Es besteht eine gute Übereinstimmung zwischen den gemessenen und den theoretischen Schwingungsdauern.

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1 Lösungen der Arbeitsaufträge Aufträge S. 77 A Mögliche Schwingungen: Stimmgabel Lautsprecher mit Sinusgenerator Flüssigkeit im U-Rohr Blattfeder Federpendel Fadenpendel Die Untersuchung der Schwingung kann z. B. erfolgen durch: Stoppuhr und Maßstab Aufzeichnung mit einem Schreiber Beobachtung im Schattenwurf Videoanalyse Die Blattfeder mit Spiegel versehen. Mit einem Lichtzeiger kann die Schwingung beobachtet werden. Aufträge S. 78 A a) m in kg D in N/m T gemessen in s T theor. = 2 p _ m _ D 0, 9,0 0,7 0,7 9,0 0,9 0,3 9,0,2, 0,3 6,0,4,4 0,3 3,0 2,0 2,0 Es besteht eine gute Übereinstimmung zwischen den gemessenen und den theoretischen Schwingungsdauern. b) Experiment durchführen. Methoden S. 78 A a) Für eine harmonische Schwingung gilt das lineare Kraftgesetz. Die Modellierung soll verdeutlichen, dass auch die Umkehrung richtig ist. Es ist daher zu zeigen, dass das Ergebnis der Modellierung durch eine geeignete Sinusfunktion beschrieben werden kann. b) Das Wirkungsgefüge des ungedämpften Oszillators wird durch die Reibungskraft ergänzt. (Anlage) Die beiden einfacheren Fälle sind: F R ~ v bzw. F R ~ v 2 Mit den folgenden Anfangswerten erhält man: s (m) v (m/s) k a (m/s^2) F_R (N) m (kg) F_a (N) F_D (N) D (N/m) Schwingungen 75

2 Methoden S. 78 ) F R proportional zu v s = m v = 0 m/s k = 0,5 Ns/m D = 0,3 N/m m = kg F R = k v 0,3 0, 0, 0,3 s in m ) F R proportional zu v 2 s = m v = 0 m/s k = 2 N s 2 / m 2 D = 0,3 N/m m = kg F R = k v 2 0,3 0, 0, 0,3 s in m Ist F R proportional zu v, dann ist der Quotient aufeinanderfolgender Amplituden konstant. Als Beispiel kann die schwingende Flüssigkeitssäule im U-Rohr gewählt werden. Im Fall F R proportional zu v 2 kann man keine einfachen Aussagen über die Amplituden machen. Beispiel ist die Dämpfung in Luft. Aufträge S. 79 A Die Projektion der Bahngeschwindigkeit v B ergibt v (t) für den Oszillator. Es ist v (t) = v B cos v = r z cos (z t) = s M z cos (z t). Entsprechend ist a (t) die Projektion der Zentralbeschleunigung a Z. Mit Berücksichtung des Vorzeichens erhält man a (t) = a Z sin v = r z 2 sin (z t) = s M z 2 sin (z t). Aufträge S. 80 A Die Rückstellkraft stimmt mit der konstanten Hangabtriebskraft F H = m g sin a überein. Das lineare Kraftgesetz ist nicht erfüllt. Es liegt keine harmonische Schwingung vor. Die Beschleunigung a ist abschnittsweise konstant. Für diese Abschnitte gilt das Zeit-Weg- Gesetz s (t) = 2 a t 2 + v t + s 0. Daher besteht der s (t)-graph aus Parabelbögen. Das Diagramm B4 im Schülerbuch kann mit dem Coach-Modell M_0._Wagen_auf_schiefen_Ebenen. cmr auf der Schüler-DVD reproduziert werden, wenn man die Startwerte s = und alpha = 6 ändert. Für die Federschwingung muss gelten: Amplitude s M = m Schwingungsdauer T = ( 4 _ 5 ) 7 s = 5,6 s Frequenz f = 5,6 Hz s (t) = m sin ( 2 p 5,6 s t p _ 2 ) 76 Schwingungen

