Kreisel. Anfängerpraktikum 12/13. Inhaltsverzeichnis. Simeon Beinlich und Rebekka Garreis Universtität Konstanz.

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1 S.Beinlich & R.Garreis Inhaltsverzeichnis Kreisel Anfängerpraktikum 12/13 Simeon Beinlich und Rebekka Garreis Universtität Konstanz Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Grundlagen Winkelgeschwindigkeit Drehimpuls und Drehmoment Trägheitsmoment, Trägheitstensor und Steiner'scher Satz Trägheitsmoment Trägheitstensor Steiner'scher Satz Kreisel Präzession Nutation Physikalisches Pendel Versuchsaufbau 6 4 Versuchsdurchführung Physikalisches Pendel Präzession des Kreisels Auswertung Trägheitsmoment über Physikalisches Pendel Trägheitsmoment über Präzession des Kreisels Vergleich Fragen und Aufgaben 9 7 Anhang 10 1

2 S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN 1 Einleitung Jeder kennt Kreisel und ihr - auf den ersten Blick wundersames - Verhalten aus der Kindheit, wundert sich über die Kraft aus dem Nichts, die der Gyrotwister R (Abbildung 1) hervorruft, oder hat sich schonmal gefragt, warum man freihändig Fahrradfahren kann. Auÿer für diese schönen Anwendungs- Abbildung 1: Der Gyrotwister, aus [3] möglichkeiten der Kreiselphänomene, ist das Verständnis des Kreisels für eine Vielzahl von anderen physikalischen Phänomenen etwa in der Atomphysik (z.b. um den Kern rotierende Elektronen) von Bedeutung. Zum allgemeinen Verständnis von Rotationen von starren Körpern, und der Eekte Präzession und Nutation, soll dieser Versuch beitragen. 2 Grundlagen Im Zusammenhang mit Drehbewegungen sind Gröÿen wie Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls, Drehmoment und das Trägheitsmoment von elementarer Bedeutung, weshalb hier kurz darauf eingegangen werden soll. Ein Teil des Versuches befasst sich auch mit dem physikalischen Pendel, weshalb dies auch kurz erläutert wird. 2.1 Winkelgeschwindigkeit Dreht sich ein Körper um eine Achse, so ist die Winkelgeschwindigkeit ω deniert als zeitliche Änderung ϕ des Winkels ϕ. Sie ist eine vektorielle Gröÿe (axialer Vektor), steht parallel zur Drehachse und ist innerhalb des rotierenden Systems ortsunabhängig. Zur Bahngeschwindigkeit v, die ein Körper auf dem Radius r besitzt, gilt die Beziehung: 2.2 Drehimpuls und Drehmoment v = ω r (1) Analog zum Impuls p = m v linearer Bewegungen ist der Drehimpuls L in Bezug auf den Ursprung als das Produkt der Masse mit dem Kreuzprodukt aus Ortsvektor r und Bahngeschwindigkeit v deniert: L = m ( r v) = r p (2) Wirkt ein Drehimpuls auf einen freien Körper so rotiert dieser um seinen Schwerpunkt. Anschaulich kann der Drehimpuls als der Schwung, den die Rotationsbewegung besitzt, beschrieben werden. Nach Newton bewirkt eine Kraft F eine Impulsänderung ṗ. Übertragen auf die Drehbewegung wird das der Kraft entsprechende Drehmoment D eingeführt als zeitliche Änderung des Drehimpulses L: D = L = r ṗ = r F (3) 2

