Messung der longitudinalen Akzeptanz eines Race-Track-Mikrotron am Beispiel der 3. Stufe von MAMI C

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1 Messung der longitudinalen Akzeptanz eines Race-Track-Mikrotron am Beispiel der 3. Stufe von MAMI C Tobias Weber Mario Vormstein 19. November 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitung Grundlagen Gleichspannungsbeschleuniger Linearbeschleuniger Lineare Strahloptik Zyklotron Mikrotron Beschleunigung von Teilchen mit Mikrowellen Matrixformalismus Phasenraumgestalt eines Teilchenstrahls Der Q-Wert Theoretische Phasenraumellipsen Der Versuch Versuchsziel Versuchsaufbau Versuchsdurchführung toweber@students.uni-mainz.de mariovor@students.uni-mainz.de 1

2 3 Auswertung Beobachtungen während des Versuchs Fehlerbetrachtung Optischer Fit der Phasenraumellipsen Fit in Polarkoordinaten Diskussion der Ellipsenform Die Sollphase Fazit 25 A Anhang 26 A.1 Messwerte A.2 Optische Fits A.3 Fit in Polarkoordinaten A.4 Vergleich des optischen und Polarkoordinatents Tabellenverzeichnis 1 Stärke der Resonanz nimmt mit steigender Ordnung ab theoretische Werte Akzeptanzellipse Werte für ɛ aus den optischen Fits Werte für ɛ aus den optischen und Polarts Sollphasen aus den Q-Werten Werte der Sollteilchen Werte für Q=23/90 und V ss = 5mV Werte für Q=23/90 und V ss = 10mV Werte für Q=28/90 und V ss = 5mV Werte für Q=15/90 und V ss = 5mV Werte für Q=15/90 und V ss = 10mV Abbildungsverzeichnis 1 Ladestrom als Funktion der Betriebsspannung Linearbeschleuniger nach Wideröe Multipolentwicklung des Magnetfelds Quadrupol im Längsschnitt Lawrence und Livingstone Die Komponenten von Mami Pill-Box-Resonatoren Resonanzen aufgrund von Feldfehlern von Magneten Die Vernie-Sektion Synchrotronschwingung, nach etwa der Hälfte der Umläufe nimmt die Intensität ab

3 11 MAMI Kontrollraum mit Bedienapparatur Vergleich der Ellipsenform Vergleich der Ellipsenform theoretische Ellipsen. Die Einheiten sind beliebig Polarkoordinatent bei Q=23/90 und V ss = 5mV Polarkoordinatent bei Q=23/90 und V ss = 10mV Polarkoordinatent bei Q=28/90 und V ss = 5mV Polarkoordinatent bei Q=15/90 und V ss = 5mV Polarkoordinatent bei Q=15/90 und V ss = 5mV Vorbereitung 1.1 Grundlagen Um Teilchen zu beschleunigen bietet sich die elektromagnetische Wechselwirkung an. Als stärkste der nicht-kurzreichweitigen Fundamentalkräften ist sie zudem technisch sehr gut kontrollierbar. Die Bewegung eines geladenen Teilchens wird innerhalb elektromagnetischer Felder durch die Lorentzkraft beschrieben. ( F = q v B + E ) (1.1) Hierbei ist q die Ladung des Teilchens, v seine Geschwindigkeit, B das Magnetfeld und E das elektrische Feld. Zur Berechnung des Energiegewinns eines Teilchens in dem EM-Feld bildet man das Integral über den Weg E = q = q r2 r1 r2 r1 ( v B + E ) d r (1.2) Ed r = qu (1.3) Wie man erkennen kann liefert nur das elektrische Feld einen Beitrag zur Erhöhung der Teilchenenergie. Magnetfelder werden verwendet um die Teilchen abzulenken oder zu fokussieren. 1.2 Gleichspannungsbeschleuniger Im einfachsten Fall kann man ein Teilchen in einem von einer Gleichspannung erzeugtes elektrische Feld beschleunigen. Dieses Feld wird von einem Hochspannungsgenerator zwischen zwei Elektroden erzeugt. Dabei fungiert die Teilchenquelle als eine der Elektroden. Dies kann zum Beispiel eine Glühkathode zur Erzeugung Emittierung von Elektronen sein. Die erzeugten Teilchen werden in einem Vakuumrohr durch das elektrische Feld beschleunigt. Durch ein Loch in der zweiten Elektrode treten die Teilchen aus dem 3

4 Abbildung 1: Ladestrom als Funktion der Betriebsspannung Beschleuniger aus und treen nach dem Durchqueren eines feldfreien Driftraumes auf ein Target. Leider kann man die Spannung in einem solchen Aufbau nicht beliebig erhöhen. Es treten dabei drei Eekte auf, die die elektrische Spannung begrenzen: Ionenstrom : Restgas wird ionisiert und beschleunigt. Dieser Eekt tritt früh auf und nimmt schnell ein Maximum an. Ohmscher Widerstand : Da die Isolatoren einen endlichen Widerstand haben, ieÿt immer Strom, der linear zur Spannung steigt. Koronabildung : Ionen und Elektronen werden so stark beschleunigt, dass durch Stöÿe mit Restgasatomen weitere Ionen entstehen. So kann es zu Funkenüberschlägen kommen. Dieser Eekt tritt erst bei hohen Spannungen auf und steigt dann exponentiell zur Spannung an. Daher hat es sich als praktikabler erwiesen Teilchen mit hochfrequenter Wechselspannung zu beschleunigen. 1.3 Linearbeschleuniger Wie bereits im vorherigen Abschnitt erwähnt wird nun statt einer Gleichspannung eine Wechselspannung hoher Frequenz zur Beschleunigung verwendet. Wie in Abb. 2 zu erkennen, sind verschieden langen Röhren, wobei immer jeweils ungeradzahlige und 4

5 geradzahlige gleich gepolt sind. Diese Röhren sind mit einer Hochspannungsquelle verbunden, die eine Sinusspannung mit einer festen Frequenz liefert. Dieser Aufbau wurde 1927 erstmals von Rolf Wideröe realisiert. Während das Teilchen in einer Röhre ist, sieht es kein Feld (Faradayscher Käg) und wird demnach nicht beschleunigt, ist es zwischen zwei Röhren, wird es beschleunigt und gewinnt eine Energie. Nach der n-ten Röhre hat es eine Energie von E n = n q U 0 sinψ s (1.4) mit der Ladung q des Teilchens, der Amplitude der Wechselspannung U 0 und der mittleren Phase Ψ s, die das Teilchen von der Wechselspannung sieht. Da die Teilchen durch den Energiegewinn immer schneller werden, müssen auch die Röhren immer länger werden, denn das Teilchen soll während einer halben Periodendauer der Frequenz nicht vom Feld beeinusst werden, da es sonst gebremst würde. So ergibt sich für die Länge der Röhren: l n = v nt HF 2 = v n = v nλ HF 2ν HF 2c = β n λ HF 2 (1.5) Abbildung 2: Linearbeschleuniger nach Wideröe Betrachtet man zudem die kinetische Energie eines Teilchen nach n Röhren erhält man E kin, n = 1 2 mv2 n (1.6) l n = 1 n q U0 sinψ s ν HF 2m (1.7) Die Länge der Driftröhren steigt also mit n an. Bei dieser Art der Beschleunigung kann man sich zudem den Eekt der Phasenfokussierung ( im Fall vc) zu nutze machen. 5

