Diplomarbeit. CFD-Simulation der Wärmeübertragung in einer. durchströmten Holzpelletschüttung

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1 FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU Lehrstuhl für Energieanlagen und Energieprozesstechnik Prof. Dr.-Ing. Viktor Scherer Diplomarbeit CFD-Simulation der Wärmeübertragung in einer durchströmten Holzpelletschüttung Bearbeiter: Stephan Amecke-Mönnighoff Matrikel-Nr.: Betreuer: Dipl.-Ing. Jens Wiese Bochum, März 2013

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3 Erklärung Hiermit erkläre ich, Stephan Amecke-Mönnighoff, die vorliegende Arbeit selbständig angefertigt zu haben. Die Erstellung erfolgte ohne das unerlaubte Zutun Dritter. Alle Hilfsmittel, die für die Erstellung der vorliegenden Arbeit benutzt wurden, befinden sich ausschließlich im Literaturverzeichnis. Alles, das aus anderen Arbeiten unverändert oder mit Abänderungen übernommen wurde, ist kenntlich gemacht. Diese fachwissenschaftliche Arbeit liegt keiner anderen Prüfungsbehörde in gleicher oder ähnlicher Form vor. Bochum, März 2013 Stephan Amecke-Mönnighoff

4 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 5 Tabellenverzeichnis 6 Nomenklatur 7 1 Einleitung 9 2 Grundlagen Energiebereitstellung durch Holzpellets - Ein Überblick Strömungstechnische Grundlagen Erhaltungsgleichungen Dimensionslose Kennzahlen Grenzschicht-Theorie Umströmung von Einzelkörpern Simulationstechnische Grundlagen Diskretisierung Qualitätskriterien Turbulenzmodellierung Schüttungen Kenngrößen Kontaktpunkte Wärmeübertragung durch dissipative Quervermischung Strömungsverhalten Modellierung einer Schüttung aus 10 Zylindern Geometrie Räumliche Diskretisiserung des Kontrollvolumens Parameter-Einstellungen Gitter mit Prismen-Schichten Reines Tetraeder-Gitter Simulationsergebnisse Randbedingungen, Stoffdaten und Solver-Einstellungen

5 3.3.2 Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten Simulationsergebnisse bei der Verwendung des reinen Tetraeder- Gitter Vergleich der Simulationsergebnisse der beiden Gitter Auswertung Modellierung einer Schüttung aus 100 Zylindern Geometrie Anpassung der Modelle für die Schüttung aus 10 Zylindern Wall Thickness Gitter-Qualität Anpassung von Durchmesser und Länge Räumliche Diskretisierung Einstellungen Qualität Gitterstudie Simulationensergebnisse Einfluss des Gasmassenstroms auf das Wärmeübertragungsverhalten Dissipative Quervermischung Einfluss der Partikelposition in der Schüttung auf das Wärmeübertragungsverhalten Zusammenfassung und Fazit 82 7 Ausblick 84 Literaturverzeichnis 85 Anhang 85

6 Abbildungsverzeichnis 1 Schema Heizanlage Fröling P1 Pellet [froeling] Grenzschicht an einer ebenen Platte (schematisch) [grenzschicht] Arbeitsschritte einer numerischen Berechnung [NumStroeMech] Unstrukturiertes Dreiecks-Gitter mit Zuordnungsmatrix [uebung] Vektoren für die Bestimmung der orthogonalen Qualität [flu ug] Bestimmung Aspect Ratio [flu ug] Abhängigkeit des örtlichen Lückengrades ε lok vom bezogenen Wandabstand y/d p für Kugelschichten [kraume] Modell zur Flechtströmung in einer durchströmten Schüttung [tsotas] 36 9 Geometrie 10 Pellets Rechengitter 10 Pellets Querschnitt durch das Rechengitter mit Prismen-Schichten Querschnitt durch das Rechengitter reines Tetraeder-Gitter Temperaturprofil an der Stelle y = 0,21 m für unterschiedliche Massenströme 10 Pellets mit Prismen-Schichten Wärmestromdichte an den Zylinderwänden 10 Pellets mit Prismen- Schichten Wärmestromdichte am umströmten Einzelkörper Temperaturprofil an der Stelle y = 0,21 m für unterschiedliche Massenströme 10 Pellets reines Tetraeder-Gitter Temperaturprofil an der Stelle y = 0,21 m mit und ohne Prismen- Schichten Geschwindigkeitsprofil an der Stelle y = 0,21 m mit und ohne Prismen- Schichten Geometrie 100 Pellets Unvollständiges Oberflächengitter an einem Zylinder Überlappende und angrenzende Zylinder Rechengitter Gesamtansicht 100 Pellets Rechengitter Querschnitt xy-ebene 100 Pellets Verteilung Orthogonale Qualität 100 Pellets, Scale Faktor Verteilung Skewness 100 Pellets, Scale Faktor

7 26 Temperaturprofil verschiedener Massenströme 100 Pellets Wärmestromdichte bei verschiedenen Massenströmen 100 Pellets Geschwindigkeitsprofile bei verschiedenen Massenströmen 100 Pellets Querschnitt bei x = 0,3 m Anteil Spezies 1, dissipative Quervermischung, ṁ = 0, 0005 kg s Position der untersuchten Zylinder innerhalb der Schüttung Wärmestromdichte, T = 300 K Pellets 4, 47 und

8 Tabellenverzeichnis 1 Spezifikation von Holzpellets D06 nach DIN EN (Auszüge) [en] Strömungsbereiche beim Kreiszylinder [grenzschicht] Einstellung Curvature/Proximity Based Refinement 10 Pellets Einstellung Part Mesh Setup 10 Pellets Einstellungen für die Erstellung von Prismen-Schichten 10 Pellets Qualität der Gitter mit Prismen-Schichten 10 Pellets Qualität der reinen Tetraeder-Gitter 10 Pellets Stoffdaten und Randbedingungen 10 Pellets Referenzwerte Bildung Nusselt-Zahl Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten ṁ = 0, kg s Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten ṁ = 0, 0005 kg s Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten ṁ = 0, 0023 kg s Simulationsergebnisse, reines Tetraeder-Gitter ṁ = 0, kg s Simulationsergebnisse, reines Tetraeder-Gitter ṁ = 0, 0005 kg s Nusselt-Zahl-Abweichungen mit und ohne Prismen-Schichten Einstellung Gittergenerierung 100 Pellets Qualität der verwendeten Gitter 100 Pellets Stoffdaten und Randbedingungen 100 Pellets Gitterqualität Reduzierung der Zylinderdurchmesser Nusselt-Zahlen und y + -Werte Reduzierung der Zylinderdurchmesser Nusselt-Zahlen und y + -Werte Gitterstudie Nusselt-Zahl und y + -Werte bei unterschiedlichen Massenströmen Abmessungen der verglichenen Zylinder

9 Nomenklatur c p spezifische Wärmekapazität J K c w Widerstandsbeiwert - d Durchmesser m d h hydraulischer Durchmesser m f i Zellfläche m 2 g Erdbeschleunigung m s 2 h j Wärmeübergangskoeffizient W m 2 K k eff effektive Wärmeleitfähigkeit W mk p Druck Pa t Zeit s u Geschwindigkeit m s u τ Wandschubspannungsgeschwindigkeit m s v Geschwindigkeit m s y Wandabstand m y + dimensionsloser Wandabstand - A Fläche m 2 E Energie J F Kraft N K turbulente kinetische Energie m 2 s 2 Pe Péclet-Zahl - Pr Prandtl-Zahl - Q Heizwert J kg Nu Nusselt-Zahl - Re Reynolds-Zahl - T Temperatur K T Mittelungsintervall - U Umfang m V Volumen m 3

10 δ(x) Grenzschichtdicke m ε Dissipation von K m 2 s 3 η dynamische Viskosität kg ms λ Wärmeleitfähigkeit W mk µ t Wirbelviskosität ν kinematische Viskosität m 2 ρ Dichte kg ms s kg m 3 τ ij Spannung Pa τ W Wandschubspannung Pa τ Spannungstensor Pa ψ Porosität - φ Variable ω turbulente Frequenz 1 s 32 Sauter c k Ges P W charakteristisch Kugel Gesamt Partikel Widerstand Indizes freie Anströmung * Reibung

11 1 Einleitung Diese Arbeit wurde im Rahmen der Weiterentwicklung von Anlagen im Bereich der Holzpelletfeuerungen durchgeführt. Für die Weiterentwicklung werden numerische Methoden eingesetzt, um die Vorgänge, die bei der Durchströmung von Holzpelletschüttungen ablaufen, detailliert abzubilden. Der Entwicklungsbedarf heutiger Technologien zur Verbrennung von Holzpellets in Kleinanlagen umfasst die Brennstoffförderung, die Brennerbeschickung, die Verbrennungsführung und die Entaschung. Als Biomasse zählen Holzpellets zu den erneuerbaren Energien, deren Ausbau und Förderung angesichts des anthropogenen Treibhauseffekts und des damit einhergehenden Klimawandels politisch gewünscht ist. Die Feuerungen mit Holzpellets gelten im Gegensatz zur konventionellen Verbrennung von fossilen Energieträgern als CO 2 - neutral. Der Einsatz von Holzpellets kann neben der industriellen Verwendung, auch in kleinen Anlagen zum Beispiel zur Beheizung von Wohnhäusern erfolgen. Die Methoden der Computational Fluid Dynamics (CFD) lassen sich mit stetig zunehmender Rechenkapazität auf immer mehr Bereiche anwenden. Durch ihren Einsatz lässt sich die Notwendigkeit teurer Experiemente und Großversuche reduzieren. Als Grundlage für CFD-Simulationen werden Rechengitter genutzt, die das gesamte Lösungsgebiet umfassen und es in finite Bereiche unterteilen. Die Erstellung eines solchen Rechengitters für eine Schüttung aus Holzpellets ist das Ziel dieser Arbeit. Dies ist ein entscheidender Schritt bei der Durchführung von CFD-Simulationen, da die Qualität des verwendeten Gitters einen erheblichen Einfluss auf die Ergebnisse der Simulation hat. Neben der Qualität und der genauen Abbildung der Geometrie muss zusätzlich die zur Verfügung stehende Rechenkapazität berücksichtigt werden. Diese ist oft ein limitierender Faktor, der weitere Verfeinerungen eines Rechengitters verhindert. Auch in dieser Arbeit wird die maximal mögliche Auflösung des Rechengitters durch die zur Verfügung stehende Rechenleistung begrenzt. So konnte im Rahmen dieser Arbeit mit dem Meshing Tool ICEM ein CFD-Modell für eine Schüttung aus 100 Pellets erstellt werden. Zu Beginn werden die theoretischen Grundlagen der Gittergenerierung und der anschließenden Simulationen erläutert. Kapitel 2 umfasst Ausführungen zu Holzpelletfeuerungen, Strömungsverhalten und numerischen Simulationen. Darüber hinaus 11

12 werden auch die verwendeten Qualitätskriterien genauer erläutert, deren Erfüllung die Voraussetzung für verwertbare Simulationsergebnisse ist. Im anschließenden Kapitel wird zunächst ein Gitter für eine Schüttung aus zehn Pellets erzeugt. Die gewonnenen Erkenntnisse werden in Kapitel 4 auf eine größere Schüttung mit 100 Pellets übertragen. Mit dem entwickelten Modell wurden einige Simulationen durchgeführt, deren Aufbau und Ergebnisse in Kapitel 5 ausgeführt werden. Es werden durchströmte Schüttungen bei unterschiedlichen Massenströmen und das Verhalten bei der Wärmeübertragung von einzelnen Pellets, die an unterschiedlichen Positionen innerhalb der Schüttung angeordnet sind, untersucht. Zusätzlich wird der Frage nachgegangen, ob der Mechanismus der dissipativen Quervermischung mit dem erzeugten Gitter abgebildet werden kann. Kapitel 6 fasst die Ergebnisse dieser Arbeit zusammen und in Kapitel 7 werden einige Möglichkeiten zur Weiterentwicklung aufgezeigt. 12

13 2 Grundlagen 2.1 Energiebereitstellung durch Holzpellets - Ein Überblick Die Energiebereitstellung durch Holzpellets findet sowohl in der Produktion von Strom als auch in der Bereitstellung von Wärme statt. Dabei ist ihr Einsatz großtechnisch in der Industrie und auch in kleineren Anlagen, zum Beispiel in Wohnhäusern, möglich. Kleinanlagen stellen in der Regel Wärme für die Nutzung in Heizungen oder für die Erwärmung von Brauchwasser bereit. Die Nutzung von Holzpellets steht bei der Wärmeversorgung in Konkurrenz zu ölund gasbetriebenen Anlagen. Sie sind technisch in der Lage konventionelle Anlagen zu ersetzen. Vergleichsrechnungen [doering] aus dem Jahr 2010 betrachten Heizanlagen für Wohnhäuser mit angenommenem Wärmeverbrauch von 20 MWh pro Jahr. Darin liegen der finanzielle Aufwand unter Berücksichtigung der Investitionskosten für Anlagen, die mit Holzpellets, Gas und Öl betrieben werden, sehr nah beieinander. Zusätzlich wird angenommen, dass sich dies durch Zinsentwicklungen zu Gunsten von Anlagen, in denen mit Holzpellets gefeuert wird, verschiebt. Für die Nutzung von Biomasse wie Holzpellets spricht aus energiepolitischer Sicht, dass ihre Verbrennung als CO 2 -neutral gilt. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Pflanzen in ihrem Wachstumsprozess genau so viel CO 2 aus der Atmosphäre aufnehmen, wie bei der anschließenden Verbrennung emittiert wird. Zu den weiteren Vorteilen zählen gute Speicherbarkeit, stabile Brennstoffpreise, die Möglichkeit einer regionalen Bereitstellung des Brennstoffs und die damit zusammenhängenden niedrigen ökologischen Belastungen beim Transport sowie ganz allgemein die Möglichkeit fossile Energieträger einzusparen. Dem gegenüber steht eine je nach Standort aufwendige Beschaffung, die erforderliche Ascheentsorgung und häufig die Notwendigkeit der Installation und Wartung durch fachkundiges Personal. Die einzelnen Holzpellets haben eine zylindrische Form mit gebrochenen Enden. Bei der Herstellung werden sie durch Stahlmatrizen in diese Form gepresst. Hierbei kommen in der Regel chemisch unbehandelte Resthölzer zum Einsatz. Durch die Gewinnung aus Abfallstoffen lassen sich Holzpellets kostengünstig produzieren. Die Produktionsmenge von Premiumpellets, die hauptsächlich in kleineren Anlagen ein- 13

14 gesetzt werden, betrug im Jahr , t [doering]. Pellets unterliegen europäischen Normen. Tabelle 1 stellt einige Spezifikationen aus der für die nicht industrielle Verwendung gültigen DIN EN zusammen, in der zusätzlich auch Grenzwerte für zum Beispiel Metallanteile enthalten sind. Tabelle 1: Spezifikation von Holzpellets D06 nach DIN EN (Auszüge) [en] Länge (mm) 3, 15 L 40 Durchmesser (mm) 6 ± 1 Wassergehalt (m-%) M10 10 Heizwert ( MJ ) Q16,5: 16, 5 Q 19 kg Kleinverbraucher werden in der Regel mit Silofahrzeugen beliefert, von denen aus per pneumatischer Förderung der Lagerraum befüllt wird. Der Weitertransport erfolgt häufig per Schnecke, durch die die Pellets in die Feuerungsanlagen gelangen. Diese sind meist vollautomatisch ausgeführt, so dass von der Beschickung bis zur Reinigung im Normalbetrieb kein Eingreifen notwendig ist. Zusätzlich muss die Regelung der Anlage in der Lage sein, auf schwankende Brennstoffeigenschaften, wie schwankende Größenverteilung der Pellets oder unterschiedliche Heizwerte, reagieren zu können. Abbildung 1 zeigt eine solche Anlage mit einer Nennwärmeleistung von 10 kw der Firma Fröhling. Diese kleine Anlage mit 0,38 m 2 Grundfläche ist für den Einsatz in Wohnhäuern mit geringem Energiebedarf konzipiert. Sie ist mit Regelungstechnik, wie zum Beispiel der Kontrolle des Sauerstoffgehalts mittels einer Lambdasonde, ausgestattet, die einen automatisierten Betrieb ermöglichen soll. 14

