Material zum Projekt Lineare Optimierung

Transkript

1 Material zum Projekt Lineare Optimierung Hinweise zur Bearbeitung der Aufgaben Behandeln Sie bitte zur Lösung dieser Aufgaben die Unterkapitel des Themas Lineare Optimierung der Reihe nach, da diese aufeinander aufbauen. An einigen Stellen ist Arbeitsteilung möglich, diese werden auf den Aufgabenblättern (meistens) angegeben. Beachten Sie auch die Aufgaben mit Lösungen und die Beispiele, die im Lernprogramm enthalten sind, sie geben wichtige Hinweise zur Lösung der folgenden Aufgaben. Auf jedem Aufgabenblatt ist veranschlagt, wie viel Zeit die Bearbeitung dieses Blattes voraussichtlich benötigt. Dies ist nur eine Richtangabe und kann natürlich deutlich unterschritten bzw. überschritten werden. Die Angabe soll eine bessere Zeiteinteilung ermöglichen. Tipps zur Gruppenarbeit Es wartet viel Arbeit auf sie, daher einige Tipps zur effektiven Zusammenarbeit... Setzen Sie sich vor Beginn der Arbeit mit der ganzen Gruppe zusammen und besprechen Sie ihre Vorgehensweise gemeinsam z.b. arbeiten Sie in Zweiergruppen und besprechen alle zwei Stunden ihre Ergebnisse mit der ganzen Gruppe. Klären Sie während der Besprechung auch eventuell auftretende Fragen oder die weitere Aufteilung der Aufgaben (es ist an einigen Stellen möglich, dass immer nur ein Teil der Gruppe eine bestimmte Aufgabe bearbeitet und dann ihre Ergebnisse der ganzen Gruppe mitteilt.) Stellen Sie einen groben Zeitplan auf, der festlegt, wann Sie mit der jeweiligen Aufgabe fertig sein sollten, damit sie ihr Arbeitstempo ungefähr einschätzen können (lesen Sie dafür zunächst alle Übungsblätter durch!) Helfen Sie sich gegenseitig! Wir wünschen viel Spaß dabei!

2 . Übungsblatt Aufgabe zur Linearen Optimierung: Werbeplanung Die folgenden beiden Aufgaben können zu diesem Zeitpunkt noch nicht von Ihnen gelöst werden. Lesen Sie sie trotzdem aufmerksam durch. Ziel dieses Projekts ist es am Ende die korrekte Lösung angeben zu können.. Der Werbeplaner eines Markenartikelherstellers plant die Werbekampagne für ein neues Produkt. Im Bereich der TV- Werbung soll ein Spot täglich eventuell mehrmals durch die Sender PRO7 und RTL ausgestrahlt werden, durch PRO7 höchstens viermal und durch RTL höchstens fünfmal. Die Kosten in 000 Euro belaufen sich bei PRO7 auf 0 und bei RTL auf 0 je gesendetem Spot. Das tägliche Werbebudget ist auf Euro begrenzt. Aus Medienanalysen ist bekannt, dass je Spot durchschnittlich 000 PRO7 Zuschauer und RTL Zuschauer am Produkt nicht interessiert sind. Die Gesamtzahl nicht interessierter Zuschauer, die täglich den Spot sehen, soll.000 nicht übersteigen (dabei sind natürlich Mehrfachzählungen derselben Person möglich). Die Medienanalysen zeigen weiterhin, dass je Spot durchschnittlich folgende Reichweiten erzielt werden, wobei Überschneidungen nicht zu berücksichtigen sind: Erreichte Haushalte in 000 PRO7 RTL 0 Der Medienplaner möchte unter den gegebenen Bedingungen die Zahl der erreichten Haushalte maximieren.. Inzwischen ist einige Zeit vergangen, die Preise der Sender haben sich teilweise verändert, der Markenartikelhersteller hat hervorragende Ergebnisse mit seinem Produkt erzielt und beschließt sein Werbebudget auf Euro zu erhöhen und auf andere Sender auszuweiten. Die Kosten in 000 Euro belaufen sich bei PRO7 nun auf 0, bei RTL auf 0 und bei SAT auf je gesendetem Spot. Die Reichweiten, die wieder maximiert werden sollen, sind: Erreichte Haushalte in 000 PRO7 SAT RTL 0 Achtung: Im Folgenden wird die erste Aufgabe zur Werbeplanung von Übungsblatt als kleine Werbeplanaufgabe, die zweite als große Werbeplanaufgabe bezeichnet.

