? Inferenzschluss. Grundproblem der Inferenzstatistik. Grundgesamtheit. Zufallsstichprobe. p... beobachtete Anteil zufällig

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1 Grudproblem der Iferezstatistik Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufallsstichprobe... "wahre", ubekate Ateil icht zufällig? Iferezschluss p... beobachtete Ateil zufällig Griechische Buchstabe für Parameter der Grudgesamtheit Lateiische Buchstabe für Parameter der Stichprobe Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 1

2 Stichprobeziehug Im Folgede beschäftige wir us mit der Frage, wie wir aus de Date eier Stichprobe auf die Parameter der Grudgesamtheit schließe köe. Begriffe: - Teilerhebug oder Stichprobe (sample survey ) versus - Vollerhebug (cesus) Grüde für Stichprobeerhebug Kosteersparis Zeitgewi Praktische Umöglichkeit eier Vollerhebug Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 2

3 Stichprobetechike Arte der Stichprobeziehug Zufallsauswahlverfahre Jedes Elemet der Grudgesamtheit besitzt eie bestimmte, vo ull verschiedee Wahrscheilichkeit i die Stichprobe zu gelage. Verfahre der bewusste Auswahl Vorgabe vo Quotemerkmale, durch die gesichert wird, dass die Stichprobestruktur i wichtige Variable der Struktur der Grudgesamtheit etspricht. Problem: Verbleibeder subjektiver Spielraum lässt keie wahrscheilichkeitstheoretisch abgesicherte Aussage über die Zuverlässigkeit der Ergebisse zu. Das für die Zufallsstichprobe etwickelte statistische Kalkül der Zufallsstichprobe ist auf Quotestichprobe icht awedbar ist. Somit ist es auch icht zulässig Kofidezitervalle zu bereche. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 3

4 Zufallsauswahlverfahre Eifachste Variate: Jedes Elemet besitzt die gleiche Wahrscheilichkeit gezoge zu werde Ueigeschräkte Zufallsauswahl (simple radom samplig) I der Praxis verwedet ma: Geschichtete Zufallsstichprobe (stratified radom samplig) ermöglicht geauere Aussage i heterogee Populatioe Klumpestichprobe (cluster samplig) reduziert Erhebugskoste; oft aus praktische Grüde erforderlich Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 4

5 Prizip der Schichtug I praktische Aweduge: häufig umfagreiche heterogee Populatio Ziehe vo eifacher Zufallsstichprobe icht immer effiziet Populatio zerfällt gaz atürlich i eizele Gruppe (Schichte) Wir ziehe i eizele Schichte jeweils getret eie Zufallsstichprobe ud führe Date erst zur Auswertug zusamme erhalte so eie geschichtete (stratifizierte) Stichprobe geschichtete Stichprobe häufig i Praxis agewedet: erheblicher Effiziezgewi (Schätzer mit gerigerer Variaz), we die Schichte so gewählt werde, dass die Variable/Merkmalsträger ierhalb eier Schicht so ählich wie möglich sid. Bei gegebeer Gesamtstreuug ist das äquivalet dazu, dass sich die eizele Schichte utereiader so weit wie möglich uterscheide sollte Repräsetativität bezüglich des Schichtugsmerkmals, we Stichprobeumfäge ierhalb der Schichte proportioal zu Schichtgröße gewählt sid (proportioale Aufteilug ~ Auswahlsatz für jede Schicht gleich) Möglichkeit der getrete Auswertug vo Date i Schichte Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 5

6 Prizip der Clusterstichprobe Zugriff auf eizele Utersuchugseiheite ist icht immer ohe Probleme möglich ud kosteeffiziet Elemete der Grudgesamtheit lasse sich häufig i atürlicher Weise i sich icht überlappede Gruppe zusammefasse bezeiche diese als Cluster bzw. Klumpe Wir ziehe Zufallsstichprobe aus Mege vo Cluster, ierhalb der Cluster wird da (im eifachste Fall) eie Vollerhebug durchgeführt Ziehug auf Ebee der Cluster, icht Elemete der Populatio (z.b. Schulklasse) Clusterprizip: jeder Cluster sollte also aähred ei Abbild der Grudgesamtheit darstelle bzw. Beobachtuge sollte ierhalb eies Clusters so heteroge wie möglich sei ud sich eizele Cluster so weig wie möglich voeiader uterscheide (Gegeteil vom Schichtprizip) Clusterstichprobe werde eher aufgrud eifacher Umsetzbarkeit gewählt (gerigere Koste) oft Widerspruch zwische praktische Vorteile eier Clusterstichprobe ud Clusterprizip (Heterogeität) daher allgemei keie Variazreduktio gegeüber eifacher Zufallsstichprobe Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 6

