2. Teilprüfung FS Lösungen

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1 2. Teilprüfug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug FS 2009 Lösuge Prof. Dr. Michael Havbro Faber ETH Zürich Diestag 19. Mai :00 09:30 Vorame:... Name:... Stud. Nr.:... Studierichtug:...

2 2. Teilprüfug: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Bau, Umwelt ud Geomatikigeieurwisseschafte Datum ud Dauer: Diestag, 19. Mai 2009 Begi: 8:00 Uhr Zeitdauer: 90 Miute Hilfsmittel: - Alle Uterlage (Skripte, Bücher, adere Ausdrucke, etc.) erlaubt. - Tascherecher (ohe Kommuikatiosmittel) erlaubt. - Keie Kommuikatiosmittel (z.b. Telefo) erlaubt. Hiweise: - Bitte kotrolliere Sie zuerst, ob Sie das Material vollstädig erhalte habe: - Aufgabestellug ikl. geereller Iformatio ud Ahag 21 Seite. - Papierboge kariert, gestempelt 1mal. - Bitte lege Sie Ihre Legi vor sich auf de Tisch. - Alle Lösugsblätter müsse mit Name ud Vorame versehe werde. - Nur die zur Verfügug gestellte Blätter dürfe verwedet werde. - Lege Sie am Ede der Prüfug alle Aufgabe ud Lösugsblätter i das Couvert zurück ud lasse Sie dieses am Platz liege. - We Sie vor 9:00 Uhr fertig sid, da beachrichtige Sie eie Assistierede; er/sie wird da Ihre Prüfug eisammel. Sie dürfe bis 9:00 Uhr de Saal verlasse; daach warte Sie bitte still, bis die Prüfug zu Ede ist (9:30 Uhr). 2/2

3 Teil 1: Multiple Choice (maximal 56 Pukte) I de folgede Multiple Choice Frage köe für die gleiche Frage (midestes) eie oder mehrere Atworte zutreffed sei. Bitte markiere Sie alle richtige Atworte i jeder Frage mit eiem Häkche oder Kreuz: We Sie ei bereits markiertes Kästche rückgägig mache wolle, da tu Sie das bitte deutlich: Name: 3/3

4 1.1 Für eie Autobahabschitt müsse 10 gleich lage Talbrücke auf ihre Verkehrslast bemesse werde. Hierfür soll abgeschätzt werde, wie oft die Brücke vo Schwertrasporte befahre werde. Sie möchte hierzu eie homogee Poissoprozess verwede. a) (2 Pukte) Welche der folgede Aahme sid hierzu otwedig? Die Brücke werde alle aus dem gleiche Material gefertigt. Es ka immer ur ei Schwertrasport gleichzeitig eie Brücke befahre. Die mittlere Azahl Schwertrasporte, die pro Jahr die Autobah befahre, ädert sich währed der Lebesdauer der Brücke icht. Die Fahrt verschiedeer Schwertrasporte ist voeiader uabhägig. b) (4 Pukte) Nachdem Sie die otwedige Aahme getroffe habe, etscheide Sie sich, eie homogee Poissoprozess zu verwede: u P () t = e! u Aus Verkehrsstatistike für vergleichbare Strecke schätze Sie die mittlere Azahl Schwertrasporte pro Jahr auf 24. Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass eie bestimmte Brücke währed der erste 3 Moate vo geau 6 Schwertrasporte befahre wird? P 6 (3 Moate ) = 0.5 P 6 (3 Moate ) = Trasporte 3 24 Jahr P Moate 6! e e 6! Jahr (3 ) = = = P 6 (3 Moate ) = /4

