Partielle Differentialgleichungen I

Transkript

1 Partielle Differentialgleichungen I Ben Schweizer Skript zur Vorlesung an der Otto von Guericke Universität Magdeburg im Wintersemester 24/5

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3 Inhaltsverzeichnis Teil 1. Einführung und Vorbereitungen 7 Einführung 9 1. Modellierung mit partiellen Differentialgleichungen 9 2. Erstaunliche erste Eigenschaften von Lösungen 14 Verallgemeinerter Lösungsbegriff Der Gaußsche Satz Distributionen 3 5. Sobolevräume 34 Teil 2. Elliptische Differentialgleichungen 39 Energiemethoden Variationsmethode und symmetrische Probleme Bilinearformen und Lax-Milgram L 2 -Regularität 52 Darstellungsformeln Die Fundamentallösung Greensche Funktionen 57 Weitere Eigenschaften Weitere Aussagen über harmonische Funktionen Das Perron-Verfahren Maximumprinzipien für elliptische Gleichungen 7 Teil 3. Parabolische Differentialgleichungen 73 Darstellungsformeln Existenz von Lösungen im Ganzraum Maximumprinzip und Regularität 79 Energiemethoden Existenz von Lösungen mit Rothe-Methode Eindeutigkeit und Regularität 91 Weitere Methoden Variation der Konstanten Ein nichtlineares Problem 1

4 4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Literatur L.C. Evans: Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics No. 19, AMS H.-W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, E. DiBenedetto: Partial Differential Equations. Birkhäuser, D. Gilbarg und N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Classics in Mathematics. Springer, 21. J. Jost: Partial Differential Equations. Graduate Texts in Mathematics 214. Springer, 22. M. Renardy und R. Rogers: An introduction to partial differential equations, Texts in Applied Mathematics. 13. Springer, Dieses Skript orientiert sich an den Vorlagen: H.-C. Grunau: Skript zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen I, Wintersemester 23/4, Magdeburg. W. Jäger: Skript zur Vorlesung Lineare Partielle Differentialgleichungen, Sommersemester 1991, Heidelberg.

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7 7 Teil 1 Einführung und Vorbereitungen

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9 Einführung Diese Einführung dient der Motivation und der Begriffsbildung. In Abschnitt 1 leiten wir aus physikalischen Prinzipien erste partielle Differentialgleichungen ab. In Abschnitt 2 beweisen wir, dass die Lösungen einige erstaunliche zusätzliche Eigenschaften haben. Dabei sammeln wir solche Eigenschaften, die sich elementar und schnell beweisen lassen. 1. Modellierung mit partiellen Differentialgleichungen Wir wollen die Modellierung eines physikalischen Vorganges an einem Beispiel illustrieren. Physikalische Beobachtung: Ein Metallkörper wird am Rand beheizt (zeitlich konstant). Wir beobachten, dass sich nach einer Zeit eine feste Temperaturverteilung innerhalb des Körpers ausbildet. Frage: Gegeben die Temperaturverteilung am Rand... können wir die Temperaturverteilung im Inneren auch ermitteln ohne das Experiment durchzuführen? Modellierung (Variablen): Wir nennen das Gebiet, das der Metallkörper einnimmt ( R 3 ). Die Temperaturverteilung im Inneren (die wir nicht kennen), nennen wir u (u weist jedem Raumpunkt eine Temperatur zu, also u : R). Zusätzlich führen wir den Wärmestrom j : R 3 ein. Für einen Raumpunkt x gibt j(x) R 3 an, in welche Richtung Wärmeenergie transportiert wird (und wieviel transportiert wird). Modellierung (Gleichungen): Im Gedankenexperiment betrachten wir ein beliebiges Volumen V. Falls sich die Wärmeverteilung nicht mehr ändert (weil wir lange genug gewartet haben), dann darf insgesamt keine Wärme in das Volumen V hineintransportiert werden, denn sonst würde die Temperatur entsprechend ansteigen. Mit dem Normalenvektor ν an V gilt j ν ds =. V

10 1 EINFÜHRUNG Mit dem Gaußschen Satz schreiben wir dies als div j dx = j ν ds =. Da das Volumen V beliebig war, gilt V (1.1) div j = in. Nun brauchen wir eine Abhängigkeit zwischen j und u. Die einfachste ist gegeben durch das Fouriersche Gesetz: Man nimmt an, dass die Wärme immer vom warmen Bereich in den kalten Bereich strömt, die Geschwindigkeit ist proportional zu Temperaturunterschieden. Mit einer Zahl a > (Leitfähigkeit des Materials) nimmt man an, dass (1.2) j = a u. Setzt man dies in (1.1) ein, so erhält man die Laplace-Gleichung (1.3) u =. Wir verwenden dabei den Laplace-Operator in n Dimensionen, n 2 n n = div = = x 2 k = k 2. x 2 k=1 k Varianten: Falls die Leitfähigkeit a vom Raumpunkt abhängt, a = a(x), dann können wir im letzten Schritt nicht vereinfachen. Wir betrachten dann V k=1 (1.4) div (a u) =. Falls wir Wärmequellen innerhalb des Körpers haben, die in jedem Punkt x die Wärmemenge f(x) erzeugen, dann hätten wir div (a u) = f gefunden. Im Falle a 1 also die Poisson-Gleichung (1.5) u = f. Falls wir die instationäre (= zeitlich veränderliche) Situation betrachten, dann ist der Wärmestrom nach V nicht unbedingt. Er ist dann aber gleichzusetzen mit der Zunahme an Temperatur in V, V tu. Dies führt auf die Wärmeleitungsgleichung (1.6) t u = u. In dieser Vorlesung betrachten wir die Laplace-Gleichung: u = Poisson-Gleichung: u = f andere elliptische Gleichungen, z.b.: div (a u) = f Wärmeleitungsgleichung: t u = u andere parabolische Gleichungen, z.b.: t u = div (a u) + f k=1

11 1. MODELLIERUNG MIT PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 11 Lösungen der Laplace-Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die zeitunabhängigen (stationären) Gleichungen werden in Teil 2 behandelt, die zeitabhängige (instationäre) Wärmeleitungsgleichung in Teil 3. Unsere Antwort auf obige Frage: Um die Temperaturverteilung im Inneren zu kennen, müssen wir nur Gleichung (1.3) lösen (mit geeigneten Randbedingungen). Die Modellierung ermöglicht aber noch viel mehr: Wir können Größen berechnen, die nicht direkt meßbar sind. Wir können die Lösung berechnen, ohne das Experiment durchzuführen. Mit (1.6) können wir Vorhersagen über die Zukunft treffen. Mit (1.4) können wir aus dem Experiment Rückschlüsse über das Material gewinnen. Wir können nach optimalen Materialien fragen: Wie muss a verteilt werden, damit z.b. Lösungen nirgends zu groß werden? Partielle Differentialgleichungen: Die genannten Gleichungen heißen partielle Differentialgleichungen, weil in der Gleichung Ableitungen vorkommen, und zwar Ableitungen nicht nur in eine Richtung (dann: gewöhnliche DGL), sondern partielle Ableitungen in verschiedene Richtungen. Dasselbe Modell in anderem Kontext: Die beschriebenen Phänomene waren eine Energieerhaltung in Gleichung (1.1) (andere Bedeutungen: Massenerhaltung, Ladungserhaltung, Impulserhaltung) und eine lineare Beziehung zwischen Strom und u-gradient in (1.2). Dieselben Gleichungen entstehen in ganz anderen Zusammenhängen: Bedeutung von u Name für Gesetz (1.2) Temperatur chemische Konzentration elektrostatisches Potential Flüssigkeitsdruck Deformation Fourier sches Gesetz Fick sches Diffusionsgesetz Ohm sches Gesetz Darcy Gesetz Hook sches Gesetz Modellierung anderer Phänomene: Die meisten Vorgänge in der Natur werden mit partiellen Differentialgleichungen beschrieben: Elektrostatik, Elektromagnetische Wellen (Maxwell-Gleichungen) Elastizität (Kräfte in Bauwerken, Werkstoffen), Plastizität Strömungen von Flüssigkeiten (Navier-Stokes Gleichungen)