3 . Übungsblatt: (Zeitansatz, Stunden). Beschäftigen Sie sich ausführlich mit Beispiel aus dem Lernprogramm. Was ist in der Tabelle dargestellt? Fassen Sie das Problem kurz für sich zusammen (vor der Modellierung). Das Verständnis dieses Beispiels ist sehr wichtig, da an ihm alle weiteren Schritte erklärt werden.. Welche Entscheidungsvariable ergeben sich in der Werbeplanaufgabe in beiden Teilen und welche Bedeutung haben sie?. Wie lautet die Zielfunktion in der kleinen Werbeplanaufgabe? Welchen Wert nimmt sie für x = (PRO7) und x = (RTL) an?. Bestimmen Sie jeweils den Zielfunktionswert für folgende Werte von x und x. x x Zielfunktionswert 0 x x -. Wie lauten die Nebenbedingungen für die Aufgaben aus der Werbeplanung? Ist x = und x = bzw. x = und x = in der ersten Aufgabe zulässig?. Entscheiden Sie jeweils über die Zulässigkeit der folgenden Produktionspläne gegeben durch x und x. Wird x x 7, - x x <= x 0 x <= 9 0 x,x <= 9 x, x >= 0 erfüllt? Berechne den Zielfunktionswert 0 x x 7. Wie sehen die Vorzeichenbedingungen für die Werbeplaner aus?. Fassen Sie die Aufgaben zur Werbeplanung als Lineare Programme in Kurzschreibweise zusammen.

4 9. Wie lautet das Lineare Programm zu Beispiel aus dem Lernprogramm in Kurzschreibweise?

5 . Übungsblatt: (Zeitansatz, Stunden). Zeichnen Sie das Polyeder P (den Zulässigkeitsbereich) zur kleinen Werbeplanaufgabe.. Zeichnen Sie im Polyeder aus der vorigen Aufgabe alle Kombinationen (x x ) ein, die die Zielfunktionswerte z =, 0 und besitzen.. Wie findet man nun die optimale Kombination (x x )? (kurze Beschreibung der Vorgehensweise) Wie lautet die Lösung in der kleinen Werbeplanaufgabe? Zeichnen Sie sie im Polyeder ein. Welche Bedeutung hat diese Kombination?. Die Nebenbedingungen in Aufgabe, Übungsblatt gehören zu einem Produktionsproblem der Firma Hufnagel Gmbh & Co. KG. Diese ist führend in Produktion und Vertrieb maschinell gefertigter Hufeisen für Rennpferde. Dabei steht die Variable x für die Anzahl an Produktionseinheiten kleiner Hufeisen speziell für Rennponys - und x für die Anzahl an Produktionseinheiten großer Hufeisen. Die Produktionseinheiten bestehen je aus 00 Hufeisen pro Tag (d.h. x = bedeutet, dass 00 kleine Hufeisen pro Tag gefertigt werden). Die Firma möchte nun wissen welche Menge an großen und kleinen Hufeisen sie täglich produzieren soll, wenn sie mit 00 kleinen Hufeisen einen Profit von 00 Euro und mit 00 großen Hufeisen einen Profit von 000 Euro erzielt. Wie groß ist dann der tägliche Profit? Lösen Sie die Aufgabe mit Algorithmus.. Wie lautet der Hauptsatz der Linearen Optimierung für zwei Entscheidungsvariable in eigenen Worten?. Der Laden Willi & Sohn verkauft verschiedene Werkzeuge. Da Willi mit seinem Sohn nächstes Jahr in Urlaub fahren will, ergänzt er sein Sortiment um einen neuen Spezialschraubendreher und eine neue Sorte Hämmer. Er hofft, dass damit seine Urlaubskasse etwas aufgebessert wird. Pro Schraubendreher verdient er Euro und pro Hammer zwei Euro. Willis Lieferant stellt jedoch folgende Bedingung: An einem Schraubendreher verdiene ich sechs Euro, an einem Hammer nur einen Euro. Ich beliefere dich nur, wenn ich pro Woche mindestens sechs Euro verdiene. Außerdem will Willi pro Woche zusammen höchstens fünf Werkzeuge bestellen, da er noch nicht weiß, wie gut sich die Werkzeuge verkaufen. Er ist sich allerdings sicher, dass er nicht mehr als Schraubendreher und nicht mehr als vier Hämmer verkaufen kann. Wie viele Schraubendreher bzw. Hämmer soll Willi pro Woche bestellen? (Die beiden Aufgaben und könnten beispielsweise in zwei Gruppen bearbeitet werden, die sich anschließend ihre Ergebnisse vorstellen.)

