschoben). Dabei muss deutlich werden, dass sich der y-achsenabschnitt ändert. Wenn b verändert wird, wird die ursprüngliche Gerade parallel verschoben. Wird b größer, wird die Gerade in positive Richtung verschoben, wird b kleiner, wird die Gerade in negative Richtung verschoben. Die Gerade wird (parallel) verschoben. Die Gerade wird nach oben oder unten verschoben [Anm.: Beide Richtungen müssen genannt werden, auch die Richtungsangaben links und rechts sind statthaft.] Der y-achsenabschnitt der Geraden ändert sich. Die Steigung nicht. Aufgabe 12: Im Kreis laufen 3. (links unten) Kästchen wurde angekreuzt. 14

15 13.1 Aufgabe 13: Treppenmaße 219 cm + 44cm 63cm 212 cm + 39cm = 63cm 219 cm + 44cm = 82cm 212 cm + 39cm = 63cm 219 cm + 44cm 212 cm + 39cm Alle anderen Antworten. (Grenzfall) Schüler hat Auftritt und Höhe verwechselt, Überprüfung aber richtig durchgeführt und entsprechende Folgerungen gezogen

16 13.3 Ja UND richtige Begründung, in welcher darauf verwiesen wird, dass bei Verkleinerung von h der Summand b größer werden muss, um die Summe 63 zu erhalten Die Summe aus den beiden Summanden 2h und b soll konstant 63 cm bleiben. Verkleinert man h, dann verkleinert sich auch 2h, der Summand b muss dann vergrößert werden. b = 63-2 h: Wenn h kleiner wird, wird die Differenz 63-2h größer. Immer wenn h um 1 cm kleiner wird, muss b um 2 cm größer werden. Wenn beide Maße kleiner werden, dann kann das Ergebnis nicht gleich bleiben. Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten. Wenn h kleiner wird muss b größer werden. [Anm.: Begründung fehlt] Tritthöhe h: 21 cm Auftritt b: 21 cm 16

17 14.1 Aufgabe 14: Akrobatik In der Figur ist mindestens ein rechter Winkel eingezeichnet. [Anm.: Das Markieren des Winkels kann auch so erfolgen, dass die beiden Körperteile, die die Schenkel des Winkels bilden, gefärbt werden.] (Grenzfall) Die Scheitelpunkte der passenden Winkels werden eingekreist. Alle anderen Antworten Es werden nur Winkel außerhalb der von den Personen umschlossenen Figur markiert. Es wird ein richtiger und gleichzeitig ein falscher Winkel eingezeichnet In der Figur ist mindestens ein stumpfer Winkel eingezeichnet. [Anm.: Das Markieren des Winkels kann auch so erfolgen, dass die beiden Körperteile, die die Schenkel des Winkels bilden, gefärbt werden.] (Grenzfall) Die Scheitelpunkte der passenden Winkels werden eingekreist. Alle anderen Antworten. Es werden nur Winkel außerhalb der von den Personen umschlossenen Figur markiert. Es wird ein richtiger und gleichzeitig ein falscher Winkel eingezeichnet. 17

18 14.3 α = 58 β = 139 Messgenauigkeit: ± 2 Alle anderen Antworten. α = 61 oder α = 62 [Anm.: Beide Fehllösungen beruhen nicht auf Messungenauigkeiten, sondern auf Ablesefehlern am Geodreieck.] Kästchen wurde angekreuzt. Aufgabe 15: Aussagen über Dreiecke 15.2 Richtiger Term β = α β = α - 2α [Anm.: Hier wurde zwar nicht zusammengefasst, aber das Bildungsgesetz wurde korrekt erkannt.] Alle anderen Antworten. β = α + 2α β = α - γ [Anm.: Dies ist der allgemeine Term. Hier wird nicht die reine Abhängigkeit von α angegeben.] Aufgabe 16: Körper mit Seitenflächen 18

19 16.2 Richtig sind Lösungen, in denen ein Körper genannt, eindeutig beschrieben oder skizziert wird, dessen Oberfläche aus fünf Flächen besteht. Pyramide mit viereckiger Grundfläche Prisma mit dreieckiger Grundfläche Pyramidenstumpf mit dreieckiger Grundfläche, dabei muss die liegende dreieckige Schnittfläche nicht parallel zur Grundfläche verlaufen [Anm.: Handskizzen gelten als richtig, wenn die Form eindeutig zu erkennen ist.] (Grenzfall) Toblerone(-Packung) Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten. Pyramide (ohne weitere Beschreibung) Prisma (ohne weitere Beschreibung) Lösungen, in denen ein Gegenstand genannt wird, der die entsprechende Form hat oder haben kann, sind falsch. Wie: Zelt, Dach, Kirchturmdach Kästchen wurde angekreuzt. 19