3 S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN mit der Kraft F die am Hebel r = konst. angreift. Es gilt genauso wie für den Impuls p der Impulserhaltungssatz (und der Energieerhaltungssatz): Der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems ist erhalten, ändert sich also nicht: D = N i D i = N i L i = L = 0 Aus diesem Grund wird z.b. das Karussell schneller, wenn man sich zur Drehachse hinzieht (wodurch auÿerdem Energie zugeführt wird). Es gilt: L = m ( r p) = m ( r ( ω r) = m r 2 ω (4) 2.3 Trägheitsmoment, Trägheitstensor und Steiner'scher Satz Trägheitsmoment Rotiert kein idealisierter Massenpunkt, sondern ein ausgedehnter Körper um eine raumfeste Achse, ist sein Rotationsverhalten von seiner Masse und deren Verteilung abhängig. Um dies mathematisch auszudrücken wird das Trägheitsmoment mit Formelzeichen Θ eingeführt. Dazu wird der Körper in N Massenelemente mit Index i, mit senkrechtem Abstand r i zur Drehachse und Geschwindigkeit v i eingeteilt. Über das Drehmoment D folgt: D = L = N i L i = N (m i ri 2 ) ω = Θ ω (5) i Wobei Θ deniert ist als: Θ := N (m i ri 2 ) (6) i bzw. nach Übergang zum Volumenintegral nach dm: Θ := r 2 dm (7) V Besteht der Körper einheitlich aus einem Material mit Dichte ϱ so gilt: Θ := ϱ r 2 dv (8) Für Drehimpuls L und Drehmoment D gilt somit: V L = Θ ω (9) D = L = Θ ω (10) Da das Drehmoment nur für die gewählte Achse gilt, aber oftmals beliebige Achsen berücksichtigt werden sollen, wird zudem ein Tensor zweiten Grades in Form einer Matrix eingeführt. 3

4 S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN Trägheitstensor Dieser Trägheitstensor Θ ermöglicht es, das Trägheitsmoment für eine beliebige Achse durch den Schwerpunkt des Körpers zu ermitteln: Θ xx Θ xy Θ xz N yi 2 Θ + z2 i x i y i x i z i := Θ yx Θ yy Θ yz = m i x i y i x 2 i + z2 i y i z i (11) Θ zx Θ zy Θ zz i x i z i y i z i x 2 i + y2 i Θ = e T A Θ e A (12) Wobei e A der Einheitsvektor in Achsenrichtung und x, y, z die Koordinaten der einzelnen Massenteilchen sind. Wählt man als Rotationsachsen die Koordinatenachsen, setzt also e x, e y oder e z für e A ein, bleiben nur die jeweiligen Diagonaleinträge erhalten, sie entsprechen somit dem Trägheitsmoment bei Drehung um die Koordinatenachsen und werden als Trägheitselemente bezeichnet. Sind diese Trägheitselemente genau die Hauptträgheitsmomente des Körpers, so sind die anderen Elemente gleich null. (Jeder Trägheitstensor kann auf diese diagoanlisierte Form gebracht werden.) Ist dies nicht der Fall, die anderen Einträge ungleich null, werden diese als Deviationselemente bezeichnet, welche beschreiben, wie sich der Körper verhält, wenn er nicht um seine Hauptträgheitsachsen rotiert (also die Unwucht, die entsteht). Mithilfe des Trägheitstensors lassen sich nun alle Trägheitsmomente zu beliebigen Achsen durch den Schwerpunkt beschreiben. In Kombination mit dem folgenden Steiner'schen Satz, können auch Trägheitsmomente zu beliebige Achsen, die nicht durch den Schwerpunkt gehen, ermittelt werden: Steiner'scher Satz Nach dem Satz von Jakob Steiner gilt für das Trägheitsmoment Θ B eines Körpers mit Masse m zu einer Achse B, die parallel zu einer Achse A mit bekanntem Trägheitsmoment Θ A steht: Θ B = Θ A + a 2 m (13) Was aus der Denition des Trägheitsmoment hervorgeht durch: Θ B = rbdm 2 = ( r A + a) 2 dm = radm a r A dm +a 2 V V V V } {{ } =0 V 1dm = Θ A + a 2 m (14) Jetzt können also Trägheitsmomente beliebiger Körper für beliebige Achsen berechnet werden. 2.4 Kreisel Ein starrer Körper der um eine freie Achse rotiert, wird Kreisel genannt. Kreisel werden anhand des diagonalisierten Trägheitstensors klassiziert: Sind die Hauptträgheitsmomente alle unterschiedlich nennt man den Kreisel asymmetrisch, sind zwei gleich symmetrisch und wenn alle drei gleich sind kugelsymmetrisch oder sphärisch. Am diagonalisierten Trägheitstensor kenn ebenfalls abgelesen werden, wie stabil ein Kreisel um die Hauptträgheitsachsen rotiert: Er rotiert stabil um die Achsen mit dem gröÿten und dem kleinsten Trägheitsmoment und instabil um die mit dem mittlerem Trägheitsmoment. Im Versuch wird ein als Gyroskop bezeichneter Kreisel verwendet, wie in Abbildung (2) zu sehen. Hierbei 4

