Physikalische Anwendungen Dynamik

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1 Physikalische Anwendungen Dynamik Zum Mathematik-Lehrbuch Notwendig und zunächst hinreichend (Shaker Verlag, Aachen) gibt es mehrere PDF-Dokumente mit ergänzenden Beispielen und Aufgaben, die die Anwendung der mathematischen Grundlagen in ingenieurrelevanten Bereichen zeigen. Im vorliegenden Dokument finden Sie eine Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus dem Bereich der Dynamik: Lineare Bewegung Kräfte- und Momentensumme, Dyname Massenträgheitsmoment Schwerpunktsatz, Momentensatz Impuls- und Drehimpulsvektor Kinetische Energie, potentielle Energie und Leistung Energiesatz, Arbeit Ebene Bewegungen Fallbewegung mit Luftreibung Kinematische Zwangsbedingungen und Reaktionskräfte Linearisierung von Bewegungsgleichungen Schwingungen Feder-Masse-Systeme Haft- und Gleitreibung Rollen Körperverbände S. Kessel, D. Fröhling v.

2 Physikalische Anwendungen Dynamik Wenn ein Fahrzeug der Masse m mit einer zeitabhängigen Kraft F(t) aus dem Stand heraus angeschoben wird und die Position des Fahrzeugs mit dem Weg-Zeit-Gesetz s(t) beschrieben wird, dann gilt das NEWTONsche Grundgesetz m s(t) = F(t). Die noch unbekannte Funktion s(t) muss diese Differentialgleichung und die vorgegebenen Anfangsbedingungen s() = s() = erfüllen. Das graphisch beschriebene Kraftgesetz lautet Mit der Konstanten F(t) = K T K T t t T ( t T) T < t T b := K mt lauten die Differentialgleichungen für s(t) in den beiden Bewegungsabschnitten s(t) = bt t T T bt ( T) < t T

3 Physikalische Anwendungen Dynamik 3 Daraus folgt für die Geschwindigkeit s(t) s(t) = bt + C t T bt ( T T ) + C < t T Die Anfangsbedingung s() = wird erfüllt, wenn C = ist. Zum Zeitpunkt t = T soll die Geschwindigkeit stetig sein, also muss b T = b T T + C C = sein. Somit gilt s(t) = bt t T bt ( T T ) < t T Die Anfangsbedingung s() = wird erfüllt, wenn ist. Daraus folgt C 3 = s(t) = 6 bt3 + C 3 t T 6 bt ( T T )3 + C 4 < t T s t = T = 6 b T 3 = 48 bt3 und weil s(t) zum Zeitpunkt t = T stetig sein muss, gilt 6 b T 3 = 6 b T T 3 + C 4 C 4 = 3 b T 3 = 4 bt3 s(t) = 6 bt3 t T 6 bt ( T)3 + T 4 bt3 < t T st= ( T) = 4 bt3 = s t = T, s( t= T) =. Wenn die bis zum Zeitpunkt t = T vom Fahrzeug zurückgelegte Strecke die Länge

4 4 Physikalische Anwendungen Dynamik L haben soll, 4 bt3 = L muss der Maximalwert der Antriebskraft K mt = 4 L T 3 K = ml T sein. Die Kraft F(t) hat das Fahrzeug aus dem Stand in der Zeit T um die Stecke L verschoben und abgestellt. Bei einer starren rechteckigen Scheibe mit homogener Massenverteilung liegt der Schwerpunkt S im Schnittpunkt der Flächendiagonalen. Wirken in den Punkten P, P und P 3 die Kräfte F = F ex F ey F = 4F ex + F ey F 3 = F ex + 3F ey

5 so haben sie bezogen auf den Schwerpunkt eine Drehwirkung auf den starren Körper, die durch die auf S bezogene Momentensumme M S = SP F + SP F + SP 3 F 3 M S = 3L L F F + L L 4F F + L L F 3F M S = 5F L + 6F L + 5F L = 4F L = 4F L e z beschrieben wird. Die Kräftesumme F = F + F + F 3 = F ex + 3F ey und die Momentensumme M s bilden die auf S bezogene Dyname des Kräftesystems am starren Körper. Das ursprüngliche Kräftesystem kann also am starren(!) Körper ersetzt werden durch die in S angreifende Einzelkraft F und den auf der Scheibenebene senkrecht stehenden Momentenvektor M S Physikalische Anwendungen Dynamik 5

6 6 Physikalische Anwendungen Dynamik Wie in diesem Beispiel gezeigt, kann jedes beliebige ebene Kräftesystem an einer starren Scheibe in den Schwerpunkt S der Scheibe zu einer Einzelkraft und einem Momentenvektor reduziert werden bei veränderlichen Kräften in jedem Augenblick zu einer zeitlich veränderlichen Dyname. Ist die starre Scheibe in der xy-ebene frei beweglich, so bewirkt die Dyname eine zeitlich veränderliche Verschiebung des Schwerpunktes und eine Drehung der Scheibe um den Schwerpunkt. Die Intensität der Lageänderung bei einer gegebenen Dyname hängt ab von der Größe m der Masse der Scheibe und von der Verteilung der Masse um den Schwerpunkt. Das Maß für die Massenverteilung ist das Massenträgheitsmoment Θ S bezogen auf den Schwerpunkt; bei einer Rechteckscheibe mit den Kantenlängen a und b ist Θ S = m ( a + b ) und bei einer Kreisscheibe mit dem Radius r Θ S = m r

