Einführung in die Boden- und Felsmechanik

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1 Einführung in die Boden- und Felsmechanik Grundlagen und Berechnungen von Jens Engel, Carsten Lauer 1. Auflage Hanser München 2010 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Leseprobe Jens Engel, Carsten Lauer Einführung in die Boden- und Felsmechanik Grundlagen und Berechnungen ISBN: Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

3 162 6 Rechenverfahren zum Nachweis der Standsicherheit Aus dem Vergleich folgt für die Erddruckbeiwerte K agh =1/K φ, K ach =1/ K φ,k pch = K φ und K pch = K φ. Diese einfachen Beziehungen gelten nur für α = β = δ =0,den so genannten RANKINEschen Sonderfall. Das Verfahren der Berechnung des Erddrucks mit Erddruckbeiwerten ist eine Verallgemeinerung des RANKINEschen Sonderfalls. Es wird der Erddruck getrennt nach seinen Ursachen berechnet (Eigengewicht, Auflast, Kohäsion, Strömungsdruck, usw.)und die einzelnen Anteile werden am Schluss überlagert. Der Erddruckbeiwert ist das Verhältnis des horizontalen Erddrucks zur Vertikalspannung in der jeweiligen Tiefe. Für die Berechnung des Erddrucks infolge der Auflast p und der Kohäsion c wird i. Allg. eine rechteckige Spannungsverteilung angenommen, während der Berechnung des Erddrucks infolge Eigengewicht die mit der Tiefe linear zunehmende Spannungsverteilung zugrunde liegt Berechnung des aktiven Erddrucks Eingangsgrößen: Scherfestigkeit φ, c Wichte des Bodens γ, γ Geländeneigung β Neigung des Berechnungsschnitts α Erddruckneigungswinkel δ Belastungen, Abmessungen p v Für die Erddruckberechnung müssen die Eigenschaften des Bodens sowie die Geometrie und die Belastungen bekannt sein. Die Einteilung des Baugrunds in Schichten mit gleichen Eigenschaften und die Festlegung der Bodenkennwerte erfolgt auf Grundlage der Ergebnisse der Baugrundbegutachtung. Bei der Berechnung mit Gleitflächen ist die Lage der maßgebenden Gleitfläche und die Größe der Erdruckkraft gesucht. Besonderheiten bei Böden mit Kohäsion Es sind zwei Grenzfälle zu unterscheiden: 1. Der Boden kann Zugspannungen bis zum Erreichen der Bruchbedingung aufnehmen. 2. Der Boden kann keine Zugspannungen aufnehmen und reißt bis zur Tiefe z 0. Für die dauerhafte und sichere Bemessung wird man i. Allg. den zweiten Fall betrachten. Mit dem kritischen Hauptspannungsverhältnis K φ = σ 1 σ 3 nach Gl. (5.42) ist: 1 σ 3 = σ 1 2c. K φ Kφ Bei aktiven Zuständen ist die Vertikalspannung im Boden σ z = zγ die größere Hauptspannung. Aus der Bedingung, dass nur Druckspannun-