5 S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN handelt es sich um eine polar auf einer Stange kugelgelagerten Scheibe, die sich frei um ihre Hauptträgheitsachse drehen kann. Die Stange, an deren entgegengesetzten Ende ein Ausgleichsgewicht justiert werden kann ist kardanisch aufgehängt, also in drei Freiheitsgraden frei drehbar. Siehe Versuchsaufbau(2). Beim Kreisel treten zwei charakteristische Eekte - die Präzession und die Nutation - auf, die kurz beschrieben werden sollen: Präzession Nach Gleichung (10) bewirkt ein an einem um seine Hauptrotationsachse rotierenden Kreisel angreifendes Drehmoment eine Änderung des Drehimpulses. Steht dieses Drehmoment senkrecht zum Drehimpuls und im Winkel α zur Rotationsachse, wird nur die Richtung des Drehimpulses um dϕ p geändert. Für die Änderung des Drehimpulses dl gilt, wenn dl L: für schnell rotierende Kreisel (ω p := dϕp dt dl = L sinα dϕ p (15) ω) gilt: ω p = F r sinα Θ ω sinα = D Θω Sind die Annahmen dl L und ω p ω nicht gegeben, muss die Bewegung über die Eulerschen Gleichungen beschrieben werden, was hier zu weit führen würde. (16) Nutation Rortiert ein Kreisel nicht um seine Figurenachsen, also die Hauptträgheitsachsen mit gröÿtem oder kleinstem Trägheitsmoment, so tritt der Eekt der Nutation auf: Dabei rotiert der Körper um seine Figurenachse und diese wiederum um die des Drehimpulses. Beide Bewegungen überlagern sich gegebenenfalls noch mit der Präzessionsbewegung, wodurch eine sehr komplexe Bewegung entsteht. Um dies bei der Präzessionsmessung im Versuch zu vermeiden, wird der rotierende Kreisel anfangs per Hand mitgeführt, sodass die Nutationsbewegung verhindert wird. Bei einem Kinderkreisel ist die Präzessionsbewegung die, die den Kreisel um so mehr in einem Kreis laufen lässt, je mehr sich dieser zu neigen beginnt, und die Nutationsbewegung die, wenn der Kreisel durch Stöÿe o.ä. leicht zu zittern beginnt. 2.5 Physikalisches Pendel Im Versuch soll das Trägheitsmoment auÿer über die Präzessionsmessung noch über die Messung von Drehschwingungen bestimmt werden, um dann verglichen werden zu können. Dazu wird kurz das physikalische Pendel erläutert. Wirkt auf einen aus seiner Ruhelage ausgelenkten Körper eine rücktreibende Kraft, die ihn zur Ruhelage zurückbeschleunigt, nennt man diese periodische Bewegung eine Schwingung. Im Falle einer Proportionalität zwischen rücktreibender Kraft und Auslenkung eine harmonische Schwingung. Die rücktreibende Kraft kann z.b. durch eine Feder (Federpendel) oder durch Kraftfelder (z.b.fadenpendel) bewirkt werden. Im folgenden Versuch wird die rücktreibende Kraft durch ein am Kreisel magnetisch befestigtes Metallstück mit Masse m erreicht. Es besitzt den Abstand r von der Drehachse. In der Ruhelage hängt das Gewicht senkrecht nach unten und bewirkt somit kein Drehmoment auf die Scheibe des Kreisels, da kein Hebel vorhanden ist. Wird die Scheibe jetzt aber um ϕ ausgelenkt, ist der Hebel h = r sinϕ. Mit der Gewichtskraft F G ergibt sich nach Gleichung (10): D = F h = F r sinϕ = m g r sinϕ (17) 5