6 Dazu wählt man zur Beschleunigung eine Phase von Ψ s < π. Das bedeutet, dass die 2 Teilchen an der steigenden Flanke der Spannung beschleunigt werden und somit hinten liegende Teilchen später beschleunigt werden als vorne liegende, was dazu führt, dass sie eine höhere Phase sehen und stärker beschleunigt werden. Das heiÿt, die Teilchen schwingen in der Phase immer um die Position des Idealteilchens, dass in der Mitte des Bunches liegt und immer gleich beschleunigt wird. 1.4 Lineare Strahloptik Um zu verstehen, wie ein Kreisbeschleuniger funktioniert, muss man sich erst ein wenig mit Strahloptik beschäftigen. Wenn ein Teilchen im Magnetfeld abgelenkt wird gilt immer, dass Lorentz- und Zentripetalkraft gleich sind, woraus sich eine Relation für 1 R ergibt: mv 2 R = evb (1.8) 1 R = e B(x) (1.9) B Wenn man nun eine Multipolentwicklung von B(x) durchführt, wie in Abbildung 3 zu sehen, erhält man die verschiedenen Multipolmomente, die den Strahl beeinussen. Hier reicht es allerdings, sich nur mit Di- und Quadrupolmomenten zu beschäftigen, weshalb wir ab sofort nur noch von linearer Strahloptik sprechen. Einen Dipol benutzt man um einen Strahl abzulenken. Ein Quadrupol, dessen schematischer Aufbau in Abbildung 4 zu sehen ist, wird benutzt, um einen Teilchenstrahl zu fokussieren. Das Problem, das sich hier auftut, ist allerdings, dass er, wie man an den roten Pfeilen erkennen kann, die die Lorentzkraft darstellen, in eine Richtung fokussierend und in die andere defokussierend wirkt. Dieses Problem lässt sich dadurch beheben, dass man zwei Quadrupole, die um 90 zueinander verdreht sind, hintereinander anordnet. Auf diese Weise wird zum Beispiel ein Strahl, der auÿen, auf den fokussierenden Quadrupol trit stärker fokussiert, als er später durch den zweiten defokussiert wird, was umgekehrt genauso gilt. Der Abstand der beiden Quadrupole muss dabei kleiner als die Brennweite der Quadrupole sein, damit der Strahl insgesamt fokussiert wird. Dieses Prinzip nennt man starke Fokussierung. 1.5 Zyklotron Da die Driftröhren von LINACs immer gröÿer werden mit steigender Energie ist man dazu übergegangen Kreisbeschleuniger zu benutzen. Ein bekannter Vertreter dieser Art ist das Zyklotron. Der Vorteil ist, dass man Beschleunigungsstrukturen mehrfach verwenden kann.dies spart sowohl Raum als auch Materialkosten. Um die Bewegungsgleichung der Teilchen im homogenen Feld anzugeben, wählen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit ein Koordinatensystem, dessen x-und y- Achse in der Bahnebene liegen. Durch gleichsetzen von Lorentz- und Zentrifugalkraft erhalten wir 6

7 Abbildung 3: Multipolentwicklung des Magnetfelds Abbildung 4: Quadrupol im Längsschnitt ω c = q B (1.10) m Die Frequenz hängt nicht von der Teilchengeschwindigkeit ab. Solange das Teilchen nichtreleativistisch ist, hängt diese nur vom Magnetfeld B ab. Hier zeigt sich auch, dass 7

8 dieser Aufbau nicht für Elektronen gegeignet ist, da diese sehr schnell relativitsiche Energien erreichen. In diesem Fall müsste das Magnetfeld entsprechend angepasst werden. Als Aufbau für ein Zyklotron verwendet man H-förmige Magnete, dessen Spulen von einem konstanten Gleichstrom durchossen werden. Zwischen den Polen dieses Magneten liegt die Vakuumkammer, die auch die zur Beschleunigung erforderlichen D-förmigen Elektroden, so genannte DEEs enthält. Zwischen diesen beiden Hälften wird die Hochfrequenz von einem Sender eingespeist, so dass die Teilchen beim Durchlaufen des Spaltes beschleunigt werden, wodurch sich der Bahnradius vergröÿert. Die Hochfrequenz wird identisch zur Zyklotronfrequenz gewählt, wodurch die Teilchen immer ein beschleunigendes Feld im Spalt sehen. Teilchen laufen mit wachsender Energie in einer Spiralbahn nach auÿen bis sie den Rand des Magneten erreichen. Dort werden sie mittels eines kleinen Magneten oder einer Elektrode abgelenkt. Abbildung 5: Lawrence und Livingstone Mikrotron Das Mikrotron ist ein reiner Elektronenbeschleuniger. Ein solches Mikrotron besteht mindestens aus zwei Ablenkmagneten und mindestens einer Hochfrequenzbeschleunigungsstrecke (in der Regel ein LINAC), in dem Elektronen bei jedem Durchlauf durch die Beschleunigungsstrecke(n) eine konstante Energie zugeführt wird. Aufgrund des konstant gehaltenen Magnetfeldes vergöÿert sich der Ablenkradius bei jedem Durchlauf der Beschleunigungsstrecke. Diese muss einem ganzzahligen Vielfachen der Hochfrequenzwellenlänge entsprechen. Bei MAMI handelt es sich im Speziellen um ein so genanntes Race-Track-Mikrotron. Der Name kommt von der Form der Teilchenbahn, bestehend aus zwei Halbkreisen aufgrund der Umlenkmagnete und zwei geraden Strecken. Auf einem geraden Teil bendet sich die Beschleunigsstrecke mit einem HF-Sender. Der erforderliche Energiegewinn pro Umlauf kann wie folgt berechnet werden: Die für den n-ten Umlauf benötigte Zeit lässt sich schreiben als 8

9 t n = 2(π R n + l) v n (1.11) Hierbei ist l die Länge der Geraden, v n die Geschwindigkeit im n-ten Umlauf und R n der Radius der Halbkreise. Man erhält einen Ausdruck für den Bahnradius über das gleichsetzen von Zentripetal - und Lorentzkraft: R n = v nm n c 2 ec 2 B = v ne n (1.12) ec 2 B So kann man nun die Zeit zwsichen zwei Umläufen bilden und daraus die Energiedifferenz t = t n+1 t n = 2π ec 2 B (E n+1 E n ) = 2π E (1.13) ec 2 B Wie bereits erwähnt muss die Zeitdierenz ein Vielfaches der HF-Periode sein: E = ec2 B 2π t = ec2 B m mit m = 1, 2, 3... (1.14) 2π ν HF Eine Phasenfokussierung wie beim LINAC ist nicht möglich, da die Elektronen alle fast c schnell sind. Dennoch ndet eine longitudinale Fokussierung statt. Elektronen, die eine höhere Energie als das Sollteilchen, durchfahren einen gröÿeren Bahnradius, so das sie eine längere Wegstrecke bis zur Beschleunigsstrecke zurücklegen. Sie kommen dort also später an. Teilchen mit einer kleineren Energie haben entsprechend eine kürzer Wegstrecke und kommen früher an. 9

10 Abbildung 6: Die Komponenten von Mami 10

11 1.7 Beschleunigung von Teilchen mit Mikrowellen Wie zuvor bereits beschrieben, werden zur Beschleunigung von Teilchen auf hohe Energien hochfrequente Wechselspannungen verwendet. Dabei werden Hohlleiterelemente zur Wellenleitung und als Resonatoren verwendet. Zur Beschreibung der Wellenausbreitung in Hohleitern betrachtet man zunächst die zeitunabhängige Wellengleichung Abbildung 7: Pill-Box-Resonatoren wobei k = 2π λ man deniert so dass E( r) + k 2 E( r) = 0 (1.15) die Wellenzahl ist. Für diese gilt die Beziehung k 2 x + k 2 y + k 2 z = k 2 (1.16) k 2 x + k 2 y := k 2 c (1.17) Man kann nun schreiben k z = k 2 c k 2 (1.18) 2 E z z 2 = k z E z (1.19) Diese DGl hat nun die bekannte Lösung E z = E 0 e kzz (1.20) Es ndet also nur eine Wellenleitung statt, wenn k z komplex wird. { komplex, wenn kc 2 < k 2 k z = (1.21) reel, wenn kc 2 k 2 11

