Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK. Grundlagen für Ökonomen. y ist ein Komplement von x
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- Valentin Goldschmidt
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1 Dr. Jürgen Senger MATHEMATI rundlagen ür Ökonomen ÜBUN. - LÖSUNEN. omplement oder Substitut a. = p p p = < ist ein omplement von Wenn der Preis des omplements steigt, dann sinkt die Nachrage nach. b. = 5 p + p p = + > ist ein Substitut von Wenn der Preis des Substituts steigt, dann steigt die Nachrage nach. c. = p p = + > p p ist ein Substitut von d. = p p p = p ( p p ) < ist ein omplement von Für a. - d. gilt die Nichtnegativitätsbedingung p,, da üter keine negativen Preise haben können (sonst: bads!). p
2 ÜBUN. - LÖSUNEN. Partielle renkosten a. = ln( + ) Partielle renkosten = ln( + ) = + Partielle ostenakelleration = b. = ln( + ) = < ür > ( + ) = > ür > + Partielle renkosten = ln( + ) = + Partielle ostenakelleration = ln( + ) > = < ( + ) = > + + c. = + + Partielle renkosten = + = + SENER - Mathematik -..6
3 ÜBUN. - LÖSUNEN 3 Partielle ostenakelleration = > = > = > d. = Partielle renkosten = = Partielle ostenakelleration 3. Etremwerte a. = + + = > = > = + 3 > Bedingungen. Ordnung = + = = = = = Die Funktion hat einen kritischen Punkt an der Stelle (, ) = (, ). Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = > = > = Bedingungen. Ordnung = = 8 > Etremum, > Minimum an der Stelle (, ) > SENER - Mathematik -..6
4 ÜBUN. - LÖSUNEN b. = + Bedingungen. Ordnung = + = = = = = Die Funktion hat einen kritischen Punkt an der Stelle (, ) = (, ) SENER - Mathematik -..6
5 ÜBUN. - LÖSUNEN 5 Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = = = Bedingungen. Ordnung = = < Sattelpunkt bei (, ) c. = Bedingungen. Ordnung Bedingungen = + 6 = = + = Lösen des linearen leichungssstems + = + = 3 Einseten von = = = 3 + = = = = kritischer Punkt an der Stelle (, ) = (, ) SENER - Mathematik -..6
6 ÜBUN. - LÖSUNEN 6 Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = > = > = Bedingungen. Ordnung = = 3 > Etremum, > Minimum an der Stelle (, ) > d. = Bedingungen. Ordnung = + 5 = = + 3 = + + = = + 3 = = Die Funktion hat einen kritischen Punkt an der Stelle (, ) = (, /). SENER - Mathematik -..6
7 ÜBUN. - LÖSUNEN 7 Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = > = > = Bedingungen. Ordnung = ( ) = > Etremum, > Minimum an der Stelle (,/) > e. = Bedingungen. Ordnung Bedingungen = + = = = = Einseten von + = = Die Funktion hat einen kritischen Punkt an der Stelle (, ) = (, ). SENER - Mathematik -..6
8 ÜBUN. - LÖSUNEN 8 Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = > = = Bedingungen. Ordnung = = < Sattelpunkt bei (, ) = (, ) = Bedingungen. Ordnung = + = = = + = + = : Die Subtraktion der. leichung von der. leichung ergibt eine quadratische leichung ür, die mit Hile der pq-formel nach gelöst wird: SENER - Mathematik -..6
9 ÜBUN. - LÖSUNEN 9 / = = = = ± ± ± ± Wir erhalten die beiden olgenden Lösungen: = = = = = = Mit Hile der. leichung berechnen wir die -oordinaten. Aus der. leichung olgt die leichheit der - und -oordinaten: Damit gilt: = = = = = = Die Funktion hat wei kritische Punkte an den Stellen: (, (, ) = (,) ) = (, ) Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = = = Da die partiellen Ableitungen. Ordnung in diesem Beispiel nicht konstant sind, sondern von abhängen, müssen die Bedingungen. Ordnung ür die - oordinaten der kritischen Punkte geprüt werden. SENER - Mathematik -..6
10 ÜBUN. - LÖSUNEN Bedingungen. Ordnung an der Stelle, ) (,) ( = = ( ) = ( ) = 8 = < Sattelpunkt an der Stelle (,) Bedingungen. Ordnung an der Stelle, ) = (, ) ( = ( ) = ( ) ( ) = 6 = > Etremum = = ( ) = 8 < = < Maimum bei (, ) = (, ) ewinnmaimum einer Zweiproduktunternehmung a. ewinnunktion = ( = ) SENER - Mathematik -..6
11 ÜBUN. - LÖSUNEN Bedingungen. Ordnung ür ewinnmaimum = + = = + = = = 5 = = 6 Die ewinnunktion hat einen kritischen Punkt an der Stelle (, ) = (5, 6). Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = < = < = Bedingungen. Ordnung = ( )( ) = 8 > Etremum, < Maimum an der Stelle (, ) = (5, 6) < ewinn im Maimum (5,6) = = = SENER - Mathematik -..6
12 ÜBUN. - LÖSUNEN b. ewinnunktion = 5 + ( = + Bedingungen. Ordnung Bedingungen ) = + + = = = Lösen des lineare leichungssstems + + Einseten von = = 7 7 = = + + = = = Die ewinnunktion hat einen kritischen Punkt an der Stelle (, ) = (, ) SENER - Mathematik -..6
13 ÜBUN. - LÖSUNEN 3 Bedingungen. Ordnung partielle Ableitungen. Ordnung = < = < = Bedingungen. Ordnung = ( )( ) = 8 = 7 > Etremum, < Maimum an der Stelle (, ) = (, ) < ewinn im Maimum (,) = = 5 SENER - Mathematik -..6
14 ÜBUN. - LÖSUNEN SENER - Mathematik -..6
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