8. Vorlesung Grundlagen der analogen Schaltungstechnik Filtersynthese

Transkript

1 8. Vorleung Grundlagen der analogen Schaltungtechnik Filterynthee

2 H()= Nulltellen (o): Pole (x): 5, 3 3,, 3 x Re( ), y Im( ), z H( ) mit j Im - - Re - - Magnitude db 3.E 3.E.E.E.E Frequency.6 Phae deg E 3.E.E.E.E Frequency

3 Pole und Nulltellen, Frequenzgang H(j) & Bodediagramm 3

4 H() Pol/Nulltellendiagramm Faktoriierung ( )( )...( m ) H( ) k von H(): ( )( )...( n ) eien die Nulltellen H() und die Pole von H() Merke: Der Nenner it da charakteritiche Polynom P() der entprechenden Differentialgleichung! Im H()= Nulltellen (o): 5 3 Pole (x):, 3, 3 5 3, Eigenfrequenzen oder Eigenwerte der DGL! Re 4

5 Frequenzgang H(j) & Bodediagramm Faktoriierung ( )( )...( m ) H ( ) von H(): ( )( )...( n ) eien die Nulltellen H() und die Pole von H() Merke: Der Nenner it da charakteritiche Polynom P() der entprechenden Differentialgleichung! Für eine fete Frequenz f, d.h. j, kann ein Term ( ) ( j ) al Ortvektor in der komplexen - Ebene interpretiert werden ( j ) j -Ebene ( j ) j 5

6 Betrag und Phae E gilt: ( j ) ( j ) e arg ( j ) ( j ) j Phaor Betrag Phae graphiche Interpretation de Frequenzverhalten: Betrag ( j ) j -Ebene groß j Im( ) größer Re Im 45 o Phae: arg ( j ) klein Grenzfrequenz!! 6

7 Superpoition von Ortvektoren ( Fahrtrahl, Zeigern) Umchreiben der faktoriierten H() in Polarform: H ( ) ( ) ( )... ( ) e m ( ) ( )... ( ) e n... m... n Trick: Überlagerung (Superpoition) de Beitrag jede Pol bzw. Nulltelle it möglich, wenn Logarithmu angewandt wird: log( ( ) ( )... ( ) ) m log( ( ) ) log( ( ) )... log( ( ) ) m Daelbe gilt für da Nennerpolynom. 7

8 Aymptotiche Verhalten (für Nulltelle) log k db log H( j) X k j k ( j ) k kont log( ( ) ) x H j x log( ) H( ) in db log log,a H( ) in für H( ) kont ~ für H ( ) ~ - ( ) k j ~ a X a db log ( ) (Exponent von )* db= Steigung pro Dekade 8

9 Reelle Nulltelle bei idealiierte/reale Verhalten H( j) reale Kurve 3 db log Antieg bei f Maßtab log( j ) log( ) log( j ) Offet f f bzw. (log Maßtab) Phaengang: Phae bei f Phae p 4 p = 45 p 4 = 45 p 9

10 Reeller Pol bei idealiierte/reale Verhalten log Offet j H( j) log Maßtab Phae log( ) log j p 4 p = 45 p 4 = 45 p reale Kurve f 3 db Abfall bei f 45 Phae bei Phaengang:.. 9 f

11 Mit R = R : Allpa. Im.5 Amplitudengang: = db Re Phaengang: Übung: Grundlagen der analogen Schaltungtechnik (GaST oder kurz GST)

12 Beipiel Bodediagramm. 6 5 Im Re Magnitude db E.E.E.E3.E4 Im Frequency Re Phae deg E.E.E.E3.E4 Frequency

13 3

14 Filterynthee und PSpice Simulation (normiert H() = ) f_nullt V R 4 L f_pol.594 R L 3.59 v OPI 5 f_nullt R4 L e 4 f_pol 5 R3 L3 6 7 v e 5 OPI R6 f_pol R5 L e 5 v3 OPI V 4

15 Filterynthee und PSpice Simulation (H() = v = u) V f_nullt R 4 L f_pol.594 R L 3.59 v 5 OPI f_nullt R4 L e 4 f_pol 5 R3 L3 6 7 v e 5 OPI R6 f_pol R5 L8 v e 5 OPI R7 5k R8 3 v4 4 OPI 4 V 5 linear 5

16 Filterynthee ( )( 5)( k) ( )( 5)( k) ( 5 k) Stellen Sie eine zugehörige Übertragungfunktion auf! Wie könnte ein entprechende Filter realiiert werden? 6