7 Voraussetzug eier echte Zufallsauswahl "samplig frame" Zuverlässiges Register (Datebak) aller Elemete der Grudgesamtheit (samplig uits) Samplig frame ermöglicht die techische Operatioalisierug vo Zufallsauswahle eröffet gleichzeitig die Möglichkeit zur Durchführug der Erhebug (Kotaktdate: Adresse, Tel.Nr., etc) Ethält optioal zusätzliche Iformatioe zur Erhöhug der Präzisio bei der Stichprobeziehug bzw. bei der Schätzug/Hochrechug der Ergebisse (auxiliary Iformatio) Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 7

8 Typische Probleme "Selectio Bias" 1936 US-Presidet Electio 2,4 Mio Frageboge Adresse aus Telefobuch; KfZ-Registratio; Mitglieder eies Buchklubs Progose: Lado 57% Roosevelt 43% Ergebis: Roosevelt > 60% "Household Bias" populatio uits: samplig uits: Perso Haushalt Pro Haushalt wird ei Mitglied i die Stichprobe aufgeomme ==> Mitglieder vo Großfamilie sid systematisch uterrepräsetiert Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 8

9 Adere Probleme No-Respose Bias Nicht-Atworter köe sich vo de Atworter systematisch uterscheide Respose Bias Befragte wolle sich icht ehrlich deklariere Gestaltug der Frage ka Atwort beeiflusse z.b. hat i eier experimetelle Studie das Vertausche der Reihefolge vo Atwortalterative zu eier 5%-ige Veräderug des Ergebisses geführt Formulierug! Skalierug (Azahl der Atwortalterative gerade versus ugerade) Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 9

10 Fehlerstruktur bei Stichprobeerhebuge Stichprobeschätzug = Wahre Parameter + Erhebugs-Bias (Verzerrug aufgrud der Befragugstechik) + Stichprobefehler (Usicherheit aufgrud der Teilerhebug) Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 10

11 Mögliche Iferezaussage Puktschätzug Agabe eies quatitative Wertes für de ubekate Parameter Itervallschätzug Agabe eies Itervalls, das mit eier bestimmte Wahrscheilichkeit de ubekate Parameter überdeckt Hypotheseteste Aahme bzw. Zurückweisug vo Aussage über de ubekate Parameter bei eier vorgegebee Irrtumswahrscheilichkeit Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 11

12 Awedugskotext Wir betrachte eie Grudgesamtheit mit eiem biärem Merkmal (homograder Fall) Wie ka ma vo der Stichprobe auf die Grudgesamtheit schließe? Bei Ketis der Parameter der Grudgesamtheit Azahl iteressiereder Ereigisse (M) Umfag der Grudgesamtheit (N) bzw. des daraus abgeleitete Ateils =M/N wisse wir bereits, wie Aussage über zetrale Schwakugsitervalle für die Azahl (X) bzw. de Ateil (p) i der Stichprobe gemacht werde köe. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 12

13 Erforderliches theoretisches Vorwisse Ziehe ohe Zurücklege Grudgesamtheit mit N Elemete davo M mit der iteressierede Eigeschaft Stichrobe vom Umfag 1. Exakte Bestimmug der Wahrscheilichkeite aller mögliche Stichprobeergebisse mittels der Hypergeometrische Verteilug 2. Näherug der Hypergeometrische Verteilug durch die Biomialverteilug 3. Approximatio durch die Normalverteilug mit Variazformel der Hypergeometrische oder der Biomialverteilug Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 13

14 Theoretisches Vorwisse (1 Hypergeom. Vert.) Ziehe ohe Zurücklege aus eier Grudgesamtheit mit N Elemete - davo M iteressierede Elemete Stichrobe vom Umfag (0;1) 1 ) (1 1 ) (1 ) ( ) ( N N N p N N p V N M p E (0;1) 1 ) (1 1 ) (1 ) ( ) ( N N N X N N X V N M X E X Azahl der iteressierede Elemete i der Stichprobe p Ateil der iteressierede Elemete i der Stichprobe ANZAHL ANTEIL Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 14

