Marcel Dettling. Grundlagen der Mathematik II Lineare Algebra und Statistik FS 2018 Woche 01. ETH Zürich, 21. Februar 2018
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1 FS 2018 Woche 01 Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte ETH Zürich, 21. Februar
2 FS 2018 Woche 01 Dozet Marcel Dettlig, Dr. Math. ETH usbildug: Mathematikstudium a der ETH Zürich Dissertatio am Semiar für Statistik, ETH Postdoktorat Johs Hopkis Medical School Positio: ZHW ETH Zürich gewadte Forschug mit Parter i Marketig, Verkehr, Gesudheit, Eergie, 2
3 FS 2018 Woche 01 Lieare lgebra Lieare Gleichugssysteme (2.5V) Matrizerechug, Determiate (2V) Vektorräume ud lieare bbilduge (1.5V) usgleichsrechug, Eigewertproblem (1V) Statistik Eiführug: Zufallsvariable ud W keitsverteiluge (2.5V) Parameterschätzuge ud Tests (2.5V) Regressio ud usgleichsrechug (2V) 3
4 FS 2018 Woche 01 Charakter der Vorlesug Vorlesug diet zur Veraschaulichug Darum: Fokus auf Beispiele ud Illustratio Lilg: icht alle techische Details, siehe Buch Mitschreibe empfohle, jedoch icht zwiged Dokumetatio Lilg: Kurzskript mit Hauptidee verfügbar Lilg: Buch vo Nipp/Stoffer als Referez Statistik: komplettes Skript vom Dozete vorhade Statistik: Buch vo Werer Stahel als Zusatzliteratur 4
5 FS 2018 Woche 01 blauf der Übuge Start diese Woche Total 13+1 Serie stehe zur Verfügug Übugsstude jeweils am Freitag Tipps Woche 1, bgabe Woche 2, Korrektur Woche 3 forderuge Keie Bediguge a bgabe, aber Übuge sid zetral! Computer-ufgabe sid wesetliches Elemet! Weiteres Präsez: Termi och offe Uterlage werde per versadt 5
6 FS 2018 Woche 01 Orgaisatorisches zur Prüfug Schriftliche Prüfug, Dauer 90 Miute Es werde ca. 4-5 ufgabe gestellt Mischug (ca. 50/50) vo Lilg ud Statistik Verstädis des Stoffs zetral, Trasferleistug ötig Stoff lles, was i Vorlesug ud Übuge behadelt wurde! Wichtig: vo der erste bis zur letzte Woche Hilfsmittel Beliebige schriftliche Uterlage sid erlaubt Tascherecher oder gar Computer sid icht erlaubt 6
7 FS 2018 Woche 02 Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte ETH Zürich, 28. Februar
8 FS 2018 Woche 02 Lieare Gleichugssysteme zur Suche ach Ubekate uter formulierte Bediguge es gibt etweder geau eie, uedlich viele oder keie Lösug Gauss-lgorithmus diet zum Umforme vo lieare Gleichugssysteme Ziel: Dreiecks-Form, Lösug leicht ablesbar es gibt 2 erlaubte Umformugs-Operatioe: a) Vertausche vo Zeile b) ddiere eies Vielfache eier Zeile zu eier adere die Lösug wird daach durch Rückwärtseisetze bestimmt 2
9 FS 2018 Woche 03 Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte ETH Zürich, 7. März
10 FS 2018 Woche 03 Lieare Gleichugssysteme zur Suche ach Ubekate uter formulierte Bediguge es gibt etweder geau eie, uedlich viele oder keie Lösug Gauss-lgorithmus diet zum Umforme vo lieare Gleichugssysteme Ziel: Dreiecks-Form, Lösug leicht ablesbar es gibt 2 erlaubte Umformugs-Operatioe: a) Vertausche vo Zeile b) ddiere eies Vielfache eier Zeile zu eier adere die Lösug wird daach durch Rückwärtseisetze bestimmt 2