3 Aufträge S. 80 2,0 p v (t) = 5,6 _ m s cos ( 2 p 5,6 s t _ p 2 ) =, _ m s cos ( 2 p 5,6 s t _ p 2 ) a (t) = 4,0 p 2 5,6 2 _ m s 2 sin ( 2 p 5,6 s t _ p 2 ) =,3 _ m s 2 sin ( 2 p 5,6 s t _ p 2 ),2,2 s in m s Fit von s ,2,2 s in m, v in m/s, a in m/s 2 a s v Der s (t)-graph stimmt recht gut mit den Parabelbögen überein. Fast gleiche s (t)-graphen beschreiben ganz verschiedene Bewegungen. A2 Für die Strecke s M benötigt das Fahrzeug die Zeit T/4. Es gilt also s M = _ 2 a ( T _ 4 ) 2 T = 4 _ 2 s M a Aufträge S. 8 A Die Schwingungsdauer nimmt mit wachsender Amplitude zu. 3 T/T a _ A2 Aus T = 2 p _ g l folgt g = 4 p 2 _ l T 2 Die Messung ist bei kleinen Amplituden durchzuführen. Als Pendellänge l ist der Abstand des Schwerpunktes des Oszillators von der Aufhängung des Pendels zu wählen. Kugelförmige Oszillatoren eignen sich besonders. Für den relativen Fehler gilt: ð g g = ð l T + 2 ð l T Aufträge S. 83 A a) s ( t) = 2 cm sin (2 p s t) s 2 ( t) =,5 cm sin (2 p s t) s (t) = s ( t) + s 2 ( t) = 3,5 cm sin (2 p s t) Schwingungen 77

4 Aufträge S s + s s s b) s ( t) = 2 cm sin (2 p s t) s 2 (t) =,5 cm sin (2 p s t) s (t) = s ( t) + s 2 ( t) = cm sin (2 p s t) s s 2 s + s c) Bei gleicher Phase und gleicher Frequenz addieren sich die Amplituden der beiden Einzelschwingungen. Sind die Frequenzen zweier Schwingungen gleich und schwingt die erste gegenphasig zur zweiten, dann ist die Amplitude der Überlagerung die Differenz der beiden Einzelschwingungen. Aufträge S. 84 A a) 2,5 2,0,5,5 2,0 2,5 s 2 s s 3,2,4,6,8 2,0 2,2 78 Schwingungen

5 Aufträge S. 84 2,5 2,0,5,5 2,0 2,5 b) 3,0 2,5 2,0,5,5 2,0 2,5 3,0 s + s 2 + s 3,2,4,6,8 2,0 2,2 s 2 s 3,2,4,6,8 2,0 2,2 3,0 2,5 2,0,5,5 2,0 2,5 3,0 s + s 2 + s 3,2,4,6,8 2,0 2,2 Aufträge S. 86 A Am tiefsten Punkt wird jeweils der Faden nach oben gezogen und Energie übertragen. Erreicht das Jo-Jo das Fadenende, so macht sich dies durch einen Ruck an der Hand bemerkbar. Den Zeitpunkt der Energieübertragung kann man mit geschlossenen Augen bestimmen. Aufträge S. 87 A Der Vergleich ist so nicht richtig. Man beobachtet bei gekoppelten Oszillatoren, dass sie abwechselnd zur Ruhe kommen, d. h., die Energie wird vollständig von einem Oszillator auf den anderen übertragen. Das ist wichtig, wenn man sich eine Kette gekoppelter Oszillatoren als Modell für eine Welle vorstellt, in der ja Energie transportiert wird. Schwingungen 79