7 Physikalische Anwendungen Dynamik 7 Die dynamischen Grundgesetze für die Scheibenbewegung in der xy-ebene lauten, wenn F = F xex + F yey MS = M Sez die auf S bezogene Dyname der an der Scheibe angreifenden Kräfte ist, m vsabs = F Θ S ω = MS m x S y = S F x F y Θ S ϕ = M S m a Sabs = F ist der Schwerpunktsatz /die NEWTONsche Grundgleichung, Θ S ϕ = M S ist der EULERsche Momentensatz Die drei Differentialgleichungen für die drei zeitlich veränderlichen Lagekoordinaten x s (t),y S (t),ϕ(t) { } der starren Scheibe m x S = F x m y S = F y Θ S ϕ = M S müssen gelöst werden, wobei die Anfangsbedingungen { x S (t = ),y S (t = ),ϕ(t = ) } x S (t = ), y S (t = ), ϕ(t = ) { } erforderlich sind, um die tatsächliche Bewegung der Scheibe in Form der drei Funktionen x s (t),y S (t),ϕ(t) { } zu bestimmen.

8 8 Physikalische Anwendungen Dynamik Die Lösung der drei Differentialgleichungen m x S = F x m y S = F y Θ S ϕ = M S ist nur in wenigen Fällen mit einfachen Methoden möglich; bei einer von den Koordinaten { x s (t),y S (t),ϕ(t)} abhängenden Dyname gelingt es fast immer nur unter Einsatz von numerischen Verfahren (Computerprogramme). Ist v Sabs = x S ex + y S ey der momentane absolute Geschwindigkeitsvektor des Scheibenschwerpunktes und ω = ϕ e z der momentane Winkelgeschwindigkeitsvektor der Scheibe, so nennt man p := m v Sabs = m x S ex + m y S ey den Impulsvektor und L S := Θ S ω = ΘS ϕ e z den auf den Schwerpunkt S bezogenen Drehimpulsvektor der starren Scheibe. Mit diesen Impulsgrößen können Schwerpunkt- und Momentensatz geschrieben werden: p = F L S = M S (Impulssatz) (Drehimpulssatz) F p = const ( Impulserhaltung) M S L S = const ( Drehimpulserhaltung) Weil nach der Produktregel der Differentialrechnung x S x S = d dt x S y S y S = d dt y S ϕ ϕ = d dt ϕ ist, folgt aus den drei Gleichungen m x S x S = F x x s m y S y S = F x y S Θ S ϕ ϕ = M S ϕ ( ) d dt m x S + m y S + Θ S ϕ = F x x S + F y y S + M S ϕ Man nennt den nach der Zeit differenzierten Term auf der linken Seite die kinetische Energie E kin der starren Scheibe

9 Physikalische Anwendungen Dynamik 9 ( ) ( p v Sabs + L S ω ) E kin := m x S + m y S + Θ S ϕ E kin := und den Term auf der rechten Seite die momentane Leistung P(t) des an der Scheibe angreifenden Kräftesystems P(t):= F x x S + F y y S + M S ϕ P(t):= F v Sabs + M S ω Damit kann die oben aus den drei Bewegungsgleichungen abgeleitete Beziehung geschrieben werden: ( ) d dt m x S + m y S + Θ S ϕ = F x x S + F y y S + M S ϕ de kin dt = P(t) Das ist der Leistungssatz: Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie der starren Scheibe ist gleich der Leistung des angreifenden Kräftesystems. Wenn die an der Scheibe angreifenden Kräfte so beschaffen sind, dass die Leistung des angreifenden Kräftesystems geschrieben werden kann als negative zeitliche Ableitung einer nur von den Lagekoordinaten x s (t),y S (t),ϕ(t) { } abhängenden Funktion E pot (x S,y S.ϕ), die man die potentielle Energie des Kräftesystems nennt P(t) = E pot (x S,y S.ϕ) = E pot x S x S + E pot y S y S + E pot ϕ ϕ dann folgt aus dem Leistungssatz der Energiesatz der Mechanik de kin dt = de pot dt d ( dt E kin + E pot ) = ( E kin + E pot ) = const Ein Kräftesystem mit dieser besonderen Eigenschaft wird konservatives Kräftesystem genannt. Die Maßeinheit der kinetischen Energie ist Kilogramm Meter Sekunde Kilogramm Meter = Sekunde Meter= Newton Meter=:Joule Newton