5 c) (4 Pukte) Sie beobachte auf eier der eue Brücke eie Schwertrasport. Mit welcher Wahrscheilichkeit köe Sie damit reche, dass es mehr als eie Moat dauert, bis der ächste Schwertrasport über die Brücke fährt? Verwede Sie dieselbe Aahme wie im Aufgabeteil b). PT ( > 1 Moat) = P( T > 1 Moat) = P( T > 1 Moat) = P( T > 1 Moat) = P (1 Moat) = e = d) (2 Pukte) Sie habe zur Modellierug aller 10 Brücke auf dem Autobahabschitt eie homogee Poissoprozess verwedet. Die mittlere Azahl Schwertrasporte sei für alle Brücke gleich. Sie gehe davo aus, dass Sie Ergodizität aehme köe. Welche der folgede Aussage sid uter diese Aahme richtig? Uter diese Aahme reicht es aus, über eie lägere Zeitraum die Schwertrasporte auf eier der 10 Autobahbrücke zu erfasse, um de Zufallsprozess vollstädig zu charakterisiere. Die Datesammlug lediglich a eier Brücke geügt ur da zur Beschreibug des gesuchte Zufallsprozesses, we die Autobah zwische de Brücke keie Ei oder Ausfahrte hat, ei Schwertrasport also immer alle Brücke überfahre muss. Die Aahme der Ergodizität ist falsch. Ei Poissoprozess ka iemals ergodisch sei. Die Aahme der Ergodizität wird i der Praxis häufig der Eifachheit halber getroffe, solage icht das Gegeteil bewiese wurde. Name: 5/5

6 1.2 (2 Pukte) Ebefalls wichtig für die Bemessug vo Talbrücke ist die Widlast. Hierzu verfüge Sie über Date zum 5 jährige Maximalwert der Widgeschwidigkeit, a die Sie eie Extremwertverteilug apasse möchte. Welche der folgede Aussage sid richtig? Aus de Date lässt sich eie Gumbel max Verteilug für das 50 jährige Maximum der Widgeschwidigkeit bestimme. Der Erwartugswert der Verteilug für das 50 jährige Maximum der Widgeschwidigkeit ist grösser als der Mittelwert der beobachtete Date. Die jährliche Eitrittswahrscheilichkeit eies extreme Widereigisses ist p = 0.2. Der Stichprobemittelwert der beobachtete 5 jährige Maxima ist ei guter Schätzer für die mittlere Widgeschwidigkeit a der Messstatio. 1.3 (2 Pukte) Die Zufallsvariable 1, 2, 3,..., 10seie voeiader uabhägig ud ormalverteilt mit dem Mittelwert μ 0 ud der Stadardabweichug σ. Welche der folgede Aussage ist richtig? Die Zufallsvariable Z = folgt eier Chi Verteilug Um eie Chi verteilte Zufallsvariable zu erhalte, müsse die Zufallsvariable i stadardisiert werde. Hierzu geügt es, sie durch die Stadardabweichug σ zu dividiere. Nach eier geeigete Stadardisierug der Zufallsvariable Z = Chi Quadrat verteilt i ist Fuktioe vo ormalverteilte Zufallsvariable sid stets ebefalls ormalverteilt. 6/6

7 1.4 Für eie zufällig ausgewählte Stichprobe vo Studierede der Vorlesug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug möchte Sie de Stichprobemittelwert der 2 Körpergrösse, K, ud die Stichprobestadardabweichug S bereche. a) (2 Pukte) Welche der folgede Aussage köe Sie bereits vor dem Ziehe der Stichprobe bestätige? Der wahre Mittelwert μk der Körpergrösse vo alle Studierede der Statistik Vorlesug ist uabhägig vo der Azahl Studierede i der betrachtete Stichprobe. Die Variaz des Stichprobemittelwertes ist umso grösser, je kleier die zu Grude liegede Stichprobe ist. Der Stichprobemittelwert ist bei grosse Stichprobe äherugsweise ormalverteilt, auch we die Körpergrösse der Studierede icht durch eie Normalverteilug repräsetiert werde ka. 2 2 Für de erwartugstreue Schätzer der Stichprobevariaz gilt ES [ ] =σ. erwartugstreu K b) (2Pukte) Aus dem errechete Stichprobemittelwert der Körpergrösse, k, möchte Sie u ei Kofidezitervall für de wahre Mittelwert der Körpergrösse, μ, bestimme. Welche der folgede Aussage sid richtig? K Ei zweiseitiges Kofidezitervall für de wahre Mittelwert der Körpergrösse ist stets symmetrisch zum beobachtete Stichprobemittelwert. Das Kofidezitervall ist umso breiter, je grösser die betrachtete Stichprobe ist. Durch eie Steigerug der Kofidez, z.b. vo 95% auf 99%, vergrössert sich das Kofidezitervall. Zur Berechug eies zweiseitige 95% Kofidezitervall beötigt ma de 5% Fraktilwert der Stadardormalverteilug, k α. Name: 7/7