17 Filterynthee ( )( 5)( k) ( )( 5)( k) ( 5 k) ( ) ( 5) ( k) ( k) ( ) ( 5) ( k) ( k) ( 5 k) ( 5 k) 7

18 RR(R L )(R4 L4 )(R6 L6 )(R8 L8 )V (RL )(RL )(R3 L3 )(R5 L5 )(R7 L7 )(R9 L9 ) R R4 R6 R8 Nulltellen,,, L L4 L6 L8 Im. E6 doppelt. E4. E Re. E6. E4. E. E. E4. E6. E R R R3 R5 R7 R9 Pole,,,,, L L L3 L5 L7 L9. E4. E6 8

19 H() Pol/Nulltellendiagramm Faktoriierung ( )( )...( m ) H ( ) von H(): ( )( )...( n ) eien die Nulltellen H() und die Pole von H() Merke: Der Nenner it da charakteritiche Polynom P() der entprechenden Differentialgleichung! Im H()= Nulltellen (o): 5 3 Pole (x):, 3, 3 5 3, Eigenfrequenzen oder Eigenwerte der DGL! Re 9

20 H () H( j) 86 6 j8( j) 3 38 j 39( j) 8( j) 3 Nulltellen (o): 5 3 Pole (x): Im, 3, 3 5 3, 3 H( j) Magnitude ( ) ( ) E 5.E.E 5.E.E 5.E.E Frequency Re P hae de g E 5.E.E 5.E.E 5.E.E Frequency - erpolatingfunction.,., f V$ f

21 Filterynthee au H() + - R 3/43 V R 5 3/86 C L /86 v + OPI C L 6 9/86 7 R3 /3 8 C3 9 C4 3/ - v + OPI H()= = Im C C C R C C L C C C R C C L - - Re - -

22 Realiierung über PBZ

23 Analye eine Filter. Ordnung (Aufgabe 7) V V R C 3. C R v OPI 4 V. E. E. E. E. E Frequency M agnitude d B P hae de g E. E. E. E. E Frequency Im C R V C R C R C R C R V C R C R C C R R InterpolatingFunction.,.6483, f V$4 f Re -3 3

24 Analye eine Filter. Ordnung (Aufgabe 7) Im 3 In[6]:= pole Solve Denominator ol, Factor Out[6]= C R C R C R C R 4 C C R R C C R R, M agnitude d B E. E. E. E. E Frequency Re C R C R C R C R 4 C C R R C C R R In[7]:= polen pole. GetDeignPoint equation Out[7]=. 3.,. 3. P hae de g E. E. E. E. E Frequency polatingfunction.,.648, f V$4 f C R V C R C R C C R R In[5]:= olvedfunctionn ol. V, C, R, R, C, Simulator "PSpice" Simplify Out[5]=. I H( j) ( ) 4

25 Filter mit Operationvertärker Frequenzgang & Tranientantwort Nulltelle: H( j) Pole: 3j j ( j) ( j) Hier teht die DGL/char. Polynom in j d ua ( t) ua ( t) ua ( t) co( t) dt H( j) ( ) p ua _ part ( t) co arctan t ( ) u ( t) k e co(3 t) k e in(3 t) t t a _ hom t ke co(3 t ) 5

26 Filter mit Operationvertärker Frequenzgang & Tranientantwort Nulltelle: H( j) Pole: 3j j ( j) ( j) Hier teht die DGL/char. Polynom in j d ua ( t) ua ( t) ua ( t) co( t) dt H( j) ( ) u a _ part ( t) p cot p arctan ) ( u ( t) k e co(3 t) k e in(3 t) t t a _ hom t ke co(3 t ) 6

27 Filter mit Operationvertärker Frequenzgang & Tranientantwort Nulltelle: H( j) Pole: 3j j ( j) ( j) Hier teht die DGL/char. Polynom in j d ua ( t) ua ( t) ua ( t) co( t) dt H( j) ( ) u a _ part () t p co arctan t ( ) u ( t) k e co(3 t) k e in(3 t) t t a _ hom t ke co(3 t ) 7

28 P/N, 3D- & Bodediagramm (Frequenzgang) H ( ) mit j Im 3 charakteritichen Re 3 3 Pole= Nulltellen de Polynom der DGL 3j 3 Filterverhalten: logarithmiche Acheneinteilung in db lineare Acheneinteilung Imaginärache 8

29 Güte v. Reonanzüberhöhung, Fahrtrahl H Q Solve[w + w ൨ Q +, 4Q j j Q Q Q 4Q 9

30 Eigenfrequenz, Reonanzfrequenz, Cut-Off- oder Grenzfrequenz Reonanzfrequenz: Da Maximum (= die Peakfrequenz) der Übertragungfunktion (d.h. partikuläre Löung, KWSR) Eigenfrequenz: Frequenz der Eigenchwingung de homogenen Sytem (Imaginärteil de Eigenwert, d.h. Nulltelle de charakteritichen Polynom der DGL), biweilen wird darunter auch der geamte Eigenwert (d.h. Real- und Imaginärteil) oder deen Betrag vertanden. Cut-Off-Frequenz: Grenzfrequenz eine Filter, normalerweie it da die 3dB Eckfrequenz. Da it aber nicht immer o, bei dem in der HA betrachteten Bandpa it e die Reonanzfrequenz (Peakfrequenz), da diee den Bandpa charakteriiert. 3