12 Damit gilt für die Grenzwellenlänge λ c, ab der eine Wellenleitung stattndet 1 λ = (1.22) 2 λ 2 c λ 2 z Das die Wellenlänge λ z im Hohlleiter im Bereich verlustfreier Wellenausbreitung immer gröÿer ist als die Wellenlänge im freien Raum hat zur Folge, dass die Phasengeschwindigkeit der Hohlleiterwelle gröÿer ist als die Lichtgeschwindigkeit v φ = ωλ z 2π > c (1.23) Dies ist für die Beschleunigung von Teilchen ungünstig, da diese immer wieder eine andere Phase der Welle sehen und im Mittel keine Beschleunigung erfahren. Um dieses Problem zu umgehen, wird die Wellenausbreitung durch Irisblenden gestört. Die Beschleunigung kann dadurch erreicht werden, dass man entweder hinter die Kavität (also dem Resonator) einen Absorber stellt, so dass die Teilchen auf der Welle weiter getragen werden oder indem man die Welle am Ende der Kavität reektieren lässt, so dass sich eine stehende Welle ausbildet. Bei einer stehenden Welle bekommen die Teilchen immer einen Kick von der Welle. Dazu muss die Frequenz der Welle an die erwünschte Energiezunahme der Teilchen angepasst werden. 1.8 Matrixformalismus Arbeitet man in der linearen Näherung kann man den Transport von Teilchen(-Ensembles) durch Transformationsmatrizen beschreiben. Dabei wird das Teilchen oder der Schwerpunkt der Teilchen-Ensembles durch 6 kanonische Koordinaten als Dierenz zum Sollteilchen beschrieben. In der Beschleunigerphysik wird die Notation als Vektor verwendet X = (x, x, y, y, δφ, δt ) T (1.24) Dabei sind x und y die transversalen Lageabweichungen, x' und y' die Winkelabweichung zum Sollstrahl, δφ die Abweichung zur Sollphase und δt die zur Sollenergie. Aufgrund der angenommen Linearität lässt sich das Verhalten der Teilchen bei einem Durchgang eines Systems mit Hilfe einer Transfermatrix T beschreiben. x f = T x i (1.25) Durch geschickte Anordnung der strahlenoptische Systeme entkoppeln die horizontalen (x,x'), die vertikalen (y,y') und die longitudinalen (δφ,δt ) Unterräume. In diesem Fall kann die drei Phasenräume getrennt voneinander betrachten und die Transfermatrizen reduzieren sich auf 2x2 Matrizen. In diesem Versuch beschränken wir uns auf zwei Transfermatrizen B der Beschleunigungssektion und D eines Dipols mit Sektorwinkel α ( ) 1 0 B = (1.26) T tanφ S 1 12

13 ( ) 1 α 2π D α = eβc Bλ 0 1 Damit erhalten wir für das RTM durch Matrixmultiplikation ( ) 1 + 2π n tanφs 2π n M RTM = D 360 B = T RTM T tanφ S 1 (1.27) (1.28) 1.9 Phasenraumgestalt eines Teilchenstrahls Das Teilchen-Ensemble lässt sich als Phasenraumellipse in der Form γx 2 + 2αxy + βy 2 = ɛ (1.29) beschreiben, wobei in Falle dieses Versuches x = δφ und y = δt die Phasenraumkoordinaten sind und α,β und γ die Parameter der Ellipse sind. Die Normierung dieser Parameter ist βγ α 2 = 1 (1.30) Der Parameter ɛ wird Emittanz genannt und multipliziert mit π gibt er die Fläche der Ellipse an. Nach dem Satz von Lioville ist der Phasenraum eine Erhaltungsgröÿe, d.h. die Ellipse wird unter Transformation durch Matrizen ihre Gestalt verändern, die Fläche bleibt jedoch konstant. Die Parameter der Ellipse können in der Form ( ) β α σ = (1.31) α γ geschrieben werden. Damit lässt sich die Veränderung der Parameter bei einem Durchgang durch ein optisches System schreiben als σ f = T σ i T T (1.32) Die Menge aller möglichen Punkte (hier δφ und δt ) die vom Beschleuniger in linearer Näherung akzeptiert werden, bilden die Fläche einer solchen Ellipse, Man bezeichnet solche Ellipsen als Eigenellipsen Der Q-Wert Der Q-Wer gibt an, wie oft ein Teilchen pro Umlauf um das Sollteilchen schwingt. Er gibt damit also den Phasenvorschub pro Umlauf an. Q = Ψ 2π (1.33) Bestimme Q-Werte können dabei zu einem Stabilitätsproblem in realen Beschleunigern, wo Magnete Feldfehler aufweisen, führen. Ist der Q-Wert zum Beispiel eine ganze 13

14 Zahl, so wird der Strahl beim passieren einer Stelle mit einem Feldfehler zum Schwingen angeregt. Beim nächsten Umlauf erreicht er den Feldfehler wieder mit gleicher Phase, was dazu führt, dass die Schwingungsamplitude gröÿer wird. Der Strahl ist also in Resonanz mit Feldstörung, die Amplituden wachsen unbegrenzt, der Strahl wird also verloren gehen. Entsprechende Argumente gelten auch für Feldfehler höherer Ordnung: Dipolfeldfehler Q=n verboten Quadrupolfeldfehler Q = n/2 verboten Sextupolfeldfehler Q = n/3 verboten Oktupolfeldfehler Q = n/4 verboten Tabelle 1: Stärke der Resonanz nimmt mit steigender Ordnung ab Abbildung 8: Resonanzen aufgrund von Feldfehlern von Magneten 14

15 1.11 Theoretische Phasenraumellipsen In einem periodischen System muss für T gelten, dass (ein kleinstes) k existiert mit T k = 1. Eine solche Matrix lässt sich formal schreiben als ( ) cosψ + α sinψ β sinψ T = (1.34) γ sinψ cosψ α sinψ wobei Ψ = 2πQ und die Matrix σ eine Eigenellipse von T, also σ = T σt T. Vergleicht man nun T mit ( ) 1 + 2π n tanφs 2π n M RTM = T RTM T tanφ S 1 Damit erhalten wir (1.35) 2 Der Versuch 2.1 Versuchsziel α = tan(πq) (1.36) 2π β = T RTM sin(2πq) (1.37) γ = T RTM tan(2πq) π (1.38) φ s = arctan cos(2πq) 1 π (1.39) Ziel des Versuchs ist es, die Form der longitudinalen Phasenraumellipse im Einschuss der 3. Stufe der 1508 MeV Mikrotron Kaskade MAMI C zu vermessen. Dazu verändern wir im Zuge des Versuches die Einschussphase und Einschussenergie bei RTM 3 und ordnen die Synchrotronschwingungen gleicher Amplitude einer Phasenraumellipse zu. 2.2 Versuchsaufbau Dieser Versuch wird am MAMI (Mainzer Mikrotron)-Beschleuniger der Universität Mainz durchgeführt. Der MAMI-Beschleuniger ist eine mehrstuge Anlage zur Beschleunigung von Elektronen. MAMI setzt sich dabei zusammen aus einem Vorbeschleuniger (Injektorlinac), drei hintereinander geschalteten Race-Track-Mikrotrons (RTM) und einem Harmonischen Doppelseitigen Mikrotron (HDSM). Wie bereits erwähnt wird der Versuch bei dem dritten RTM durchgeführt. Mit dem Vorbeschleuniger werden die Elektronen auf 3.5 MeV beschleunigt. Damit haben die Elektronen ungefähr Lichtgeschwindigkeit. Die RTMs dienen also der Energiezunahme der Elektronen. In RTM3 nimmt die Energie der Elektronen pro Umlauf um T RTM = 7.5 MeV zu. Nach 90 Umläufen in RTM3 haben sie eine Energie von

16 MeV. Wir verändern nun die Einschussparameter zwischen RTM2 und RTM3. hierzu nutzen wir eine so genannte Vernier-Sektion und einen Phasenschieber. Mit der Vernier- Sektion können wir die Einschussenergie variieren. Dazu haben wir am Bedienpult die Möglichkeit durch einen Drehknopf (INT3SEK1) eine Winkeleinstellung einzustellen, die über T Vernier = T 0 sin(a) (2.1) eine Energieveränderung bewirkt. Dabei ist T 0 der maximale für die Verniersektion mögliche Energiegewinn. Mit den im Skript gegeben Werten lässt sich die nötige HF- Leistung berechnen. Mit L=0.795 m und der Shuntimpedanz R S = 68 MΩ m T 0 = e R s L P HF (2.2) erhalten wir P HF = 2202W (2.3) Der Phasenschieber bewirkt durch das Einschieben bzw. Herausziehen einer Trennwand über einen kleinen Stellmotor die Verkürzung bzw. Verlängerung der Laufstrecke der HF-Welle. Der entsprechende Drehknopf (RTM3PHAS) bzw. die durch diesen herbeigeführte Änderung ist bereits auf die Phasenänderung in Grad kalibriert. Abbildung 9: Die Vernie-Sektion 16