4 6.1 Erddruck 163 gen σ 3 0 auftreten dürfen, folgt für die Risstiefe: z 0 = 2c Kφ. (6.11) γ Kann der Boden Zugspannungen übertragen, dann ist die Bedingung E ach E agh zu benutzen. Bei Annahme rechteckförmiger Druckverteilung für E ach und dreieckförmiger Verteilung von E agh erhält man die freie Standhöhe zu h c = 4c γ Kφ Grafische Verfahren Grafische Verfahren sind vor allem dann zu bevorzugen, wenn analytische Lösungen zu viele Vereinfachungen voraussetzen. Dies betrifft nicht ebenes Gelände oder nicht ebene Mauerrückseiten. Da sich grafische Verfahren durch numerische Routinen umsetzen lassen, sind sie als Grundlage zur Entwicklung von Softwarelösungen besonders gut geeignet. Lageplan α G β ϕ Verfahren von CULMANN Ausgangspunkt ist die Darstellung der Kräfte im Lage- und Kräfteplan gemäß Bild Von CULMANN wurde ein grafisches Verfahren entwickelt, das es ermöglicht, die Variation der Gleitflächenneigung gemäß Bild 6.13 und die dazugehörigen Kraftecke in einer Zeichnung darzustellen. Die Drehung des Kraftecks im Uhrzeigersinn um den Winkel 90 φ liefert eine Darstellung, bei der die Neigung der Prüfgleitflächen mit der Richtung der Reibungskraft Q zusammenfällt. δ a E a Kräfteplan E a K Q Damit ergibt sich folgender Arbeitsgang. 1. Festlegen eines Längenmaßstabs, zeichnen des Lageplans. 2. Konstruktion der Reibungs- und der Stellungslinie. (Auf der Reibungslinie werden die Gewichtskräfte und andere Vertikalkräfte abgetragen. Die Stellungslinie liefert die Richtung der Erddruckkraft.) 3. Festlegen von Prüfgleitflächen. Diese sind frei wählbar, sollten aber so angeordnet werden, dass der Rechenaufwand möglichst klein bleibt und maßgebende Einflüsse erfasst werden (Sprünge oder Knicke im Geländeprofil, Einzellasten). Der Aufwand lässt sich verringern durch Einteilung flächengleicher Dreiecke. 4. Berechnung der Flächeninhalte A i der einzelnen Dreiecke und daraus der Gewichtskräfte G i = A i γ, unter Beachtung der Auflasten oder des Strömungsdrucks. Bild 6.18: Lage- und Kräfteplan Q α ϕ+δ a ϑ a E a G 90 δ a α ϕ Bild 6.19: Krafteck um 90 ϕ gedreht 6

5 164 6Rechenverfahren zum Nachweis der Standsicherheit Stellungslinie ϕ+δ maßgebende Gleitfläche Culmannlinie α E a E agh ϑ ϕ G i Reibungslinie h/3 G 1 Bild 6.20: Graphische Ermittlung des aktiven Erddrucks mit dem CULMANN-Verfahren 5. Festlegen des Kräftemaßstabs, Abtragen der Gewichtskräfte auf der Reibungslinie. 6. Konstruktion des gedrehten Kraftecks für jede Prüfgleitfläche. Dazu wird der Vektor der Gewichtskraft mit dem Reibungsanteil Q durch die Erddruckkraft E verbunden, was durch Parallelverschieben der Stellungslinie erfolgt. Der Schnittpunkt ist zu markieren. 7. Die Verbindung der markierten Punkte liefert die Kurve der Erddruckkräfte (CULMANN-Linie). Das Maimum ist der größte Abstand zwischen Reibungs- und CULMANN-Linie (Parallele zur Reibungslinie). Übung: aktiver Erddruck, grafisch Das CULMANN-Verfahren eignet sich für die Einbeziehung zusätzlicher Kräfte und lässt auch die Berücksichtigung der Kohäsion zu. Bei Vorhandensein von Kohäsion c lässt sich mit dem CULMANN-Verfahren die Risstiefe inoberflächennähe ermitteln Analytische Berechnung Erddruckbeiwerte Bei einem Flächenbruch (RANKINE-Zustand) ist das Verhältnis der Hauptspannungen bekannt. Der Quotient ist das kritische Hauptspannungsverhältnis.Ausgehend vondieser Überlegung werden zur Berechnung des Erddrucks Erddruckbeiwerte eingeführt, die das Verhältnis der Vertikal- und der Horizontalspannung beschreiben (siehe Abschnitt ). Die Ableitung der Erddruckbeiwerte kann auf Grundlage der