6 S.Beinlich & R.Garreis 3 VERSUCHSAUFBAU Für kleine Auslenkungen ϕ < 5 gilt: sinϕ ϕ mit [ϕ] = 1rad und somit D = m g r ϕ (18) Es handelt sich also näherungsweise um eine harmonische Schwingung mit der Bewegungsgleichung: D + k ϕ = 0 }{{} Θ ω = m g r ϕ Θ ϕ = m g r ϕ (19) }{{} =D =:k mit Trägheitsmoment Θ der Scheibe, Zusatzmasse m, der Gravitationskonstanten g und Winkelrichtgröÿe k, welche der Proportionalitätsfaktor zwischen Auslenkung und rücktreibender Kraft ist. Die Lösung dieser Dierentialgleichung lautet: k m g r ϕ(t) = ˆϕ sin(ω p t + c) ω p = Θ = (20) Θ mit Amplitude ˆϕ, Winkelgeschwindigkeit ω p, und Versatz c. 3 Versuchsaufbau Abbildung 2: Versuchsaufbau [1] Eine Scheibe ist auf einer Stange, die durch ihren Schwerpunkt geht, drehbar gelagert, sodass die Scheibe senkrecht zu dieser Stange (Kreiselachse) rotieren kann. Die Kreiselachse ist wiederum auf einer senkrecht auf der Tischplatte befestigten Stange vertikal und horizontal drehbar, also kardanisch gelagert. Am gegenüberliegenden Ende bendet sich ein entlang der Stange verstellbares Gegengewicht, mit dessen Hilfe der Kreisel ins Gleichgewicht gebracht werden kann. Solch eine Vorrichtung wird als Gyroskop bezeichnet Für den ersten Teil des Versuches ist auÿerdem eine höhenverstellbare Stütze vorhanden, sodass die waagrechte Stange xiert ist. Des weiteren kann ein magnetisches Zusatzgewicht an der Schreibe angebracht werden. Für den zweiten Versuchsteil kann die Stütze herunter gestellt werden, sodass sie die Präzessionsbewegung des Kreisels nicht beeinusst wird. Zusätzlich können kleine Gewichte an einem Haken hinter dem Gegengewicht befestigt werden. Der Drehzahlmesser bestimmt die Umdrehungen der Scheibe pro Minute, und mit Hilfe der Stoppuhr kann die Periodendauer der Präzession gemessen werden. 6

7 S.Beinlich & R.Garreis 5 AUSWERTUNG 4 Versuchsdurchführung Wie bereits erwähnt ist der Versuch in zwei Teile geteilt. Beide Male ist das Ziel die Bestimmung des Trägheitsmomentes einer Scheibe. Dies wird einmal mit Hilfe des Modells des physikalischen Pendels und einmal mit Hilfe des Modells der Präzession gemacht. 4.1 Physikalisches Pendel Um das Trägheitsmoment der Scheibe mittels des Phsikalischen Pendels zu bestimmen muss die Kreiselachse horizontal auf der Stütze xiert werden. Dazu wurde die Höhe der Stütze optimal eingestellt und das Gegengewicht so weit nach innen geschoben, dass die Kreiselachse fest auf der Stütze auiegt. Nun wurde das magnetische Zusatzgewicht mit m = 38, 23g ± 0, 05g (Messungenauigkeit ergab sich durch die Schrittweite der Waage) in einem Abstand r = 12, 85cm±0, 5mm (Messungenauigkeit wurde abgeschätzt) zur Drehachse auf der Scheibe befestigt. Das so entstandene Pendel bendet sich genau dann in der Ruhelage, wenn das Zusatzgewicht nach unten 'hängt'. Nun wird das Physikalische Pendel um ca. 10 ausgelenkt. Hierbei ist darf der Winkel nicht zu groÿ sein, da sonst die Näherung von sin(ϕ) ϕ nicht mehr gilt. Auÿerdem ist sonst auch die Rückstellkraft nicht mehr proportional zur Auslenkung. Wird der Winkel allerdings zu klein gewählt ist es auf Grund der zu hohen Dämpfung nicht möglich eine Schwingungsdauer zu messen. Wird die Scheibe nach der Auslenkung losgelassen wird die Periodendauer für fünf Perioden bestimmt. Diese sind dem angehängten Messprotokoll zu entnehmen. Über die Periodendauer kann nun das Trägheitsmoment der Scheibe bestimmt werden, wobei das Trägheitsmoment des Zusatzgewichtes mitberücksichtigt werden muss. 4.2 Präzession des Kreisels Nun wird das magnetische Zusatzgewicht entfernt und die Stütze herunter gefahren. Das Gegengewicht muss nun so verschoben werden, dass die Kreiselachse in der waagrechten im Gleichgewicht ist. Nun werden nacheinander verschiedene Zusatzgewichte im Abstand x = 28, 5cm ± 0, 5mm (Messungenauigkeit wurde abgeschäzt)zur vertikalen Drehachse befestigt. Mit Hilfe einer Schnur wird die Scheibe zu einer Rotationsbewegung gebracht. Lässt man das Zusatzgewicht langsam los, um eine Nutation zu vermeiden, so ergibt sich eine Präzession. Mit dem Drehzahlmessgerät werden die Umdrehungen pro Minte der Scheibe und mit der Stoppuhr die Periodendauer der Präzession für mehrer Durchläufe bestimmt. Die Messwerte sind ebenfalls im Messprotokoll vermerkt, wobei die Messungenauigkeiten abgeschäzt wurden. 5 Auswertung 5.1 Trägheitsmoment über Physikalisches Pendel Mithilfe der im ersten Versuchsteil bestimmten Periodendauer für fünf Perioden lässt sich die Periodendauer T berechnen. (Tabelle (1)) T 1 /s T 2 /s T 3 /s T /s 4, 332 ± 0, 1 4, 334 ± 0, 1 4, 32 ± 0, ± 0, 004 Tabelle 1: Periodendauer des Physikalischen Pendels 7