17 2.3 Versuchsdurchführung Während des Versuches bendet sich der Beschleuniger im Diagnosepulsbetrieb. Dabei werden die auf der LINAC-Achse bendlichen HF-Resonatoren zu Schwingungen angeregt. Da die Güte dieser Resonatoren sehr gering ist klingt die Schwingung sehr schnell wieder ab und durch Vergleich mit der HF-Frequenz erhält man einen de modulierten Pulszug, dessen Phasenlage proportional zur Phasenlage (bzw. Intensität oder Lageabweichung, je nach angeregter Mode) ist. Liegt Synchrotronschwingung vor, d.h. bendet man sich die Teilchen nicht auf der Sollbahn, so variiert die Amplitude dieses Signals mit der Periode der Sychrotronschwingung. Diese Verhalten lässt sich nun über die bereits erwähnten Drehknöpfe (INT3SEK1 und RTM3PHAS) steuern. Zunächst haben wir bei einem Q-Wert von 23 gemessen. Um diesen Q-Wert zu bestimmen, zählt man die auftretenden Schwingungen am Oszilloskop und erhält so die Schwingungen pro 90 Umläufe. 90 Da man jedoch später die Abweichungen in Bezug auf das Sollteilchen im Diagramm aufträgt, müssen wir zunächst die Einstellungen für das Sollteilchen bestimmen. Dazu werden Energie - und Phasenänderung solange variiert, bis die Synchrotronschwingungen verschwinden. Von nun an haben wir die Energie der Teilchen geändert und dann jeweils zwei Phasen gesucht, bei der die Schwingungsamplitude V SS = 5 mv (bzw. 10 mv) war. Die so ermittelten Werte haben wir direkt in ein Diagramm eingetragen. Dazu mussten wir die Werte jedoch erst transformieren. Dazu verwenden wir ( δφkorr δt korr ) = ( 1 2π n T RTM ) ( δφ δt ) (2.4) Der Faktor ergibt sich aus der 173 Ablenkung im ersten RTM3-Dipol, einer nachfolgenden Korrektur um weitere 3.5 in gleicher Richtung um den Strahl parallel zur Linac-Achse auszurichten und einer 180 Ablenkung im zweiten RTM3-Dipol. Damit ergibt sich Abbildung 10: Synchrotronschwingung, nach etwa der Hälfte der Umläufe nimmt die Intensität ab 17

18 δφ korr = δφ 2π n δt (2.5) T RTM 360 δt = T s T (2.6) Die Fehler ergeben sich dabei einfach nach Gauss δφ = φ s φ (2.7) δt = T 2 s T 2 (2.8) δφ = φ 2 s φ 2 (2.9) Auf diese Art und Weise konnten wir schnell erkennen, welche Teile der Ellipse wir noch aufnehmen mussten. Wir haben weitere Ellipsen aufgenommen für die Q Werte und Abbildung 11: MAMI Kontrollraum mit Bedienapparatur 18

19 3 Auswertung 3.1 Beobachtungen während des Versuchs Schon während des Versuchs konnte wir einige Beobachtungen machen. Bei einem Q-Wert von 28/90 bzw. 15/90 ging uns das Signal nach etwa der Hälfte der Umläufe im RTM 3 verloren. Hier wurden bei der Messung der Amplitude nur die ersten Synchrotonschwingungen verwendet. Was die genau Messung der Amplitude etwas erschwerte. Ferner konnte bei Q=23/90 und V ss = 10 mv der untere Umkehrpunkt der Akzeptanzellipse nicht bestimmt werden. Auÿerdem begannen die Synchrotonschwingungen bei Q=15/90 zu wandern, wenn die Phase φ oder die Einschussenergie A geändert wurde. Dies hängt vermutlich mit nichtlinearen Eekten zusammen. 3.2 Fehlerbetrachtung Die Fehler haben wir gemäÿ der Gauÿ'schen Fehlerfortpanzung berechnet. Diese verwendet man für voneinander unabhängige fehlerbehaftete Gröÿen. ( ) 2 ( ) 2 y y y = x 1 + x 2 + (3.1) x 1 x 2 Hierbei sind und x 1, x 2 die aufgenommen Messwerte und x 1, x 2 die zugehörigen Fehler. y ist der zusammengesetzte Wert, auf den wir unseren Fehler berechnen möchten. Für den Fehler auf A haben wir jeweils die maximale Ablesegenauigkeit, die einstellbar war, gewählt, da hier A fest gewählt wurde und dann φ so lange variiert wurde bis die gewünschte Amplitude erreicht war. Demnach ist A = 0, 001. Ausnahme bildet nur die Einstellung des Sollteilchens. Hier wurde ein Fehler von 0,1 gewählt.da es meist schwierig war die Amplitude durch verändern von φ auf einen bestimmten Wert einzustellen, wählen wir hier einen gröÿeren Fehler von 0,5. Ferner haben wir immer nur eine ganze Anzahl von Synchrotonschwingungen gezählt. Allerdings ist es durch aus möglich, dass nicht eine ganze Zahl von Schwingung vorlag, daher könnten die verwendeten Q-Werte fehlerhaft sein. Auÿerdem wurde durch nichtlineare Eekte (Wandern der Schwingung) bei Q=15/90 die Bestimmung von Q erschwert. Bei Messungen mit Q-Werten von 28/90 und 15/90 ging das Signal nach einem Teil der Umläufe im Beschleuniger verloren und es konnten nur die ersten Schwingungen bei der Messung der Amplitude berücksichtigt werden. Der Ursprung der Ellipsen liegt nicht unbedingt bei δφ = δt = 0, da die Werte für das Sollteilchen nicht unbedingt exakt bestimmt waren. Auÿer bei Q=28/90 haben wir dies jedoch nicht berücksichtigt und den Ursprung als fehlerfrei angesehen. 19

20 3.3 Optischer Fit der Phasenraumellipsen Zunächst haben wir die theoretischen Werte für α, β und γ aus den Q-Werten bestimmt. Die Werte sind in Tabelle 2 dargestellt. Q α β 1 γ [MeV] MeV 23/90-1,04-0,84-2,47 28/90-1,48-0,9-3,54 15/90-0,58-0,97-1,38 Tabelle 2: theoretische Werte Akzeptanzellipse Nun haben wir mit diesen Werten optisch Ellipsen an die Messwerte angepasst und so die Emittanz bestimmt. Die Plots benden sich im Anhang. Dies wurde teils dadurch erschwert, dass die Messwerte stark um die erwartete Ellipsenform streuten. Ferner waren die Messwerte bei Q=28/90 nicht um den Koordinatenursprung zentriert und mussten daher optisch mit einem Oset versehen werden. Die Werte sind in Tabelle 3 zu sehen. Q Amplitude [mv] ɛ [kev] 23/ / / / / Tabelle 3: Werte für ɛ aus den optischen Fits Auf die Angabe eines Fehlers wurde hier verzichtet. Allerdings ist es leicht ersichtlich, dass diese optische Anpassung mit einem groÿen Fehler verbunden ist. 3.4 Fit in Polarkoordinaten Da der optische Fit der Akzeptanzellipsen natürlich stark fehlerbehaftet ist, haben wir uns dazu entschieden auch einen Fit mit der Methode der Reduzierung des χ 2 durchzuführen. Dabei wurden die Werte von ɛ aus den optischen Fits als Startwerte verwendet. Allerdings ist das Antten einer Ellipse in kartesischen Koordinaten nicht unproblematisch, da der obere und untere Teil der Ellipse getrennt gettet werden muss. Daher haben wir uns für einen Fit in Polarkoordinaten entschieden. Dazu müssen die Messwerte zunächst in Polarkoordinaten umgerechnet werden. Dazu wird die Lage des Nullpunkts als fehlerlos angenommen bzw. für Q=28/90 optisch korrigiert. Dann wird δφ durch r cos(φ) und δt durch r sin(φ) ersetzt. Die Daten MeV werden dann in Polarkoordinaten umgerechnet, wobei gilt: 20

