Ablaufsteuerung. Ablaufsteuerung 1-1

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Hansl Kramer
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1 Ablaufsteuerung Ergänzung von Befehlen/Umgebungen durch Steuerangaben <n> Anzeige nur auf der n-ten Folie eines Frames <n-m> Anzeige von der n-ten bis zur m-ten Folie <-n> (<n->) Anzeige bis zur (ab der) n-ten Folie <+-> Neue Folie erzeugen und ab dieser anzeigen Ablaufsteuerung 1-1

2 Ablaufsteuerung Ergänzung von Befehlen/Umgebungen durch Steuerangaben <n> Anzeige nur auf der n-ten Folie eines Frames <n-m> Anzeige von der n-ten bis zur m-ten Folie <-n> (<n->) Anzeige bis zur (ab der) n-ten Folie <+-> Neue Folie erzeugen und ab dieser anzeigen weitere Befehle \pause: Anzeige des vorangehenden Inhaltes \visible<anzeige>{inhalt }: Anzeige auf den festgelegten Folien Ablaufsteuerung 1-2

3 Ablaufsteuerung Ergänzung von Befehlen/Umgebungen durch Steuerangaben <n> Anzeige nur auf der n-ten Folie eines Frames <n-m> Anzeige von der n-ten bis zur m-ten Folie <-n> (<n->) Anzeige bis zur (ab der) n-ten Folie <+-> Neue Folie erzeugen und ab dieser anzeigen weitere Befehle \pause: Anzeige des vorangehenden Inhaltes \visible<anzeige>{inhalt }: Anzeige auf den festgelegten Folien Umgebung zur alternativen Anzeige von Inhalten \begin{overprint} \onslide<anzeige> Inhalt \end{overprint} Ablaufsteuerung 1-3

4 Beispiel \begin{frame}[shrink] \frametitle{konvergenzordnung} \begin{satz}[quadratische Konvergenz] \dots \end{satz} \pause \begin{beweis} \begin{itemize} \item<+-> Lineare Taylor-Approximation: \dots \item<+-> Einsetzen \dots \item<+-> $1/f (x_n)$ \dots \end{itemize} \end{beweis} \end{frame} Ablaufsteuerung 2-1

5 Folie 1 Konvergenzordnung Newton-Iteration Satz (Quadratische Konvergenz) Für eine einfache Nullstelle x konvergiert die Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h. x n+1 x c x n x 2 für Startpunkte x 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x. E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 2-2

6 Folie 2 Konvergenzordnung Newton-Iteration Satz (Quadratische Konvergenz) Für eine einfache Nullstelle x konvergiert die Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h. x n+1 x c x n x 2 für Startpunkte x 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x. Beweis. Lineare Taylor-Approximation: 0 = f (x ) = f (x n ) + f (x n )(x x n ) + r mit Restglied r = 1 2 f (ξ n )(x x n ) 2, ξ n zwischen x und x n E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 2-3

7 Folie 3 Konvergenzordnung Newton-Iteration Satz (Quadratische Konvergenz) Für eine einfache Nullstelle x konvergiert die Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h. x n+1 x c x n x 2 für Startpunkte x 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x. Beweis. Lineare Taylor-Approximation: 0 = f (x ) = f (x n ) + f (x n )(x x n ) + r mit Restglied r = 1 2 f (ξ n )(x x n ) 2, ξ n zwischen x und x n Einsetzen von f (x n ) = f (x n )(x n x ) r in Iterationsvorschrift ergibt x n+1 = x r/f (x n ). E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 2-4

8 Folie 4 Konvergenzordnung Newton-Iteration Satz (Quadratische Konvergenz) Für eine einfache Nullstelle x konvergiert die Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h. x n+1 x c x n x 2 für Startpunkte x 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x. Beweis. Lineare Taylor-Approximation: 0 = f (x ) = f (x n ) + f (x n )(x x n ) + r mit Restglied r = 1 2 f (ξ n )(x x n ) 2, ξ n zwischen x und x n Einsetzen von f (x n ) = f (x n )(x n x ) r in Iterationsvorschrift ergibt x n+1 = x r/f (x n ). 1/f (x n ) und f (ξ n ) sind für x n x aus Stetigkeitsgründen gleichmäßig beschränkt. Dies impliziert x n+1 x c x n x 2 mit c 1 f (x ) 2 f (x ). E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 2-5

9 Beispiel \begin{frame} \frametitle{nullstellenbestimmung} \begin{beispiel} Bestimmung... \end{beispiel} \pause \begin{columns} \begin{column}{5cm} \small \begin{tabular}{ l l l } \hline $n$ & $x_n$ & $ f(x_n) $ \\ \hline \hline \tt 0 & \tt e+00 & \tt e-01 \\ \hline \alert<2>{\tt 1} & \visible<2->{\tt e-01} & \visible<2->{\tt e+00} \\ \hline... \end{tabular} \end{column} Ablaufsteuerung 3-1

10 \begin{column}{5cm} \begin{overprint} \onslide<2> \includegraphics[width=\linewidth]{newton1.pdf} \onslide<3> \includegraphics[width=\linewidth]{newton2.pdf}... \end{overprint} \end{column} \end{columns} \end{frame} Ablaufsteuerung 3-2

11 Folie 1 Nullstellenbestimmung Anwendungsbeispiele Beispiel Bestimmung der Nullstelle x = 1 der rationalen Funktion f (x) = ausgehend vom Startwert x 0 = (x 1)(3 x) x + 1 E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 3-3

12 Folie 2 Nullstellenbestimmung Anwendungsbeispiele Beispiel Bestimmung der Nullstelle x = 1 der rationalen Funktion f (x) = ausgehend vom Startwert x 0 = (x 1)(3 x) x + 1 n x n f (x n ) e e e e y x1 1 x0 x (x 1)(3 x) f(x) = x + 1 E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 3-4

13 Folie 3 Nullstellenbestimmung Anwendungsbeispiele Beispiel Bestimmung der Nullstelle x = 1 der rationalen Funktion f (x) = ausgehend vom Startwert x 0 = (x 1)(3 x) x + 1 n x n f (x n ) e e e e e e y x1 x2 1 x0 x (x 1)(3 x) f(x) = x + 1 E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 3-5

14 Folie 8 Nullstellenbestimmung Anwendungsbeispiele Beispiel Bestimmung der Nullstelle x = 1 der rationalen Funktion f (x) = ausgehend vom Startwert x 0 = (x 1)(3 x) x + 1 n x n f (x n ) e e e e e e e e e e e e e e e e-16 y x1 x2 x3 1 x0 x (x 1)(3 x) f(x) = x + 1 E. Exempel et al. (Mathematik-Online) Newton-Verfahren 17. Juli / 15 Ablaufsteuerung 3-6

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