Gruselkabinett der TM-Klausur 2006

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1 Best of... aus dem Gruselkabinett der TM-Klausur Februar 2006 Die Newtonschen Axiome die kamen wenigstens zum Glück noch - und zum Großteil sogar richtig! Aber folgende Stilbüten wollte ich euch nicht vorhalten: 1. Newtonsches Axiom: Körper sind träge...oh ja, besonders montags morgen. 3. Newtonsches Axiom: axio=reactio... das erste Wörtchen kommt von action (lat. Ausführung, Handlung), nicht von Axiom! 2. Aufgabe Wie war das? Indizes sind die natürlichen Feinde eines jeden Physikstudenten? Da gab es solch nette Sachen wie K i m i r i, i P i = r i m i ṙ i Eine sehr beliebte Antwort auf die Frage, wann der Drehimpuls eines Vielteilchensystems erhalten ist, war: wenn K=0 ist! Diese Antwort ist zweifellos richtig, aber nicht allgemein genug. 3. Aufgabe Das Hamiltonprinzip und die Lagrange Gleichungen 2. Art. Zum Hamiltonprinzip gab es zum Beispiel folgende Angebote: Prinzip der kleinsten Arbeit. Der Massenpunkt nimmt den Weg, auf dem er die geringste Arbeit verrichtet. Die Wirkung W wird extremal (meistens 0). 1

2 δw = 0 = L soll minimal (maximal) werden Arbeitsintegral W = L dt, d.h. die Arbeit die von ähnlichen alternativen Bahnen verrichtet wird = der wirklichen Arbeit Das kommentiere ich jetzt lieber nicht. Und was die Herleitung selbst anging... ohne Kommentar: δw = ( δq k + δq k )dt L δq k ; L δ q k q k q k δl = L(q k, q k, t) L(q k, q k, t) = f 1 ( L q ε + L ) q ε q ε q ε...wohingegen die Lagrangegleichungen so manch absonderliche Form annahmen: 4. Aufgabe d L L = 0 dt q k q k δ L δt d q L dq = 0 All das war noch harmlos gegen das Grauen, das in den Aufgaben 4 und 5 auf uns wartete. Zur Erinnerung: Die Frage lautete: Für welches β (β=const.) hat die gegebene Kraft ein Potential und wie lautet dieses Potential? Und nun einige Antworten (die leider nicht nur einmal auftauchten): K konservativ für 2 K x y = 2 K y x = β = y a x a Hier sind gleich mehrere Fehler passiert: 1) ist die Kraft eine vektorielle Größe, so dass die Anwendung des Schwarzschen Satzes hier gar keinen Sinn macht (was soll K eigentlich sein? Der Betrag von K?) Der Schwarzsche Satz gilt für das skalare Potential U, das aber doch erst berechnet werden soll. Und 2) war β eine Konstante!!! U = K ds U ist ein skalares Potential, kein Vektor!!!! K konservativ = ex y x Zur Erinnerung. Die Einheitsvektoren e x, e y, e z sind konstant und hängen nicht von den Koordinaten ab! = ey 2

3 U = K dr = K dx + K dy + K dz. Nochmal: K ist ein Vektor, U ein Skalar!!! In die gleiche Kategorie fällt rot K = rot K = x K ye x y K xe y ( / x / y ) ( Kx K y ) = Das beißt sich mit einem ganzen Bündel von Sätzen aus der Algebra. Kleiner Tip: Das Kreuzprodukt und die Determinantenregel zum Berechnen des Kreuzproduktes sind nur in drei Dimensionen definiert! U = K r... kein Kommentar K konservativ wenn K x = K y = 0 Auch das kommentiere ich lieber nicht U(x, y) U(x 0, y 0 ) = x y x 0 e x x K x e y y K y y 0 (x a)(1 + y a) 2 (y a)(1 + x a) 2 dx dy Es dauerte eine Weile, ehe ich begriffen hatte, wie man überhaupt auf diesen Integranden kommt. Nochmal: das Potential U ergibt sich als Linienintegral U = K dr, es hat niemals nicht mit einem Flächenintegral zu tun! rot K = K y r z K z r y K z r x K x r z K x r y K y r x = 0 r K konservativ, wenn K r = K x x + K ( ) y y a 2 y = 0 = β = x a Und dann war da noch... K = Auch hierzu: kein Kommentar! (( x y ) ) a (1 (y a) 2 ) 3