10 Physikalische Anwendungen Dynamik und die Maßeinheit der Leistung Newton Meter Sekunde = Newton Meter Sekunde = Joule Sekunde =:Watt Wird die Leistung des Kräftesystems über ein Zeitintervall t t t integriert, so erhält man die Arbeit des Kräftesystems t t t W(t.t ) = P(t)dt = F x x S dt + F y y S dt + M S ϕdt t t t t t die das Kräftesystem am starren Körper in diesem Zeitabschnitt geleistet hat. Die Arbeit des Kräftesystems ist gleich der Differenz der kinetischen Energien des Körpers zu den Zeitpunkten t und t E kin ( t = t ) E kin ( t = t ) = W(t,t ) Die Maßeinheit der Arbeit und der potentiellen Energie ist Newton Meter =:Joule. Die Grundgleichungen der ebenen Scheibenbewegung werden nun angewendet auf einige relativ einfache Probleme. Wird eine starre Rechteckscheibe in der vertikalen xy-ebene aus der Anfangslage des Schwerpunktes { x S () = L, y S () = h} und der Orientierung ϕ() = ϕ mit

11 Physikalische Anwendungen Dynamik der Schwerpunktsgeschwindigkeit { x S () = v cos(α) y S () = v sin(α) } und der Winkelgeschwindigkeit ϕ() = ω im Schwerkraftfeld, das in Richtung e y wirkt, gestartet, so gelten für t > die Bewegungsdifferentialgleichungen mx S = my S = mg Θ S ϕ = weil auf die Scheibe nur die im Schwerpunkt angreifende Gewichtskraft F = mg e y g = 9,8 Meter Sekunde wirkt und das auf den Schwerpunkt bezogene Moment der in S angreifenden Kraft null ist. Die drei Bewegungsdifferentialgleichungen können einfacher geschrieben und leicht allgemein gelöst werden: x S = y S = g ϕ = x S = C y S = gt + C ϕ = C 3 x S = C t + C 4 y S = gt + C t + C 5 ϕ = C 3 t + C 6 Die sechs Konstanten C,,C 6 erlauben die Anpassung der Funktionen an die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t =. v cos(α) = C v sin(α) = C ω = C 3 L = C 4 h = C 5 ϕ = C 6 Die Bewegungsgesetze der starren Scheibe lauten somit x S (t) = v cos(α)t + L y S (t) = gt + v sin(α)t + h ϕ(t) = ω t + ϕ Mit t = x S L v cos(α) erhält man die Bahnkurve y S (x S ) des Scheibenschwerpunktes y S = g ( v cos(α) ) x S L ( ) + tan(α) x S L ( )+ h Der Schwerpunkt S bewegt sich auf einer Parabel in der vertikalen xy-ebene.

12 Physikalische Anwendungen Dynamik Die Bahn des Scheibenschwerpunktes S ist eine Parabel in der vertikalen xy-ebene, die man Wurfparabel nennt. Den höchsten Punkt der Flugbahn erreicht der Schwerpunkt S zum Zeitpunkt t = t *, wenn y(t * ) = ist: gt * + v sin(α) = t * = v sin(α) g x S (t * ) = v sin(α) g ( + L, y (t * ) = v sin(α) ) S g Die Ebene y = wird zum Zeitpunkt t = T erreicht, wenn y S (T) = gt + v sin(α) T + h =. + h T v sin(α) g T = h g ist. Aus dieser quadratischen Gleichung für T folgt, T v sin(α) g = h g + v sin(α) g und, weil T > sein muss, T = g v sin(α) + ( ) hg + v sin(α).

13 Physikalische Anwendungen Dynamik 3 Der Schwerpunkt erreicht die Ebene y = auf der x-achse im Punkt x S (T) = v cos(α) T + L. Während der Wurfbewegung dreht sich die Scheibe mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ϕ(t) = ω. Wenn die bisher vernachlässigte Luftreibung berücksichtigt werden soll, ist die Wurfbewegung nicht mehr so relativ leicht zu berechnen, weil dann die zu lösenden Differentialgleichungen nichtlinear werden und numerische Methoden erforderlich sind. Nur im Spezialfall der senkrechten Fallbewegung einer Kugel der Masse m im Schwerkraftfeld kann die Fallgeschwindigkeit als Funktion des zurückgelegten Fallweges mit Hilfe bekannter Funktionen berechnet werden. Bei der senkrechten Fallbewegung mit Luftreibung wirken auf die fallende Kugel der Masse m die Gewichtskraft G = mg und der Luftwiderstand F W = c W ρ Luft A S v Dabei ist c W der von der Körperform abhängende dimensionslose Widerstandsbeiwert des fallenden Körpers, ρ Luft =, Kilogramm Meter 3 die Massendichte der Luft, A S die Schattenfläche des Körpers (größter Querschnitt des Körpers senkrecht zur Geschwindigkeit) und v die momentane Fallgeschwindigkeit in der ruhenden Luft.

