Teil 1 Grundeigenschaften DEMO. Behandlung ohne Ableitungen. Ein Trainingsheft für Klasse 10. Datei Nr Stand 12. März 2017.

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1 Eponentialfunktionen Grundlagen Teil Grundeigenschaften Behandlung ohne Ableitungen Ein Trainingsheft für Klasse 0 Datei Nr. 800 Stand. März 07 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 800 Eponentialfunktionen Einführung Inhalt Einfache Eponentialfunktionen 4. Grundlagen 4 Schaubilder einiger Eponentialfunktionen 4. Untersuchung einfacher Eponentialfunktionen 5 Verschiebung in -Richtung 5,, 3 a 5 Verschiebung in -Richtung 6 3, 3 6 Spiegelung an der -Achse 7, 3, 3 7 Weitere Beispiele: (Schnittpunkt mit der -Achse) 8 und 9 Spiegelung an der -Achse 0, 3 (Schnittpunkt mit der -Achse) (Schnittpunkt mit der -Achse) Trainingsaufgaben Trainingsaufgaben.3 Untersuchung einfacher Eponentialfunktionen zur Basis e 3 e, e, e, e, e 3 e, e, e, e 4 4 e, 3 e 5.4 Zusammenfassung und Übersicht 6 Gestreckte Eponentialfunktionen 8. Streckung in -Richtung 8 Streckung der Eponentialkurven, 8 4, 3., ,, 30 0,8 50 0,05 0,. Streckung in -Richtung 3 und 3 / 0.3 Trainingsaufgaben 3 bis 6

3 800 Eponentialfunktionen Einführung 3 3 Nullstellen von Eponentialfunktionen Schnittpunkte mit der -Achse 3 3. Berechnung von Nullstellen = Lösen von Eponentialgleichungen 3 Tp (Lösen durch Eponentenvergleich) 3 Tp (Lösen durch Logarithmieren) 5 3. Trainingsaufgaben 7 und Asmptoten von Eponentialkurven 8 5 Aufstellen von Kurvengleichungen Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen Anwendungsaufgaben aus dem Wachstumsbereich Trainingsaufgaben 9 bis Identifikation der Gleichung aus dem Schaubild 38 Das charakteristische Trapez einer Eponentialkurve 38 Beispiele 38 Trainingsaufgabe Zusammenstellung der Trainingsaufgaben Die Lösungen der Trainingsaufgaben bilden ein eigenes Heft mit der Nummer 80

4 800 Eponentialfunktionen Einführung 4. Grundlagen Einfache Eponentialfunktionen Als Eponentialfunktionen bezeichnet man Funktionen mit einer positiven Zahl als Basis und der Variablen im Eponenten. Die einfachste Grundform ist somit f() = a, etwa f() =. Schaubilder einiger solcher Eponentialfunktionen: Man beobachtet, dass die Funktionen für positive umso stärker wachsen, je größer die Basis a ist. In der Oberstufe führt man eine interessante aber nicht einfache Berechnung für die Steigung der Q 0 durch, durch den alle diese Kurven gehen. Die Kurve, die dort die Tangente im Punkt ( ) Steigung hat, hat als Basis eine Zahl,788., die man die Eulersche Zahl e nennt. Sie ist die wichtigste aller Eponentialfunktionen: f() = e. Kompliziertere Funktionsterme sehen beispielsweise so aus:, f, 0 f 5 f( ) = 5 f( ) = 4 f( ) = 3 f( ) = e f( ) = f 3, 3 f t 8 f(t) =,04 - f e f( ) =,5 f f e e 3 e usw.

5 800 Eponentialfunktionen Einführung 5. Untersuchung einfacher Eponentialfunktionen Beispiel f( ) = Verschiebungen und Streckungen Die Funktion geht durch Q( 0 ) und hat für den Grenzwert 0: Für gilt: schreibt: lim lim = 0. - f, was man neuerdings oft so (obwohl die Schreibweise eigentlich sinnlos ist.). Dies soll lediglich aussagen, dass f für keinen (endlichen) Grenzwert hat. Die Kurve hat also die negative -Achse als waagrechte Asmptote. Definitionsbereich: D R (Man kann alle reellen Zahlen einsetzen.) Wertmenge: W R (Denn es gibt keine nicht positiven Funktionswerte, daher schneidet das Schaubild auch nicht die -Achse. Man merke sich: 0 für alle. Beispiel f( ) = + Verschiebung der Kurve = a in -Richtung: Jetzt wurde = um nach oben verschoben. Daher wird die Gerade = zur waagerechten Asmptote. Definitionsbereich: D R W, Wertmenge: Beispiel 3 f( ) = - Jetzt wurde = um nach unten verschoben. Daher wird die Gerade = - zur waagerechten Asmptote. Definitionsbereich: D R W, Wertmenge: Beispiel 4 f( ) = 3 + a Diese Gleichung stellt eine Schar von Eponentialfunktionen dar. Für a = 0 erhält man die Funktion, deren Schaubild die negative -Achse als waagerechte Asmptote hat und durch Q0 geht. Für a = 5 erhält man die Funktion, deren Schaubild ganz oben liegt, also aus dem soeben genannten durch Verschiebung um 5 in -Richtung entsteht, für a = -3 erhält man die Verschiebung um 3 nach unten zur untersten abgebildeten Kurve usw. Q

6 800 Eponentialfunktionen Einführung 6 Verschiebung der Kurve = a in -Richtung: 3 Beispiel 5 f( ) = - Verschiebt man die Kurve mit der Gleichung Kurve mit der Gleichung Die Erklärung dazu liefern Punktproben: (a) Auf der Urkurve um 3 nach rechts, dann entsteht eine 3 = -. Manche meinen, dass es doch liegt der Punkt Q0, denn für = 0 folgt 3 heißen müsste. O. (b) Verschiebt man Q um 3 nach rechts (wie die Kurve), dann ist sein Bildpunkt Q' 3. (c) 3 Ob nun Q zur Kurve = - 3 oder zur Kurve gehört, findet man so heraus: 3 Einsetzen von = 3 in = - ergibt: 33 0 '. 3 Einsetzen von = 3 in = + ergibt: 33 6 ' Man erkennt, dass Q offenbar auf der Kurve = - liegt. 3 Ergebnis: Verschiebt man um 3 nach rechts, hat die Bildkurve die Gleichung = -. 3 Beispiel 6 f( ) = + Verschiebt man die Kurve mit der Gleichung um 3 nach links, dann hat die Bildkurve 3 die Gleichung = +. Man kann dies wie in Beispiel 5 dadurch überprüfen, dass man 3 Q0 auch um 3 nach links verschiebt zu Q* 3. Er liegt auf der Kurve = +, 3 was die Punktprobe zeigt: Einsetzen von * = -3 in = ergibt: *. Die Abbildung zeigt die Überlegungen zu den Beispielen 5 und 6. Zur den Bezeichnungen: Ich habe Q nach rechts verschoben und den Bildpunkt von Q mit Q bezeichnet. Die Verwendung desselben Buchstabens soll die Zusammengehörigkeit andeuten. Den Bildpunkt von Q bei Verschiebung nach links habe ich aus dem gleichen Grund Q* genannt. Das muss aber nicht so sein! Q* 3 3 Q Q' 3 Eigenschaften: Alle drei Funktionen haben für den Grenzwert 0: - -a lim = 0. d. h. die negative -Achse (Gleichung = 0) ist waagrechte Asmptote der Schaubilder. Definitionsbereich: D R (Menge der zulässigen -Werte) Wertmenge: W R (Menge der entstehenden -Werte) Für gilt: f : lim. (d. h. es gibt keinen Grenzwert!)