6 6.1 Erddruck 165 Betrachtung des Spannungszustands oder durch die analytische Beschreibung der Kräfte am Bruchkörper erfolgen. Für die Herleitung der Gleichungen muss die positiverichtung der Kräfte, Momente und der Winkeldrehung vereinbart werden. Bild 6.21 zeigt die Definition nach DIN 4085, die auch hier benutzt wird. In Abschnitt wurde am Gleitkörper der Erddruck infolge unterschiedlicher Einwirkungen als Funktion des Gleitflächenwinkels ϑ berechnet. Für die Berechnung des aktiven, horizontalen Erddruckanteils infolge Eigengewicht ergab sich zum Beispiel Gl. (6.3) und daraus für den horizontalen Anteil: } E agh = γh2 2 { (cos(α + δa )cos(ϑ a α)cos(α β)) (sin(ϑ a φ)) (cos 2 (α)) sin(ϑ a β)(cos(ϑ a α δ a φ)) Bild 6.21: Positive Definition der Winkel zur Erddruckberechnung = γ h2 K agh. 2 Trägt man die Erddruckkraft gegen den Gleitflächenwinkel auf, ergibt sich ein Maimum, das aus der ersten Ableitung berechnet werden kann. de agh dϑ =0. Aus dieser Bedingung kann ein Ausdruck für die Berechnung des Erddruckbeiwerts K agh und des maßgebenden Gleitflächenwinkels ϑ ag ermittelt werden. K agh = ϑ a =arccot ( cos α 1+ [ cos(φ α) tan(φ α)+ sin(φ+δ a)sin(φ β) cos(α β)cos(α+δ a ) 1 cos(φ α) 2 ) (6.12) ] sin(φ + δa)cos (α β) + φ sin(φ β)cos(α + δ a) Aus Gleichgewichtsbetrachtungen am ebenen Gleitkörper lassen sich Erddruckbeiwerte für andere Einflüsse, z.b.die Kohäsion oder unbegrenzte Oberflächenbelastungen, ableiten. Es wird dabei der jeweils maßgebende Bruchmechanismus ohne Berücksichtigung der anderen Einflüsse untersucht, sodass der maßgebende Gleitflächenwinkel unterschiedlich ist. Die korrekte Lösung findet man durch die Überlagerung aller Einwirkungen. Mit den analytischen Verfahren werden die einzelnen Einwirkungen getrennt betrachtet und auf Grundlage einer angenommenen Spannungsverteilung am Ende überlagert. 6

7 166 6Rechenverfahren zum Nachweis der Standsicherheit Tabelle 6.2: Aktiver Erddruck infolge Eigengewicht, Erddruckbeiwert in K agh bei a / 0,000 0,333 0,667 1,000 in bei in bei in bei in bei in ,910 0,970 0,910 0,970 0,910 0,970 0,910 0, ,658 0,704 0,745 0,782 0,630 0,673 0,711 0,743 0,607 0,647 0,682 0,710 0,587 0,625 0,656 0, ,587 0,625 0,656 0,681 0,554 0,589 0,616 0,635 0,528 0,559 0,583 0,597 0,506 0,534 0,554 0, ,847 0,933 0,847 0,933 0,847 0,933 0,847 0, ,634 0,704 0,772 0,841 0,610 0,677 0,740 0,803 0,590 0,653 0,713 0,770 0,573 0,633 0,688 0, ,531 0,589 0,642 