Evaluation & Forschungsmethoden (Multivariate Analyse) Hauptdiplom-Prüfungsklausur am (1.Termin) Aufgaben mit Lösung

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1 Evaluation & Forschungsmethoden (Multivariate Analyse) Hauptdiplom-Prüfungsklausur am (1.Termin) Name: Matrikel-Nr.: Aufgaben mit Lösung Aufgabe 1: (Teil 1) Gegeben sei die Matrix A a) Wie viele linear unabhängige Zeilenvektoren enthält sie? Lösung: Man transformiert zunächst L L 1 + L und L 3 7L 1 + L 3 : und dann L 3 3L + L 3 A A Die Matrix enthält offenbar linear unabhängige Zeilenvektoren. b) Wie viele linear unabhängige Spaltenvektoren enthält sie? Lösung: Genausoviel wie l.u.a. Zeilenvektoren, also (die verbleibenden Spaltenvektoren sind -stellig). c) Kann man den ersten Spaltenvektor als Linearkombination der anderen 3 Spaltenvektoren ausdrücken? Lösung: Ja, da es nur l.u.a. Spaltenvektoren gibt, müssen die 4 Spaltenvektoren linear abhängig sein. d) Falls ja, wie lautet eine mögliche Linearkombination? Lösung: Offenbar über v v +0 v 3 +0 v 4, wie man sofort ohne Rechnung sieht. 1

2 Aufgabe : (Teil 1) Gegeben seien die beiden Vektoren ( a Berechnen Sie ) b ( ). a) die Länge der beiden Vektoren; Lösung: a und b b) ihre euklidische Distanz; Lösung: a b ( 1.5) + (.5) c) den Winkel, den beide Vektoren einschliessen. Lösung: und dann ist cos α a, b a b α arccos(0.9701) 180/π /π d) Für die beiden zugrundeliegenden Variablen sei die Varianz-Covarianz-Matrix: ( ) 1 1/3 Σ. 1/3 1 Bestimmen Sie, ob a oder b weiter vom Nullpunkt entfernt ist! Lösung: Zunächst ( ) ( ) Σ 1 1 d b 1 1 1/3 ad bc c a 1 1/9 1/3 1 ( 9/8 3/8 3/8 9/8 ). Damit dann a a Σ 1 a ( ) ( 9/8 3/8 3/8 9/8 ( ) ( ) 6 ) ( ) und b b Σ 1 b ( ) ( ) 9/8 3/8 ( ) /8 9/8 ( ) ( ) Also ist b weiter vom Nullpunkt entfernt.

3 Aufgabe 3: (Teil 1) Man habe eine Hauptkomponentenanalyse mit 7 Variablen durchgeführt, die an 10 Personen erhoben wurden. Man habe folgende Ladungsmatrix erhalten B a) Bestimmen Sie die anteilige Varianzaufklärung jedes Faktors. Lösung: Es gilt V j i b ij für die aufgeklärte Varianz des Faktors F j in Variableneinheiten, also ist ˆV j V j /k, mit k der Anzahl der Variablen, der Anteil der aufgekärten Varianz. V j ˆV j 51.45% 1.33% 14.36% 6.63% 4.8% 1.3% 0.19% b) Bestimmen Sie die Korrelation von Variable und Variable 5. Lösung: Da R BB gilt r c) Wie viele Faktoren muß man verwenden, wenn man für alle Variablen eine Kommunalität von mindestens etwa 0.75 erreichen möchte? Lösung: Da h i j b ij findet man durch Probieren auf den ersten beiden Variablen: ĥ i Es reichen also 3 Faktoren aus. 3 b ij j d) Berechnen Sie mit den hierfür nötigen Faktoren nun die reproduzierte Korrelation der Variablen und 5, und testen Sie die Residualkorrelation auf Signifikanz! Lösung: r , r e Hierfür gilt r crit t (0.975;N ) N + t (0.975;N ) Die Residualkorrelation ist vom Betrage kleiner als die kritische Korrelation, also nicht signifikant. 3

