Marcel Dettling. Grundlagen der Mathematik II Lineare Algebra und Statistik FS 2019 Einführung. ETH Zürich, 20. Februar 2019
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- Hajo Kranz
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1 FS 2019 Eiführug Marcel Dettlig Istitute für Dateaalyse ud Prozessdesig Zürcher Hochschule für gewadte Wisseschafte ETH Zürich, 20. Februar
2 FS 2019 Eiführug Dozet Marcel Dettlig, Dr. Math. ETH usbildug: Mathematikstudium a der ETH Zürich Dissertatio am Semiar für Statistik, ETH Postdoktorat Johs Hopkis Medical School Positio: ZHW ETH Zürich gewadte Forschug mit Parter i Marketig, Verkehr, Gesudheit, Eergie, 2
3 FS 2019 Eiführug Lieare lgebra Lieare Gleichugssysteme (2.5V) Matrizerechug, Determiate (2V) Vektorräume ud lieare bbilduge (1.5V) usgleichsrechug, Eigewertproblem (1V) Statistik Eiführug: Zufallsvariable ud W keitsverteiluge (2.5V) Parameterschätzuge ud Tests (2.5V) Regressio ud usgleichsrechug (2V) 3
4 FS 2019 Eiführug Charakter der Vorlesug Vorlesug diet zur Veraschaulichug Darum: Fokus auf Beispiele ud Illustratio Lilg: icht alle techische Details, siehe Buch Mitschreibe empfohle, jedoch icht zwiged Dokumetatio Lilg: Kurzskript mit Hauptidee verfügbar Lilg: Buch vo Nipp/Stoffer als Referez Statistik: komplettes Skript vom Dozete vorhade Statistik: Buch vo Werer Stahel als Zusatzliteratur 4
5 FS 2019 Eiführug blauf der Übuge Start diese Woche Total 13+1 Serie stehe zur Verfügug Übugsstude jeweils am Freitag Tipps Woche 1, bgabe Woche 2, Korrektur Woche 3 forderuge Keie Bediguge a bgabe, aber Übuge sid zetral! Computer-ufgabe sid wesetliches Elemet! Weiteres Präsez: Termi och offe Uterlage werde per versadt 5
6 FS 2019 Eiführug Orgaisatorisches zur Prüfug Schriftliche Prüfug, Dauer 90 Miute Es werde ca. 4-5 ufgabe gestellt Mischug (ca. 50/50) vo Lilg ud Statistik Verstädis des Stoffs zetral, Trasferleistug ötig Stoff lles, was i Vorlesug ud Übuge behadelt wurde! Wichtig: vo der erste bis zur letzte Woche Hilfsmittel Beliebige schriftliche Uterlage sid erlaubt Tascherecher oder gar Computer sid icht erlaubt 6
7 FS 2019 Lieare Gleichugssysteme Lieare Gleichugssysteme zur Suche ach Ubekate uter formulierte Bediguge es gibt etweder geau eie, uedlich viele oder keie Lösug Termiologie Schreibweise mit allgemeie Koeffiziete : a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m1 1 m2 2 m m Wir habe m Gleichuge mit Ubekate x,..., 1 x. ls skalare Grösse vorgegebe sid die aij sowie die rechte Seite b,..., 1 bm. a ij 7
8 FS 2019 Lieare Gleichugssysteme Schreibweise als augmetierte Matrix a a a b a a a b a a a b m1 m2 m m Schreibweise als Matrixgleichug x b mit a11 a12... a1 x1 b1 a21 a22... a2 x2 b2 ; x ; b... a a... a x b m1 m2 m m 8
9 FS 2019 Lieare Gleichugssysteme Gauss-lgorithmus (G) Der G ist ei Verfahre zur Bestimmug der Lösugsmege vo LGS. Die Idee ist, das LGS so umzuforme, dass die Lösug idetisch bleibt, jedoch eifacher zu bestimme ist. Defiitio: Zwei LGS heisse äquivalet, falls die dieselbe Lösugsmege besitze. Es gibt 2 Umformugs- Operatioe, welche die Lösugsmege erhalte: a) Vertausche vo Zeile b) ddiere eies Vielfache Ziel des G ist es, das LGS auf Dreiecksform zu brige, so dass die Lösugsmege durch RWE bestimmt werde ka. 9
10 FS 2019 Lieare Gleichugssysteme Zeilestufeform c1 0 0 c cr c cm r1 Rag: # Nicht-Nullzeile = # Pivots im Edschema 10