0,691 0,501 0,554 0,601 0,643 0,476 0,525 0,567 0,602 0,456 0,500 0,537 0, ,476 0,525 0,567 0,602 0,444 0,487 0,523 0,550 0,418 0,457 0,487 0,508 0,397 0,431 0,456 0, ,773 0,883 0,773 0,883 0,883 0,773 0, ,492 0,569 0,645 0,721 0,466 0,537 0,605 0,673 0,445 0,510 0,572 0,630 0,426 0,486 0,541 0, ,426 0,490 0,551 0,609 0,397 0,455 0,508 0,556 0,374 0,426 0,472 0,511 0,355 0,401 0,440 0, ,385 0,440 0,489 0,532 0,356 0,404 0,445 0,478 0,333 0,375 0,409 0,434 0,313 0,350 0,377 0, ,355 0,401 0,440 0,470 0,325 0,365 0,396 0,416 0,302 0,336 0,360 0,373 0,283 0,311 0,329 0, ,692 0,821 0,692 0,821 0,692 0,821 0,692 0, ,474 0,572 0,674 0,453 0,546 0,739 0,436 0,523 0,609 0,421 0,501 0, ,383 0,462 0,541 0,622 0,359 0,430 0,500 0,569 0,339 0,403 0,465 0,522 0,321 0,379 0,432 0, ,339 0,406 0,471 0,535 0,313 0,373 0,428 0,480 0,293 0,346 0,393 0,433 0,276 0,322 0,361 0, ,309 0,367 0,421 0,470 0,284 0,334 0,378 0,416 0,264 0,307 0,343 0,371 0,247 0,284 0,312 0, ,286 0,336 0,380 0,416 0,261 0,303 0,338 0,363 0,241 0,277 0,304 0,320 0,225 0,254 0,274 0, ,605 0,750 0,605 0,750 0,605 0,750 0,605 0, ,348 0,441 0,539 0,328 0,413 0,502 0,311 0,389 0,468 0,296 0,367 0, ,296 0,374 0,454 0,537 0,275 0,344 0,414 0,483 0,258 0,320 0,379 0,435 0,243 0,297 0,346 0, ,266 0,333 0,401 0,468 0,245 0,304 0,360 0,414 0,228 0,279 0,326 0,367 0,213 0,257 0,295 0, ,245 0,304 0,360 0,414 0,224 0,275 0,321 0,362 0,208 0,251 0,288 0,317 0,193 0,229 0,258 0, ,228 0,279 0,326 0,367 0,208 0,251 0,288 0,317 0,191 0,228 0,256 0,275 0,177 0,207 0,228 0, ,213 0,257 0,295 0,322 0,193 0,229 0,258 0,275 0,177 0,207 0,228 0,235 0,164 0,188 0,201 0, ,516 0,671 0,516 0,671 0,516 0,671 0,516 0, ,326 0,436 0,558 0,311 0,414 0,526 0,298 0,394 0,495 0,286 0,374 0, ,257 0,344 0,438 0,240 0,318 0,401 0,226 0,296 0,368 0,213 0,275 0, ,226 0,300 0,378 0,462 0,209 0,274 0,341 0,410 0,195 0,252 0,309 0,362 0,182 0,232 0,277 0, ,206 0,271 0,338 0,407 0,189 0,246 0,302 0,356 0,176 0,224 0,270 0,310 0,163 0,205 0,240 0, ,191 0,249 0,307 0,363 0,175 0,224 0,271 0,314 0,162 0,204 0,241 0,270 0,150 0,184 0,212 0, ,179 0,230 0,279 0,323 0,163 0,206 0,245 0,276 0,150 0,186 0,216 0,235 0,139 0,168 0,188 0, ,168 0,213 0,253 0,284 0,153 0,190 0,220 0,240 0,140 0,170 0,192 0,202 0,129 0,153 0,167 0, ,426 0,587 0,426 0,587 0,426 0,587 0,426 0, ,259 0,369 0,495 0,246 0,349 0,465 0,236 0,331 0,436 0,226 0,313 0, ,222 0,318 0,426 0,209 0,297 0,394 0,198 0,278 0,363 0,187 0,258 0, ,187 0,267 0,355 0,454 0,174 0,245 0,322 0,404 0,163 0,226 0,291 0,356 0,153 0,207 0,259 0, ,169 0,238 0,313 0,396 0,156 0,216 0,280 0,347 0,145 0,198 0,251 0,301 0,135 0,180 0,220 0, ,156 0,217 0,283 0,353 0,143 0,197 0,251 0,305 0,133 0,179 0,222 0,261 0,123 0,161 0,193 0, ,146 0,201 0,259 0,316 0,134 0,181 0,227 0,271 0,124 0,164 0,200 0,229 0,114 0,147 0,172 0, ,138 0,187 0,237 0,283 0,126 0,168 0,207 0,240 0,116 0,151 0,180 0,201 0,107 0,135 0,154 0, ,130 0,174 0,215 0,250 0,118 0,155 0,187 0,210 0,109 0,139 0,162 0,174 0,100 0,123 0,138 0, ,123 0,161 0,193 0,214 0,111 0,142 0,166 0,177 0,102 0,127 0,143 0,145 0,093 0,112 0,121 0,113