15 Theoretisches Vorwisse (2 Biom. Verteilug) Ziehe eier Stichrobe vom Umfag Vereifachte Berechug der Variaz, falls das Ziehe mit Zurücklege erfolgt oder ei kleier Auswahlsatz (/N) gegebe ist. (0;1) ) (1 ) (1 ) ( ) ( N X X V N M X E (0;1) ) (1 ) (1 ) ( ) ( N p p V p E ANZAHL ANTEIL Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 15

16 Beispiel Parameter der Grudgesamtheit N= M= = 0,60 Parameter der Stichprobe = 100 E(X)= 60 E(p)= 0,60 Mit Stichprobekorrektur Mit Stichprobekorrektur V(X)= 23,7624 V(X)= 0,0024 s(x)= 4,8747 s(x)= 0,0487 Ohe Stichprobekorrektur Ohe Stichprobekorrektur V(X)= 24,0000 V(X)= 0,0024 s(x)= 4,8990 s(x)= 0,0490 Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 16

17 Optisch kaum uterscheidbar Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 17

18 Ergebisvergleich Hy Bi Norm mit Norm ohe Prob(p<0,5)= 0,0163 0,0168 0,0156 0,0160 Prob(p<0,6)= 0,4565 0,4567 0,4592 0,4594 Prob(p=0,6)= 0,0816 0,0812 0,0817 0,0813 Prob(0,55<p<0,65) = 0,6440 0,6416 0,6441 0,6417 Prob(X > 60)= 0,4618 0,4621 0,4592 0,4594 Exakte Ergebisse Approximatio i der Praxis Siehe Excel-Sheet Approximatioe.xlsx Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 18

19 Iklusios- bzw. Repräsetatiosschluß Bei bekatem Parameter der Grudgesamtheit habe wir bislag Aussage über die Verteilug der Stichprobegröße getroffe (Iklusio; direkter Schluss) durch Umkehrug gelage wir zur eue Aufgabe: ausgehed vo eiem Stichprobeergebis soll auf die Parameter der Grudgesamtheit geschlosse werde (Repräsetatios- oder Iferez-Schluss; idirekter Schluss) Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 19

20 Puktschätzug Da die Stichprobe zufällig ist, ist auch das Ergebis aus der Stichprobe zufällig Da wir wisse, dass der Erwartugswert für de Ateilswert der Stichprobe (p) gleich ist dem wahre Wert für de Parameter i der Grudgesamtheit, erscheit es bei Vorliege eier kokrete Stichprobe sivoll, de Stichprobeateil p als Schätzug für zu verwede. Weiters köe wir de Stadardfehler zur Ermittlug der Präzisio dieser Schätzug utze. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 20

21 Kozept der Kofidezitervalle - Beispiel Grudgesamtheit mit biärem Merkmal Kadidat-A... Erfolg Kadidat-B... Misserfolg Stichprobe mit =500 Ageomme der wahre Wert i der Grudgesamtheit sei =0.5 ud wir wähle eie Sicherheitswahrscheilichkeit vo (1-)=0,99: X sei die Azahl der Erfolge i der Stichprobe p sei der Ateil der Erfolge i der Stichprobe Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 21

22 Zetrales Schwakugsitervall - Beispiel Für das zetrale Schwakugsitervall vo X ergibt sich da P(.-2,58*s < X <.+2,58*s) = 0,99 Mit s²=..(1-).500.0,5250 s²=..(1-)=500.0,5.0,5125 s=11,18 P( *11,18< X < *11,18)= 0,99 P(221,15 < X <278,85) = 0.99 Falls der wahre Wert i der Grudgesamtheit =0.5 beträgt wird die Azahl der Befragte für Kadidat A mit eier Wahrscheilichkeit vo 99% im Itervall vo 221 bis 279 liege. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 22