11 FS 2018 Woche 03 Zeilestufeform c1 0 0 c cr c cm r1 Rag: # Nicht-Nullzeile = # Pivots im Edschema 3
12 FS 2018 Woche 03 zahl Lösuge eies LGS Der Rag bestimmt die zahl Lösuge Dimesio # Lösuge r=m r= r<m r< m= 0,1, 1 0, m< 0, - 0, - m> 0,1, - 0,1-0, Die geometrische Iterpretatio vo Spaltevektore im Raum, welche kombiiert werde müsse, um die rechte Seite zu erzeuge, ist stets sehr hilfreich. Es gibt spezielle LGS, wo die rechte Seite trivial ist (alles 0). Sie heisse homogee Systeme ud habe stets eie Lösug. 4
13 FS 2018 Woche 03 Defiitio vo Matrize m m Eie -Matrix ist ei Schema vo Zahle, ageordet i m Zeile ud Spalte. Diese Zahle et ma Elemete der Matrix. a a... a a a... a a a... a m1 m2 m weduge: LGS / lieare bbilduge / DGL / Notatio: a ij oder ( ) ij 5
14 FS 2018 Woche 03 Spezielle Matrize 1) Quadratische Matrize: m m 2) Nullmatrix: eie -Matrix, i der alle Elemete 0 sid. 3) Eie obere Dreiecksmatrix oder Rechtsdreiecksmatrix ist eie quadratische Matrix, i der alle Elemete uterhalb der Diagoale gleich ull sid. R
15 FS 2018 Woche 03 Spezielle Matrize 4) Bei eier obere Dreiecksmatrix oder Liksdreiecksmatrix sid höchstes die Elemete oberhalb der Diagoale vo ull verschiede. L D diag(5, 2,3) ) Eie quadratische Matrix heisst Diagoalmatrix, falls ur die Diagoalelemete vo ull verschiede sid. 7
16 FS 2018 Woche 03 Spezielle Matrize I diag(1,1,...,1) 6) Die quadratische -Matrix heisst Eiheitsmatrix oder Idetität. 2 b b2 I b c 7 b c1 c2 c3 c4 0 b4 7) Weiter gibt es Spaltevektore ( 1-Matrize) ud Zeilevektore ( 1 -Matrize). Dere Elemete et ma Kompoete. chtug, ei Zeile- ud ei Spaltevektor mit idetische Elemete sid icht gleich! 8
17 FS 2018 Woche 03 Reche mit Matrize Zwei Matrize sid gleich, falls sie dieselbe Dimesio aufweise ud alle ihre Elemete idetisch sid. Die dditio vo Matrize fuktioiert ur da, we beide dieselbe Dimesio habe. Es werde da gaz eifach die Elemete addiert. Die skalare Multiplikatio multipliziert jedes Elemet eier Matrix mit eier Zahl. Die Matrixmultiplikatio ist speziell defiiert, dies im Sie der Hitereiaderschaltug vo lieare bbilduge. Siehe Wadtafel für geauere Istruktioe. 9
18 FS 2018 Woche 04 Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte ETH Zürich, 14. März
19 FS 2018 Woche 04 Matrize ud ihre Bedeutug m m Eie - Matrix ist ei Schema vo Zahle, ageordet i m Zeile ud Spalte. Die Zahle et ma Elemete. a a a a a a a a a ist eie 3x3-Matrix Matrize habe ihre Bedeutug zur/zum: - vereifachte Schreibweise vo LGS - Beschreibug vo lieare bbilduge - Löse vo lieare Differetialgleichugssysteme 2
20 FS 2018 Woche 04 Reche mit Matrize a) dditio c) Matrixmultiplikatio b) skalare Multiplikatio
21 FS 2018 Woche 04 Recheregel für Matrize 1) Kommutativgesetz für die dditio Für -Matrize ud gilt: 2) ssoziativgesetz für die dditio Für - Matrize gilt: 3) ssoziativgesetz für die Multiplikatio Für jede gilt: m B B B m BC,, ( B) C ( BC) m p B p q ( B) C BC ( ) -Matrix, -Matrix ud -Matrix 4) Distributivgesetze für die Multiplikatio m, B p CD, ( BC ) C BC ( CD) C D Für -Matrize ud -Matrize gilt: sowie C 4