8 6.1 Erddruck 167 Tabelle 6.3: Aktiver Erddruck infolge Kohäsion, Erddruckbeiwert K ach bei a / 0,000 0,333 0,667 1,000 in in bei in bei in bei in bei in ,0 2,240 1,940 1,678 1,445 2,112 1,830 1,581 1,358 1,992 1,726 1,489 1,273 1,879 1,628 1,400 1,192 10,0 0,0 1,940 1,678 1,445 1,234 1,849 1,598 1,373 1,167 1,762 1,520 1,302 1,102 1,678 1,445 1,234 1,038-10,0 1,678 1,445 1,234 1,038 1,614 1,387 1,180 0,988 1,552 1,330 1,127 0,939 1,490 1,273 1,075 0,890 12,5 2,183 1,906 1,662 1,443 2,028 1,772 1,543 1,334 1,886 1,647 1,430 1,230 1,754 1,530 1,324 1,130 12,5 10,0 2,110 1,843 1,605 1,391 1,968 1,718 1,494 1,289 1,836 1,602 1,388 1,191 1,712 1,491 1,288 1,097 0,0 1,843 1,605 1,391 1,194 1,740 1,513 1,307 1,115 1,643 1,425 1,225 1,039 1,550 1,340 1,146 0,965-10,0 1,605 1,391 1,194 1,009 1,533 1,324 1,131 0,950 1,462 1,258 1,069 0,892 1,392 1,193 1,008 0,834 15,0 2,119 1,866 1,640 1,434 1,940 1,710 1,500 1,305 1,778 1,566 1,368 1,182 1,629 1,432 1,245 1,066 15,0 10,0 1,989 1,750 1,535 1,337 1,836 1,615 1,412 1,223 1,696 1,488 1,296 1,114 1,565 1,369 1,185 1,010 0,0 1,750 1,535 1,337 1,154 1,640 1,434 1,244 1,066 1,535 1,337 1,154 0,980 1,434 1,244 1,066 0,896-10,0 1,535 1,337 1,154 0,980 1,456 1,264 1,084 0,914 1,379 1,191 1,015 0,848 1,303 1,119 0,946 0,782 17,5 2,047 1,819 1,611 1,420 1,848 1,643 1,451 1,271 1,669 1,482 1,303 1,132 1,507 1,334 1,165 1,000 17,5 10,0 1,874 1,662 1,466 1,285 1,715 1,519 1,335 1,161 1,569 1,385 1,210 1,043 1,433 1,259 1,092 0,929 0,0 1,662 1,466 1,285 1,114 1,546 1,359 1,184 1,018 1,435 1,256 1,086 0,924 1,329 1,156 0,991 0,832-10,0 1,466 1,285 1,114 0,951 1,384 1,206 1,038 0,878 1,302 1,128 0,963 0,805 1,220 1,049 0,887 0,732 20,0 1,970 1,766 1,577 1,400 1,752 1,572 1,399 1,234 1,559 1,396 1,236 1,078 1,387 1,237 1,085 0,933 10,0 1,766 1,577 1,400 1,234 1,604 1,429 1,262 1,102 1,455 1,290 1,131 0,976 1,316 1,159 1,006 0,854 20,0 0,0 1,577 1,400 1,234 1,075 1,458 1,288 1,127 0,972 1,344 1,180 1,023 0,871 1,234 1,075 0,922 0,772-10,0 1,400 1,234 1,075 0,922 1,315 1,151 0,995 0,843 1,230 1,068 0,914 0,764 1,144 0,985 0,832 0,684-20,0 1,234 1,075 0,922 0,772 1,175 1,015 0,863 0,714 1,113 0,954 0,801 0,654 1,048 0,889 0,738 0,591 22,5 1,886 1,707 1,537 1,376 1,653 1,497 1,343 1,192 1,450 1,310 1,167 1,023 1,270 1,141 1,005 0,864 20,0 1,840 1,664 1,496 1,336 1,623 1,467 1,313 1,163 1,432 1,289 1,146 1,001 1,260 1,128 0,990 0,849 22,5 10,0 1,664 1,496 1,336 1,184 1,501 1,344 1,193 1,046 1,350 1,202 1,057 0,913 1,210 1,068 0,927 0,785 0,0 1,496 1,336 1,184 1,036 1,376 1,221 1,073 0,928 1,259 1,109 0,964 0,821 1,146 1,000 0,857 