7 800 Eponentialfunktionen Einführung 7 Spiegelung an der -Achse: - Beispiel 7 f( ) = Das Schaubild dieser Funktion entsteht aus durch Spiegelung an der -Achse, denn es wird durch ersetzt. Für den Aha-Effekt setze man P3 8 in Das Spiegelbild von P ist T 3 8 ein., und T liegt auf 3 3 Setzt man T = -3 ein, folgt 8! T : Weil die negative -Achse als waagrechte Asmptote hat, besitzt ihr Spiegelbild, also -, die positive -Achse als waagrechte Asmptote, und es gilt lim = 0. Die Kurve geht durch den Punkt Q0. Er liegt auf der Spiegelachse ( + 3) ( -3) Beispiel 8 f( ) = = und f( ) = = 3 In den Beispielen 5 und 6 konnte man erkennen, dass durch Verschiebung um 3 3 nach rechts entsteht und durch Verschiebung um 3 nach links. Jetzt muss man im Eponenten das Minuszeichen ausklammern, um dieselbe Folgerung ziehen zu können, denn die Ausgangskurve hat die Gleichung. 3 3 Ersetzt man durch 3, dann geht über in. Und es liegt wieder eine Verschiebung nach rechts vor. 3 3 Ersetzt man durch + 3, dann geht über in. Und es liegt wieder eine Verschiebung nach links vor. Man kann wie zuvor auch die Punkte Q, P und R einsetzen und dann feststellen, zu welchen Kurvengleichungen sie passen. ( 3) 3 3 ( 3) Alle diese Funktionen haben als Definitionsbereich D R und als Wertmenge Für gegen Unendlich besitzen sie den Grenzwert 0: a lim 0. Ihre Schaubilder haben daher die positive -Achse als waagerechte Asmptote. W R.

8 800 Eponentialfunktionen Einführung 8 Beispiel 9: f 3 4 Wir analsieren die Funktionsgleichung bzw. die Kurvengleichung Grundgleichung ist 3. Diese Kurve wird zweimal verschoben Zuerst in -Richtung, und zwar um nach links, was man dem Eponenten + entnimmt. Dann folgt eine Verschiebung in -Richtung, genauer um 4 nach unten. Zur Sprechweise: Manche sagen dazu: Verschiebung in die negative -Richtung um oder Verschiebung in -Richtung um -, bzw. Verschiebung in die negative -Richtung um 4 oder in -Richtung um -4. Dies ist Definitionssache. Wichtig ist nur, dass klar ist, was man meint. Hinweis: Um sicher zu gehen, ob man richtig überlegt hat, kann man wie immer eine Stelle einsetzen und den zugehörigen Kurvenpunkt berechnen: So ergibt z. B. = - den Wert C f Die Abbildung zeigt wie aus A durch die Verschiebung um in -Richtung B entsteht und daraus durch Verschiebung um 4 in -Richtung C entsteht. Eigenschaften der Funktion: Definitionsbereich: D R Wertebereich: W 4; Verhalten im Unendlichen: lim 3 4 4, lim 3 4 Eigenschaften des Schaubilds: Waagerechte Asmptote für : 4 Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen, kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der -Achse berechnen. Seine -Koordinate nennt man die Nullstelle: Bedingung: Die Funktion hat den Grenzwert- 4, das Schaubild die waagrechte Asmptote mit der Gleichung = d. h. 4 addieren: Logarithmieren: log 3 log 4 3. Logarithmenregel: log 3 log 4 Durch log 3 dividieren: Schnittpunkt mit der -Achse: S 0,74 0. log 4 log 4 log3 N log3 0,74

9 800 Eponentialfunktionen Einführung 9 Beispiel 0: f Aus der Kurve wird durch Verschiebung um in -Richtung: und daraus durch Verschiebung um in -Richtung: Eigenschaften der Funktion: Definitionsbereich: D R Wertebereich: W ; Verhalten im Unendlichen: lim, Eigenschaften des Schaubilds: Waagerechte Asmptote für : Die Kurve schneidet die -Achse nicht. Beispiel : f Vergleicht man dieses Schaubild mit dem aus Beispiel 0, dann scheint dieselbe Kurve vorzuliegen. Dies darf man aber nicht nur der Anschauung entnehmen. Beweis: Aus der Potenzrechnung folgt: lim. Der Vorteil liegt ganz klar bei der Funktion mit der Basis, denn bei ihr lassen sich Werte schneller im Kopf berechnen: : f : f f 3,5 f usw. f 3,5 3 f Die Funktion hat den Grenzwert, das Schaubild die waagrechte Asmptote mit der Gleichung =. Brüche deren Zähler ist, heißen Stammbrüche:,,, MERKE: Jede Eponentialfunktion, deren Basis ein Stammbruch ist, lässt sich durch eine ganzzahlige Basis darstellen: Beispiele: f f f

10 800 Eponentialfunktionen Einführung 0 Spiegelung an der -Achse P 4 Spiegelt man einen Punkt P an der -Achse, dann ist sein Spiegelbild Q. Für eine Kurve gilt analoges: an der -Achse, gehört zum Spiegelt man die Kurve K: gleichen ein mit umgekehrtem Vorzeichen: Funktionseigenschaften: Definitionsbereich: D R Wertebereich: W ;0. Verhalten im Unendlichen: lim 0, lim. Eigenschaften des Schaubilds: Waagerechte Asmptote für : 0 (Negative -Achse). Beispiel : f 3 Die Kurve von oben wurde um drei nach oben verschoben: Funktionseigenschaften: Definitionsbereich: D R Wertebereich: W ;3 lim 3 3 Verhalten im Unendlichen: lim 3. Eigenschaften des Schaubilds: Waagerechte Asmptote für : 3. Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der -Achse berechnen. Diese Stelle auf der -Achse nennt man die Nullstelle: Bedingung: 0 3 Q -4 3 d. h Logarithmieren: log log 3 3. Logarithmenregel: log log 3 Durch log dividieren: N log3 log,58 Schnittpunkt mit der -Achse: S,58 0. (Siehe Abbildung).