15 Abbildung 1: Schema Heizanlage Fröling P1 Pellet [froeling] 2.2 Strömungstechnische Grundlagen Erhaltungsgleichungen Die Sätze zur Erhaltung von Masse, Impuls und Energie sind grundlegende kontinuumsmechanische Gesetzmäßigkeiten, deren Nutzung eine Grundlage für Bilanzierungen von Prozessen liefert. Sie werden bei numerischen Berechnungen von Strömungen für jedes Kontrollvolumen des Rechengitters gelöst. Für die Erhaltung des Gesamt-Masse gilt die Kontinuitätsgleichung [kopitz]: ρdv + ρw i da i = 0 (1) t V V Der zweite Term auf der linken Seite beschreibt den konvektiven Transport von Masse durch die Strömung. Die Erhaltungsgleichung für den Impuls kann wie folgt ausgedrückt werden [kopitz]: ρw j w j dv + ρw j da j = σ ji da j + ρf j dv (2) t V V V V Der zweite Term auf der linken Seite beschreibt die Änderung des Impulses durch Konvektion. Durch die linke Seite der Gleichung werden auf das Kontrollvolumen einwirkende Kräfte berücksichtigt. Als Volumenkraft f j tritt oft die Schwerkraft auf. 15

16 Für die Energieerhaltung lässt sich folgender Zusammenhang anführen [kopitz]: ( ρudv + ρ u + p ) w i da i = t V V ρ V q i da i + V ωdv (3) Durch den zweiten Term auf der linken Seite wird der konvektive Enthalpie-Transport bestimmt und der erste Term der rechten Seite beinhaltet den Anteil der Wärmeleitung. Durch den letzten Term können externe Wärmequellen oder-senken berücksichtigt werden Dimensionslose Kennzahlen Strömungen können anhand von charakteristischen Kennzahlen in Bezug auf ihre Strömungsart und ihre Verhalten beim Wärmeübergang beschrieben werden. Durch dimensionslose Kennzahlen wird es möglich, unterschiedliche Strömungen miteinander zu vergleichen und gegebenenfalls Erkenntnisse zu übertragen. In diesem Kapitel werden die fünf in dieser Arbeit verwendeten Kenngrößen vorgestellt. Reynolds-Zahl Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Kennzahl und dient der Charakterisierung der Strömungsform. So lassen sich kritische Reynolds-Zahlen angeben, ab denen eine laminare Strömung turbulent wird. Auch der Grad der Turbulenz einer Strömung ist an der Reynolds-Zahl abzulesen. Re ist wie folgt definiert [herwig]: Re = ρu cl c η (4) L c steht für eine charakteristische Länge der um- oder durchströmten Geometrie. Durch den Einfluss der Trägheit und der Viskosität lassen sich mit Hilfe von Reynolds- Zahlen Versuchswerte auf andere Verhältnisse übertragen. Die Reynolds-Zahl gilt als die wichtigste Ähnlichkeitsgröße der Fluidmechanik [sigloch]. Prandl-Zahl Die Prandtl-Zahl setzt sich aus den Stoffwerten eines Fluid zusammen. Sie verknüpft 16

17 das Geschwindigkeitsfeld mit dem Temperaturfeld und ist wie folgt definiert [baehr]: P r = η c p λ (5) Nusselt-Zahl Die Nusselt-Zahl ermöglicht Aussagen über das Wärmeübergangsverhalten zwischen Fluid und einem angeströmten oder umströmten Körper. Dabei wird der örtliche Wärmeübergangskoeffizient α mit dem Temperaturfeld verknüpft. Die Definition der Nusselt-Zahl lautet [baehr]: Nu = αl 0 /λ (6) Bei quer angeströmten Zylindern kann als charakteristische Länge L 0 der Durchmesser verwendet werden [kopitz]. Péclet-Zahl Die Péclet-Zahl bechreibt das Verhältnis von konvektivem zu konduktivem Wärmeübergang. Sie kann als Produkt aus Reynolds- und die Prandl-Zahl augedrückt werden [baehr]: P e = Re P r = w 0ρc p L 0 λ (7) In Schüttungen lasen ich mit Hilfe der Péclet-Zahl Aussagen darüber treffen, welche Wärmeübergangsmechanismen die Gesamtwärmeübertragung dominieren. Es gilt, dass oberhalb einer kritischen Péclet-Zahl der Wärmeübergang durch dissipative Quervermischung dominiert wird. Zudem gilt, dass die kritische Péclet-Zahl von den Wärmeleitfähigkeiten einer Schüttung und des sie durchströmenden Fluids abhängt, so dass kein strömungsunabhängiger Wert für die kritiche Péclet-Zahl angegeben werden kann Grenzschicht-Theorie Bei Strömungen an Wänden muss berücksichtigt werden, dass an Wänden die Haftbedingung u = 0 m gilt. Verantwortlich für den Übergang von der Strömungsgeschwindigkeit in der wandfernen Schicht bis zum Wert von Null an der Wand ist die Vis- s kosität verantwortlich. Sie ist ein temperatur- und druckabhäniger Stoffwert, der 17

18 auch als Transporteigenschaft eines Fluids bezeichnet wird. Die Viskosität stellt im Elementargesetz der Fluid-Reibung den Proportionalitätsfaktor im Zusammenhang zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradient dar [herwig]: τ = η du dy (8) Eine Beschreibung des Strömungsverhaltens im Übergang von der Haftbedingung bis zur Geschwindigkeit der Strömung in wandfernen Gebieten liefert das Grenzschicht- Konzept. Nach diesem können Strömungen in zwei Bereiche aufgeteilt werden. In der sogenannten reibungsfreien Außenströmung kann der Einfluss der Viskosität vernachlässigt werden, während sie in der sehr viel kleineren Grenzschicht, die sich direkt an angeströmten Wänden bildet, berücksichtigt werden muss. In Abbildung 2 ist die Grenzschicht an einer ebenen Platte schematisch dargestellt. Dabei ist δ(x) die Grenzschichtdicke. Abbildung 2: Grenzschicht an einer ebenen Platte (schematisch) [grenzschicht] Grenzschichten können sowohl laminar als auch turbulent ausgebildet sein, wobei jede Grenzschicht zumindest einen laminaren Bereich aufweist. Ab einer kritischen Länge und einer kritischen Reynolds-Zahl erfolgt in einem Transitionsprozess ein Übergang zu einer turbulenten Ausprägung der Grenzschicht. Im Gegensatz zur einheitlichen laminaren Grenzschicht wird die Turbulent nochmals in zwei Bereiche aufgeteilt. Unmittelbar an der Wand liegt die viskose Unterschicht, in welcher der Einfluss der molekularen Viskosität dominiert. Im Außenbereich der Grenzschicht, der Defektschicht, erfolgt die Impulsübertragung hauptsächlich in Folge von unregelmäßigen, turblenten Schwankungsbewegungen [grenzschicht]. Zur Unterscheidung der Bereiche der turbulenten Grenzschicht dienen die Wandschichtvariablen u + und y +. Erstere ist ein dimensionsloses Geschwindigkeitsmaß 18

19 und y + ist der dimensonslose Wandabstand. Dieser wird in CFD-Anwendungen häufig für die Beurteilung von Rechengittern verwendet und wird im Folgenden vorgestellt. Dimensionsloser Wandabstand Die Definition des dimensionslosen Wandabstands y + lautet [herwig]: y + = u τ y ν (9) mit u τ = τw ρ (10) In CFD-Anwendungen liefert eine Betrachtung von y + -Werten Aussagen darüber, wie fein oder grob auflösend ein Rechengitter ist, da so bestimmt werden kann, wie nah die ersten Zellen des Gitters von einer Wand entfernt sind. Somit ist der dimensionslose Wandabstand durch Anpassungen des Rechengitters beeinflussbar. Wie Gleichung 9 zeigt, ist y + von der Geschwindigkeit abhängig und somit muss bei der Einstellung von gewünschten y + -Werten das Strömungsverhalten berücksichtigt werden. Nach [yplus] lässt sich das wandnahe Strömungsverhalten in drei y + -Bereiche einteilen: ˆ y + < 5: viskose Unterschicht ˆ 5 < y + < 30: Übergansbereich ˆ y + > 30 60: komplett turbulenter Bereich Bei der Modellierung von wandnahen turbulenten Strömungen gelten folgende Empfehlungen [ansys]: ˆ y + 30 bei Verwendung von Wandfunktionen ˆ y + 1 bei Modellierung des wandnahen Bereichs Untersuchungen von [yplus] zeigen, dass die Verwendung von y + -Werten ein passendes Kriterium darstellt, um eine dem Strömungsverhalten angemessene Gitterkonfiguration und ein passendes Turbulenzmodell zu wählen. 19

20 2.2.4 Umströmung von Einzelkörpern Ein Schüttung besteht aus vielen Einzelkörpern. Da Betrachtungen von Schüttungen oft aus Beobachtungen an Einzelkörpern abgeleitet werden, werden im folgenden einige Grundlagen zur Umströmung von Einzelkörpern dargestellt. Inwiefern diese Überlegungen auf durchströmte Schüttungen übertragbar sind, wird in Kapitel 2.4 diskutiert. Eine Größe zur Beschreibung des Strömungswiderstands von umströmten Körpern ist der Widerstandsbeiwert c w. Er ist wie folgt definiert [herwig]: c w = F W ρ (11) 2 u2 A c Dabei setzt sich der Gesamtwiderstand aus dem Druckwiderstand und aus dem Reibungswiderstand zusammen, wobei ersterer bei stumpfen Körpern, zu denen auch Zylinder zählen, überwiegt [grenzschicht]. Das Strömungsverhalten in direkter Nähe des Körpers wird oft von einer Grenzschicht geprägt, die bei hohen Reynolds-Zahlen auftritt. Innerhalb der Grenzschicht steigt die Strömungsgeschwindigkeit von 0 m s an der Körperwand bis zur Geschwindigkeit im freien Strömungsfeld an, wobei der Haupteinfluss auf das Strömungsverhalten in Reibungseffekten liegt. Zu erheblichen Auswirkungen auf das Strömunsgfeld kommt es bei der Ablösung von Grenzschichten. Dabei bilden sich hinter dem Körper Rückströmungen, da die durch Reibung verringerte kinetische Energie nicht mehr ausreicht, um gegen den ansteigenden Druck im hinteren Körperbereich anzuströmen. Dies führt dazu, dass die Strömungsgrenzschicht nicht mehr der Körperkontur folgen kann. Die Vorgänge hinter dem Körper sind sehr komplex, häufig instationär und schwierig zu beschreiben [herwig]. In Tabelle 2 sind Strömungsformen am Beispiel des umströmten Kreiszylinders dargestellt und Reynolds-Zahl-Bereichen zugeordnet. Es zeigt sich, dass die Umströmung gerade bei hohen Reynolds-Zahlen erheblichen Einfluss auf den Bereich hinter dem Zylinder hat und sich dort turbulentes Strömungsverhalten zeigt. 20

21 Tabelle 2: Strömungsbereiche beim Kreiszylinder [grenzschicht] Reynoldzahlbereich Strömungsprofil Re < Re < < Re < < Re < < Re < 105 1, , < Re < 3, , < Re 2.3 Simulationstechnische Grundlagen Simulationen ermöglichen die Abbildung realer Prozesse am Rechner. Dies ist vor allem deshalb relevant, da sich durch Simlationen die Anzahl von häufig aufwändigen Experimenten reduzieren lässt. Zudem ermöglichen sie Aussagen über die Vorgänge innerhalb eines Systems, da die berechneten Werte für jeden Bereich des Simulationsgebietes zur Verfügung stehen. Das Vorgehen bei CFD-Simulationen lässt sich in vier Arbeitsschritte unterteilen, die miteinander rückgekoppelt sind. Abbildung 3 zeigt dies schematisch. In dieser Arbeit wurden Programme der Firma ANSYS verwendet. Bei der Gittergenerierung kam das Meshing Tool ICEM zum Einsatz. ICEM verfügt über Werkzeuge, mit denen sowohl strukturierte als auch unstrukturierte Gitter erzeugt werden können und ermöglicht eine Vielzahl von Ausgabeformaten für unterschiedliche Solver. Die Simulationen wurden mit Fluent durchgeführt. Fluent verwendet unstrukturierte Gitter und die Finite-Volumen-Methode und verfügt über Modelle für eine große Anzahl an Strömungsphänomenen. Von diesen wurden im Rahmen dieser Arbeit die Energiegleichung, ein Turbulenzmodell und für einen Anwendungsfall das Modell 21

22 Abbildung 3: Arbeitsschritte einer numerischen Berechnung [NumStroeMech] für den Spezientransport genutzt Diskretisierung Strömungen können durch partielle Differentialgleichunegn beschrieben werden. In der Regel ist es allerdings nicht möglich, diese analytisch zu lösen, sodass es notwendig ist, numerische Näherungslösungen zu bestimmen. Hierfür kommen Diskretisierungsmethoden zum Einsatz, mit deren Hilfe die Differentialgleichungen durch algebraische Gleichungen approximiert werden. Die Approximationen werden auf kleine Gebiete im Raum und/oder der Zeit angewendet. Die Genauigkeit der numerischen Lösung hängt von der Qualität der verwendeten Diskretisierung ab [peric]. Die bedeutendsten Diskretisierungsmethoden sind die Finite-Volumen (FV)-, die Finite-Differenzen (FD)- und die Finite-Elemente (FE)-Methode, die bei sehr feinem Gitter alle zu gleichen Lösungen kommen [peric]. In dieser Arbeit wird die Finite-Volumen-Methode verwendet. Daher beschränkt sich die Beschreibung im Folgenden auch auf dieses Verfahren. Finite-Volumen-Methode Die Diskretisierung erfolgt bei der FV-Methode durch ein numerisches Gitter. Diese unterteilt das Lösungsgebiet in eine endliche Anzahl von Kontrollvolumina (KV), deren Ränder das Rechengebiet definieren. Als Startpunkt wird die Erhaltungs- 22

23 gleichung in Integralform verwendet. Diese hat für eine Größe φ die folgende Form [peric]: ρφv nds = Γ φ nds + S S V q φ dv (12) Darin stellen die beiden Flächenintegrale den konvektiven ( ρφv n ) beziehungsweise diffusiven (Γ φ n ) Flussvektor dar. Mit dem Volumenintegral werden von außen einwirkende Kräfte, wie zum Beispiel die Schwerkraft, und die Leistung dieser Kräfte abgebildet. Bei der Anwendung der Finte-Volumen-Methode werden diese Integrale approximiert. Eine Herleitung ist in [peric] zu finden. Die Variablenwerte werden im Rechenknoten der KVs, der meist im Schwerpunkt des jeweiligen KV liegt, berechnet. Die FV-Methode kann sowohl mit strukturierten als auch mit unstrukturierten Gittern verwendet werden und zeichnet sich durch vergleichsweise geringe Konvergenzprobleme aus. Eine große Stärke der Methode ist die Gewährleistung der Einhaltung der Erhaltungsgleichungen. Aus diesem Grund wird sie auch als inhärent konservatives Verfahren bezeichnet [sigloch]. Numerisches Gitter Das numerische Gitter definiert diskrete Punkte und ermöglicht hierdurch eine Darstellung des Lösungsgebietes. Dieses wird in eine finite Anzahl von im Falle der FV-Methode Kontrollvolumina unterteilt. Dabei entsprechen die Gitterpunkte nicht notwendigerweise den geometrischen Punkten. Es gibt zwei Grundtypen bei der Erstellung von Rechengittern. Es wird zwischen strukturierten und unstrukturierten Gittern unterschieden, die im Folgenden kurz vorgestellt werden. Der Schwerpunkt der Betrachtungen liegt auf den letzteren, da für die Simulationen dieser Arbeit ein unstrukturiertes Tetraeder-Gitter verwendet wurde. Strukturierte Gitter Strukturierte Gitter verfügen über eine einfache Gitterstruktur, die durch Sätze von Gitterlinien, die sich untereinander nicht schneiden, bestimmt werden, und die auch mit den Gitterlinien anderer Sätze jeweils nur einen Schnittpunkt haben. Jedes KV ist im dreidimensionalen Fall eindeutig durch 3 Indizes zu beschreiben. Die daraus ersichtliche einfache Datenstruktur zählt zu den Vorteilen der strukturierten Gitter, da dies zu guter Programmier- und Lösbarkeit führt. Als Nachteile gelten die 23