12 12 EINFÜHRUNG Umströmung eines Fahrzeuges Bewegung im Ozean (mit Wellen!) Bewegungen von Luftmassen (Wettervorhersage) Grundwasserströmungen Ausbreitung von Schall (Helmholtz-Gleichung) Verbrennungsvorgänge (Reaktions-Diffusions-Gleichungen) Populationsdynamik in der Biologie Beschreibung von Elektrochemischen Vorgängen (z.b. Nervenreizleitung) Beschreibung von Optionspreisen in der Finanzmathematik Abbildung 1. Strömungsphänomene. Links: Konvektionsrollen im Experiment. Rechts: Eindringen von Frischwasser in Salzwasser-getränkten Boden (Computersimulation). Abbildung 2. Linkes Bild: Wasserkonzentration über Europa ( Messung ). Rechtes Bild: Planktonkonzentration in der Nordsee (Simulation)

13 1. MODELLIERUNG MIT PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 13 Abbildung 3. Links: Strömung um einen Raumgleiter beim Wiedereintritt. Rechts: Felder in einem Elektromagneten Abbildung 4. Links: Stahlbrücke im Staat Washington. Rechts: Kapillarwellen auf einem Fluß. Für weitere Informationen zu den Bildern verweisen wir auf die Autoren benard- P. Bastian, Meteosat, M. Kirkilionis, O. Riedel, G. Warnatz, O. Sterz, G. Wittum, State of Washington, S. Krömker. Fragestellungen zu partiellen DGL: Wir werden uns an folgenden grundsätzlichen Fragen orientieren. Existenz: Hat die gegebene Gleichung eine Lösung? Eindeutigkeit: Gibt es höchstens eine Lösung? Regularität: Welche Glattheitseigenschaften hat die Lösung? Eigenschaften: Wie kann die Lösung charakterisiert werden?

14 14 EINFÜHRUNG Abbildung 5. Bildverarbeitung: vorher-nachher. Die Grauwerte des Bildes links wurden als Startwerte einer partiellen Differentialgleichung genommen; zu einem späteren Zeitpunkt sieht die Lösung der Gleichung aus wie im rechten Bild. Es findet eine Reinigung durch anisotrope Diffusion statt. Die Antworten auf die Fragen nach Existenz und Eigenschaften können oft verwendet werden, um numerische Verfahren zur Berechnung der Lösung anzugeben. 2. Erstaunliche erste Eigenschaften von Lösungen Wir wenden uns nun der mathematischen Seite der Gleichungen zu. In diesem (langen) Abschnitt stellen wir einige elementar beweisbare Aussagen über Lösungen verschiedener Gleichungen zusammen sie sollen ein Gefühl für die Gleichungen vermitteln Notation und partielle Integration. Eines der wichtigsten Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen ist der Gaußsche Satz. Wir geben ihn hier in der Formulierung der partiellen Integration an. In Abschnitt 3 werden wir uns eingehender mit diesem Satz beschäftigen. Satz 2.1 (Partielle Integration). Sei R n eine offene, beschränkte Teilmenge mit C 1 -Rand und äußerer Normalen ν. Dann gilt für Funktionen u, v C 1 (, R) (2.1) u v = u v + uv ν.

15 2. ERSTAUNLICHE ERSTE EIGENSCHAFTEN VON LÖSUNGEN 15 Notation für Integrale: Für Funktionen f : R n R schreiben wir (ab jetzt) für das Lebesgue-Integral über eines der Symbole f = f dl n = f(x) dl n (x) = f(x) dx. Dabei kann in den letzten beiden Formen x durch eine andere Laufvariable ersetzt werden. Für das Integral über eine n 1-dimensionale Fläche Σ schreiben wir eines der Symbole f = f dh n 1 = f(x) dh n 1 (x) = f(x) ds(x). Σ Σ Σ Varianten der partiellen Integration: Für die konstante Funktion u = 1 betrachten wir Koordinate i in (2.1) und finden i v = v ν i. Falls v C 1 (, R n ) (vektorwertig), dann können wir obige Formel auf die Komponenten v i anwenden und addieren. Mit der Abkürzung divv = v = n i=1 iv i finden wir div v = v ν. Dies ist der klassische Gaußsche Satz. Wir haben ihn in der Ableitung von (1.1) bereits verwendet Die Laplace-Gleichung im Eindimensionalen. Zusammenhängende Gebiete R sind Intervalle, wir schreiben = I = (a, b). Sei nun u eine zweimal stetig differenzierbare Funktion auf dem Intervall, die die Laplace-Gleichung löst, also u C 2 (I, R), u =. Dann ist die Ableitung u = u konstant auf dem Intervall und damit u linear: u(x) = cx + d für c, d R. Die Randwerte von u, also u(a) und u(b), bestimmen die Werte von c und d Mittelwerteigenschaft der Laplace-Gleichung. Nun sei n 1 beliebig und R n offen. Wir bezeichnen die offene Kugel mit Radius r > und Mittelpunkt x mit B(x, r). Mittelwerte über eine Mannigfaltigkeit Σ R n bezeichnen wir mit Σ u = 1 Σ Σ Σ u, wobei Σ = Σ 1.

16 16 EINFÜHRUNG Satz 2.2 (Mittelwertformel für harmonische Funktionen). Sei u C 2 (, R) mit u = in. Dann gilt (2.2) u(x) = u für jede Kugel B(x, r). B(x,r) Beweis. Für festes x bezeichnen wir den zweiten Term mit Φ(r) und schreiben mit der Transformationsformel Φ(r) := u(y) ds(y) = u(x + rz) ds(z). B(x,r) B(,1) Die Ableitung nach r (sie existiert!) ist dann Φ (r) = u(x + rz) z ds(z) = = B(,1) B(x,r) u(y) ν ds(y). Die Gaußsche Satz für v = u liefert B(x, r) Φ (r) = v ν = B(x,r) B(x,r) B(x,r) u(y) y x r divv = B(x,r) ds(y) u =. Also ist Φ konstant. Die Stetigkeit von u liefert Φ(r) u(x) für r, also das Resultat. Corollar 2.3 (Variante der Mittelwertformel). Sei u C 2 (, R) mit u = in und B(x, r). Für jede Gewichtsfunktion ϕ : [, r] R mit ϕ( x ) dx = 1 gilt dann B(,r) (2.3) u(x) = u(y) ϕ( y x ) dy. B(x,r) Beweis. Das Volumenintegral kann in Polarkoordinaten berechnet werden. Wir schreiben B(x, r) y = x + sz mit s [, r] und z B(, 1), r u(y) ϕ( y x ) dy = u(x + sz) ϕ(s) ds(z) s n 1 ds B(x,r) = r B(,1) Damit ist die gewichtete Mittelwertformel gezeigt. u(x) B(, 1) ϕ(s) s n 1 ds = u(x). Wir sehen, dass harmonische Funktionen in jedem Punkt mit ihrem Mittelwert in einer Umgebung übereinstimmen. Es gilt auch die Umkehrung: Die Mittelwerteigenschaft charakterisiert harmonische Funktionen.