11 FS 2019 Lieare Gleichugssysteme zahl Lösuge eies LGS Vom usgagsschema eies LGS ka ma i.. keie ussage über Existez ud zahl Lösuge mache, vom Edschema higege sehr wohl. Es gibt geau 3 Möglichkeite: a) geau eie Lösug b) uedliche viele Lösuge c) keie Lösug Der Rag des LGS (=Dimesio des UR der Spaltevektore) bestimmt die zahl Lösuge. Für de Rag gilt allgemei: r 0, sowie auch r m ud r 11
12 FS 2019 Lieare Gleichugssysteme zahl Lösuge eies LGS Der Rag bestimmt die zahl Lösuge Dimesio # Lösuge r=m r= r<m r< m= 0,1, 1 0, m< 0, - 0, - m> 0,1, - 0,1-0, Die geometrische Iterpretatio vo Spaltevektore im Raum, welche kombiiert werde müsse, um die rechte Seite zu erzeuge, ist stets sehr hilfreich. Es gibt spezielle LGS, wo die rechte Seite trivial ist (alles 0). Sie heisse homogee Systeme ud habe stets eie Lösug. 12
13 FS 2019 Lieare Gleichugssysteme Homogee LGS Ei LGS heisst homoge, falls die rechte Seite überall ull ist. a11x1 a12 x2 a1 x 0 a21x1 a22x2 a2x 0 a x a x a x 0 m1 1 m2 2 m Führt ma i eiem homogee LGS de G durch, so bleibe die Nulle auf der rechte Seite erhalte. llfällige VKB im Edschema sid also stets erfüllt. Der Fall keie Lösug tritt für homogee LGS icht auf, diese habe stets geau eie oder uedlich viele Lösuge. 13
14 FS 2019 Matrize Defiitio vo Matrize m m Eie -Matrix ist ei Schema vo Zahle, ageordet i m Zeile ud Spalte. Diese Zahle et ma Elemete der Matrix. a a... a a a... a a a... a m1 m2 m Notatio: a ij oder ( ) ij weduge: LGS / lieare bbilduge / DGL / 14
15 FS 2019 Matrize Spezielle Matrize 1) Quadratische Matrize: m m 2) Nullmatrix: eie -Matrix, i der alle Elemete 0 sid. 3) Eie obere Dreiecksmatrix oder Rechtsdreiecksmatrix ist eie quadratische Matrix, i der alle Elemete uterhalb der Diagoale gleich ull sid. R
16 FS 2019 Matrize Spezielle Matrize 4) Bei eier obere Dreiecksmatrix oder Liksdreiecksmatrix sid höchstes die Elemete oberhalb der Diagoale vo ull verschiede. L D diag(5, 2,3) ) Eie quadratische Matrix heisst Diagoalmatrix, falls ur die Diagoalelemete vo ull verschiede sid. 16
17 FS 2019 Matrize Spezielle Matrize I diag(1,1,...,1) 6) Die quadratische -Matrix heisst Eiheitsmatrix oder Idetität. 2 b b2 I b c 7 b c1 c2 c3 c4 0 b4 7) Weiter gibt es Spaltevektore ( 1-Matrize) ud Zeilevektore ( 1 -Matrize). Dere Elemete et ma Kompoete. chtug, ei Zeile- ud ei Spaltevektor mit idetische Elemete sid icht gleich! 17
18 FS 2019 Matrize Reche mit Matrize Zwei Matrize sid gleich, falls sie dieselbe Dimesio aufweise ud alle ihre Elemete idetisch sid. Die dditio vo Matrize fuktioiert ur da, we beide dieselbe Dimesio habe. Es werde da gaz eifach die Elemete addiert. Die skalare Multiplikatio multipliziert jedes Elemet eier Matrix mit eier Zahl. Die Matrixmultiplikatio ist speziell defiiert, dies im Sie der Hitereiaderschaltug vo lieare bbilduge. Siehe Wadtafel für geauere Istruktioe. 18
19 FS 2019 Matrize Reche mit Matrize a) dditio c) Matrixmultiplikatio b) skalare Multiplikatio
20 FS 2019 Matrize Recheregel für Matrize 1) Kommutativgesetz für die dditio Für -Matrize ud gilt: 2) ssoziativgesetz für die dditio Für - Matrize gilt: 3) ssoziativgesetz für die Multiplikatio Für jede gilt: m B B B m BC,, ( B) C ( BC) m p B p q ( B) C BC ( ) -Matrix, -Matrix ud -Matrix 4) Distributivgesetze für die Multiplikatio m, B p CD, ( BC ) C BC ( CD) C D Für -Matrize ud -Matrize gilt: sowie C 20