11 800 Eponentialfunktionen Einführung Beispiel 4: f 5 4 Zuerst versuchen wir durch eine Abbildungskette das Schaubild zu bestimmen. Grundkurve ist: 4. Gespiegelt an der -Achse: 4 Gespiegelt an der -Achse: 4 Um 5 in -Richtung verschoben: Funktionseigenschaften: Definitionsbereich: D R Wertebereich: W ;5 lim Verhalten im Unendlichen: lim 5 4 Eigenschaften des Schaubilds: Waagerechte Asmptote für : 5 Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der -Achse berechnen. Diese Stelle auf der -Achse nennt man die Nullstelle: Bedingung: 0 d. h Logarithmieren: log 4 log 5 3. Logarithmenregel: log 4 log 5 log5 log 4 Durch log dividieren: N N,6 Schnittpunkt mit der -Achse: S,6 0. (Siehe Abbildung). Trainingsaufgaben Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen. Überlege dazu wie in Beispiel 4, durch welche Folge von Abbildungen sie aus einer möglichst einfachen Grundkurve entstanden sind. Berechne dann vier geeignete Kurvenpunkte für das Schaubild. Wenn du es schon kannst, berechne den Schnittpunkt mit der -Achse: 3 a) f 3 b) f 4 c) d) f e) f,5 4 f) 3 f 4 f 3

12 800 Eponentialfunktionen Einführung Trainingsaufgaben Gegeben sind 6 Funktionen und 6 Schaubilder. Ordne sie einander zu. f 3 3 f 3 3 f 3 f() f f6 K3 K K4 K5 K6 K

13 800 Eponentialfunktionen Einführung 3.3 Untersuchung einfacher Eponentialfunktionen zur Basis e Beispiel f( ) = e Die Funktion geht durch Q( 0 ) und hat für gegen den Grenzwert 0: Die Kurve hat also die negative -Achse als waagrechte Asmptote. - lim e = 0. Beispiel f( ) = e - Das Schaubild ist die um nach rechts verschobene Kurve = e. Denn an der Stelle 0 erhält man den Wert e -, der sonst bei = gefunden wird. Dies zeigt die Verschiebung um nach rechts. Beispiel 3 f( ) = e + Hier wurde = e bei = auftritt. Beispiel 4 f( ) = e + Jetzt wurde = e um nach links verschoben, denn bei 0 erhält man e, was sonst erst um nach oben verschoben. Daher wird die Gerade = zur waagerechten Asmptote. Beispiel 5 f( ) = e - Jetzt wurde = e um nach unten verschoben. Daher wird die Gerade = - zur waagerechten Asmptote. Alle diese Kurven haben für eine waagerechte Asmptote. = e + = e - = e + = e = e -

14 800 Eponentialfunktionen Einführung 4 Beispiel 6 f( ) = e - Das Schaubild entsteht aus = e durch Spiegelung an der -Achse. Daher hat es die positive -Achse als waagerechte Asmptote und es gilt n - lim e = ( + ) Beispiel 7 f( ) = e = e Man muss das Minuszeichen ausklammern. Dann erkennt man aus + die Verschiebung um nach links! Dabei ändert sich natürlich die waagerechte Asmptote (-Achse) nicht. Beispiel 8 f( ) = e = e - + -( -) Man muss das Minuszeichen ausklammern. Dann erkennt man aus - die Verschiebung um nach rechts! Dabei ändert sich natürlich die waagerechte Asmptote (-Achse) nicht. -- -( + ) Beispiel 9 f( ) = e - = e - Jetzt wurde die Kurve aus Beispiel 7 noch um nach unten verschoben. Das Schaubild erhält dadurch die waagerechte Asmptote = -. f e f e f e f e

15 800 Eponentialfunktionen Einführung 5 Beispiel 0 f( ) = 4- e Da e für - gegen 0 geht, nähert sich die Kurve nach links von unten der Geraden = 4 (die somit waagrechte Asmptote ist). Nach rechts entfernt sie sich immer weiter von ihr und krümmt sich nach unten, weil ja e zunimmt. Beispiel f( ) = 3- e - Analog zu (0) nähert sich diese Kurve von unten der Geraden = 3, aber jetzt nach rechts, denn e - wird 0 für gegen Unendlich. Daher schreibt man f() = 4-e lim f lim 3 e 3. f() = 3-e -

16 800 Eponentialfunktionen Einführung 6.4 Zusammenfassung und Übersicht () Die Schaubilder der Funktionen f Verlauf, wie dieses Schaubild zeigt: a mit einer Basis a > haben einen ähnlichen Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. Es ist e,788. Die Kurve =e hat in Q 0 die Tangentensteigung m =. f( ) = 5 f( ) = 4 f( ) = 3 f( ) = e f( ) = Man berechnet einige Punkte mittels Wertetafel und zeichnet sie ein. Mit rot sind die Punkte zu = eingetragen:, 5, 5, usw. Mit blau sind die Punkte zu = markiert:,5,5, 4 usw. Im negativen Bereich wird die Kopfrechnung schwieriger: 0,5, 0,5 Man sollte folgende Eigenschaften WISSEN: (Es sei jetzt a > ) () Alle Kurven = a gehen durch Q0, weil a o = ist. () a sind stets positive Werte, also hat jede dieser Funktionen die Wertmenge (3) Für gehen die Werte gegen 0, 4 W R. also ist die negative -Achse waagrechte Asmptote. (4) Diese Funktionen wachsen streng monoton, d.h. nach rechts werden die Werte stets größer, was man so beschreiben kann: Wenn > ist, dann ist auch a >a (5) Für gehen die Werte gegen Unendlich. (6) Die Kurven habe alle Linkskrümmung. Punkte Punkte zu zu f( ) =,5

17 800 Eponentialfunktionen Einführung 7 () Die Schaubilder der Funktionen f a mit einer Basis 0 < a < haben diesen Verlauf: ( ) - =3 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) 0,5 = = = =, 5 3 Man sollte folgende Eigenschaften WISSEN: (Jetzt sei 0 < a <. () Die Kurven = a gehen alle durch Q0, weil a o = ist. () a sind stets positive Werte, also hat jede dieser Funktionen die Wertmenge W R. (3) Für gehen die Werte gegen 0, also ist die positive -Achse waagrechte Asmptote. (4) Diese Funktionen fallen streng monoton, d.h. nach rechts werden die Werte stets kleiner. D. h. wenn > ist, dann ist a < a (5) Für gehen die Werte gegen Unendlich. (6) Die Kurven habe alle Linkskrümmung. (7) Spiegelt man die Kurve - die Kurve =a. =a an der -Achse, wird durch ersetzt und es entsteht, 5 f( ) = =!!!

18 800 Eponentialfunktionen Einführung 8 Gestreckte Eponentialkurven Hinweis: Wer Abbildungen von Kurven (dazu gehören Verschiebungen, Spiegelungen und Streckungen) mit Abbildungsgleichungen durchführen soll, sollte dies im Tet 00 ansehen.. Streckung in -Richtung Die Gleichung k a stellt eine Eponentialkurve dar, die mit dem Faktor k aus a in -Richtung gestreckt worden ist. Beispiel Links wird = mit dem Faktor gestreckt. Rechts werden die Punkte der Kurve A. A' 0, und aus B 4 wird B' 0 4. Man erkennt, dass diese Verschiebung zur gleichen Bildkurve führt wie die Streckung. Allerdings mit verschiedenen Bildpunkten. Die Kurve als Ganzes ist jedoch dieselbe! Aus A wird durch Verdopplung der um - in -Richtung verschoben Aus -Koordinate A' 4, und aus B 4 wird wird B' 8. Die blauen und roten Pfeile stellen die -Koordinaten dieser beiden Punkte dar. Der blaue ist jeweils doppelt so lang als der rote. Erkenntnis: Die durch Streckung in -Richtung mit k erzeugte Kurve kann man auch durch Verschiebung in -Richtung erzeugen. Dahinter steht als mathematischer Grund das Potenzgesetz, wonach gilt: Beispiel Streckung der Eponentialkurve in -Richtung mit dem Faktor k. Es entsteht die Kurve. Die Potenzregel liefert:. Daher erkennt man, dass dieselbe Kurve auch durch Verschiebung von in -Richtung um entsteht.