23 Kozept der Kofidezitervalle Für uterschiedliche Werte vo ergebe sich atürlich verschiedee zetrale Schwakugsitervalle = 500 0,01 2,5758 Quatilswert Zetrales Schwakugsitervall für die Azahl Zetrales Schwakugsitervall für de Ateil E(X) Var(X) UG(X) OG(X) E(p) Var(p) UG(p) OG(p) 0, , ,10 0,0002 6,5% 13,5% 0, , ,15 0, ,9% 19,1% 0, , ,20 0, ,4% 24,6% 0, , ,25 0, ,0% 30,0% 0, , ,30 0, ,7% 35,3% 0, , ,35 0, ,5% 40,5% 0, , ,40 0, ,4% 45,6% 0, , ,45 0, ,3% 50,7% 0, , ,50 0, ,2% 55,8% 0, , ,55 0, ,3% 60,7% 0, , ,60 0, ,4% 65,6% 0, , ,65 0, ,5% 70,5% 0, , ,70 0, ,7% 75,3% 0, , ,75 0, ,0% 80,0% 0, , ,80 0, ,4% 84,6% 0, , ,85 0, ,9% 89,1% 0, , ,90 0, ,5% 93,5% Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 23

24 Beachte: Hiweis: Die zetrale Schwakugsitervalle i der Nähe vo =0,5 sid deutlich größer als die für Radwerte vo (z.b. 0,1 bzw. 0,9) Beobachte auch, wie sich das Schwakugsitervall bei Äderug der Fallzahl bzw. der Sicherheitswahrscheilichkeit verädert: Größere Werte vo bedige ei kleieres Schwakugsitervall (präziser aber mir gerigerer Sicherheit) Größere Fallzahle reduziere das Schwakugsitervall für de Ateil icht aber für die Azahl Siehe Excel-Sheet: Kofidezitervall Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 24

25 Die Graphik stellt für uterschiedliche Werte vo die zetrale Schwakugsitervalle mit 99% durch horizotale Liie dar Ateil i der Grudgesamtheit Azahl i der Stichprobe Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 25

26 Kofidezitervalle Trägt ma i diese Graphik de kokrete real beobachtete Stichprobewert (z.b. 260) mittels eier vertikale Liie ei, so ka ma ablese, dass ei solches Stichprobeergebis bei eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 99% mit eiem - Wert i der Grudgesamtheit vo 0,46 bis 0,58 koform geht. Higege erscheie Werte vo beispielsweise =0,7 bzw. =0,4 für de Ateil i der Grudgesamtheit mit dem Stichprobeergebis icht verträglich. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 26

27 Kofidezitervall Ateil ider Grudgesamtheit Kofidez-Bereich Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle Azahl i der Stichprobe 27

28 Formel für das Kofidezitervall Ausgagspukt: P z Auflösug P p z s p ( 1 ) ach Schwakugsitervall für p der Stichprobe bei Ketis vo i der Grudgesamtheit z ( z) ( z) 1 ( 1 ) ( 1 ) p z 1 ( 1 ) p( 1 p) ersetze durch s s 1 p p p Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 28

29 Approximatives Kofidezitervall für Ateile Liefert eie Stichprobe de empirische Ateilswert p, so überdeckt das folgede Kofidezitervall de wahre Parameter mit eier Wahrscheilichkeit vo 1-. (z sei das (1-/2)-Quatil der Stadard- Normalverteilug) UG ~ zufallsabhägig p(1 p) p(1 p) P p z p z bzw. bei großem p(1 p) p(1 p) P p z p z 1 Parameter ~ Kostat ud ubekat OG~zufallsabhägig Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 29

30 Korrekturfaktor Bei eiem relativ große Auswahlsatz ud Ziehe ohe Zurücklege ist der Korrekturfaktor zu berücksichtige: p(1 p) N p(1 p) N P p z p z 1 1 N 1 1 N 1 Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 30

31 Grudproblem der Iferezstatistik Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufallsstichprobe... "wahre", ubekate Ateil icht zufällig? Iferezschluss p... beobachtete Ateil zufällig Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 31

32 Kofidezitervall für Ateile (Zusammefassug)... "wahre", ubekate Ateil i der Grudgesamtheit p beobachtete Ateil i eier Zufallsstichprobe mit Umfag p ist eie erwartugstreue Schätzug für p ist aber eie Zufallsvariable die aufgrud der Zufälligkeit der Stichprobe eier Schwakug uterliegt Die Variaz vo p ergibt sich bei große Stichprobe ud kleiem Auswahlsatz durch: (1 )/ Die Stadardabweichug vo p et ma de Stadardfehler: s p (1 ) p(1 p) p(1 p) ˆ s p 1 Theoretischer Wert Schätzug auf Basis der Stichprobe Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 32