17 2. ERSTAUNLICHE ERSTE EIGENSCHAFTEN VON LÖSUNGEN 17 Satz 2.4 (Charakterisierung harmonischer Funktionen). Sei u C 2 ( ) mit (2.4) u(x) = u B(x,r) für alle Kugeln B(x, r). Dann ist u harmonisch. Beweis. Angenommen, u(x) für ein x. Ohne Einschränkung gelte u(x) >. Wegen der Stetigkeit der zweiten Ableitungen finden wir R >, so dass in B(x, R) gilt u >. Wieder definieren wir Φ durch die rechte Seite von (2.4). Nach Voraussetzung gilt Φ =, aber die Rechnung des vorigen Beweises liefert B(x, r) Φ (r) = u > für r < R. Ein Widerspruch. B(x,r) 2.4. Regularität. Aus der Mittelwertformel folgt sofort eine erstaunliche Regularitätsaussage. Sei u harmonisch in und B(x, r). Wir wählen ϕ C ([, r), R) mit kompaktem Träger, d.h. für ein ε > gilt ϕ(s) = für alle s > r ε. Mit dieser Funktion können wir definieren ψ : R n R, ψ(y) = ϕ( y ), wobei wir setzen ϕ(s) = für s > r. Damit die Funktion ψ ebenfalls C ist, fordern wir ϕ(s) = 1 für alle s ε. Um das Integral zu normieren fordern wir r r 1 = ψ = ϕ( y ) dh n 1 (y) ds = B 1 () s n 1 ϕ(s) ds. R n B s() Satz 2.5. Harmonische Funktionen u C 2 (, R) sind von der Klasse C (). Beweis. Wir benutzen die Mittelwertformel mit der Gewichtsfunktion ψ. Differenzenquotienten in k-te Einheitsrichtung e k berechnen sich für < h < ε durch u(x + he k ) u(x) h = 1 h = ( B(x,r) B(x,r) u(y) ψ(y x he k ) dy B(x+he k,r) u(y) ψ(y x he k) ψ(y x) dy h u(y) ( 1) k ψ(y x) dy. B(x,r) ) u(y) ψ(y x) dy

18 18 EINFÜHRUNG Insbesondere ist u differenzierbar in x (was wir allerdings schon wußten). Die Argumentation kann nun wiederholt werden und liefert für die höhere Ableitung nach dem Multiindex α N n D α u(x) = u(y) ( 1) α D α ψ(y x) dy, B(x,r) und insbesondere existieren alle Ableitungen. Die Regularität ist insofern erstaunlich, als dass wir doch zunächst nur Informationen über die spezielle Kombination zweiter Ableitungen der Form n k=1 2 ku haben. Zunächst ist nicht einmal klar, wie man daraus eine Information über (z.b.) 1 2 u bekommen kann. Aber tatsächlich gewinnt man eine Information über alle Ableitungen Maximumprinzip für die Laplace-Gleichung. Satz 2.6 (Maximumprinzip). Sei R n offen und beschränkt und u C 2 () C ( ) harmonisch in. Dann gilt 1. Schwaches Maximumprinzip. (2.5) max u = max u. 2. Starkes Maximumprinzip. Falls zusammenhängend ist und das Maximum im Inneren angenommen wird, u(x ) = max u für ein x, dann ist u konstant, also (2.6) u max u. Beweis. Wir beweisen (2.6), (2.5) folgt aus (2.6). Sei also u(x ) = M := max u für x. Für jede Kugel B(x, r) gilt M = u(x ) = u M. B(x,r) Da linke und rechte Seite übereinstimmen, gilt überall Gleichheit, insbesondere u M auf B(x, r). Also hat x eine offene Umgebung, in der u M. Die Menge Q := {x u(x) = M} ist also offen. Gleichzeitig sind aber Häufungspunkte von Q in wieder in Q enthalten, also stimmt Q mit überein Das Dirichlet-Prinzip. Oft liefert der physikalische Hintergrund des Problems eine weitere Größe: Eine Energie, die vom System minimiert wird. Wir nehmen hier einen komplett mathematischen Standpunkt ein und betrachten das Dirichlet-Funktional (2.7) E(u) := u 2.

19 2. ERSTAUNLICHE ERSTE EIGENSCHAFTEN VON LÖSUNGEN 19 Da wir Randbedingungen festlegen möchten, betrachten wir für stetiges g : R nur Funktionen der Klasse (2.8) X := { u C 2 () C ( ) : u = g }. Satz 2.7 (Dirichlet-Prinzip). Sei offen und u X eine Funktion mit E(u) = inf v X E(v). Dann ist u eine harmonische Funktion. Bemerkung: Das Prinzip kann ein Verfahren liefern, um die Laplace- Gleichung u = in, u = g auf zu lösen. Beweis. Wir wählen eine Funktion w C 2 () mit kompaktem Träger in und ε R. Zur Störung εw betrachten wir nun die Vergleichsfunktionen u ε := u+εw. Es gilt u ε X und wegen der Minimalität von u E(u ε) E(u) ε = 1 (u + εw) (u + εw) u 2 ε = 2 u w + ε w 2 2 u w = 2 ( u) w. In der letzten Zeile haben wir den Limes ε gebildet und einmal partiell integriert (ohne Randterm, weil w kompakten Träger hat). Da w beliebig war, gilt u = Eindeutigkeit bei der Poisson-Gleichung. Satz 2.8 (Eindeutigkeit). Seien g C ( ) und f C () gegeben. Es gibt höchstens ein u der Klasse C 2 () C ( ), welches die Poisson-Gleichung löst. u = f u = g in auf Beweis. Seien u und v zwei Lösungen der Gleichung. Dann erfüllt die Differenz w := u v auf und auf w = u v = f f =, w = u v = g g =.

20 2 EINFÜHRUNG w C 2 () C ( ) ist harmonisch und nimmt sein Maximum nach (2.5) auf dem Rand an, also w in. Aber auch w ist harmonisch und nimmt sein Maximum auf dem Rand an, also auch w auf. Es gilt also w = und damit u = v. Wir interpretieren den Satz so: Für vorgegebenes f und g ist die Lösung eindeutig. Falls wir nun noch zu jedem f und g eine Lösung finden, dann wissen wir, welche Daten zur Poisson-Gleichung dazugehören (nämlich neben f auch g) Ein Maximumprinzip für die Wärmeleitungsgleichung. Hier sei R n offen und beschränkt und mit C 1 -Rand. Wir betrachten für T > Raum-Zeit Zylinder der Form T := (, T] R n+1. Als parabolischen Rand des Zylinders bezeichnet man die Menge Γ T := T \ T, sie faßt den seitlichen und den t = -Rand zusammen. Nach unserer Intuition erwarten wir, dass u niemals größer wird, als dies die Randwerte auf Γ T vorgeben (man denke an eine Wärmeverteilung in einem Körper). Tatsächlich wird sich dies als richtig herausstellen. Ein mathematisches Argument ist wie folgt. Sei u in einem inneren Punkt (x, t) T maximal. Dann verschwinden erste Ortsableitungen und zweite sind nichtpositiv, also t u(x, t) = u(x, t). u sollte also eher ab- als zunehmen. Das Problem, dass wir keine strikte Ungleichung gefunden haben, kann im Fall der Wärmeleitungsgleichung mit einem einfachen Trick gelöst werden. Satz 2.9 (Parabolisches Maximumprinzip). Sei u C 2 ( T ) C ( T ) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung (2.9) t u = u in T. Dann gilt mit Γ T := T \ T (2.1) max u max u. T Γ T Beweis. Wir können annehmen, dass max ΓT u = 1, andernfalls addieren wir eine Konstante zu u. Angenommen, es gilt u(x, T) = 1 + ε für ein x und ε >. Wir wollen diese Annahme zu einem Widerspruch führen. Wir betrachten die Funktion v(x, t) := e λ(t t) u(x, t). Für kleines λ > (kleiner log(1 + ε/2)/t) gilt v 1 + ε/2 auf Γ T, und im Punkt (x, T) gilt v(x, T) = 1 + ε. Also hat v genau wie u ein inneres Maximum, v(x 1, t 1 ) = max T v max ΓT v.