14 4 Physikalische Anwendungen Dynamik Nach dem NEWTONschen Grundgesetz lautet die Bewegungsgleichung des Körperschwerpunktes für die x-richtung m d dt dx dt = G F W Mit der momentanen Geschwindigkeit des Kugelschwerpunktes S gilt also v = dx dt m dv dt = mg c W ρ Luft A S v Berechnet werden soll die Fallgeschwindigkeit als Funktion der Koordinate x, wenn für x = die Geschwindigkeit v = ist. In der schlanker formulierten Bewegungsgleichung dv dt = g λ v, λ := c W ρ Luft A S m kann man, wenn man v als Funktion des zurückgelegten Weges x berechnen will, nach den Regeln der Differentialrechnung schreiben Mit der Abkürzung dv dt = dv(x) dx dx dt = dv dx v = d dx v erhält man aus der Bewegungsgleichung d dx v die lineare Differentialgleichung für u(x) u := v = g λ v du dx = λ u g λ u g λ du dx = λ Die Umformung der linken Seite, wieder mit Hilfe der Kettenregel, ergibt

15 Physikalische Anwendungen Dynamik 5 u g λ du dx = d ln u g λ du du dx = d dx ln u(x) g λ Damit lautet die zu lösende Differentialgleichung d dx ln u(x) g λ = λ und mit der Integrationskonstanten K erhält man ln u(x) g λ = λx + K u(x) g λ = e λx+ K = e K e λx =: C e λx u(x) = g λ + C e λx also v = g λ + C e λx Aus der Anfangsbedingung v(x = ) = folgt für die Integrationskonstante C C = g λ und die gesuchte Fallgeschwindigkeit als Funktion des Fallweges lautet: v(x) = g λ e λx Die Fallgeschwindigkeit nähert sich der Grenzgeschwindigkeit v * := g λ Hat die Kugel die Masse m =,6Kilogramm, den Durchmesser d =,4 Meter und den Widerstandsbeiwert c W =,6, so wird A S = π 4 d =,56Meter, λ = c W ρ Luft A S m =,53Meter, v * = g λ =,3 Meter Sekunde

16 6 Physikalische Anwendungen Dynamik Diese Grenzgeschwindigkeit ist für fast erreicht. λx = 5 x = 3,7 Meter Wenn man aus der Formel für v(x) die Fallgeschwindigkeit bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes (λ = ) als Sonderfall ableiten will, muss die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion eingeführt werden e λx = λx + (λx)! Man erhält dann für v(x) die Darstellung (λx)3 3! ± v(x) = g e λx λ = g x λ x! + λ x 3 3! mit dem Ergebnis v(x) λ= = gx Meistens sind die Bewegungsgesetze von Körpern zu berechnen, deren Bewegungsmöglichkeiten durch kinematische Zwangsbedingungen eingeschränkt sind. Dann wirken auf den Körper nicht nur bekannte eingeprägte Kräfte, sondern auch zunächst unbekannt Reaktionskräfte, die für die Einhaltung der vorgeschriebenen Zwangsbedingungen erforderlich sind. Wird beispielsweise eine

17 Physikalische Anwendungen Dynamik 7 rechteckige Scheibe der Masse m in einem Eckpunkt drehbar gelagert, so ist nur noch der Drehwinkel ϕ die zur Lagebeschreibung erforderliche Koordinate. Der Schwerpunkt S bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius r = (4L) + (L) = L um den festen Lagerpunkt O, in dem die noch unbekannte Reaktionskraft R = R x ex R y ey angreift. Für die kartesischen Koordinaten des Schwerpunktes gelten die kinematischen Zwangsbedingungen x S = r cos(ϕ) y S = r sin(ϕ) aus denen, weil ϕ eine noch unbekannte Funktion der Zeit ist, x S = r ϕ sin(ϕ) y S = r ϕ cos(ϕ) und x S = r ϕ sin(ϕ) r ϕ cos(ϕ) y S = r ϕ cos(ϕ) r ϕ sin(ϕ) folgt. Die Bewegungsgleichungen der Scheibe lauten zunächst m x S = mg R x m y S = R y Θ S ϕ = R x r sin(ϕ) + R y r cos(ϕ) Θ S = m ( (8L) + (4L) ) = 3 ml = 3 mr

