Checkliste: Materialien Lernstand 8 Mathematik Lesen von Diagrammen - Statistische Diagramme. 1. Schritt:

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1 Materialien Lernstand 8 Mathematik Lesen von Diagrammen - Statistische Diagramme Arbeitsbereich 2 - Bildungsforschung, Evaluation und Schulentwicklung Checkliste: 1. Schritt: Orientieren Worum geht es in dem Diagramm? (Überschrift, Beschriftungen, Maßeinheiten) 2. Schritt: Fragen an das Diagramm 3. Schritt: Genau lesen Was weißt du schon über das Thema? Was willst du herausfinden? Kläre unbekannte Wörter und Fachbegriffe. (Übernimm sie in deine Wortliste) Betrachte das Diagramm jetzt genau: Welche Informationen kannst du dem Diagramm im Einzelnen entnehmen? Hilfefragen: Um welchen Diagrammtyp handelt es sich? (z. B. Säulendiagramm, Balkendiagramm, Kreisdiagramm, ) Wie sind die Säulen, die Kreissegmente, beschriftet? Wie sind die Achsen beschriftet? Wie sind sie eingeteilt? Sind Einheiten angegeben? Sind die Häufigkeiten in absoluten Zahlen oder als Anteile (in Prozent) angegeben? Sind die Daten in Gruppen (Klassen) zusammengefasst? bei Kreisdiagrammen: Welche Farbe ist welcher Angabe zugeordnet? Wie groß sind die Winkel der Sektoren? Welchem Anteil (auch in Prozent) entspricht das? Was ist der größte Wert, der kleinste Wert? Welche Werte sind besonders auffällig? Wer hat das Diagramm erstellt? Für wen? Hat er dabei eine Absicht verfolgt? 4. Schritt: Weiterarbeit mit dem Diagramm Formuliere weitere Aussagen, die zu diesem Diagramm passen. Formuliere eine Aufgabe, die man mithilfe dieses Diagramms beantworten kann. Formuliere eine Aufgabe, die man mithilfe dieses Diagramms nicht beantworten kann.

2 Aufgabe 1: Darstellung in Diagrammen Aufgabe 2: Fahrradtour a) Ergänze die Säule für den letzen Tag. b) Wie viele Kilometer haben Max und Julia auf der ganzen Tour durchschnittlich pro Tag zurückgelegt? Gib dein Ergebnis an. km

3 Aufgabe 3: Schulstatistik a) b) (zur Weiterarbeit)

4 Aufgabe 4: Schokoladenfiguren a) b) c) (zur Weiterarbeit)

5 Aufgabe 5: Chancen Michael und Julia haben bereits ihre Glücksräder gebastelt. Michaels Glücksrad Julias Glücksrad Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Kreuze an. Bei Michaels Glücksrad ist die Gewinnwahrscheinlichkeit am größten. Bei Julias Glücksrad ist die Gewinnwahrscheinlichkeit am größten. Bei Michaels Glücksrad und bei Julias Glücksrad ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich. Begründe deine Antwort.

6 Lösungen und didaktische Kommentare Aufgabe 1: Darstellung in Diagrammen Lösung: 2009 In diesem Schaubild geht es um die Darstellung eines Umsatzes durch ein Säulendiagramm. Auf der Hochachse wird die Anzahl verkaufter Flaschen (in Mio.) dargestellt. Zunächst ist die gegebene Anzahl der Flaschen (in Mio.) auf der Hochachse zu finden. Davon ausgehend kann dann die entsprechende Säule bzw. das zugehörige Jahr identifiziert werden. Weiterarbeit und Förderung Neben dem Ablesen aus Diagrammen bietet diese Aufgabe auch die Gelegenheit, deren zielgerichtetes Erstellen zu üben oder auch Manipulationen an ihnen zu thematisieren. Mit diesen Tätigkeiten lässt sich ein Beitrag zu einem verständigen Umgang mit Diagrammen bzw. zu deren Interpretation leisten. Bereitet das Ablesen aus Diagrammen noch Schwierigkeiten, so kann dies anhand verschiedener vorgegebener Diagramme zu inner- und außermathematischen Kontexten wiederholt und geübt werden. Entsprechende grundlegende Ableseübungen können von der Rechtsachse und von der Hochachse eines Diagramms ausgehen. Ergänzend lassen sich mathematikhaltige Fragen formulieren, um dann zu prüfen und zu begründen, ob sich diese mithilfe des Diagramms beantworten lassen. Insbesondere das Beschreiben von Diagrammen trainiert auch die Kompetenz Kommunizieren, da hierfür sprachliche Mittel und fachsprachliche Begriffe benötigt werden. Man kann mehrere Diagramme zum selben Datensatz vorbereiten, z. B. auch mit unterschiedlichen Achseneinteilungen (z. B. in 10er, 50er, 100er, 1000er-Schritten) und den Schülerinnen und Schülern als Kopie geben. Die Diagramme können dann auch bzgl. ihrer Ableseeigenschaften verglichen werden. Ein solcher Vergleich ergibt sich häufig sogar in natürlicher Weise, wenn Daten zuvor selbst gesammelt und dann arbeitsteilig ausgewertet werden. Aufgabe 2: Fahrradtour a) Lösung: b) Lösung: 50 km In diesem Schaubild geht es um die Darstellung der Fahrtstrecken einer Fahrradtour in Form eines Säulendiagramm. Auf der Hochachse werden die pro Tag zurückgelegten km