6 Aufträge S. 87 A2 Die ähnlichen Bilder lassen vermuten, dass der eine Oszillator, der aus zwei gekoppelten besteht, zwei Resonanzfrequenzen hat. Dies lässt sich überprüfen. Z. B. bei zwei Gleitern auf der Luftkissenbahn, die durch eine Feder aneinander gekoppelt sind und zwischen zwei Federn schwingen. Es geht auch akustisch: Ein Rohr hat eine Resonanzfrequenz, die Ankopplung eines zweiten fast identischen (im einfachsten Fall zwei Abwasserrohre hintereinander legen) führt zu einer Aufspaltung der Eigenfrequenz. Auf einem Oszillogramm kann man zwei Höcker beobachten. Allgemeine Aussage: Kopplung erzeugt Vielfalt. Letztendlich ist so die breite Resonanz etwa eines Geigenkörpers begründbar. Aufträge S. 90 A Stabiles Gleichgewicht: Ein leicht beweglicher Körper befindet sich an einem Ort, an dem er minimale potenzielle Energie besitzt. Eine kleine Abweichung von diesem Ort hat zur Folge, dass er wieder an seinen Ausgangsort zurückkehrt. Beispiel: Eine Kugel befindet sich in einer glatten Schale. Wird die Kugel mit fast gleichen Anfangsbedingungen vom Schalenrand losgelassen, dann werden sich die Bahnkurven kaum unterscheiden. Kleine Unterschiede zu Beginn führen zu ähnlichen Ergebnissen. Man spricht von starker Kausalität. Labiles Gleichgewicht: Ein leicht beweglicher Körper befindet sich an einem Ort, an dem er maximale potenzielle Energie besitzt. Eine kleine Abweichung von diesem Ort hat zur Folge, dass sein neuer Ort unbestimmt ist. Beispiel: Eine Kugel liegt auf einer gewölbten Schale. Eine Vorhersage, ob sie links oder rechts hinunterrollt, ist nicht möglich. Geringfügige Störungen wie winzige Unebenheiten des Bodens oder der Windhauch eines vorbeifliegenden Schmetterlings können den weiteren Weg der Kugel entscheidend beeinflussen. Die Kuppe wirkt auf Grund des labilen Gleichgewichts als Ort der Entscheidung. Kleine Unterschiede zu Beginn führen zu ganz unterschiedlichen Richtungen. Man spricht von schwacher Kausalität. A2 0,9 0,7 0,3 x 0 = ; r = 3,54 0, n 0,9 0,7 0,3 x 0 = ; r = 3,565 0, n 80 Schwingungen

7 Aufträge S. 9 A Bei sehr großen Auslenkungen ist die Abweichung des Graphen für die potenzielle Energie von einer Parabelform sehr gering. Das Phasendiagramm hat für Auslenkwinkel größer v 0 nahezu Ellipsenform. Zwischen v 0 und + v 0 gibt es eine Delle in der Ellipse: z v v max v 0 v 0 v max Aufträge S. 92 A. Bild 2,9 < r < 3 stabile Konvergenz 2. Bild 3 < r < 3,45 Zweierzyklus 3. Bild 3,45 < r < 3,55 Viererzyklus 4. Bild 3,57 < r Chaos Während auf dem Weg von der Kongruenz zum Chaos immer Periodenverdoppelung und damit nur Zweier-, Vierer-, Achter-,, 2 n -Zyklen auftreten, gibt es in den Fenstern im Chaos auch Dreier-, Fünfer-, Sechser-, Siebener- usw. -zyklen. Für die Gleichung x n + = r x n ( x n ) ergibt sich z. B. bei r = 3,83 eine Dreier-Periode, ab r = 3,843 eine Fünfer-Periode usw. Auch hier spalten sich die Grenzwerte mit steigendem r immer weiter auf. Es entstehen zunächst bandartige Strukturen, die mit weiter steigendem r ins Chaos umschlagen (z. B. Zwölfer-Periode bei r = 3,856, Chaos bei r = 3,859). x 0 = ; r = 3,83 x 0 = ; r = 3,843 n n x 0 = ; r = 3,856 x 0 = ; r = 3,859 n n Schwingungen 8