33 Approximatives Kofidezitervall für Ateile Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Ateil icht zufällig p... beobachtete Ateil zufällig? Iferezschluss Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 33

34 I Worte Wir erhalte ei Kofidezitervall für de wahre Ateil i der Grudgesamtheit durch folgede Formel: Ateil i der Stichprobe plus/mius dem geschätzte Stadardfehler des Stichprobeateils p multipliziert mit dem zugehörige Quatil der Normalverteilug (z) Stichprobeateil ± z*geschätzte Stadardfehler Die Wahrscheilichkeit, dass dieses Itervall de ubekate, wahre Ateil i der Grudgesamtheit überdeckt beträgt eis mius alpha. ( ) P p z ˆ s p z ˆ s 1 1 / 2 p 1 / 2 p Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 34

35 Beispiel N= Haushalte Stichprobe: =100 davo 30 Haushalte mit mehr als 1 Auto p=0,3 Puktschätzug für Gesucht 95% (=0,05) Kofidezitervall für de ubekate Ateil der Haushalte mit mehr als eiem Auto i der Grudgesamtheit Variaz der Puktschätzug: s p2 =0,3*0,7/99=0,0021 Stadardfehler: s p =0,046 Für 95% (=0,05) Kofidezitervall: z=1,96 0,3-1,96*0,046 < < 0,3 + 1,96*0,046 P(0,21 < < 0,39) = 0,95 Die Wahrscheilichkeit, dass der ubekate Ateilswert der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 21% bis 39% überdeckt wird, beträgt approximativ 95%. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 35

36 KofidezAteil.xls = 100 X= 30 p= 30,00% = Ateil i der Stichrobe (1-p)= 0,7000 var(p)= 0,0021 sigma(p)= 0,0458 = 0,05 Tab= 1,9600 Tab*sigma= 8,98% =emax UG 21,02% OG 38,98% l= 17,96% =Läge des Kofidezitervalls Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 36

37 Beispiel Gleiche Beispiel aber höhere Sicherheit der Aussage wird gewüscht: Gesucht 99% (=0,01) Kofidezitervall für p=0,3 s p2 =0,3*0,7/99=0,0021 s p =0,046 z=2,58 0,3 2,58*0,046 < < 0,3 + 2,58*0,046 P(0,18 < < 0,42) = 0,99 Die Wahrscheilichkeit, dass der ubekate Ateilswert der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 18% bis 42% überdeckt wird, beträgt 99%. Höhere Sicherheit bedigt eie weiger Präzise Aussage bzw. Hohe Präzisio impliziert häufige Fehlaussage Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 37

38 Beispiel Gleiche Beispiel aber vierfach so große Stichprobe N= Haushalte =400 mit 120 Haushalte mit mehr als 1 Auto Gesucht 95% (=0,05) Kofidezitervall für p=0,3 s p2 =0,3*0,7/399=0,0005 s p =0,023 z=1,96 0,3-1,96*0,023 < < 0,3 + 1,96*0,023 P(0,26 < < 0,34) = 0,95 Gesucht 99% (=0,01) Kofidezitervall für 0,3-2,58*0,023 < < 0,3 + 2,58*0,023 P(0,24 < < 0,36) = 0,99 Vierfache Stichprobe halbiert die Läge des Kofidezitervalls! Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 38

39 Läge des Kofidezitervalls P p z p ( 1 p ) p z p ( 1 p ) L 2 z 1 / 2 p( 1 p) 1 Hägt ab: vo der Wahl vo (mit größerem [~Irrtumswahrscheilichkeit] wird Läge kleier) vom Stichprobeumfag (mit größerem wird Läge kleier; Wurzelgesetz! ) vo der Größe vo p bzw. (bei p=1/2 maximal) Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 39