20 17.1 Mittlere Schachtel: 11 Große Schachtel: 23 Aufgabe 17: Schachteln packen Kästchen wurde angekreuzt

21 Aufgabe 18: Lage der Würfel Auf der grauen Seitenfläche fehlt die Augenzahl 1. Auf der grauen Seitenfläche fehlt die Augenzahl 6. Auf der grauen Seitenfläche fehlt die Augenzahl 1 oder 6. UND eine Beschreibung, wie die fehlende Zahl 1 oder 6 ermittelt wurde. Aus der Beschreibung muss hervorgehen, dass - die Augensumme 7 gegenüberliegender Seitenflächen berücksichtigt wurde, - die jeweils aneinander liegenden Seitenflächen die gleiche Beschriftung tragen. Die Ermittlung der Positionen der Zahlen 2 bzw. 5 und 3 bzw. 4 wird korrekt beschrieben. Im letzten Schritt der Beschreibung des Lösungsweges wird festgestellt, dass das Zahlenpaar 6 und 1 noch fehlt. Deswegen kann (oder muss) die graue Fläche mit 1 oder mit 6 beschriftet sein. [Anm.: Statt der Zahl 1 kann auch ein dicker Punkt als Symbol für die Zahl 1 notiert werden oder eine andere Darstellung der Zahl 1. Als weitere Lösung wird auch 6 akzeptiert, da Würfel nicht immer einheitlich beschriftet sind und gegenüberliegende Zahlen (bei Wahrung der Augensumme 7) mitunter vertauscht sind. ] Beim Würfel rechts hinten muss links eine 3 sein, damit muss auch beim Würfel mit der grauen Fläche rechts eine 3 sein. Beim Würfel links vorne muss hinten eine 2 sein, damit muss auch beim Würfel mit der grauen Fläche vorne eine 2 sein. Der Würfel mit der grauen Fläche ist also genauso beschriftet wie der Würfel rechts vorne. Von den gegebenen Augenzahlen kann man die gegenüberliegende Seite ergänzen (immer zu 7). Die Würfel, die aneinander liegen, wo aber nichts gegeben ist, kann ich auch bestimmen, weil sie die gleiche Zahl haben wie der Würfel, der daneben liegt. Die Würfel sind gleich beschriftet, also (vorne rechts ist zwei) und beim hinteren Würfel ist vorne auch zwei, deswegen oben 1. 21

22 (Grenzfall) [Anm.: In dieser Lösung fehlt die Beschreibung des Lösungsweges. Die Zeichnung lässt jedoch erkennen, was gedacht und wie die Lösung 1 korrekt ermittelt wurde.] (Grenzfall) Lösung 1 und Begründung: 1) Ich habe als erstes die Seiten gezählt, die gegenüberliegen. 2) Zum Schluss blieben zwei Zahlen übrig, die ich dann aufgeteilt habe! [Anm.: In dieser Beschreibung wird der Gedankengang nur oberflächlich aber richtig deutlich. Die fehlende Zahl wird richtig bestimmt.] Alle anderen Antworten. Da sich die Spielflächen berühren, sieht man, dass der gesuchte Würfel identisch mit dem rechten vorderen ist. Vorne stehen 5 und 2. Das heißt, dass hinten 2 und 5 stehen müssen. 4 und 3 werden zu 3 und 4. Zwischen 2 und 3 ist 1. [Anm.: Zwar wird die fehlende Augenzahl richtig ermittelt, allerdings ignoriert die Beschreibung des Lösungsweges, dass vollständig aneinander stoßende Seitenflächen die gleiche Beschriftung tragen.] Lösung 1 und Begründung: Weil die 6 innen steht und daher wie beim vorderen Würfel mit 2,3,1 die 6 innen ist und deshalb muss es 1 sein. [Anm.: In dieser Lösung wird nicht deutlich, warum innen (gemeint ist unten ) die Zahl 6 steht. Es fehlt der Hinweis auf selbe Zahlen bei berührenden Flächen.] 22