21 r = δφ δφ 2 + δt 2 r = 2 ( δφ) 2 + δt 2 ( δt ) 2 (3.2) (δφ 2 + δt 2 ) 2 ( ) δt δφ Φ = arctan Φ = 2 ( δt ) 2 + δt 2 ( δφ) 2 (3.3) δφ (δφ 2 + δt 2 ) 2 Setzt man diese Polarkoordinatendarstellung in die Ellipsengleichung ein, erhält man: r 2 = ɛ γcos 2 (Φ) + βsin 2 (Φ) + αsin(2φ) (3.4) Nun haben wir r 2 gegen Φ in einem Diagramm aufgetragen und einen Fit durchgeführt. Diese Plots sind im Anhang zu nden. Des weiteren ndet man dort einen Vergleich der Ellipsen aus den optischen Fits und dem Polarkoordinatent. Aus den Fits erhalten wir folgende Werte, die wir in Tabelle 4 mit den Werten der optischen Fits dargestellt haben. Q Amplitude [mv] ɛ opt [kev] ɛ fit [kev] 23/ ,1 ± 0,4 23/ ,5 ± 1,0 28/ ,2 ± 0,3 15/ ,2 ± 0,2 15/ ,3 ± 0,5 Tabelle 4: Werte für ɛ aus den optischen und Polarts Wie man sieht liegen die Werte aus optischem und Polarkoordinatent in derselben Gröÿenordnung, auch wenn sie nicht innerhalb der Fehler übereinstimmen. Ferner sind die Werte für ɛ aus den Polarkoordinatents systematisch kleiner als aus den optischen Fits. Daher entsprechen sie den innen liegenden Ellipsen in den Vergleichsplots (s. Anhang). Entsprechend unserer Erwartung sind die Ellipsen für Amplituden von 10 mv gröÿer als die Ellipsen bei 5 mv. Die Begründung für dieses Verhalten ist, dass bei gröÿeren Amplituden gröÿere Synchrotonschwingungen möglich sind. Ferner ist erkennbar, dass die Emittanz bei Q-Werten von 15/30 und 28/30 etwas kleiner ist als bei Q=23/90. Dies könnte damit zusammenhängen, dass bei kleineren Q-Werten nichtlineare Resonanzen auftreten. Daher konnte auch keine Ellipse für eine Amplitude 10 mv bei Q=28/90 aufgenommen werden. Diese Resonanzen haben sich auch darin widergespiegelt, dass sich beim Verstellen der Phase und Einschussenergie der Q-Wert änderte bzw. die Schwingungen auf dem Oszilloskop anngen sich zu verschieben. Dies würde auch dazu führen, dass sich die Ellipsenparameter bei verschiedenen Einstellungen leicht ändern. 21

22 3.5 Diskussion der Ellipsenform Nun wollen wir die Form der Akzeptanzellipsen für verschiedene Q-Werte diskutieren. Dazu haben wir die optisch getteten Ellipsen der selben Amplitude in ein Diagramm eingetragen(abbildungen 12 und 13) Vergleich der Ellipsenformen bei 5mV Ellipse bei Q=23/90 Ellipse bei Q=28/90 Ellipse bei Q=15/ δt[mev] δφ[rad] Abbildung 12: Vergleich der Ellipsenform Wie man gut erkennen kann, werden die Ellipsen mit steigendem Q-Wert länger und (etwas) schmaler. Ferner drehen sie nach rechts. Um dieses Verhalten besser mit der Theorie vergleichen zu können, haben wir auÿerdem einige Ellipsen mit unterschiedlichen Q-Werten, aber selbem Flächeninhalt geplottet. Dies ist in Abbildung 14 gezeigt. Man gut erkennen, dass die Ellipsen tatsächlich mit steigendem Q-Wert immer länger und schmaler werden. Auch das Verhalten immer weiter nach rechts zu drehen, ist gut erkennbar. 22

23 Vergleich der Ellipsenformen bei 10mV 0.3 Ellipse bei Q=23/90 Ellipse bei Q=15/ δt[mev] δφ[rad] Abbildung 13: Vergleich der Ellipsenform Vergleich von theoretischen Ellipsen Q=0,25 Q=0.33 Q= δt δφ Abbildung 14: theoretische Ellipsen. Die Einheiten sind beliebig 23

24 3.6 Die Sollphase Das Sollphase kann mit Hilfe der Formel ( ) 1 + cos(2πq) φ s = arctan π (3.5) aus dem Q-Wert berechnet werden. Die errechneten Werte sind zusammen mit den experimentellen Werten in Tabelle 5 aufgeführt. Q φ exp [ ] φ theo [ ] Abweichung [ ] 23/90 14,36 ± 0,50-18,23-32,59 ± 0,50 28/90 23,02 ± 0,50-23,63-47,04 ± 0,50 15/90 25,98 ± 0,50-7,99-33,97 ± 0,50 Tabelle 5: Sollphasen aus den Q-Werten Die theoretischen Sollphasen weichen alle von den gemessenen Werten ab. Dies war auch zu erwarten, da die Sollphasen im Vergleich zu einem unbekannten Bezugspunkt angegeben sind. Die berechneten Werte sind jedoch auf die Phase der Beschleunigungsphase am Eingang des LINACS bezogen. Allerdings würde man erwarten, dass da die Abweichungen ungefähr gleich groÿ sind. Dies ist allerdings nur für Q=23/90 und Q=15/90 erfüllt. Die Abweichung bei Q=28/90 ist ungefähr 10 gröÿer. Leider können wir hierfür keine physikalische Begründung angeben. Uns ist jedoch schon vorher aufgefallen, dass die Phasenraumellipse für Q=28/90 nicht im Nullpunkt zentriert ist, sondern ebenfalls um etwa 10 verschoben ist. Daher gehen wir davon aus, dass der Sollphasenwert falsch notiert wurde. Da wir uns jedoch nur für Abweichung zur Sollphase interessieren, ist der tatsächliche Wert der Sollphase für den Versuch nicht weiter relevant. Ferner sind die berechneten Sollphasen alle zwischen -32 und 0. Dies ist auch zu erwarten, wenn man sich die Stabilitätsbedinung für ein RTM anschaut. Zusammen mit der Transfermatrix eines RTMs ergibt sich: Die Sollphasen müssen also zwischen -32 und 0 liegen π tanφ s < 2 (3.6) 2 π < tanφ s < 0 (3.7) 24

25 4 Fazit Es ist uns gelungen die longitudinalen Akzeptanzellipsen des RTM3 zu vermessen. Die von uns bestimmten Ellipsen entsprechen den theoretischen Erwartungen. Mit steigendem Q-Wert werden sie länger und gleichzeitig schmaler. Ferner steigt der Flächeninhalt der Ellipsen mit zunehmender Amplitude der Synchrotonschwingung an. Daher wird der Versuch von uns als Erfolg gewertet. 25

26 A Anhang A.1 Messwerte Im Folgenden sind die von uns aufgenommenen Messwerte zu den unten aufgelisteten Sollteilchen (Tabelle 6) aufgeführt. Q A [ ] T [MeV] φ [ ] 23/90-23,11 0,14 14,36 28/90-7,86 0,05 23,41 15/90-23,02 0,13 25,98 Tabelle 6: Werte der Sollteilchen 26