6 An dieser Stelle wäre Arbeitsteilung ebenfalls möglich. Einige Schüler können sich noch mit der rechnerischen Lösung von Problemen mit zwei Entscheidungsvariablen befassen (Übungsblatt ), während der Großteil sich bereits mit dem Kapitel Lineare Optimierung und Matrizen (Übungsblatt ) beschäftigt. Bei Zeitmangel wäre es auch möglich, das Kapitel rechnerischen Lösung von Problemen mit zwei Entscheidungsvariablen komplett wegzulassen oder erst am Ende (bei Zeitüberschuss) zu bearbeiten.. Übungsblatt: (Zeitansatz Stunde). In welcher Ecke des Zulässigkeitspolyeders liegt die Optimallösung für die kleine Werbeplanaufgabe? Bestätigen Sie die Lösung aus Aufgabe, Übungsblatt mit dem rechnerischen Verfahren.. Lösen Sie das folgende Lineare Programm mit dem grafischen Verfahren (Algorithmus ) und bestimmen Sie den optimalen Wert durch Lösen eines Gleichungssystems. max x unter den Nebenbedingungen x x >= -0x x <= x x <= 7 x, x >= 0

7 . Übungsblatt: (Zeitansatz Stunde). Wie lauten die Entscheidungsvektoren für die kleine bzw. die große Werbeplanaufgabe? Welche Zielfunktionsvektoren, Koeffizientenmatrizen und Kapazitätsvektoren ergeben sich?. Wie viele Schlupfvariable müssen in der großen Werbeplanaufgabe eingeführt werden und wie lautet das neue Lineare Programm in Gleichungsform? Ist das Programm nun bereits in Standardform? Falls nicht, welcher Schritt fehlt noch und wie lautet das Programm nun?. Lösen Sie folgende Aufgaben zum Skalarprodukt und zur Matrixmultiplikation: a) ) 9 7 ( ), ( = >= < b) = 7 7 c) = = 9 ) ( ) ( d) = Lösen Sie die Aufgaben und aus dem Lernprogramm.

8 . Übungsblatt: (Zeitansatz, Stunden). Welche drei Arten von elementaren Zeilenoperationen gibt es? Geben Sie jeweils ein Zahlenbeispiel an!. Was versteht man unter einer Pivotoperation? Im folgenden Beispiel steht das Pivotelement in eckigen Klammern. Wenden Sie Pivotoperationen an, um die Spalte in den entsprechenden Einheitsvektor zu überführen. [ ] a) b) 0 [ ] 0. Wir betrachten das folgende Gleichungssystem: x x 9x = x x x = x x x = Wie lautet die zugehörige erweiterte Matrix? Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren!. Wir betrachten das folgende Gleichungssystem: x x x = x x x = x x x = Wie lautet die zugehörige erweiterte Matrix? Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren.