0,715-10,0 1,336 1,184 1,036 0,892 1,250 1,098 0,952 0,809 1,162 1,012 0,867 0,725 1,073 0,924 0,780 0,639-20,0 1,184 1,036 0,892 0,750 1,124 0,975 0,830 0,689 1,060 0,910 0,765 0,624 0,992 0,841 0,697 0,556 25,0 1,797 1,643 1,492 1,346 1,552 1,420 1,284 1,147 1,342 1,223 1,097 0,965 1,157 1,047 0,925 0,796 20,0 1,720 1,567 1,418 1,274 1,506 1,369 1,232 1,096 1,317 1,192 1,062 0,929 1,147 1,029 0,904 0,772 25,0 10,0 1,567 1,418 1,274 1,134 1,405 1,265 1,128 0,992 1,255 1,121 0,988 0,854 1,114 0,985 0,854 0,720 0,0 1,418 1,274 1,134 0,998 1,298 1,157 1,020 0,885 1,181 1,043 0,908 0,773 1,066 0,930 0,796 0,661-10,0 1,274 1,134 0,998 0,863 1,187 1,047 0,911 0,776 1,098 0,958 0,822 0,687 1,007 0,867 0,730 0,595-20,0 1,134 0,998 0,863 0,728 1,074 0,935 0,799 0,664 1,009 0,868 0,731 0,596 0,938 0,796 0,658 0,522 27,5 1,703 1,574 1,442 1,311 1,450 1,340 1,222 1,099 1,235 1,136 1,025 0,906 1,048 0,955 0,847 0,728 20,0 1,606 1,475 1,343 1,214 1,398 1,279 1,157 1,032 1,213 1,102 0,985 0,862 1,046 0,940 0,824 0,701 10,0 1,475 1,343 1,214 1,086 1,315 1,190 1,065 0,940 1,167 1,046 0,923 0,798 1,026 0,908 0,786 0,659 0,0 1,343 1,214 1,086 0,960 1,224 1,097 0,970 0,844 1,107 0,981 0,854 0,728 0,991 0,865 0,738 0,610-10,0 1,214 1,086 0,960 0,833 1,128 0,998 0,871 0,744 1,038 0,908 0,779 0,651 0,944 0,813 0,683 0,553 27,5-20,0 1,086 0,960 0,833 0,706 1,027 0,897 0,768 0,640 0,961 0,827 0,697 0,568 0,888 0,752 0,620 0,489 30,0 1,606 1,500 1,387 1,271 1,347 1,259 1,157 1,048 1,131 1,050 0,954 0,846 0,943 0,866 0,771 0,661 20,0 1,500 1,387 1,271 1,155 1,298 1,194 1,085 0,972 1,118 1,020 0,913 0,800 0,954 0,858 0,751 0,635 10,0 1,387 1,271 1,155 1,038 1,232 1,120 1,006 0,890 1,085 0,976 0,862 0,745 0,945 0,836 0,722 0,602 0,0 1,271 1,155 1,038 0,922 1,155 1,038 0,922 0,804 1,038 0,922 0,804 0,684 0,922 0,804 0,684 0,561-10,0 1,155 1,038 0,922 0,804 1,071 0,951 0,832 0,713 0,981 0,859 0,738 0,616 0,886 0,762 0,638 0,513-20,0 1,038 0,922 0,804 0,684 0,981 0,859 0,738 0,616 0,914 0,788 0,665 0,541 0,839 0,710 0,583 0,457 30,0-30,0 0,922 0,804 0,684 0,561 0,886 0,762 0,638 0,513 0,839 0,710 0,583 0,457 0,782 0,650 0,520 0,393 32,5 1,505 1,423 1,328 1,227 1,245 1,176 1,091 0,995 1,029 0,966 0,883 0,786 0,844 0,780 0,696 0,595 30,0 1,486 1,400 1,303 1,201 1,240 1,166 1,078 0,980 1,032 0,963 0,877 0,778 0,852 0,783 0,695 0,592 20,0 1,400 1,303 1,201 1,097 1,205 1,115 1,017 0,914 1,031 0,943 0,846 0,741 0,871 0,783 0,684 0,573 10,0 1,303 1,201 1,097 0,991 1,153 1,053 0,949 0,842 1,009 0,910 0,805 0,695 0,871 0,770 0,662 0,547 0,0 1,201 1,097 0,991 0,884 1,088 0,982 0,875 0,765 0,974 0,866 0,756 0,642 0,857 0,746 0,633 0,514-10,0 1,097 0,991 0,884 0,774 1,016 0,905 0,794 0,682 0,926 0,812 0,698 0,582 0,830 0,713 0,594 0,474-20,0 0,991 0,884 0,774 0,661 0,936 0,822 0,708 0,592 0,869 0,751 0,633 0,514 0,793 0,670 0,548 0,426 