27 A[ ] A[rad] T[MeV] δt[mev] φ[ ] φ[rad] δφ[rad] δφ kor [rad] δφ kor [ ] δt[mev] δφ [rad] -23,113-0,40 0,14 0, ,18 0,30-0,05-0,049-2,82 0,0006 0,009-23,113-0,40 0,14 0, ,48 0,20 0,05 0,050 2,88 0,0006 0,009-20,592-0,36 0,12 0, ,20 0,18 0,07 0,061 3,49 0,0006 0,009-20,592-0,36 0,12 0, ,49 0,31-0,05-0,066-3,80 0,0006 0,009-18,346-0,32 0,11 0, ,54 0,29-0,04-0,060-3,45 0,0006 0,009-18,346-0,32 0,11 0, ,06 0,19 0,06 0,035 2,03 0,0006 0,009-16,227-0,28 0,10 0, ,50 0,18 0,07 0,035 2,01 0,0006 0,009-16,227-0,28 0,10 0, ,39 0,29-0,04-0,068-3,88 0,0006 0,009-14,055-0,25 0,08 0, ,01 0,28-0,03-0,072-4,10 0,0006 0,009-14,055-0,25 0,08 0, ,97 0,19 0,06 0,016 0,94 0,0006 0,009-12,000-0,21 0,07 0, ,95 0,19 0,06 0,007 0,38 0,0006 0,009-12,000-0,21 0,07 0, ,18 0,26-0,01-0,067-3,85 0,0006 0,009-10,012-0,17 0,06 0, ,30 0,27-0,02-0,079-4,52 0,0006 0,009-10,012-0,17 0,06 0, ,34 0,18 0,07 0,008 0,44 0,0006 0,009-8,024-0,14 0,05 0, ,34 0,18 0,07-0,002-0,13 0,0006 0,009-8,024-0,14 0,05 0, ,45 0,25 0,00-0,074-4,24 0,0006 0,009-26,016-0,45 0,15-0, ,50 0,22 0,03 0,046 2,62 0,0006 0,009-26,016-0,45 0,15-0, ,47 0,32-0,07-0,058-3,35 0,0006 0,009-28,600-0,50 0,17-0, ,04 0,23 0,02 0,048 2,74 0,0006 0,009-28,600-0,50 0,17-0, ,08 0,32-0,06-0,040-2,30 0,0006 0,009-30,453-0,53 0,17-0, ,37 0,34-0,09-0,055-3,13 0,0006 0,009-30,453-0,53 0,17-0, ,58 0,24 0,01 0,046 2,66 0,0006 0,009-32,586-0,57 0,19-0, ,20 0,25 0,00 0,045 2,56 0,0006 0,009-32,586-0,57 0,19-0, ,39 0,32-0,07-0,028-1,63 0,0006 0,009-45,758-0,80 0,25-0, ,44 0,34-0,09 0,004 0,23 0,0006 0,009-45,758-0,80 0,25-0, ,06 0,33-0,08 0,011 0,61 0,0006 0,009-55,561-0,97 0,28-0, ,03 0,31-0,06 0,060 3,42 0,0006 0,009-55,561-0,97 0,28-0, ,86 0,31-0,06 0,063 3,59 0,0006 0,009-50,147-0,88 0,26-0, ,24 0,30-0,05 0,057 3,27 0,0006 0,009-50,147-0,88 0,26-0, ,35 0,36-0,10 0,003 0,16 0,0006 0,009-40,293-0,70 0,22-0, ,70 0,26-0,01 0,067 3,83 0,0006 0,009-40,293-0,70 0,22-0, ,94 0,33-0,08-0,007-0,41 0,0006 0,009-42,331-0,74 0,23-0, ,37 0,34-0,09-0,007-0,40 0,0006 0,009-42,331-0,74 0,23-0, ,58 0,29-0,04 0,042 2,39 0,0006 0,009-44,736-0,78 0,24-0, ,39 0,27-0,02 0,071 4,08 0,0006 0,009-44,736-0,78 0,24-0, ,22 0,34-0,08 0,004 0,25 0,0006 0,009-0,033 0,00 0,00 0, ,33 0,20 0,05-0,059-3,40 0,0006 0,009-0,033 0,00 0,00 0, ,04 0,18 0,08-0,037-2,11 0,0006 0,009-2,075-0,04 0,01 0,1229 8,55 0,15 0,10-0,001-0,03 0,0006 0,009-2,075-0,04 0,01 0, ,64 0,24 0,01-0,089-5,12 0,0006 0,009-4,188-0,07 0,03 0, ,34 0,18 0,07-0,021-1,22 0,0006 0,009-4,188-0,07 0,03 0, ,09 0,25 0,00-0,087-4,97 0,0006 0,009-30,324-0,53 0,17-0, ,30 0,23 0,02 0,051 2,91 0,0006 0,009-30,324-0,53 0,17-0, ,22 0,32-0,07-0,035-2,01 0,0006 0,009-25,032-0,44 0,15-0, ,16 0,32-0,07-0,058-3,30 0,0006 0,009-25,032-0,44 0,15-0, ,62 0,20 0,05 0,057 3,24 0,0006 0,009-27,559-0,48 0,16-0, ,87 0,22 0,03 0,046 2,64 0,0006 0,009-27,559-0,48 0,16-0, ,30 0,32-0,07-0,049-2,79 0,0006 0,009-45,793-0,80 0,25-0, ,83 0,29-0,04 0,050 2,85 0,0006 0,009-45,793-0,80 0,25-0, ,40 0,30-0,05 0,040 2,28 0,0006 0,009 Tabelle 7: Werte für Q=23/90 und V ss = 5mV 27

28 A[ ] A[rad] T[MeV] δt[mev] φ[ ] φ[rad] δφ[rad] δφ kor [rad] δφ kor [ ] δt[mev] δφ [rad] -23,022-0,40 0,13 0, ,86 0,36-0,11-0,109-6,24 0,0006 0,009-23,022-0,40 0,13 0,0000 9,27 0,16 0,09 0,093 5,35 0,0006 0,009-20,344-0,36 0,12 0, ,12 0,37-0,11-0,126-7,21 0,0006 0,009-20,344-0,36 0,12 0,0150 8,59 0,15 0,11 0,093 5,32 0,0006 0,009-18,036-0,31 0,11 0,0281 7,57 0,13 0,12 0,100 5,72 0,0006 0,009-18,036-0,31 0,11 0, ,57 0,36-0,10-0,127-7,28 0,0006 0,009-14,331-0,25 0,09 0,0495 7,16 0,12 0,13 0,089 5,11 0,0006 0,009-14,331-0,25 0,09 0, ,17 0,33-0,08-0,120-6,90 0,0006 0,009-10,195-0,18 0,06 0, ,36 0,32-0,07-0,127-7,25 0,0006 0,009-10,195-0,18 0,06 0,0738 6,85 0,12 0,14 0,074 4,26 0,0006 0,009-4,054-0,07 0,02 0,1105 5,04 0,09 0,17 0,076 4,33 0,0006 0,009-4,054-0,07 0,02 0, ,60 0,29-0,03-0,126-7,23 0,0006 0,009 0,277 0,00 0,00 0,1366 5,45 0,10 0,16 0,047 2,68 0,0006 0,009 0,277 0,00 0,00 0, ,06 0,28-0,03-0,138-7,93 0,0006 0,009 4,689 0,08-0,03 0, ,95 0,28-0,02-0,159-9,08 0,0006 0,009 4,689 0,08-0,03 0,1631 6,00 0,10 0,15 0,015 0,87 0,0006 0,009 8,594 0,15-0,05 0,1865 2,39 0,04 0,21 0,059 3,37 0,0006 0,009 8,594 0,15-0,05 0, ,28 0,27-0,01-0,166-9,52 0,0006 0,009 12,861 0,22-0,08 0, ,40 0,25 0,00-0,172-9,84 0,0006 0,009 12,861 0,22-0,08 0,2117 2,85 0,05 0,21 0,030 1,71 0,0006 0,009 17,954 0,31-0,11 0,2412 0,65 0,01 0,24 0,044 2,50 0,0006 0,009 17,954 0,31-0,11 0,2412 6,89 0,12 0,13-0,065-3,74 0,0006 0,009 14,097 0,25-0,08 0,2189 5,73 0,10 0,16-0,026-1,52 0,0006 0,009 14,097 0,25-0,08 0, ,66 0,24 0,02-0,165-9,45 0,0006 0,009 19,530 0,34-0,12 0,2502 6,56 0,11 0,14-0,067-3,83 0,0006 0,009 19,530 0,34-0,12 0, ,21 0,23 0,02-0,183-10,48 0,0006 0,009-27,711-0,48 0,16-0, ,70 0,43-0,18-0,155-8,87 0,0006 0,009-27,711-0,48 0,16-0,0255 9,48 0,17 0,09 0,111 6,35 0,0006 0,009-30,644-0,53 0,18-0, ,42 0,44-0,19-0,155-8,85 0,0006 0,009-30,644-0,53 0,18-0,0410 9,84 0,17 0,08 0,117 6,73 0,0006 0,009-34,943-0,61 0,20-0, ,57 0,43-0,17-0,122-6,97 0,0006 0,009-34,943-0,61 0,20-0, ,11 0,19 0,06 0,113 6,49 0,0006 0,009-40,236-0,70 0,22-0, ,87 0,42-0,16-0,088-5,07 0,0006 0,009-40,236-0,70 0,22-0, ,32 0,20 0,06 0,131 7,48 0,0006 0,009-45,641-0,80 0,25-0, ,05 0,21 0,04 0,138 7,88 0,0006 0,009-45,641-0,80 0,25-0, ,52 0,41-0,16-0,063-3,59 0,0006 0,009-50,918-0,89 0,27-0, ,01 0,40-0,15-0,036-2,07 0,0006 0,009-50,918-0,89 0,27-0, ,55 0,24 0,02 0,129 7,39 0,0006 0,009-55,795-0,97 0,29-0, ,63 0,26 0,00 0,125 7,14 0,0006 0,009-55,795-0,97 0,29-0, ,45 0,39-0,14-0,012-0,68 0,0006 0,009-60,497-1,06 0,30-0, ,42 0,27-0,01 0,123 7,06 0,0006 0,009-60,497-1,06 0,30-0, ,41 0,41-0,15-0,016-0,93 0,0006 0,009-66,021-1,15 0,32-0, ,79 0,28-0,02 0,129 7,40 0,0006 0,009-66,021-1,15 0,32-0, ,77 0,40-0,14 0,007 0,42 0,0006 0,009-70,669-1,23 0,33-0, ,15 0,30-0,04 0,114 6,53 0,0006 0,009-70,669-1,23 0,33-0, ,07 0,40-0,15 0,011 0,61 0,0006 0,009 Tabelle 8: Werte für Q=23/90 und V ss = 10mV 28