7 dargestellt. Die Säule für den letzten Tag fehlt. Diese Information ist aber im Text enthalten, so dass hier bezüglich der Lesekompetenz eine Kombination aus Text und Grafik zu erfassen ist. In Teilaufgabe 2 muss zunächst der Begriff durchschnittlich im Text als wichtig erkannt werden. Die anschließende Deutung dieses Begriffs liefert einen zentralen Hinweis auf das Modell Bildung des arithmetischen Mittels. Die erforderlichen Daten sind dem Diagramm zu entnehmen und durch die Angabe für den siebten Tag im Aufgabentext zu ergänzen. Anschließend ist das gesuchte arithmetische Mittel zu berechnen. Schließlich muss dieser Wert im Kontext Fahrradtour gedeutet werden. Weiterarbeit und Förderung Im Unterricht kann das arithmetische Mittel neben seiner rechnerischen Behandlung unterstützend visualisiert und gedeutet werden. Dabei liegt je nach Aufgabenstellung ein Bezug zur Aufteil- oder zur Ausgleichs-Vorstellung nahe. Oft wird in den Medien mit einem Durchschnitt oder mit einem Mittel argumentiert. Dies legt es nahe, im Unterricht einen Beitrag zu einem kritischen Umgang mit Mittelwerten zu leisten und begleitend so auch das statistische Denken zu fördern. Insbesondere eine kritische Betrachtung des arithmetischen Mittels bietet sich an, um der häufigen Fehlvorstellung, dass das Mittel in der Mitte einer Datenmenge liegt, entgegenzuwirken. Am Beispiel von Teilaufgabe 2 kann die Aufteil-Vorstellung vom arithmetischen Mittel vertieft werden. Dazu müssen alle sieben Teilstrecken gedanklich aneinandergelegt werden, um dann zu überlegen, wie diese Gesamtstrecke neu aufzuteilen wäre, damit alle Teilstrecken gleich lang sind. Soll hingegen die Ausgleichs-Vorstellung reaktiviert werden, muss man bei den langen Tagesetappen gedanklich so viel wegnehmen und dies gleichzeitig bei den kürzeren Etappen hinzufügen, dass schließlich alle Tagesetappen gleich lang sind. Die Ausgleichsvorstellung kann dadurch unterstützt werden, dass das arithmetische Mittel als Parallele zur Rechtsachse gezeichnet wird. Der überstehende Teil der Säulen muss sich mit dem fehlenden Teil unterhalb der Linie ausgleichen. Auch Manipulationen von Diagrammen lassen sich anhand dieser Aufgabe thematisieren (s. dort). Aufgabe 3: Schulstatistik a) Lösung: Grundschule In dieser Aufgabe geht es um die Auseinandersetzung mit den Ergebnissen der Schulstatistik in Sachsen-Anhalt, die in Form eines Balkendiagramms dargestellt sind. Für jede Schulform wurden zwei Balken gezeichnet (staatliche Schulen und Schulen in freier Trägerschaft). Auf der Rechtsachse wird die Anzahl der Schulen erfasst. Zur Bearbeitung der Aufgabe ist es nötig, das Balkendiagramm zu lesen und mit Bezug zur Fragestellung die Anzahlen der Schulen miteinander zu vergleichen. Das Balkendiagramm ist eine vertraute Darstellung, so dass der Vergleich auf einen Blick möglich sein sollte. Weiterarbeit und Förderung Sollten bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten auftreten, bietet es sich an, die Ergebnisse der statistischen Erhebung in Form zweier Balkendiagramme (Schulen in freier Trägerschaft, staatliche Schulen) darzustellen und diese separat auswerten zu lassen. Werden diese beiden Balkendiagramme geeignet auf zwei Folien gezeichnet, kann man die beiden Folien auf dem Overheadprojektor übereinander legen, um so die verschiedenen Darstellungsformen miteinander zu verbinden und während der Besprechung der Ergebnisse auf diese Bezug nehmen zu können.

