Johannes Zacher. Andreas Ochs. Johannes Breit. Sozial-Betriebswirtschaftslehre. Mathematische Modelle

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1 Johannes Zacher Andreas Ochs Johannes Breit Sozial-Betriebswirtschaftslehre Mathematische Modelle

2 Schriftenreihe des SoWiSo - Verein für Sozialwirtschaft e.v. Nähere Informationen unter Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar Johannes Zacher/Andreas Ochs/Johannes Breit, Kempten Herstellung und Verlag: Books on Demand GmbH, Norderstedt ISBN-13:

3 Johannes Zacher Andreas Ochs Johannes Breit Sozial-Betriebswirtschaftslehre Mathematische Modelle

4 Inhaltsverzeichnis Einleitung 7 A Theorieteil 9 1. Produktionstheorie Grundlagen der Produktionstheorie Die Produktionstheorie und die Sozialwirtschaft Begriffe aus der Produktionstheorie 14 Klassifikation für Produktionsfaktoren: Produktionsfunktionen limitationale Produktionsfunktionen substitutionale Produktionsfaktoren Ertragsgesetz in der Produktionstheorie Bedeutung der ertragsgesetzliche Produktionsfunktion Prinzipielle Erkenntnisse Absicherung der Produktionstheorie Die Regressionsanalyse Kostentheorie Grundlagen zur Kostentheorie Kostendarstellung fixe und variable Kosten Differenzierung der Kostenentstehung Kostenfunktionen Kosten als bewerteter Faktoreinsatz Stückkosten Grenzkosten

5 2.3 Mathematische Modelle Regeln für die Preiskalkulation Ergebnisse der Kostentheorie 68 B Übungsteil Übungen zur Produktionstheorie Ganztagesschule Hausaufgabenbetreuung Intensivstation Sowi-Mix Ertragsgesetzliche Pflegeheimküche Mensabesuch Pflegedauer Pflegeplätze Pflegegeld Übungen zur Kostentheorie Kurklinik Mittagstisch Seniorenheim Einsatzfahrzeuge Rübezahl Multifunktionskochvollautomat Wintertraum Sowi-Mix Jugendreisen Rocket-Fun 103 C Lösungsteil Lösungen zur Produktionstheorie Ganztagesschule

6 Inhaltsverzeichnis 1.2 Hausaufgabenbetreuung Intensivstation Sowi-Mix Ertragsgesetzliche Pflegeheimküche Mensabesuch Pflegedauer Pflegeplätze Pflegegeld Lösungen zur Kostentheorie Kurklinik Mittagstisch Seniorenheim Einsatzfahrzeuge Rübezahl Multifunktionskochautomat Wintertraum SoWi-Mix Jugendreisen Rocket-Fun

7 Mathematische Modelle Einleitung Dieser zweite Band der Sozialbetriebswirtschaftslehre behandelt die mathematischen Modelle, ohne die auch in der Sozialwirtschaft nicht mehr diskutiert werden kann. Natürlich ist auch hier der Unterschied zwischen Modellen und Wirklichkeit zu beachten. Modelle sind nicht die Wirklichkeit, sie sind Vereinfachungen, Visualisierungen, Reduktionen auf das vermutlich Wesentliche. Sie haben sich dennoch bewährt, um Regelmäßigkeiten herauszufiltern, um damit wirtschaftliche Zusammenhänge zu analysieren und um eine einheitliche und klare Sprache zur Kommunikation über ökonomische Bedingungsgefüge zur Verfügung zu haben. Auch dieser zweite Band ist wieder ein Kooperationsprojekt von Diplomanden und Professor, um in Sprachlichkeit, Aufbau und Übungsbedarf einen möglichst umfassenden Zugang für Studierende anbieten zu können. Der theoretische Abschnitt dieses Bandes ist in zwei Teile aufgegliedert. Der erste widmet sich den Auswirkungen von Faktoreinsatzmengen auf die Produktionsmöglichkeiten. Der zweite verlässt das reine Mengengerüst und kombiniert den Faktoreinsatz mit den damit verbundenen Kosten. Somit haben Sie Modelle zur Produktion und zur Kostenermittlung. In beiden Fällen erfahren Sie aber auch viel Grundsätzliches, das sich auf andere Aufgaben mathematischer Modellierung übertragen lässt

