Finanzierung und Investition

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Finanzierung und Investition"

Transkript

1 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 Finanzierung und Investition Kruschwitz/Husmann (0) Oldenbourg Verlag München 7. Auflage, Kapitel Mathematisches Kompendium. Funktionen einer Variablen. Differentialrechnung.3 Integralrechnung.4 Funktionen mehrerer Variablen.5 Matrizenrechnung Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 3/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 4/5 Tabelle.: Wertetabelle für die Funktion = Abbildung.: Graph der Funktion = 3 + 6

2 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 5/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 6/ Abbildung.: Graph der Funktion f () = b mit b = Abbildung.3: Graph der Funktion f () = b+ mit b = Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 7/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 8/5,50,00,50,00 0, Abbildung.4: Unstetige Funktion Abbildung.5: Nichteistenz einer Umkehrfunktion

3 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 9/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 0/ P (;,4) α P (4; 3,6) Abbildung.6: Graph der Funktion = + 0,4 Abbildung.7: Logarithmusfunktion = ln Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 8 6 f ( 0 + ) f () 4 0 Abbildung.8: Eponentialfunktion = e f ( 0 ) Abbildung.9: Differenzenquotient

4 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 3/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 4/5 f () Tabelle.: Differenzenquotient bei kleiner werdendem für f () f ( 0 + ) f ( 0 ) 4, ,000 0, ,60 0, ,60 0, ,060 0, ,006 0, ,000 f ( 0 ) 0 Abbildung.0: Differentialquotient Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 5/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 6/5 Tabelle.3: Differentialquotienten der Funktion f () = f () 3,00 30,00 3,50 39,75 4,00 5,00 4,50 63,75 5,00 78,00 5,50 93,75 6,00,00 6,50 9,75 7,00 50,00 f () Abbildung.: Maima und Minima einer Funktion

5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 7/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 8/5 f (), f () Tabelle.4: Erste Ableitung und Etremwerte Stelle links des Maimums Maimum rechts des Maimums links des Minimums Minimum rechts des Minimums Erste Ableitung positiv null negativ negativ null positiv Abbildung.: Maima und Minima einer Funktion Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 9/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 0/5 Tabelle.5: Fakultäten und Potenzen für k = 0,...,0 und ( 0 ) = 0,05 k k! ( 0 ) k 0 0,05 0, , , , , 0 f ( 0 ) T () f () T () Abbildung.3: Talor-Reihenentwicklung der Funktion f () = ln an der Stelle 0 = 0

6 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition /5 Tabelle.6: Wertetabelle der Funktion f () = ln und ihrer Reihenentwicklungen an der Stelle 0 = f () f () T () T () 0,4 0,963 0,069 0,469 0,8 0,3 0,093 0,0869, 0,83 0,93 0,3,6 0,4700 0,493 0,473,0 0,693 0,693 0,693,4 0,8755 0,893 0,873,8,096,093,03 3,,63,93,3 3,6,809,493,73 4,0,3863,693,93 a b Abbildung.4: Approimation eines bestimmten Integrals Mathematisches Kompendium.3 Integralrechnung Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 3/5 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 4/5 Tabelle.7: Approimation eines bestimmten Integrals n n k= R k n k= R k,37,3948 0,98, ,688,0.000,874, ,893,897,895,895 Tabelle.8: Wertetabelle für die Funktion = ,50, , ,7 Mathematisches Kompendium.3 Integralrechnung Mathematisches Kompendium.4 Funktionen mehrerer Variablen

7 Kruschwitz/Husmann (0) Finanzierung und Investition 5/ a a a 3 a a a a a 3 a a a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 Abbildung.5: Regel von Sarrus Mathematisches Kompendium.5 Matrizenrechnung

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da

Mehr

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte.. Bestimmen Sie die Stammfunktion F() der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden. a) f()

Mehr

Mathematik im Betrieb

Mathematik im Betrieb Heinrich Holland/Doris Holland Mathematik im Betrieb Praxisbezogene Einführung mit Beispielen 7, überarbeitete Auflage GABLER Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Zahlbegriffe 1.2

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben

Mehr

Basiswissen Mathematik, Statistik. und Operations Research für. Wirtschaftswissenschaftler. von. Prof. Dr. Gert Heinrich DHBW Villingen-Schwenningen

Basiswissen Mathematik, Statistik. und Operations Research für. Wirtschaftswissenschaftler. von. Prof. Dr. Gert Heinrich DHBW Villingen-Schwenningen Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler von Prof. Dr. Gert Heinrich DHBW Villingen-Schwenningen 5., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 2. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 2. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.e Department Biologie II Telefon: 089-80-74800 Großhaernerstr. Fa:

Mehr

2. Mathematische Grundlagen

2. Mathematische Grundlagen 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,

Mehr

F u n k t i o n e n Zusammenfassung

F u n k t i o n e n Zusammenfassung F u n k t i o n e n Zusammenfassung Johann Carl Friedrich Gauss (*1777 in Braunschweig, 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker mit einem breit gefächerten Feld an Interessen.