4 Aufgabe 4: (Teil ) Man habe mit 100 Patienten eine Herzinfarkt-Vorsorgeuntersuchung durchgeführt, um die Prognoseeignung der 4 Variablen Blutdruck, Blutfett, körperliche Fitness, und allgemeine Stressbelastung herauszufinden. Von den 100 Patienten ist die Gruppenzugehörigkeit bekannt: 600 sind normalgesunde unauffällige (H 0 ), 600 sind Patienten, die mindestens einmal einen Herzinfarkt gehabt haben (H 1 ). Man habe nun die 4 Variablen bei den Patienten erhoben und eine Diskriminanzanalyse durchgeführt. Man erhielt eine Diskriminanzfunktion mit signifikanter Klassifikationsleistung. Die Varianzen der beiden Gruppen auf der Diskriminanzfunktion sind homogen, die Daten der Diskriminanzfunktion sind in beiden Gruppen normalverteilt. Der Untersucher benutzt nun die Diskriminanzfunktion, um Patienten in die beiden Gruppen zu klassifizieren, und benutzt dazu Richtwerte der einzelnen Skalen, die er auf einen kritischen Wert der Diskriminanzfunktion umrechnet. Er gelangt zu folgender Klassifikation: H 1 H 0 D D a) Wie gross ist der Anteil der korrekten Klassifikationen mit der verwendeten Strategie? Lösung: p c b) Um wie viele Einheiten der Standardabweichung der Diskriminanzfunktion sind die beiden Gruppen separiert? Lösung: Die Tabelle der relativen Häufigkeiten ist H 1 H 0 D D d z(corrrej) z(miss) F 1 (0.833) F 1 (0.333) ( 0.431) c) Bei welchem Standardwert der unterliegenden Skala verwirft der Untersucher die Nullhypothese? Lösung: Bei z(corrrej) d) Bei welchem Standardwert der unterliegenden Skala muss der Untersucher die Nullhypothese verwerfen, um den Anteil korrekter Klassifikationen zu maximieren? Lösung: Man hat β p 0 /p 1 0.5/ Damit ist z(β) ln(β) d + d d e) Wie hoch ist dann der Anteil korrekter Entscheidungen? Lösung: Damit gilt ˆp CR F (z(β)) F (0.699) ˆp Hit 1 F (z(β) d ) 1 F ( 0.699) p c p 1 ˆp Hit + p 0 ˆp CR

5 f) Welche(s) andere Verfahren hätte der Untersucher für die Klassifikation verwenden können? Wäre dann die Klassfifikationsleistung genauso gut? Wie hätte man bei dem/den anderen Verfahren das Problem der Kriteriumssetzung gelöst? Lösung: Man hätte ebenso mit Hilfe der Mahalanobisdistanzen klassifizieren können. Bei Gültigkeit der Annahme der multivariaten Normalverteilung in beiden Gruppen kann man genauso gut mit dem Likelihood-Ratio Kriterium arbeiten. Die Klassifikation mit dem LR entspricht genau einer Bayes-Klassifikation. Gegenüber der Klassifikation mit der Diskriminanzfunktion erhält man im Gruppen Fall ganz naloge Resultate. Aufgabe 5: (Teil ) Eine Psychologin leitet ein Assessment Center in einer großen Versicherung. 1 Sekretärinnen haben eine Weiterbildung zur Management-Assistentin absolviert und sollen in dem Assessment Center auf ihre Eignung für diesen Beruf untersucht werden. Das Unternehmen möchte die 3 am besten geeigneten Kandidatinnen in diesen Beruf übernehmen. FPI (Freiburger Persönlichkeits-Inventar) Profile haben für den Beruf der Managementassistentin eine hohe prognostische Validität erwiesen. Personen mit einer hohen Profilübereinstimmung mit dem durch Experten erstellten Referenzprofil sind eher erfolgreich in dem Beruf, und erfüllen langfristig die Anforderungen des Managements. Die Psychologin legt den FPI den 1 Kandidatinnen zur Bearbeitung vor (Sec). Gleichzeitig verfügt Sie über eine Referenzgruppe aus 0 im Beruf tätigen Managementassistentinnen (MA), und hat eine Vergleichsstichprobe von 19 Managern (Man). Der FPI ist in Stanine Standardwerten (SN 5 + z) skaliert. Man habe folgende Mittelwerte-Daten erhalten (s. auch Abb. 1): Sekretärinnen Man-Assistentinnen Manager Skala Nr. Mean Expert Diff Mean Expert Diff Mean Expert Diff LeZ FPI SoZ FPI Lei FPI Geh FPI Err FPI Aggr FPI Bean FPI Körp FPI Ges FPI Off FPI Extr E Emot N a) Wie kann man für jede der 3 Gruppen prüfen, inwiefern eine Übereinstimmung mit dem Expertenprofil vorliegt? Schlagen Sie hierzu ein Verfahren vor, und schreiben Sie die zu prüfende Grösse auf. Lösung: Man prüft, ob das Sollprofil im Konfidenzintervall des Gruppenzentroiden x j liegt. Man lehnt die Nullhypothese x µ 0 0 5

