RATIONALE HOMOTOPIETHEORIE UND GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN

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1 RATIONALE HOMOTOPIETHEORIE UND GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN BERNHARD HANKE, HARTMUT WEISS Im Gegensatz zu ihrer leicht zugänglichen Definition sind die Homotopiegruppen eines topologischen Raums sehr schwer zu berechnen. Sieht man jedoch von Torsion ab, so bietet sich ein völlig anderes Bild. Dies ist das Thema der rationalen Homotopietheorie, die in fundamentalen Arbeiten von Quillen und Sullivan begründet wurde. In erster Näherung beschreibt diese Theorie eine übersichtliche und effektive Methode, die rationalen Homotopiegruppen π (X) Q eines einfach zusammenhängenden Raumes X zu bestimmen. Rationale Homotopietheorie leistet aber noch viel mehr: Sie etabliert eine Äquivalenz der rationalen Homotopiekategorie mit der Homotopiekategorie graduiert kommutativer Differentialalgebren über Q. Damit erfüllt sich ein Traum des algebraischen Topologen: Wir haben ein eineindeutiges algebraisches Bild einer topologisch definierten Kategorie. Mehrere grundlegende Fragen, Beobachtungen und Ideen fließen in dieser Beschreibung zusammen: Ein wichtiger Schritt in der Entwicklung der Homologietheorie ist bekanntlich die Konstruktion des singulären Kettenkomplexes eines topologischen Raumes. Kann man diesem Kettenkomplex außer der Homologie noch weitere homotopietheoretische Informationen über den gegebenen Raum entnehmen? Quillen verdanken wir die Einsicht, dass man Homotopietheorie direkt auf dem Niveau der Kettenkomplexe betreiben kann. Dies vereinfacht unser Problem aber erst dann, wenn wir zeigen können, dass zu jedem Kettenkomplex ein besonders einfaches Modell in der gleichen Homotopieklasse existiert. Die Existenz eines solchen minimalen Modells kann man tatsächlich zeigen, falls man mit Kettenkomplexen arbeitet, die zusätzlich mit einem graduiert-kommutativen Produkt ausgestattet sind, sogenannten graduiertkommutative Differentialalgebren. Es stellt sich heraus, dass dieses minimale Modell bis auf Isomorphie nur vom Homotopietyp des gegeben Kettenkomplexes abhängt und daher eine ernstzunehmende Invariante dieses Homotopietyps manifestiert. Es existiert nun auf der Kohomologie jedes Raumes ein graduiert-kommutatives Produkt, das Cup-Produkt. Dieses kommutiert aber auf dem Kokettenniveau nur bis auf Homotopie und - schlimmer noch - diese Situation kann nicht verbessert werden, wie die Konstruktion stabiler Kohomologieoperationen (z.b. der Steenrod-Quadrate) zeigt. Denken wir aber an den Differentialformenkalkül auf glatten Mannigfaltigkeiten, so haben wir einen Kokettenkomplex vor uns, der ebenfalls die Kohomologie 1

2 2 BERNHARD HANKE, HARTMUT WEISS berechnet und dessen Produkt bereits auf dem Kokettenniveau graduiert kommutativ ist: Dies ist für das Wedge-Produkt von Differentialformen eine Trivialität. Dies widerspricht nicht dem vorher Gesagten, weil dieser Kokettenkomplex über R definiert ist und alle stabilen Kohomologieoperationen auf Kohomologie mit R-Koeffizienten (ebenso wie mit Q-Koeffizienten) trivial sind. Aber welche Homotopieinformation ist in diesem Kokettenkomplex über R noch enthalten? Grob gesprochen ist es die gesamte Homotopieinformation des zugrundeliegendes Raumes tensoriert mit R. Hier betritt Sullivan die Bühne mit zwei genialen Ideen. Erstens kann diese