8 Des Weiteren können die Daten auch mittels einer Tabellenkalkulation erfasst und dargestellt werden, um so den Umgang damit zu üben und die Eignung weiterer Diagrammtypen zu hinterfragen. Die Aufgabe kann auch mit anspruchsvolleren Fragestellungen erweitert werden, wie der angegebenen. (Lösung: Gesamtschulen) In dieser weiterführenden Aufgabe müssen die Informationen aus beiden Balkendiagrammen noch miteinander in Beziehung gebracht werden. Aufgabe 4: Schokoladenfiguren Lösungen: a) 10 Millionen b) 175 Millionen c) Ja, das Diagramm ist korrekt gezeichnet. In a) sind dem Aufgabentext und dem Diagramm zunächst jene Informationen zu entnehmen, die zur Ermittlung der gesuchten Anzahl Osterhasen gebraucht werden. Dabei ist zu unterscheiden zwischen relevanten Angaben (100 Millionen Hasen, davon 10 % dunkle Schokolade) und überflüssigen Informationen (57 % Osterhasen). Genaues Lesen ist hier also erforderlich. Auf sprachlicher Ebene sind dabei die Begriffe Anteil und Anzahl zu unterscheiden. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kann auf eine Vorstellung vom Prozentbegriff Bezug genommen werden (10 % = 1/10). Auch zur Lösung von b) sind zunächst die relevanten Informationen zusammenzutragen: 100 Millionen Hasen sind 57 % aller Schokoladenfiguren. Überflüssig sind hier die Angaben zur dunklen Schokolade und Milchschokolade. Man kann in einem ersten Schritt errechnen z. B. durch Anwenden einer Proportionalitäts-Vorstellung, wie viele Weihnachtsmänner ungefähr produziert wurden, und diese Anzahl zu der der Osterhasen addieren, oder man schließt von 57 % auf die gesuchten 100 %. Möglich ist auch, direkt eine Formel für den Grundwert zu nutzen. Mögliche Schwierigkeiten: Zu a): - Im Aufgabentext wird überlesen, dass die Anzahl der Osterhasen und nicht die Gesamtzahl aller Schokoladenfiguren gegeben ist. Dies führt zur Fehllösung Die Begriffe Anzahl und Anteil werden verwechselt, so dass sich z. B. die Fehllösung 90 Millionen ergibt. Zu b): Angekreuzt wurde: Millionen: Die Anzahl der im Aufgabentext genannten Hasen wird mit der gesuchten Gesamtzahl der Schokoladenfiguren verwechselt. Möglicherweise wird der Begriff insgesamt missachtet Millionen: Es wird unkritisch angenommen, dass die Anzahl der Schokoladenfiguren etwas höher sein muss Millionen: Die Anzahl der Weihnachtsmänner wird mit ca. 75 Millionen richtig errechnet, anschließend jedoch unkritisch verdoppelt. Dabei wird nicht berücksichtigt, dass die Anteile beider Schokoladenfiguren an der Produktion nicht gleich sind.