18 8 Physikalische Anwendungen Dynamik Die beiden unbekannten Reaktionskraftkomponenten R x und R y kann man aus den drei Bewegungsgleichungen, die der Schwerpunktsatz und der Momentensatz geliefert haben, eliminieren, indem man die erste Gleichung mit ( r sin(ϕ) ) und die zweite mit r cos(ϕ) ( ) multipliziert m x S r sin(ϕ) = mgr sin(ϕ) + R x r sin(ϕ) m y S r cos(ϕ) = R y r cos(ϕ) Θ S ϕ = R x r sin(ϕ) + R y r cos(ϕ) und anschließend die drei Gleichungen addiert. Weil ist, wird mr ( x S sin(ϕ) + y S cos(ϕ) )+ Θ S ϕ = mgr sin(ϕ) x S sin(ϕ) = r ϕ sin(ϕ) y S cos(ϕ) = r ϕ cos(ϕ) ( ) + r ϕ cos(ϕ)sin(ϕ) ( ) r ϕ sin(ϕ) cos(ϕ) x S sin(ϕ) + y S cos(ϕ) = r ϕ und die Bewegungsgleichung für die Drehbewegung der Scheibe lautet schließlich ( mr + Θ S ) ϕ = mgr sin(ϕ) Θ S = 3 mr ϕ = 3g 4r sin(ϕ) Aus dieser nichtlinearen Bewegungsgleichung folgt zunächst nach Multiplikation mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ ϕ ϕ + 3g d sin(ϕ) ϕ = 4r dt ϕ 3g 4r cos(ϕ) = ϕ 3g 4r cos(ϕ) = const Nun kommen die Anfangsbedingungen ins Spiel: Wird die Scheibe zum Zeitpunkt ( ) aus der Lage ( ϕ(t = ) = ϕ ) ge- t = ohne Anfangsgeschwindigkeit ϕ(t = ) = startet, so gilt ϕ 3g 4r cos(ϕ) = 3g 4r cos(ϕ )

19 Physikalische Anwendungen Dynamik 9 ϕ = 3g ( r cos(ϕ) cos(ϕ ) ) ϕ(ϕ) =± 3g r cos(ϕ) cos(ϕ ) ( ) Weil ( cos(ϕ) cos(ϕ )) bleiben muss, pendelt die Scheibe im Winkelbereich ( ) mit von ϕ abhängender Winkelgeschwindigkeit hin und her. Man ϕ ϕ ϕ nennt die Scheibe deshalb auch physikalisches Pendel. Im folgenden Bild ist ϕ = 7 als Anfangsstellung der Scheibe gewählt; die Kurve wird im Uhrzeigersinn durchlaufen. Die Reaktionskräfte R x = mg mx S R y = my S können mit x S = r ϕ sin(ϕ) r ϕ cos(ϕ) y S = r ϕ cos(ϕ) r ϕ sin(ϕ) und ϕ = 3g 4r sin(ϕ), als Funktionen des Winkels ϕ berechnet werden. ϕ = 3g ( r cos(ϕ) cos(ϕ ) ) R x = mg ( 4 cos(ϕ) ) 3 cos(ϕ)cos(ϕ ) R y = mg 9 4 sin(ϕ) cos(ϕ) 3 sin(ϕ) cos(ϕ )

20 Physikalische Anwendungen Dynamik Die Berechnung der Funktion ϕ(t) aus der nichtlinearen Differentialgleichung ϕ = 3g 4r sin(ϕ) sin(ϕ) = ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7! ± ist mit Hilfe elementarer Funktionen nicht möglich; man muss dann numerische Methoden zu Hilfe nehmen ( z.b. ein RUNGE-KUTTA-Verfahren). Da sich die Bewegung der Scheibe aber auf den Winkelbereich ( ϕ ϕ ϕ ) beschränkt, ist eine annähernde Berechnung von ϕ(t) möglich, wenn ϕ eine kleiner Winkel ist. Aus der Tabelle ϕ ϕ sin(ϕ ) 5 o,873,87 o,745,736 5 o,68,588 kann man ablesen, dass, wenn ϕ ist, näherungsweise sin(ϕ) ϕ gesetzt werden kann. Dann ist die Differentialgleichung für ϕ(t) linearisiert ϕ = 3g 4r ϕ und sie lässt sich einfach lösen. Zunächst wird gesetzt und man erhält mit ω := 3g 4r

21 Physikalische Anwendungen Dynamik ϕ + ω ϕ = eine lineare Differentialgleichung, deren allgemeine Lösung lautet, weil ϕ(t) = C sin(ω t) + C cos(ω t) ϕ(t) = C sin(ω t) + C cos(ω t) ϕ(t) = ω C cos(ω t) C sin(ω t) ( ) ( ) ϕ(t) = ω C sin(ω t) + C cos(ω t) ist. Mit den beiden Konstanten C und C kann man die allgemeine Lösung an zwei frei wählbare Anfangsbedingungen, also beispielsweise anpassen: ω ϕ(t) ϕ(t = ) = ϕ ϕ(t = ) = C sin() + C cos() = ϕ C cos() C sin() ( ) = C = ϕ C = ϕ(t) = ϕ cos(ω t) Die Bewegung der Scheibe bei klein bleibender Winkelkoordinate ist also eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer T = π ω = π 4r 3g

22 Physikalische Anwendungen Dynamik Bemerkenswert ist, dass die Schwingungsdauer nicht von der Masse des starren Körpers abhängt (aber nur, weil die Luftreibungskräfte im Berechnungsmodell vernachlässigt wurden). Beim physikalischen Pendel erzeugt die Gewichtskraft das rückstellende Drehmoment in die Gleichgewichtslage ϕ = des Pendels. Ohne Reibung schwingt das Pendel um die Gleichgewichtslage. Entsprechende Schwingungsbewegungen kann man auch erzeugen, wenn man eine Masse m an eine aus Metalldraht hergestellte Feder hängt. Wenn man eine solche Feder um L verlängern will, muss man eine Kraft F aufwenden, die näherungsweise linear mit der Federverlängerung wächst. Wird also eine Masse m im Schwerkraftfeld an eine Feder mit der Steifigkeit c gehängt, so verlängert die Gewichtskraft die Feder um L und die Federkraft cl kompensiert die Gewichtskraft mg, wobei mg = cl L = mg c