Lokalisierung topologischer Räume in echte Mathematik gegossen werden. Insbesondere existiert zu jedem Raum X eine sogenannte Rationalisierung X X Q die die rationale Homotopieinformation von X auf eine wohldefinierte Weise erfasst. Zum Beispiel induziert obige Abbildung einen Isomorphismus π (X) Q = π (X Q ), falls X einfach zusammenhängend ist. Die zweite Idee manifestiert sich der Konstruktion eines rationalen Kokettenkomplexes für X, der bereits auf dem Kokettenniveau mit einem graduiert kommutativen Produkt ausgestattet ist und der kettenhomotopieäquivalent zum singulären Kokettenkomplex mit rationalen Koeffizienten ist. Die Konstruktion dieser Sullivan-deRham- Algebra ist direkt von der Konstruktion des Komplexes der Differentialformen auf einer glatten Mannigfaltigkeit inspiriert, aber formalisiert diese Konstruktion derart, dass sie auf jeden Raum anwendbar ist. Damit ergibt sich ein sehr befriedigendes Bild: Zu jedem einfach zusammenhängenden (oder allgemeiner nilpotenten) Raum X existiert eine graduiert kommutative rationale Differentialalgebra, deren minimales Modell bis auf Isomorphie nur vom rationalen Homotopietyp von X (d.h. vom Homotopietyp von X Q ) abhängt und die den Homotopietyp von X Q vollständig beschreibt. Die enge Anlehnung an den Kalkül der Differentialformen ebnet den Weg für interessante Anwendungen in der Differentialgeometrie, in der symplektischen sowie in der komplexen Geometrie. In diesem Seminar wollen wir die Grundlagen der rationalen Homotopietheorie erarbeiten und einige ihrer Anwendungen studieren. Der Einfachheit halber konzentrieren wir uns weitgehend auf den einfach zusammenhängenden Fall. Grundlage für den ersten Teil des Seminars ist das Buch P. Griffiths, J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms, Birkhäuser, Erwähnen möchten wir auch folgende neuere Monographie, die allerdings in unserem Seminar nur ergänzende Funktion haben wird: Y. Félix, S. Halperin, J.-C. Thomas, Rational homotopy theory, Springer, 2001.

3 RATIONALE HOMOTOPIETHEORIE UND GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN 3 Das Studium der rationalen Homotopietheorie erfordert einige homotopietheoretische Grundkenntnisse, die wir nicht vollständig und detailliert im Seminar behandeln können. Diese umfassen etwa die Kapitel I bis VI des Buches von Griffiths und Morgan. Bei der Diskussion der Anwendungen wollen wir die folgenden Schwerpunkte setzen: (1) Existenz von symplektischen Mannigfaltigkeiten, die keine Kähler- Struktur tragen ( Thurston-Weinstein Problem ) (2) Existenz unendlich vieler geschlossener Geodätischer auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit endlicher Fundamentalgruppe ad (1): Der Ausgangspunkt dieses Themenbereichs ist folgendes grundlegendes Resultat von [DGMS]: Kompakte Kähler Mannigfaltigkeiten sind formal. Die Formalität einer C -Mannigfaltigkeit M besagt, daß ihr reeller Homotopietyp bereits in der reellen Kohomologiealgebra H (M; R) kodiert ist. Der reelle Homotopietyp von M ist dabei definiert als das reelle minimale Modell von M, d.h. das minimale Modell der Algebra der C - Formen auf M. Genauer gesagt heißt nun M formal, falls das reelle minimale Modell von M quasi-isomorph zu H (M; R) ist. Im Hinblick auf die Eingangsfragestellung können wir also Formalität als notwendige Bedingung für die Existenz einer Kähler-Struktur festhalten. Das historisch erste Beispiel für