9 - 200 Millionen: Es wird fälschlich angenommen, dass sich die Produktion der Schokoladenfiguren je zur Hälfte auf die Osterhasen und die Weihnachtsmänner aufteilt. Folglich wird die gegebene Anzahl der Osterhasen einfach verdoppelt. Weiterarbeit und Förderung Die Bearbeitung dieser Aufgabe bereitet zwei typische Probleme. Ein Problem besteht im Identifizieren relevanter Angaben in einem Text. Ein weiteres Problem besteht in der korrekten Verknüpfung dieser Angaben unter Beachtung ihrer Bedeutung im Kontext. Beides ist eng mit den Kompetenzen Kommunizieren (hier: Textverstehen) bzw. Problemlösen (hier: Zerlegen in geeignete Teilprobleme) verknüpft. Um das gezielte Entnehmen relevanter Angaben aus einem Text zu üben, kann beispielsweise zuerst die Frage gelesen werden. Danach kann bewusst in einem separaten Schritt überlegt werden, welche Angaben man benötigt, um die Frage zu beantworten. Erst wenn diese Überlegung abgeschlossen ist und die erforderlichen Angaben zur Beantwortung der Frage bewusst sind, wird der Aufgabentext ein weiteres Mal gelesen. Alternativ kann zunächst nur der Aufgabentext gelesen und dabei überlegt werden, welche Fragen man mit den gegebenen Angaben beantworten könnte (und welche nicht). In einer Erweiterung können Schülerinnen und Schüler dann selbst vom Aufgabentext ausgehend Aufgaben formulieren, von denen sie wissen, dass diese mit den Angaben aus dem Text beantwortet werden können. Alternativ können zur gezielten Förderung des Leseverstehens Angaben zu den beiden Schokoladenfiguren in unterschiedlichen Farben markiert werden. Dies trägt dazu bei, dass Zahlangaben unter bewusster Berücksichtigung ihrer Bedeutung im Kontext miteinander verknüpft werden. Empfehlenswert ist auch, immer wieder einmal längere mathematikhaltige Texte zu lesen, in denen die Informationen auf Texte, Schaubilder und Tabellen verteilt sind. Derartige Texte werden unter dem Begriff diskontinuierliche Texte im Deutschunterricht behandelt und regelmäßig auch in den Lernstandserhebungen in Deutsch eingesetzt. Hier lohnt sich für Mathematiklehrerinnen und -lehrer ein Blick über Fächergrenzen hinweg, auch hinsichtlich der dort bereit gestellten didaktischen Materialien. Mit c) kann der Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen thematisiert werden. Für schwächere Schülerinnen und Schüler ist das Ablesen aus Streifendiagrammen oft einfacher als das Ablesen aus Kreisdiagrammen, insbesondere wenn die Werte nicht wie hier in den Sektoren stehen. In der Weiterarbeit sollte deshalb das Ablesen aus Kreisdiagrammen (ohne eingetragene Anteilswerte) geübt werden. Man kann damit die Aufgabe verbinden, Kreisdiagramme in Streifendiagramme umzuzeichnen und umgekehrt. Aufgabe 5: Chancen Lösung: "Bei Michaels Glücksrad und bei Julias Glücksrad ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich." Die Begründung muss entweder auf die Wahrscheinlichkeiten eingehen, auf die gefärbten Flächenanteile oder die Zahl der gefärbten Felder. Zur Bearbeitung von Teilaufgabe 10.2 werden die beiden abgebildeten Glücksräder hinsichtlich ihrer Gewinnwahrscheinlichkeit verglichen, indem (unter Rückgriff auf die Laplace-Vorstellung von Wahrscheinlichkeiten) der Quotient aus der Anzahl der günstigen und der möglichen Felder gebildet wird. Auf dieser Grundlage ist die richtige der verschiedenen Aussagen zu den Gewinnwahrscheinlichkeiten auszuwählen und die Wahl zu begründen.

10 Beispiele: Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt bei beiden Glücksrädern 1/2. Sowohl bei Michael als auch bei Julia sind 6 von 12 Feldern eingefärbt. Die Gewinnwahrscheinlichkeiten sind also gleich. Alternativ kann auch nur die absolute Anzahl der gefärbten Felder der Glücksräder miteinander verglichen werden, da beide Glücksräder gleich viele Felder aufweisen. Mögliche Schwierigkeiten In der Begründung wird auf die Lage der gefärbten Felder verwiesen, welche als wichtig für die Gewinnwahrscheinlichkeit ausgewiesen wird. Auf die Anzahl der gefärbten Felder bzw. die jeweilige Gewinnwahrscheinlichkeit wird nicht eingegangen, wie die abgebildete Schülerlösung zeigt. In der Begründung wird darauf verwiesen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Julias Glücksrad größer ist, da ihr Glücksrad größer als Michaels ist. Den Schülerinnen und Schülern scheint nicht bewusst zu sein, dass die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen in diesem Fall nur von der Anzahl der gefärbten Felder abhängig ist. In der Begründung wird nur auf die Einteilung des Glücksrads geachtet, nicht aber auf die gefärbten Felder: Bei beiden ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich groß, weil beide 12 Felder in ihr Glücksrad gezeichnet haben. Weiterarbeit und Förderung Treten bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten auf, kann die Sachsituation auf ein Urnenmodell übertragen werden. Dieses ermöglicht es, die Unabhängigkeit der Gewinnwahrscheinlichkeit von der Lage der Felder/ Kugeln, deren Größe bzw. dem Ziehen/ Drehen selbst zu verdeutlichen. Der Transfer kann von den Schülerinnen und Schülern gegebenenfalls auch selbst vorgenommen werden. Weiterführend kann im Unterricht folgende Sachsituation als Ausgangspunkt für weitergehende Fragestellungen verwendet werden: