CT I SS Computational Physics - Blatt Trapezregel. Numerische Berechnung von Integralen. Vorarbeiten: e

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1 - Comutational Physics - CT I SS 6 Blatt 5 Numerische Berechnung von Integralen Vorarbeiten: Man entwickle zuerst universell verwendbare Subroutinen für die folgenden Integrations-Verfahren: Simson, Gauß-Legendre, Gauß-Hermite, Gauß-Laguerre. Die Korrektheit der Routinen überrüfe man dann an selbst gewählten einfachen Integralen. Diese so entwickelten Routinen benutze man zur Lösung der folgenden Aufgaben (mit Ausnahme Aufgabe 1). In allen Fällen veranschauliche man grahisch den Verlauf des jeweiligen Integranden. Hinweis: Zur Berechnung der Knoten und Wichte der Gauß- Verfahren können die Routinen: Gausle, Gaushe und Gausla übernommen werden. Die zugrundliegenden Algorithmen werden im zweiten Teil des CT abgeleitet. Hier können diese Routinen als Black-Box -Routinen eingesetzt werden. Sie stehen auf: \\nwz\kurs.g1\numerics\integral 1. Traezregel Untersuchen Sie die Lösung des folgenden Integrals: 1 α x I = e cos bx dx ; α =.5, b = 5 Die Stammfunktion dieses Integrals kann analytisch bestimmt werden: α x e F( x) = ( α cos bx + b sin bx) α + b Stellen Sie zunächst den Integranden grahisch dar und berechnen Sie danach die exakte Lösung für Vergleichszwecke. Zur numerischen Lösung entwickle man ein Programm unter Benutzung der Traezregel. Diskutieren Sie, mit welcher Genauigkeit das Integral numerisch bestimmt werden kann. Wie läßt sich die Genauigkeit verbessern?. Errorfunktion Die Errorfunktion ist durch folgendes Integral definiert: t erf ( x) = e π x 1

2 Man berechne die Errorfunktion durch numerische Bestimmung des Integrals und zeichne die Funktion für x 5. Auch hier überlege man sich Genauigkeit und Effizienz der dn( t) t = e Man löse dieses Problem durch numerische Integration. Dazu wähle man ein geeignetes Verfahren aus. verschiedenen Verfahren. Kennen Sie andere Möglichkeiten, die Errorfunktion zu berechnen? Diskutieren Sie ausführlich den numerischen Aufwand bezüglich der erreichbaren Genauigkeit im Vergleich zur analytischen Lösung, die für diesen Fall einfach berechnet werden 3. Integration eines Sektrums kann. In einem Exeriment wurde die Größe dn( t) gemessen, d.h. die Zahl von Teilchen, die in einen Einheitszeitintervall in 4. Berechnung eines elektrostatischen Potentials einen Zähler eintreten, als Funktion der Zeit. Gesucht ist nun die Gesamtzahl der Teilchen, die in der ersten Sekunde eingetreten sind: N(1) 1 = dn( t) Zur Lösung dieses Problems nehmen wir an, dass dn( t) näherungsweise einem exonentiellen Abfall genügt: Das elektrostatische Potential einer gleichmäßigen Ladungsverteilung ρ soll an einem Punkt ( x, y ) berechnet werden. 3 4

3 Die Ladung verteile sich auf einer quadratischen Fläche der Länge 1, d.h. 1 x + 1 und 1 y + 1. Das hierdurch bedingte Potential erhält man durch Integration über den Ladungsbereich: ρ dx dy Φ ( x, y ) = 4 πε ( x x ) + ( y y ) 1 1 Zur Berechnung des Potentials gehe man zu normierten Größen über, d.h. man setze einfachheitshalber ρ / 4πε = 1. Man berechne Φ für verschiedene Werte ( x, y ). Wie verhält sich das Potential bei kleinen bzw. großen Entfernungen. 5 6

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5 - Comutational Physics - CT I SS 6 Blatt 5 Numerische Berechnung von Integralen Vorarbeiten: Man entwickle zuerst universell verwendbare Subroutinen für die folgenden Integrations-Verfahren: Simson, Gauß-Legendre, Gauß-Hermite, Gauß-Laguerre. Die Korrektheit der Routinen überrüfe man dann an selbst gewählten einfachen Integralen. Diese so entwickelten Routinen benutze man zur Lösung der folgenden Aufgaben (mit Ausnahme Aufgabe 1). In allen Fällen veranschauliche man grahisch den Verlauf des jeweiligen Integranden. Hinweis: Zur Berechnung der Knoten und Wichte der Gauß- Verfahren können die Routinen: Gausle, Gaushe und Gausla übernommen werden. Die zugrundliegenden Algorithmen werden im zweiten Teil des CT abgeleitet. Hier können diese Routinen als Black-Box -Routinen eingesetzt werden. Sie stehen auf: \\nwz\kurs.g1\numerics\integral 1. Traezregel Untersuchen Sie die Lösung des folgenden Integrals: 1 α x I = e cos bx dx ; α =.5, b = 5 Die Stammfunktion dieses Integrals kann analytisch bestimmt werden: α x e F( x) = ( α cos bx + b sin bx) α + b Stellen Sie zunächst den Integranden grahisch dar und berechnen Sie danach die exakte Lösung für Vergleichszwecke. Zur numerischen Lösung entwickle man ein Programm unter Benutzung der Traezregel. Diskutieren Sie, mit welcher Genauigkeit das Integral numerisch bestimmt werden kann. Wie läßt sich die Genauigkeit verbessern?. Errorfunktion Die Errorfunktion ist durch folgendes Integral definiert: t erf ( x) = e π x 1