6 ab, wenn gilt. T n ( x j µ 0 ) ˆΣ 1 (n 1) p j ( x j µ 0 ) > n p F (p;n p) (1 α) b) Welche Voraussetzungen müssen für Ihr vorgeschlagenes Verfahren erfüllt sein? Geben Sie für jede Voraussetzung ein Verfahren der Überprüfung an! Lösung: Die T Statistik ist F - verteilt, wenn die Stichprobendaten multivariat normalverteilt sind. Dies ist mit einer p-p Plot Methode prüfbar. c) Mit welchem oder ggf. welchen Verfahren kann man testen, ob die Mittelwerteprofile aller 3 Gruppen gleich sind? Welche Voraussetzungen hat das (diese) Verfahren? Lösung: Die Gleichheit der Profile prüft eine einfaktorielle MANOVA. Sie setzt gleiche Varianz-Covarianz Schätzungen in den Gruppen voraus. Ebenfalls erfordert sie multivariate Normalverteilung der Zellresiduen der 3 Gruppen. d) Der FPI ist an einer Eichstichprobe normiert. Wie können Sie einfach prüfen, ob die Gruppe der Sekretärinnen mit dem Profil der Eichstichprobe übereinstimmt? Lösung: Indem man wie unter a) prüft, ob der Skalen-Erwarungswert µ 0 5 im Konfidenzintervall des Zentroiden x j einer jeden Gruppe liegt. e) Im Manual des FPI ist auch eine Interkorrelationsmatrix der Skalen des FPI ausgewiesen, die anhand der Eichstichprobe berechnet wurde. Aus den Daten jeder der 3 Gruppen kann ebenfalls eine Interkorrelationsmatrix berechnet werden. Was würde es bedeuten, wenn die Überprüfung der Homogenität der FPI-Interkorrelationsmatrix einer Gruppe mit der Interkorrelationsmatrix des Manuals eine Signifikanz anzeigt? Was bedeutet dies für das hinter dem FPI stehende Faktorkonstrukt? Lösung: Das würde bedeuten, dass das hinter dem Test stehende Konstrukt gruppenrelativ ist, d.h. die Zusammenhangsstruktur der Skalen kann in verschiedenen Gruppen verschieden sein. Z.B. Manager könnten eine Species sein, die einen anderen Cluster von Leistung, Beanspruchung und Erregbarkeit hat als andere. Das Faktorkonstrukt wäre somit nicht universell, wie man es gerne bei Persönlichkeitstest hätte. f) Aus den 1 Bewerberinnen müssen Sie 3 auswählen. Welche Grösse ziehen Sie hierzu heran (Vorschlag)? An welche Voraussetzungen ist die Gültigkeit dieser Grösse gebunden? Können Sie das Problem auch lösen, wenn die Stichprobendaten eine Verletzung der Normalverteilungsannahme anzeigen? Lösung: Es gibt hier verschiedene Möglichkeiten. Die naheliegenste ist, über die Mahalanobis-Distanz a) zum Expertenprofil und b) zum Durchschnittsprofil der im Beruf tätigen Managements-Assistentinnen Rangreihen zu bilden. Die Unternehmensleitung könnte man fragen, welche Rangreihe mehr Gewicht bekommen sollte. Mit diesen relativen Gewichten bildet man eine Rangreihe über eine Linearkombination der beiden gewichteten Rangreihen. Diejenigen Personen mit den geringsten Distanzwerten auf der kombinierten Skala schlägt man dem Unternehmen zur Auswahl vor. Dieses Verfahren ist an keine Vereilungsvoraussetzungen gebunden, da es keinen statistischen Test enthält. g) Stellen Sie sich vor, dass noch andere Datenquellen für die Auswahlentscheidung zur Verfügung stehen. Beispielsweise die Ergebnisse eines Eignungstests, eines Kenntnisstests für Verwaltungsaufgaben und einer Eignungsbeurteilung nach einem Auf- 6

7 nahmegespräch. Mit welcher Strategie kann man unter Berücksichtigung aller 4 Datenquellen eine faire Rangreihe der Bewerberinnen erstellen? Lösung: Wie beim Problem der Kombination der beiden Rangreihen unter f), so würde man auch hier eine Linearkombination aufbauen, die die Noten, Scores oder Ähnlichkeitsmaße auf eine neue Skala abbildet. Man muss beim Aufbau der Batterie auf die richtige Polung der Variablen achten, und darauf, dieselbe Normskala (z.b. z) zu verwenden. Bei den relativen Gewichten hat der Untersucher Freiheit, die Wichtigkeit der einzelnen Datenquellen für die Gesamtentscheidung nach inhaltlichen Kriterien zu verschieben. 7

8 a) Sekretärinnen Stanine Lebenszufriedenheit Soziale Orientierung Leistung Gehemmtheit Erregbarkeit Aggressivität Beanspruchung Körperbeschwerden Gesundheitssorgen Offenheit Extraversion Emotionalität Bewerber-Gruppe Experten-Profilvorgabe b) Management-Assistentinnen Stanine Lebenszufriedenheit Soziale Orientierung Leistung Gehemmtheit Erregbarkeit Aggressivität Beanspruchung Körperbeschwerden Gesundheitssorgen Offenheit Extraversion Emotionalität c) Manager Stanine Lebenszufriedenheit Soziale Orientierung Leistung Gehemmtheit Erregbarkeit Aggressivität Beanspruchung Körperbeschwerden Gesundheitssorgen Offenheit Extraversion Emotionalität Abbildung 1: FPI-Mittelwerteprofile der 3 Gruppen Sekretärinnen (a), Management- Assistentinnen (b) und Manager (c). Die Expertenvorgabe ist in allen Profiltafeln als Verlauf der gefüllten rote Kreise eingezeichnet. Die Skalen des FPI lauten: Lebenszufriedenheit (FPI- 1), Soziale Orientierung (FPI-), Leistung (FPI-3), Gehemmtheit (FPI-4), Erregbarkeit (FPI-5), Aggressivität (FPI-6), Beanspruchung (FPI-7), 8Körperbeschwerden (FPI-8), (FPI-9), Gesundheitssorgen (FPI-10), Offenheit (FPI-11), Extraversion (E), Emotionalität (N).