8 1.5 Um die Materialeigeschafte vo Schweizerischem Fichteholz zu beschreibe, wurde a 200 Bretter Versuche durchgeführt, um die Zugfestigkeit jedes Brettes zu bestimme. a) (2 Pukte) Ermittel Sie ahad der Wahrscheilichkeitspapiere aus Abbildug 1.5, welche Verteilugsfuktio die beobachtete Date über de gesamte Wertebereich am beste repräsetiert. Normalverteilug Gumbelverteilug Logormalverteilug Ahad dieser Wahrscheilichkeitspapiere lässt sich keie Aussage treffe. Abbildug 1.5: Wahrscheilichkeitspapiere für verschiedee Verteilugsfuktioe mit de ermittelte Date der Zugfestigkeit. 8/8

9 b) (2 Pukte) Welche der folgede Aussage ist richtig? Geerell werde Wahrscheilichkeitspapiere heragezoge, um Puktschätzuge der Verteilugsparameter zu ermittel. Das 0.99 Quatil ist bei alle Wahrscheilichkeitspapiere gleich ud hat eie Wert vo etwa 60 MPa. Das Wahrscheilichkeitspapier ka verwedet werde, um zu beurteile, ob die Datesätze zweier gleichzeitig erfasster Messgrösse i eiem lieare Zusammehag stehe. Das Wahrscheilichkeitspapier wird so kostruiert, dass die kumulative Verteilugsfuktio die Form eier Gerade hat. 1.6 (2 Pukte) Eie beliebige Materialeigeschaft wird durch eie ormalverteilte Zufallsvariable beschriebe, der wahre Mittelwert μ ud die wahre Stadardabweichug σ sid jedoch ubekat. Welche der folgede Verteilugsfuktioe köe Sie verwede, um ahad vo Ihe vorliegede Date ei Itervall zu bestimme, i dem der wahre Mittelwert mit der Wahrscheilichkeit 1 α zu erwarte ist? Normalverteilug Logormalverteilug t Verteilug F Verteilug Name: 9/9

10 1.7 A eier Statio zur Wägug vo LKWs werde die Gewichte der eizele LKWs erfasst, bevor diese über die aschliessede Brücke fahre. Das Wiege vo 50 LKWs erzielte eie Stichprobemittelwert vo x = 15 t. Aus Erfahrug weiss ma, dass die Stadardabweichug vo LKW Gewichte σ = 3.0 t beträgt. Eie Tabelle mit de Quatile der Stadardormalverteilug fide Sie im Ahag. a) (3 Pukte) Wie lässt sich das zweiseitige 95% Kofidezitervall des wahre Mittelwertes des LKW Gewichts auf dieser Strasse beschreibe? [ ] P < μ < = 0.95 [ ] P < μ < = 0.05 [ ] P < μ < = 0.05 [ ] P < μ < = 0.95 Lösug: = 50; x = 15 t; σ = 3t 1 1 P kα /2 σ < μ < + kα /2σ = 1 α 1 1 P 15 kα /23 < μ < 15 + kα /23 = α kα /2 = Φ 1 = Φ 1 = Φ ( ) = TABELLE... = P < μ < = P[ < μ < ] = 0.95 P < μ < = 0.95 [ ] 10/10