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 205/6 7 Differentialrechnung / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt

Mehr

Testklausur Mathematik Studiengang Informationstechnik Berufsakademie in Horb

Testklausur Mathematik Studiengang Informationstechnik Berufsakademie in Horb Richtzeit pro Seite: Erste und letzte Seite je 4 min., Andere Seiten je 8 min. Gesamtzeit: 6 min. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren bzw. Kürzen: 4 ln( ) + ln( ) sin

Mehr

Aufgabensammlung mit Lösungen zur Mathematik für Nichtmathematiker

Aufgabensammlung mit Lösungen zur Mathematik für Nichtmathematiker Aufgabensammlung mit Lösungen zur Mathematik für Nichtmathematiker Grundbegriffe - Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher - Folgen und Reihen, Zinsrechnung - Differential- und Integralrechnung-Vektorrechnung

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik Von Dr. Karl Bosch Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim 10., verbesserte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis

Mehr

Mathematik für Physiker 1

Mathematik für Physiker 1 Klaus Weltner Mathematik für Physiker 1 Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik 14. überarbeitete Auflage mit 231 Abbildungen und CD-ROM verfasst von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paul-Bernd

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57 Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5

Mehr

Mathematikaufgaben. Matura Session

Mathematikaufgaben. Matura Session Mathematikaufgaben Matura 05. Session Angaben 05. Session 05. Session Problemstellung Ein Telefonanbieter sieht für Auslandgespräche eine Figebühr von 0 Euro monatlich und zusätzlich 0 Cent pro Gesprächsminute

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen

Mehr

Taylorreihen. Kapitel 9. Lernziele. Taylorreihe. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Taylorreihe und MacLaurinreihe

Taylorreihen. Kapitel 9. Lernziele. Taylorreihe. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Taylorreihe und MacLaurinreihe Kapitel 9 Taylorreihen Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 1 / 25 Lernziele Taylorreihe und MacLaurinreihe Beispiele Alternative Schreibweisen Approimation der Veränderung einer

Mehr

Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen

Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Von Professor Dr. Karl Bosch o. Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim und Professor Dr. Uwe Jensen R. Oldenbourg

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Grundlagen der Mathematik, der Statistik und des Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler

Grundlagen der Mathematik, der Statistik und des Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler Grundlagen der Mathematik, der Statistik und des Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler Von Professor Dr. Gert Heinrich 3., durchgesehene Auflage R.Oldenbourg Verlag München Wien T Inhaltsverzeichnis

Mehr

MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG

MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG Arithmetik Algebra und Analysis Zweite verbesserte Auflage 1956 VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN VII INHALT ERSTER ABSCHNITT Rechnen mit natürlichen Zahlen

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 5 Hausaufgaben Aufgabe 5. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Benutzen

Mehr

Mathematik anschaulich dargestellt

Mathematik anschaulich dargestellt Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra

Mehr

Elementare Wirtschaftsmathematik

Elementare Wirtschaftsmathematik Rainer Göb Elementare Wirtschaftsmathematik Erster Teil: Funktionen von einer und zwei Veränderlichen Mit 87 Abbildungen Methodica-Verlag Veitshöchheim Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Mengen, Tupel, Relationen.

Mehr

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1 b) Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D Sei a D f heißt stetig in a, falls gilt lim f() = f(a) a f heißt stetig auf D, wenn f in jedem

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik BBS Gerolstein Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik für die Berufsoberschule II www.bbs-gerolstein.de/cms/download/mathematik/vorkurs-mathe-bos-.pdf bzw. www.p-merkelbach.de/bos/mathe/vorkurs-mathe-bos-.pdf

Mehr

Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R.

Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R. Aufgabe 1 Zahlenmengen, quadratische Gleichungen Gegeben ist eine quadratische Gleichung a 0 mit a R. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus

Mehr

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) Thema Stoffzusammenhang Jahrgangsstufe 12 Einführung des HDI Verbinden von Differentiation und Integration Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Funktionale

Mehr

10. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Exponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen.

10. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Exponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen. IV Umkehrfunktion Umkehrbarkeit 0. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Eponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen. f f -> 2 2 -> 2 -> - - -> 2 4 -> -> 4 Graphen

Mehr

11. Klasse TOP 10 Grundwissen 11 Umkehrung, Steckbriefaufgabe, Optimierung 10

11. Klasse TOP 10 Grundwissen 11 Umkehrung, Steckbriefaufgabe, Optimierung 10 Umkehrung, Steckbriefaufgabe, Optimierung 10 Umkehrfunktion Beispiel: Gesucht ist die Umkehrfunktion zu f() = 2 4 + 5, D f =] ; 2], W f = [1; [ Umkehrung bedeutet, zu jedem y-wert jetzt umgkehrt den -

Mehr

Technische Mathematik

Technische Mathematik Lehrplan Technische Mathematik Fachschule für Technik Fachrichtungsbezogener Lernbereich Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken Postfach 10 24 52, 66024

Mehr

Grundlagen, Vorgehensweisen, Aufgaben, Beispiele

Grundlagen, Vorgehensweisen, Aufgaben, Beispiele Hans Benker - Wirtschaftsmathematik Problemlösungen mit EXCEL Grundlagen, Vorgehensweisen, Aufgaben, Beispiele Mit 138 Abbildungen vieweg TEIL I: EXCEL 1 EXCEL: Einführung 1 1.1 Grundlagen 1 1.1.1 Tabellenkalkulation

Mehr

2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen

2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen 25.05.20 2.4 Eponential - und Logarithmus - Funktionen Mit Hilfe der Potenz a t definiert man eine weitere Funktionsart, indem man statt der Basis den Eponenten durch die Variable ersetzt: Für a ε R >

Mehr

Kapitel 6. Exponentialfunktion

Kapitel 6. Exponentialfunktion Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Themenbereiche für die mündliche Reifeprüfung aus Mathematik. für das Schuljahr 2015/16. Klassen 8a,b,c

Themenbereiche für die mündliche Reifeprüfung aus Mathematik. für das Schuljahr 2015/16. Klassen 8a,b,c Themenbereiche für die mündliche Reifeprüfung aus Mathematik für das Schuljahr 2015/16 Klassen 8a,b,c 1. Zahlen und Rechengesetze, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Interpretieren von Termen, Formeln, Beträgen

Mehr

BWL-Crash-Kurs Mathematik

BWL-Crash-Kurs Mathematik Ingolf Terveer BWL-Crash-Kurs Mathematik UVK Verlagsgesellschaft mbh Vorwort 9 1 Aufgaben der Linearen Wirtschaftsalgebra 13 Aufgaben 17 2 Lineare Gleichungssysteme 19 2.1 Lineare Gleichungssysteme in

Mehr

Mathematische und statistische Hilfsmittel für Pharmazeuten

Mathematische und statistische Hilfsmittel für Pharmazeuten Mathematische und statistische Hilfsmittel für Pharmazeuten Dr. Helga Lohöfer Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Fassung vom September 2003 Inhaltsverzeichnis I Elementare

Mehr

Funktionen. 1.1 Wiederholung

Funktionen. 1.1 Wiederholung Technische Zusammenhänge werden meist in Form von Funktionen mathematisch erfasst. Kennt man die Eigenschaften verschiedener Funktionstpen, lässt sich im Anwendungsfall das Arbeiten mit diesen erleichtern.

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,

Mehr

Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I

Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Komplexe Zahlen Definition komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, algebraische Form, trigonometrische Form, exponentielle

Mehr

Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure

Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure Dieter Hoffmann 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn (Folgen) f : Rn! Rm. Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn

Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn (Folgen) f : Rn! Rm. Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn Body-Mass-nde/Ko rpermasseinde BM = Gewicht (Gro ße) Ko rpermasseinde (betrachte aber nur > 0, y > 0) fu r y = c fest: eine Gerade B() = c fu r = c fest: eine Hyperbel B(y ) = yc BM = Ko rpermasseinde

Mehr

Finanzierung und Investition

Finanzierung und Investition Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 1/40 Finanzierung und Investition Kruschwitz/Husmann (2012) Oldenbourg Verlag München 7. Auflage, Kapitel 2 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen inkl. der 0 ganzen Zahlen rationalen

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Summen, Exponentialfunktion, Ableitung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 04.11.2011 1/46 Inhalt 1 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen

Mehr

Kapitel 7. Exponentialfunktion

Kapitel 7. Exponentialfunktion Kapitel 7. Exponentialfunktion 7.1. Potenzreihen In Kap. 5 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04. Gegeben sei eine Funktion f(). Differenzialrechnung Differenzenquotient f() 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.2007 18:38:45 1 Differenzenquotient Gesucht ist die Tangente an der Stelle, wobei

Mehr

Didaktischer Verlauf Thema: Einführung in die Differentialrechnung (Teil 1) 3 bis 4 Unterrichtsstunden

Didaktischer Verlauf Thema: Einführung in die Differentialrechnung (Teil 1) 3 bis 4 Unterrichtsstunden Didaktischer Verlauf Thema: Einführung in die Differentialrechnung (Teil 1) 3 bis 4 Unterrichtsstunden -Situation (Halfpipe) und Arbeitsauftrag 1.1 lesen. Im lenum: -Erfassen der Situation und des Arbeitsauftrages

Mehr

0. Mathematische Grundlagen

0. Mathematische Grundlagen 0. Mathematische Grundlagen Literatur: S. Großmann Mathematischer Einführungskurs für die Physik Teubner Studienbücherei Physik 1991 ISBN 3-519-03074-8 Inhalt von Kap. 0: Mathematische Beschreibung physikalischer

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler gehalten von Claus Diem Übungen Die Seminare / Übungsgruppen / Tutorien finden wöchentlich statt. Alle zwei Wochen am Montag wird ein Übungsblatt ausgegeben. Dies

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition N N 0 Z Q Z + + Q 0 A = {a 1,, a n } Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen

Mehr

Vorwort Grundoperationen...13 Das Computer-Algebra-System aufrufen Zahlen eingeben ,,., :, Potenzieren

Vorwort Grundoperationen...13 Das Computer-Algebra-System aufrufen Zahlen eingeben ,,., :, Potenzieren Inhaltsverzeichnis Vorwort...11 1. Grundoperationen...13 1.0 1.1 Das Computer-Algebra-System aufrufen... 13 Zahlen eingeben... 13 1.2 +,,., :, Potenzieren... 13 1.3 1.4 π eingeben... 13 Eine Rechnung ausführen...

Mehr

Funktionen in der Mathematik

Funktionen in der Mathematik R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

12. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

12. Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 2- Funktionen 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wenn man von Analsis spricht, so meint man die Untersuchung von Funktionen in einer oder oder in mehreren Variablen, vor allem denkt man an das Differenzieren

Mehr

Grenzkosten. = x. v v

Grenzkosten. = x. v v 1. Was sind Grenzkosten? Was Grenzkosten sind, sollte man aus der bloßen Bezeichnung ableiten können: Eine Grenze wird überschritten, und die Kosten ändern sich. Kosten erändern sich, weil sich eine Größe

Mehr

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis Thema aus dem Bereich Analysis - 3.9 Differentialrechnung I Inhaltsverzeichnis 1 Differentialrechnung I 5.06.009 Theorie+Übungen 1 Stetigkeit Wir werden unsere Untersuchungen in der Differential- und Integralrechnung

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer

Mehr

Physikalisch-chemisches Rechnen

Physikalisch-chemisches Rechnen Physikalisch-chemisches Rechnen Carsten Meyer Version. (September ) Inhaltsverzeichnis. Einleitung... 4. SI-Einheiten (Système International d'unités)... 6. Mathematische Grundlagen.... Das Rechnen mit

Mehr

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1 Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Mathematik für Physiker

Mathematik für Physiker Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Lehrbuch Band 1 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch 2 Bände Leitprogramm

Mehr

Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen)

Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 1 Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Gebrochen rationale Funktionen Funktionen der Form f(x) = p(x), p(x) und q(x) ganzrationale Funktionen

Mehr

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I:

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I: Mathematik LK13 Kursarbeit 1 6.11.14 Musterlösung Aufgabe I: Analysis I 1. Spaß mit natürlichen Eponentialfunktionen Gegeben sind die Funktionen f ()=e ( + ) und g ( )=5 e Untersuchen Sie beide Funktionen

Mehr

HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt. Mathematik II für Bauingenieure. (f) 4 sin x cos 5 x dx. 3 x e x2 dx (i) e 2x 1 dx.

HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt. Mathematik II für Bauingenieure. (f) 4 sin x cos 5 x dx. 3 x e x2 dx (i) e 2x 1 dx. HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik II Mathematik II für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben zur Prüfungsklausur im Juli 2007 1 Integralrechnung Aufgabe 1 : Berechnen Sie die folgenden

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Kapitel 4-6. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Kapitel 4-6. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Mathematik für Kapitel 4-6 Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Kapitel 4 1. Extremwerte 2. Lokale Optimalpunkte 3. Wendepunkte 2 Kapitel 4.1 EXTREMWERTE 3 Extrempunkte und Extremwerte 4 Strikte

Mehr

Einführungsphase. Kapitel I: Funktionen. Arithmetik/ Algebra

Einführungsphase. Kapitel I: Funktionen. Arithmetik/ Algebra Einführungsphase prozessbezogene Kompetenzen Die SuS sollen... inhaltliche Kompetenzen konkrete Umsetzung zur Zielerreichung Die SuS können... Kapitel I: - Realsituationen in ein mathematisches Modell

Mehr

Mathematik. Modul-Nr./ Code 6.1. ECTS-Credits 5. Gewichtung der Note in der Gesamtnote 5 / 165

Mathematik. Modul-Nr./ Code 6.1. ECTS-Credits 5. Gewichtung der Note in der Gesamtnote 5 / 165 Mathematik Modul-Nr./ Code 6.1 ECTS-Credits 5 Gewichtung der Note in der Gesamtnote 5 / 165 Modulverantwortliche Semester Qualifikationsziele des Moduls Prof. Dr. B. Christensen, Prof. Dr. B. Kuhnigk,

Mehr

Formelsammlung Analysis

Formelsammlung Analysis Formelsammlung Analysis http://www.fersch.de Klemens Fersch. August 0 Inhaltsverzeichnis Analysis. Grenzwert - Stetigkeit.............................................. Grenzwert von f(x) für x gegen x0...................................

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 12 1. Dezember 2009 Kapitel 3. Differenzialrechnung einer Variablen (Fortsetzung) Satz 19. Es seien M und N zwei nichtleere Teilmengen von R,

Mehr

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Alfred Müller, Martin Rathgeb Universität Siegen Wintersemester 2008/09 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Zahlbereiche.................................... 1 1.2

Mehr

Anlage 1 für Cluster 1b (allgemeine technische Mathematik) ANGEWANDTE MATHEMATIK

Anlage 1 für Cluster 1b (allgemeine technische Mathematik) ANGEWANDTE MATHEMATIK 1 von 5 Anlage 1 für Cluster 1b (allgemeine technische Mathematik) ANGEWANDTE MATHEMATIK I. J a h r g a n g : - kennen den Mengenbegriff und können die grundlegenden Mengenoperationen zur Darstellung von

Mehr

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................

Mehr

Demo-Text für LN-Funktionen ANALYSIS INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL.

Demo-Text für  LN-Funktionen ANALYSIS INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.  FRIEDRICH W. BUCKEL. ANALYSIS LN-Funktionen Grundlagen Eigenschaften Wissen - Kompakt Datei Nr. 60 Neu geschrieben Stand: 0. Juni 0 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo-Tet für 60 Übersicht: Ln-Funktionen

Mehr

Übungsaufgaben mit Lösungen

Übungsaufgaben mit Lösungen Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben mit Lösungen im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen

Mehr

Anwendung eines Funktionsplotters (MatheGrafix) in der Analysis

Anwendung eines Funktionsplotters (MatheGrafix) in der Analysis Martin-von-Cochem Gymnasium Schuljahr: 2007/2008 Fach: Mathematik Betreuung: Roland Hammes Facharbeit im Leistungskurs Mathematik Anwendung eines Funktionsplotters (MatheGrafix) in der Analysis Verfasser:

Mehr

Themenpool teilzentrale Reifeprüfung Mathematik Europagymnasium Auhof, Aubrunnerweg 4, 4040 Linz; Schulkennzahl:

Themenpool teilzentrale Reifeprüfung Mathematik Europagymnasium Auhof, Aubrunnerweg 4, 4040 Linz; Schulkennzahl: Themenpool teilzentrale Reifeprüfung Mathematik Europagymnasium Auhof, Aubrunnerweg 4, 4040 Linz; Schulkennzahl: 401546 Thema 1: Zahlenbereiche und Rechengesetze Reflektieren über das Erweitern von Zahlenbereichen

Mehr

Der natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis

Der natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis Der natürliche Logarithmus ln logarithmus naturalis Zur Erinnerung: Die Exponentialfunktion y = exp(x) ist festgelegt durch 2 y = exp(x) y (x) = y(x) 0 x y(0) = 2 Zur Erinnerung: e := y() 2.78 exp(x) =

Mehr

67 Grenzwert einer Funktion f in x 0 x 0 [a, b] D(f)

67 Grenzwert einer Funktion f in x 0 x 0 [a, b] D(f) Grenzwerte Stetigkeit Differentiation einer Funktion (Uneigentliche) Grenzwerte von Zahlenfolgen Nrn. 43 47 67 Grenzwert einer Funktion f in x 0 x 0 [a, b] D(f) Die Zahl x 0 ist also als Grenzwert erreichbar

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

Erste Schularbeit Mathematik Klasse 7A G am

Erste Schularbeit Mathematik Klasse 7A G am Erste Schularbeit Mathematik Klasse 7A G am 12.11.2015 SCHÜLERNAME: Punkte im ersten Teil: Punkte im zweiten Teil: Davon Kompensationspunkte: Note: Notenschlüssel: Falls die Summe der erzielten Kompensationspunkte

Mehr

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Prof. Dr. Rainer Göb* und Dipl.-Math. Kristina Lurz** Institut für Mathematik Lehrstuhl für Mathematik VIII, Statistik Universität Würzburg Sanderring 2 97070

Mehr

EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK

EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK H. v. MANGOLDT'S EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK FÜR STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM SEIT DER SECHSTEN AUFLAGE NEU HERAUSGEGEBEN UND ERWEITERT VON KONRAD KNOPP E. 0. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER

Mehr

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Gaußsche Normalverteilung [7] S.77 [6] S.7 ORIGIN µ : Mittelwert σ : Streuung :, 9.. Zufallsvariable, Zufallsgröße oder stochastische

Mehr

Muster für einen Studienbericht (in Auszügen) im Fach Mathematik LK

Muster für einen Studienbericht (in Auszügen) im Fach Mathematik LK Muster für einen Studienbericht (in Auszügen) im Fach Mathematik LK Name: Zur Vorbereitung verwendetes Hilfsmittel GTR (Modell und Typbezeichnung sind vom Bewerber anzugeben. ) (Modell und Typ sind mit

Mehr

y = K(x) = 0,5x³ 3,9x² + 12,4x + 20,4

y = K(x) = 0,5x³ 3,9x² + 12,4x + 20,4 2. Übungsaufgabe zur Untersuchung ökonomischer Funktionen Ein Unternehmen kann sein Produkt zum Preis von 12 GE / ME verkaufen. Die Produktionskosten lassen sich durch die folgende Kostenfunktion beschreiben:

Mehr

9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Übungsmaterial 9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion. 9. Eigenschaften der trigonometrischen

Mehr

1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Schülerbuchseite 5 5 Lösungen vorläuig VI Natürliche Eponential- und Logarithmusunktion Die natürliche Eponentialunktion und ihre Ableitung S. 5 Durch Ausprobieren erkennt man, dass < a

Mehr

11 Optimierung von Funktionen einer Veränderlichen

11 Optimierung von Funktionen einer Veränderlichen 11 Optimierung von Funktionen einer Veränderlichen In diesem Kapitel werden die bis hier behandelten Grundlagen der Analysis genutzt, um Methoden aus der Optimierungstheorie für eindimensionale Entscheidungsmengen

Mehr

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Lehrplan: M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen M 11.1.2 Lokales Differenzieren Passende Kapitel im Schulbuch Fokus Mathematik 11:

Mehr

Exkurs: Kreisgleichung mit Tangenten; LGS zur Bestimmung von Parabeln Exkurs: Umkehrfunktion

Exkurs: Kreisgleichung mit Tangenten; LGS zur Bestimmung von Parabeln Exkurs: Umkehrfunktion Grundkurs Jahrgangstufe Eph Eingeführtes Lehrbuch: Lambacher Schweizer Einführungsphase (Klett) Eph/1 1) Funktionen und ihre Eigenschaften - Modellieren von Sachverhalten Funktionsbegriff, Definitions-

Mehr

f(x) = 1 5 ex c Roolfs

f(x) = 1 5 ex c Roolfs Krümmung Die lineare Näherung von Funktionen durch Geraden (Tangenten) bildet die Grundlage der Differentialrechnung. Quadratische Näherungen durch Parabeln werden bei Reihenentwicklungen betrachtet. Durch

Mehr