19 800 Eponentialfunktionen Einführung 9 Beispiel 3 Wir strecken die Kurve und erhalten 4. Umformung durch Potenzrechnung: mit dem Faktor k = Man erinnere sich: Weil im Eponenten steht, muss man das Minuszeichen ausklammern. In -(-) sagt uns die, dass um nach rechts verschoben wird! Beispiel 3 Wir strecken die Kurve 3 mit dem Faktor k =. Welche Verschiebung in -Richtung erzeugt dieselbe Bildkurve? Die Bildkurve heißt 3. Wenn sie durch eine Verschiebung entstehen soll, v lautet ihre Gleichung 3 Durch Gleichsetzen erhält man: v 3 3 v Umformen: v Für Gleichheit muss gelten: 3 v Logarithmieren: log 3 log Umformen: v log 3 log Ergebnis: Das heißt: log v 0,63 log 3 0, Eine Verschiebung der Kurve 3 um etwa 0,63 ergibt dieselbe Kurve, wie wenn man sie in -Richtung um den Faktor streckt. 4 0, Beispiel 4,37 Die Kurve 4 ist gegeben. Mit welchem Faktor müsste man Kurve zu erhalten? Lösung: 4 strecken, um die selbe,37, k, also ist,37 k 4 0,5

20 800 Eponentialfunktionen Einführung 0 Beispiel 5 () Noch einige Kurven mit etwas anderem Aussehen: f = 0, Wichtiger Wert ist: 0 f() = 0, = 0, denn, O =. Beispiel 6 () f = 40 0,8 Wichtiger Wert ist: O f(0) = 40 8,8 = 40, denn 0,8 O =. Beispiel 7 f() = 50 (- 0,05 ) f(0) = 50-0,05 = 50 - = 50 0 = 0. 0 Wichtiger Wert ist: ( ) ( ) Diese drei Funktionen sind tpische Wachstumsfunktionen : (5) beschreibt eponentielles Wachstum, (6) beschreibt eponentielle Abnahme und (7) beschreibt beschränktes Wachstum (dabei geht sozusagen der Platz aus). Und der wichtige Wert f(0) gibt den Startwert an, also den Wert, den die sich verändernde Größe zum Zeitpunkt = 0 hat. Dies ergibt den Schnittpunkt mit der -Achse. ( ) f = 40 0,8 Dies wird später behandelt. () ( ) f = 50-0,05 ( ) f = 0,

21 800 Eponentialfunktionen Einführung. Streckung in -Richtung. Der Vollständigkeit halber hier eine kurze Anmerkung dazu. Beispiel : Die Kurve 3 entsteht aus durch Streckung in -Richtung mit dem Streckfaktor k. 3 In der Abbildung ist dies durch zwei Pfeile veranschaulicht: Die Strecke CB wird gestreckt auf ein Drittel, also entsteht die Strecke CA. Der blaue Pfeil ist nur ein Drittel mal so lang wie der rote Pfeil. Merke: Als Streckfaktor kommt der Kehrwert des Faktors vor in Frage. a b entsteht also auch aus in -Richtung mit dem Streckfaktor k. a b durch Streckung Beispiel : Die Kurve 3 / entsteht aus 3 durch Streckung in -Richtung mit dem Streckfaktor k, denn ist der Kehrwert von. In der Abbildung ist dies durch zwei Pfeile veranschaulicht: Die Strecke CA wird gestreckt auf das Doppelte, also entsteht die Strecke CB. Der blaue Pfeil ist doppelt so lang wie der rote Pfeil. 3 3 / 3 a Merke: Funktionen mit Gleichungen der Form f c b oder f Schaubilder, die (auch) in -Richtung gestreckt sind. Der Streckfaktor ist a. a c b haben b Hier muss man sehr aufpassen, denn in a ist a der Faktor von, aber sein Kehrwert ist der Streckfaktor: k. Damit werden die -Koordinaten der b Punkte multipliziert, während der Faktor nur in der Gleichung eine Rolle spielt.

22 800 Eponentialfunktionen Einführung.3 Trainingsaufgaben 3. Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch eine Verschiebung oder durch eine Streckung erhalten kann. a) 5 b) 3 c) 4 d),5 3 e),8 e f) Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch eine Streckung oder durch eine Verschiebung erhalten kann. a) d) b) 4 3 e) 9 c) 4 f) Wir haben gesehen, dass man bei Eponentialkurven eine Streckung auch durch eine Verschiebung ersetzen kann und umgekehrt. In den folgenden Gleichungen ist sowohl ein Streckfaktor vorhanden, wie auch ein Verschiebungssummand. Stelle aus diesen Gleichungen je zwei andere Formen her, die entweder nur einen Streckfaktor aufweisen oder nur einen Verschiebungssummanden. 5 a) b) 9 3 c) d) e) 3 4 f) e 6. Berechne einige Funktionswerte und zeichne dann das Schaubild. Gib den Streckfaktor an. In welcher Richtung wird gestreckt? / a) f b) d) e 4 / f 4 c) 4 e) f 5 / f) f 6

23 800 Eponentialfunktionen Einführung 3 3 Nullstellen von Eponentialfunktionen Schnittpunkte mit der -Achse von Eponentialkurven 3. Berechnung von Nullstellen = Lösen von Eponentialgleichungen Mehr zu diesem Thema findet man im Tet 880 Gleichungen vom Tp Beispiel Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: isolieren: Es ist Beispiel MERKMAL: : 4 f 4 f Die Zahl auf der rechten Seite lässt sich als Potenz mit der gleichen Basis wie links darstellen. Eponenten vergleichen:. Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist N =. Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: isolieren: MERKMAL: Das Schaubild schneidet die -Achse in f 4 f Gemeinsame Basis ist : N 0. Die Zahlen auf beiden Seiten lassen sich als Potenz mit der gleichen Basis darstellen. Potenzregel: Eponenten vergleichen:. N Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist N Das Schaubild schneidet die -Achse in N 0.

24 800 Eponentialfunktionen Einführung 4 Beispiel 3 Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: isolieren: f 3 9 f MERKMAL: Die Zahlen auf beiden Seiten lassen sich als Potenz mit der gleichen Basis darstellen. Beispiel 4 Beispiel 5 Gemeinsame Basis ist 3: 3 3 Eponenten vergleichen: 4. Ergebnis: Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: isolieren: MERKMAL: Die Nullstelle der Funktion ist N 4 Das Schaubild schneidet die -Achse in f 8 4 f N4 0. Die Zahlen auf beiden Seiten lassen sich als Potenz mit der gleichen Basis darstellen. 3 Gemeinsame Basis ist : Potenzregel: 3 3 Eponenten vergleichen: 3. Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist N. Nullstellenbedingung: Das Schaubild schneidet die -Achse in f 0 / f 5 0, N 0. Nicht verwechseln! Eponentialgleichung: isolieren: / 5 0, 0 / 5 0, MERKMAL: Die Zahlen auf beiden Seiten lassen sich als Potenz mit der gleichen Basis darstellen. / Gemeinsame Basis ist 5: Eponenten vergleichen:. Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist N. Das Schaubild schneidet die -Achse in N 0.