eine symplektische Mannigfaltigkeit ohne Kähler-Struktur ist wohl die sogenannte Thurston-Kodaira Mannigfaltigkeit, vergl. [OT], [BT1]. Diese ist in der Tat nicht formal. Die Nicht-Existenz einer Kähler-Struktur folgt hier allerdings direkt aus den kohomologischen Eigenschaften von Kähler- Mannigfaltigkeiten. Die Konstruktion einfach zusammenhängender nichtformaler symplektischer Mannigfaltigkeiten wird in [BT1] und [BT2] beschrieben. ad (2): Ist die Fundamentalgruppe einer kompakten Mannigfaltigkeit M hinreichend groß (genauer: besitzt π 1 M bis auf Potenzen unendlich viele Konjugationsklassen), so existieren für jede Riemannsche Metrik auf M unendlich viele geometrisch verschiedene geschlossene Geodätische (zwei Geodätische heißen geometrisch verschieden, falls sie nicht das gleiche Bild in M haben). Diese erhält man bekanntlich als die jeweils kürzesten Kurven in einer freien Homotopieklasse. Hier interessieren wir uns für den Fall endlicher Fundamentalgruppe und wollen folgendes Resultat von [SV] besprechen: Sei M kompakt und π 1 M endlich. Benötigt der reelle Kohomologiering von M mindestens 2 Erzeuger, so existieren für jede Riemannsche Metrik auf M unendlich viele geometrisch verschiedene geschlossene Geodätische. Dieses Ergebnis beruht wesentlich auf einem geometrischen Resultat von [GrM1]:

4 4 BERNHARD HANKE, HARTMUT WEISS Sei M kompakt und einfach zusammenhängend. Dann existieren für jede Riemannsche Metrik auf M unendlich viele geometrisch verschiedene geschlossene Geodätische, falls die Betti-Zahlen des freien Schleifenraums von M unbeschränkt sind. Der Beweis benutzt keine rationale Homotopietheorie, sondern geometrische Methoden, und kann daher unabhängig vom übrigen Seminarprogramm studiert werden. Mit den Methoden der rationalen Homotopietheorie kann nun die Voraussetzung in [GrM1], die ja eine Bedingung an die rationale Kohomologie des Schleifenraums ist, auf eine Bedingung an den reellen Kohomologiering der Mannigfaltigkeit selbst reduziert werden. Wir besprechen das folgende Resultat von [SV], welches zusammen mit [GrM1] das Hauptergebnis impliziert: Sei M kompakt und einfach zusammenhängend. Die Betti-Zahlen des freien Schleifenraums von M sind unbeschränkt genau dann, wenn der reelle Kohomologiering mindestens 2 Erzeuger benötigt. Vortragsplanung 1 Wiederholung einiger Grundlagen: Whitehead- und Hurewicztheoreme, Faserungen und Leray-Serre Spektralsequenz, Obstruktionstheorie, Klassifikation von K(π, n)-faserungen. 2 Konstruktion der Postnikov-Zerlegung eines CW-Komplexes ([GM], Seiten 78-82). 3+4 Rationalisierung von Räumen, Konstruktion mittels Postnikov- Zerlegungen ([GM], 82-93). 5 Konstruktion der Sullivan-de-Rham-Algebra, PL-deRham Theorem und dessen Funktorialität ([GM], oben). Kurzer Vergleich mit glatten Differentialformen ([GM], oben). 6 Graduierte Differentialalgebren, das Problem der kommutativen Koketten und dessen Lösung durch die Sullivan-deRham Algebra, minimale Modelle ([GM], mit einem Rückgriff auf , Problem der kommutativen Koketten etwas ausführlicher als in [GM] mit Verweis auf die Existenz nichttrivialer stabiler Kohomologieoperationen über Z/2 (siehe [Br])). 7 Klassifikation von Hirsch-Erweiterungen, Konstruktion minimaler Modelle ([GM], ). 8+9 Homotopietheorie von DGAs, Eindeutigkeit des minimalen Modells, Problem der Funktorialität ([GM], ) Hauptsatz über minimale Modelle und rationalen Homotopietyp([GM], mit kurzer Diskussion des Hirsch-Lemmas [GM], ). 12 Erste Beispiele: Sphären und projektive Räume, Whiteheadprodukte und quadratischer Anteil des Differentials ([GM], ), Formalität, geometrische Formalität und symmetrische Räume ([GM],

