Evaluation & Forschungsmethoden (Multivariate Analyse) Hauptdiplom-Prüfungsklausur am (1.Termin)

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1 Evaluation & Forschungsmethoden (Multivariate Analyse Hauptdiplom-Prüfungsklausur am (1.Termin Name: Matrikel-Nr.: Aufgabe 1: (3 Punkte Es seien zwei Vektoren a und b (mit mehr als Koordinaten gegeben. Ihre Korrelation betrage r. Bestimmen Sie für die folgenden Fälle, welche der angegebenen Begriffe auf sie zutreffen (alle zutreffenden Lösungen ankreuzen: a r 0: b r 1: c 0 < r < 1: linear unabhängig linear abhängig orthogonal linear unabhängig linear abhängig orthogonal linear unabhängig linear abhängig orthogonal Lösung: Vektoren sind linear abhängig, wenn sie auf einem Strahl liegen. Das tun sie gdw ihre Korrelation 1 ist (ein Vektor ist dann ein Vielfaches des anderen. Für allen anderen Werte der Korrelation sind sie also unabhängig (zeigen in verschiedene Richtungen. Ein Spezialfall der Unabhängigkeit liegt vor, wenn ihre Korrelation Null ist, dann sind sie orthogonal (stehen senkrecht aufeinander. Aufgabe : (4 Punkte In einer - faktoriellen Varianzanalyse (Faktor A: Stufen, Faktor B: Stufen habe man folgendes Ergebnis erhalten: Faktor A ist signifikant, Faktor B nicht, es besteht aber eine signifikante Interaktion A B. verdeutlichen Sie dieses Ergebnis graphisch mit einer Zeichnung der hypothetischen Mittelwerte. Lösung: Mittelt man für jede Stufe von B über die Stufen von A, kommt derselbe Wert heraus (gestrichelte Linie, die Werte von B unterscheiden sich also nicht, die Werte von A wohl und es gibt einen differentiellen Effekt von A, je nach Ausprägung von B. B 1 B A 1 A 1

2 Aufgabe 3: ( Punkte An 9 Gesunden und 9 Herzinfarktrisikopatienten habe man Blutfettwerte (X 1 und Blutdruckwerte (X erhoben. Die gesamte Stichprobe habe man standardisiert. In Standardwerten hat die Risikogruppe einen Zentroiden von µ R (0.78,0.58 und die Normalgruppe µ N ( 0.78, Für die Varianz- Covarianz Matrizen gilt: Gesamt : ( Normal : ( Risiko : ( Die Daten der Versuchspersonen (standardisiert sind in Abb. 1 veranschaulicht. Zentroid der Risikopatienten 3.00 Risiko Normal.00 z Blutdruck Regressionsgerade (gesamt 95% Quantil z 1 Blutfett Zentroid der Gesunden Patient Abbildung 1: Die Messvariablen als Standardwerte. a Vergleichen Sie die Korrelation von Blutfett und Blutdruck in der Gesamtgruppe mit den Korrelationen der beiden Variablen innerhalb jeder der beiden Gruppen (Werte ermitteln. Welcher grundsätzliche Sachverhalt für das Bestehen von Korrelationen in aus Subgruppen zusammengesetzten Gesamtstichproben wird an diesem Datenbeispiel deutlich? Erläutern Sie diesen Sachverhalt anhand von Abbildung 1! Lösung: Es ist ( σ Σ 1 σ 1 σ 1 σ r 1 σ 1 σ 1 σ

3 Daher hat man Gesamt Normal Risiko r r r Die Korrelationen von Blutfett und Blutdruck sind in den beiden homogenen Subgruppen also deutlich kleiner als in der Gesamtstichprobe. Offenbar kommt die höhere Korrelation in der Gesamtgruppe dadurch zustande, dass die beiden Gruppen sich in Richtung eines positiven Zusammenhangs beider Variablen anordnen (entlang einer Gerade mit Steigung r 0.7, gestrichelte Linie. Die Korrelation in dieser Gesamtstichprobe ist also kontingent mit der Wahl der Subgruppen: Hätte man die Gruppe der Kranken statt der Risikopatienten gewählt, wäre möglicherweise der Zusammenhang noch höher ausgefallen. Hätte man Gruppen von Gesunden gewählt (z.b. Sportler und Nichtsportler, wäre der Zusammenhang deutlich niedriger ausgefallen. b Die Varianz-Covarianz Matrix der Gesamtstichprobe habe man einer Eigenwertzerlegung unterzogen und erhielt: ( ( ( v 1 v λ Zeichnen Sie mithilfe dieser Daten die Kontur des elliptischen 95% Quantils der bivariaten Normalverteilung für die Gesamtstichprobe. Berechnen Sie mindestens Punkte, geben Sie die Koordinaten an und zeichnen Sie die Kontur durch die Punkte dann frei Hand in Abb. 1 ein. Lösung: Die Hauptachsen der Ellipse sind gegeben über (s. Folien-Container Multivariate- NormalEllipsen.ppt v i µ ± c λ i e i mit c χ (.95 Für das Ellipsenkriterium c liest man in der Chi-Quadrat-Tabelle ab: c χ ( Damit hat man ( 0 v 1 ± ( ( ( 0 v ± ( ( Die beiden Punkte zeichnet man ein (schwarze Quadrate in Abb. 1, spiegelt sie ggf. am Nullpunkt, um mehr Stützpunkte zu haben, und zieht dann per Hand einen Ellipsenbogen hindurch. Es ergibt sich in dann die grau gestrichelt eingezeichnete Kontur (s. Abb. 1. c Man habe einen Patienten mit den Werten x (0.37, Er ist vom Arzt als Risikopatient eingestuft worden. Liegt er näher am Schwerpunkt der Normalgruppe oder der Risikopatienten? Hinweis: Für die Inverse einer Matrix gilt A ( a b c d, A 1 1 ad bc ( d b c a. 3

4 Lösung: Man berechnet die quadrierte Mahalanobisdistanz des Datenpunktes zu jedem der beiden Gruppenzentroide und vergleicht beide quadrierten Distanzen. Für die Gruppe der Gesunden erhält man: d N x µ N ( ( ( Σ 1 N N dt Σ 1 N d ( ( Für die Risikogruppe erhält man analog: d R x µ R ( ( ( Σ 1 R R dt Σ 1 R d ( ( ( ( ( ( ( ( Der Punkt liegt damit näher am Zentroiden der Risikogruppe. Dies entspricht der Anschauung (Abb. 1: Euklidisch entsprechen sich die Abstände in etwa, der Datenpunkt des Patienten liegt aber in etwa in Richtung der 1. Hauptachse der Risikogruppe, und orthogonal zur Richtung der 1. Hauptachse der Gesunden (eher in Richtung der. Hauptachse dieser Gruppe. d Man habe eine Diskriminanzanalyse mit den standardisierten Daten durchgeführt. Die Diskriminanzfunktion hat die Form Y b 1 z 1 + b z. Man erhielt die in Tab. 1 dargestellten Parameter (s. S. 3. Der Parameter λ ist der Eigenwert der Matrix A W 1 B. b 1 b λ Tabelle 1: Parameter der Diskriminanzfunktion. e Ermitteln Sie Wilk s Λ und den Anteil der erklärten Varianz an der Gesamtvarianz und testen Sie die Diskriminanzfunktion auf Signifikanz. Lösung: Es gilt 1 Λ 1 + λ C 1 Λ

5 Ferner gilt: ( χ N p+k 1 ln (Λ und df p(k 1 Also ist df ( 1 und χ (18 1 ln( Man schaut in der Chi-Quadrat-Tabelle χ crit χ ( nach, also gilt χ > χ crit, die Trennleistung der Diskriminanzfunktion ist signifikant. f Auf der Diskriminanzfunktion haben die Risikopatienten einen Mittelwert von Y R und eine Standardabweichung von s YR 1.1. Normalpatienten haben einen Mittelwert von Y N bei einer Standardabweichung von s YN Klassifizieren Sie den Patienten mit dieser Diskriminanzfunktion in eine der beiden Gruppen, und begründen Sie Ihre Wahl des Klassifikationsverfahrens. (Varianzhomogenität als gegeben ansehen. Lösung: Man hat homogene Varianz-Covarianzmatrizen als Voraussetzung der Diskriminanzanalyse und analog Varianzhomogenität beider Gruppen auf der Diskriminanzfunktion. Also darf man die Varianzen der beiden Gruppen auf der Diskriminanzfunktion poolen. Man bestimmt dann für den Patienten den z-wert in der Normalgruppe und der Risikogruppe, in die Gruppe mit dem vom Betrage her kleineren z-wert gruppiert man ein (einfache Distanzklassifikation bei gleichen a-priori Wahrscheinlichkeiten und homogenen Varianzen. Die gepoolte Standardabweichung ist (Pop-Schätzung: n N s Y ˆσ pooled N + n R s Y R 9 ( n N + n R 18 Der Wert des Patienten auf der Diskriminanzfunktion lautet Y b 1 z 1 + b z ( Dann sind die beiden z-werte: z N Y Y N ˆσ pooled 0.49 ( z R Y Y R ˆσ pooled 0.49 ( Also liegt der Patient auf der Diskriminanzfunktion näher am Mittelwert der Risikogruppe (wie es ja auch die multivariaten Distanzen anzeigen. g Man wisse, daß die a-priori Wahrscheinlichkeiten lauten: P N 0.9, P R 0.1. Man nehme ferner an, daß die Daten der Diskriminanzfunktion in beiden Gruppen normalverteilt sind. In welche der Gruppen muss man den Patienten einordnen, wenn man das Kriterium verfolgt, die Anzahl der korrekten Entscheidungen zu maximieren? Lösung: Man betrachtet die Verteilung der Normalpatienten als H 0 - Verteilung und entscheidet darauf mit dem Likelihood-Ratio. Man hat also die Regel lr RN (z f R(z > β Risiko, sonst Normal f N (z 5

6 mit β P N P R. Beide Likelihoodfunktionen sind normalverteilt mit derselben Streuung, nur mit verschiedenem Erwartungswert, also hat man die einfache Regel mit Es ist β d Y R Y N ˆσ pooled z > z 0 Risiko, sonst Normal z 0 ln(β d + 1 d ( z 0 ln( Da z z N (oben unter (f bereits berechnet, gilt z < z 0 und man gruppiert in die Gruppe der Normalpatienten ein. h Testen Sie mit einem möglichst einfachen Test, ob sich die Gruppen der Normalen und Risikopatienten hinsichtlich beider Variablen Blutdruck und Blutfett signifikant unterscheiden. Sehen Sie hierfür die Voraussetzungen der Normalverteilung und Varianzhomogenität als gegeben an! Lösung: Mit kühlem Kopf kann man hier antworten, dass sich ein solcher Test erübrigt, da er mit dem Signifikanztest von Wilk s Lambda bereits vorliegt: Der Wilk s Test ist identisch mit der MANOVA, wir haben ein Variablen Gruppen Fall, also testet der Wilk s-test direkt den Unterschied der beiden Gruppen auf beiden Variablen. Hotelling s T hätte exakt dasselbe Resultat geliefert. Ansonsten kann man aber einfach einen t-test auf der Diskriminanzfunktion applizieren. Es ist t Y ˆσ mit ˆσ Y Y ˆσ 1 pooled n N + 1 n R ˆσ pooled n damit erhält man bei df n N + n R ˆσ Y t t crit t 16 ( Also gilt t > t crit, die Mittelwertedifferenz auf der Diskriminanzfunktion ist signifikant. Aufgabe 4: ( Punkte Faktorenanalyse: Aus der Analyse der Korrelationsresiduen R e R R rep erhält man wertvolle Hinweise, ob zu viele oder zu wenig Faktoren extrahiert wurden. a Wie kann man testen, ob man zu wenig gemeinsame Faktoren extrahiert hat? Lösung: Man schaut, ob es unter den Residualkorrelationen Werte gibt, die vom Betrage her grösser sind, als bei Annahme von ρ 0 zu erwarten. Unter dieser Annahme gibt es einen kritischen r 0 Wert für einen gegebenen Stichprobenumfang, aus dem jede Korrelation berechnet wurde. Mit df n Freiheitsgraden kann man diese zweiseitige Signifikanzgrenze einfach in der letzten Spalte der t-tabelle nachschauen (-seitige Signifikanzgrenzen für Produkt-Moment-Korrelationen. Gibt es einige Werte, die darüber liegen, deutet das darauf hin, dass noch nicht genügend gemeinsame Varianz aus dem Variablenpool gezogen worden ist. 6

7 b Welche Rolle spielt in diesem Zusammenhang die Überprüfung der Annahme der Normalverteilung? Lösung: Dieser Test der Signifikanz von Korrelationen ist an die paarweise bivariate Normalverteilung gebunden, die vorliegt, wenn das gesamte Sample einer multivariat normalverteilten Grundgesamtheit entnommen worden ist. Es empfiehlt sich also eine Q-Q-Methoden Testung der Annahme der multivariaten Normalverteilung. c Welches Problem hat man bei der Überprüfung der Normalverteilungsannahme mit den üblichen statistischen Testverfahren (Chi-Quadrat, Kolmogoroff-Smirnoff? Schlagen Sie ein alternatives Verfahren vor, welches dieses Problem besser löst (Datentransformationen beschreiben und herangezogene Kenngrösse, die zur Güte der Passung der NV- Annahme bewertet wird Lösung: Man braucht üblicherweise grosse Stichproben, um z.b. einen Chi-Quadrat Test auf Verteilungsanpassung durchzuführen. Eleganter sind Q-Q Plot Methoden mit anschliessender Testung des Korrelationskoeffizienten der Quantile-Paarung. Für den Test bildet man erwartete Quantile (X-Achse und trägt sie gegen die tatsächlich beobachteten Quantile ab (Y -Achse. Erwartete Quantile erhält man aus ẑ i F 1 (p i, wobei p i die relative Position eines Messwertes x i in der sortierten Messwertereihe ist. Die beobachteten Quantile sind die empirischen z- Werte. Für die Produkt- Moment Korrelation von erwarteten und beobachteten Quantilen existiert ein spezieller Test. d Argumentieren Sie: Inwiefern kann man aus der Bewertung der Kennzahlen einer konfirmatorischen Faktorenanalyse ableiten, 1 Ob die geforderte latente Variablenstruktur den Daten unterliegt? Ob die geforderte latente Variablenstruktur den Daten nicht unterliegt? Lösung: Die Aufweis der Passung einer bestimmten Faktorstruktur auf Daten schliesst alternative Strukturen mit gleich guter oder besserer Passung nicht aus. Insofern kann man aus der Passung z.b. von zwei-faktoren Lösungen nicht folgern, dass man für intelligente Leistungen immer einen allgemeinen g-faktor und einen für die spezifische Leistung braucht (Spearman. Umgekehrt kann man bei Nichtvorliegen von Passung einer vorgegebenen Faktorstruktur schliessen, dass diese Struktur den Daten nicht unterliegt (Falsifikation. Es geht hier also ganz allgemein um die Schlussmöglichkeiten via Modus Ponens und Modus Tollens. Die empirischen Daten sind notwendig für das geforderte Modell, die vermutete latente Ursache ist für die Daten hinreichend. Aufgabe 5: ( Punkte Nehmen Sie an, Sie müssten die Wirksamkeit eines Trainingsprogramms in der Personalenwicklung bewerten. In diesem Programm wurde über 10 Wochen 5 Mitarbeiter auf innovatives betriebliches Leistungsverhalten trainiert (allgemeine Leistungsbereitschaft, Goal-Commitment, Belastbarkeit und Lösungsorientiertheit. Alle 4 Variablen können auf Intervallskalenniveau gemessen werden. Nehmen Sie an, für diese Messinstrumente sind Erwartungswerte von Vergleichsgruppen verfügbar, die unter Experten als innovativ leistungsbereit gelten. Allerdings entstammen diese Vergleichsgruppen anderen Branchen als Ihr Unternehmen. Erstellen Sie eine Untersuchungsstrategie, wie Sie den Fortschritt der 5 Mitarbeiter im Hinblick auf die gewünschte innovative Leistungsbereitschaft dokumentieren, und bewerten können, wie die Wirksamkeit der Trainingsmassnahme einzuschätzen ist. 7

8 a Erstellen Sie einen Versuchsplan: Welche Abhängige(n Variable(n erfassen Sie, wann/wie oft testen Sie, und welches allgemeine Design verwenden Sie? b An welche Voraussetzungen ist Ihr Versuchsplan gebunden. Wie überprüfen Sie das Vorliegen dieser Voraussetzungen? c Anhand von welchen dezidierten Testungen entscheiden Sie i ob das Training wirksam war und ii ob das Training wirksam war im Sinne des Erreichens der Expertenbenchmarks? d Welche Vorteile hat Ihre Strategie, welche Nachteile (Kosten, Durchführbarkeit, Bindung der Schlüsse an nicht prüfbare Annahmen stehen dem gegenüber? Lösung: Man hat hier einige Freiheitsgrade in der Wahl der Strategie. Eckpunkte sind jedoch: Man nutzt die Information aller 4 Messvariablen, um die Fragestellung zu beantworten (multivariates Design; Es geht um Veränderung in der Zeit (Repeated Mesurements Design; Die Veränderung ist hinsichtlich zweier Benchmarks zu bewerten und statistisch zu testen, nämlich 1. In Bezug auf das Expertenurteil (kriteriumsorientierter Vergleich;. In Bezug auf den Anfangszustand (Pre-Messung, Intra-Gruppen-Vergleich; Man muss die Richtung der Veränderung kontrollieren, denn das Training kann ja auch verschlechtern. (Das ist nicht trivial, denn multivariate Tests geben Auskunft über Quadrierte Distanzen und SSCPs, aber nicht über die Richtung der Abweichung. Designvorschläge, die zumindest teilweise Refexion der genannten Eckpunkte erkennen lassen sind willkommen. 8