40 Kofidezitervall mit wachsedem Stichprobeumfag Beobachtete Resposerate p = 50% Irrtumswahrscheilichkeit. alpha = 0,05 Kofideziveau... 1-alpha = 0,95 Fall zahl Stadardfehler KONFIDENZINTERVALL Utergreze Obergreze Maximaler Fehler 30 0,091 32,1% 67,9% 17,9% 40 0,079 34,5% 65,5% 15,5% 50 0,071 36,1% 63,9% 13,9% 60 0,065 37,3% 62,7% 12,7% 70 0,060 38,3% 61,7% 11,7% 80 0,056 39,0% 61,0% 11,0% 90 0,053 39,7% 60,3% 10,3% 100 0,050 40,2% 59,8% 9,8% 200 0,035 43,1% 56,9% 6,9% 300 0,029 44,3% 55,7% 5,7% 400 0,025 45,1% 54,9% 4,9% 500 0,022 45,6% 54,4% 4,4% 600 0,020 46,0% 54,0% 4,0% 700 0,019 46,3% 53,7% 3,7% 800 0,018 46,5% 53,5% 3,5% 900 0,017 46,7% 53,3% 3,3% ,016 46,9% 53,1% 3,1% ,013 47,5% 52,5% 2,5% ,011 47,8% 52,2% 2,2% ,010 48,0% 52,0% 2,0% ,009 48,2% 51,8% 1,8% ,008 48,3% 51,7% 1,7% ,008 48,5% 51,5% 1,5% 70,0% 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 40

41 Bestimmug des Stichprobeumfages (1) 2 4 z (1 ) 1 /2 2 L Beachte die Formel impliziert ei Vorwisse über de ubekate Parameter Falls keie a-priori Ketis bezüglich besteht, geht ma vom worst case =1/2 aus. Für =1/2 wird der Ausdruck (1- ) maximal, wodurch sich die Formel wie folgt vereifacht: z 2 1 / 2 2 Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 41 L

42 Bestimmug des Stichprobeumfages (2) L = 2 e max e max... Maximaler Fehler, des Kofidezitervalls; bezeichet bei vorgegebeem Sigifikaziveau, die maximale plus/mius Abweichug vom wahre Parameter Beispiel: Bestimme, so dass der maximaler Fehler e max höchstes 5 Prozetpukte beträgt ==> d.h. die gesamte Läge des Kofidezitervalls also maximal 10% - L=0,10 Ohe Vorketis vo p: Bei =0,05: >1,96²/0,01=384,1 ==> =385 Bei =0,01: >2,58²/0,01=663,5 ==> =664 Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 42

43 Beispiele Umfrage bei =2.000 Wahlberechtigte Wie geau ka ei Ateil bei eiem Kofideziveau vo 95% vorhergesagt werde? p Wurzel[p(1-p)/] max. Fehler Läge des KI 0,1 0,0067 ±1,31% 2,62% 0,2 0,0089 ± 1,75% 3,50% 0,3 0,0102 ± 2,01% 4,02% 0,4 0,0110 ± 2,15% 4,30% 0,5 0,0112 ± 2,19% 4,38% Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 43

44 Beispiel Gesucht ist eie Stichprobe vom Umfag, mit der der Ateil der Ja-Wähler bei eier Volksabstimmug auf 1% geau geschätzt werde ka (L=0,02) Sicherheitsiveau 0,95 a) bei Vorketis, dass ~0,25 sei: =4*3,84*0,1875/0,0004= z (1 ) 1 /2 2 L b) ohe Vorketis über de Ateil = 3,84/0,0004=9.604 z 2 1 / 2 2 L Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 44

45 Beispiele aus de Medie Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 45

46 =1022 = 1022 X= 491 p= 48,0% = Ateil i der Stichrobe (1-p)= 0,5196 var(p)= 0,0002 sigma(p)= 0,0156 = 0,05 Tab= 1,9600 Tab*sigma= 3,06% =emax UG 44,98% OG 51,11% l= 6,13% =Läge des Kofidezitervalls Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 46

47 Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 47

48 Überprüfug der Geauigkeitsagabe = 401 X= 213 p= 53,1% = Ateil i der Stichrobe (1-p)= 0,4688 var(p)= 0,0006 sigma(p)= 0,0249 = 0,05 Tab= 1,9600 Tab*sigma= 4,88% =emax UG 48,23% OG 58,00% l= 9,77% =Läge des Kofidezitervalls Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 48