29 A[ ] A[rad] T[MeV] δt[mev] φ[ ] φ[rad] δφ[rad] δφ kor [rad] δφ kor [ ] δt[mev] δφ [rad] -23,023-0,40 0,13-0,088 5,95 0,10 0,30 0,371 21,24 0,0006 0,009-23,023-0,40 0,13-0,088 10,59 0,18 0,22 0,290 16,60 0,0006 0,009-13,346-0,23 0,08-0,032 4,65 0,08 0,32 0,348 19,91 0,0006 0,009-13,346-0,23 0,08-0,032 9,10 0,16 0,24 0,270 15,46 0,0006 0,009-3,051-0,05 0,02 0,029 5,49 0,10 0,31 0,282 16,16 0,0006 0,009-3,051-0,05 0,02 0,029 2,56 0,04 0,36 0,333 19,09 0,0006 0,009-33,837-0,59 0,19-0,145 7,30 0,13 0,27 0,395 22,61 0,0006 0,009-33,837-0,59 0,19-0,145 10,80 0,19 0,21 0,334 19,11 0,0006 0,009-43,883-0,77 0,24-0,192 11,39 0,20 0,20 0,362 20,75 0,0006 0,009-43,883-0,77 0,24-0,192 8,96 0,16 0,25 0,405 23,18 0,0006 0,009-28,692-0,50 0,17-0,118 10,91 0,19 0,21 0,310 17,74 0,0006 0,009-28,692-0,50 0,17-0,118 6,71 0,12 0,28 0,383 21,94 0,0006 0,009-38,447-0,67 0,21-0,167 11,70 0,20 0,20 0,336 19,27 0,0006 0,009-38,447-0,67 0,21-0,167 8,21 0,14 0,26 0,397 22,76 0,0006 0,009-18,341-0,32 0,11-0,061 10,04 0,18 0,23 0,277 15,90 0,0006 0,009-18,321-0,32 0,11-0,061 5,09 0,09 0,31 0,364 20,84 0,0006 0,009-8,596-0,15 0,05-0,004 3,90 0,07 0,33 0,337 19,33 0,0006 0,009-8,596-0,15 0,05-0,004 7,62 0,13 0,27 0,272 15,61 0,0006 0,009 0,149 0,00 0,00 0,048 2,54 0,04 0,36 0,318 18,19 0,0006 0,009 0,149 0,00 0,00 0,048 5,79 0,10 0,30 0,261 14,94 0,0006 0,009-4,515-0,08 0,03 0,020 3,60 0,06 0,34 0,322 18,47 0,0006 0,009-4,515-0,08 0,03 0,020 6,63 0,12 0,29 0,269 15,44 0,0006 0,009-44,312-0,77 0,24-0,194 11,75 0,21 0,20 0,357 20,48 0,0006 0,009-44,312-0,77 0,24-0,194 9,44 0,16 0,24 0,398 22,79 0,0006 0,009-46,478-0,81 0,25-0,203 11,17 0,19 0,21 0,375 21,50 0,0006 0,009-46,478-0,81 0,25-0,203 9,79 0,17 0,23 0,399 22,88 0,0006 0,009-7,300-0,13 0,04 0,003 7,74 0,14 0,27 0,264 15,12 0,0006 0,009-7,300-0,13 0,04 0,003 7,04 0,12 0,28 0,276 15,82 0,0006 0,009-11,476-0,20 0,07-0,021 7,86 0,14 0,26 0,282 16,18 0,0006 0,009-11,476-0,20 0,07-0,021 4,10 0,07 0,33 0,348 19,94 0,0006 0,009-30,662-0,54 0,18-0,129 12,48 0,22 0,18 0,291 16,66 0,0006 0,009-30,662-0,54 0,18-0,129 7,04 0,12 0,28 0,386 22,10 0,0006 0,009 Tabelle 9: Werte für Q=28/90 und V ss = 5mV A[ ] A[rad] T[MeV] δt[mev] φ[ ] φ[rad] δφ[rad] δφ kor [rad] δφ kor [ ] δt[mev] δφ [rad] -23,022-0,40 0,13 0, ,70 0,50-0,05-0,047-2,72 0,0006 0,009-23,022-0,40 0,13 0, ,31 0,41 0,05 0,047 2,67 0,0006 0,009-12,486-0,22 0,07 0, ,57 0,39 0,06 0,009 0,54 0,0006 0,009-12,486-0,22 0,07 0, ,53 0,48-0,03-0,077-4,42 0,0006 0,009-33,774-0,59 0,19-0, ,00 0,44 0,02 0,064 3,68 0,0006 0,009-33,774-0,59 0,19-0, ,86 0,54-0,09-0,038-2,18 0,0006 0,009-38,139-0,67 0,21-0, ,84 0,49-0,03 0,032 1,85 0,0006 0,009-38,139-0,67 0,21-0, ,53 0,48-0,03 0,038 2,16 0,0006 0,009-14,172-0,25 0,08 0, ,82 0,40 0,06 0,013 0,76 0,0006 0,009-14,172-0,25 0,08 0, ,20 0,47-0,02-0,063-3,62 0,0006 0,009-11,527-0,20 0,07 0, ,64 0,43 0,02-0,031-1,80 0,0006 0,009-11,527-0,20 0,07 0, ,30 0,46-0,01-0,060-3,46 0,0006 0,009-16,848-0,29 0,10 0, ,11 0,39 0,07 0,039 2,21 0,0006 0,009-17,848-0,31 0,11 0, ,50 0,50-0,04-0,068-3,91 0,0006 0,009-18,663-0,33 0,11 0, ,19 0,39 0,07 0,046 2,62 0,0006 0,009-18,663-0,33 0,11 0, ,99 0,51-0,05-0,073-4,18 0,0006 0,009-20,598-0,36 0,12 0, ,65 0,52-0,06-0,075-4,31 0,0006 0,009-20,598-0,36 0,12 0, ,24 0,39 0,07 0,054 3,10 0,0006 0,009-26,027-0,45 0,15-0, ,89 0,40 0,05 0,068 3,87 0,0006 0,009-26,027-0,45 0,15-0, ,75 0,52-0,07-0,052-2,99 0,0006 0,009-28,621-0,50 0,17-0, ,85 0,42 0,04 0,062 3,57 0,0006 0,009-28,621-0,50 0,17-0, ,50 0,53-0,08-0,054-3,08 0,0006 0,009-30,266-0,53 0,17-0, ,36 0,43 0,03 0,061 3,47 0,0006 0,009-30,266-0,53 0,17-0, ,92 0,54-0,09-0,054-3,09 0,0006 0,009-35,883-0,63 0,20-0, ,00 0,45 0,00 0,055 3,18 0,0006 0,009-35,883-0,63 0,20-0, ,41 0,44 0,01 0,066 3,77 0,0006 0,009 Tabelle 10: Werte für Q=15/90 und V ss = 5mV 29