6 Man berechne die Errorfunktion durch numerische Bestimmung des Integrals und zeichne die Funktion für x 5. Auch hier überlege man sich Genauigkeit und Effizienz der dn( t) t = e Man löse dieses Problem durch numerische Integration. Dazu wähle man ein geeignetes Verfahren aus. verschiedenen Verfahren. Kennen Sie andere Möglichkeiten, die Errorfunktion zu berechnen? Diskutieren Sie ausführlich den numerischen Aufwand bezüglich der erreichbaren Genauigkeit im Vergleich zur analytischen Lösung, die für diesen Fall einfach berechnet werden 3. Integration eines Sektrums kann. In einem Exeriment wurde die Größe dn( t) gemessen, d.h. die Zahl von Teilchen, die in einen Einheitszeitintervall in 4. Berechnung eines elektrostatischen Potentials einen Zähler eintreten, als Funktion der Zeit. Gesucht ist nun die Gesamtzahl der Teilchen, die in der ersten Sekunde eingetreten sind: N(1) 1 = dn( t) Zur Lösung dieses Problems nehmen wir an, dass dn( t) näherungsweise einem exonentiellen Abfall genügt: Das elektrostatische Potential einer gleichmäßigen Ladungsverteilung ρ soll an einem Punkt ( x, y ) berechnet werden. 3 4

7 Die Ladung verteile sich auf einer quadratischen Fläche der Länge 1, d.h. 1 x + 1 und 1 y + 1. Das hierdurch bedingte Potential erhält man durch Integration über den Ladungsbereich: ρ dx dy Φ ( x, y ) = 4 πε ( x x ) + ( y y ) 1 1 Zur Berechnung des Potentials gehe man zu normierten Größen über, d.h. man setze einfachheitshalber ρ / 4πε = 1. Man berechne Φ für verschiedene Werte ( x, y ). Wie verhält sich das Potential bei kleinen bzw. großen Entfernungen. 5 6

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9 - Comutational Physics - CT I SS 6 Blatt 5 Numerische Berechnung von Integralen Vorarbeiten: Man entwickle zuerst universell verwendbare Subroutinen für die folgenden Integrations-Verfahren: Simson, Gauß-Legendre, Gauß-Hermite, Gauß-Laguerre. Die Korrektheit der Routinen überrüfe man dann an selbst gewählten einfachen Integralen. Diese so entwickelten Routinen benutze man zur Lösung der folgenden Aufgaben (mit Ausnahme Aufgabe 1). In allen Fällen veranschauliche man grahisch den Verlauf des jeweiligen Integranden. Hinweis: Zur Berechnung der Knoten und Wichte der Gauß- Verfahren können die Routinen: Gausle, Gaushe und Gausla übernommen werden. Die zugrundliegenden Algorithmen werden im zweiten Teil des CT abgeleitet. Hier können diese Routinen als Black-Box -Routinen eingesetzt werden. Sie stehen auf: \\nwz\kurs.g1\numerics\integral 1. Traezregel Untersuchen Sie die Lösung des folgenden Integrals: 1 α x I = e cos bx dx ; α =.5, b = 5 Die Stammfunktion dieses Integrals kann analytisch bestimmt werden: α x e F( x) = ( α cos bx + b sin bx) α + b Stellen Sie zunächst den Integranden grahisch dar und berechnen Sie danach die exakte Lösung für Vergleichszwecke. Zur numerischen Lösung entwickle man ein Programm unter Benutzung der Traezregel. Diskutieren Sie, mit welcher Genauigkeit das Integral numerisch bestimmt werden kann. Wie läßt sich die Genauigkeit verbessern?. Errorfunktion Die Errorfunktion ist durch folgendes Integral definiert: t erf ( x) = e π x 1