25 800 Eponentialfunktionen Einführung 5 Gleichungen vom Tp Diesen Abschnitt kann man nur dann verstehen, wenn man bereits das Rechnen mit Logarithmen gelernt hat! Beispiel 6 Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: f 0 f Beispiel 7 isolieren: MERKMAL: Logarithmieren: WISSEN: 3 Die Zahlen auf beiden Seiten lassen sich nicht als bekannte Potenz mit der gleichen Basis darstellen. log Die 3. Logarithmusregel lautet: log3 (gemeint ist der Log. zur Basis 0) log a b log a. Man wendet sie auf die linke Seite der Gleichung an. Damit gelingt es, die Unbekannte aus dem Eponenten herauszulösen und vor den Logarithmus zu schreiben! 3. Logarithmusregel: log log3 : log Ergebnis: Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: log 3,58 TR: log Die Nullstelle der Funktion ist N,58 Das Schaubild schneidet die -Achse in N,58 0 f 4 5 f b. isolieren: 4 5 Weil man die beiden Seiten nicht günstig durch eine gemeinsame Basis darstellen kann, logarithmiert man die Gleichung. Logarithmieren: log 4 log 5 3. Logarithmengesetz: log 4 log 5 : (- log 4) log5,6 log4 Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist N,6 Das Schaubild schneidet die -Achse in N,6 0.

26 800 Eponentialfunktionen Einführung 6 Beispiel 8 Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: isolieren: f 3 6 f Weil man die beiden Seiten nicht günstig durch eine gemeinsame Basis darstellen kann, logarithmiert man die Gleichung. Beispiel 9 Logarithmieren: log 3 log 6 3. Logarithmengesetz: log3 log6 : log 3 Ergebnis: Nullstellenbedingung: Eponentialgleichung: isolieren: log6,63 3,63 log3 Die Nullstelle der Funktion ist N 3,63 N 3,63 0. Das Schaubild schneidet die -Achse in 3 f 5 f Weil man die beiden Seiten nicht günstig durch eine gemeinsame Basis darstellen kann, logarithmiert man die Gleichung. Logarithmieren: 3 log log 5 3. Logarithmengesetz: 3log log5 : log log5 3,3 log 5,3 5,3 Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist N 5,3 Das Schaubild schneidet die -Achse in N 5,3 0. Zusammenfassung: Für diese einfachen Gleichungen gibt es zwei Methoden. () Lassen sich die linke und die rechte Seite der Gleichung durch eine gemeinsame Basis darstellen, dann hilft Eponentenvergleich. () Gelingt das nicht, wird die Gleichung logarithmiert, weil man dann die Unbekannte aus dem Eponenten heraus bekommt.

27 800 Eponentialfunktionen Einführung 7 3. Trainingsaufgaben 7. Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. Empfehlung: Mache es so ausführlich wie zuvor gezeigt. a) f 3 7 b) 3 c) f 4 8 d) 3 e) f 4 f) g) f 3 h) 4 f 8 f 5 5 f f Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. Empfehlung: Mache es so ausführlich wie zuvor gezeigt. a) f 4 3 b) 3 c) f 5 0 d) 3 e) f 5 f) g) f 3 h) 4 f f 5 f f 8 0

28 800 Eponentialfunktionen Einführung 8 4 Asmptoten von Eponentialkurven Die folgenden vier Abbildungen zeigen unverschobene Eponentialfunktionen. In Abb. sehen wir die Kurven mit der Gleichung a mit a >, rechts daneben die Kurven, die daraus durch Spiegelung an der -Achse entstehen. Sie haben die Gleichung Hinweis: Durch Umformen erhält man a a man die Gleichungen in Abb. auch so schreiben kann: a mit a >.. Wenn a > ist, dann ist 0 a, so dass a mit 0 < a <. () f = 5 () f = 4 () f = 3 () f = e ( ) f = Abb. bzw. f a mit a d. h. Die negative -Achse lim f 0 ist waagerechte Asmptote. f( ) =,5 f a mit 0 a f a mit a () - ( ) lim f 0 d. h. Die positive -Achse ist waagerechte Asmptote. Daran ändert sich auch nichts,, wenn man diese Kurven an der -Achse spiegelt: Abb. 3 f = 5 = = 0, () - ( ) f = = = 0,5 Abb. Abb. 4 5 ( ) f =- ( ) - f =- =-0,5 () f =-5 () - f =- 5 =-0, f a mit a bzw. d. h. Die negative -Achse lim f 0 f a mit 0 a f a mit a lim f 0 d. h. Die positive -Achse ist waagerechte Asmptote. Ist waagerechte Asmptote.

29 800 Eponentialfunktionen Einführung 9 Das Verhalten dieser vier Grundtpen ist wichtig, und man sollte es sofort aufschreiben können. Wichtig ist dabei auch die Schreibweise mit limes. Anwendung für verschobene Eponentialkurven: Beispiel : 3 hat die negative -Achse als waagrechte Asmptote, denn lim 0. Die gegebene Kurve entsteht aus dieser 3 durch Verschiebung um -3 in -Richtung. Daher ist ihre waagerechte Asmptote: 3 Beispiel :,5 Diese Kurve entsteht aus,5 durch Verschiebung um - in -Richtung (denn im Eponent steht - bzw. -(+)) und um in -Richtung. Wegen lim,5 0 hat,5 die (positive) -Achse als waagerechte Asmptote und die gegebene Kurve daher die Gerade = (für ). Beispiel 3: 3 4 Diese Kurve entsteht aus 3 durch Verschiebung um in -Richtung (denn im Eponent steht -) und um 4 in -Richtung. Wegen lim 3 0 hat die (negative) -Achse 3 als waagerechte Asmptote und die gegebene Kurve daher die Gerade = 4 (für ). 3 Beispiel 4: 4 6 Diese Kurve entsteht aus um 6 in -Richtung. 4 durch Verschiebung Wegen lim 4 0 hat 4 die (positive) -Achse als waagerechte Asmptote und die gegebene Kurve daher die Gerade = 6 (für ).

30 800 Eponentialfunktionen Einführung 30 5 Aufstellen von Gleichungen aus Punkten 5. Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen Zur Aufstellung der Gleichung einer Eponentialkurve des Tps Punkte. Hier die beste Methode dazu: a q benötigt man zwei Beispiel Die Kurve mit der Gleichung a q geht durch die Punkte ( ) A 0 4 und ( ) B 4 6. Lösung Berechne a und q. Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung ( ) A 0 4 eingesetzt: ( ) Auswertung: B 4 6 eingesetzt: Aus () folgt wegen q 0 = sofort a 4 Setzt man dies in () ein, folgt: 6 4 q 4 q = a q () 4 6 = a q () a q = ein: q 4!!! Da man nur positive Zahlen als Basis verwendet, lautet das Ergebnis q»,4. Ergebnis: = 4,4 Hierzu das Schaubild: B A

31 800 Eponentialfunktionen Einführung 3 Beispiel Die Kurve mit der Gleichung Berechne a und q. a q geht durch die Punkte ( ) A 3 40 und ( ) B Lösung Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung a q = ein: A( 3 40 ) eingesetzt: B( 6 60 ) eingesetzt: 3 40 = a q () 6 60 = a q () Auswertungstrick: Ergebnis: Hierzu das Schaubild: Man dividiert nun Gleichung () durch () wodurch a heraus fällt: 6 60 a 40 q 3 a q (3) eingesetzt in (): 40 a 3 a 80 3 =, q (3) 3 q,5,5 B A