11 b) (3 Pukte) Wie viele LKWs müsste gewoge werde, um auf eiem Sigifikaziveau vo α = 0.01 ei zweiseitige Kofidezitervall für de wahre Mittelwert vo [ ] Lösug: < < zu erhalte? μ 1 x k α / 2σ = = = = Messuge 05. Wert für k α / 2 ist etomme aus Tabelle des Skripts mit liearer Iterpolatio. 1.8 Bei der Klassifizierug vo Schittholz i eie bestimmte Sortierklasse muss sichergestellt werde, dass der Mittelwert des Elastizitätsmoduls der kotrollierte Bretter dem erforderliche Mittelwert aus der Norm für diese Sortierklasse etspricht. Auf eiem Sigifikaziveau vo 5% stellt der zustädige Kotrolleur die folgede Null Hypothese auf: H 0 Norm. : Der Stichprobemittelwert des Holzes etspricht dem geforderte Wert aus der Name: 11/11

12 a) (2 Pukte) Welche der folgede Aussage ist/sid richtig? Die Wahrscheilichkeit eies Fehlers 1. Art ist gleich 5%. Die Wahrscheilichkeit eies Fehlers 2. Art ist gleich 95%. Das Sigifikaziveau α etspricht allgemei der Wahrscheilichkeit, dass die Null Hypothese akzeptiert wird, obwohl sie icht zutrifft. Durch eie höhere Stichprobeazahl bei der Berechug des Stichprobemittelwertes köte das Itervall für de Hypothesetest σ verkleiert werde. Lösug: Δ = kα 2 Erfahruge habe gezeigt, dass sich der Elastizitätsmodul ahad eier Normalverteilug beschreibe lässt. Der für die Qualität der Schittholzproduktio veratwortliche Igeieur möchte ahad vo 5 Messwerte (vgl. Tabelle 1.8) die Parameter der Verteilug bestimme. b) (2 Pukte) Wie köte der Igeieur hierfür vorgehe? Bei eier Normalverteilug etspreche die erste beide zetrale Momete der Stichprobe de Erwartugswerte der Verteilugsparameter. Die Methode der Momete eiget sich für eie Itervallschätzug der Verteilugsparameter. Die Methode der Momete eiget sich für eie Puktschätzug der Verteilugsparameter. Die Fisher Iformatiosmatrix ka verwedet werde, um die Streuug der geschätzte Verteilugsparameter zu bestimme. 12/12

13 Der Igeieur etscheidet sich dafür, die Maximum Likelihood Methode zur Schätzug der Parameter der Normalverteilug zu verwede. Die Messwerte sid i Tabelle 1.8 dargestellt. Tabelle 1.8: Messwerte des Elastizitätsmoduls bei der Sortierug vo Holzbretter. Stichprobeummer [ ] Elastizitätsmodul [MPa] c) (2 Pukte) Mit welcher der folgede Fuktioe lasse sich die Parameter ( μ; σ) Normalverteilug schätze? max( L( θ x ˆ) ) = max exp θ θ πσ = mi( L( θ x ˆ) ) = mi exp θ θ ( xˆ μ) i i 1 σ ( xˆ μ) i 2 2πσ 2 i= 1 σ 1 1 i mi( l( θ x ˆ) ) = mi l θ θ 2 2πσ 2 i= 1 σ ( xˆ μ) i max( l( θ xˆ )) = max l θ θ 2 2πσ 2 i= 1 σ ( xˆ μ) 2 T θ = der Name: 13/13

14 d) (2 Pukte) Welche Parameter für eie Normalverteilug erhält der Igeieur mit Hilfe der Maximum Likelihood Methode? μ = MPa ud σ = 2224MPa μ = MPa ud σ = 2523MPa μ = MPa ud σ = 2653MPa μ = MPa ud σ = 2429MPa Lösug: l 1 = 2( xˆ ) 0 2 i μ = μ 2σ i= 1 l 1 = + = σ σ σ 3 ( xˆ i 2 μ) 0 i= μ = σ = μ μ = 13800MPa 2 2 xˆ ( ˆ i xi ) i= 1 i= 1 σ = 2224MPa 14/14

