Elemente der Arithmetik, Algebra und des Sachrechnens GS WS 2008/09. Aufgabenblatt 6 Multiplikation II Russische Bauernmethode

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1 Elemente der Arithmetik, Algebra und des Sachrechnens GS WS 2008/09 Aufgabenblatt 6 Multiplikation II Russische Bauernmethode

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3 Aufgabe 1 Wie können Sie möglichst geschickt herausfinden, wie viele Zeilen für die Rechnung nötig sind, ohne den Faktor selbst sukzessive zu halbieren? Veranschaulichung durch ein Baumdiagramm

4 Eine weitere Erschließungsmöglichkeit ist die Untersuchung des 1. Faktors auf seine Beziehungen zu Zweier-Potenzen

5 Erschließung durch Vergleich mit Binärzahlen Dafür muss der 1. Faktor in eine anderes Zahlensystem, zur Basis 2 umgeschrieben werden. Bsp. 2910= An der Anzahl der Stellen im Binärsystem (Zweier-Zahlsystem) kann man ablesen, wie viele Zeilen man für eine Multiplikation nach der Russischen Bauernmethode benötigt. Dabei zeigen Nullen an, welche Zeilen gerade sind und bei der abschließenden Addition gestrichen werden. Die Binärcodes werden allerdings so gelesen, dass die erste Zeile die letzte Zahl darstellt. Der Nachteil dieser Methode liegt darin, dass bei großen Zahlen eine aufwändige Umrechnung nötig ist, sofern man keine Binärzahlentabelle zur Hand hat.

6 Betrachtung der Zerlegung des 1. Faktors

7 Schlussfolgerung Der Nenner besteht aus den Potenzen von 2 2n Die Zahl die nun halbiert wird, darf nicht kleiner als ihr Nenner sein, da das Ergebnis ansonsten kleiner als 1 würde. Daher ist klar, dass die kleinstmögliche Zahl für a ihrem Nenner entspricht. Die Bedingung lautet also: a n 1 [2 ] Da n angibt, wie oft der Faktor durch 2 geteilt werden kann, zeigt er uns an, wie viele Zeilen bei einer Multiplikation nach der Russischen Bauernmethode verwendet werden müssen. Ein Beispiel: Seia= n [2 ] 2n 129 ;128=27 es werden 8 Zeilen benötigt

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13 Hier wurde mit Kanonen geschossen: n 1 n Wegen 2 Z 2 kann berechnet werden : 2 n 1 Z 2n n 1 n log2 2 n log2 2 ln Z ln Z n 1 ln 2 ln 2 Dabei werden die Zahlen immer auf die nächste natürliche Zahl gerundet Hier wurde die Bedeutung von n und Z nicht beschrieben, ebenso fehlt jede Erklärung, wie es zu den einzelnen Schritten kommt.

14 Aufgabe 2: Wenden Sie die gefundene Methode an und bestimmen Sie die Zahlen (von...bis...), bei denen die Rechnung a) 5-zeilig, b) 7-zeilig, c) 10-zeilig ist. Nachdem schon in Aufgabe 1 eine Verbindung zwischen den linken Faktoren und deren Darstellung im binären Zahlensystem und der Anzahl der Zeilen einer Multiplikation nach der Russischen Bauernmethode entdeckt wurde, kann daraus abgeleitet werden: - Für eine 5-zeilige Rechnung kommen alle Zahlen in Betracht, die im Binärsystem eine fünfstellige Darstellung besitzen. Also alle Zahlen die folgende Bedingung erfüllen: =16 Z 32=2 - Für eine 7-zeilige Rechnung kommen alle Zahlen in betracht, die im Binärsystem eine siebenstellige Darstellung besitzen. Also alle Zahlen aus: =64 Z 128=2 - Für eine 10-zeilige Rechnung dann analog: 9 2 =512 Z 1024=2 10

15 Nutzt man die Möglichkeit der Binärdarstellung, so kann man alle Zahlen aus einer Tabelle entnehmen

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18 Wenn nicht mehr dabei steht, ist das ein bisschen zu wenig als Lösung

19 Aufgabe 3 Bilden Sie durch systematisches Überlegen je eine Aufgabe, bei der das Schema der russischen Bauernmethode (i) 5 Zeilen lang ist, und die 1. und 4. Zeile gestrichen werden. (ii) 7 Zeilen lang ist, und die ersten 3 Zeilen gestrichen werden. (iii) 9 Zeilen lang ist, und die 4. bis 7. Zeile gestrichen werden. Mit der Binärcode-Methode: (i) es soll eine fünfzeilige Rechnung sein; die erste und vierte Zeile sollen gestrichen werden: die binäre Darstellung hat 5 Stellen, dabei sind die zweite und die letzte Stelle mit Nullen belegt; die Zahl lautet im Binärcode: im Dezimalsystem: 22 (ii) die Rechnung soll 7-zeilig sein: die ersten drei Zeilen sollen gestrichen werden: die binäre Darstellung hat sieben Stellen, dabei sind die letzten drei Stellen mit Nullen besetzt. die Zahl in Binärform: im Dezimalsystem: 120 (iii) 9-zeilige Multiplikation; die Zeilen 4,5,6 und 7 werden gestrichen; 9 stelliger Binärcode; auf den Positionen 3,4,5 und 6 stehen Nullen; Binärdarstellung: im Dezimalsystem: 391