4 Aufgabe 5, oder: Der Tragödie Zweiter Teil... Was wir zum Teil bei Aufgabe 5 sehen mussten, trieb uns so manches mal einen kalten Schauer über den Rücken. Zur Erinnerung: Zwei unschuldige Sternchen (oder ganz nüchtern: zwei Massenpunkte) sollten gravitativ miteinander wechselwirken. Gesucht waren die zugehörige Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichungen, und damit das Ganze nicht so schwer wird, sollten kartesische Koordinaten verwendet werden. Bei gewissen Antworten wäre es einfach mal interessant, sich zu überlegen, wie unser Weltall wohl aussehen würde, wenn die Gesetze der Himmelsmechanik auf diesen Gleichungen beruhen würden, andere Antworten hingegen... Aber seht selbst! Das Gravitationspotential U (das ja eigentlich bekannt sein sollte) wurde in einer Arbeit wie folgt berechnet: U = (x,0) (0,0) γm 1 m (x,y) 2 x 2 + y 2 dx + γm 1 m 2 (x,0) x 2 + y 2 dy Mal abgesehen davon, dass man das Gravitationspotential eigentlich kennen sollte, ist der Punkt (0,0) wohl kaum als Nullpunkt des sich ergebenden Potentials geeignet (da wird U nämlich unendlich). Ein beliebter Fehler geschah bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen: m 1 ẍ 1 = +3Gm 1 m 2 (x 1 x 2 ) [(x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 ] 3/2 (das Gleiche für x 2, y 2 und y 2 ).Mal abgesehen von dem falschen Vorzeichen sollte in so einem Fall das Auftauchen des Faktors 3 ein Alarmsignal sein. Man bedenke das wohlbekannte Keplerproblem, das ja nur ein Spezialfall des allgemeinen Zwei- Körper-Problems ist. Sehr beliebt war folgender Gedankengang: 2 Körper 2 Potentiale, also U = 2Gm 1m 2 r 1 r 2 Ganz davon abgesehen, dass dieses Potential äußerst abstoßend ist (es käme niemals zu gebundenen Bewegungen in einem solchen Potential) gibt es nur ein Wechselwirkungspotential zwischen den Körpern! Obwohl es sich um System mit 6 Freiheitsgraden handelte, hinderte das so manch einen nicht daran, das Ganze auf eine generalisierte Koordinate herunterzudiskutieren: T = µ 2 ṙ2 und daraus folgend auch nur eine generalisierte Koordinate in den Lagrangegleichungen 4

5 auch eindimensional, aber dafür mit kartesischen Koordinaten: T = m 1 2 ẋ2 2 + m 2 2 ẋ2 2, L = m 1 2 ẋ2 1 + m 2 2 ẋ2 2 Gm 1m 2 x 1 x 2, m 1 ẍ 1 = Gm 1m 2 (x 1 x 2 ) 2, s = m 1x 2 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Das kommentiere ich jetzt wirklich nicht! o.b.d.a ż = z = ẏ = ÿ = 0 also L = m 1 2 ẋ2 1 + m 2 2 ẋ2 2 Gm 1m 2 (x 1 x 2 ) Ich hoffe, dass ER nicht auf die Idee kommt, deinen Vorschlag mal in die Tat umzusetzen. Dann würde es für uns nämlich sehr schnell ungemütlich heiß werden. Oder sollte o.b.d.a. ohne Beachtung der Aufgabenstellung heißen? Das Gravitationspotential ist ein skalares Potential! Dennoch mussten wir des öfteren lesen: U = Gm 1m 2 r 1 r 2 3 (r 1 r 2 ), L = m 1 2 (ẋ2 1 + ẏ2 1 + ż2 1 ) + m 2 2 (ẋ2 2 + ẏ2 2 + ż2 2 ) + Gm 1m 2 r 1 r 2 3 (r 1 r 2 ) Kleiner Tip: auch die Lagrangefunktion L ist ein Skalar, kein Vektor!!! Überhaupt: Vektoren! Da gab es (und das nicht nur einmal) oder auch mal zur Abwechslung r 12 = 2Gm 1 + m 2 r 12 3, oder r + 2G(m 1 + m 2 ) 1 r 3 = 0, U = Gm 1m 2 r r r, oder U = Gm 1m 2 (r 1 r 2 ), oder r 1 = m 2G (r 1 r 2 ) 2 oder Ein paar Merkregeln: K = γ m 1m 2 r 1 r 2 2 5

6 Steht auf der linken Seite der Gleichung ein Vektor, muss auch auf der rechten Seite der Gleichung ein Vektor stehen! Kürzen durch Vektoren, das tun doch nur die Toren! Eine nette Argumentation war auch die folgende: Da sich die Körper nur entlang ihrer Verbindungslinie bewegen können, läßt sich das Problem eindimensional betrachten. Der Schwerpunkt ruht, er ist konstant, daher ist es günstig, den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt zu legen. Brrrr! Ein typischer Trugschluß war auch, am Anfang der Rechnung s = 0 zu setzen und dann zu dem (zweifellos richtigen) Schluss zu kommen, dass der Schwerpunkt dieses Systems ruht. Logisch, wenn man alles vom Schwerpunkt aus betrachtet... Aufgabe 6 Wer bei Aufgabe 6 die (nicht gerade offensichtliche) Nebenbedingung nicht wusste, hatte leider von vornherein schlechte Karten, aber das ist verzeihlich. Schade war nur, dass viele zwar die Nebenbedingung und damit Lagrange I richtig behandelten, aber dann bei Lagrange II drei generalisierte Koordinaten annahmen. Es gibt aber doch nur so viele generalisierte Koordinaten wie Freiheitsgrade, also in diesem Fall genau zwei! Aufgabe 7 Zur Erinnerung: Es sollte das Trägheitsmoment und die Rotationsenergie eines Zylinders mit der Massendichte µ(ρ) = aρ 2 berechnet werden. Probleme gab es schon bei den Definitionen: T = m 2 JΩ2, J = r dv hmmm, da ist wohl etwas ziemlich schief gelaufen. Θ = µ dv Das ist die Masse, nicht das Trägheitsmoment! Θ = µr dv, oder Θ = µr dv Während ersterer Fehler in der Aufregung noch verzeihlich ist, ist der zweite einfach nur... Vektoren und Skalare, die zwei natürlichen Feinde des Physikstudenten? Θ = µ(ρ) ρ 2 dv µ(ρ) war nicht konstant, mußte also mit unters Integral. 6

7 Verheerend war auch folgende Idee: V = M µ(ρ) Und was ist, wenn ρ = 0 ist???? Häufig wurde auch Θ = 1 3 M µ(r) µ(ρ) R2. µ = M V = aρ2 gesetzt. Wie kommt man eigentlich darauf??? 7