15 1.9 (2 Pukte) Kreuze Sie die richtige() Aussage() a: Der Kolmogorov Smirov Test ist auch bei diskrete Verteiluge eisetzbar. Der Chi Quadrat Test ka auch bei kotiuierliche Verteiluge agewedet werde, we der Wertebereich diskretisiert wird. Der Kolmogorov Smirov Test wird eigesetzt, um die Parameter eier Verteilug zu schätze. Der Chi Quadrat Test diet dazu, eie Verteilug für gegebee Beobachtuge azuehme oder abzulehe Ei Umweltigeieur misst wöchetlich de Sauerstoffgehalt des Wassers a eiem beliebte Badeort am Zürisee. Die 122 Messdate hat er i 5 Itervalle eigeteilt. Um zu prüfe, ob die Messdate ormal oder logormalverteilt sid, führt er je eie Chi Quadrat Test auf eiem Sigifikaziveau vo 5% durch. De Mittelwert ud die Stadardabweichug berechet er mit der Maximum Likelihood Methode aus de Messdate. a) (2 Pukte) Wie viele Freiheitsgrade muss er beim Chi Quadrat Test berücksichtige? ν = 2 ν = 4 ν = 5 ν = 122 Freiheitsgrade: Azahl Itervalle = 5; Azahl aus de Date berecheter Parameter = 2; Freiheitsgrade=5 2 1=2. Name: 15/15

16 b) (2 Pukte) Im Folgede sid seie Berechuge für de Chi Quadrat Test für die Normalverteilug aufgeführt: Itervall Azahl Messwerte im Itervall Erwartete Wahrscheilichkeite für die Normalverteilug Erwartete Azahl Messwerte im Itervall Stichprobestatistik =122 =1 = Auf welche/welchem der folgede Sigifikaziveaus ka die Hypothese akzeptiert werde, dass es sich um eie ormalverteilte Zufallsvariable hadelt? Verwede Sie die Tabelle 2 im Ahag. Nehme Sie bitte uabhägig vo Ihrem Resultat i a) eie Freiheitsgrad ν = 1a, um diese Frage zu beatworte. α = 0.01 α = 0.05 α = 0.10 α = 0.25 Die iteressierede Stichprobestatistik ist 6.175, also die die quadrierte Differeze der beobachtete ud erwartete Häufigkeite. Diese Summe muss kleier sei als die i der Tabelle der Chi Quadrat Verteilug agegebee Maximalwerte für die Akzeptaz des Modells, auf eiem bestimmte Sigifikaziveau. Für α = 0.01 ist der maximal akzeptierbare Wert 6.63 für ν = 1. Für α = 0.05 überschreitet die Stichprobestatistik bereits de maximal 2 akzeptierbare Wert: P ε > χ = α ; > c) (2 Pukte) Nehme Sie (uabhägig vo de Ergebisse i b)) a, die Chi Quadrat Tests ergebe, dass beide Verteiluge auf eiem Sigifikaziveau vo 5% akzeptiert werde köe. Der Igeieur berechet die Likelihood der gesamte Stichprobe aus dem Produkt der Likelihoods der Eizelbeobachtuge, also 16/16 L = f ( xˆ θ ), i= 1 i

17 ud erhält für die Normalverteilug de Wert 0.42, für die Logormalverteilug Welche Verteilug sollte er aufgrud dieser Iformatio als geeigeter betrachte? Normalverteilug Logormalverteilug Aufgrud dieser eue Iformatio ka u keie der zwei Verteiluge akzeptiert werde. Diese eue Iformatio hilft dem Igeieur icht weiter, um auf die geeigetere Verteilug zu schliesse. Siehe Ausführuge im Skript: Seite E 33 Vergleich vo Modelle 1.11 (2 Pukte) Kreuze Sie die richtige() Aussage() a: Mote Carlo Simulatioe führe ur da zu eier Lösug, we die Zufallsvariable der Grezzustadsfuktio ormalverteilt sid. First Order Reliability Methods (FORM) führe auch da zu eier Lösug, we die Grezzustadsfuktioe icht differezierbar sid. Nei, für FORM müsse die Grezzustadsfuktioe differezierbar sei Nichtlieare Grezzustadsfuktioe werde im Hasofer Lid Verfahre im Schittpukt der x Achse mit der Grezzustadsfuktio liearisiert. Keie der Aussage ist richtig Sie habe gerade Ihr Ferieboot i Gibraltar mit Bezi vollgetakt, was eier durchschittliche Reichweite μ R vo 1000 [km] etspricht. Die damit maximal zurückzulegede Reichweite variiert je ach Fahrstil (sportlich oder gemütlich) ud ka als ormalverteilte Zufallsvariable R mit eier Stadardabweichug σ = 100 [km] modelliert werde. R I Ihrem Reiseführer steht geschriebe, dass Sie durchschittlich mit 930 zu fahrede Kilometer reche müsse, um Ihr Ziel i Afrika zu erreiche. Diese Strecke ka sich verkürze oder verläger, was vo kurzfristig variierede Strömugsverhältisse abhägt. Sie ehme a, dass die Distaz eie Name: 17/17