21 2. ERSTAUNLICHE ERSTE EIGENSCHAFTEN VON LÖSUNGEN 21 Die Funktion v löst auf T t v = λv + v. Der Punkt (x 1, t 1 ) ist ein Maximum und daher gilt t v(x 1, t 1 ) und v(x 1, t 1 ), also in diesem Punkt t v = λv + v λv <. Dies liefert den gewünschten Widerspruch. Genau wie bei der Poisson-Gleichung liefert das Maximumprinzip eine Eindeutigkeitsaussage. Corollar 2.1 (Eindeutigkeit). Für f C ( T ), u C ( ) und g C ( [, T]) gibt es höchstens ein u C 2 ( T ) C ( T ), welches die inhomogene Wärmeleitungsgleichung t u u = f in T, u = g u(., ) = u auf. auf [, T], Das Corollar liefert uns wieder einen Hinweis darauf, welche Daten zur Wärmeleitungsgleichung dazugehören. Tatsächlich werden wir später sehen, dass wir zu jedem f, g, und u eine eindeutige Lösung u finden Elementare Lösungen zu einer Transportgleichung. Homogene Gleichung. Die einfachste Gleichung erster Ordnung lautet (2.11) t u + x u =. Wir wollen hier u : R [, ) R, (x, t) u(x, t) suchen. Wieder wollen wir ein Anfangswertproblem lösen, wir fordern (2.12) u(., ) = u, mit, sagen wir, u C 1 (R, R). Eine Lösung der Gleichung läßt sich elementar angeben, nämlich (2.13) u(x, t) = u (x t). Die Lösungseigenschaft folgt aus t u(x, t) = u (x + t) = xu(x, t) und die Anfangswertannahme aus u(x, ) = u (x). Die Lösung verschiebt also einfach die Startwerte mit der Zeit nach rechts. Die spezielle Lösung verrät Folgendes über Gleichungen erster Ordnung. Die Lösung wird mit der Zeit nicht regulärer, die Gleichung glättet nicht. Es gibt eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.

22 22 EINFÜHRUNG Der zweite Punkt meint das Folgende: Information über die Anfangswerte in x = wird zur Zeit t jenseits der Punkte x = t nicht wahrgenommen. Dies steht, wie wir sehen werden, im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung. Dort werden die Anfangswerte in nach beliebig kurzer Zeit t > überall wahrgenommen. Inhomogene Gleichung. Wir haben gesehen, dass die Transportgleichung alle Werte mit Geschwindigkeit 1 nach rechts transportiert. Wir werden nun ein fundamentales Prinzip kennenlernen, eine Art Superposition von Effekten (letzlich das Prinzip der Charakteristiken). Wir betrachten die inhomogene Gleichung (2.14) t u + x u = f, wobei f C 1 (R [, ) R). Früher galt: Entlang der Linien (x t + s, s) ist u konstant. Jetzt gilt: Entlang der Linien (x t + s, s) nimmt u um f zu. Wir erraten also (2.15) u(x, t) = u (x t) + Einsetzen verifiziert den Tipp, denn t f(x t + s, s) ds. t t u(x, t) = u (x t) + f(x, t) 1 f(x t + s, s) ds, x u(x, t) = u (x t) + t 1 f(x t + s, s) ds Eine Wellengleichung. Die einfachste Wellengleichung zweiter Ordnung lautet (2.16) 2 t u = u. Eine physikalische Interpretation. Wir bezeichnen die vertikale Auslenkung einer dünnen Membran (eine Saite für n = 1) mit u, bei einer unendlich ausgedehnten horizontalen Membran also u : R 2 R. Im einfachsten Modell sind die vertikalen Kräfte gegeben durch u, d.h. über eine Linie Γ R 2 mit Normalen ν wird die vertikale Kraft u ν übertragen (dahinter steht das Hooksche Gesetz Kraft Auslenkung). Wir verwenden nun Newton s Gesetz für die kinematische Beschreibung: Beschleunigung Kraft. Für ein Elementarvolumen V R 2 gilt dann nach Normalisierung (2.17) t 2 u = u ν = u. V V In der zweiten Gleichung haben wir wieder den Gaußschen Satz verwendet. Da V beliebig war, folgt die Wellengleichung. V

23 2. ERSTAUNLICHE ERSTE EIGENSCHAFTEN VON LÖSUNGEN 23 Eindimensionale Wellengleichung. Der einfachste Fall ist die eindimensionale Wellengleichung, also (2.18) 2 t u = 2 xu. Wir wollen wieder ein Anfangswertproblem lösen. Wir suchen u : R [, ) R, (x, t) u(x, t), so dass (2.19) u(., ) = u, t u(., ) = u 1, mit, sagen wir, u C 2 (R, R) und u 1 C 2 (R, R). Bemerke: Die Wellengleichung enthält 2 t u, daher schreiben wir (wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen) nicht nur u am Anfang, sondern auch t u am Anfang vor. Zwei Lösungen der Gleichung (ohne Anfangsbedingungen) lassen sich elementar angeben, nämlich für beliebige ϕ, ψ C 2 (R, R) (2.2) u(x, t) = ϕ(x + t), u(x, t) = ψ(x t). Dies folgt durch zweimaliges Differenzieren. Da wir nun zwei Elementarlösungen haben, können wir die zwei Anfangsbedingungen erfüllen. Wir könnten nun die Lösung angeben und verifizieren, dass tatsächlich eine Lösung gefunden ist. Um jedoch die Formel zu motivieren schreiben wir zunächst die Gleichung in der Form ( t + x )( t x )u =. Daher löst v(x, t) := ( t x )u(x, t) die Gleichung ( t + x )v =, v(., ) = u 1 x u. Wie im letzten Abschnitt finden wir eine Lösung, nämlich v(x, t) = [u 1 x u ](x t). Wir müssen nun die inhomogene Transportgleichung (2.21) ( t x )u(x, t) = v(x, t) nach u auflösen. Wir verwenden dazu die Formel (2.15) und bedenken dabei das umgekehrte Vorzeichen in der Gleichung. u(x, t) = u (x + t) + = u (x + t) + t t v(x + t s, s) ds [u 1 x u ](x + t 2s) ds = u (x + t) [u (x t) u (x + t)] + = 1 2 [u (x + t) + u (x t)] x+t x t t u 1 (y) dy. u 1 (x + t 2s) ds

24 24 EINFÜHRUNG Die letzte Darstellung ist die d Alembert-Formel für die eindimensionale Wellengleichung. Man kann durch Einsetzen leicht verifizieren, dass sie tatsächlich eine Lösung liefert. Wieder sehen wir, dass die Wellengleichung die Anfangsdaten u nur transportiert und nicht glättet.

25 Verallgemeinerter Lösungsbegriff 3. Der Gaußsche Satz Wir haben bereits gesehen, dass wir Differentialgleichung typischerweise auf Teilmengen R n lösen. Wir müssen uns also mit Eigenschaften solcher Mengen beschäftigen. Lipschitz-Gebiete. Definition 3.1. Sei R n offen. Wir sagen, dass einen Lipschitz-Rand hat, falls zu jedem x folgendes existiert: 1. Eine n 1-dimensionale Hyperebene H x mit Normalenvektor ν R n, H x = {y R n (y x) ν = }. 2. Für ε, η > eine Lipschitz-Abbildung g : H x B ε (x) R, so dass im Zylinder Z ε,η := (H x B ε (x)) + ( η, η) ν, Z ε,η = {y + zν y H x B ε (x), η < z < g(y)}. Falls beschränkt ist, ist kompakt. Es gibt also eine Überdeckung von mit endlich vielen Zylindern U 1,..., U m wie in der Definition. In Beweisen nehmen wir oft eine offene Menge U hinzu, die \ (U 1... U m ) überdeckt. Zur Überdeckung (U j ) werden wir in Beweisen oft eine zugehörige Teilung der 1 wählen, also m + 1 Funktionen der Klasse C mit kompakten Trägern, η j Cc (U j), η j : U j [, 1] mit m j= η j = 1 auf. Randintegrale. Unser Ziel ist eine Definition von f für n 1- Γ dimensionale Mannigfaltigkeiten Γ R n. Wir beschränken uns auf den Fall, dass Γ lokal Graph einer Lipschitz-Funktion ist (wie in Definition 3.1). Für eine entsprechende Überdeckung von Γ mit Zylindern U j, j = 1,..., m wählen wir eine zugehörige Teilung der 1, η j, und setzen m (3.1) f := f η j. Γ U j Γ j=1

