BEMERKUNGEN ZUR BERECHNUNG DER SCHWANKUNGSRI3CKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG

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1 BEMERKUNGEN ZUR BERECHNUNG DER SCHWANKUNGSRI3CKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG EMMI HOFMEISTER Mtinchen In dem vorliegendei1 Artikel werden verschiedene Berechnungso methoden diskutiert. Mit Hilfe mathematischer Tests werden die den Niiherungsverfahren zugrundeliegenden Annahmen fiberprfift. Ausserdem ergibt ein Vergleich der Ergebnisse nach den verschiedenen Methoden einen ~berblick bezfiglich der Grenzen, in denen die Schwankungsrfickstellung liegen sollte. Die exakte Berechnung der benstigten Reserve ist nach den Methoden der kollektiven und auch der individuellen Risikotheorie nur msglich fiber die Verteilungsfunktion des Gesamtschadens. Wegen der auftretenden Faltungspotenzen der Verteilungsfunktion der SchadenshShe sind diese Formeln sehr kompliziert. Man ist daher gezwungen bei praktischen Berechnungen yon N~iherungsformeln auszugehen. Die einzelnen Verfahren unterscheiden sich wesentlich in den fiber die Schadensverteilung gemachten Annahmen. Es wird entweder die Verteilungsfunktion unmittelbar aus den Beobachtulxgsergebnissen hergeleitet oder yon bekannten Verteilungsgesetzen, wie z.b. dem Poisson-Gesetz, ausgegangen. I. APPROXIMATION DER SCHADENSVERTEILUNG MITTELS EINER PEARSON-KURVE Man geht yon j ~hrlichen Schadensquotienten (= Gesamtschaden: Versicherungssumme) in einem l~ingeren Beobachtungszeitraum aus und approximiert deren Htiufigkeitskurve durch eine Pearson- Kurve. Aus dieser n~iherungsweise berechneten Dichte ergibt sich dann durch Integration bis zu welcher HShe bei vorgegebener Sicherheitswahrscheinlichkeit der j~ihrliche Gesamtschaden ansteigen kann. Wenn die berechnete Dichte mit /(x) bezeichnet

2 280 SCHWANKUNGSROCKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG wird und die Sicherheit I-I0 -s betragen sou, wird ein Schadensquotient r (s) gesucht, ffir den gilt,(,) S[(x)dx< 1--1o o Die H6he der Schwankungsrfickstellung ergibt sich dutch Multiplikation der Abweichung vom Mittelwert b omit der gesamten Versicherungssumme V SRI = (r (s)- bo). V Diese Methode hat den Vorteil, class die Beobaehtungsergebnisse der betreffenden Versieherung genauestens beriieksichtigt werden. Sie kann aueh bei Sachversicherungszweigen mit grossen Schwankungen im j/ihrliehen Gesamtschaden angewendet werden. Das geschilderte Verfahren wurde erstmals bei Lange [4] *) erw/ihnt und teilweise durehgefiihrt. Es ist in der Arbeit yon Campagne [2] ausftihrlieh dargelegt. Die Werte r (s) ftir s = 2 und s = 3 wurden darin fiir verschiedene GeseUsehaften angegeben. Es sei mit ~p die beobachtete inittlere quadratische Abweichung der Schadensquotienten bezeichnet. Dann gibt C#= r (s) -- bo die Relation der zu erwartenden Schwankungen zu crp an. Campagne kommt bei seinen Berechnungen zu folgenden Ergebnissen C#~3 ap fiir s=2, -s. Cp,~ 4,5 fiir s = 3. Das statistische Material stammt aus den Jahren 1916 bis Die GeseUschaften hatten Riickversicherungsvertr~ge abgeschlossen. C# bezieht sich daher auf den Selbstbehalt. Aus den Resultaten yon Lange ergeben sich ftir Cp um ca. 40 ~o h6here Werte. Dieser Unterschied dtirfte auf die wesentlich gr6bere Berechnungsmethode und auf die andere Bauweise in dem frfihen Beobachtungszeitraum (ab 1883) zurfickzuftihren sein. Bei Untersuchungen an umfang- *) Die in eckigen Klammern angefiihrten Zahlen beziehen sich auf das Literaturverzeichnis.