22 FS 2018 Woche 04 Recheregel für Matrize Wichtig: das Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikatio gilt für Matrize i der Regel icht, d.h. im llgemeie ist: Falls existiert, so ist icht garatiert, dass es auch gibt. Doch selbst für quadratische Matrize, wo jeweils sowohl wie auch B existiert, ka B B sei. Der adere Fall, d.h. ist jedoch ebefalls möglich. B B B B B siehe die Beispiele a der Wadtafel B B 5
23 FS 2018 Woche 04 Traspoierte Matrize Die Traspoierte eier beliebige Matrix erhält ma, T idem ma die Zeile vo i die Spalte vo eifüllt. Recheregel: 1) 2) 3) ( T T ) ( B) T T B T ( B) T B T T T T
24 FS 2018 Woche 04 Die Iverse eier Matrix die Iverse ist ur für quadratische Matrize defiiert Geometrie: Matrize defiiere lieare bbilduge. Die Iverse ist die Umkehrabbildug, sie existiert icht immer die Iverse wird mit dem Gauss-lgorithmus bestimmt. Es gilt, LGS mit idetische Koeffiziete, aber uterschiedliche rechte Seite zu löse. die Klasse der Matrize, für welche die Iverse existiert, wird regulär geat. Falls die Iverse icht existiert, so heisst die Matrix sigulär. 7
25 FS 2018 Woche 04 Zusammehag Iverse/LGS Es besteht (scho aus der Berechug der Iverse) gaz offesichtlich ei Zusammehag zwische der Existez der Iverse vo ud der Existez der Lösug des LGS vo. Satz 2.7: Die folgede ussage sid äquivalet, d.h. we eie davo gilt, so gelte alle adere auch. Sei eie -Matrix. i) ist ivertierbar bzw. regulär ii) hat Rag iii) x b ist für jede rechte Seite lösbar iv) hat ur die triviale Lösug x 0 8
26 FS 2018 Woche 04 Orthogoale Matrize Orthogoale Matrize beschreibe lägetreue bbilduge vom i de also z.b. reie Drehuge oder auch reie Spiegeluge. Die Spaltevektore vo habe Läge 1 ud stehe orthogoal zueiader. Sie sid wichtig für die usgleichsrechug, das Eigewertproblem, usw. (...siehe später): Defiitio: T I Eie -Matrix heisst orthogoal, falls. 9
27 FS 2018 Woche 04 Recheregel für orthogoale Matrize Defiitio: Eie -Matrix heisst orthogoal, falls T. Satz 2.8: Seie ud orthogoale B i) ist ivertierbar ud ii) 1 ist orthogoal iii) B ist orthogoal iv) ist orthogoal I 1 T I -Matrize. Da gilt: 10
28 FS 2018 Woche Determiate 4.1. Eigeschafte ud Iterpretatio Die Determiate existiert ur für quadratische -Matrize ud ordet ihe eie Zahl zu, welche die Eigeschafte i Bezug auf LGS, Iverse, Eigewerte, etc. charakterisiert. Schreibweise: det( ) ( ) 11
29 FS 2018 Woche 04 Geometrische Iterpretatio Die Determiate ist das Volume des Spats, der vo de Spaltevektore vo im aufgespat wird. We dieses Volume (ud damit die Determiate) 0 sid, so liege die Spaltevektore i eiem Uterraum des (z.b. 2 3 Gerade im, Ebee im,...) Dies hat etsprechede uswirkuge auf die Lösbarkeit des durch die Matrix defiierte LGS. Daraus folgt, dass die Determiate auch die Existez der Iverse bestimmt. Für reguläre Matrize gilt: det( ) 0 12
30 FS 2018 Woche 05 Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte ETH Zürich, 21. März