5 RATIONALE HOMOTOPIETHEORIE UND GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN 5 158), Kähler-Mannigfaltigkeiten und deren Formalität (Formulierung des Satzes von Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan) 13 Beweis des Satzes von Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan: Es soll der Beweis nach [DGMS], vergl. auch [OT], besprochen werden. Im wesentlichen folgt der Satz aus gewissen Standard-Identitäten für Kähler-Mannigfaltigkeiten, an diese sollte kurz erinnert werden. Beispiel: Thurston-Kodaira Mannigfaltigkeit, vergl. [OT], [BT1]. Konstruktion einfach zusammenhängender, nicht-formaler symplektischer Mannigfaltigkeiten, vergl. [BT1] und [BT2]. 14 Existenz geschlossener Geodätischer I: In diesem Vortrag soll die Arbeit [GrM1] besprochen werden. Der Vortrag ist insofern unabhängig vom restliche Seminarprogramm, als keine Methoden aus der rationalen Homotopietheorie eingehen. Studiert wird das Energiefunktional auf dem freien Schleifenraum. Kritische Punkte entsprechen bekanntlich den geschlossenen Geodätischer. Die Gruppe O(2) operiert durch Reparametrisierung auf dem freien Schleifenraum, so dass kritische Punkte in O(2)-Bahnen auftreten. In der gegebenen Situation sind kritische Bahnen zwar isoliert, aber im allgemeinen degeneriert im Sinne der Morse-Theorie. Daher muss auf Ergebnisse in [GrM2], die die Morse-Theorie von Funktionen mit degenerierten kritischen Punkten betreffen, zurückgegriffen werden. Diese sollten im Vortrag kurz beschrieben werden. 15 Existenz geschlossener Geodätischer II: In diesem Vortrag soll die Arbeit [SV] besprochen werden. Der Schwerpunkt sollte hier auf der Diskussion des Teils der Aussage liegen, der für das Problem der Existenz geschlossener Geodätischer relevant ist: Falls der reelle Kohomologiering von M mindestens zwei Erzeuger benötigt, dann sind die Betti-Zahlen des freien Schleifenraums unbeschränkt. Ein wesentlicher Aspekt ist die Konstruktion des minimalen Modells des freien Schleifenraums von M aus dem minimalen Modell von M selbst. 16 Ausblick: Modellkategorien Literatur [Br] G.E. Bredon, Topology and geometry, Springer GTM 139, [BT1] I.K. Babenko, I. Taimanov, On the formality problem for symplectic manifolds, Contemp. Math. 288, Amer. Math. Soc., [BT2] I.K. Babenko, I. Taimanov, On nonformal simply connected manifolds, Siberian Math. J. 41, [DGMS] P. Deligne, P.A. Griffiths, J.W. Morgan, D. Sullivan, Real homotopy theory of Kähler manifolds, Inventiones Math. 29, [FHG] Y. Félix, S. Halperin, J.-C. Thomas, Rational homotopy theory, Springer GTM 205, [GM] P.A. Griffiths, J.W. Morgan, Rational Homotopy theory and differential forms, Birkhäuser Progress in Math. 16, [GrM1] D. Gromoll, W. Meyer, Periodic geodesics on compact Riemannian manifolds, J. Differential Geom. 3, 1969.

6 6 BERNHARD HANKE, HARTMUT WEISS [GrM2] [OT] [SV] D. Gromoll, W. Meyer, On differentiable functions with isolated critical points, Topology 8, J. Oprea, A. Tralle, Symplectic manifolds with no Kähler structure, Springer LNM 1661, D. Sullivan, M. Vigué-Poirrier, The homology theory of the closed geodesic problem, J. Differential Geom. 11, 1976.