8 Aufträge S. 92 Analog zu den Phasendiagrammen in Abbildung B5 auf S. 9 des Schülerbuches ergeben sich in einem Fenster im Chaos Kurven, die sich nach drei, fünf, sechs, sieben usw. Runden schließen, also z. B.: z v v 0 Aufträge S. 93 A Anlage: Wirkungsgefüge Anfangswerte: m = 0,3 kg s = 0,9 m Winkel = 2,5 F H ist die Hangabtriebskraft: F H = F G sin (Neigungswinkel) sign (s) Ohne Reibung ist F a = F H m (kg) v (m/s) a (m/s^2) F_a (N) s (m) g (N/kg) F_G (N) F_H (N) Neigungswinkel (Grad) A2 Anlage: Wirkungsgefüge Das Diagramm aus A wird durch eine konstante Reibungskraft ergänzt. Geschwindigkeit und Reibungskraft sind entgegengesetzt gerichtet, dies kann mit sign (v) berücksichtigt werden. F R = c Reib sign (v) und F a = F H F R beschreibt mit c Reib = näherungsweise die Messung. v (m/s) a (m/s^2) m (kg) F_a (N) g (N/kg) F_G (N) s (m) c_reib (N) F_R (N) F_H (N) Neigungswinkel (Grad) 82 Schwingungen

9 Hinweise zu den Heimversuchen Heimversuche S. 95 V Gummifäden sind nur in engen Bereichen wirklich elastisch. Daher ist auf hinreichend kleine Amplituden zu achten. Man kann auch Federn selbst wickeln lassen, indem Konstantandraht um einen Bleistift als Kern gewickelt wird. V2 a) Durch das Herausrieseln des Sandes aus dem Becher verliert der Pendelkörper an Masse. Dies ändert aber nicht die Schwingungsdauer. Allerdings erhöht sich dadurch der Einfluss der Luftreibung auf den Pendelkörper. Die Schwingungsdauer nimmt bei einem Fadenpendel mit der Amplitude zu. D. h. umgekehrt: Verringert sich die Amplitude eines Fadenpendels aufgrund der Reibung, so nimmt die Schwingungsdauer ab. Bei kleinen Auslenkungen (unter 0 ) ist der Effekt aber zu vernachlässigen. b) Nimmt man konstanten Ausfluss des Sandes an, so häuft sich der Sand an den Umkehrpunkten, da dort die Geschwindigkeit des Pendelkörpers am geringsten und damit die Verweildauer am größten ist. V3 Lenkt man einen Körper aus und lässt ihn schwingen, so überträgt sich die Schwingung über die Aufhängung auf den zweiten Pendelkörper. Die Aufhängung wirkt so als äußerer Antrieb auf das zweite Pendel. Sobald das zweite Pendel schwingt, wirkt es über die Aufhängung zurück auf das erste Pendel. Nach kurzer Zeit schwingen die Pendel im Gleichtakt. Hier ist die oben angemerkte Begrenzung der Amplitude der Schwingung ohne Belang. V4 Wird zwischen Kamera und Fernsehbildschirm ein Lichtimpuls erzeugt, so wird dieser von der Kamera aufgenommen, vom Fernseher wiedergegeben, von der Kamera aufgenommen und so fort. Der entstandene Lichtfleck wird zunehmend heller, kann auch weiß werden. Ist die Kamera um einen Winkel von 90 gedreht, so entstehen vier Bilder. Die Bilder werden komplexer, enthalten wahrnehmbare Symmetrien, stehen aber nur dann wirklich ruhig, wenn es gelungen sein sollte, den Winkel 90 exakt einzustellen und verwacklungsfrei zu halten. Weitere annähernd stabile Bilder sind demnach immer dann zu erwarten, wenn der Winkel zwischen Kamera und Fernseher ganzzahlig multipliziert 360 ergibt. Schwingungen 83