32 800 Eponentialfunktionen Einführung 3 Beispiel 3 Lösung Die Kurve mit der Gleichung bzw. ( ) a a q = a - q geht durch die Punkte A( 0 80 ) und B( 5 5 ). Berechne a und q. Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung ( ) = a - q ein: B( 5 5 ) eingesetzt: 5 a ( 5 q ) A( 0 80 ) eingesetzt: 80 a ( 0 q ) = - () = - () Auswertung: Man dividiert Gleichung () durch (), wodurch a heraus fällt: 0 80 q 5 5 q 80 q 5 q q 80 q 8 0 : q 0 q 7 0 Dies ist eine quadratische Gleichung für q 5. 5 Wir ersetzen (Substitution) q = u, also q 0 = u. Dies ergibt 3 u 0 u 7 0 Die quadratische Gleichung Diese wenden wir an und erhalten: u au + bu + c = 0 hat die Lösungsformel u ì ï = = =í ïî, Rücksubstitution: Aus u = folgt q =., = b b 4ac a Dies scheidet aus, weil dann keine Eponentialfunktion mehr vorliegt. 7 Aus u folgt: q q 0,884. Berechnung von a aus () durch Einsetzen von 5 = a - 5 a 7 ( 3 ) a, q = : 3 Ergebnis: ( ) f() =,67-0,884

33 800 Eponentialfunktionen Einführung 33 HINWEIS: Diese Aufgabe führt nur darum auf eine manuell lösbare Gleichung, weil die -Koordinate des einen Punktes doppelt so groß ist wie die des anderen, also 5 und 0. Dies führte auf q 5 und q 0 und so erhielten wir eine quadratische Gleichung für q 5. Und nun das Schaubild dieser Wachstumsfunktion:, 67 A B Diese Aufgabe entstammt einer Anwendungsaufgabe, bei der die Spannung an einem Kondensator darstellt, der gerade aufgeladen wird. Die Zeit wird auf der -Achse abgetragen. Die Spannung strebt gegen den Grenzwert,67 V, bei dem der Kondensator dann aufgeladen ist. Dass das Wachstum hier gebremst wird, liegt daran, dass die sich auf der einen Kondensatorplatte ansammelnden Elektronen (welche die Stromquelle dort hin drückt) eine immer stärkere Gegenkraft entwickeln, welche die nachströmenden Elektronen quasi ausbremsen. Es scheint so, also ob nicht mehr Elektronen auf diese Platte passen. Wenn man jedoch die angelegte Spannung erhöht, dann bekommen die Elektronen mehr Energie mit auf den Weg und somit gelangen mehr auf die Kondensatorplatte - bis sich wieder ein Gleichgewicht einstellt.

34 800 Eponentialfunktionen Einführung Anwendungsaufgaben aus dem Wachstumsbereich Hinweise dazu: Eponentialfunktionen werden in erster Linie zur Beschreibung von Wachstumsprozessen verwendet. Dazu gehören auch finanzmathematische Anwendungen. Man kann Eponentialfunktionen als sogenannte Kontostandsfunktionen benutzen und dann anwenden auf Sparen durch Verzinsung (Zinseszins) Ratensparen (regelmäßige Sparraten) Rentenzahlung (regelmäßiges Auszahlen einer Rente von einem Guthabenkonto) Darlehensrechnung (Rückzahlung eines Darlehens durch regelmäßige Ratenzahlung) Auch andere Wachstumsvorgänge verwenden Eponentialfunktionen: Wachstum von Bakterien, Pflanzen, Schimmelpilz usw. Prozentuale Zunahme von Werten (Geldwert, Temperatur u.v.a.) Weil auch die prozentuale Abnahme dazu gehört, kann man auch diese Themen darstellen: Radioaktiver Zerfall Wertabnahme von Gütern Abkühlungsprozesse usw. Die meisten der genannten Vorgänge verwenden Eponentialfunktionen dieser Bauart: f ab c f b c v Die man auch so darstellen kann: WARUM dies in den einzelnen Themenkreisen möglich ist, und wie das geschieht, ist hier nicht das Thema. Das wird in anderen Teten besprochen Es geht lediglich darum, aus wenigen Daten dieser Abläufe die genaue Funktionsgleichung zu bestimmen. Gelegentlich werden kleine Folgerungen aus der ermittelten Funktion berechnet. Hier ein Beispiel dazu. Eine ausführliche Darstellung für viele dieser Anwendungen steht im Tet 80.

35 800 Eponentialfunktionen Einführung 35 Beispiel: Guthabenkonto Klaus bekommt zum 3. Geburtstag 000 auf ein Festgeldkonto einbezahlt. Er darf es erst nach seinem 8. Geburtstag verwenden. Die Bank verzinst auf diesem Konto jährlich mit 4%. K(n) sei der Kontostand in, n die Zahl der Jahre seit der Einzahlung. a) Zeige: Die Kontostände sind K() = 080 und K() = 63,0. b) Die Kontostandsfunktion hat die Form: Kn Lösung: n a q. Berechne a und q mittels K(0) und K(). Gib dann die Funktion eplizit an. Zeige zur Probe, dass diese Funktion den in a) berechneten Wert K() liefert. Welche Summe ist bei seinem 8. Geburtstag auf dem Konto? a) Zum Zeitpunkt n = 0 werden 000 eingezahlt: K Nach Jahr (n = ) berechnet die Bank den Zins: 4% von 000 sind: Z 000 0,04 80 Damit erhöht sich der Kontostand um 80 auf K Nach einem Jahr berechnet die Bank wieder den Zins: 4% von 080 sind: Z 080 0,04 83,0 K ,0 63,0 Damit erhöht sich der Kontostand auf b) Bestimmung der Kontostandsfunktion: Ansatz: Punktprobe mit Punktprobe mit Auswertung: Z : Z 080 : K n a q n O () 000 a q 080 a q () O Aus() folgt wegen q : 000 a Eingesetzt in (): q Daraus folgt q: 080 q, Ergebnis: Damit erhält man auch: K n 000,04 Denselben Betrag haben wir in a) mittels Zinsrechnung ermittelt. K 000,04 63,0 n Nach 5 Jahren ist Klaus 8: 5 K 5 000,04 433,30

36 800 Eponentialfunktionen Einführung 36 Kommentar zu diesem Beispiel: Im Teil a) wurden mit Hilfe der Prozentrechnung aus dem anfänglichen Kontostand K(0) = 000 die Folge-Kontostände K() und K() berechnet. Im Teil b) wurde wie im Abschnitt 4. die Gleichung der Funktion aus zwei Wertepaaren PO und P 080 aufgestellt. In 80 wird gezeigt, wie man allgemein die Richtigkeit dieser Methode zeigt. Man kann hier z. B. diese Zusatzfrage stellen: Nach wie viel Jahren sind 3000 auf dm Konto? Diese löst man dann so: Bedingung: K(n) 3000 d. h. Geteilt durch 000: Logarithmieren: 3. Logarithmusregel anwenden: n 000, n 3000, n, 04, 5 n log,04 log,5 : n log,04 n log,04 Linke Seite damit ändern: n log,04 log,5 Durch log,04 teilen: log,5 n 0,3 log,04 Da immer nach ganzen Jahren verzinst wird, muss Klaus Jahre warten. Hier wurde eine Ungleichung nach n aufgelöst. Weil n im Eponenten stand, musste die Ungleichung logarithmiert werden. Dies wurde im Abschnitt 3. (Nullstellen) ausführlich erklärt. K n 000,04 Schaubild der Kontostandsfunktion: n Das linke Schaubild gehört zwar zur angegebenen Funktion, entspricht aber nicht der Finanzrealität. Diese sieht so aus, dass zu Jahresbeginn der neue Wert berechnet wird und dieser dann während des ganzen Jahres konstant bleibt. Dies zeigt das rechte Schaubild. Die dargestellte Funktion nennt man eine Treppenfunktion.