26 26 VERALLGEMEINERTER LÖSUNGSBEGRIFF Damit reicht es, nachfolgend die rechte Seite zu definieren, also Integrale über Graphen. Sei also im Folgenden U von der speziellen Form U = V I mit V R n 1 und I = (a, b) ein reelles Intervall. Weiterhin sei g : V I Lipschitz-stetig. Als Graph von g bezeichnen wir Γ := graph(g) := {(x, y) : x V, y = g(x)}. Wir werden folgendes Resultat verwenden (für einen Beweis siehe z.b. Evans, Abschnitt 5.8, Theorem 6). Satz 3.2 (Rademacher s Theorem). Sei g C,1 (V, R) mit Lipschitz-Norm g Lip. Dann ist g fast überall differenzierbar und es gilt g L g Lip. Wir nennen eine Funktion f : Γ R meßbar bzw. integrierbar, falls die Verkettung x f(x, g(x)) meßbar bzw. integrierbar ist. Wir setzen (3.2) f := f dh n 1 := f(x, g(x)) 1 + g(x) 2 dl n 1 (x). Γ Γ V Bemerkungen zu dieser Definition. Satz 3.2 stellt sicher, dass das Integral von (f g) 1 + g 2 existiert. Der -Faktor sorgt dafür, dass das Intergal unabhängig ist von der Wahl von V und g. Der zweite Punkt kann mit der Transformationsformel zwischen n 1- dimensionalen V und V gezeigt werden. Er folgt aber auch als Spezialfall aus dem nachfolgenden Abschnitt. Berechnung von Integralen mit Parametrisierungen. Die Graphenkonstruktion liefert einem schnell geeignete Definitionen und ist auch die im Satz von Gauß verwendete Konstruktion. Im allgemeinen wollen wir aber Integrale lieber über allgemeine Parametrisierungen berechnen, nicht immer über Graphen. Beispiel: Für die Kreislinie Γ := B R () R 2 und eine Funktion f : Γ R wollen wir f bestimmen. Dabei wollen wir nicht Γ lokal Γ als Graph schreiben (dazu benötigen wir 3 Graphen, anschließend eine Teilung der 1). Stattdessen parametrisieren wir mit Φ : Ṽ := [, 2π) R2, Φ(t) = (R cos(t), R sin(t)). Φ ist invertierbar als Abbildung Φ : Ṽ Γ. Unser Ziel ist eine Formel 2π f = f(φ(y)) J(y) dy = f(r cos(t), R sin(t)) J(t) dt. Γ Ṽ Dabei müssen wir den richtigen Faktor J bestimmen.

27 3. DER GAUSSSCHE SATZ 27 Es genügt, wenn wir die Situation lokal betrachten. Wir nehmen also an, dass wir Γ als Graph schreiben können, Γ = graph(g), g : V R Lipschitz. Nun sei uns eine andere Parametrisierung gegeben, Φ : Ṽ Rn, Ṽ Rn 1, Γ = Φ(Ṽ ). Wir fordern von Φ, dass Φ invertierbar ist auf Γ, und dass die Wechselabbildung ψ : V Ṽ, x Φ 1 G, G(x) = (x, g(x)) Lipschitz-stetig ist. Wir behaupten, dass nun das Integral von f auch berechnet werden kann als (3.3) f = f Φ det DΦ T DΦ. Γ Ṽ Wir verwenden den R n 1 -Transformationssatz für die Wechselabbildung ψ = Φ 1 G f Φ det DΦ T DΦ = f Φ ψ det DΦ T DΦ det Dψ. Ṽ V Wir werten nun den Faktor im Integranden aus unter Benutzung von det AB = det A det B. det DΦT DΦ detdψ = det DΦ T DΦ det Dψ T Dψ = det (Dψ T DΦ T DΦDψ) = det (D(Φ ψ) T D(Φ ψ)) = det DG T DG = 1 + g 2. Dabei ist in der letzten Gleichung die nichttriviale Gleichheit det A = 1 + ξ 2 für A = (a ij ), a ij = δ ij + ξ i ξ j verwendet worden. Einsetzen in die Integraldarstellung liefert f Φ det DΦ T DΦ = f G 1 + g 2, Ṽ also die ursprüngliche Formel. Insbesondere haben wir damit natürlich nachgewiesen, dass ist die rechte Seite in (3.3) unabhängig von Ṽ und Φ ist. Im Beispiel: Die Parametrisierung der Kreislinie ist Φ : [, 2π) R 2, Φ(t) = (R cos(t), R sin(t)). Dann ist DΦ(t) = ( R sin(t), R cos(t)) und DΦ T DΦ = R 2 (eine 1 1-Matrix). Die Wurzel der Determinante ist R und wir erhalten J = R, 2π f = f(r cos(t), R sin(t)) R dt. Γ V

28 28 VERALLGEMEINERTER LÖSUNGSBEGRIFF Der Satz von Gauß für glatte Integranden. Satz 3.3. Sei R n beschränkt mit Lipschitz-Rand, u, v Cc 1(Rn ). Dann gilt für i = 1,..., n und die äußere Normale ν an (3.4) i u = u e i ν, (3.5) u i v + i u v = u v e i ν. Beweis. Die Formel der partiellen Integration (3.5) folgt aus (3.4) durch Einsetzen von u v und Produktregel. Schritt 1: Reduktion auf Graphen. Um (3.4) zu zeigen, lokalisieren wir u mit der Teilung der 1 (η j ) und schreiben u = j η j u. Es reicht dann, (3.4) für Funktionen mit Träger in einem U j zu zeigen. Tatsächlich liefert das lokale Ergebnis i (u η j ) = u η j e i ν, U j U j und Summation über j u e i ν = u η j e i ν j U j = ( i u η j + u i η j ) = j U j i u + u i η j = j i u. Schritt 2: Beweis für C 1 -Graphen. Wir können nun u mit Träger in U j betrachten. Für U : Das Integral U i u verschwindet (Fubini und Hauptsatz der Differentialrechnung). Für U = U j, j 1: Wir haben U = V I R n, V R n 1, g : V I, = {(x, y) U : y < g(x)}. Wir nehmen in diesem Schritt an, dass g C 1. Wir berechnen den Normalenvektor zu ν(x, g(x)) = ( g, 1) 1 + g 2. Wir müssen also zeigen, dass (3.6) u = u(x, g(x)) ( g(x), 1) dx. V Mit diesem Ziel betrachten wir die neue Funktion v : V R R, v(x, y) := u(x, g(x) + y).

29 3. DER GAUSSSCHE SATZ 29 -Integrale von u entsprechen nun Integralen von v über Σ := V (, ). Wegen eindimensionaler partieller Integration gilt i v = für i n 1, und n v = v. Σ Σ V {} Daraus folgt mittels Transformationsformel und nochmaliger eindimensionaler partieller Integration das Ergebnis. Wir schreiben das erste Integral um zu = i v = i u + n u(x, g(x)) i g(x) dx = = Σ i u + i u + Σ V V Σ n v i g v(x, ) i g(x) dx, wegen v(x, ) = u(x, g(x)) also das Ergebnis in Richtung i n 1. Für die vertikale Richtung rechnen wir u(x, g(x)) dx = v = n v = n u. V V {} Schritt 3: Beweis für Lipschitz-Graphen. Wir approximieren ein allgemeines g Lip(V, R) durch C 1 -Funktionen g k. Wir fixieren p <. Die Approximation wählen wir mit g k g in C und g k g in L p (V ) (Existenz nach Satz 5.2 unten, angewendet auf g W 1,p ). Für jedes g k und Gebiete k zu g k gilt das lokale Resultat (3.6) nach Schritt 2, u = u(x, g k (x)) ( g k (x), 1) dx. k V Für k konvergieren auf der linken Seite die Integrationsgebiete gleichmäßig und u ist beschränkt, auf der rechten Seite konvergieren u(., g k (.)) u(., g(.)) ebenfalls gleichmäßig und g k g in L p (V ). Wir können auf beiden Seiten zum Limes übergehen und erhalten das lokale Ergebnis, u = u(x, g(x)) ( g(x), 1) dx. V Addition dieser lokalen Ergebnisse liefert nach Schritt 1 den Satz von Gauß. Σ