18 Stadardabweichug σ S = 50 [km] aufweist ud als ormalverteilte Zufallsvariable S modelliert werde ka. Sie wolle u die Wahrscheilichkeit bereche, dass das Bezi icht ausreicht, um bis a das Ziel zu gelage, ud formuliere die Grezzustadsfuktio g( x ) = R S. Sie ehme a, dass die beide Zufallsvariable R ud S voeiader uabhägig sid. a) (2 Pukte) Bereche Sie de Erwartugswert μm der Sicherheitsmarge M, wobei M = R S. μm = 70 [km] μm = 70 [km] μm = 930 [km] μ = 1070 [km] M Skript Gl. (F.7) ER ( S) = ER ( ) ES ( ) = ( )[km] = 70[km] b) (2 Pukte) Bereche Sie die Stadardabweichug σ M der Sicherheitsmarge M, wobei M = R S. σ M = 12.2 [km] σ M = 50.0 [km] σ M = 86.6 [km] σ = [km] M Skript Gl. (F.7) Var( R S) = Var( R) + Var( S) = ( )[km] = 12500[km] σ 2 M = 12500[km] = 111.8[km] c) (2 Pukte) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit p f, dass Ihr Bezi für diese Strecke icht ausreicht. Verwede Sie die Tabelle 1 im Ahag. 18/18

19 μm 70 β = = = σ p f M =Φ( β ) =Φ( 0.626) = 1 Φ (0.626) = = Teil 2: Recheaufgabe (maximal 28 Pukte) I der Regio vo Basel soll ei eues Eikaufszetrum erstellt werde. Um die Gefahre durch Widstürme ud Erdbebe abzuschätze, werde Sie als Experte befragt. Gebe Sie alle Resultate auf vier Stelle hiter dem Komma a. 2.1 a) (4 Pukte) Ihre erste Aufgabe besteht dari, abzuschätze, mit welche Widstärke i dieser Regio zu reche ist. Sie habe i der Literatur gefude, dass die moatliche maximale Widgeschwidigkeite mit eier Gumbel max Verteilug modelliert werde. Zusätzlich habe Sie vo eier Wetterstatio i der Nähe des geplate Eikaufzetrums Messwerte der moatliche maximale Widgeschwidigkeite der letzte 10 Jahre erhalte. Sie habe bereits ahad der Messdate de Stichprobemittelwert x = 31.7 [ m/ s] ud die (icht erwartugstreue) Stichprobestadabweichug s = 12.9 [ m/ s] ermittelt. Schätze Sie mit Hilfe der Methode der Momete die Verteilugsparameter der Gumbel max Verteilug ud schreibe Sie die Wahrscheilichkeitsverteilugsfuktio auf, welche die moatliche maximale Widgeschwidigkeite repräsetiert. Hiweis: Die Gumbelverteilug (Gumbel max) hat die achfolgede Form: < x < μ Mittelwert F ( x) = exp( exp ( α ( x u) )) σ Stadardabweichug μ u Parameter der Verteilug = u + α α Parameter der Verteilug π σ = Name: α 6 19/19