37 800 Eponentialfunktionen Einführung Trainingsaufgaben 9. Welche Gleichungen haben die Kurven, die durch die folgenden Punkte gehen: Grundform: a b a) P 6, Q 3 b) P,Q 8 c) P 0,04, Q3 5 d) P, Q Die folgenden Kurven haben eine Gleichung der Form: a b Bestimme a, b und c, so dass die Kurven durch diese Punkte gehen: a) P0 0,Q 50,R 30 b) P0 0, Q 84, R 40,8 c) P0 6,Q,4,R 9,6. Wird ein Geldbetrag G mit Zinseszins auf einem Konto angelegt, dann berechnet man den nach n Jahren vorhandenen Betrag durch die Funktion f n c n G q. a) Wie groß ist q, wenn G = 3000 ist, und nach 4 Jahren 3646,5 auf dem Konto sind? b) Wie hoch ist die angelaufene Summe dann nach 5 Jahren? c) Wann befinden sich 6000 auf dem Konto?. Beim Ratensparen kommen Eponentialfunktionen dieses Tps zur Anwendung n K n ab c wobei K(n) den Kontostand nach n Jahren angibt. Stelle die Gleichung für diese Kontostandsfunktion auf, wenn folgendes gegeben ist a) Startkapital K , Kontostand nach Jahr: und K 0.533,8. K 770 Wie hoch ist dann der Kontostand nach 0 Jahren? b) K 0 000, K 800, K 363. Wie hoch ist dann der Kontostand nach 8 Jahren? Wann hat er sich verfünffacht? (Dieses Beispiel wurde hier nicht vorgeübt, versuche es dennoch!)

38 800 Eponentialfunktionen Einführung Bestimmung der Eponentialfunktion aus dem Schaubild Das charakteristische Trapez einer Eponentialkurve Beispiel :,5 bzw. f,5 Ausgehend vom Punkt E O der um über der waagrechten Asmptote liegt, denkt man sich 3 Pfeile eingezeichnet: Zum Ursprung, nach rechts und dann hinauf zur Kurve bis E. Diese drei Pfeile und der Kurvenbogen EE O bilden ein krummliniges Trapez. (Trapez weil zwei Gegenseiten parallel sind.) Die Bedeutung dieses sogenannten charakteristischen Trapezes liegt darin, dass die Aufwärtsstrecke von der -Achse bis E gerade die Länge hat, welche die Basis angibt: f,5,5. Daher können wir später bei der Lösung der eigentlichen Aufgabe (die Basis bestimmen) mit diesem Trapez arbeiten. Zuvor schauen wir es uns noch bei anderen Kurven an. Beispiel Hier kann es sich nur um die Funktion f 4 bzw. die Kurve mit der Gleichung 4 handeln, denn der Wert f 4 4 liefert uns die Basis, und diese Zahl ist auch die Länge des Pfeils von der -Achse bis E. Beispiel 4 Jetzt wurde die Kurve 4 samt Trapez an der -Achse gespiegelt. Folglich liegt dieses links von der -Achse und zwar E liebt bei = -. Dies macht auch Sinn, denn die Gleichung lautet jetzt f 4. Und um die Basis als Ergebnis zu bekommen, muss man für die Zahl - einsetzen: f 4 4. Übrigens könnte man das Trapez auch rechts einzeichnen, dann hätte der Pfeil von = aufwärts die Länge, was aber 4 wäre das auch richtig. schlecht ablesbar ist, und wegen 4 4 E 4, 5 E O E O 4 E

39 800 Eponentialfunktionen Einführung 39 Beispiel 4 In diesem Schaubild werden zwei Eponentialkurven gezeigt. Die rote Kurve hat die Gleichung,5, die blaue,5, was man daran erkennt, dass sie nach links oben verläuft, also den Punkt E, der die Basiszahl liefert, bei = - hat. Nun spiegeln wir beide Kurven an der -Achse und erhalten:,5 bzw.,5,5 E E O,5,5,5 E Und jetzt ganz ausführlich: Wie identifiziert man diese beiden Kurven. Suche den Punkt E O. Er hat von der -Achse den Abstand und liegt hier auf der -Achse. Gehe senkrecht auf die -Achse zu (schwarzer Pfeil). 3 Gehe entlang der -Achse um in der Richtung, in der sich die Kurve von der -Achse weg biegt. 4 Von da aus gehe parallel zur -Achse bis zum Kurvenpunkt E. Die Länge dieser Strecke ist die Basis. Nun muss man nur noch die Grundform der vier möglichen Eponentialkurven wissen: B ist die Basis, die man am letzten Pfeil (von der -Achse bis zu E ) abliest. Das Auftreten der Minuszeichen folgt einer einfachen Merkregel: Man denke sich die Kurve als Fahrbahn entlang der man sich bewegt. Und zwar kommt man stets entlang der waagerechten Asmptote, die hier im Bild die -Achse ist. Fährt man entgegen der -Richtung, verwendet man, fährt man entgegen der -Richtung, bekommt der -Term (also die ganze rechte Seite) ein Minuszeichen. b E,5,5,5 E O b b b E,5 In der Abbildung links unten fährt man nach links unten, also entgegen beiden Achsenrichtungen, daher stehen auch Minuszeichen in der Gleichung usw.

40 800 Eponentialfunktionen Einführung 40 Beispiel 5: Verschobene Kurven,5 4,5 4,5,5 E E E E E O,5,5 E O,5,5 Links die Abbildung aus Beispiel 4. Rechts dieselben Kurven, aber um 4 nach unten verschoben. Damit liegt die waagerechte Asmptote nicht mehr auf der -Achse. Sie hat die Gleichung 4. Identifizierung der Kurvengleichung: Suche den Punkt E O. Er hat von der waagerechten Asmptote den Abstand und liegt hier auf der -Achse (weil die Kurve nicht in -Richtung verschoben worden ist). Gehe senkrecht auf die Asmptote zu (schwarzer Pfeil). 3 Gehe entlang der Asmptote um in der Richtung, in der sich die Kurve von der Asmptote weg biegt. 4 Von da aus gehe parallel zur -Achse bis zum Kurvenpunkt E. Die Länge dieser Strecke ist die Basis. 5 Die Gleichung der roten Kurve lautet: b v (v ist die Verschiebungsstrecke) Also: Die Gleichung der blauen Kurve lautet: Also: Beispiel 6 Die charakteristischen Trapeze liefern für beide Kurven die Basiszahlen,5. Die blaue Kurve hat eine Gleichungsform: Mit b =,5 und v = folgt:,5 4 b v b v (v ist die Verschiebungsstrecke),5 4,5 E,5,5 E O E Die rote Kurve hat eine Gleichungsform: Mit b =,5 und v = folgt: b v,5,5,5