31 FS 2018 Woche 05 Rückblick: die Iverse eier Matrix die Iverse ist ur für quadratische Matrize defiiert Geometrie: Matrize defiiere lieare bbilduge. Die Iverse ist die Umkehrabbildug, sie existiert icht immer die Iverse wird mit dem Gauss-lgorithmus bestimmt. Es gilt, LGS mit idetische Koeffiziete, aber uterschiedliche rechte Seite zu löse. die Klasse der Matrize, für welche die Iverse existiert, wird regulär geat. Falls die Iverse icht existiert, so heisst die Matrix sigulär. 2
32 FS 2018 Woche 05 Zusammehag Iverse/LGS Es besteht (scho aus der Berechug der Iverse) gaz offesichtlich ei Zusammehag zwische der Existez der Iverse vo ud der Existez der Lösug des LGS vo. Satz 2.7: Die folgede ussage sid äquivalet, d.h. we eie davo gilt, so gelte alle adere auch. Sei eie -Matrix. i) ist ivertierbar bzw. regulär ii) hat Rag iii) x b ist für jede rechte Seite lösbar iv) hat ur die triviale Lösug x 0 3
33 FS 2018 Woche 05 Orthogoale Matrize Orthogoale Matrize beschreibe lägetreue bbilduge vom i de also z.b. reie Drehuge oder auch reie Spiegeluge. Die Spaltevektore vo habe Läge 1 ud stehe orthogoal zueiader. Sie sid wichtig für die usgleichsrechug, das Eigewertproblem, usw. (...siehe später): Defiitio: T I Eie -Matrix heisst orthogoal, falls. 4
34 FS 2018 Woche 05 Recheregel für orthogoale Matrize Defiitio: Eie -Matrix heisst orthogoal, falls T. Satz 2.8: Seie ud orthogoale B i) ist ivertierbar ud ii) 1 ist orthogoal iii) B ist orthogoal iv) ist orthogoal I 1 T I -Matrize. Da gilt: 5
35 FS 2018 Woche 05 Determiate Die Determiate ist eie für quadratische -Matrize defiierte Fuktio, welche jeder Matrix eie Zahl zuordet. Diese Zahl charakterisiert die Eigeschafte der Matrix i folgeder Hisicht: Lösbarkeit vo LGS Existez der Iverse Eigewerte Schreibweise: det( ) 6
36 FS 2018 Woche 05 Geometrische Iterpretatio Die Determiate ist das Volume des Spats, der vo de Spaltevektore vo im aufgespat wird. We dieses Volume (ud somit die Determiate) 0 ist, so liege die Spaltevektore i eiem Uterraum des (z.b. 2 3 Gerade im, Gerade oder Ebee im,...) Dies hat etsprechede (us bereits bekate) uswirkuge auf die Lösbarkeit vo durch die Matrix defiierte LGS. Daraus folgt, dass die Determiate auch die Existez der Iverse bestimmt. Reguläre Matrize habe. det( ) 0 7
37 FS 2018 Woche 06 Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte ETH Zürich, 28. März
38 FS 2018 Woche 06 Vektorräume Ei Vektorraum ist eie Mege vo Elemete, für welche gewisse Recheregel bzgl. dditio ud Multiplikatio gelte. 2 3 Promietestes Beispiel ist der, z.b. der,, Es gibt jedoch auch abstraktere Vektorräume Ei Uterraum ist eie ichtleere Teilmege eies VRs (des ), die abgeschlosse gegeüber dditio ud skalare Mult. ist. 3 lle Ebee durch de Nullpukt im Ebeso ist der gaze VR ei UR, sowie auch {0} chtug, icht jede Teilmege eies VR ist ei UR!!! 2
Marcel Dettling. Grundlagen der Mathematik II Lineare Algebra und Statistik FS 2019 Einführung. ETH Zürich, 20. Februar 2019
FS 2019 Eiführug Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte marcel.dettlig@zhaw.ch https://www.zhaw.ch/de/ueber-us/perso/dtli ETH Zürich, 20. Februar
und wird als n-dimensionaler (reeller) Vektorraum bezeichnet. heißt der von v 1,..., v k aufgespannte Unterraum des R n.