8 S.Beinlich & R.Garreis 5 AUSWERTUNG m / g Messung 1 Messung 2 Messung 3 Θ pr /kg m ω s /s ± ± ± ω p /s ± ± ± ± ω s /s ± ± ± ω p /s ± ± ± ± 0, ω s /s ± ± ± ω p /s ± ± ± ± Tabelle 2: Trägheitsmoment über Präzession Nun kann mit Hilfe der Formeln ω = 2π T, Θ = m g r (vgl. Gleichung (20)) und der Hinzunahme des ω 2 Steiner'schen Satzes das Trägheitsmoment Θ pp des Physikalischen Pendels berechnet werden. Θ pp = m g r T 2 4 π 2 m r 2 = kg m 2 ± kg m 2 (21) Die Fehlerrechnung wurde mit Hilfe von GUM Workbench Edu durchgeführt und ein Protokoll dazu bendet sich im Anhang. 5.2 Trägheitsmoment über Präzession des Kreisels Verwendet man die Umrechnung ω p = 2ϖ T, f = RP M 60 und ω s = 2ϕf ergibt sich Tabelle 2. Hierbei ist ω s die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe, ω p die der Präzession und Θ pr = m g r ω s ω p das Trägheitsmoment der Scheibe bei der Präzession. Für Θ folg dann: Θ pr = kgm 2 ± Für die Fehlerrechnung wurden hierbei folgende Formeln aus [2] verwendet: ω p = ω p T T, ω s = (f) 2π, Θ pr = 1 n n Θ i Des weiteren wurde GUM Workbench Edu verwendet. Das Protokoll dieser Fehlerrechnung bendet sich im Anhang. 5.3 Vergleich Betrachtet man die beiden über das Physikalische Pendel und der Präzession errechneten Trägheitsmomente für die Scheibe, so fällt auf, dass im Rahmen der Messungenauigkeit gilt Θ pp = Θ pr. Es ist jedoch zu bedenken, dass die Messungenauigkeiten von 0.8% und 10% eine enorme Abweichung zulassen. Die groÿe Messunsicherheit des zweiten Wertes ist auf die Ungenauigkeit der Messung der Umdrehungen pro Minute der Scheibe zurück zu führen. Im ersten Versuchsteil konnte zwar der Radius relativ genau bestimmt werden, allerdings ergaben sich bei der Messung des Gewichtes Probleme, da das Massenstück magnetisch ist und dadurch die Genauigkeit der Waage beeinusst. Des weiteren wurde die Zeitmessung per Hand durchgeführt. Für die Reaktionszeit haben wir einen statistischen Fehler i=1 8