30 A[ ] A[rad] T[MeV] δt[mev] φ[ ] φ[rad] δφ[rad] δφ kor [rad] δφ kor [ ] δt[mev] δφ [rad] -23,027-0,40 0,13 0, ,67 0,34 0,11 0,110 6,31 0,0006 0,009-23,027-0,40 0,13 0, ,68 0,61-0,15-0,152-8,70 0,0006 0,009-13,323-0,23 0,08 0, ,06 0,58-0,12-0,170-9,71 0,0006 0,009-13,323-0,23 0,08 0, ,33 0,30 0,15 0,105 6,02 0,0006 0,009-33,961-0,59 0,19-0, ,36 0,65-0,20-0,151-8,63 0,0006 0,009-33,961-0,59 0,19-0, ,51 0,38 0,08 0,126 7,22 0,0006 0,009-43,465-0,76 0,24-0, ,32 0,42 0,03 0,114 6,53 0,0006 0,009-43,465-0,76 0,24-0, ,78 0,59-0,14-0,051-2,93 0,0006 0,009-48,739-0,85 0,26-0, ,86 0,59-0,14-0,034-1,97 0,0006 0,009-48,739-0,85 0,26-0, ,21 0,46 0,00 0,099 5,68 0,0006 0,009-50,496-0,88 0,27-0, ,78 0,59-0,14-0,027-1,56 0,0006 0,009-50,496-0,88 0,27-0, ,49 0,46-0,01 0,100 5,73 0,0006 0,009-54,154-0,95 0,28-0, ,55 0,46-0,01 0,110 6,31 0,0006 0,009-54,154-0,95 0,28-0, ,34 0,49-0,04 0,079 4,52 0,0006 0,009-56,472-0,99 0,29-0, ,10 0,58-0,12 0,002 0,14 0,0006 0,009-56,472-0,99 0,29-0, ,16 0,49-0,04 0,089 5,08 0,0006 0,009-58,597-1,02 0,29-0, ,77 0,50-0,05 0,084 4,79 0,0006 0,009-58,597-1,02 0,29-0, ,45 0,57-0,11 0,019 1,11 0,0006 0,009-20,214-0,35 0,12 0, ,58 0,62-0,17-0,181-10,35 0,0006 0,009-20,214-0,35 0,12 0, ,42 0,34 0,11 0,101 5,81 0,0006 0,009-18,091-0,32 0,11 0, ,58 0,31 0,15 0,124 7,08 0,0006 0,009-18,091-0,32 0,11 0, ,84 0,61-0,15-0,178-10,18 0,0006 0,009-16,073-0,28 0,10 0, ,04 0,59-0,14-0,173-9,93 0,0006 0,009-16,073-0,28 0,10 0, ,13 0,32 0,14 0,104 5,98 0,0006 0,009-14,349-0,25 0,09 0, ,58 0,31 0,15 0,106 6,05 0,0006 0,009-14,346-0,25 0,09 0, ,96 0,59-0,14-0,180-10,33 0,0006 0,009-10,435-0,18 0,06 0, ,17 0,58-0,13-0,186-10,63 0,0006 0,009-10,435-0,18 0,06 0, ,84 0,33 0,12 0,065 3,70 0,0006 0,009 0,249 0,00 0,00 0, ,18 0,49-0,04-0,152-8,68 0,0006 0,009 0,249 0,00 0,00 0, ,62 0,31 0,15 0,033 1,88 0,0006 0,009 4,914 0,09-0,03 0, ,41 0,30 0,15 0,013 0,75 0,0006 0,009 4,914 0,09-0,03 0, ,60 0,45 0,01-0,130-7,44 0,0006 0,009 10,062 0,18-0,06 0, ,71 0,38 0,07-0,087-5,01 0,0006 0,009 10,063 0,18-0,06 0, ,59 0,41 0,04-0,120-6,89 0,0006 0,009 12,977 0,23-0,08 0, ,56 0,32 0,13-0,047-2,68 0,0006 0,009 12,974 0,23-0,08 0, ,20 0,37 0,08-0,093-5,31 0,0006 0,009 Tabelle 11: Werte für Q=15/90 und V ss = 10mV 30

31 A.2 Optische Fits optischer Fit bei Q=23/90 und V=5 mv Messwerte optischer Fit mit ε = 0, MeV δt[mev] δφ[rad] optischer Fit bei Q=23/90 und V=10 mv Messwerte optischer Fit mit ε = 3, MeV δt[mev] δφ[rad] 31

32 optischer Fit bei Q=28/90 und V=5 mv Messwerte mit Offset optischer Fit mit ε = 0, MeV 0.1 δt[mev] δφ[rad] optischer Fit bei Q=15/90 und V=5 mv Messwerte optischer Fit mit ε = 0, MeV δt[mev] δφ[rad] 32

33 optischer Fit bei Q=15/90 und V=10 mv Messwerte optischer Fit mit ε = 2, MeV 0.1 δt[mev] δφ[rad] 33

34 A.3 Fit in Polarkoordinaten Fit in Polarkoordinaten Messwerte bei Q=23/90 r 2 ε = γcos 2 (Φ)+βsin 2 (Φ)+2αsin(2Φ) ε = (8.1 ± 0.4) kev χ 2 red = r Φ Abbildung 15: Polarkoordinatent bei Q=23/90 und V ss = 5mV Fit in Polarkoordinaten Messwerte bei Q=23/90 r 2 ε = γcos 2 (Φ)+βsin 2 (Φ)+2αsin(2Φ) ε = (27.5 ± 1.0) kev χ 2 red = r Φ Abbildung 16: Polarkoordinatent bei Q=23/90 und V ss = 10mV 34

35 Fit in Polarkoordinaten Messwerte bei Q=28/90 r 2 ε = γcos 2 (Φ)+βsin 2 (Φ)+2αsin(2Φ) ε = (5.2 ± 0.3) kev χ 2 red = r Φ Abbildung 17: Polarkoordinatent bei Q=28/90 und V ss = 5mV Fit in Polarkoordinaten Messwerte bei Q=15/90 r 2 ε = γcos 2 (Φ)+βsin 2 (Φ)+2αsin(2Φ) ε = (4.2 ± 0.2) kev χ 2 red = 2 r Φ Abbildung 18: Polarkoordinatent bei Q=15/90 und V ss = 5mV 35

36 Fit in Polarkoordinaten Messwerte bei Q=15/90 r 2 ε = γcos 2 (Φ)+βsin 2 (Φ)+2αsin(2Φ) ε = (23.3 ± 0.5) kev χ 2 red = r Φ Abbildung 19: Polarkoordinatent bei Q=15/90 und V ss = 5mV 36

37 A.4 Vergleich des optischen und Polarkoordinatents Polarkoordinatenfit bei Q=23/90 und V=5 mv Messwerte Vergleich optischer und Polarkoordinatenfit δt[mev] δφ[rad] Polarkoordinatenfit bei Q=23/90 und V=10 mv 0.3 Messwerte Vergleich optischer und Polarkoordinatenfit δt[mev] δφ[rad] 37

38 Polarkoordinaten bei Q=28/90 und V=5 mv Messwerte mit Offset Vergleich optischer und Polarkoordinatenfit 0.1 δt[mev] δφ[rad] Polarkoordinatenfit bei Q=15/90 und V=5 mv Messwerte Vergleich optischer und Polarkoordinatenfit δt[mev] δφ[rad] 38

39 Polarkoordinatenfit bei Q=15/90 und V=10 mv 0.2 Messwerte Vergleich optischer und Polarkoordinatenfit 0.1 δt[mev] δφ[rad] 39