24 Schwierigkeit komplexe Geometrien abzubilden und lokale Verfeinerungen vorzunehmen, ohne die Gesamtzellenanzahl und damit den Rechenaufwand erheblich zu steigern [peric]. Eine Sonderform der regelmäßigen Gitter stellen die blockstrukturierten Gitter dar. Dabei wird das Lösungsgebiet in mehrere Blöcke unterteilt und in den einzelnen Blöcken jeweils strukturierte Gitter erzeugt. Hierdurch lässt sich den beiden oben genannten Nachteilen entgegenwirken. Allerdings ist es je nach Problemstellung anspruchsvoll die Erhaltungsgleichungen an den Blockgrenzen zu erfüllen. Unstrukturierte Gitter Die unstrukturierten Gitter sind der flexibelste Gittertyp und eignen sich daher besonders für die Verwendung bei komplexen Geometrien. Zudem ist es problemlos möglich das Gitter an Stellen, die von besonderem Interesse sind, lokal zu verfeinern. Hierbei können die Verfeinerungen auf kleine Gebiete begrenzt bleiben und so die Auswirkungen auf die Gesamtanzahl der Zellen beschränkt werden. Prinzipiell können unstrukturierte Gitter mit jeder Diskretisierungsmethode verwendet werden und die Zellen können die Form beliebiger Polyeder annehmen. In der Praxis ist im dreidimensionalen Fall die Verwendung von Tetraedern und Hexaedern am verbreitetsten. Es existieren erprobte Algorhytmen für die Generierung von unstrukturierten Netzen, von denen für diese Arbeit die Octree-Methode verwendet wurden. Der Nachteil von unstrukturierten Gittern besteht darin, dass für jede Zelle die sie umgebenen Knoten gespeichert werden müssen. Abbildung 4 zeigt dies anhand eines zweidimensionalen Beispiels. 24

25 Abbildung 4: Unstrukturiertes Dreiecks-Gitter mit Zuordnungsmatrix [uebung] Durch die Größe der zu verarbeitenden Datenmengen sind Solver für unstrukturierte Gitter in der Regel langsamer. Eine Möglichkeit der Verfeinerung in Wandnähe ist die Verwendung von Prismen- Schichten. Diese sind in der Wandfläche unstrukturiert und in wandnormaler Richtung strukturiert. Durch die Verwendung von Prismen-Schichten ist es besser möglich, die Strömungsvorgänge in Wandnähe abzubilden und kleine y + -Werte mit geringem numerischen Aufwand zu realisieren. Hierdurch sind genauere und schnellere Lösungen möglich, als dies mit einem sehr feinen Tetraeder-Gitter der Fall ist [icem user]. In [calis] wurden Tetraeder-Gitter mit Prismen-Schichten für Simulationen zum Druckverlust in Schüttungen verwendet. In dieser Arbeit wurden ebenfalls unstrukturierte Tetraeder-Gitter mit Prismen- Schichten verwendet, wobei sich die Generierung von Letzteren bei größerer Anzahl von Zylindern als schwierig herausstellte. Das genauere Vorgehen ist in den Kapiteln 3 und 4 beschrieben Qualitätskriterien Die Qualität des Rechengitters und seiner einzelnen Zellen spielt eine große Rolle bei der Genauigkeit und Stabilität von numerischen Lösungen. Für die Bestimmung der Qualität gibt es zahlreiche Kriterien, wobei zu berücksichtigen ist, dass das gewählte Maß an die Problemstellung und den verwendeten Solver angepasst werden sollte. Im Folgenden werden kurz einige generelle Überlegungen zur Gitter-Qualität sowie 25

26 die in dieser Arbeit verwendetet Qualitätskriterien näher vorgestellt. Allgemein Als minimales Kriterium für die Netzqualität kann gelten, dass alle Elemente fehlerfrei generiert werden. Zusätzlich lässt sich feststellen, dass durch eine gute Form und Größe kritische Fehler reduziert werden können [knupp quality]. Bei der Gittergenerierung kommen oft geometriebasierte Kriterien zum Einsatz. Dabei werden Form, Größe, Winkel und Seitenverhältnisse analysiert und Werten von idealen Zellen gegenüber gestellt. Es lassen sich schlechte Zellen identifizieren, die in einem weiteren Schritt verbessert werden können. Für diese Aufgabe stehen ähnlich der Generierung erprobte Algorhytmen für das so genannte Glätten zur Verfügung. Bei diesem Prozess wird versucht, durch das Verschieben von Knoten und lokaler Verfeinerung die Qualität der jeweils schlechtesten Zellen zu verbessern. Eine weitere Möglichkeit der Beurteilung der Gitterqualität sind algebraische Metriken. In [knupp jacobi] werden Bewertungsverfahren auf der Basis der Analyse von Jacobi-Matrizen entwickelt. Im Folgenden werden die Beschreibungen auf die in dieser Arbeit verwendeten Kriterien beschränkt. Laut [flu ug] haben die orthogonale Qualität, das Aspect Ratio sowie die Skewness einen erheblichen Einfluss auf die Genauigkeit der numerischen Lösung. Im Folgenden werden die Definitionen der drei Kriterien erläutert. Orthogonale Qualität Zur Bestimmung der orthogonalen Qualität werden für jede Zelle mehrere Quotienten berechnet, wobei der niedrigste Wert für die orthogonale Qualität der Zelle ausschlaggebend ist. Zum einen werden das Skalarprodukt aus dem Flächenvektor A i und dem Vektor vom Zellenmittelpunkt zur Zellfläche f i gebildet und durch das Produkt der Beträge beider Vektoren normiert [flu ug]: A i f i A i fi (13) Zusätzlich wird ein Quotient gebildet, bei dem statt f i ein Vektor c i verwendet wird, welcher aus den Zellenmittelpunkten der jeweiligen Zelle und der Nachbarzelle 26

27 Abbildung 5: Vektoren für die Bestimmung der orthogonalen Qualität [flu ug] gebildet wird [flu ug]: A i c i A i ci (14) Abbildung 5 zeigt die Lage der verwendeten Vektoren. Die so ermittelten Werte liegen zwischen Null und Eins, wobei höhere Werte bessere orthogonale Qualität bedeuten. Der Minimalwert sollte 0,01 nicht unterschreiten und der Durchschnittswert aller Zellen eines Rechengitters sollte deutlich darüber liegen [flu ug]. Aspect Ratio Durch das Aspect Ratio kann die Verformung einzelner Zellen des Rechengitters beschrieben werden. Dies wird durch das Verhältnis von zwei Strecken zueinander bestimmt. Dabei gibt es unterschiedliche Ansätze, welche Strecken miteinander verglichen werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurden zwei Kriterien verwendet, die im Folgenden erläutert werden. Beim ersten Ansatz werden die Strecken vom Mittelpunkt der Zelle zu den Mittelpunkten der Außenflächen und vom Mittelpunkt der Zelle zu den Eckpunkten der Zelle betrachtet. Der Maximalwert dieser Betrachtung wird zum Minimalwert ins Verhältnis gesetzt und als Aspect Ratio der Zelle ausgegeben. In Abbildung 6 ist die Bestimmung des Aspect Ratio am Beispiel eines Quaders gezeigt. Dieses Kriterium kann auf Zellen beliebiger Gestalt angewendet werden. 27

28 Abbildung 6: Bestimmung Aspect Ratio [flu ug] Bei der Auswertung des Aspect Ratio ist zu beachten, dass große Unterschiede zu den Werten der Nachbarzellen vermieden werden sollten. Über den beschriebenen Zusammenhang bestimmt Fluent den beim Qualitäts-Check ausgegeben Wert für das Aspect Ratio. Im User Guide von Version 12.0 wird als Maximalwert 35 bei Nutzung der Energiegleichung angegeben. An diesem Wert wurde sich bei der Gittergenerierung in dieser Arbeit orientiert. Eine andere Definition für Aspect Ratio wurde bei der Gittergenerierung mit ICEM genutzt. In ICEM wird als Qualitätskriterium für Tetraeder-Zellen ein Aspect Ratio verwendet. Bei diesem werden der Radius einer Kugel, die im Inneren des Tetraeders durch dessen Kanten begrenzt ist, mit dem einer Kugel, die durch die Eckpunkte des Tetraeder bestimmt ist, ins Verhältnis gesetzt. Nach dieser Definition ergibt sich ein Wert von Eins für eine Zelle mit bester Qualität und Werte nahe Null stehen für Zellen mit niedriger Qualität [icem help]. Skewness Die Skewness gehört zu den Kriterien, für die Fluent als Solver ausdrücklich Grenzwerte empfiehlt. Sie ist definiert als die Differenz zwischen der Form der zu untersuchenden Zelle und der Form einer gleichseitigen Zelle mit dem selben Volumen. Stark verdrehten Zellen wird ein erheblicher Einfluss auf die Stabilität und Genauigkeit der Lösung zugeschrieben. Bei der Verwendung von Tetraeder-Gittern gilt es, einen Wert von 0,95 nicht zu überschreiten. Zusätzlich ist zu beachten, dass die Mehrheit der Zellen des Rechengitters Werte aufweisen müssen, die deutlich darunter liegen [flu ug]. 28

29 2.3.3 Turbulenzmodellierung Da die meisten technisch interessanten Strömungen turbulent sind, sind Kenntnisse über turbulentes Strömungsverhalten von Bedeutung. Diese zeigen sowohl in der Längen- als auch der Zeitskala zum Teil große Schwankungen. Um diese Vorgänge exakt zu berechnen, sind sehr kleine Zellen notwendig. Dies resultiert in sehr feinen und von der Datenstruktur her sehr großen Rechengittern. Verfahren, die ein solches Vorgehen komplett oder für Teilbereiche des Strömungsgebietes umsetzen, wie die Direkte numerische Simulation oder die Large Eddy Simulation, sind in der Lage, sehr genaue Ergebnisse zu liefern. Allerdings erfordert das Lösen der Navier- Stokes-Gleichungen für alle Zellen eine erhebliche Rechenleistung. Daher kommen Simulationen dieser Art nur selten zum Einsatz und auch für die Simulationen im Rahmen dieser Arbeit erschien ein solcher Aufwand nicht angemessen. Als Alternative können Turbulenzmodelle eingesetzt werden. Bei deren Verwendung wird mit gemittelten Bewegungsgleichungen gearbeitet. Dadurch ist es möglich die Auflösung des verwendeten Rechengitters gröber zu wählen, wodurch sich die Rechenzeit verringert. Im Folgenden werden einige Turbulenzmodelle näher beschrieben, wobei der Blick auf Modelle mit Reynolds-gemittelten Navier-Stokes- Gleichungen (RANS-Modelle), die mit dem Konzept der Wirbelviskosität arbeiten, beschränkt. Das in dieser Arbeit verwendete K-ω -SST-Modell zählt zu dieser Gruppe. Reynolds gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen Die RANS-Modelle zur Turbulenzmodellierung beruhen auf der Verwendung von gemittelten Erhaltungsgleichungen. Hierbei wird die zeitliche Varianz als Teil der Turbulenz behandelt und die Strömungsgrößen werden als Summe aus einem zeitlich gemitteltem Wert und einer Schwankung um diesen beschrieben. Für stationäre Strömungen ergibt sich folgende Form [peric]: φ(x i, t) = φ(x i ) + φ (x i, t) (15) mit 1 T φ(x i ) = lim φ(x i, t)dt (16) T T 0 29

30 Durch Anwendung der Gleichungen 15 und 16 können gemittelte Erhaltungsgleichungen formuliert werden [peric]: Kontinuitätsgleichung: Impulsgleichung: (ρu i ) t (ρu i ) x i = 0 (17) + ( ) p ρui u j + ρu i x u j = + τ ij (18) j x i x j und für skalare Größen wie zum Beispiel der Energie: (ρφ) t + x j ( ρuj φ + ρu j φ ) = x j ( Γ φ ) x j (19) Die in den Gleichungen enthaltenen Terme ρu i u j und ρu i werden als Reynolds- φ Spannungen beziehungsweise als turbulenter Skalarfluss bezeichnet. Das Auftreten dieser Terme hat ein sogenanntes Schließungsproblem zur Folge, da in den gemittelten Erhaltungsgleichungen mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind. Es ist nicht möglich, ein geschlossenes System exakter Gleichungen herzuleiten. Zur Schließungen werden Approximationen eingesetzt, die meist auf Funktionen von gemittelten Größen und empirischen Parametern beruhen und Turbulenzmodelle genannt werden [peric]. Eine Möglichkeit Turbulenzen zu beschreiben, ist die Nutzung des Konzeptes der Wirbelviskosität. Diese beruhen auf der Boussinesq-Annahme, mit der die sechs Reynolds-Spannungen in einer Gleichung modelliert werden können. Für die Wirbelviskosität µ T gilt folgender Zusammenhang [oertel num stroe4]: ρu i u j = µ T ( ui + u ) j x j x i (20) Physikalische Voraussetzung für diesen Ansatz ist, dass die Turbulenz als isotrop angesehen werden kann. Die Modellierung kann nun auf die Wirbelviskosität beschränkt werden. Für die Modellierung werden zwei unabhängige Parameter benötigt, da nach der Turbulenztheorie die Turbulenz lokal durch zwei Parameter beschreibbar sein muss [oertel num stroe4]. Die Wahl der zur Beschreibung herangezogenen Parameter kann je nach Turbulenzmodell unterschiedlich sein. 30

31 Das in dieser Arbeit verwendete K-ω-SST-Modell gehört zur Gruppe der Wirbelviskositätsmodelle. Es stellt eine Weiterentwicklung vorhandener Turbulenzmodelle dar und aus diesem Grund werden im Folgenden zusätzlich die ihm zu Grunde liegenden Modelle kurz erklärt. Alle beschriebenen Ansätze sind Zwei-Gleichungsmodelle, da die Modellierung von zwei Transportgleichungen genauere Ergebnisse liefert als eine algebraische Annäherung und mit heutiger Rechenleistung gut implementierbar ist. K-ε-Model Das K-ε-Modell ist ein seit Jahren bekanntes und erprobtes Verfahren. Als Parameter für die Modellierung der Wirbelviskosität werden die turbulente kinetische Energie K und die Dissipationsrate ε verwendet. Für µ T gilt folgender Zusammenhang [oertel num stroe4]: K 2 µ T = ρc µ (21) ε Die Transportgleichungen für die kinetische Energie lautet [oertel num stroe4]: ρ K t + ρu i K x j ( u i ui = µ t x j x j + u ) j + [ µ K x i x j x j + µ ] t K ρ ε (22) σ k x j Darin enthält der erste Term auf der linken Seite die zeitliche Änderung der turbulenten kinetischen Energie sowie die Änderung des konvektiven Transports. Der erste Terme auf der rechten Seite ist der Produktionsterm, der zweite der Diffusionsterm und der dritte Term gibt die Disspiation wieder. Die Transportgleichung für die Dissipation ε hat die folgende Form [oertel num stroe4]: ε t + ρu ε ε j = C ε1 x j K µ u i t x j ( ) ui u j + [ µ ε µ ] t ε C ε2 ρ ε2 x j x i x j x j σ ε x j K (23) Analog zur Gleichung für die turbulente kinetische Energie enthält die Gleichung für ε einen Term für die Konvektion auf der linken Seite, einen Produktions- und eine Diffusionsterm sowie einen Term zur Beschreibung der Dissipation. Die Transportgleichungen enthalten Konstanten, für die empirisch ermittelte Werte vorliegen. Diese können wie folgt zusammengefasst werden [oertel num stroe4]: C µ = 0,09 C ε1 = 1,44 C ε2 = 1,92 σ k = 1,0 σ ε = 1,3 Die größte Schwäche des K-ε-Modells liegt in der Auflösung der Vorgänge in wandna- 31

32 hen Schichten. Es wird in der Praxis häufig verwendet, da es gut zu implementieren und robust ist. Diese Modell ist auch bei Simualtionen in Schüttungen verbreitet. Für die Berechnung der Vorgänge in den wandnahen Schichten werden in diesen Fällen Wandfuktionen eingesetzt. Beispiele hierfür sind Simulationen in Schüttungen von Kugeln beziehungsweise Zylindern in [dixon2004] und [taskinphd]. K-ω-Wilcox-Modell Ein alternativer Ansatz zur Turbulenzmodellierung ist das K-ω-Wilcox-Modell. Bei diesem wird als als Längenmaß die turbulente Frequenz ω = ɛ/k eingeführt. Mit l = K/ω gilt für die Wirbelviskosität [oertel]: µ t = ρ K ω (24) Auch hier lassen sich zwei Transportgleichungen für die kinetische Energie und die turbulente Frequenz formulieren. Sie haben die folgende Form [oertel]: und (ρk) t (ρω) t + x j (ρkū i ) = + x j (ρωu i ) = x j x j (( µ + µ t σ k ) ) K x i ( + 2ρS ij S ij 2 3 ρk u ) i δ ij ρkω (25) x i (( µ + µ ) ) t σ ω x i ( + γ 1 2ρS ij S ij 2 3 ρω u ) i δ ij β 1 ρω 2 (26) x j Die zugehörigen empirischen Modellkonstanten sind [oertel]: σ k = 2,0 σ ω = 2,0 γ 1 = 0,553 β 1 = 0,075 β = 2,0 Im Vergleich zum K-ε-Modell liefert das K-ω-Wilcox-Modell genauere Ergebnisse in wandnahen Regionen, allerdings bildet es Strömungen außerhalb der Grenzschicht schlechter ab. Daher ist es bei der Entscheidung zwischen den beiden Modellen wichtig im Vorhinein zu klären, für welche Bereiche der Strömung eine genaue Abbildung wichtiger ist. 32

33 K-ω-SST-Model Mit dem K-ω-SST-Modell werden die Stärken der beiden oben vorgestellten Turbulenzmodelle vereint und gleichzeitig der Einfluss ihrer Schwächen minimiert. Es besteht aus der Transformation des K-ε-Modells in ein K-ω-Modell in Wandnähe und einem K-ε-Modell im wandfernen turbulenten Außenbereich. Dabei verhindern Übergangsfunktionen numerische Instabilitäten durch mögliche Unstetigkeiten beim Übergangsbereich zwischen den beiden kombinierten Turbulenzmodellen [oertel]. Die Definition von µ t und die der Transportgleichung von K erfolgt analog zum K-ω-Wilcox-Modell [oertel]: und (ρk) t + x j (ρkū i ) = x j (( µ + µ t µ t = ρ K ω σ k + ) ) K x i ( 2ρS ij S ij 2 3 ρk u i δ ij x i Die Transportgleichung für ω hat die folgende Form [oertel]: (ρω) t + x j (ρωū i ) = x j (( µ + µ ) ) t ω σ ω,1 x j + γ 2 ( 2ρS ij S ij 2 3 ρω u i x i δ ij Es gelten folgende empirische Modellkonstanten [oertel]: ) (27) ) β ρkω (28) β 2 ρω ρ σ ω,2 K x k ω x k (29) α k = 1 σ ω,1 = 2 σ ω,2 = 1,17 γ 2 = 0,44 β 2 = 0,083 β = 0,09 Das K-ω-SST-Model gehört mittlerweile zum industriellen Standard. In einer vorhergehenden Arbeit ([amecke]) konnten mit diesem Modell gute Übereinstimmungen zur Literatur bei der Bestimmung des Widerstandsbeiwert (c w -Wert) festgestellt werden. In [baker] ist es auch bei der Simulation von Zylinderschüttungen zum Einsatz gekommen. 2.4 Schüttungen In Kapitel wurde kurz das Verhalten von umströmten Einzelkörpern beschrieben. In der Praxis interessiert allerdings häufig das Verhalten von mehreren Körpern. 33

34 Anordnungen entweder geregelte oder ungeregelte von Einzelkörpern werden als Schüttungen bezeichnet. Neben dem Einsatz bei Wärmeübergangsproblemen, wie zum Beispiel der Feuerung von Holzpellets, werden Schüttungen auch häufig in katalytischen Reaktoren eingesetzt. Dabei wird zwischen Reaktoren mit Festbetten und solchen mit Wirbelschichten unterschieden. Für Letztere ist charakteristisch, dass die Festkörper durch ein von unten strömendes Fluid aufgewirbelt werden. Bei Verbrennungsanlagen für Holzpellets kommen Festbetten zum Einsatz. Im Folgenden werden einige Kenngrößen zu Schüttungen eingeführt sowie auf Besonderheiten beim Einsatz von CFD-Werkzeugen eingegangen. Dabei ist vor allem auf die Modellierung von Kontaktpunkten von Partikel zu Partikel und Wand zu Partikel zu achten. Abschließend wird das Turbulenzverhalten in Schüttungen, auch in Bezug auf die Wahl eines geeigneten Turbulenzmodells, beschrieben Kenngrößen Für die Beschreibung von Schüttungen sind Angaben über die Form der Partikel, ihre Anordnung, Eigenschaften beim Wärmeübergang und den Behälter der Schüttung erforderlich. Im Folgenden werden die Kenngrößen einer Schüttung vorgestellt. Partikelform Die Einzelkörper, die eine Schüttung bilden, können eine Vielzahl an Formen annehmen. Aufgrund des Einsatzes bei Wärmeübertragung und katalytischen Reaktoren ist die spezifische Oberfläche a p eine wichtige Größe. Diese setzt sich sich aus der Oberfläche und dem Volumen von Partikel zusammen [kraume]: a p = A P V P = 6 d k (30) Für die gesamte Schüttung gilt folgender Zusammenhang [kraume]: a = A P Ges V PGes (31) Die Gleichungen 30 und 31 gelten nur für Kugeln und müssen für andere Partikelformen angepasst werden. Dies geschieht über die Bildungen eines charakteristischen Partikeldurchmessers d p, der als Durchmesser einer Kugel mit demselben Volumen 34

35 definiert ist. Es gilt [kraume]: d p = 6 V P A P (32) In Schüttungen mit Partikeln unterschiedlicher Größe, wie es in dieser Arbeit der Fall war, wird der sogenannte Sauter-Durchmesser d 32 als charakteristischer Partikeldurchmesser verwendet [kraume]: d 32 = n d 3 P i i=1 n d 2 P i i=1 (33) Porosität Bei jeder Anordnung von Einzelkörpern entstehen zwischen diesen Hohlräume. Als Kenngröße hierfür dient die Porosität ψ, die auch als Lückengrad bezeichnet wird. Hierbei werden das Volumen der Hohlräume, gebildet aus dem Gesamtvolumen der Schüttung V und dem Volumen V S aller Partikel, und das Gesamtvolumen ins Verhältnis gesetzt [tsotas]: ψ = V V s V Kenntnisse des Lückengrades lassen Rückschlüsse auf die Struktur einer Schüttung zu. Gleichung 34 liefert einen Mittelwert für die gesamte Schüttung. Bei genaueren Betrachtungen ist allerdings zu berücksichtigen, dass dieser ortsabhänig ist. Besonders in wandnahen Regionen ergeben sich hohe Lückengrade, die sich erst mit zunehmendem Abstand zur Wand dem errechneten Durchschnittswert annähern. Dies ist in Abbildung 7 für eine Kugelpackung dargestellt. (34) 35

36 Abbildung 7: Abhängigkeit des örtlichen Lückengrades ε lok vom bezogenen Wandabstand y/d p für Kugelschichten [kraume] Hydraulischer Durchmesser Wie in Kapitel beschrieben ist der hydraulische Durchmesser d h in der Regel durch die durchströmte Fläche und deren Umfang definiert. Bei der Betrachtung einer Schüttung gilt es, deren Höhe zu berücksichtigen. Daraus ergibt sich für die Bildung des hydraulischen Durchmessers d h von Schüttungen aus dem Verhältnis des durchströmten Volumen zur benetzten Oberfläche. Die Verwendung von Gleichung 32 ermöglicht eine Definition als Funktion des charakteristischen Partikeldurchmessers und dem Lückengrad. Es gilt [kraume]: d h = 2 ε 3 1 ε d P (35) Die für monodisperse Schüttungen entwickelte Gleichung kann durch Verwendung des Sauter-Durchmesser d 32 auch für Schüttungen mit Partikeln unterschiedlicher Größe angepasst werden. 36

37 Aspect Ratio Bei der Betrachtung einer Schüttung ist zusätzlich zu den Einzelkörpern auch die Betrachtung des Behälters entscheidend, um gegebenenfalls Ergebnisse auf andere Fälle übertragen zu können. Beim Aspect Ratio wird dabei der charakteristische Partikeldurchmesser zum Durchmesser des Füllbehälters ins Verhältnis gesetzt. Es gilt [baker]: A ratio = D (36) d p An Hand dieses Kriteriums können Schüttungen in die Kategorien hohes und niedriges Aspect Ratio eingeteilt werden, wobei eine Unterteilung bei A ratio = 50 vorgenommen wird [baker]. Nusselt-Zahl Die Nusselt-Zahl dient als Vergleichsgröße bei Wärmeübertragungsproblemen. Für durchströmte Schüttungen können Nusselt-Zahlen aus Betrachtungen von Einzelkörpern abgeleitet werden und es lassen sich durch empirisch ermittelte Formfaktoren Nusselt-Zahlen für Schüttungen anpassen. Entsprechende Formeln liegen zum Beispiel im VDI Wärmeatlas [vdi Waerme] vor. Allerdings gelten diese Korrelationen nicht für Zylinder mit einem Länge zu Durchmesser-Verhältnis größer als 1,2 und damit auch nicht für die Partikel der Schüttungen in dieser Arbeit. Daher konnte hier kein Bezug auf diese Korrelationen genommen werden Kontaktpunkte Die Berücksichtigungen von Kontaktpunkten der Partikel untereinander und von Partikeln mit der sie umgebenen Behälterwand führt zu Problemen bei der Erstellung von numerischen Rechengittern. Die Schwierigkeit liegt darin, dass bei solchen Kontaktstellen Zellen entstehen, die nicht eindeutig zugewiesen werden können, oder dass Zellen mit unendlich kleinen Kanten erzeugt werden. Dies führt zu Zellen mit schlechter Qualität und kann, wie in Kapitel beschrieben, Probleme in der numerischen Lösung verursachen. Bei der Verwendung von Kugeln als Schüttgut gibt es drei unterschiedliche Ansätze diese Problematik zu umgehen. Eine Möglichkeit ist die Verringerung der Kugeldurchmesser um 1 %, wie es in [calis] angewendet wird. Bei den anderen Varianten werden 37

38 die Durchmesser um 1 % vergrößert (vergleiche [guardo]) beziehungsweise werden Brücken zwischen den Kugeln angelegt. Letzteres ist in [kuroki] beschrieben. Diese drei Verfahren wurden in einer Diplomarbeit am LEAT [aver] miteinander verglichen. Es wurde gezeigt, dass für die Variante mit den verkleinerten Kugeln die beste Übereinstimmung mit Korrelationen zum Druckverlust erzielt werden kann. Auf Grund der Vorteile bei der Gitterqualität wurde abschließend eine Empfehlung für die Verwendung von Brücken ausgesprochen. Für diese Arbeit wurde dem Problem mit den Kontaktstellen durch Größenreduktion der Partikel entgegengewirkt. Als Grundlage für diese Entscheidungen dienten Simulationen von durchströmten Zylinderschüttungen in den Dissertationen [taskinphd] und [njimphd], in deren Gittern ebenfalls keine Kontaktpunkte zugelassen wurden Wärmeübertragung durch dissipative Quervermischung Grundsätzlich lassen sich die Mechanismen zur Wärmeübertragung in Schüttungen in zwei Kategorien einteilen. Unter der effektiven Wärmeleitung werden nach [tsotas] alle Übertragungswege von Partikel zu Partikel in Form von Strahlung und Feststoffbrücken sowie Wärmeleitung zwischen der festen und der fluiden Phase zusammengefasst. Die dissipative Quervermischung beruht auf der Ablenkung der Partikel quer zur Strömungrichtung. Durch diesen Mechanismus treffen fluide Massen aufeinander, die vor der Ablenkung nicht direkt benachbart waren. Abbildung 8 zeigt dies für die Modellvorstellung einer Flechtströmung. Abbildung 8: Modell zur Flechtströmung in einer durchströmten Schüttung [tsotas] 38

39 Die beiden beschriebenen Kategorien zur Wärmeübertragung beeinflussen sich gegenseitig im vernachlässigbaren Rahmen [tsotas]. Bei Betrachtung des Grenzfalls einer unendlich ausgedehnten Schüttung können die beiden Terme addiert werden [vdi Waerme]: 1 P e r = λ bed/λ f P e K r (37) mit P e r = u 0 ρ f c f d/λ r und K r = 8 (38) Dabei beschreibt der rechte Term den Anteil der dissipativen Quervermischung. Die Péclet-Zahl kann als Maß dienen, welche Art den Gesamtwärmeübergang dominiert, und es lässt sich eine kritische Péclet-Zahl definieren, die zur Orientierung dient. Es gilt [vdi Waerme]: P e 0,Cr = (λ bed /λ f )K r (39) Für P e 0 < P e 0,Cr ist die Wärmeleitung vorherrschend und für P e 0 > P e 0,Cr findet die Wärmeübertragung hauptsächlich durch dissipative Quervermischung statt. Bei der Berechnung der kritischen Péclet-Zahl ist zu beachten, dass es in der realen Strömung einen sich allmählich vollziehenden Übergang und keinen Umschlag bei P e 0,Cr gibt [vdi Waerme]. Das Phänomen der dissipativen Quervermischung gilt neben dem Wärme- in gleicher Form für den Stofftransport. Im Rahmen dieser Arbeit wurde das entwickelte CFD-Modell daraufhin untersucht, ob sich bei der Anwendung die Vorgänge der dissipativen Quervermischung abbilden lassen Strömungsverhalten Die für turbulente Strömungen typische Ausbildung von Wirbeln oder Wirbelstraßen, wie in Tabelle 2 dargestellt, wird in Schüttungen dadurch erschwert, dass diese auf nachfolgende Partikel treffen. Die in dieser Art deformierten Wirbel entstehen durch die Schubspannungen an den Partikelwänden sowie den Spannungen, die im Inneren des Fluids vorherrschen. Durch eine solche Dämpfung ist es sogar möglich, dass eine turbulente Strömung wieder eine laminare Form annimmt [baker]. Auch für Schüttungen lässt sich das Strömungsverhalten an Hand der Reynolds-Zahl einordnen, wobei häufig eine angepasste Form verwendet wird, in der die Porosität 39

40 der Schüttung berücksichtigt wird [vdi Waerme]: Re = vd p ψν (40) In den Arbeiten von [ziolkowska] werden drei Reynolds-Zahl-Bereiche angegeben. Unterhalb von Re = 10 ist die Strömung laminar, für 10 < Re < 300 wird ein Übergangsbereich von laminar zu turbulent angegeben und für Re > 300 wird eine voll ausgebildete turbulente Strömung angenommen. Die Bildung von Re nach Gleichung 40 stellt einen über die Schüttung gemittelten Wert dar. Es gilt zu beachten, dass lokal, zum Beispiel durch die erhöhte Porosität in Wandnähe, zum Teil erhebliche Abweichungen von diesem Wert auftreten können. In vielen realistischen Schüttungen ist es möglich, dass alle drei Strömungszustände in einer Strömung gleichzeitig auftreten. Gerade in Schüttungen mit niedrigem Aspect Ratio kommt es nicht zu einer voll ausgebildeten turbulenten Strömung [baker]. Da es also kaum möglich ist eine reine laminare Strömung festzustellen und zu garantieren, bietet es sich an, bei Simulationen in Schüttungen auf Turbulenzmodelle zurückzugreifen. Dies schlägt sich sowohl in den Arbeiten vieler Forschungsgruppen als auch in dieser Arbeit nieder. 40

41 3 Modellierung einer Schüttung aus 10 Zylindern Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines CFD-Modells zur Abbildung des Wärmeübergangs in einer Schüttung aus Zylindern. Der Schwerpunkt liegt in der Generierung eines Rechengitters, welches anschließend in Simulationen verwendet werden kann. Die Gittergenerierung ist ein entscheidender Schritt bei der Anwendung von CFD-Methoden, da die Qualität des Gitters erheblichen Einfluss auf die Simulationsergebnisse hat. Daher wurde die Qualität nach den in Kapitel beschriebenen Kriterien untersucht. Im Folgenden wird die Modellentwicklung für eine Schüttung bestehend aus 10 Zylindern beschrieben. Dabei wird zuerst auf die Geometrie eingegangen und anschließend werden die Randbedingungen für die Generierung der Rechengitter vorgestellt. Es wurden zwei unterschiedliche Ansätze für die Diskretisierung entwickelt und miteinander verglichen. Zusätzlich wurde seperat für jeden Ansatz untersucht, ob die erzielte numerische Lösung gitterabhängig ist. Hierfür wurden gröbere und verfeinerte Rechengitter erstellt und die Ergebnisse, die mit den unterschiedlichen Auflösungen des Strömungsgebiets erzielt wurden, verglichen. Die Gitter, die mit den beiden Ansätzen generierte wurden, erfüllten die geforderten Grenzwerte für die Qualitätskriterien und führten zu konvergierten Lösungen. Abschließend werden die Ergebnisse kurz zusammengeführt und in Hinblick auf die Modellierung einer größeren Schüttung bewertet. 3.1 Geometrie Für die Untersuchungen in dieser Arbeit wurde mit einer Diskrete Elemente Methode (DEM) eine Schüttung bestehend aus zehn Zylindern erzeugt und für diese Arbeit zur Verfügung gestellt. Hierfür wurde ein am LEAT entwickelter DEM-Code verwendet, der die Beobachtung der Bewegungen aller Partikel einer Schüttung ermöglicht. Es werden die Position, die Translations- und die Rotationsgeschwindigkeit durch die Berechnung der Kräfte, die durch die Kontakte von Partikeln untereinander und von Partikeln mit der Behälterwand entstehen, bestimmt. Dabei lässt diese Berechnung eine Überlappung der Partikel zu [hoehner]. Die Ausgabe des DEM-Codes beinhaltet Informationen über die Größe, Verdrehung 41

42 und Lage jedes einzelnen Zylinders. Aus diesen Daten wurden die Mittelpunkte der beiden Stirnflächen der Zylinder berechnet. In ICEM können Zylinder durch Angabe von diesen zwei Punkten und des Radiuses erzeugt werden. Zur Automatisierung dieser Aufgabe, gerade in Hinblick auf die Erzeugung von Schüttungen mit deutlich mehr Zylindern, wurde ein Code in der Programmiersprache ruby entwickelt, mit dem ein in ICEM ausführbares Skript erzeugt werden kann. Die Mittelpunkte der Zylinderstirnflächen werden aus einer.csv-datei eingelesen, wobei zusätzlich noch die Koordinaten für einen Punkt zwischen den beiden Mittelpunkten und eine Nummerierung übergeben wurden. Aus Ersterem wurde bei Ausführung des Skripts in ICEM ein Body innerhalb des Zylinders erzeugt und Letzterer zur Bezeichnung der Zylinder verwendet. Zusätzlich werden die Kurven der Flächen mit erzeugt, da dies vorteilhaft bei der Erzeugung von Tetraeder-Zellen ist. Der Quell-Code des Programms ist im Anhang zu finden. Wie in Kapitel ausgeführt, führen die Stellen, an denen sich die Körper einer Schüttung berühren, zu Problemen bei der Diskretisierung. Eine in der Literatur verbreitete Möglichkeit, dem entgegen zu wirken, ist die Reduzierung der Größe der Partikel, durch die kleine Zwischenräume geschaffen werden. Dieser Ansatz wurde auch in dieser Arbeit verwendet. Die Durchmesser der Zylinder wurden um 10 % von 0,006 m auf 0,0054 m reduziert. Die relativ große Veränderung war notwendig, da sich die mit dem DEM-Code erzeugten Partikel aufgrund des verwendeten Soft- Sphere Modells teilweise überlappt haben. Um die Zylinder herum wurde ein Behälter, durch den ein Fluid strömen konnte, mit den Abmessungen d = 0,042 m und l = 0,2 m konstruiert. Abbildung 9 zeigt die verwendete Geometrie. 42

43 Abbildung 9: Geometrie 10 Pellets 3.2 Räumliche Diskretisiserung des Kontrollvolumens Im nächsten Schritt wurde ein Rechengitter auf der Grundlage der in Abbildung 9 dargestellten Geometrie erzeugt. In Anbetracht der komplexen Geometrie wurde ein unstrukturiertes Gitter verwendet. Dabei kamen als Volumenzellen Tetraeder und an den Oberflächen Dreiecke zum Einsatz. Bei der Erzeugung des Gitters wurde das Robust(Octree)-Verfahren verwendet. Die Berechnung erfolgt nach dem Top-Down-Prinzip. Für die Generierung des Oberflächengitters wurden die Einstellungen All Tri und Patch Independent in ICEM verwendet. Als schwierigste Bereiche bei der Generierung des Rechengitters stellten sich, wie erwartet, die Bereiche in der Nähe der Kontaktpunkte zwischen den Partikeln dar. Diese berührten sich nicht, doch die Schwierigkeit besteht darin, in die kleinen Zwischenräume Zellen mit guter Qualität zu legen. Eine signifikante Verbesserung in Bezug auf die Qualität des Gitters konnte mit der Einstellung Curvature/Proximity Based Refinement erzielt werden. Deren Effekt ist eine geometriebasierte Anpassung des Rechengitters. Mit dieser Einstellung werden Krümmungen und eng beieinander liegende Flächen erkannt und daraufhin werden innerhalb der kleinen Zwischenräumen zusätzliche Zellen generiert. Bei den 43

44 Einstellungen für diese Option kann eine Anzahl an Zellen vorgegeben werden, die mindestens in jedem Zwischenraum erzeugt wird. Um die Anzahl der Zellen zu begrenzen und damit den numerischen Aufwand geringer zu halten, kann zusätzlich ein Grenzwert festgelegt werden. Dann werden durch den Octree-Algorhytmus keine Zellen erzeugt, die kleiner sind als dieser Wert 1. Tabelle 3 stellt die Parameter für das Curvature/Proximity Based Refinement zusammen, die bei der Gittergenerierung für die 10 Zylinder umfassende Schüttung verwendet wurden. Tabelle 3: Einstellung Curvature/Proximity Based Refinement 10 Pellets Min. size limit 10 5 m Elements in gap 5 Mit diesen Einstellungen ist es möglich Gitter zu erzeugen, die bei der Überprüfung keine Fehlermeldungen zeigten und mit einer beherrschbaren Anzahl an Zellen auskamen Parameter-Einstellungen Die Punkte des Rechengitters entsprechen zwar nicht notwendigerweise exakt denen der Geometrie, aber da es das Ziel ist, diese möglichst gut abzubilden, werden Einstellungen für das Rechengitter an den Oberflächen der Geometrie vorgenommen. Eine Möglichkeit solche Einstellungen vorzunehmen, ist das Part Mesh Setup von ICEM. Darin lassen sich für jeden Part Werte für die unterschiedlichen Parameter vorgeben. Diese Werte werden gegebenenfalls mit dem Global Element Scale Factor multipliziert. In Tabelle 4 sind die verwendeten Einstellungen zusammengestellt. Diese wurden sowohl für die Generierung von reinen Tetraeder-Gittern als auch für solche, in denen zusätzlich Prismen-Schichten an den Wänden erzeugt wurden, verwendet. Die zusätzlichen Einstellungen für die Prismen-Schichten werden später erläutert. Die Parameter für PELLET gelten für alle Zylinder der Schüttung. 1 Min. Size wird gegebenenfalls mit dem Global Element Scale Factor multipliziert. 44

45 Tabelle 4: Einstellung Part Mesh Setup 10 Pellets max. size [ m ] tetra size ratio FLUID 0,01 1,2 INLET 0,005 1,2 OUTLET 0,005 1,2 WAND 0,005 1,2 PELLET 0,0005 1,2 Mit diesen Einstellungen konnten zusammen mit denen für das Curvature/Proximity Based Refinement Gitter mit niedriger Auflösung in den Bereichen der freien Strömmung und am Ein- und Austritt berechnet werden. In dem Gebiet der Schüttung ist das Gitter durch eine große Anzahl an kleinen Zellen sehr fein unterteilt. Abbildung 10 zeigt das Gitter bei Verwendung der in Tabelle 4 aufgeführten Werte. Abbildung 10: Rechengitter 10 Pellets Die Darstellung zeigt das Gitter ohne die Verwendung zusätzlicher Prismen-Schichten. Im Folgenden werden beide Modelle mit und ohne Prismen-Schichten vorgestellt. 45

46 3.2.2 Gitter mit Prismen-Schichten Durch die Nutzung von Prismen-Schichten können in Wandnähe die Vorteile von strukturierten Gittern auch bei der Verwendung von Unstrukturierten genutzt werden. Da in einer vorhergegangenen Arbeit ([amecke]) gute Ergebnisse mit einem kombinierten Gitter aus Tetraeder und Prismen-Schichten bei der Umströmung von Einzelkörpern erzielt werden konnten, wurde dieser Ansatz auch bei der Gittergenerierung für die Schüttung angewendet. Einstellungen für die Erzeugung von Prismen-Schichten Neben den oben erwähnten Einstellungen im Part Mesh Setup beeinflussen noch einige weitere Parameter die Generierung von Prismen-Schichten. Tabelle 5 stellt die wichtigsten davon zusammen. Die nicht erwähnten Werte wurden auf den Standardeinstellungen belassen. Tabelle 5: Einstellungen für die Erstellung von Prismen-Schichten 10 Pellets Height Height Ratio Initial Height Growth law Anzahl 0 1,2 0 exponential 5 Mit der Einstellung von Height wird die Höhe der Prismen-Schichten festgelegt. Werden hier und zusätzlich bei der Initial Height für die Prismen-Schichten die Parameter gleich Null gesetzt, führt dies zu einer automatischen Berechnung der tatsächlichen Höhe auf Grundlage der Einstellungen für die Tetra Size der jeweiligen Oberfläche. Dies führt zu einem guten Übergang von Prismen-Schichten zu Tetraeder-Zellen [pereira]. Durch Verwendung dieser Parameter-Einstellungen wurde ein positiver Effekt auf das Qualitätskriterium Aspect Ratio in Fluent beobachtet. Darstellung Abbildung 11 zeigt einen Querschnitt des Rechengitters der Schüttung. Die Zylinder sind an den Stellen, an denen keine Zellen angezeigt werden, da in ihrem Inneren 46

47 keine Zellen erzeugt wurden. Die Abbildung wurde dem Fall Global Element Scale Factor gleich Eins entnommen. Abbildung 11: Querschnitt durch das Rechengitter mit Prismen-Schichten Es zeigt sich, dass die Auflösung zwischen den Pellets sehr fein ist und an den meisten Stellen zur Behälterwand hin abnimmt. An dieser sind die strukturierten Prismen-Schichten am besten zu erkennen. Dies liegt sowohl an ihrer Größe als auch an ihrer Ausrichtung zur Betrachtungsebene. Gitter-Qualität Zur Überprüfung ob die Simulationsergebnisse gitterunabhängig sind, wurde im weiteren Verlauf eine Gitterstudie durchgeführt. Für diese wurden gröbere und feinere Gitter erstellt und miteinander verglichen. Dabei wurde die bereits oben erwähnte Option Global Element Scale Factor genutzt, bei deren Verwendung ein Wert vorgegeben wird mit dem alle Größenangaben in Tabelle 4 multipliziert werden. In Tabelle 7 sind alle verwendeten Gitter mit Angaben zu Größe und Qualität zusammengestellt. 47

48 Tabelle 6: Qualität der Gitter mit Prismen-Schichten 10 Pellets Scale Faktor Zellenanzahl Orthogonale Qualität Aspect Ratio Skewness 2 1, ,5 33,9 0,93 1 2, ,57 31,48 0,93 0,75 3, ,57 28,28 0,94 0,5 6, ,59 29,49 0,95 Damit erfüllen alle verwendeten Gitter die in Kapitel vorgestellten Grenzwerte. Allerdings liegen die Werte für Skewness nur minimal unter beziehungsweise sogar auf dem Grenzwert. Auch das Aspect Ratio erfüllt die Anforderung für das gröbste Gitter nur knapp. Ausgesprochen gut sind die Werte für die orthogonale Qualität bei allen Gittern. Dies erhärtet die Hypothese, dass mit diesen Gittern realistische Ergebnisse zu erzielen sind Reines Tetraeder-Gitter Die in Tabellen 3 und 4 vorgestellten Einstellungen wurden auch bei der Erstellung des Tetraeder-Gitters verwendet. Darüber hinaus waren keine zusätzlichen Einstellungen nötig. Darstellung Bei diesem Ansatz wurde auf die Erzeugung von Prismen-Schichten verzichtet, sodass die Gitter nur aus Tetraeder- und Dreiecks-Zellen bestand. Für die Erzeugung sind die Einstellungen aus Tabelle 4 ausreichend. Abbildung 12 zeigt einen Querschnitt durch das Gitter im Bereich der Schüttung. 48

49 Abbildung 12: Querschnitt durch das Rechengitter reines Tetraeder-Gitter Der Querschnitt zeigt, dass die Tetraeder-Zellen sehr gleichmäßig angeordnet sind, wobei die meisten Zellen zwischen den Zylindern zu finden sind. Die zahlreichen Stellen an denen das Gitter lokal verfeinert ist, zeigt deutlich, dass die Stärke von unstrukturierten Gittern genutzt werden konnte. So sind die Verfeinerungen an den Stellen, an denen dies nötig ist, und gleichzeitig kann die Gesamtanzahl der Zellen kontrolliert werden. Der auffälligste Unterschied beim Vergleich der Gitter mit und ohne Prismen-Schichten sind die Bereiche an der Behälterwand und an den Zylindern. Dort zeigen sich im Querschnitt in Abbildung 11 Zellen mit der Form von länglichen Quadern. Diese sind an der Behälterwand besonders gut zu erkennen, finden sich aber auch den Wänden der Zylinnder. Diese Prismen-Schichten ermöglichen eine gute Auflösung der wandnahen Schichten bei einer im Vergleich zu einem reinen Tetraeder-Gitter geringeren Anzahl an Zellen 2. Gitter-Qualität Auch für die Verwendung von reinen Tetraeder-Zellen sollte überprüft werden, ob 2 Bei denselben Einstellungen (Scale Faktor 1): 2, (mit Prismen-Schichte) und 2, (reines Tetraeder) 49

50 sich die Simulationsergebnisse durch feinere oder gröbere Gitter beeinflussen lassen. In Tabelle 7 sind die verwendeten Gitter mit Angaben zu den Qualitätskriterien zusammengestellt. Tabelle 7: Qualität der reinen Tetraeder-Gitter 10 Pellets Scale Faktor Zellenanzahl Orthogonale Qualität Aspect Ratio Skewness 2 1, ,52 8,6 0,74 1 2, ,59 10,6 0,74 0,75 4, ,51 9,1 0,56 0,5 7, ,49 8,6 0,54 Alle verwendeten Gitter entsprechen den geforderten Qualitätskriterien und bleiben auch in Bezug auf den numerischen Aufwand in einem vertretbaren Rahmen. 3.3 Simulationsergebnisse Mit den oben erwähnten Rechengittern wurden Simulationen zum Wärmeübergang durchgeführt, wobei Fluent als Solver verwendet wurde. Im Folgenden werden die Randbedingungen der Simulationen beschrieben und anschließend die Ergebnisse getrennt nach Gittern mit und ohne Prismen-Schichten betrachtet. Daran anschließend werden beide Modell anhand von Kenngrößen miteinander verglichen Randbedingungen, Stoffdaten und Solver-Einstellungen Im Folgenden werden die Randbedingungen der Simulationen kurz vorgestellt. Bis auf den Massenstrom des Fluids am Eintritt wurden diese Werte konstant gehalten und sind somit für alle in diesem Kapitel beschriebenen Simulationen gültig. Als Fluid wurde Luft verwendet mit den Stoffwerten aus der Datenbank von Fluent 3. Dichte und dynamische Viskosität wurden als konstant angenommen. Dies ist für inkompressibele und isotherme Strömungen zulässig [peric]. Die Strömungen in dieser Arbeit waren nicht isotherm, und damit ist die Verwendung dieser Annahme 3 gültig bei einer Temperatur von 288,15 K und einen Druck von Pa 50

51 nicht vollständig richtig. Da es sich um Simulationen handelte mit denen ein neu entwickeltes Modell getestet werden sollte, wurde trotzdem mit konstanten Werten für Dichte und Viskosität gerechnet, da dies stabilere Lösungen ermöglichte. Tabelle 8 stellt die Einstellungen für Stoffdaten und die Randbedingungen vor. Tabelle 8: Stoffdaten und Randbedingungen 10 Pellets Stoffdaten Luft Dichte Wärmeleitfähigkeit spezifische Wärmekapazität dynamische Viskosität Randbedingungen 1,255 kg m 3 0,0424 W mk 1006,43 J 1, kgs 5 kg ms INLET PELLETs mass flow inlet Temperatur 300 K Turbulente Intensität 4 0,05 % Hydraulischer Durchmesser 0,42 m Gauge Druck 0 Pa wall Roughness Height 0 Roughness Constant 0,5 Temperatur 400 K Heat Generation Rate 0 W m 3 Es wurde ein druck-basierter Solver verwendet und mit dem SIMPLE-Schema gerechnet. Die Unter-Relaxions-Faktoren wurden für die Simulationen auf den Standard-Einstellungen belassen. Bei den Betrachtungen in den folgenden Kapiteln wird der Wärmeübergang bei unterschiedlichen Gittern anhand der Nusselt-Zahl verglichen. Bei den angegebenen Werten für die Nusselt-Zahlen ist zu beachten, dass diese über alle Pellets der Schüttung gemittelt sind. Bei der Bestimmung wird zuerst ein Wert für jedes einzelne Pellet, der über dessen Fläche gemittelt ist, berechnet und anschließend aus den 4 Ein Wert von 0,05 % sorgt für eine störungsfreie Anströmung [flu ug] 51

52 zehn so bestimmten Werten der Mittelwert gebildet. Bei der Bestimmung durch Fluent sind dabei zwei Referenzwerte für die Länge und die Temperatur von Bedeutung. Die eingestellten Werte sind Tabelle 9 zu entnehmen. Für die charakteristische Länge wurde der Durchmesser der Zylinder verwendet. Dies wird in [kopitz] für quer angeströmte Zylinder empfohlen. Die Referenzwerte haben in Fluent keinen Einfluss auf die Berechnungen während der Simulation, sondern werden ausschließlich im Post Processing verwendet. Tabelle 9: Referenzwerte Bildung Nusselt-Zahl Temperatur charakteristische Länge 300 K 0,0054 m Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten In den Simulationen wurden die oben zusammengestellten Gitter verwendet und als zusätzliches Kriterium der dimensionslose Wandabstand y + eingeführt. Da dieser strömungsabhängig ist, wird er durch die Simulationen bestimmt. Mit den unterschiedlich feinen Gittern soll eine optimale Auflösung gefunden werden, um sowohl das Strömungsproblem adäquat abzubilden als auch den Rechenaufwand so gering wie möglich zu halten. Zudem wurden Simulationen mit unterschiedlichen Massenströmen am Eintritt durchgeführt. Die Ergebnisse sind in den Tabellen 10, 11 und 12 zusammengestellt. Als Kenngröße für den Vergleich des Wärmeübergangs wurde die gemittelte Nusselt- Zahl mit den oben beschriebenen Referenzwerten verwendet. 52

53 Tabelle 10: Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten ṁ = 0, kg s Scale Faktor y + -Wert Nusselt-Zahl 2 1,17 3,48 1 0,8 3,45 0,75 0,64 3,44 0,5 0,46 3,44 Tabelle 11: Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten ṁ = 0, 0005 kg s Scale Faktor y + -Wert Nusselt-Zahl 2 1,66 4,94 1 1,2 4,9 0,75 0,93 4,88 0,5 0,73 4,86 Tabelle 12: Simulationsergebnisse mit Prismen-Schichten ṁ = 0, 0023 kg s Scale Faktor y + -Wert Nusselt-Zahl 2 4,3 12,3 1 3,4 11,79 0,75 2,66 11,66 0,5 2,1 11,57 Bei allen Massenströmen zeigt sich, dass die Nusselt-Zahlen bei Gittern mit kleinen y + -Werten niedriger werden. Allerdings sind die Unterschiede, die mit den feineren Gittern erzielt werden nicht sehr groß. Dies trifft vor allem auf die Fälle mit den kleinen Massenströmen zu. So weichen die Werte für die Nusselt-Zahl beim Fall ṁ = 0, kg s beim Vergleich der Scale Faktoren 2 und 0,5 nur um etwa 1 % voneinander ab. 53

54 Zudem zeigt sich, dass bei wachsendem Massenstrom mit den hier vorgestellten Gittern ein y + 1 nicht gewährleistet werden konnte. Eine Anpassung des y + -Wertes durch weitere Verfeinerung der Rechengitter war allerdings auf Grund der begrenzten zur Verfügung stehenden Rechenkapazität nicht möglich. Im Folgenden sind einige Betrachtungen zum Wärmeübergang zusammengestellt, wobei den Abbildungen die Daten der Gitter mit dem Scale Faktor gleich Eins zu Grunde liegen. Abbildung 13 zeigt das Temperaturprofil an der Stelle y = 0,21 m für die Massenströme ṁ = 0, kg s kg und ṁ = 0, s Abbildung 13: Temperaturprofil an der Stelle y = 0,21 m für unterschiedliche Massenströme 10 Pellets mit Prismen-Schichten Es zeigt sich eine ähnliche Temperaturverteilung in beiden Fällen. Dabei liegen die Bereiche höchster Temperatur direkt an den Zylindern und in deren Zwischenräumen. Zudem bildet sich ein Bereich mit höherer Temperatur im Gebiet hinter der Schüttung. Außerdem zeigt sich, dass in der Nähe der Behälterwand keine Temperaturerhöhung stattfindet und das Fluid dort somit unbeeinflusst von den wärmeren Zylindern ist. Das Fluid erwärmt sich bei niedrigerer Geschwindigkeit etwas stärker. Dies ist auf die längere Verweilzeit in der näheren Umgebung der warmen Zylinder zurückzuführen. Am deutlichsten zeigt sich dies im Bereich zwischen den Zylindern. Neben der Temperatur wurde die Wärmestromdichte betrachtet, die den Wärmestrom pro Fläche quantifiziert. In Abbildung 14 sind die Wärmestromdichten dar- 54

55 gestellt. Es wurden dieselben Massenströme miteinander verglichen wie bei den Betrachtungen der Temperatur. Es fällt auf, dass bei beiden Fällen die Wärmestromdichten im unteren Bereich deutlich größer sind. Der Grund hierfür ist, dass das Fluid bei Erreichen der hinteren Bereiche der Schüttung bereits erwärmt ist, und somit die Temperaturdifferenzen zwischen Zylindern und Fluid kleiner oder sogar gleich Null ist. Zudem zeigt sich, dass die Wärmestromdichte mit zunehmendem Massenstrom größere Werte annimmt. Abbildung 14: Wärmestromdichte an den Zylinderwänden 10 Pellets mit Prismen- Schichten Außerdem ist ersichtlich, dass an den Kanten der Körper die höchsten Werte auftreten. Dieses Verhalten konnte auch bei umströmten Einzelkörpern beobachtet werden. Hierfür wurde mit dem Rechengitter aus [amecke] eine Simulation mit denselben thermischen Randbedingungen durchgeführt. Diese wurde mit einer Anströmgeschwindigkeit von 1,58 m durchgeführt und es wurde ein s y+ < 1 eingehalten. Abbildung 15 zeigt die Verteilung der Wärmestromdichten für einen einzelnen quer angeströmten Zylinder. Dabei ist die Strömungsrichtung die positive x-richtung. 55

56 Abbildung 15: Wärmestromdichte am umströmten Einzelkörper Es zeigt sich, dass die maximalen Werte für die Wärmestromdichte auch beim umströmten Einzelkörper an den Kanten des Zylinders liegen. Zudem zeigen sich höhere Wärmestromdichten an den angeströmten Flächen. Die festgestellte Übereinstimmung kann als Indiz dafür gelten, dass sich das Strömungsverhalten mit dem Modell für die Schüttung gut abbilden lässt Simulationsergebnisse bei der Verwendung des reinen Tetraeder-Gitter Auch die Simulationen mit dem reinen Tetraeder-Gitter wurden mit unterschiedlichen Massenströmen durchgeführt. Die Ergebnisse für die Nusselt-Zahl sowie die y + -Werte sind in den folgenden Tabellen für die beiden Massenströme ṁ = 0,00026 kg s und ṁ = 0,0005 kg s zusammengestellt: Tabelle 13: Simulationsergebnisse, reines Tetraeder-Gitter ṁ = 0, kg s Scale Faktor y + -Wert Nusselt-Zahl 2 1,91 3,53 1 1,11 3,48 0,75 1,01 3,46 0,5 0,67 3,44 56

57 Tabelle 14: Simulationsergebnisse, reines Tetraeder-Gitter ṁ = 0, 0005 kg s Scale Faktor y + -Wert Nusselt-Zahl 2 2,81 5,11 1 1,7 4,99 0,75 1,44 4,94 0,5 1,03 4,9 Die ermittelten Werte für die Nusselt-Zahlen ändern sich nur unwesentlich mit der Gitterauflösung. Aus dieser Beobachtung kann gefolgert werden, dass die gewählte Auflösung in der Lage ist das Strömungsproblem adäquat abzubilden. Das Gitter mit dem Scale Faktor 1 zeigt nur eine Abweichung von etwa 1 % zum feinsten Gitter. Es kann daher als ausreichend detailliert angesehen werden, und es stellt einen guten Kompromiss zwischen Genauigkeit und der zur Verfügung stehenden Rechenkapazität dar, da es im Vergleich zum feinsten Gitter weniger als die Hälfte der Zellen aufweist. Für weitere Betrachtungen des reinen Tetraeder-Modells wurden das Temperaturprofil und die Wärmestromdichte ausgewertet. Abbildung 16 zeigt einen Vergleich der Temperaturprofile für die beiden Massenströme. Abbildung 16: Temperaturprofil an der Stelle y = 0,21 m für unterschiedliche Massenströme 10 Pellets reines Tetraeder-Gitter 57

58 Im Vergleich mit Abbildung 13 zeigen sich kaum Unterschiede im Verlauf, so dass die für die Gitter mit Prismen-Schichten ausgeführten Punkte auch hierfür gelten. Da dies für die Wärmestromdichte ähnlich ist, wurde auf eine Darstellung dieses Verlaufs verzichtet. Im folgenden Kapitel wird näher auf die Unterschiede beziehungsweise Gemeinsamkeiten zwischen den Gittern mit und denen ohne Prismen-Schichten eingegangen Vergleich der Simulationsergebnisse der beiden Gitter Im Folgenden werden die beiden Ansätze der Gittergenerierung, mit und ohne Prismen-Schichten, miteinander verglichen. Betrachtet werden die Nusselt-Zahl im Zusammenhang mit den y + -Werten sowie Verläufe der Temperatur, der Geschwindigkeit und der Wärmestromdichten. In den Tabellen des Kapitels 3.3 sind die Nusselt- Zahlen und y + -Werte für beide Gitter zusammengestellt. Tabelle 15 nutzt dieselben Werte und stellt die Abweichungen der Nusselt-Zahlen von beiden Modellen gegenüber. Tabelle 15: Nusselt-Zahl-Abweichungen mit und ohne Prismen-Schichten Scale Faktor Nu mit Prismen Nu ohne Prismen Abweichung (%) ṁ = 0, kg s 2 3,48 3,53 1,65 1 3,45 3,49 0,84 0,75 3,44 3,46 0,59 0,5 3,438 3,441 0,085 ṁ = 0, 0005 kg s 2 4,94 5,11 3,14 1 4,90 4,99 1,87 0,75 4,88 4,94 1,18 Es zeigt sich, dass sich bei entsprechend hoher Auflösung nahezu identische Werte für die Nusselt-Zahl berechnen lassen. Auffällig ist, dass die Abweichungen bei größerem Massenstrom höher ausfallen. Wenn als Kriterium nicht mehr der Scale 58

59 Faktor, sondern der dimensionslose Wandabstand y + betrachtet wird, ergeben sich quasi identische Werte. Dies begründet auch die höheren Abweichungen bei größerem Massenstrom, da die erhöhte Geschwindigkeit dann einen Einfluss auf den y + -Wert hat. Allerdings weichen die Werte für die Nusselt-Zahl bei den hier verwendeten Massenströmen generell nur wenig voneinander ab. In den folgenden Darstellungen werden für die beiden Modelle mit und ohne Prismen- Schichten die Temperatur- und Geschwindigkeitsverläufe miteinander verglichen. Dabei werden jeweils die Verläufe der Fälle von ṁ = 0, kg s bei einem Scale Faktor von 0,75 betrachtet. Die Wahl gründet sich darauf, dass bei diesen Gittern ein y + nahe/kleiner Eins vorlag und damit der Empfehlung nach [ansys] für die Modellierung des wandnahen Bereiches entspricht. Abbildung 17 zeigt die Verläufe der Temperaturen, wobei die Darstellung auf den Bereich der Schüttung begrenzt wurde. Abbildung 17: Temperaturprofil an der Stelle y = 0,21 m mit und ohne Prismen- Schichten Es zeigt sich ein nahezu identischer Verlauf für beide Gittertypen. Dieses Verhalten zeigt sich auch bei den Betrachtungen der Geschwindigkeitsprofile. Sie sind in Abbildung 18 dargestellt: 59

60 Abbildung 18: Geschwindigkeitsprofil an der Stelle y = 0,21 m mit und ohne Prismen-Schichten 3.4 Auswertung Die Ausführungen haben gezeigt, dass sich mit beiden Konzepten, der Verwendung von Prismen-Schichten und dem Verwenden eines reinen Tetraeder-Gitters, in Bezug auf die Nusselt-Zahl ähnliche Ergebnisse erzielen lassen. Dabei liegt die Stärke des erstgenannten Modells darin, dass sich niedrigere y + -Werte realisieren lassen. Dies ermöglicht Simulationen mit größeren Massenströmen, wenn durch eine Modellierung des wandnahen Bereichs ein y + 1 gefordert ist, wie es beim K-ω-SST-Model der Fall ist. Die Stärke des reinen Tetraeder-Gitters ist seine im Vergleich hohe Qualität bei den untersuchten geometrischen Kriterien. Hohe Gitterqualität ist eine Voraussetzung für genaue und stabile Lösungen. Hier ist das Tetraeder-Modell zu bevorzugen, da es größere Abstände zu den in Kapitel ausgeführten Grenzwerten besitzt. Eine zusätzliche Beobachtung ist, dass sich auch mit y + -Werten bis ungefähr Zwei nur sehr geringe Abweichungen der Nusselt-Zahlen gezeigt haben. 60

61 4 Modellierung einer Schüttung aus 100 Zylindern Die im vorherigen Kapitel beschriebene Schüttung aus 10 Zylindern diente als Grundlagenarbeit für die Entwicklung eines CFD-Modells für eine größere Schüttung mit 100 Zylindern. Durch den geringeren Rechenaufwand bei der Modellierung von 10 Zylindern liessen sich unterschiedliche Einstellungen einfacher und schneller ausprobieren und miteinander vergleichen. Diese Erfahrungen wurden dann auf die große Schüttung übertragen. Dieses Kapitel beschreibt die Entwicklung eines Modells für eine Schüttung bestehend aus 100 Zylindern. Es wird zunächst die Geometrie vorgestellt und anschließend das Vorgehen bei der räumlichen Diskretisierung beschrieben. Abschließend wird das verwendete Modell mit den vorgenommenen Einstellungen und der erzielten Gitterqualität sowie einige Simulationsergebnisse vorgestellt. 4.1 Geometrie Für das weitere Vorgehen wurde mit dem DEM-Code eine Schüttung bestehend aus 100 Zylindern generiert und mit Hilfe des in Kapitel 3.1 vorgestellten ruby- Programms in ICEM importiert. Auch hier waren aus unterschiedlichen Gründen Anpassungen der Zylinder notwendig. Diese werden zusammen mit ihren Ausführungen in Kapitel 4.2 genauer erläutert. Als Kontrollvolumen wurde ein zylinderförmiger Behälter gewählt. Dieser hatte einen Durchmesser von 0,061 m und eine Länge von 0,2 m. Den Pellets wurde jeweils ein eigener PART zugewiesen, genauso der Wand und dem Ein- und Austritt. Abbildung 19 zeigt die generierte Schüttung. 61

62 Abbildung 19: Geometrie 100 Pellets Der Behälter wurde so konzipiert, dass es einen relativ kurzen Vorlauf gibt, in dem sich das Geschwindigkeitsprofil der Anströmung ausbilden kann. Der Bereich hinter der Strömung ist länger ausgeführt, damit das die Strömungsverhalten, das durch die Schüttung beeinflusst wird, ausreichend aufgelöst wird. Insbesondere mögliche Rückströmungen sollen berücksichtigt werden. Die abgebildete Geometrie dient als Grundlage für die Diskretisierung. 4.2 Anpassung der Modelle für die Schüttung aus 10 Zylindern Bei der Erstellung des Gitters wurden die Verfahren, die an der kleinen Schüttung erprobt wurden, umgesetzt. Allerdings konnte keiner der beiden Ansätze aus Kapitel 3 unverändert auf die große Schüttung übertragen werden. Dabei war die Erstellung eines Gitters mit Prismen-Schichten für eine Schüttung bestehend aus 100 Pellets gar nicht möglich, da die geforderten Grenzwerte für die Gitterqualität nicht eingehalten werden konnten. Auch die Verwendung eines reinen Tetraeder-Gitters war erst durch zusätzliche Anpassungen möglich. Im Folgenden werden drei Probleme und der Umgang mit ihnen vorgestellt, die für die Generierung des Rechengitters entscheidend waren. Zum einen musste die Anzahl der Zellen kontrolliert werden (siehe Abschnitt Wall Thickness) und zum anderen durfte die Qualität des Rechengitters die vorgestellten Grenzwerte nicht verletzen. 62

63 Zudem musste sichergestellt werden, dass das Oberflächengitter durchgängig erzeugt werden konnte (siehe Abschnitt Länge und Durchmesser) Wall Thickness Bei den ersten Durchläufen von Octree mit den Einstellungen, die aus Kapitel 3 übernommen wurden, wurde eine sehr große Anzahl an Zellen erzeugt 5. Dabei überschritt die Größe des Rechengitters die Grenze des mit der vorhandenen Rechenleistung 6 lösbaren Rahmens. Die hohe Anzahl an Zellen war auf die Verwendung der Einstellung Curvature/ Proximity Refinement zurückzuführen, da bei deren Anwendung eine sehr hohe Zellendichte innerhalb des Bereichs der Schüttung erzeugt wurde. Eine von ICEM mitgelieferte Funktion, die in einem solchen Fall die Anzahl der Zellen kontrollieren soll, ist das sogenannte Ignore Wall Thickness. Diese kann eine zu starke Verfeinerung bei der Generierung von Zellen in den Zwischenräumen verhindern. Damit werden nur noch die Bereiche der Kanten der nah beieinander liegenden Wände feiner aufgelöst und nicht das gesamte angrenzende Gebiet. Als Resultat werden größere Zellen erzeugt, die auch nicht mehr erzwungenermaßen alle gleich groß und regelmäßig angeordnet sind. Infolgedessen kann die Verwendung von Ignore Wall Thickness zu Zellen mit niedriger Gitter-Qualität führen. Dies musste allerdings in Kauf genommen werden, da nur mit den so erstellten Gitter Simulationen in realistischem Aufwand durchführbar waren. Der Einfluss des Ignore Wall Thickness auf die numerische Lösung wurde anhand einer Vergleichsrechnung der kleinen Schüttung untersucht. Dabei wurde ein reines Tetraeder-Gitter erstellt und für ṁ = 0, kg s eine Simulation durchgeführt. Für die Nusselt-Zahl wurde eine Abweichung zum Gitter mit denselben Einstellungen ohne Ignore Wall Thickness von etwa 1 % festgestellt. Dies wurde als Rechtfertigung dafür angesehen diese Funktion im weiteren Verlauf zu verwenden Gitter-Qualität Bei der Erzeugung der Prismen-Schichten wurden schon während des Octree-Verfahrens Fehlermeldungen und Warnungen ausgegeben. Die Schwierigkeit war, in den 5über Tetraeder-Zellen 6 8 GB RAM, 2,83 GHz (Quad Core) 63

64 kleinen Zwischenräumen sowohl Tetraeder als auch Prismen-Schichten zu erzeugen. Dabei konnten die Größenverhältnisse von der einen zur nächsten Zelle nicht gleichzeitig für die Prismen-Schichten und die Tetraeder eingehalten werden. Diese Schwierigkeiten waren bei der Behandlung der kleinen Schüttung nicht aufgetreten. Ein Grund hierfür war, dass durch die oben beschriebene Anwendung der Ignore Wall Thickness Option die Tetraeder nicht mehr klein genug waren, um zusammen mit den Prismen-Schichten in die Zwischenräume zu passen. Zusätzlich konnten auch bei den Gittern, die ohne Fehlermeldung erzeugt wurden und Prismen-Schichten enthielten, die geforderten Qualitätskriterien nicht eingehalten werden. Dabei waren die Zellen, die von ICEM als Zellen mit schlechter Qualität 7 markiert wurden, über den gesamten Bereich der Schüttung verteilt, so dass eine lokale Anpassung nicht sinnvoll erschien. Zudem konnten sowohl für die Skewness als auch das Aspect Ratio die in Kapitel vorgestellten Maximalwerte nicht eingehalten werden. Aus diesen Gründen war die Verwendung von Prismen- Schichten in den Rechengittern der großen Schüttung nicht möglich. Als Alternative wurde in Kapitel 3 die Verwendung von reinen Tetraeder-Gittern vorgestellt. Diese zeigten auch bei der kleinen Schüttung bessere Werte bei der Auswertung der Qualitätskriterien auf. Mit diesem Ansatz war es möglich, Gitter mit der geforderten Qualität zu erzeugen. Um zu zeigen, dass bei der Verwendung eines reinen Tetraeder-Gitters qualitativ vergleichbare Ergebnisse erzielt werden können, wurde eine Vergleichsrechnung durchgeführt. Als Vergleichswert diente eine vorhergegangene Arbeit. In [amecke] wurde der c w -Wert von querangeströmten Zylindern durch CFD-Simulationen bestimmt. Es kam ein Tetraeder Gitter mit Prismen-Schichten zum Einsatz und es wurden übereinstimmende Ergebnisse mit einer anderen CFD-Arbeit sowie Literaturangaben erzielt. Bei denselben Randbedingungen zeigten die Vergleichsrechnungen Abweichungen im Bereich unter 3 % zu den in [amecke] ermittelten c w -Werten. Durch diese zusätzliche Betrachtung wurde bestätigt, dass unter den gegebenen Bedingungen mit reinen Tetraeder-Gittern ähnliche Ergebnisse erzielt werden können. Für die folgenden Simulationen wurden nur aus Tetraedern bestehende Gitter verwendet, da diese gute Ergebnisse erzielten und es nur damit im Rahmen dieser 7über 2000 Zellen mit einem Wert kleiner 0,2 bei dem Kriterium Quality 64

65 Arbeit möglich war, die Anforderungen an die Qualität der Gitter zu erfüllen Anpassung von Durchmesser und Länge Wie bei der Beschreibung des Modells der kleinen Schüttung ausgeführt, war es nötig, die Geometrie der einzelnen Zylinder zu beeinflussen um gültige Rechengitter zu erhalten. Eine Möglichkeit der Anpassung stellt der Durchmesser dar. Dieser wurde reduziert, um zu gewährleisten, dass an den Zylinderoberflächen und in den Zwischenräumen Zellen erzeugt werden konnten. Abbildung 20 zeigt das Oberflächen- Gitter eines Zylinders für einen Fall, in dem der Durchmesser nicht ausreichend verkleinert wurde. Abbildung 20: Unvollständiges Oberflächengitter an einem Zylinder Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass an mehreren Stellen des Zylinders keine Zellen generiert wurden. Das Vorhandensein solcher Bereiche macht das gesamte Gitter unbrauchbar, da gerade das wandnahe Verhalten von entscheidender Bedeutung bei der Umströmung und beim Wärmeübergang ist. Da es sich nicht um ein Einzelphänomen handelte, wurde, um dem entgegen zu wirken, wie schon bei der kleinen Schüttung, der Durchmesser von allen Zylindern reduziert. Durch den ruby-code war es möglich, mit geringem Aufwand Schüttungen zu erzeugen, deren Zylinder unterschiedliche Durchmesser aufwiesen. Durch Beobachtungen der Oberflächen und unterstützt durch die Gitter-Überprüfung von ICEM wurde eine minimale Reduzierung des Durchmessers bestimmt, mit der gleichzeitig ein 65

66 gültiges Gitter erzeugt werden konnte. Der im weiteren Verlauf verwendete Durchmesser der Pellets betrug 0,0054 m. Dies entspricht einer Verkleinerung von 10 % und stellte die kleinstmögliche Reduzierung dar, mit der in dieser Arbeit fehlerfreie Rechengitter erzeugt werden konnten. Im Rahmen einer Gitterstudie wurden auch Gitter untersucht, in denen die Durchmesser der Zylinder um 15 % beziehungsweise 20 % verkleinert wurden. Die Ergebnisse dieser Simulationen sind in Kapitel beschrieben. Die zweite Möglichkeit der Anpassung ist die Veränderung der Länge der Zylinder. Abbildung 21 zeigt ein Beispiel, das eine Reduzierung der Länge erforderlich machen kann. Abbildung 21: Überlappende und angrenzende Zylinder Dabei sind sowohl das Überlappen von zwei Zylindern als direkte Kontaktstellen problematisch bei der Gittergenerierung. Das Überlappen der Zylinder lässt sich nicht in jedem Fall durch eine Reduzierung der Durchmesser verhindern. Da nicht alle Zylinder der Schüttung dieses Verhalten zeigten, wäre es eine Möglichkeit gewesen nur einzelne Zylinder zu manipulieren. Allerdings stellte sich heraus, dass die Anzahl doch hoch genug war, um ein solches Vorgehen zu vermeiden. Eine Untersuchung von unterschiedlich stark veränderten Zylindern ergab, dass eine Reduzierung der Zylinderlängen um 5 % ausreichend für gute Gitterqualität ist. Es musste lediglich ein Zylinder von Hand zusätzlich verkleinert werden. Bei weiterer Verkleinerung konnte keine signifikante Verbesserung der Gitterqualität mehr erreicht werden. 66

67 Eine ausschließliche Anpassungen der Zylinderlängen ermöglichte keine Generierung von Gittern mit ausreichend hoher Qualität. Diese wurde zusätzlich zur oben beschriebenen Reduzierung der Durchmesser vorgenommen. 4.3 Räumliche Diskretisierung Im Folgenden wird das in dieser Arbeit entwickelte Modell vorgestellt. Die Vorstellung umfasst die vorgenommenen Einstellungen für die Erstellung, einige Abbildungen sowie die erzielte Gitterqualität. Zudem werden einige Simulationsergebnisse vorgestellt, deren Auswertung Auswirkungen auf die Wahl der Gitter-Konfiguration hatte Einstellungen Mit dem Octree-Algorhytmus wurde ein Rechengitter aus Tetraeder- und Dreiecks- Zellen erzeugt. Die vorgenommenen Einstellungen sind in Tabelle 16 zusammen gestellt. Tabelle 16: Einstellung Gittergenerierung 100 Pellets Part Mesh Setup max. size [ m ] tetra size ratio FLUID 0,01 1,2 INLET 0,01 1,2 OUTLET 0,01 1,2 WAND 0,005 1,2 PELLET 0,0005 1,2 Curvature/Proximity Refinement Min. Size 0,0001 Elements in Gap 5 Das mit diesen Einstellungen generierte Gitter umfasste 9, Zellen. Dabei ist der Bereich der Schüttung sehr fein aufgelöst, wohingegen am Ein- und Austritt ein sehr viel gröberes Gitter verwendet wurde. Die Abbildungen 22 und 23 zeigen das 67

68 erstellte Rechengitter. Abbildung 22: Rechengitter Gesamtansicht 100 Pellets Abbildung 23: Rechengitter Querschnitt xy-ebene 100 Pellets Das erstellte Rechengitter verfügt im Bereich der Schüttung über sehr viele Zellen und ist am Ein- und Austritt deutlich gröber. Damit löst es nur den interessantesten Bereich hoch auf und durch die grobe Auflösung in den Außenbereichen kann der numerische Aufwand reduziert werden Qualität Das entwickelte Modell entsprach allen in Kapitel vorgestellten Anforderungen. Die Maximal- beziehungsweise Minimalwerte für das Aspect Ratio, die Skewness und 68

69 die orthogonale Qualität sind in Tabelle 17 zusammengestellt. Zusätzlich enthält die Tabelle Angaben zur Anzahl der Zellen, die die Gitter enthielten. Dabei wird klar, dass der numerische Aufwand für die Durchführungen der Simulationen sehr groß ist. Die Auswirkungen hiervon werden in Kapitel im Rahmen einer Gitterstudie näher betrachtet. Tabelle 17: Qualität der verwendeten Gitter 100 Pellets Scale Faktor Zellenanzahl Orthogonale Qualität Aspect Ratio Skewness 2 4, ,22 21,39 0,84 1 9, ,27 16,44 0,77 0,75 17, ,37 12,57 0,7 Zusätzlich zu den Maximalwerten wird in den Abbildungen 24 und 25 ein Überblick über die Qualität aller Zellen des Rechengitters gegeben. Die untersuchten Kriterien sind die orthogonale Qualität und die Skewness. Für beide Kriterien gilt, dass sie nicht nur den Grenzwert einhalten sollen, sondern dass zusätzlich auch die Mehrheit der Zellen deutlich bessere Werte aufweisen sollen. Abbildung 24: Verteilung Orthogonale Qualität 100 Pellets, Scale Faktor 1 69

70 Abbildung 25: Verteilung Skewness 100 Pellets, Scale Faktor 1 Es zeigt sich eine ähnliche Verteilung bei beiden Kriterien, wenn berücksichtigt wird, dass bei der orthogonalen Qualität Werte nahe Eins und bei der Skewness Werte nahe Null für gute Gitter-Qualität bedeuten. In beiden Fällen liegt die Mehrzahl der Zellen in Bereichen, denen gute Qualität zugeordnet wird. Wie die Ausführungen gezeigt haben, spricht von Seiten der geometrischen Qualitätskriterien nichts gegen eine Nutzung dieses Modells für die Beschreibung von Strömungen mit Wärmeübertragung. Im folgenden Kapitel werden die Ergebnisse von Simulationen, die mit diesem Rechengitter durchgeführt wurden, beschrieben Gitterstudie Zum Abschluss der Entwicklung des Modells wurden einige Simulationen durchgeführt. Diese werden im Folgenden beschrieben. Gegenstand der Betrachtungen war eine Überprüfung der Ergebnisse auf ihre Unabhänigkeit von der Auflösung des Gitters. Es wurden, wie bereits in Kapitel 3, Gitter mit unterschiedlichen Scale Faktoren berechnet und miteinander verglichen. Im Anschluss wurde der Einfluss der Verkleinerung des Durchmessers untersucht. Wie oben beschrieben, musste der Durchmesser aller Zylinder um 10 % verkleinert werden, um fehlerfreie Gitter zu erhalten. Für diese Betrachtungen wurden die Durchmesser der Zylinder stärker verringert. Randbedingungen, Stoffwerte und Solver-Einstellungen Für die hier vorgestellten Simulationen gelten die gleichen Randbedingungen wie in 70

71 Kapitel 3. Sie sind in Tabelle 18 zusammengestellt. Für das Fluid Luft gelten die im vorherigen Kapitel vorgestellten Annahmen 8. Tabelle 18: Stoffdaten und Randbedingungen 100 Pellets Stoffdaten Luft Dichte Wärmeleitfähigkeit spezifische Wärmekapazität dynamische Viskosität Randbedingungen 1,255 kg m 3 0,0424 W mk 1006,43 J 1, kgs 5 kg ms INLET PELLETs mass flow inlet Temperatur 300 K Turbulente Intensität 0,05 % Hydraulischer Durchmesser 0,42 m Gauge Druck 0 Pa wall Roughness Height 0 Roughness Constant 0,5 Temperatur 400 K Heat Generation Rate 0 W m 3 Auch in den hier beschriebenen Simulationen wurde der SIMPLE-Solver mit den Standard-Werten für die Unter-Relaxions-Faktoren genutzt. Als vergleichende Kenngröße wurde für alle Simulationen in diesem Kapitel die Nusselt-Zahl verwendet. Dabei wurde auch hier ein Mittelwert über alle Pellets gebildet, der wie oben beschrieben gebildet wurde und für den auch die Referenzwerte aus Tabelle 9 gelten. Simulationen mit reduzierten Zylinderdurchmessern Durch die vorgestellte Reduzierung der Durchmesser wird die Geometrie der Schüttung verändert. Dies war notwendig, um Rechengitter zu erzeugen, die Mindestansprüche an Gitterqualität erfüllten. Bei dem vorgestellten Modell wurden die Durch- 8 inkompressibel, isotherm, T = 288,15 K, p = Pa 71

72 messer der Zylinder um 10 % reduziert. Es wurden zusätzliche Simulationen, bei denen die Zylinder um 15 % und 20 % reduziert worden, durchgeführt. Die Gitterqualität, die bei den unterschiedlichen Reduzierungen erreicht wurde, sind in Tabelle 19 zusammengestellt. Tabelle 19: Gitterqualität Reduzierung der Zylinderdurchmesser Reduktion ( % ) Zellenanzahl Orthogonale Qualität Aspect Ratio Skewness 10 9, ,27 16,44 0, , ,36 11,51 0, , ,37 11,1 0,64 Es zeigt sich, dass die Qualität durch weitere Reduzierung des Durchmessers gesteigert werden kann. Wie Tabelle 20 zu entnehmen ist, ergeben sich zudem geringere Werte für den dimensionslosen Wandabstand. Dieser ist zusammen mit der Nusselt-Zahl angegeben. Für alle Simulationen wurde ein Massenstrom von 0,00026 kg s gewählt. Tabelle 20: Nusselt-Zahlen und y + -Werte Reduzierung der Zylinderdurchmesser Reduktion ( % ) y + Nusselt-Zahl 10 1,37 1,4 15 1,29 1, ,19 1,65 Es zeigt sich, dass die Werte für die Nusselt-Zahl bei stärkerer Reduzierung des Durchmessers immer weiter von dem Fall mit der kleinsten Reduzierung abweichen. Dies spricht dafür, mit der Reduzierung von 10 % weiterzuarbeiten, da die Qualität des Gitters vom Standpunkt der geometrischen Qualitätskriterien aus als gut angesehen werden kann und es daher für eine weitere Verbesserung nicht notwendig erschien, die Geometrie noch stärker zu verändern. 72