9 S.Beinlich & R.Garreis 6 FRAGEN UND AUFGABEN von 1s geschätzt. Weitere Ungenauigkeitsquellen sind die Näherung für kleine Winkel, die bereits in der Bewegungsgleichung eines Physikalischen Pendels verwendet wird, und die Vernachlässigung der Reibung. Während die erste Ungenauigkeit durchaus klein genug ist um vernachlässigt werden zu können, ist die Dämpfung der Schwingung auf Grund der Reibung sehr stark sichtbar gewesen und dürfte für ein besseres Ergebnis nicht vernachlässigt werden. Im zweiten Versuchsteil ist die gröÿte Messunsicherheit beim bestimmen der Umdrehungen pro Minute der Scheibe entstanden, da das Messgerät in einem rechten Winkel zur Scheibe gehalten werden musste, was sich als durchaus kompliziert herausstellte. Auch hier wurde die Reibung vernachlässigt, was die Ergebnisse ebenfalls, wenn auch nicht in so groÿem Maÿe wie beim Physikalischen Pendel, verfälschte. Zusammenfassend kann man dennoch sagen, dass das Trägheitsmoment genau genug bestimmt wurde, da über zwei verschiedene Wege mit verschiedenen Daten und Bedingungen zwei im Rahmen der Messungenauigkeit gleiche Ergebnisse herausgekommen sind. 6 Fragen und Aufgaben (1) Erläutern Sie die Zusammenhänge zwischen den Grundgröÿen einer Drehbewegung und vergleichen Sie mit den entsprechenden Zusammenhängen bei linearen Bewegungen. Die entsprechenden Äquivalenzen kann man sich anhand einer Tabelle gut verdeutlichen: Auslenkung l Auslenkung ϕ Geschwindigkeit l = v Winkelgeschwindigkeit ϕ = ω Masse m Trägheitsmoment Θ Impuls p = m v Drehimpuls L = Θ ω Kraft F = p Drehmoment D = L k k Winkelgeschw. physik. Pendel : m Θ auÿerdem Energie 1 2 m v2 1 2 Θω2 Die Zusammenhänge zwischen diesen Grundgräÿen werden im Grundlagenteil (2) erläutert. (2) Wie steuert man ein Fahrrad beim Freihändigfahren? Die Räder eines Fahrrades verhalten sich wie der im Versuch betrachtete Kreisel: Kippt der Fahrradfahrer die vertikale Achse des Rades nach rechts, so verursachte er durch das - senkrecht zur Drehachse des Rades - wirkende Drehmoment eine Änderung der Richtung des Drehimpulses derart, dass sich die Drehimpulsachse in der Horizontalen mit dem Uhrzeigersinn dreht, das Vorderrad also nach rechts gelenkt wird. Kippt er das Rad nach links, lenkt das Vorderrad entsprechend nach links. Bringt er das Fahrrad wieder in seine Ausgangsausrichtung zurück, dreht sich das Rad wieder gerade. Somit kann der Fahrer - mit etwas Übung - durch kleine Kippund Aufrichtbewegungen jeweils seine Richtung nach belieben verändern. 9

10 S.Beinlich & R.Garreis Tabellenverzeichnis 7 Anhang Literatur [1] Runge, Bernd-Uwe: Kreisel. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am [2] Runge, Bernd-Uwe: Messunsicherheiten. Anleitung zur Berechnung der Messunsicherheit. Entnommen am [3] B0007MVWL2_3.jpg entnommen am [4] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik1 Auage Abbildungsverzeichnis 1 Gyrotwister Versuchsaufbau [1] Tabellenverzeichnis 1 Periodendauer des Physikalischen Pendels Trägheitsmoment über Präzession