Reeller Vektorraum Kapitel Vektorräume Die Mege aller Vektore x mit Kompoete bezeiche wir mit x R =. : x i R, i x ud wird als -dimesioaler (reeller) Vektorraum bezeichet. Defiitio Ei Vektorraum V ist eie
Grundlagen der Mathematik II
Grudlage der Mathematik II Lieare Algebra FS 017 Dr Marcel Dettlig Istitute for Data Aalysis ad Process Desig Zurich Uiversity of Applied Scieces CH-8401 Witerthur LiAlg 1 Lieare Gleichugssysteme Lieare
DEFINITION Unter einer mxn-matrix versteht man ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten k k k Μ Μ Μ Μ Μ Μ Ο Μ
3 Matrize, Vektore ud Determiate 3. Matrix DEFINIION Uter eier mx-matrix versteht ma ei rechteckiges Zahleschema aus m Zeile ud Spalte. a a a Λ a 2 k a a a Λ a 22 2k 2 a a a Λ a 3 32 3k 3 Μ Μ Μ Μ Μ a a
Eigenwertproblem 1. Das Eigenwertproblem
Eigewertproblem Das Eigewertproblem L Germa, R Grisch, N Ghielmetti, D Graata 504007 Eigewertproblem Eigewerte Eie Zahl heisst Eigewert der Matrix, falls es eie Vektor x 0 gibt, so dass x x Die Matrix
... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn
Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,
24 Komplexe Vektoren und Matrizen
Lieare Algebra II SS 011 - Prof Dr afred Leit apitel VII: Der örper der komplexe Zahle 4: omplexe Vektore ud atrie 4 omplexe Vektore ud atrie A Der komplexe Vektorraum B Der ormierte Raum C Der Skalarproduktraum
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KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir
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Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
Grundkurs Mathematik II
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Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
HA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutoraufgabenblatt 13. Besprechung in KW05/2018
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Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge -- 6.1.215 1 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig,
Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe Analysis und Integraltransformationen
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz Dr P C Kustma Dipl-Math M Uhl Sommersemester 009 Höhere Mathematik II für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese Physik ud Geodäsie iklusive Komplexe Aalysis
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Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
II.2 Mathematisches Handwerkszeug
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Unterlagen zur Vorlesung Algebra und Geometrie in der Schule: Grundwissen über Lineare Gleichungen. Sommersemester 2009.
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Der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen
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Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits
38 Normen und Neumannsche Reihe
168 V. Lieare Algebra 38 Norme ud Neumasche Reihe Wir erier zuächst a (vgl. 15.6) 38.1 Normierte Räume. Es sei E ei Vektorraum über K = R oder K = C. Eie Abbildug : E [0, ) heißt Norm auf E, falls gilt
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Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok, WWU Müster Fachbereich Mathematik ud Iformatik 22.9.20 Ÿ3.2 Folge ud Summe (Fortsetzug) Eie wichtige Möglichkeit, wie ma Zahlefolge deiere ka, ist die über eie
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Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)
Übungen zur Funktionentheorie
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Folgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
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Das Skalarprodukt ud das Kreuzprodukt Wir betrachte zu x = de Ausdruck y t x : = x Grud: Die rechte Seite der Gleichug ist: y t x = (y tx +... + (y ty { t x } y +... + x y x + x y (x y +... + x y x x t
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