8 Einleitung An den ersten Abschnitt anknüpfend finden Sie im zweiten Abschnitt zahlreich Übungsbeispiele an denen Sie mathematischen Modelle und Kostenfunktionen in alltäglichen und praktischen Zusammenhängen anwenden und ihre Ergebnisse mit Hilfe von vorgefertigten Lösungen vergleichen können. Männliche und weibliche Formen werden bewusst abwechslungsweise gebraucht, weil es in den geschilderten Beispielen nicht auf das Geschlecht ankommt, sondern auf die Tätigkeit oder Funktion im sozialen Unternehmen. Auf Dopplungen kann daher gut verzichtet werden

9 Tabellenverzeichnis 2. Kostentheorie 2.1 Grundlagen zur Kostentheorie In der Produktionstheorie haben Sie den Zusammenhang zwischen Input und Output von Gütern erkannt. Das Wissen darüber reicht für den Absatz von Gütern allerdings nicht aus. Es muss auch herausgefunden werden, was der Verbrauch der einzelnen Produktionsfaktoren und damit die Herstellung des Gutes kostet. Dazu müssen die in der Produktionstheorie ermittelten Verbrauchsmengen mit den jeweiligen Preisen für die Produktionsfaktoren multipliziert werden. Anders gesprochen: die Verbrauchsmengen werden bewertet. Nochmal anders ausgedrückt wird das Mengengerüst um die Kostenbeurteilung erweitert. Ziel der Kostentheorie ist es also, den funktionalen Zusammenhang zwischen der Ausbringungsmenge und den durch die Herstellung der Güter entstandenen Kosten darzustellen. Es werden Kostenkurven, Grenzkostenkurven und Stückkostenkurven untersucht. Die Kostentheorie gibt unter anderem Antworten auf folgende Fragestellungen im Betrieb:

10 Mathematische Modelle Lohnt es sich, nicht nur unter Rücksicht der technischen Effizienz (Ertragskurve), sondern auch aus ökonomischer Effizienz (Kostenfunktionen), die Produktion auszuweiten? Was kostete die Ausweitung der Produktion? Gibt es eine individuell optimale Auslastung? Wie hoch muss der Preis für die angebotenen Produkte oder Dienstleistungen sein? Wie sieht die individuelle Kostenstruktur des Betriebs aus? Welche Stärken und Schwächen birgt diese Struktur? Welche Strategie ist daher für mein Unternehmen geeignet? Wie lassen sich Kosten sparen? Wie wirkt sich eine Senkung oder Ausweitung der Produktion auf die Stückkosten aus? Analyse der verschiedenen Kosteneinflussgrößen auf die Preisbildung bei Abweichung der Kosten von den Anforderungen (beispielsweise Vergleich der Pflegesätze mit den Marktpreisen) In welchem Bereich lohnen sich Einsparungen? In welchen Bereich lassen sich schnelle und oder große Einsparungen erzielen? Auch in der Untersuchung der Kosten gibt es nur ein einheitliches Ziel und kein allgemeingültiges Optimum. In der Produktionslehre wurde der optimale Faktoreinsatz je nach Zielsetzung, also der umfassenden Hilfe, der flexiblen Hilfe oder dem effizienten Dauerbetrieb unterschiedlich bestimmt. Genau so wird auch bei der Betrachtung der Kosten unterschieden:

11 Tabellenverzeichnis Minimierung oder Budgetierung der Gesamtkosten mit Hilfe der Gesamtkostenfunktion Besonders wirtschaftliche Herstellung einzelner Leistungen mit der Suche nach dem Stückkostenminimum Flexibilität dagegen ist eher in Bereichen mit niedrigen Grenzkosten zu realisieren. Das bedeutet einerseits, dass auch die Modelle der Kostenrechnung nur im Kontext der Unternehmensstrategie sinnvoll benutzt werden können. Andererseits aber liefern sie wichtige Analyseinstrumente, Darstellungsmöglichkeiten und Kommunikationshilfen Kostendarstellung Gesamtkosten zeigen die Summe der Kosten für die komplette Produktion von einer bestimmten Zahl an Produkten (x). Mathematisch dargestellt als (). Sie setzen sich aus der Höhe der fixen und der Höhe der variablen Kosten bei der Ausbringungsmenge x zusammen = + BCD Grenzkosten zeigen die Steigung der Kostenkurve, mithin, was die Produktion eines marginalen (also des letzten oder eines zusätzlichen) Stückes an der Stelle x (ausgehend von einer gegebenen Produktionsmenge) kostet. Dies wird durch ()dargestellt. Grenzkosten ergeben sich also durch die erste Ableitung der Gesamtkosten

12 Mathematische Modelle Stückkosten zeigen, was die Produktion jedes einzelnen Stückes im Schnitt kostet, wenn insgesamt x Stücke produziert werden. F= fixe und variable Kosten Fixe Kosten bleiben für einen Produktionsbereich (Definitionsfrage, also der betrachtete Bereich, Zeitraum, Abteilung) immer gleich. Sie verändern sich nicht mit der Ausbringungsmenge. Wird mehr produziert, verteilen sich die Kosten immer günstiger. Bei steigender Auslastung entfallen immer weniger dieser Kosten auf ein Stück. Beispiele: Miete für Produktionsstätte, KFZ-Steuer, festangestelltes Verwaltungspersonal Eine Zwischenform stellen die sprungfixen Kosten dar. Die kostenverursachenden Faktoreinsätze sind immer für eine bestimmte Phase gleich bleibend. Bei einer Ausbringungssteigerung darüber hinaus müssen neue Kapazitäten dazu gewonnen werden. Dabei handelt es sich um Faktoren, die nicht in beliebigen Teilmengen eingesetzt werden können. Beispiele: Anmieten weiterer Gebäude bei Ausdehnung der Produktion, Einstellen von neuem Personal Variable Kosten hängen von der Ausbringungsmenge ab. Meist geht man davon aus, dass sie pro Stück immer gleich sind. Sie variieren nicht im Lauf der Zeit oder in Abhängigkeit von der Menge, sondern sie variieren mit der Ausbringungsmenge. Wenn viel hergestellt wird, braucht man viel von diesen Faktoren und damit von diesen Kosten, bei geringer Ausbringungsmenge analog dazu auch geringe Kosten

13 Tabellenverzeichnis Beispiele: Rohstoffe wie Mehl, Benzin, Überstunden, Leiharbeit Die Begriffe fix bzw. variabel beziehen sich also nicht auf den Preis eines Faktors, sondern auf den Einfluss auf die Gesamtkosten. Abbildung 8: grafische Darstellung der fixen Kosten (links), variable Kosten (Mitte), sprungfixen Kosten (rechts) / K für Kosten, k für Durchschnittskosten Nachstehende Beispiele aus der Sozialwirtschaft sollen Ihnen das Verständnis der Unterschiede zwischen fixen und variablen Kosten erleichtern. Beispiele für fixkostenlastige Betriebe: Beratungsstellen mit fest angestelltem Personal und angemieteten Räumen Einrichtungen mit Komm-Struktur und festen Öffnungszeiten Wohn- und Betreuungseinrichtungen für Kinder, Jugendliche oder Menschen mit Behinderungen in Gruppen, die immer zumindest zu bestimmten Zeiten zwingend besetzt sein müssen. Bereitschaft der Rettungsdienste Krankenhäuser