3 - - abgeleitet. SCHWANKUNGSRUCKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG 28I reichem neuerem Material der Bayerischen Landesbrandversicherungsanstalt aus den Jahren I93O/3I bis 1954/55 ergab sich Cp = 3,35 fiir s = 2, Cp = 4,94 fiir s = 3- Dabei ist zu beachten, dass kein Riickversicherungsvertrag vorlag, was fast immer eine Erh6hung der Werte Cp zur Folge haben wird. Ein weiteres Verfahren zur Ermittlung von/ (x) wird bei K. Anft [i] angegeben. Aus den Ergebnissen fiir C~ kann abgelesen werden, dass bei der Verteilung der Schadensquotienten gr6ssere Schwankungen auftreten als bei einer normal verteilten Variablen. Die entsprechenden Gr6ssen sind Cg = 2,3 fiir s = 2, Cg = 3,I fiir s=3. II. VERWENDUNG BEKANNTER VERTEILUNGSGESETZE a) Methode yon Campagne Campagne, de Jongh und Smit haben in ihrer Arbeit ausser der bereits erwiihnten Methode noch ein 2. Verfahren zur Berechnung der Schwankungsrfickstellung angegeben, clas yon dem Poisson- Gesetz ausgeht. Bei diesem Verfahren wurden Gruppen ungefahr gleichen Risikos gebildet und die Schwankungsriickstellung ftir den Gesamtbestand aus den Schwankungsrtickstellungen ftir die verschiedenen Gruppen zusammengesetzt. Die Auswirkung cler Abh~ngigkeit der einzelnen versicherten Objekte wird dutch einen Eorrekturfaktor in die Berechnung miteinbezogen. Campagne hat zuerst die exakte Formel fiir die Verteilungsfunktion W (X) des Gesalntschadens P bezogen auf eine Risikogruppe Um fiir die praktische Anwendung eine Formel ohne Faltungspotenzen zu erhalten, ging Campagne einerseits yon einem durchschnittlich versicherten Kapital aus und ersetzte andererseits die Anzahl der TeilschAden durch eine entsprechend kleinere Anzahl von Totalsch~iden lmit insgesamt der gleichen Schadensh~he. Mit diesen Vereinfachungen ergibt sich fiir W (X) eine Poisson-Verteilung mit dem Parametter 37p, der gleich dem Erwartungswert

4 282 SCHWANKUNGSRUCKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG des Schadens ist. Bei vorgegebener Sicherheit ~ 1/isst sich dann fiber die Poisson-Verteilung eine maximal zu erwartende Anzahl yon Totalsch/iden errechnen. Die Schwankungsrfickstellung ergibt sich durch Multiplikationen mit dern durchschnittlich versicherten Kapital ~. Um zu einer kontinuierlichen und leicht berechenbaren Verteilung zu gelangen, wurde die Poisson-Verteilung durch eine Gauss-Verteilung mit gleichem Erwartungswert, gleicher Streuung und Korrekturglied fiir die Schiefe approximiert. Ffir die Schwankungsrtickstellung fiir eine Risikogruppe erh/ilt man somit bei vorgegebenem = i- io-s wobei /V = Anzahl der Objekte in der Risikogruppe = Wahrscheinlichkeit ftir den Eintritt eines Totalschadens pro Objekt im Jahr (s) = 0,65; ~ (s) = 2,326 fiir s = 2 0t (s) = 1,2o; ~ (s) = 3,090 fiir s = 3- Um die Auswirkungen der Vereinfachungen aufzuheben, hat Campagne Faktoren ermittelt, mit denen fir zu multiplizieren ist. Die Abweichung des Produktes aller Korrekturfaktoren von I hiingt wesentlich yon dem vorliegenden Rfickversicherungsvertrag ab. Die SchwankungsrticksteUung ffir den gesamten Versicherungsbestand wird mit Hilfe yon Korrelationskoeffizienten, die die Abhiingigkeit der Risikogruppen angeben und gleich o oder I silld, berechnet. SR II -~- ~p.~ vg~ ~R v. S-R~, wobei ffrv = Reserve ffir die ~-te Risikogruppe ~,~ = Korrelationskoeffizienten. Diese Formel wurde yon Campag~e bei mehreren GeseUschaften angewendet und fiihrte, auch ohne Korrekturfaktoren, zu guten Ergebnissen. Sie stimmten ungef/ihr mit den Resultaten nach der unter I angegebenen Methode fiber die PearsomVerteilung iiberein.

5 SCHWANKUNGSRUCKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG 283 Dies bedeutet eine nachtriigliche Rechtfertigung der gemachten Annahmen und best~tigt die Allwendbarkeit des Poisson-Gesetzes bei Gruppen gleichen Risikos. Man wird sich nun daffir illteressieren, ob es m~gl.ich ist, die Formel fir auf den Gesamtbestand anzuwenden und auf die Einteflung in Gruppen gleichen Risikos zu verzichten. In diesem Zusammenhang ist in erster Linie zu kliiren, ob das Poisson-Gesetz dann noch gilt. Diese FragesteUung ist auch deshalb von Wichtigkeit, weft in der kollektiven Risikotheorie fast immer von einer Poisson-Verteilung ffir die insgesamt auftretenden Schadensf~Ue ausgegangen wird. Nur in einzelnen Arbeitell werdell Verallgemeinerungen, die eine Abh~ingigkeit der Elemellte berficksichtigen, angesetzt. R. Lang kam ill seillem Artikel [3] zu dem Resultat, dass das Poisson-Gesetz bei dem Beobachtungsmaterial eines Lebellsversicherungsunternehmells galt. Bei der Bralld ersicherung liegen jedoch, wie aus den Faktorell Cp zu schliessell ist, andere Verh~ltnisse vor. Auf Grund des statistischen Materials der Bayerischen Landesbrandversicherungsanstalt aus den Jahren I935/36 bis I954/55 (ohne Rfickversicherungsvertrag) wurde ein z2-test fiber die Gfiltigkeit des Poisson-Gesetzes durchgeffihrt. F fir die Schadensh~iufigkeit ergibt sich als bester Schiitzwert nach dem Maximum- Likelihood-Verfahren der Mittelwert der Beobachtungsergebnisse. Ffir die folgende, willkfirliche Klasseneinteilung silld die beobachtetell und berechneten theoretischen Hiiufigkeitell aufgeffihrt. Anzahl H~ufigkeiten Klasse der Schadensf~lle *) beob. nach Poisson I o o, , IO,6O , : 3 0, ,00 Wie bereits aus dieser Zusammenstellung ersichtlich, ist die Schwankungsbreite bei den beobachteten Werten viel gr6sser. FOr X ~ mit 3 Freiheitsgraden (wegen des Sch~itzwertes) ergibt sich ein *) Umgerechnet in Totalsch~iden.

6 284 SCHWANKUNGSRUCKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG Wert weit tiber der Sicherheitsschranke, auch bei geringer Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Hypothese- Gtiltigkeit der Poisson-Verteilung --ist also zu verwerfen. Daraus folgt, dass die Unterteilung in Gruppen gleichen Risikos notwendig ist. Leider stand mir kein ausreichendes Beobachtungsmaterial zur Verffigung, um die Gfiltigkeit in diesem Fall tiberprfifen zu ksnilen. Nach den praktischen Erfahrungen von Campagne scheint dies j edoch richtig zu sein. b) Methode yon Tosberg Tosberg geht in seinem Artikel tiber die Schwankungsriickstellung [6] von der Annahme aus, dass innerhalb einer Gruppe von Objekten gleichen Risikos ftir die Anzahl der auftretenden Schadensfiille das sog.,,bernoullische Theorem" gilt. Eine Integraltransformation ergibt, dass dies gleichbedeutend ist mit der Behauptung, dass die Anzahl der Schadensf/ille normal verteilt ist. Tosberg machte nun die weitere Annahme, dass dutch geeignete Wahl des Zeich, nungsmaximums und des Selbstbehalts das gesamte Versicherungsgesch~ift so gleichmiissig gestaltet werden kann, dass das Bernoullische Theorem auf delx Gesamtbestand anwendbar ist. Die Schwankungen beim Gesamtschaden werden dann errechnet durch Multiplikation der anzahlmiissigen Schwankungen mit der durchschnittlichen SchadenshShe S pro Schadensfall. Es werden also Schwankungen in der SchadenshShe nicht befiicksichtigt. Um mit den iibrigen Resultaten vergleichen zu ksnnen, ist hier, abweichend von Tosberg, der mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit fast gleich I rechnet, wieder yon, = i- io -s ausgegangen worden. Ftir die Schwankungsriickstellung ergibt sich mit dem bekannten ~ (s) die Formel wobei N : SR III = Anzahl der Objekte ~ (s). ~/Npo'S P0 = Wahrscheinlichkeit fiir das Eintreten eines Schadensfalles pro Objekt, ev. Teilschaden (= Feuerausbruchswahrscheinlichkeit). Die Wurzel ~/z- P0 liegt sehr nahe bei I und wurde deshalb vernachl~ssigt. Es ist zu beachten, dass vonder Feuerausbruchswahrscheinlich-

7 SCHWANKUNGSRUCKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG 285 keit ausgegangen wird. Erst Ausbruchswahrscheinlichkeit und Ausbreitungswahrscheinlichkeit (innerhalb des Objekts) ergeben zusammen die in anderen Arbeiten verwendete Schadenswahrscheinlichkeit p (= Nettopr'~.mie ffir versichertes Kapital I), deren Verteilung bereits besprochen wurde und sicher nicht normal ist. Es gilt P0 >--P. Das Gleichheitszeichen ist richtig, wenn tatsachlich nut Totalschiiden auftreten. Im folgenden soll einerseits die Verteilung der Schadensausbruchswahrscheinlichkeit und andererseits die Brauchbarkeit der Formel SR III untersucht werden. In ~lteren Arbeiten ist darauf hingewiesen, dass verschiedene Untersuchungen die Gfiltigkeit der Gauss-Verteilung bestatigt hiitten. Auf ~hnliche Weise wie bei der Poisson-Verteilung wurde der x2-test herangezogen. Das Beobachtungsmaterial stammte wiederum yon der Bayerischen Landesbrandversicherungsanstalt und zwar aus den Jahren 1949/5o mit 1958/59. Fiir X ~ mit 6 Freiheitsgraden ergab sich bei der gew~hlten Klasseneinteilung der Welt 2,96, bei anderen Einteilungen sogar noch niedrigere Werte. Die Hypothese -- Gfiltigkeit der Gauss-Verteilung -- ist also nicht zu verwerfen. Daraus folgt abet noch nicht die Anwendbarkeit yon SRIII; denn in die Berechnung gehen ja nut die Schwankungen einer ann~ihernd normal verteilten Gr6sse ein, nicht jedoch Schwankungen yon dem Ausmass, wie sie bei der Schadenswahrscheinlichkeit festgestellt wurden. Die Abweichungen vom Mittelwert treten also, wie aus dem Ergebnis dieses Tests folgt, bei der Ausbreitungswahrscheinlichkeit auf (siehe auch RiebeseU [5]). Um zu fiberprfifen, zu welchen Rfickstellungen die Formel yon Tosberg ffihrt, kann man sie mit der Formel fir fiir eine Risikogruppe nach Campagne vergleichen. Wenn man die~e auf den Gesamtbestand anwendet und beachtet, dass P0 >-- P, erh~lt man die Absch~tzung SR III< S-R. Wie sich unter b) ergeben hatte, fiihrt die Anwendung von fir auf den Gesamtbestand zu nicht ausreichenden Reserven. Die Formel von Tosberg ergibt also eine viel zu geringe Riickstellung. Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass for die Berechnung der Schwankungsriickstellung entweder Formel SRI oder

8 286 SCHWANKUNGSRUCKSTELLUNG IN DER BRANDVERSICHERUNG SRII in Frage kommt. Die Wahl des Verfahrens hangt von der speziellen Struktur des Versicherungsbestandes und dem vorliegenden Beobachtungsmaterial ab. LITERATURVERZEICHNIS [I] ANFT, K.: Uber die Bestimmung der Schwankungsreserve in der Feuerund in der Hagelversicherung, Inaugural-Dissertation, Jena [2] CAMPAGNE, C., DE JONGH, B. H., SMIT, J. N.: Contribution to the mathematical theory o[ the stabili,ation reserve and the net retention in [ire insurance, 's-gravenhage (In der voriiegenden Arbeit ist meist nut der Name CAMPAGNE erw~hnt). [31 LANG, R.:,,Die Untersuchung der Zufallsschwankungen in den Jahresergebnissen einer Verrsicherungsgesellschaft mit Hilfe der kollektiven Risikothoorie", Bl~itter der Deutschen GeseUscha]t /i~r Versicherungsmathematih, Band I, Heft 3- [4] LANGE, C.:,,Untersuchungen fiber die ji~hrlichen Schwankungen der Schadensquotienten in der Lebensversicherung und in der Feuerversicherung", Wirtscha/t und Recht der Versicherung, Nr. 2, [5] RIEBESELL, P.:,,Einffihrung in die Sachversicherungsmathematik", Ver6Hentlichungen des Deutschen Vereins /fir Versicherungswissenscha]t, Heft 56, Berlin [6] TOSBERG, A.:,,Versuch einer mathematischen L6sung des Problems 'Schwankungsrfickstellung' ", Steuer und Wirtscha/t 1959, Heft 12.