41 800 Eponentialfunktionen Einführung 4 Beispiel 7 Suche den Punkt E O. Er hat von der waagerechten Asmptote (hier die -Achse) den Abstand und liegt E statt auf der -Achse bei =. Also ist die Kurve um in -Richtung verschoben. Gehe senkrecht auf die Asmptote zu (schwarzer Pfeil). 3 Gehe entlang der Asmptote um in der Richtung, in der sich die Kurve von der Asmptote weg biegt. 4 Von da aus gehe parallel zur -Achse bis zum Kurvenpunkt E. Die Länge dieser Strecke ist die Basis. v 5 Die Gleichung ist vom Tp: b v ist die Verschiebungsstrecke: v = und b = 5: Ergebnis: Beispiel 8 5 Zuerst sollte man die Verschiebung erkennen: Der Punkt E O hat bei einer unverschobenen und nicht gestreckten Eponentialkurve die Koordinaten EO 0. Ich habe ihn hier als M eingetragen. Er taucht jetzt nach der Verschiebung als EO 3 0 auf. Daraus erkennt man (grauer gestrichelter Pfeil), dass die Kurve 4 (Basis ist 4, siehe Trapez) um -3 in -Richtung (ergibt den Eponenten +3) und um - in -Richtung verschoben worden ist. Daher wird aus Beispiel 9 4 die neue Gleichung 3 4 E O b 4 E O E b 5 M Der Punkt E O ist gegenüber seiner Urlage M um - in -Richtung und um in -Richtung verschoben. E E O Die Grundform der Kurvengleichung ist: u b v Mit u = - und v = folgt: 3 3 b 3 E O M (Zur Erinnerung eine Verschiebung um nach links bewirkt (+), um nach rechts (-).

42 800 Eponentialfunktionen Einführung 4 Beispiel 0 Erste Erkenntnis: Die waagrechte Asmptote ist = 8. Der Punkt E O hat die Koordinaten 7, er ist also gegenüber seiner ursprünglichen Lage M um nach rechts verschoben (ergibt (-) ) und um 8 nach oben verschoben worden. Das charakteristische Trapez ergibt die Basis b = 8. E O b 6 Aus der allgemeinen Gleichung die Verschiebung b v und daher lautet das Ergebnis: 6 8 b wird durch u Hinweis: Weil die verschobene Kurve aus 6 entstanden ist, liegt deren Punkt E O nicht bei 0 sondern in M0 - siehe Beispiel 4. Beispiel Wir sehen die waagerechte Asmptote: = 4. Das charakteristische Trapez liefert die Basis b = 3,5. Die ursprüngliche Kurve hatte die Gleichung 3,5. Dazu gehörte der Punkt E O, den ich hier mit M bezeichnet habe. Er wurde verschoben nach EO 5 3, also um -5 in -Richtung (ergibt (+5)) und um 4 in -Richtung. 3,5 E O E M M E Damit geht die Gleichung über in 5 3,5 4 3,5 Ergebnis: 5 3,5 4

43 800 Eponentialfunktionen Einführung Trainingsaufgabe 3 Bestimmr die Gleichungen der dargestellten Eponentialkurven. a) b) c) d) e) f)

44 800 Eponentialfunktionen Einführung 44 g) h) i) j) k) l)

45 800 Eponentialfunktionen Trainingsaufgaben 45 6 Zusammenstellung aller Trainingsaufgaben Die Lösungen findet man im Tet 80 Aufgabe (Seite ) Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen. Überlege dazu wie in Beispiel 4, durch welche Folge von Abbildungen sie aus einer möglichst einfachen Grundkurve entstanden sind. Berechne dann vier geeignete Kurvenpunkte für das Schaubild. Wenn du es schon kannst, berechne den Schnittpunkt mit der -Achse: 3 a) f 3 b) f 4 c) d) f e) f,5 4 f) K3 3 Aufgabe (Seite ) f 4 f 3 Gegeben sind 6 Funktionen und 6 Schaubilder. Ordne sie einander zu. f 3 3 f 3 3 f 3 f() f f6 K4 K K5 K6 K

46 800 Eponentialfunktionen Trainingsaufgaben 46 Aufgabe 3 (Seite ) Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch eine Verschiebung oder durch eine Streckung erhalten kann. a) 5 b) 3 c) 4 d),5 3 e),8 e f) 3 4 Aufgabe 4 (Seite ) Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch eine Streckung oder durch eine Verschiebung erhalten kann. a) d) 4 b) 3 e) 9 c) 4 5 f) Aufgabe 5 (Seite ) Wir haben gesehen, dass man bei Eponentialkurven eine Streckung auch durch eine Verschiebung ersetzen kann und umgekehrt. In den folgenden Gleichungen ist sowohl ein Streckfaktor vorhanden, wie auch ein Verschiebungssummand. Stelle aus diesen Gleichungen je zwei andere Formen her, die entweder nur einen Streckfaktor aufweisen oder nur einen Verschiebungssummanden. a) d) 5 b) e) 9 3 c) 3 4 f) Aufgabe 6 (Seite ) e 6. Berechne einige Funktionswerte und zeichne dann das Schaubild. Gib den Streckfaktor an. In welcher Richtung wird gestreckt? / a) f b) / f 4 c) 4 d) e) f 5 / f) e 4 f 6

47 800 Eponentialfunktionen Trainingsaufgaben 47 Aufgabe 7 (Seite 7) Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. Empfehlung: Mache es so ausführlich wie im Beispiel gezeigt. a) f 3 7 b) 3 c) f 4 8 d) 3 e) f 4 f) g) f 3 h) 4 f 8 f 5 5 f f 8 6 Aufgabe 8 (Seite 7) Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. Empfehlung: Mache es so ausführlich wie im Beispiel gezeigt. a) f 4 3 b) 3 c) f 5 0 d) 3 e) f 5 f) g) f 3 h) 4 f f 5 f f 8 0

48 800 Eponentialfunktionen Trainingsaufgaben 48 Aufgabe 9 (Seite 37) Welche Gleichungen haben die Kurven, die durch die folgenden Punkte gehen: Grundform: a b a) P 6, Q 3 b) P,Q 8 c) P 0,04, Q3 5 d) P, Q 8 a) P0 0,Q 50,R 30 b) P0 0, Q 84, R 40,8 c) P0 6,Q,4,R 9,6 4 4 Aufgabe 0 (Seite 37) Aufgabe (Seite 37) Wird ein Geldbetrag G mit Zinseszins auf einem Konto angelegt, dann berechnet man den nach n n Jahren vorhandenen Betrag durch die Funktion f n G q. a) Wie groß ist q, wenn G = 3000 ist, und nach 4 Jahren 3646,5 auf dem Konto sind? b) Wie hoch ist die angelaufene Summe dann nach 5 Jahren? c) Wann befinden sich 6000 auf dem Konto? Aufgabe (Seite 37) Beim Ratensparen kommen Eponentialfunktionen dieses Tps zur Anwendung n K n ab c wobei K(n) den Kontostand nach n Jahren angibt. Stelle die Gleichung für diese Kontostandsfunktion auf, wenn folgendes gegeben ist a) Startkapital K , Kontostand nach Jahr: und K 0.533,8. Wie hoch ist dann der Kontostand nach 0 Jahren? b) K 0 000, K 800, K 363. Wie hoch ist dann der Kontostand nach 8 Jahren? Wann hat er sich verfünffacht? K 770

49 800 Eponentialfunktionen Trainingsaufgaben 49 Aufgabe 3 (Seite 44) Bestimme die Gleichungen der dargestellten Eponentialkurven. a) b) c) d) e) f)

50 800 Eponentialfunktionen Trainingsaufgaben 50 g) h) i) j) k) l)