23 Physikalische Anwendungen Dynamik 3 ist. Man nennt L die statische Ruhelage des Feder-Masse-Systems. Ist die Feder um x > L ausgelenkt, so wird die Federkraft größer als die Gewichtskraft und wenn man die Masse in einer Lage x > L loslässt, beginnt eine Schwingungsbewegung. Die Bewegung der Masse m muss dem NEWTONschen Grundgesetz (Impulssatz) gehorchen: m d dt dx(t) dt = mg cx(t), mx = mg cx, x + ω x = g, ω := c m Die Lösung dieser inhomogenen linearen Differentialgleichung für x(t) lautet oder wegen x(t) = g ω + C cos(ω t) + C sin(ω t) g ω = mg c = L x(t) = L + C cos(ω t) + C sin(ω t).

24 4 Physikalische Anwendungen Dynamik Die Konstanten C und C stehen für die Anpassung des Bewegungsgesetzes x(t) der Masse m an frei wählbare Anfangsbedingungen zur Verfügung. x(t = ) = x = L + C x(t = ) = v = ω C x(t) = L + ( x L )cos(ω t) + v sin(ω ω t) Dieses Bewegungsgesetz kann auch geschrieben werden x(t) = L + A sin(ω t + α) denn mit dem Additionstheorem der Winkelfunktionen gilt Ein Vergleich mit liefert die Gleichungen Daraus folgt x(t) = L + A ( sin(ω t)cos(α) + cos(ω t)sin(α) ). x(t) = L + ( x L )cos(ω t) + v sin(ω ω t) A cos(α) = v ω A sin(α) = x L ( A cos(α) ) + ( A sin(α) ) = A = v ω A sin(α) ( A cos(α) = tan(α) = x L )ω v x(t) = L + A sin(ω t + α) + ( x L ) A = v ω ( ) α = arctan x L + x L ( )ω v Wenn v = ist, wird α = π. A ist die Amplitude, α die Phasenverschiebung und ω die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung des Feder-Masse-Systems um die statische Ruhelage; die Gewichtskraft bestimmt nur die statische Auslenkung L = mg c. Die Schwingungsdauer T = π ω = π m c ist im Gegensatz zur Schwingungsdauer des physikalischen Pendels von der

25 Physikalische Anwendungen Dynamik 5 Masse abhängig. Wenn man die Bewegungsgleichung m x = mg cx mit der Geschwindigkeit x multipliziert, erhält man die Gleichung die auch oder d dt d dt m x x = mg x cx x m x = d dt geschrieben werden kann. Dabei ist mgx cx m x + mgx + cx = E kin = m x die momentane kinetische Energie der schwingenden Masse m und E pot = mgx + cx ( ) die momentane potentielle Energie der Masse m infolge der Schwerkraft mgx und der Federkraft cx in der Lage x. Es gilt also für das Feder-Masse-System der Energiesatz der Mechanik d ( dt E kin + E pot ) = E kin + E pot = const

26 6 Physikalische Anwendungen Dynamik m x + mgx + cx = mv + mgx + cx Die Gewichtskraft und die Federkraft sind konservative Kräfte, denn es gilt für die Kraftkomponenten in x-richtung: ( ) F x(federkraft) = cx = d dx cx = d dx E pot(federkraft) F x(gewichtskraft) = mg = d ( dx mgx) = d ( dx E pot(gewichtskraft) ) In der momentanen Lage x ist die Leistung der Gewichtskraft und die Leistung der Federkraft. P Gewichtskraft = ( mge x ) ( x e x ) = mgx P Federkraft = ( cxe x ) ( x e x ) = cxx Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie der Masse m ist also gleich der Summe der Leistungen der angreifenden Kräfte (Leistungssatz): d dt m x = d dt mgx cx = mg x cxx Im folgenden Beispiel wird die Bewegung eines Rades untersucht, das auf einer horizontalen rauen Ebene gleiten und rollen kann und in einem speziellen Anfangszustand Kontakt mit der Ebene bekommt. Ein kreisscheibenförmiges Rad (Masse m, Radius r ), das um seine zur Scheibenebene senkrechte Achse durch den Schwerpunkt S mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, wird auf eine horizontale raue Ebene gesetzt und bewegt sich dann auf dieser Ebene.