20 Lösug: Erstes ud zweites zetrales Momet der Stichprobe: x = 31.7 [ m/ s] s = 12.9 [ m/ s] Mittelwert ud Stadardabweichug der Gumbel Max Verteilug: μ = u + α π σ = α 6 Momete der Stichprobe gleichsetzte mit de Momete der Verteilugsfuktio: μ = x = u+ = 31.7 [ m/ s] α π σ = s= = 12.9 [ m/ s] α 6 x = 31.7 [ m/ s] s = 12.9 [ m/ s] Auf die Parameter α ud u auflöse: π π α = = σ 6 s u = μ = x α α Werte eisetze ud Parameter bereche: π π π α = = = = σ 6 s u = μ = x = 31.7 = α α α Gumbel Max Verteilug: e F ( x) = e = e α ( x u) ( x 25.89) e 20/20

21 Ei Kollege zeigt Ihe eie Studie, i welcher die moatliche maximale Widgeschwidigkeit i dieser Regio mit eier Gumbel max Verteilug mit de Parameter a = 0.12 ud u = 27.5 repräsetiert wird. b) (8 Pukte) Um zu ermittel, ob die Verteilug aus der Studie Ihre Messwerte gut repräsetiert, beschliesse Sie, eie Chi Quadrat Test auf eiem Sigifikaziveau vo α = 5% durchzuführe. Verwede Sie dazu die folgede Tabelle, i welcher bereits die Häufigkeite der Messwerte eigetrage sid: Lösug: Itervall Häufigkeit N i Wahrscheilichkeit P Erwartete Häufigkeit Normalisierte Quadrate der Differeze -25 m/s m/s m/s m/s Summe m k i= 1 ( N p ) 2 i ε = = p Operative Regel: = 2 P ε χ 1 α Wert aus Tabelle: Sigifikaziveau vo α = 5% i i Freiheitsgrade = 4 Klasse 1 0 Paramert = 3 χ = Name: 21/21

22 2 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Da ε m = grösser als χ = ist, köe wir die Hypothese, dass die Date eier Weibullverteilug folge, auf eiem Sigifikaziveau vo α = 5% icht aehme. c) (2 Pukte) Da Sie für die Bemessug des Eikaufszetrums die jährliche maximale Widgeschwidigkeite beötige, soll ahad der i der Studie gegebee Gumbel max Verteilug die etsprechede Wahrscheilichkeitsverteilugsfuktio der jährliche Maxima ermittelt werde. Gebe Sie die Wahrscheilichkeitsdichtefuktio der jährliche maximale Widgeschwidigkeite a. mit α =0.12 ud u= e 12 e 12 e α ( ( )) ( ) ( x u ) α ( x u ) 0.12( x 27.5) F x = e = e = e 1 ( ) = ( ) ( ) f x F x f x max max max, T, T, T 12 1 max ( ) = 12 ( ( )) ( ) f x F x f x max, T, T α ( x u) 11 α( x u) e α ( x u) e ( e ) α e 0.12( x 27.5) 11 e 0.12( x 27.5) ( e ) e = 12 = e ( x ) mit α = ud u= e 12 e 12 e α ( ( )) ( ). ( x u ) α ( x u ) ( x 25.89) F x = e = e = e 22/22

23 d) (4 Pukte) Das Eikaufzetrum soll auf eie Lebesdauer vo 80 Jahre bemesse werde. Ermittel Sie die Widstärke, die eier erwartete Wiederkehrperiode vo 80 Jahre etspricht, ahad der Verteilug aus der Studie oder der vo Ihe ermittelte Verteilug aus Teilaufgabe c). ( ) ( x 25.89) 12 1 e F ( x) = e = 1 = l l ( ) 1 12 l l ( ) α ( x u = ) + u = x 12 α 1 l l ( ) = x= 94.91[ m/ s] mit α = ud u= l l ( ) = x= 84.67[ m/ s] mit α =0.12 ud u= Name: 23/23