30 3 VERALLGEMEINERTER LÖSUNGSBEGRIFF 4. Distributionen Hier sei immer R n offen, nicht notwendig beschränkt. Frage: Wann ist u : R eine Lösung der Gleichung u = f? Sicherlich ist die Gleichung erfüllt, falls u C 2 und f C und die Gleichung in jedem Punkt erfüllt ist. Wir wollen aber gerne einen allgemeineren Lösungsbegriff haben, zum Beispiel wollen wir für f L 2 () lösen. Dann wird im Allgemeinen u nicht C 2 sein, denn (spezielle) zweite Ableitungen sind ja im allgemeinen unstetig. Definition 4.1 (Testfunktionen D). Wir setzen D() := C c (), die unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger in. Grundidee: Wir können eine beliebige L 1 ()-Funktion f auffassen als eine Linearform f auf dem Raum D. Wir identifizieren f mit f : D R, ϕ f ϕ. Jedes f L 1 () definiert eine solche Form (es reicht die lokale Integrierbarkeit, f L 1 loc ()). Auch umgekehrt gilt: Falls für f, g L1 () die Formen übereinstimmen, f = g, dann gilt schon f = g. Eine mit einer L 1 -Funktion darstellbare Linearform hat also eine eindeutige Darstellung. Erste Definitionen. Definition 4.2 (Distributionen D ). u heißt eine Distribution (wir schreiben u D ), falls 1. u : D R linear 2. K kompakt c = c(k), m = m(k): (4.1) u(ϕ) c ϕ C m ϕ D,supp(ϕ) K. Beispiele: 1.) Für f L 1 () ist f linear auf D und (4.1) ist mit c = f L 1 und m = für alle K erfüllt: f (ϕ) = f ϕ sup ϕ f = ϕ C f L 1. 2.) Die Dirac-Distribution. Für a ist die Abbildung (4.2) δ a : D R, ϕ ϕ(a) eine Distribution. Linearität ist klar. Abschätzung mit m = und c = 1.

31 4. DISTRIBUTIONEN 31 Ableitungen von Distributionen. Warum sind Distributionen als Lösungen geeignet? Weil wir immer differenzieren können! Definition 4.3 (Ableitungen). Für eine Distribution u und einen Richtungsvektor e k R n definieren wir die Ableitung in k-te Richtung, k u, durch (4.3) k u D, ( k u)(ϕ) = u( k ϕ). Man sieht sofort, dass wir tatsächlich k u D definieren: (i) k u ist linear. (ii) wenn auf K die Distribution u die Abschätzung (4.1) mit c und m erfüllt, dann erfüllt k u dieselbe Abschätzung mit c und m + 1. Durch Iteration haben wir automatisch auch höhere Ableitungen definiert. Für einen Multiindex α gilt D α u(ϕ) = u(( 1) α D α ϕ). Ist dies noch die gewohnte Ableitung? Wir werden später oft nicht zwischen einer Funktion f und der zugehörigen Distribution f unterscheiden. Dazu müssen wir aber sicherstellen, dass zumindest für f C 1 ( ) gilt k f = k f = k f. Tatsächlich gilt für ϕ D für linke und rechte Seite k f (ϕ) = k f ϕ, k f (ϕ) = f ( k ϕ) = f k ϕ. Nach dem Satz von Gauß (der Randterm verschwindet!) stimmen also beide Seiten überein. Wir können also Funktionen mit den zugehörigen Distributionen identifizieren. Beispiel: Ableitung der Heavyside Sprungfunktion. Sei H : R R die Funktion { x <, (4.4) H(x) := 1 x. Dann gilt x H = δ. Wir schreiben in R 1 meist x statt 1. In obiger Formel haben wir bereits Funktion und Distribution identifiziert, denn im klassischen Sinne hat H keine Ableitung in der. Tatsächlich gilt x H(ϕ) = H(x) x ϕ(x) dx = x ϕ(x) dx = ϕ() = δ (ϕ). R

32 32 VERALLGEMEINERTER LÖSUNGSBEGRIFF Beispiel: Lösung der Transportgleichung. Wir behaupten, dass für u L 1 loc (R) die Funktion u(x, t) = u (x t) in Q := R (, ) tatsächlich die Transportgleichung t u+ x u = im Distributionssinne löst. Wir berechnen für ϕ Cc (Q) und die Funktion ψ(z, t) := ϕ(z + t, t) t u + x u (ϕ) = u ( t ϕ + x ϕ) Q = u (x t)( t ϕ + x ϕ)(x, t) dxdt R = u (z)( t ϕ + x ϕ)(z + t, t) dz dt R = u (z) t ψ(z, t) dz dt R = u (z) t ψ(z, t) dt dz =. Konvergenz von Distributionen. R Definition 4.4. Für eine Folge von Distributionen u j und u eine Distribution definieren wir Konvergenz durch (4.5) u j u : u j (ϕ) u(ϕ) ϕ D. Beispiele: 1.) Für a j a gilt δ aj δ a. 2.) Seien H aj um a j verschobene Heavysidefunktionen, R a j a. Dann gilt H aj H a. Dieses Beispiel zeigt, dass die zugehörige Funktionenfolge nicht (in C ) konvergieren muß. Wir haben ein sogenannte schwache Konvergenz eingeführt, weil wir nur auf festen Testfunktionen die Konvergenz fordern. 3.) Sei u k : R R, u k (x) = sin(kx), wir betrachten k. Es gilt u k D. Wir behaupten, dass u k in D. Tatsächlich gilt u k (ϕ) = R sin(kx) ϕ(x) dx = R 1 k cos(kx) ϕ (x) dx. Bemerke: Die Ableitung k ist stetig bezüglich der Konvergenz: Für Distributionen u j u gilt k u j k u, denn k u j (ϕ) = u j ( k ϕ) u( k ϕ) = k u(ϕ). Dirac-Folgen. Wir betrachten eine Funktion ψ L 1 (R n ) mit ψ = 1. Wir stauchen nun diese Funktion in geeigneter Weise und R n definieren ψ ε (x) := 1 ( x ) ε nψ. ε

33 4. DISTRIBUTIONEN 33 Die Skalierung ist so gewählt, dass das Integral erhalten bleibt: 1 ψ ε (x) = R n R ε nψ(z) εn dz = 1. n Satz 4.5. Für Dirac-Folgen gilt (4.6) ψ ε δ für ε im Distributionssinne. Beweis. Für ϕ D schreiben wir ( x ) ψ ε (ϕ) = ψ ε (x) ϕ(x) dx = ψ ϕ(x) dx R n R ε ε n n = ψ (y) ϕ(εy) dy. R n Wir haben die punktweise Konvergenz ψ (y) ϕ(εy) ϕ() für ε und die Majorante ψ (.) ϕ(ε.) Mψ(.) für M := sup ϕ, also auch Konvergenz der Integrale, ψ ε (ϕ) = ψ (y) ϕ(εy) dy ϕ(). R n Dies war zu zeigen. Faltung. In Anwendungen hat man oft eine Funktion f : R n R, die man glätten möchte. Man wählt dann eine glatte Funktion ψ : R n R wie oben und ersetzt den Wert f(x) durch (4.7) f ε (x) := ψ ε (f(x.)) = ψ ε (y) f(x y) dy. R n Man ersetzt also f durch (gewichtete) Mittelwerte über eine Umgebung. Das Ergebnis ist tatsächlich eine glatte Funktion, wie man durch die Transformationsformel sieht. Man schreibt den Ausdruck als (4.8) f ε (x) = f(z) ψ ε (x z) dz, R n und sieht, dass f ε nur über die glatte Funktion ψ ε eine x-abhängigkeit hat. Vergleiche Regularität von harmonischen Funktionen in 2.4. Der Ausdruck in (4.8) hat wegen seiner Wichtigkeit einen eigenen Namen, er wird als Faltung bezeichnet, (4.9) f ψ(x) := f(z) ψ(x z) dz. R n Wir wollen nicht näher auf die Theorie von Faltungen eingehen, sondern werden f ψ als Abkürzung für den obigen Ausdruck schreiben, falls er definiert ist. Dies ist z.b. der Fall für f L 1 und ψ L. Erlaubt ist aber auch f D und ψ D, dann, wie oben, f ψ(x) := ψ (f(x.)).