9 7. Übungsblatt: (Zeitansatz, Stunden) Dieses Übungsblatt ist das Anspruchsvollste des Projekts.. Was ist eine Basislösung bzw. eine zulässige Basislösung? (Formulierung in eigenen Worten!). Was besagt der Hauptsatz der linearen Optimierung? Warum kann man ein lineares Programm im Allgemeinen nicht durch Betrachtung aller zulässigen Basislösungen lösen?. Beschäftigen Sie sich ausführlich mit der Idee des Simplexverfahrens und dem zugehörigen Beispiel : Verfolgen Sie dazu die Basisaustausche aus dem Beispiel an der Abbildung und lesen Sie danach noch einmal die Idee des Simplexverfahrens durch (dann müsste der Text verständlicher werden).. Wie lautet das Simplextableau für die kleine Werbeplanaufgabe? Algorithmus fasst die Vorgehensweise aus Beispiel zusammen. Lösen Sie die kleine Werbeplanaufgabe mit Hilfe des Algorithmus und vergleichen Sie mit der Lösung aus Aufgabe, Übungsblatt.. Eine Möbelfabrik stellt vier verschiedene Schreibtischsorten her. Diese werden zuerst in der Schreinerei gebaut und dann in der Endverarbeitung veredelt (z.b. durch Anbringen von Metallbeschlägen). Dabei werden für jeden Schreibtisch in den beiden Verarbeitungsschritten die folgende Anzahl an Mannstunden benötigt (eine Mannstunde wird dann verbraucht wenn eine Person eine Stunde arbeitet, d.h. für sechs Mannstunden kann entweder eine Person sechs Stunden arbeiten oder sechs Personen jeweils eine Stunde, oder auch drei Personen jeweils zwei Stunden): Schreibtisch Schreibtisch Schreibtisch Schreibtisch Schreinerei 0 Endverarbeitung 0 Es stehen jedoch in der Schreinerei nur 000 Mannstunden und in der Endverarbeitung nur 000 Mannstunden pro Monat zur Verfügung. Die Schreibtische werden mit folgendem Gewinn verkauft: Schreibtisch : 0 Euro, Schreibtisch : 00 Euro, Schreibtisch : 0 Euro, Schreibtisch : 00 Euro. Wie viele Schreibtische sollte die Firma pro Monat herstellen um maximalen Gewinn zu erzielen?. Lösen Sie die große Werbeplanaufgabe! Wie oft muss der Werbespot also auf dem jeweiligen Sender ausgestrahlt werden?

10 Besprechung der Lösung: Ändern sich in der kleinen Werbeplanaufgabe beispielsweise die Kosten für einen Werbespot auf PRO7 und damit die zugehörige Nebenbedingung, so kann es passieren, dass sich eine nicht ganzzahlige Lösung ergibt (ähnliches gilt natürlich auch für die große Werbeplanaufgabe). Das kann man leicht im entsprechenden Graphen durch Verschiebung der zugehörigen Geraden nachprüfen. Doch welchen Sinn hat eine Lösung, die beispielsweise besagt, dass der Spot auf PRO7, mal ausgestrahlt und auf RTL, mal? Es handelt sich bei dieser Aufgabe eigentlich um eine Aufgabe zur ganzzahligen Optimierung. Diese beschäftigt sich mit Aufgaben, bei denen zusätzlich zur linearen Optimierungsaufgabe noch die Ganzzahligkeit der Lösung gefordert ist. Es müssen dann neue Verfahren zur Optimierung entwickelt und angewendet werden. Diese wollen wir aber an dieser Stelle nicht weiter vertiefen. Vielleicht in einem Mathematikstudium?! Außerdem ist Ihnen inzwischen vermutlich auch aufgefallen, dass das Simplexverfahren per Hand bei wachsender Variablenzahl sehr mühsam anzuwenden ist. Das kann ein entsprechendes Softwareprogramm natürlich wesentlich effektiver. Im Abschnitt AMPL wird ein Optimierungsprogramm vorgestellt, das relativ einfach anwendbar ist und Probleme schnell löst. Sollte noch genügend Zeit vorhanden sein, wäre es sehr interessant für Sie sich hiermit zu beschäftigen. Hier kann auch wieder eine Aufteilung der Gruppe erfolgen, die getrennt die beiden letzten Aufgaben bearbeiten (und erklären!). 9. Übungsblatt:. Fassen Sie das Gelernte kurz und übersichtlich zusammen, so dass Sie es in der Klasse vorstellen können und die andere Gruppe anhand ihres Materials versteht, wie die Aufgaben der linearen Optimierung grafisch und mit dem Simplexalgorithmus gelöst werden.. Beschäftigen Sie sich mit dem Programm AMPL und schreiben Sie die entsprechenden Dateien zur Lösung der großen Werbeplanaufgabe. Gratulation! Das Projekt ist beendet!