24 2.2 (4 Pukte) Um die Gefährdug durch Erdbebe abzuschätze, ehme Sie eie Erdbebe Gefahrekarte zu Had. Sie lese für de Ort, a welchem das Eikaufszetrum gebaut 2 werde soll, dass ei Erdbebe mit eier Bodebeschleuigug vo 1.2 [ m/ s ] die Wiederkehrperiode T = 475 [Jahre] hat. Es wird ageomme, dass das Auftrete der Erdbebe eiem homogee Poissoprozess folgt. Bereche Sie u, wie gross die Wahrscheilichkeit ist, dass währed der erwartete Lebesdauer des Eikaufszetrums vo 80 Jahre mideste ei solches Erdbebe eitritt. Lösug: Wartezeit zwische de Ereigisse eie homogee Poissoprozess folge eier Expoetialverteilug. Bestimme die Parameter der Expoetialverteilug: 1 ET [ ] = = 475 Jahre ν () t [ ] 1 1 ν () t = = ET [ ] 475 Bestimme die Wahrscheilichkeit, dass die Wartezeit kleier gleich 80 Jahre ist: ν () t t [ ] P T 80 Jahre = 1 e = 1 e = (6 Pukte) Nebe der Sicherheit des Eikaufszetrums müsse Sie auch die Baukoste für die vo Ihe geforderte Verstärkuge bestimme. Am Afag des Projektes wurde die Baukoste durch eie ormalverteilte Zufallsvariable K mit dem Mittelwert μ = 10'000'000 [ CHF] ud der Stadardabweichug σ = 1'000'000 [ CHF] repräsetiert. K K Mit de zusätzliche Massahme ädert sich die Berechug der Baukoste. Sie köe u durch eie ormalverteile Zufallsvariable Keu mit dem Mittelwert 24/24

25 μ = 12'000'000[ CHF] ud der Stadardabweichug σ = 1'400'000[ CHF] K eu repräsetiert werde. Das Budget B, das für de Bau des Eikaufszetrums zur Verfügug steht, ist och icht fixiert, da währed der Bauphase och ach eue Ivestore gesucht wird. Es wird ageomme, dass das Budget eier Normalverteilug mit dem Mittelwert μ = 16'000'000 [ CHF] ud der Stadardabweichug σ = 3'000'000 [ CHF] folgt. B Ermittel Sie de Eifluss der zusätzliche bauliche Massahme auf die Wahrscheilichkeit, dass das Budget icht überschritte wird. B K eu Lösug: Berechug der Wahrscheilichkeit, dass das Budget reicht mit de alte Baukoste: Gegebe: μ K = 10'000'000 [ CHF], σ = 1'000'000 [ CHF] K μ B = 16'000'000 [ CHF], σ = 3'000'000 [ CHF] B Bestimmug der Sicherheitsmarge M = Budget mius Koste: M = B K μ = 16'000'000 10'000'000 = 6'000'000 M σ = + = M 2 2 3'000'000 1'000'000 3'162'300 Bestimmug vo Beta: μm 6'000'000 β = = = σ 3'162'300 M Wahrscheilichkeit, das dass Budget reicht: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P= 1 P = 1 Φ β = 1 1 Φ β =Φ β =Φ = F Name: 25/25

26 Berechug der Wahrscheilichkeit, dass das Budget reicht mit de eue Baukoste: μ K = 12'000'000 [ CHF] eu, σ = 1'400'000 [ CHF] Keu μ B = 16'000'000 [ CHF], σ = 3'000'000 [ CHF] B Bestimmug der Sicherheitsmarge M = Budget mius Koste: M = B K eu eu μ = 16'000'000 12'000'000 = 4'000'000 M eu σ = + = M eu 2 2 3'000'000 1'400'000 3'310'600 Bestimmug vo Beta: β eu μm 4'000'000 eu = = = σ 3'310'600 Meu Wahrscheilichkeit, das dass Budget reicht: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = 1 P = 1 Φ β = 1 1 Φ β =Φ β =Φ = eu Feu eu eu eu 26/26

27 Tabelle 1: Kumulative Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug Φ ( z). Name: 27/27

28 Tabelle 2: Quatile q der Chi Quadrat Verteilug. 28/28