27 Physikalische Anwendungen Dynamik 7 Zum Zeitpunkt t = berührt das Rad die Ebene, und der momentane Kontaktpunkt B des Rades hat die Geschwindigkeit v B (t = ) = rω ex während für den Schwerpunkt S noch v S (t = ) = gilt. Die Gleitbewegung des Scheibenumfangs auf der rauen Ebene generiert die Gleitreibungskraft, die der Geschwindigkeit des momentanen Kontaktpunktes B des Rades entgegengesetzt gerichtet ist und in guter Näherung durch das NEWTONsche Gesetz der Gleitreibung F R = μn v B v B beschrieben werden kann, N ist die Reaktionskraft, mit der die Ebene das Rad vertikal stützt und μ der Gleitreibungskoeffizient, der von der Rauigkeit der sich berührenden Flächen von Rad und Ebene abhängt und experimentell bestimmt werden muss. Solange die Geschwindigkeit des momentanen Kontaktpunktes des Rades v B = v S + ω SB = x S ex + ( ϕ e z ) ( r e y ) = ( x S r ϕ ) e x noch nicht null ist, wirkt die Gleitreibungskraft und es gelten während der Gleitund Drehbewegung des Rades die Grundgesetze mx S = μn my S = N mg Θ S ϕ = μnr Θ S = mr

28 8 Physikalische Anwendungen Dynamik Mit der kinematischen Zwangsbedingung y S r erhält man die folgenden Differentialgleichungen für die veränderlichen Koordinaten x S (t) und ϕ(t) : mx S = μn = N mg Θ S ϕ = μnr mx S = μmg mr ϕ = μmgr x S = μg ϕ = μ g r Daraus ergeben sich zunächst mit den Anfangsbedingungen x S () =, ϕ() = ω die Schwerpunkts- und die Winkelgeschwindigkeit des Rades x S (t) = μgt ϕ(t) = μ g r t + ω v B (t) = ( x S (t) r ϕ(t) ) e x = ( 3μgt rω ) e x die bis zum Zeitpunkt t = T gelten, in dem die Geschwindigkeit des momentanen Kontaktpunktes B null wird, also die Gleitbewegung zuende ist: Dann ist 3μgT rω = T = rω 3μg x S (T ) = μgt = 3 rω ϕ(t ) = μ g r T + ω = 3 ω Im Zeitintervall t T gilt für die Koordinaten x S und ϕ wegen der Anfangsbedingungen x S () = ϕ() = x S (t) = μgt ϕ(t) = μ g r t + ω t x S (T ) = μgt = (rω ) 8μg ϕ(t ) = μ g r T + ω T = rω 9μg Im nächsten Bewegungsabschnitt des Rades für t > T hat der momentane Berührungspunkt des Rades keine Geschwindigkeit und es gilt dauernd die kinematische Rollbedingung v B = v S + ω SB = x S r ϕ ( ) e x = x S = r ϕ = 3 rω

29 Physikalische Anwendungen Dynamik 9 Das folgende Bild zeigt die dann auf das Rad wirkenden Kräfte. Die Differentialgleichungen für die Koordinaten x S (t) und ϕ(t) lauten nun Daraus folgt für t > T mx S = = N mg Θ S ϕ = und x S (t) = const = 3 rω ϕ(t) = const = 3 ω x S (t) = x S (T ) + 3 rω (t T ) ϕ(t) = ϕ(t ) + 3 ω (t T ). Das Rad hatte zum Zeitpunkt t = die kinetische Energie ( E kin ) t= = Θ S ω = 4 mr ω und zum Zeitpunkt t = T die geringere kinetische Energie ( E kin ) t=t = m 3 rω + Θ S 3 ω = mr ω Die momentane Leistung der Gleitreibungskraft P R = v B F R = ( x S r ϕ ) e x μn e x = ( x S r ϕ )μmg P R = ( 3μgt rω )μmg integriert über das Zeitintervall t T liefert die Arbeit der Gleitreibungskraft

30 3 Physikalische Anwendungen Dynamik T ( ) μmgdt = μmg 3 W = 3μgt rω W = μmg 3 μg rω 3μg μgt rω T rω rω 3μg W = 6 mr ω Die Abnahme der kinetischen Energie des Rades in der Gleitphase ( E kin ) t=t ( E kin ) t= = 4 mr ω = 6 mr ω ist also gleich der Arbeit der Reibungskraft. Das ist die Aussage des Arbeitssatzes der Mechanik. Als nächstes soll die schwingende Rollbewegung eines Rades auf einer schiefen Ebene untersucht werden. Mit Hilfe des Freikörperbildes kann man den Schwerpunkt- und den Momentensatz formulieren: mx S = mgsin(α) c(x S L ) H my S = mgcos(α) + N Θ S ϕ = Hr