21 FS 2019 Matrize Recheregel für Matrize Wichtig: das Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikatio gilt für Matrize i der Regel icht, d.h. im llgemeie ist: Falls existiert, so ist icht garatiert, dass es auch gibt. Doch selbst für quadratische Matrize, wo jeweils sowohl wie auch B existiert, ka B B sei. Der adere Fall, d.h. ist jedoch ebefalls möglich. B B B B B siehe die Beispiele a der Wadtafel B B 21
22 FS 2019 Matrize Lieare bbilduge m Für eie m -Matrix betrachte wir die bbildug F :, welche jede beliebige Spaltevektor x überführt i de m Vektor x F( x) x. Diese bbildug ist liear, weil für beliebige xy, ud beliebiges gilt: F( x y) F( x) F( y), F( x) F( x) m Umgekehrt ist jede lieare bbildug F vom i de durch eie Matrix defiiert, d.h. es gilt stets F( x) x.. Beispiele: Gerade- ud Ebeespiegeluge, Drehuge, Parallelprojektioe, Streckuge. Zetral ist, dass der Ursprug festgehalte wird, aderfalls ist die bbildug icht liear. 22
23 FS 2019 Matrize Traspoierte Matrize Die Traspoierte eier beliebige Matrix erhält ma, T idem ma die Zeile vo i die Spalte vo eifüllt. Recheregel: 1) 2) 3) ( T T ) ( B) T T B T ( B) T B T T T T
24 FS 2019 Matrize Die Iverse eier Matrix die Iverse ist ur für quadratische Matrize defiiert Geometrie: Matrize defiiere lieare bbilduge. Die Iverse ist die Umkehrabbildug, sie existiert icht immer die Iverse wird mit dem Gauss-lgorithmus bestimmt. Es gilt, LGS mit idetische Koeffiziete, aber uterschiedliche rechte Seite zu löse. die Klasse der Matrize, für welche die Iverse existiert, wird regulär geat. Falls die Iverse icht existiert, so heisst die Matrix sigulär. 24
25 FS 2019 Matrize Zusammehag Iverse/LGS Es besteht (scho aus der Berechug der Iverse) gaz offesichtlich ei Zusammehag zwische der Existez der Iverse vo ud der Existez der Lösug des LGS vo. Satz 2.7: Die folgede ussage sid äquivalet, d.h. we eie davo gilt, so gelte alle adere auch. Sei eie -Matrix. i) ist ivertierbar bzw. regulär ii) hat Rag iii) x b ist für jede rechte Seite lösbar iv) hat ur die triviale Lösug x 0 25
26 FS 2019 Matrize Orthogoale Matrize Orthogoale Matrize beschreibe lägetreue bbilduge vom i de also z.b. reie Drehuge oder auch reie Spiegeluge. Die Spaltevektore vo habe Läge 1 ud stehe orthogoal zueiader. Sie sid wichtig für die usgleichsrechug, das Eigewertproblem, usw. (...siehe später): Defiitio: T I Eie -Matrix heisst orthogoal, falls. 26
27 FS 2019 Matrize Recheregel für orthogoale Matrize Defiitio: Eie -Matrix heisst orthogoal, falls T. Satz 2.8: Seie ud orthogoale B i) ist ivertierbar ud ii) 1 ist orthogoal iii) B ist orthogoal iv) ist orthogoal I 1 T I -Matrize. Da gilt: 27
28 FS 2019 Determiate Determiate Die Determiate ist eie für quadratische -Matrize defiierte Fuktio, welche jeder Matrix eie Zahl zuordet. Diese Zahl charakterisiert die Eigeschafte der Matrix i folgeder Hisicht: Lösbarkeit vo LGS Existez der Iverse Eigewerte Schreibweise: det( ) 28
29 FS 2019 Determiate Geometrische Iterpretatio Die Determiate ist das Volume des Spats, der vo de Spaltevektore vo im aufgespat wird. We dieses Volume (ud somit die Determiate) 0 ist, so liege die Spaltevektore i eiem Uterraum des (z.b. 2 3 Gerade im, Gerade oder Ebee im,...) Dies hat etsprechede (us bereits bekate) uswirkuge auf die Lösbarkeit vo durch die Matrix defiierte LGS. Daraus folgt, dass die Determiate auch die Existez der Iverse bestimmt. Reguläre Matrize habe. det( ) 0 29
Marcel Dettling. Grundlagen der Mathematik II Lineare Algebra und Statistik FS 2018 Woche 01. ETH Zürich, 21. Februar 2018
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