10 Man berechne die Errorfunktion durch numerische Bestimmung des Integrals und zeichne die Funktion für x 5. Auch hier überlege man sich Genauigkeit und Effizienz der dn( t) t = e Man löse dieses Problem durch numerische Integration. Dazu wähle man ein geeignetes Verfahren aus. verschiedenen Verfahren. Kennen Sie andere Möglichkeiten, die Errorfunktion zu berechnen? Diskutieren Sie ausführlich den numerischen Aufwand bezüglich der erreichbaren Genauigkeit im Vergleich zur analytischen Lösung, die für diesen Fall einfach berechnet werden 3. Integration eines Sektrums kann. In einem Exeriment wurde die Größe dn( t) gemessen, d.h. die Zahl von Teilchen, die in einen Einheitszeitintervall in 4. Berechnung eines elektrostatischen Potentials einen Zähler eintreten, als Funktion der Zeit. Gesucht ist nun die Gesamtzahl der Teilchen, die in der ersten Sekunde eingetreten sind: N(1) 1 = dn( t) Zur Lösung dieses Problems nehmen wir an, dass dn( t) näherungsweise einem exonentiellen Abfall genügt: Das elektrostatische Potential einer gleichmäßigen Ladungsverteilung ρ soll an einem Punkt ( x, y ) berechnet werden. 3 4

11 Die Ladung verteile sich auf einer quadratischen Fläche der Länge 1, d.h. 1 x + 1 und 1 y + 1. Das hierdurch bedingte Potential erhält man durch Integration über den Ladungsbereich: ρ dx dy Φ ( x, y ) = 4 πε ( x x ) + ( y y ) 1 1 Zur Berechnung des Potentials gehe man zu normierten Größen über, d.h. man setze einfachheitshalber ρ / 4πε = 1. Man berechne Φ für verschiedene Werte ( x, y ). Wie verhält sich das Potential bei kleinen bzw. großen Entfernungen. 5 6

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13 - Comutational Physics - CT I SS 6 Blatt 5 Numerische Berechnung von Integralen Vorarbeiten: Man entwickle zuerst universell verwendbare Subroutinen für die folgenden Integrations-Verfahren: Simson, Gauß-Legendre, Gauß-Hermite, Gauß-Laguerre. Die Korrektheit der Routinen überrüfe man dann an selbst gewählten einfachen Integralen. Diese so entwickelten Routinen benutze man zur Lösung der folgenden Aufgaben (mit Ausnahme Aufgabe 1). In allen Fällen veranschauliche man grahisch den Verlauf des jeweiligen Integranden. Hinweis: Zur Berechnung der Knoten und Wichte der Gauß- Verfahren können die Routinen: Gausle, Gaushe und Gausla übernommen werden. Die zugrundliegenden Algorithmen werden im zweiten Teil des CT abgeleitet. Hier können diese Routinen als Black-Box -Routinen eingesetzt werden. Sie stehen auf: \\nwz\kurs.g1\numerics\integral 1. Traezregel Untersuchen Sie die Lösung des folgenden Integrals: 1 α x I = e cos bx dx ; α =.5, b = 5 Die Stammfunktion dieses Integrals kann analytisch bestimmt werden: α x e F( x) = ( α cos bx + b sin bx) α + b Stellen Sie zunächst den Integranden grahisch dar und berechnen Sie danach die exakte Lösung für Vergleichszwecke. Zur numerischen Lösung entwickle man ein Programm unter Benutzung der Traezregel. Diskutieren Sie, mit welcher Genauigkeit das Integral numerisch bestimmt werden kann. Wie läßt sich die Genauigkeit verbessern?. Errorfunktion Die Errorfunktion ist durch folgendes Integral definiert: t erf ( x) = e π x 1

14 Man berechne die Errorfunktion durch numerische Bestimmung des Integrals und zeichne die Funktion für x 5. Auch hier überlege man sich Genauigkeit und Effizienz der dn( t) t = e Man löse dieses Problem durch numerische Integration. Dazu wähle man ein geeignetes Verfahren aus. verschiedenen Verfahren. Kennen Sie andere Möglichkeiten, die Errorfunktion zu berechnen? Diskutieren Sie ausführlich den numerischen Aufwand bezüglich der erreichbaren Genauigkeit im Vergleich zur analytischen Lösung, die für diesen Fall einfach berechnet werden 3. Integration eines Sektrums kann. In einem Exeriment wurde die Größe dn( t) gemessen, d.h. die Zahl von Teilchen, die in einen Einheitszeitintervall in 4. Berechnung eines elektrostatischen Potentials einen Zähler eintreten, als Funktion der Zeit. Gesucht ist nun die Gesamtzahl der Teilchen, die in der ersten Sekunde eingetreten sind: N(1) 1 = dn( t) Zur Lösung dieses Problems nehmen wir an, dass dn( t) näherungsweise einem exonentiellen Abfall genügt: Das elektrostatische Potential einer gleichmäßigen Ladungsverteilung ρ soll an einem Punkt ( x, y ) berechnet werden. 3 4

15 Die Ladung verteile sich auf einer quadratischen Fläche der Länge 1, d.h. 1 x + 1 und 1 y + 1. Das hierdurch bedingte Potential erhält man durch Integration über den Ladungsbereich: ρ dx dy Φ ( x, y ) = 4 πε ( x x ) + ( y y ) 1 1 Zur Berechnung des Potentials gehe man zu normierten Größen über, d.h. man setze einfachheitshalber ρ / 4πε = 1. Man berechne Φ für verschiedene Werte ( x, y ). Wie verhält sich das Potential bei kleinen bzw. großen Entfernungen. 5 6

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