32,5-30,0 0,884 0,774 0,661 0,544 0,850 0,733 0,615 0,496 0,803 0,681 0,559 0,438 0,745 0,617 0,492 0,368 35,0 1,402 1,342 1,265 1,179 1,143 1,093 1,023 0,940 0,930 0,883 0,813 0,726 0,749 0,699 0,625 0,531 30,0 1,375 1,305 1,223 1,134 1,141 1,080 1,003 0,915 0,943 0,883 0,806 0,715 0,770 0,707 0,626 0,528 20,0 1,305 1,223 1,134 1,041 1,119 1,041 0,953 0,859 0,951 0,872 0,783 0,685 0,795 0,714 0,621 0,516 10,0 1,223 1,134 1,041 0,945 1,079 0,989 0,895 0,796 0,939 0,848 0,751 0,647 0,802 0,708 0,606 0,496 0,0 1,134 1,041 0,945 0,846 1,025 0,929 0,830 0,727 0,912 0,813 0,709 0,602 0,796 0,692 0,584 0,470-10,0 1,041 0,945 0,846 0,744 0,963 0,861 0,757 0,651 0,874 0,768 0,660 0,549 0,777 0,666 0,553 0,436-20,0 0,945 0,846 0,744 0,638 0,892 0,786 0,679 0,569 0,826 0,714 0,602 0,488 0,748 0,631 0,513 0,395 35,0-30,0 0,846 0,744 0,638 0,528 0,815 0,704 0,593 0,479 0,768 0,652 0,535 0,418 0,708 0,586 0,465 0,344 6

9 168 6Rechenverfahren zum Nachweis der Standsicherheit Erddruck infolge unbegrenzter Flächenlast E aph Für die Berechnung des Erddrucks infolge einer Oberflächenlast erhält man analog zu Gl. (6.5): K aph = cos α cos β cos(α β) K agh. Es wird eine rechteckförmige Erddruckverteilung angenommen. ϕ ϑ ϑ V p v E avh e avh Bild 6.22: Erddruck infolge einer begrenzten Belastung Erddruck infolge begrenzter Auflasten, weitere Einflüsse Begrenzte vertikale Oberflächenlasten können als Linienlast V behandelt werden. Die Erddruckkraft E av ergibt sich nach Gl. (6.1) in Abhängigkeit vom maßgebenden Gleitflächenwinkel ϑ.eswird der für den Erddruck infolge Eigengewicht maßgebende Winkel ϑ ag nach Gl. (6.12) benutzt. E av h = V sin(ϑ φ)cos(α + δ a) cos(ϑ φ α δ ). (6.13) Der Einflussbereich der begrenzten Auflasten lässt sich gemäß Bild 6.22 eingrenzen. Für die Verteilung des Erddrucks in diesem Bereich sind z. B. die Empfehlungen der EAB [49] oder der DIN 4085 [39] zugrunde zu legen. In vielen Fällen reicht es aus, eine gleichmäßige (Rechteck) oder dreieckförmige Erddruckverteilung anzunehmen. Da der Erddruckbeiwert K aph dem maßgebenden Gleitflächenwinkel ϑ a zugeordnet ist, kann der Erddruck infolge begrenzter Flächenlasten auch mit dem Erddruckbeiwert berechnet werden. a Erddruck infolge Kohäsion K ach,mindesterddruck Für den Einfluss der Kohäsion lässt sich folgender Erddruckbeiwert angeben: 2(1+tan α tan β)cos(α + δ a)cos β cos φ K ach = 1+sin(α β + δ + φ) Es wird rechteckförmige Druckverteilung angenommen. Durch Risse im Boden oder infolge örtlicher Schwachstellen kann der Einfluss der Kohäsion im Boden verloren gehen. Um den daraus resultierenden Unsicherheiten zu begegnen, wird bei der Berechnung von Stützbauwerken der rechnerische aktive Erddruck mit einem Mindesterddruck verglichen, wenn zuvor die Kohäsion des Bodens berücksichtigt worden ist. Dazu wird angenommen, dass der Boden sich wie ein nichtbindiges, grobkörniges Material verhält, mit einem Reibungswinkel a