20 (iii) 9-zeilige Multiplikation 9. Zeile 8. Zeile 7. Zeile 6. Zeile 5. Zeile 4. Zeile 3. Zeile 2. Zeile 1. Zeile gerade, wird gestrichen

21 Eine andere Methode der Bestimmung der Zahlen ist das Rückwärtsrechnen. (i) 5-zeilige Multiplikation 5. Zeile 4. Zeile 3. Zeile 2. Zeile 1. Zeile 1 2 gerade weilsie gestrichen werden soll gerade weil sie gestrichen werdensoll (ii) 7-zeilige Multiplikation 7. Zeile 6. Zeile 5. Zeile 4. Zeile 3. Zeile 2. Zeile 1. Zeile gerade wird gestrichen

22 Ausführliche Darstellung des Rückwärtsrechnens an Aufgabe 3 (i) (i) fünf Zeilen, 1. und 4. Zeile werden gestrichen * Bei der russischen Bauernmethode gilt: wenn der erste Faktor einer Zeile gerade ist, wird diese Zeile gestrichen * Der erste Faktor in Zeile 1 und Zeile 4 wird gestrichen, d.h. dieser Faktor ist gerade * Zeile 2 und 3 bleiben stehen, d.h. diese Zeilen sind ungerade * Der erste Faktor in Zeile 5 ist 1, da in der letzten Zeile immer die 1 steht * Aus Aufgabe 1 wissen wir, dass in jeder Zeile zwei mögliche Zahlen stehen können, wenn man die Zahl der darunter liegenden Zeile kennt, entweder 2*z oder 2*z+1 * Wir kennen die Zahl der fünften Zeile: es ist 1 es ergeben sich folgende Möglichkeiten für Zeile 4: 2 * 1 = 2 oder 2*1+1 = 3 Da Zeile 4 gestrichen wird und somit gerade sein muss, kann in dieser Zeile nur 2 stehen. * die Zeile 3 bleibt stehen, daher ungerade: 2*2+1 = 5 * die Zeile 2 bleibt ebenfalls stehen und ist daher ungerade: 2*5+1 = 11 * Zeile 1 wird gestrichen, ist also gerade: 2*11 = 22 Man erhält also folgende Rechnung: Zeile 1 22 * x Zeile 2 11 * 2x Zeile 3 5 * 4x Zeile 4 2 * 8x Zeile 5 1 * 16x Für x kann eine beliebige Zahl eingesetzt werden

23 Lösung für 3(i) mittels eines Baumdiagramms

24 Lösungsansatz zu 3(ii) Das Rechnungsschema soll 7-zeilig sein. der erste Faktor muss zwischen 64 und 127 liegen Die ersten drei Zeilen sollen gestrichen werden. der 1. Faktor ist gerade teilt man ihn dreimal hintereinander durch 2, so erhält man eine ungerade Zahl der für uns interessante Faktor wird durch 2³, also 8 geteilt die Zahl muss das Ergebnis einer Multiplikation einer ungeraden Zahl mit 8 sei, denn der 1. Faktor in der 4. Zeile ist ungerade, da diese nicht gestrichen wird. Danach darf die Division durch 2 ebenfalls zu keinem geraden Ergebnis mehr führen. Mit diesen Informationen kann nun die Ausgangszahl gesucht werden. a) Ungerade Vielfache von 8 zwischen 64 und 127 sind: 72,88,104 und 120 b) Bei der Division durch 8 erhält man: 9,11,13 und 15 c) Im Fall von 72 ist bereits die fünfte Zeile wieder gerade (4) im Fall 104 (6) ebenfalls. d) Für 88 geht es noch eine Zeile weiter, aber in der 6. Zeile steht dann mit der Zahl 2 wieder eine gerade Zahl. e) Nur für 120 bleiben außer den ersten drei Zeilen alle weiteren stehen:

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27 Aufgabe 4 Bestimmen Sie den ersten Faktor einer Multiplikationsaufgabe, deren Rechnung 9-zeilig ist und bei der die rechts stehenden Zahlen aus der 2,,3.,4.,7. und 9. Zeile addiert werden müssen, um das Ergebnis zu erhalten. Binärzahlmethode

28 Rückwärts gerechnet

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