31 Physikalische Anwendungen Dynamik 3 Dabei sind Ne y und He x noch unbekannte Reaktionskräfte, die dafür verantwortlich sind, dass der Kontaktpunkt des rollenden Rades mit der schiefen Ebene momentan keine Geschwindigkeit hat, also sein Geschwindigkeitsvektor v S + ( r e y ) ( ϕ e z ) = (Rollbedingung) wird. Außerdem gilt für den Schwerpunkt des Rades r S (t) = x S (t) e x + r e y y S. Aus der Rollbedingung folgt x S ex r ϕ e x = x S = r ϕ Mit diesen kinematischen Beziehungen lauten die drei Gleichungen des Schwerpunkt- und des Momentensatzes mx S = mgsin(α) c(x S L ) H = mgcos(α) + N Θ S x S r = H Aus der ersten und der dritten Gleichung ergibt sich die Differentialgleichung für die Schwerpunktkoordinate x S m + Θ S r x S = mgsin(α) c (x S L ) und aus der zweiten Gleichung erhält man die erforderliche Reaktionskraft N = mgcos(α) Die Differentialgleichung für x S c x S + m + Θ S r x S = c m + Θ S r mgsin(α) c + c m + Θ S r L kann man mit den Abkürzungen ω := c m + Θ S r mgsin(α) c + L =: L einfacher schreiben: x S + ω x S = ω L

32 3 Physikalische Anwendungen Dynamik Die beiden freien Konstanten C und C in der allgemeinen Lösung dieser Differentialgleichung x S (t) = L + C sin(ω t) + C cos(ω t) werden gebraucht für die Anpassung an die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = : x S (t = ) = x x S (t = ) = v Außerdem gilt x S (t) = L + v sin(ω ω t) + ( x L)cos(ω t) y S (t) = r ϕ(t) = x S (t) r Die veränderliche Reaktionskraft in der schiefen Ebene H = Θ S r x S = Θ S r ω ( ) L x S ist die durch die Rauigkeit der Kontaktflächen des Rades und der schiefen Ebene ermöglichte Haftreibungskraft, die aber nicht beliebig groß werden kann, denn es gilt H μ N wobei μ der Haftreibungskoeffizient ist, der von der Oberflächenqualität der Kontaktflächen abhängt. Die angenommene Rollbewegung des Rades auf der schiefen Ebene ist also nur möglich, wenn die Bedingung L x S μ mgr cos(α) Θ S ω erfüllt ist.

33 Physikalische Anwendungen Dynamik 33 Eine im Punkt A drehbar gelagerte Seilrolle (Radius r, Masse m, Trägheitsmoment um die Achse Θ ) wird mit einem Drehmoment M A (t) angetrieben. Von der Rolle wird ein Seil bewegt, das über eine zweite, in B drehbar gelagerte Rolle (Radius r, Masse m, Trägheitsmoment um die Achse Θ ) gelegt ist und an den beiden Enden mit Lasten (Masse m 3, Masse m 4 ) verbunden ist. Das Seil wird näherungsweise als masselos angenommen; es soll auf den Rollen nicht rutschen. Wie bewegen sich die Massen und welche Kräfte entstehen in den Lagern und im Seil? Zur Beschreibung der Konfiguration des Verbandes starrer Körper sind acht Koordinaten erforderlich: x A,y A,ϕ, x B,y B,ϕ, x 3, x 4 Die kinematischen Zwangsbedingungen: x A, y A, x B, y B r ϕ = x 3 r ϕ = r ϕ r ϕ = x 4 reduzieren die Kinematik des Systems auf nur einen Freiheitsgrad. Wird x 3 als frei Koordinate gewählt, so gilt x A, y A, x B, y B ϕ = r x 3, ϕ = r x 3, x 4 = x 3

34 34 Physikalische Anwendungen Dynamik Die ( ) = 8 Bewegungsgleichungen der Teilkörper werden mit Hilfe des Freikörperbildes zunächst ohne Rücksicht auf die Zwangsbedingungen aufgestellt. m x A = m g A x + S + S sin(α) m y A = A y + S cos(α) Θ ϕ = M A (t) + S r S r m x B = m g B x S sin(α) + S 3 m y B = B y S cos(α) Θ ϕ = S r S 3 r m 3 x 3 = m 3 g S m 4 x 4 = m 4 g S 3 Mit den kinematischen Zwangsbedingungen wird daraus = m g A x + S + S sin(α) = A y + S cos(α) Θ x r 3 = M A (t) + S r S r = m g B x S sin(α) + S 3 = B y S cos(α) Θ x r 3 = S r S 3 r In den vier Gleichungen m 3 x 3 = m 3 g S m 4 x 3 = m 4 g S 3

35 Physikalische Anwendungen Dynamik 35 Θ r x 3 = M A (t) r + S S Θ r x 3 = S S 3 m 3 x 3 = m 3 g S m 4 x 3 = m 4 g + S 3 kann man durch Addition die Seilkräfte eliminieren und erhält die Bewegungsgleichung des Systems: x 3 = f (t), f (t):= M A (t) + m r 3 g m 4 g Θ r + Θ r + m 3 + m 4 Anschließend werden die Reaktionskräfte (Seilkräfte und Lagerkräfte) berechnet. S = m 3 ( g f (t)) S 3 = m 4 ( g + f (t)) S = m 4 g + m 4 + Θ f (t) r A y = S cos(α) A x = m g + S + S sin(α) B y = S cos(α) B x = m g + S 3 S sin(α)