49 Methodology This survey was fielded Jue 14 & 15, 2007 as part of the Hays Research Group Alaska Statewide Opiio Couts Survey. 401 respodets were iterviewed. The margi of error for the data collected is +/- 4.9 % for a 401 respose survey for the data aalyzed i its etirety with a 95% cofidece level; meaig that we ca be 95% sure that if every residet of the State was actually surveyed, the results would vary by o more tha 4.9% i either directio. The survey sample used was a computer geerated radom list derived from a database of all households withi the State of Alaska with workig telephoe umbers who have at least oe member who has voted i at least two of the last four statewide electios. The sample frame was desiged to accurately reflect the actual populatio percetages. Respodets were screeed to cofirm they were over 18 ad each household was attempted at least four times over a period of several days to accout for o-respose bias. Data was aalyzed utilizig SPSS Quacept Software. Iterviews were coducted by traied staff with o-site supervisio utilizig state of the art computer assisted telephoe iterviewig (CATI). Radom iterviews were moitored to assure quality cotrol measures were followed. Dialig results were aalyzed daily to assure statistically accurate distributio of call dispositio i order to accout for orespose variables. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 49

50 Beispiele: Kofidezitervall für Ateile Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe vo =600 Befragte ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde. Welche Aussage köe Sie für de Ateil i der Grudgesamtheit treffe, we Sie bereit sid mit eier 5%- Irrtumswahrscheilichkeit zu argumetiere? P p p( 1 p) p( 1 p) z p z 1 Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 50

51 Beispiele: Kofidezitervall für Ateile Stichprobe mit p=0,30 ud =600 p*(1-p)=0,3*0,7=0,21 z=1,96 s p =(0,3*0,7/600) 1/2 =0,0187 P(0,30-1,96*0,0187 < < 0,30+1,96*0,0187)=0,95 P(26,33%<<33,67%)=0,95 Die Wahrscheilichkeit, dass der ubekate Ateilswert i der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 26,33% bis 33,67% überdeckt wird, beträgt 95%. Falls Sie bereit sid Ihre Irrtumswahrscheilichkeit auf 10% zu erhöhe, komme Sie zu folgedem Ergebis: z=1,64 P(26,92%<<33,08%)=0,90 Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 51

52 Ivertierte Fragestelluge (1a) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe vo =600 Befragte ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit daher durch ei Itervall vo 29% bis 31% abgedeckt wird. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass diese Aussage korrekt ist? e max =0,01 e max = z.s p s p =(0,3*0,7/600) 1/2 =0,0187 z= e max /s p z=0,5345 Q(z) = Q(0,5345) = 0,7035 0,7035=1-/2 /2=0,296 =0,593 Kofideziveau des Itervalls: 40,7% alpha/2 1-alpha 0,296 0,296 40,7% alpha/ Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 52

53 Ivertierte Fragestelluge (1b) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe vo =600 Befragte ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit daher durch ei Itervall vo 28% bis 32% abgedeckt wird. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass diese Aussage korrekt ist? e max =0,02 s p =0,0187 z= e max /s p ==> z=1,0690 ==> Q(z) = Q(1,0690) = 0,8575 /2=0,143 Wahrscheilichkeit eier korrekte Aussage 71,5% alpha 0,143 0, Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 53 alpha/2 0,715 alpha/2

54 Ivertierte Fragestelluge (2a) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus mit 95%-Sicherheit abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 29% bis 31% abgedeckt wird. Wie groß muss die Stichprobe gewese sei? e max =0,01 z=1,96 > p(1-p)*z²/e max ² ==> > 8.067,04 Die Stichprobe muss Respodete umfasst habe. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 54

55 Ivertierte Fragestelluge (2b) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus mit 95%-Sicherheit abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 28% bis 32% abgedeckt wird. Wie groß muss die Stichprobe gewese sei? e max =0,02z=1,96 e max = z.s p p(1-p)=0,21 > p(1-p)*z²/e² ==> > 2.016,76 Die Stichprobe muss Respodete ethalte. Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 55

56 Umfrage im Tred Februar 2015 = 447 X= 300 p= 67,1% = Ateil i der Stichrobe (1-p)= 0,3289 var(p)= 0,0005 sigma(p)= 0,0222 = 0,05 Tab= 1,9600 Tab*sigma= 4,36% =emax UG 62,76% OG 71,47% l= 8,71% = Läge des KI = 447 X= 300 p= 67,1% = Ateil i der Stichrobe (1-p)= 0,3289 var(p)= 0,0005 sigma(p)= 0,0222 = 0,01 Tab= 2,5758 Tab*sigma= 5,72% =emax UG 61,39% OG 72,84% l= 11,45% = Läge des KI Statistik 2 für SoziologIe - Kofidezitervalle 56