10 6.1 Erddruck 169 von φ =40.Die geometrischen Größen α und β sowie das Verhältnis δ a/φ) bleiben unverändert. Der Erddruckbeiwert für den Mindesterddruck ist K agh K agh = K agh (φ =40 ). Berechnungsablauf Mindesterddruck Δh 1 Δh 2 Δh 3 e agh e ach e aph e ah e ah,min e ah E av1 E ah1 E av2 E ah2 E av4 E ah4 E av4 Eah4 E av5 Eah5 Bild 6.23: Berechnungsablauf zur Ermittlung des aktiven Erddrucks 1. Eingangsgrößen für jede Schicht festlegen. Beachte: Definition der Winkel (siehe Bild 6.21, bei Unterteilung der Schichten Neigung der Mauerrückseite, Schichtgrenzen, Wasserstände, usw. beachten) 2. Berechnung der Erddruckbeiwerte für jede Schicht (tabellarisch) Tabelle 6.4: Tabellarische Berechnung der Erddruckbeiwerte 6 Schicht φ δ a α β K agh K aph K ach K agh,min Nr Berechnung des Erddrucks infolge Eigengewicht an der Oberkante e o agh,i und der Unterkante e u agh,i der Schicht i. e o agh,i = e u agh,i 1 K agh,i K agh,i 1 e u agh,i = e o agh,i+ h i γ i K agh,i

11 170 6Rechenverfahren zum Nachweis der Standsicherheit α 1 α 2 α 3 Bild 6.24: Erddruck bei nicht ebener Wand Verlängerung der Böschungslinie β 1 β 2 β 3 Verlängerung der Mauerrückseite 4. Berechnung des Erddrucks infolge Kohäsion e ach,i = c i K ach,i für jede Schicht i. 5. Berechnung des Erddrucks infolge Auflast e aph,i = p v K aph,i für jede Schicht i. 6. Überlagerung der Summe der Erddrücke infolge Eigengewicht, Kohäsion und Auflast mit dem Mindesterddruck, Festlegung der resultierenden Erddruckfigur. 7. Berechnung der resultierenden Erddruckkräfte E ah,i sowie deren Lage (Abstand von einem Festpunkt, z.b. Fußpunkt der Mauer) für jede Schicht. 8. Berechnung der vertikalen Erddruckkräfte E av,i sowie deren Lage für jede Schicht. 9. Zusammenfassen E av und E ah,berechnung des Angriffspunkts. Verlängerung der Böschungslinie Bild 6.25: Erdruck bei nicht ebenem Gelände Sonderfälle Die Verfahren zur Berechnung des aktiven Erddrucks mit Erddruckbeiwerten sind für ebenes Gelände, ebene Mauerrückseite und oberflächenparallele Baugrundschichtung entwickelt worden. Näherungen für nicht ebene Wand bzw. nicht ebenes Gelände sind in den Bildern 6.24 und 6.25) dargestellt Passiver Erddruck Übung: aktiver Erddruck, analytisch Ebener Fall kinematische Lösung Beim Erreichen des passiven Grenzzustands sind die Hauptspannungen im Vergleich zum aktiven Zustand um 90 gedreht. Setzt man ebene Gleitflächen voraus (COULOMB), wird eine kinematische Lösung berechnet. Dies bedeutet, es wird ein kinematisch möglicher Bruchmechanismus gesucht, der das Bruchkriterium erfüllt. Man erhält als Lösung eine obere Schranke, z. B. den Erddruckbeiwert für den Anteil des Erddrucks infolge Eigengewicht des Bodens gemäß Gl K pgh = [ cos 2 α 1 cos 2 (φ + α) sin(φ δ p )sin(φ+β) cos(φ+δ p)cos(β α) ] 2 (6.14)