34 34 VERALLGEMEINERTER LÖSUNGSBEGRIFF 5. Sobolevräume Wir führen einen neuen Banachraum von Funktionen ein, den Raum der k-fach distributionell differenzierbaren Funktionen mit Ableitungen in L p. Definition 5.1. Für k N, p [1, ) definieren wir den Sobolevraum W k,p als mit der Norm W k,p () := {u L p () : D α u L p () α k}, u W k,p := D α u L p. α k Dabei ist folgendes gemeint: Als L p -Funktion ist u insbesondere eine L 1 loc-funktion und definiert eine Distribution. Damit existieren auch die Ableitungen D α u als Distributionen. Mit der Aussage D α u L p () ist gemeint: Die Distribution D α u D kann dargestellt werden durch eine Funktion in L p (). Elemente in W k,p () kann man addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren, wir haben also einen Vektorraum. Die angegebene Norm erfüllt die Dreiecksungleichung und verschwindet nur in der, ist also tatsächlich eine Norm. Wir stellen nun fest, dass der Raum vollständig ist. Tatsächlich, falls u j Cauchy-Folge in W k,p, so ist u j Cauchy-Folge in L p und hat einen Limes u, aber nach Definition der Norm sind auch alle Ableitungen D α u j Cauchy-Folgen in L p und haben Limiten v α (Vollständigkeit von L p ). Wegen der Vertauschbarkeit von Ableitung und Distributionskonvergenz gilt v α D α u j D α u in D, insbesondere ist also die Distributionsableitung D α u darstellbar durch die L p -Funktion v α. Wir schließen, dass u eine W k,p -Funktion ist. Ohne Beweis geben wir folgendes Resultat an. Satz 5.2 (Dichtheit von C in W k,p ). Sei R n offen und f W k,p (), 1 p <. Dann gilt: a) Für eine D mit dist(d, ) > und eine C c -Dirac-Folge ψ j konvergieren die C -Funktionen f j := f ψ j in D, f f j W k,p (D). b) Falls einen Lipschitz-Rand hat, dann existiert f j C c (Rn ), so dass f j = f j auf konvergiert, f f j W k,p ().

35 5. SOBOLEVRÄUME 35 c) Für allgemeines gibt es Funktionen f j C () W k,p () mit f f j W k,p (). Ideen: a) Für g L p approximiert g ψ j die Funktion g in L p (jedenfalls dort, wo g ψ j definiert werden kann, also weg vom Rand). Dann folgt sofort a), denn für die Approximation f j := f ψ j f gilt (f ψ j ) = ( f) ψ j f in L p, und ebenso für höhere Ableitungen. b) Man kann man lokal die Funktion f nach oben verschieben, so dass sie auch jenseits des Gebietes noch definiert ist. Die Approximation aus a) funktioniert dann im gesamten Gebiet. Für j wird die Verschiebung von f immer kleiner gewählt; im Raum L p verschwinden dann im Limes die Fehler durch die Verschiebung. Bem.: Dies funktioniert nicht in L. c) Hier stellt man das Gebiet dar mit offenen Mengen U k, Ū k und k U k =. Man lokalisiert mit einer Teilung der 1 und approximiert in jedem U k die abgeschnittene Funktion. Dies ist in jedem U k dann eine innere Approximation. Für Beweise siehe z.b. Alt, 1.21 und 2.1. Der Satz erlaubt es, die Sobolevräume als Vervollständigung der glatten (C -) Funktionen bezüglich der Sobolevnorm zu charakterisieren. Wir zitieren noch einen zweiten wichtigen Satz über Sobolev- Funktionen. Er besagt, dass man Sobolevfunktionen Randwerte (eine Spur) zuordnen kann. Satz 5.3 (Spursatz). Sei R n mit Lipschitz-Rand. Dann haben Sobolev-Funktionen u W 1,p (), 1 p < Randwerte in folgendem Sinne: Es gibt einen eindeutig bestimmten stetigen linearen Operator Spur : W 1,p () L p ( ), u u, der auf Funktionen u C ( ) W 1,p () mit der klassischen Spur übereinstimmt. Für einen Beweis siehe z.b. Alt, A5.7. Wieder skizzieren wir den Beweis dieser Aussage. In der lokalen Situation = {(x, y) x V, y < g(x)} mit g : V (a, b) Lipschitz, definieren wir für u W 1,p (V (a, b)) (5.1) Spur u(x, g(x)) := g(x) a y u(x, y) dy.

36 36 VERALLGEMEINERTER LÖSUNGSBEGRIFF Dieser Operator ist linear und stimmt für glatte Funktionen mit der klassischen Spur überein. Für die Stetigkeit rechnen wir die Beschränktheit nach: g(x) p Spur u(x, g(x)) p dx = V V y u(x, y) dy dx a g(x) C y u(x, y) p dy dx C u p W, 1,p V a wobei wir die Hölder-Ungleichung f p L f p 1 L p 1 p benutzt haben. L p Man kann auch direkt Sobolevräume konstruieren, in denen die Randwerte vorgegeben sind (und benötigt dafür nicht die Lipschitz- Stetigkeit des Randes). Alle glatten Funktionen mit kompaktem Träger in haben Randwerte. Wenn wir eine Funktion f mit solchen Funktionen approximieren können, dann können wir sagen, dass auch f verschwindende Randwerte hat (Stetigkeit des Spuroperators im Spursatz). Definition 5.4 (Sobolevfunktionen mit Nullrandwerten). Für p < setzen wir (5.2) W k,p () := { f W k,p () : f j C c (), f f j W k,p }. Wir verwenden die W k,p ()-Norm auch auf W k,p (). Der Raum W k,p () ist ebenfalls ein vollständiger normierter Vektorraum, also ein Banachraum. Zur Vollständigkeit: für u j Cauchy-Folge in W k,p finden wir u := lim j u j in W k,p, und die Funktionen f j Cc, u j f j 1/j, approximieren auch u. Für mit Lipschitz-Rand liefert der Spursatz insbesondere, dass Spur u = für jedes u W 1,p (). Es gilt aber auch die Umkehrung (z.b. Alt, A5.11). Lemma 5.5. Für mit Lipschitz-Rand kann der Raum W 1,p () charakterisiert werden als W 1,p () = { u W 1,p () Spur u = }. Zur Notation. Die Räume W k,p stimmen mit Räumen H k,p überein, die zunächst anders definiert wurden. Im Fall, dass k keine ganze Zahl ist, stimmen die Räume nicht mehr überein, aber wir betrachten hier diesen Fall nicht. Wir können also überall statt W k,p auch H k,p schreiben. Wir wollen die Notation mit H insbesondere im Falle p = 2 benutzen und schreiben dann H k () = H k,2 () = W k,2 ().

37 5. SOBOLEVRÄUME 37 Der Satz von Gauß für Sobolevfunktionen. Der Satz von Gauß 3.3 gilt in der obigen Form weiterhin, selbst wenn u und v nur Sobolevfunktionen sind. Satz 5.6. Sei R n beschränkt mit Lipschitz-Rand, u W 1,1 (), v, w W 1,2 (). Dann gilt für i = 1,..., n und die äußere Normale ν an (5.3) i u = u e i ν, (5.4) v i w + i v w = v w e i ν. Dabei wird auf der rechten Seite die Spur der Funktion integriert. Beweis. Wieder reicht es, (5.3) zu beweisen. Tatsächlich gilt für v, w W 1,2 (), dass v w W 1,1 (). Außerdem gilt Spur(vw) = Spur(v)Spur(w), denn dies ist für alle Approximationen der Fall, und die Stetigkeit des Operators Spur erlaubt es, zum Limes überzugehen. Die Dichtheitsaussage 5.2 liefert dann das Ergebnis. Beweis von (5.3): Nach Satz 5.2 kann u approximiert werden durch u k u in W 1,1 (), u k C c (Rn ). Für alle u k gilt Formel (5.3) nach Satz 3.3. Auf der linken Seite können wir den Limes k bilden, denn u k konvergiert in L 1 () gegen u. Auf der rechten Seite müssen wir verwenden, dass auch Randwerte konvergieren, u k u in L 1 ( ). Dies stellt der Spursatz 5.3 sicher. Was musste bisher geglaubt werden? Bisher ist ohne Beweis geblieben (und wir verweisen auf die Funktionalanalysis für Beweise): Rademacher-Theorem: Lipschitz-Funktionen haben einen beschränkten distributionellen Gradienten, C,1 () = W 1, (). Dichtheitsaussagen in Satz 5.2 und Lemma 5.5. Spursatz 5.3.