11 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment beim Physikalischen Pendel Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment beim Physikalischen Pendel Modellgleichung: Θ=(m*g*r*T^2)/(4*(π)^2) - m*r^2 Liste der Größen: Größe Einheit Definition Θ kg*m 2 Trägheitsmoment m kg Masse des Zusatzgewichtes g m / s 2 Erdbeschleunigung r m Abstand zur Drehachse T s Periodendauer π m: Typ B Rechteckverteilung Wert: kg Halbbreite der Grenzen: kg Hier wurde eine Rechteckverteilung gewählt, da die Messungenauigkeit auf der Schrittweite der Waage basiert. g: Konstante Wert: 9.81 m / s 2 r: Typ B Normalverteilung Wert: m Erweiterte Messunsicherheit: m Erweiterungsfaktor: 1 T: Typ A Methode der Beobachtung: Direkt Anzahl der Beobachtungen: 3 Nr. Beobachtung s s s Arithmetischer Mittelwert: s Standardabweichung der Einzelbeobachtung: s Standardabweichung des Mittelwerts: s π: Konstante Wert: Datum: Datei: Physikalisches Pendel.smu Seite 1 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version

12 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment beim Physikalischen Pendel Messunsicherheits-Budgets: Θ: Trägheitsmoment Verteilung Größe Wert Std.-Messunsicherheit Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag Index m kg kg Rechteck kg*m % g 9.81 m / s 2 r m m Normal kg*m % T s s Normal kg*m % π Θ kg*m kg*m 2 Ergebnisse: Größe Wert Erw.-Messunsicherheit Erweiterungsfaktor Überdeckungswahrscheinlichkeit Θ kg*m kg*m % (Normal) Datum: Datei: Physikalisches Pendel.smu Seite 2 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version

13 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession Modellgleichung: Θ = m 1 *g*x / (ω s * ω p ) Liste der Größen: Größe Einheit Definition Θ kg*m 2 Trägheitsmoment m 1 kg Masse 1 g m/s 2 Erdbeschleunigung x m Abstand zur vertikalen Drehachse ω s s -1 Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ω p s -1 Winkelgeschwindigkeit der Präzession m 1 : Konstante Wert: 0.2 kg Da genormte Massestücke verwendet wurden, gehen wir von einer nichtvorhandenen Messunsicherheit aus. g: Konstante Wert: 9.81 m/s 2 x: Typ B Normalverteilung Wert: m Erweiterte Messunsicherheit: m Erweiterungsfaktor: 1 ω s : Typ A Methode der Beobachtung: Direkt Anzahl der Beobachtungen: 3 Nr. Beobachtung s s s -1 Arithmetischer Mittelwert: s -1 Standardabweichung der Einzelbeobachtung: s -1 Standardabweichung des Mittelwerts: s -1 Die Abweichung der hier errechneten Messunsicherheit und der von den Startwerten über Fehlerfortpflanzung hergeleiteten Messunsicherheiten lässt sich durch die Fehleinschätzung der ersten geschätzten Unsicherheit erklären. Datum: Datei: m200.smu Seite 1 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version

14 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession ω p : Typ A Methode der Beobachtung: Direkt Anzahl der Beobachtungen: 3 Nr. Beobachtung s s s -1 Arithmetischer Mittelwert: s -1 Standardabweichung der Einzelbeobachtung: 3.4 s -1 Standardabweichung des Mittelwerts: 1.96 s -1 Messunsicherheits-Budgets: Θ: Trägheitsmoment m kg g 9.81 m/s 2 Verteilung Größe Wert Std.-Messunsicherheit Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag Index x m m Normal kg*m % ω s s s -1 Normal kg*m % ω p s s -1 Normal kg*m % Θ kg*m kg*m 2 Ergebnisse: Größe Wert Erw.-Messunsicherheit Erweiterungsfaktor Überdeckungswahrscheinlichkeit Θ kg*m kg*m % (Normal) Datum: Datei: m200.smu Seite 2 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version