73 Gitterstudie Im Rahmen von CFD-Simulationen ist es wichtig, zu überprüfen ob eine numerische Lösung vom Rechengitter abhängt. Hierfür werden unterschiedlich feine Gitter miteinander verglichen, mit dem Ziel die Konfiguration zu finden ab der eine weitere Verfeinerung keine abweichende Lösung, sondern nur noch höheren Rechenaufwand mit sich bringt. Bei der Durchführung einer solchen Untersuchung ergaben sich für das verwendete Rechengitter einige Schwierigkeiten. So war es weder möglich, das Gitter sehr viel gröber zu gestalten noch eine höhere Auflösung einzustellen. Bei ersterem bildeten die Lücken zwischen den Zylindern eine Grenze, da diese nicht groß genug waren, um dort größere Zellen hineinzulegen. Bei den Verfeinerungen gab die zur Verfügung stehende Rechenleistung die Grenze vor. In Tabelle 21 sind drei Gitter und die berechneten y + -Werte sowie die Nusselt- Zahlen dargestellt. Dabei ist zu beachten, dass die Rechnung für den Fall 0,75 nicht konvergiert ist, da dies zu viel Zeit in Anspruch genommen hätte. Daher ist die Angabe für y + ein Richtwert. Auf die Angabe der Nusselt-Zahl wurde verzichtet, da für diese im Gegensatz zum y + -Wert die Ausgaben nach wenigen (in diesem Fall 30) Iterationsschritten nicht aussagekräftig sind. Tabelle 21: Nusselt-Zahlen und y + -Werte Gitterstudie Scale Faktor y + -Wert Nusselt-Zahl 2 2,15 1,43 1 1,37 1,40 0,75 1,23 - Da sich der Wert für die Nusselt-Zahl vom Fall Scale Faktor 2 zum Fall 1 noch um 2 % verringert, erscheint es sinnvoll, in diesem Fall das detailliertere Gitter weiter zu verwenden, zumal bei diesem auch der y + -Wert deutlich näher an Eins ist. Bei im Laufe der Entwicklung der großen Schüttung durchgeführten Simulationen mit 50 Zylindern lässt sich bestätigen, dass es eine größere Abweichung von Scale Faktor Zwei zu Eins gibt und diese dann bei weiterer Verfeinerung nicht mehr so stark 73

74 ausfällt. Zusammen lässt dies den Schluss zu, dass das Rechengitter mit dem Scale Faktor Eins die richtige Wahl für weitere Simulationen ist. 5 Simulationensergebnisse Mit dem in dieser Arbeit entwickelten CFD-Modell wurden einige Simulationen durchgeführt. Es wurde das Strömungsverhalten und der Wärmeübergang bei unterschiedlichen Massenströmen verglichen. Ziel war außerdem das entwickelte Modell in Hinblick auf seine Anwendungsmöglichkeiten zu untersuchen. Ein wichtiger Mechanismus des Wärmeübergangs in Schüttungen ist die dissipative Quervermischung. Daher ist es von Interesse herauszufinden, ob diese in Simulationen mit dem verwendeten Modell abgebildet werden kann. Für diese Untersuchungen wurde das vorhandene Modell am Eintritt modifiziert und es wurde mit dem Modell für den Spezien-Transport gerechnet. Dabei wurde die Analogie von Stoff- und Wärmetransport in Bezug auf die disspiative Quervermischung genutzt. Ebenfalls von Interesse ist, ob die Wärmeübertragung von der Position innerhalb der Schüttung abhängig ist. Hierfür wurden drei ungefähr gleich große Pellets ausgewählt und diese dann untereinander in Bezug auf die Wärmestromdichte verglichen. Auch für diese Simulationen sind die Randbedingungen modifiziert worden. Im Folgenden werden die Ergebnisse der Simulationen und die gegebenenfalls vorgenommenen Modifikationen vorgestellt. 5.1 Einfluss des Gasmassenstroms auf das Wärmeübertragungsverhalten Die in diesem Kapitel vorgestellten Simulationen wurden mit den in Kapitel 4.3 vorgestellten Einstellungen, bei Verwendung desselben Rechengitters 9, durchgeführt. Es wurde nur der Massenstrom am Eintritt in den Behälter variiert, während alle anderen Parameter konstant gehalten wurden. Es wurden drei unterschiedliche Massenströme betrachtet, wobei mit der Wahl des geringsten Massenstroms ein y + 1 eingestellt wurde. Tabelle 22 zeigt die ermittelten Werte für die Nusselt-Zahl und 9 9, Zellen 74

75 den y + -Wert. Tabelle 22: Nusselt-Zahl und y + -Werte bei unterschiedlichen Massenströmen Massenstrom [ kg s ] Nusselt-Zahl y+ -Wert 0,0005 2,42 1,9 0, ,40 1,37 0, ,31 1,09 Wie erwartet, ergeben sich höhere Werte für die Nusselt-Zahl bei größeren Massenströmen und die y + -Werte werden geringer. Dabei kann nur für den Massenstrom ṁ = 0, kg s ein y+ 1 und somit eine genaue Auflösung der wandnahen Vorgänge durch das K-ω-SST-Modell gewährleistet werden. Bei Betrachtung der Nusselt-Zahl in Kapitel 3 wurde für eine kleine Schüttung beobachtet, dass die Werte bis zu einem y + von ungefähr Zwei lediglich um 1 % von der Lösung mit y + 1 abweichen. Damit erscheint es möglich, dass die an dieser Stelle ermittelten Werte für die Nusselt-Zahl denen einer realistischen Strömung ähneln. Eine Verfeinerung des Rechengitters war, wie oben beschrieben, auf Grund der zur Verfügung stehenden Rechenleistung nicht möglich. Im Folgenden wird trotz der erwähnten Unsicherheit angenommen, dass die Simulationen zu realistischen Ergebnisse geführt hat und somit ein Vergleich der Strömungen mit unterschiedlichen Massenströmen möglich ist. Abbildung 26 zeigt die Temperaturverläufe bei den drei Massenströmen. 75

76 Abbildung 26: Temperaturprofil verschiedener Massenströme 100 Pellets Es zeigt sich, dass sich das Fluid schneller erwärmt, wenn der Massenstrom niedriger ist. Dies ist auf die längere Verweilzeit in der Umgebung der warmen Zylinder zurückzuführen. Besonders auffällig ist dies beim kleinsten Massenstrom. In diesem Fall wird das Fluid schon durch die ersten Zylinder vollständig aufgewärmt und es bildet sich vom Beginn der Schüttung an ein Gebiet mit konstant 400 K aus. Bei den beiden anderen Fällen, am deutlichsten bei ṁ = 0, 0005 kg, zeigen sich an den s Behälterwänden Gebiete, die zum Teil kaum oder gar nicht erwärmt worden sind. Um ein genaueres Bild der Wärmeübertragung zu bekommen, wurde der Wärmestrom pro Fläche, die sogenannte Wärmestromdichte, betrachtet. Dabei kommt es zu hohen Absolutwerten, da in der Ausgabe die sehr kleinen Zellgrößen an den Zylinderwänden nicht berücksichtigt worden sind. Da an dieser Stelle ein Vergleich der Wärmeströme von Interesse war, waren primär die Relationen, die auch mit der gewählten Skalierung sichtbar sind, relevant und es wurde auf eine Anpassung verzichtet. Abbildung 27 zeigt die Zylinder der Schüttung und die Verteilung der 76

77 Wärmestromdichte. Abbildung 27: Wärmestromdichte bei verschiedenen Massenströmen 100 Pellets Die Abbildungen zeigen deutlich, dass die Hauptwärmemengen an angeströmten Flächen und an den Kanten der Zylinder übertragen werden. Zudem sind die Wärmestromdichten bei höheren Massenströmen grundsätzlich größer. Zudem zeigen sich höhere Werte zu Beginn der Schüttung. Dies liegt an der kleiner werdenden Temperaturdifferenz, da sich das Fluid bei der Umströmung der ersten Zylinder bereits erwärmt hat. Dies ist in Abbildung 26 besonders bei ṁ = 0, kg s zu sehen. In diesem Fall wird das Fluid bereits im vorderen Bereich der Schüttung auf die Temperatur der Zylinder erwärmt. Infolge dessen entsteht kein Temperaturgefälle mehr und es wird keine Wärme übertragen. Zusätzlich zum Wärmeübergang wurden die Geschwindigkeitsprofile betrachtet. Dabei ist zu beachten, dass für jeden Fall unterschiedliche Skalen verwendet wurden, da eine einheitliche Skala bei den sehr unterschiedlichen Geschwindigkeiten am Eintritt keine aussagekräftigen Betrachtungen ermöglicht hätte. Abbildung 28 zeigt die Geschwindigkeitsprofile für die drei Massenströme, wobei sich auf einen Ausschnitt 77

78 der Schüttung und ihrer unmittelbaren Umgebung beschränkt wurde. Abbildung 28: Geschwindigkeitsprofile bei verschiedenen Massenströmen 100 Pellets Für die Fälle ṁ = 0, kg s kg und ṁ = 0, 0005 s zeigen sich sehr ähnliche Verläufe. Es gibt Gebiete mit relativ hoher Geschwindigkeit, zum Beispiel in der Nähe der Behälterwände. Dort finden sich Gebiete, in denen es zu Rückströmungen kommt. Diese Gebiete mit lokalen Rückströmungen sind im dritten Fall nicht zu finden. Allerdings zeigt sich, dass die Bereiche mit erhöhter Geschwindigkeit an denselben Stellen auftreten wie in den beiden anderen Fällen. 5.2 Dissipative Quervermischung Wie in Kapitel 2.4 ausgeführt, spielt die dissipative Quervermischung beim Wärmeübergang eine entscheidende Rolle. Daher ist es von Bedeutung zu klären, ob dieser Mechanismus mit dem hier vorgestellten Modell abgebildet werden kann. Dies soll im Folgenden untersucht werden. Für die Untersuchungen wurde das Modell leicht modifiziert. Der Eintritt wur- 78

79 de in zwei Bereiche unterteilt, wobei die Geschwindigkeiten gleich groß eingestellt wurden. Um eine Durchmischung sichtbar zu machen, wurden an den beiden Eintritten unterschiedliche Fluide eingestellt. Für diese Anwendung wurde das Modell für den Spezies-Transport von Fluent genutzt. Dies war einfacher zu realisieren, als dasselbe Fluid mit unterschiedlichen Temperaturen durch die beiden Eintritte strömen zu lassen. In diesem Fall hätte die Wärmeleitfähigkeit des Fluids angepasst werden müssen, um nur den Einfluss der dissipativen Quervermischung sichtbar zu machen. Allerdings führten sehr kleine Werte oder ein Wert von Null für die Wärmeleitfähigkeit des Fluids zur Divergenz des Solvers. Da die dissipative Quervermischung für Stoff-und Wärmetransport analog gilt, ermöglicht die Verwendung von unterschiedlichen Spezien eine Aussage darüber, ob der Mechanismus in dem Modell berücksichtigt wird. Für die Ergebnisse dieser Simulation gilt die Einschränkung, dass kein y + 1 gewährleistet werden konnte, sondern sich ein Wert von 3,2 einstellte. Ein feineres Gitter war aus denselben Gründen wie oben nicht möglich. So konnte der y + -Werte nur durch geringe Geschwindigkeit an den Eintritten eingestellt über den Massenstrom beeinflusst werden. Allerdings zeigte ein solcher Versuch bei sehr niedrigem Massenstrom 10 eine Durchmischung der Strömung weit vor der Schüttung und konnte somit nicht zur Untersuchung der dissipativen Quervermischung herangezogen werden. Abbildung 29 zeigt einen Querschnitt durch die Mitte des Behälters und orthogonal zu der Trennlinie der beiden Eintritte. Die Simulation wurde bei einem Massenstrom von 0,0005 kg s durchgeführt. Im Bereich vor der Schüttung gibt es eine klare Trennung zwischen Spezies 1 auf der linken und Spezies 2 auf der rechten Seite. Dies ist auch danach der Fall, allerdings wird der Bereich in der Mitte, in dem die beiden Spezien gemischt vorliegen, im hinteren Bereich der Schüttung breiter. Diese Beobachtung zeigt, dass bei dem entwickelten Modell Stofftransport quer zur Strömungsrichtung auftritt. In Schüttungen wird dieses Verhalten mit dem Mechanismus der dissipativen Quervermischung begründet. Diese scheint mit dem verwendeten Rechengitter abbildbar zu sein. Da die dissipative Quervermischung sowohl für den Stoff- als auch den Wärmetransport auf dieselbe Weise funktioniert, lässt sich die Beobachtung für den Stofftransport auf den Wärmetransport übertragen. Es ist 10ṁ 6 kg = 10 s 79

80 Abbildung 29: Querschnitt bei x = 0,3 m Anteil Spezies 1, dissipative Quervermischung, ṁ = 0, 0005 kg s also möglich, die dissipative Quervermischung mit dem entwickelten Rechengitter zu modellieren. 5.3 Einfluss der Partikelposition in der Schüttung auf das Wärmeübertragungsverhalten Im Folgenden wurde der Einfluss der Position der Zylinder innerhalb der Schüttung in Bezug auf deren Verhalten bei der Wärmeübertragung untersucht. Es wurden drei Pellets, die an unterschiedlichen Stellen der Schüttung positioniert sind, betrachtet und die Wärmestromdichten miteinander verglichen. Auch für diese Untersuchungen wurde das in Kapitel 4.3 vorgestellte Modell modifiziert. Die Temperatur des Fluids wurde auf konstant 300 K festgesetzt. Durch diese Einstellung konnte gewährleistet werden, dass die Wärmeübergänge an allen drei beobachteten Zylindern bei der gleichen Temperaturdifferenz von 100 K stattfanden. Ansonsten gelten die in Kapitel 4.3 vorgestellten Randbedingungen und Stoffdaten. Der Massenstrom von 0,00005 kg s wurde so gewählt, dass sich ein y + -Wert von ungefähr Eins einstellte 11. Somit ist die Anforderung für die Modellierung der wandnahen Schicht gegeben und die Ergebnisse können als realistisch eingestuft werden. 11 exakter Wert: 1,09 80

81 Bei der Wahl der drei Zylinder wurde darauf geachtet, dass diese ungefähr gleich zur Hauptströmungsrichtung ausgerichtet sind. In diesem Fall würden sie bei Nichtberücksichtigung der Schüttung in etwa quer angeströmt werden. Zudem sollten die verglichenen Zylinder ungefähr gleich groß sein. In Tabelle 23 sind die Längen der Pellets angegeben. Dabei wurde die Nummerierung, die bei der Generierung der Schüttung vergeben wurde, beibehalten. Im Folgenden werden die Pellets 4, 47 und 89 miteinander verglichen. Tabelle 23: Abmessungen der verglichenen Zylinder Pellet-Nummer Länge [ m ] Oberfläche [ m 2 ] 4 0,0167 0, ,0158 0, ,0158 0, Abbildung 30 zeigt die komplette Schüttung und markiert die drei Pellets, die im weiteren Verlauf untersucht wurden. Abbildung 30: Position der untersuchten Zylinder innerhalb der Schüttung 81

82 Für die drei gekennzeichneten Zylinder wurde der Wärmestrom ausgewertet, der über die Oberflächen der Pellets an das Fluid übertragen wurde. In Abbildung 31 ist die Wärmestromdichte aufgetragen. Diese ist ein Maß für den Wärmestrom pro Fläche. Auch hier gelten die oben ausgeführten Anmerkungen zu den hohen Absolutwerten. Abbildung 31: Wärmestromdichte, T = 300 K Pellets 4, 47 und 89 Die Ansicht wurde so gewählt, dass die angezeigten Oberflächen diejenigen sind, die vom Fluid angeströmt werden. Sehr deutlich zeigt sich, dass bei Pellet 89 die höchsten Werte für die Wärmestromdichte angezeigt werden. An dessen Oberfläche zeigen sich zwei Bereiche mit relativ gesehen sehr hohen Werten. Der Wärmestrom über die Grenzen von Pellet 89 hinweg ist deutlich größer als bei den anderen beiden Zylindern. Dieses Pellet ist vom Eintritt aus gesehen im hintersten Bereich der Schüttung positioniert. Die Werte für die Wärmestromdichte der Pellets 4 und 47 liegen in derselben Größenordnung. Bei beiden zeigen sich im Bereich der Mitte erhöhte Werte für die Wärmestromdichte. Dieser Bereich ist bei Pellet 47, welches in Strömungsrichtung hinter Pellet 4 liegt, etwas breiter ausgeprägt. Auch aus diesen Simulationen kann abgeleitet werden, dass ein in realen Schüttungen beobachtetes Verhalten zum Wärmeübergang mit dem entwickelten Modell abgebildet werden kann. 82