38 38 VERALLGEMEINERTER LÖSUNGSBEGRIFF

39 39 Teil 2 Elliptische Differentialgleichungen

40 4

41 Energiemethoden 1. Variationsmethode und symmetrische Probleme Wir wollen das Dirichlet-Prinzip aus Satz 2.7 nutzen, um die Existenz von Lösungen zu beweisen. Wir wollen lösen (1.1) u = f in, u = g auf. Wir definieren dazu das Energiefunktional 1 E : X g R, u 2 u 2 f u auf X g := {u H 1 () Spur u = g}. Sei u X g Minimum dieser Energie. Wir können Vergleichsfunktionen u ε := u + εϕ mit ϕ H 1 betrachten, denn diese erfüllen ebenfalls die Randbedingung, u ε X g. Für die Energie gilt = DE(u) ϕ d dε E(u + εϕ) = u ϕ f ϕ. Insbesondere gilt diese Gleichung für ϕ D(), also u = f im Distributionssinne. Die Randbedingung ist wegen u X g ebenfalls erfüllt. Es bleibt zu zeigen, dass ein Minimum von E existiert. Dafür benötigen wir folgende fundamentale Ungleichung. Satz 1.1 (Poincaré-Ungleichung). Sei R n offen und beschränkt und p [1, ). Dann gibt es C = C (, p) > mit (1.2) u p C u p u W 1,p (). Beweis. Es genügt, die Ungleichung für u Cc () zu zeigen. Tatsächlich kann nach Definition des Raumes jedes v W 1,p durch solche u in H 1 approximiert werden. Die Ungleichung für u bleibt dann auch im W 1,p -Limes gültig.

42 42 ENERGIEMETHODEN Sei also u Cc (). Wir schreiben x Rn als x = ( x, y) mit y R. Wegen der Beschränktheit von können wir annehmen, dass Q (a, b) für Q R n 1. Dann gilt u( x, y) = y a n u( x, z) dz, also, mit der Hölder-Ungleichung, auch b p u( x, y) p n u( x, z) dz C(a, b, p) Integration über y ergibt b a a u( x, y) p dy (b a) C(a, b, p) b und Integration über x schließlich b u p u( x, y) p dy d x C (a, b, p) Q a C (a, b, p) u p, also die Behauptung. a b a n u( x, z) p dz. n u( x, z) p dz, Q b a n u( x, z) p dz d x Im nächsten Beweis werden wir die sogenannte ε-ungleichung verwenden: Die Binomische Formel (a b) 2 = a 2 2ab+b 2 liefert mit ab = (εa)(b/ε) = AB AB ε 2 A ε 2B2. Wir können nun eine Lösbarkeitsbedingung für die Poisson-Gleichung angeben. Satz 1.2 (Existenz einer Lösung). Sei beschränkt und Lipschitz, f L 2 () und die Randwerte g gegeben als Spur einer Funktion g H 1 (). Dann existiert ein Minimum u der Energie E in X g. Der Minimierer u löst die Poisson-Gleichung u = f im Distributionssinn und die Randbedingung im Spursinn, u X g. Beweis. Wir behaupten, dass die Energie nach unten beschränkt ist, (1.3) inf {E(u) u X g } >. Idee: Der (positive) quadratische erste Term gewinnt gegen den linearen zweiten Term.

43 1. VARIATIONSMETHODE UND SYMMETRISCHE PROBLEME 43 Wir rechnen für u X g, u = g + v mit v H 1 (), f u f L 2 u L 2 f ( g L 2 + v L 2) f g + f C v L 2 C(f, g) + C(f) u L 2, wobei wir in der letzten Zeile die Poincaré-Ungleichung verwendet haben. Damit können wir für die Energie rechnen E(u) 1 2 u 2 L f u u 2 L 2 C 1 C 2 u L u 2 L 2 C 1 4 u 2 L 2 = 1 4 u 2 L 2 C. Das Quadrat ist positiv es folgt (1.3). (Wir haben sogar etwas mehr bewiesen: Die Energie von u kontrolliert das Quadrat der H 1 -Norm von u.) Wir betrachten nun eine Minimalfolge u k, also eine Folge u j X g mit E(u j ) inf E. Eine solche Folge existiert immer nach Definition des Infimums. Allerdings darf der Raum X g dabei nicht leer sein. Bei uns: g X g, also gilt X g ( berühmter historischer Fehler, die Voraussetzung g C ( ) reicht nicht aus). Als Lösung u kommt ein Limes der Folge u k in Betracht. Wir müssen allerdings klären, ob ein solcher Limes existiert. Tatsächlich werden wir sehen, dass u k eine Cauchy-Folge ist. Wir betrachten das Energiefunktional E auf ganz H 1 () und rechnen (u k u m ) 2 L = (u 2 k + u m ) 2 L + 2 u k 2 2 L + 2 u m 2 2 L 2 = 2E(u k + u m ) 2 (u k + u m ) f + 4E(u k ) + 4 u k f + 4E(u l ) + 4 u l f ( ) uk + u m = 8E + 4E(u k ) + 4E(u m ) 2 8 inf E + 4E(u k ) + 4E(u m ). X g In der letzten Zeile haben wir verwendet, dass nach dem Spursatz die Funktion (u k + u m )/2 wieder die Randwerte g hat und damit in X g liegt. Die Energien E(u k ) und E(u m ) konvergieren gegen inf Xg E und damit u k u m 2 H 1 C (u k u m ) 2 L 2. Wegen der Vollständigkeit von H 1 konvergiert die Funktionenfolge u k in H 1 () gegen eine Funktion u H 1 (). Der Spursatz liefert u X g.

44 44 ENERGIEMETHODEN Die Energie ist stetig unter H 1 -Konvergenz, daher gilt E(u) = inf X g E. Dass Minimierer von E die Poisson-Gleichung lösen, hatten wir bereits zu Beginn dieses Abschnittes gezeigt. Derselbe Sachverhalt im Hilbertraum. Wir wollen die Gleichung (1.4) u = f in, u = auf in der Sprache der Hilberträume im Raum H = H 1 () betrachten. Dabei können wir für f auch Funktionale zulassen, f = f : H 1 () R linear und stetig. Wir schreiben manchmal kurz f H 1 (). Wir definieren Definition 1.3. u heißt schwache Lösung von (1.4), falls u H() 1 und für alle ϕ H() 1 gilt (1.5) u ϕ = f (ϕ). Wir stellen zunächst fest, dass H 1 () ein Hilbertraum ist mit dem Skalarprodukt (1.6) u, v := u v + u v. Die rechten Seiten f : H 1 () R sind dann Elemente des Dualraumes H. Wir betrachten die Bilinearform a(u, v) = u v. Dann sind schwache Lösungen von (1.4) solche u H, für die a(u, ϕ) = f (ϕ) für alle ϕ H. Der Beweis des obigen Existenzsatzes funktioniert auch im Hilbertraum. Satz 1.4 (Variante des Riesz schen Darstellungssatzes). Sei H ein Hilbertraum, a : H H R eine symmetrische Bilinearform mit u 2 C a(u, u) für alle u H und f : H R linear und stetig. Dann gibt es genau ein Element u H mit (1.7) a(u, ϕ) = f (ϕ) ϕ H. Bemerkungen: a) Einsetzen von ϕ = u liefert sofort u H C f H. b) Als Bilinearform kann insbesondere das Skalarprodukt gewählt werden. Dann ist obiges der klassische Satz von Riesz. c) In unserer Anwendung folgt die Abschätzung der Norm durch a(.,.) mit der Poincaré-Ungleichung.