15 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession Modellgleichung: Θ = m 2 *g*x / (ω s * ω p ) Liste der Größen: Größe Einheit Definition Θ kg*m 2 Trägheitsmoment m 2 kg Masse 2 g m/s 2 Erdbeschleunigung x m Abstand zur vertikalen Drehachse ω s s -1 Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ω p s -1 Winkelgeschwindigkeit der Präzession m 2 : Konstante Wert: 0.1 kg Da genormte Massestücke verwendet wurden, gehen wir von einer nichtvorhandenen Messunsicherheit aus. g: Konstante Wert: 9.81 m/s 2 x: Typ B Normalverteilung Wert: m Erweiterte Messunsicherheit: m Erweiterungsfaktor: 1 ω s : Typ A Methode der Beobachtung: Direkt Anzahl der Beobachtungen: 3 Nr. Beobachtung s s s -1 Arithmetischer Mittelwert: s -1 Standardabweichung der Einzelbeobachtung: s -1 Standardabweichung des Mittelwerts: s -1 Die Abweichung der hier errechneten Messunsicherheit und der von den Startwerten über Fehlerfortpflanzung hergeleiteten Messunsicherheiten lässt sich durch die Fehleinschätzung der ersten geschätzten Unsicherheit erklären. Datum: Datei: m100.smu Seite 1 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version

16 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession ω p : Typ A Methode der Beobachtung: Direkt Anzahl der Beobachtungen: 3 Nr. Beobachtung s s s -1 Arithmetischer Mittelwert: s -1 Standardabweichung der Einzelbeobachtung: 7.3 s -1 Standardabweichung des Mittelwerts: 4.20 s -1 Messunsicherheits-Budgets: Θ: Trägheitsmoment m kg g 9.81 m/s 2 Verteilung Größe Wert Std.-Messunsicherheit Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag Index x m m Normal kg*m % ω s s s -1 Normal ungültig! kg*m % ω p s s -1 Normal ungültig! kg*m % Θ kg*m kg*m 2 Ergebnisse: Größe Wert Erw.-Messunsicherheit Erweiterungsfaktor Überdeckungswahrscheinlichkeit Θ kg*m kg*m % (Normal) Datum: Datei: m100.smu Seite 2 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version

17 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession Modellgleichung: Θ = m 3 *g*x / (ω s * ω p ) Liste der Größen: Größe Einheit Definition Θ kg*m 2 Trägheitsmoment m 3 kg Masse 3 g m/s 2 Erdbeschleunigung x m Abstand zur vertikalen Drehachse ω s s -1 Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ω p s -1 Winkelgeschwindigkeit der Präzession m 3 : Konstante Wert: 0.05 kg Da genormte Massestücke verwendet wurden, gehen wir von einer nichtvorhandenen Messunsicherheit aus. g: Konstante Wert: 9.81 m/s 2 x: Typ B Normalverteilung Wert: m Erweiterte Messunsicherheit: m Erweiterungsfaktor: 1 ω s : Typ A Methode der Beobachtung: Direkt Anzahl der Beobachtungen: 3 Nr. Beobachtung s s s -1 Arithmetischer Mittelwert: s -1 Standardabweichung der Einzelbeobachtung: s -1 Standardabweichung des Mittelwerts: s -1 Die Abweichung der hier errechneten Messunsicherheit und der von den Startwerten über Fehlerfortpflanzung hergeleiteten Messunsicherheiten lässt sich durch die Fehleinschätzung der ersten geschätzten Unsicherheit erklären. Datum: Datei: m50.smu Seite 1 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version

18 Fehlerrechnung vom Trägheitsmoment der Präzession ω p : Typ A Methode der Beobachtung: Direkt Anzahl der Beobachtungen: 3 Nr. Beobachtung s s s -1 Arithmetischer Mittelwert: s -1 Standardabweichung der Einzelbeobachtung: 11 s -1 Standardabweichung des Mittelwerts: 6.09 s -1 Messunsicherheits-Budgets: Θ: Trägheitsmoment m kg g 9.81 m/s 2 Verteilung Größe Wert Std.-Messunsicherheit Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag Index x m m Normal kg*m % ω s s s -1 Normal ungültig! kg*m % ω p s s -1 Normal ungültig! kg*m % Θ kg*m kg*m 2 Ergebnisse: Größe Wert Erw.-Messunsicherheit Erweiterungsfaktor Überdeckungswahrscheinlichkeit Θ kg*m kg*m % (Normal) Datum: Datei: m50.smu Seite 2 von 2 Generiert mit GUM Workbench Edu Version