31 Eigenfrequenz (hom.) v. Reonanzfrequenz (part.) Hwbetr Ab Numerator Hw ComplexExpand Ab Denominator Hw ComplexExpand C R w C L w refreq Solve D Hwbetr, w, w w, w L C R C L, w L C R C L H _ R C C L Together Solve C R C L, C R C 4 L C R, C L C R C 4 L C R C L C R C L ol L C R C L, C R C 4 L C R C L. R., C, L N , ol L C R C L, C R C 4 L C R C L. R, C, L N.777,

32 Filterfunktionen Tiefpa und Bandpa.Ordnung Tiefpa.Ordnung Bandpa.Ordnung Reonanzfrequenz (Peak im Frequenzgang): Poltellen: Maximum der Übertragungfunktion: 3

33 Ein Blick in Richtung Hauaufgabe: Tow-Thoma-Biquad-Filter (volltändig) RR3R4R6RFB RR3R5R6RFB (CRRR3R4R6RFB C3RR3R4R5R6RFB CRR3R4R5RFARFB) CCRRR3R4R5RFARFB RR 4R5R6RFB CRR3R4R5R6RFA CC RR R3R4R5R6RFA C R R R4 R6 C3 R R4 R5 R6 C R R4 R5 RFA 4 C C R R R4 R5 R R4 R R5 R6 RFA C R R R4 R6 C3 R R4 R5 R6 C R R4 R5 RFA C C R R R4 R5 RFA C R R R4 R6 C3 R R4 R5 R6 C R R4 R5 RFA 4 C C R R R4 R5 R R4 R R5 R6 RFA C R R R4 R6 C3 R R4 R5 R6 C R R4 R5 RFA C C R R R4 R5 RFA, C R R3 RFA C R R3 RFA C R R3 RFA 4 C R RFB C C R R R3 RFA, Nulltellen C R R3 RFA C R R3 RFA C R R3 RFA 4 C R RFB C C R R R3 RFA Pole 33

34 Tow-Thoma-Biquad-Filter (volltändig) RR3R4R6RFB RR3R5R6RFB (CRRR3R4R6RFB C3RR3R4R5R6RFB CRR3R4R5RFARFB) CCRRR3R4R5RFARFB RR 4R5R6RFB CRR3R4R5R6RFA CC RR R3R4R5R6RFA 34

35 Active Filter: Complete Tow-Thoma Biquad The Tow-Thoma Biquad can achieve all filter function with addition of extra paive component a hown ) V ( ) V o ( ) ( C R RC R R C RR RR R R C C C A v 35

36 ua R R R U R R U R

37 37

38 OPV-Grundchaltungen 38

39 Netzwerke und Filter Mathematiche Struktur z-operator Differentialgleichungen Differenzengleichungen D-Operator Lineare Abb., Operatoren Skalarprodukte Normen Ditributionen verallgem. Funktionen Funktionalanalyi Fouriertranformation Laplacetranformation verallgemeinerte Laplacetranformation z-tranformation orthogonale Funktionen & Approximation Fourierreihen Filter Orthogonale Polynome PDGLn E-Felder 39

40 Definition Skalarprodukt Skalarprodukt (Bilineare Abbildung) Sei V Vektorraum über dem Körper ( IK,, ). x, y IR oder C, und x, y V heißt bilineare Abbildung oder Skalarprodukt, wenn: (a) x x, y x,y x,y (b) cx, y c x, y für alle c IK (c) x, x x, x bzw. x, x x, x (d) x, x, für alle x 4

41 Definition Norm Norm Sei x V ein Vektorraum und :V IR. Eine Funktion heißt Norm de Vektor x, wenn (a) xv : x (b) x x (c) x V, a IK : a x a x (d) x y x y Ein Skalarprodukt definiert eine pezielle Norm ( Betrag ): x x, x 4

42 Definition de Koinu (Zwichenwinkel) Koinu (Zwichenwinkel) Auf einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt (normierter Raum) it der Koinu co zwichen zwei Vektoren x, y V definiert al: xy, co x y Orthogonalität Zwei Vektoren xy, V ind orthogonal bzgl. eine Skalarprodukt, wenn co ie.. xy, 4

43 Fourier-Dartellung Fourier- oder Koordinatenrepräentation Jeder Vektor v kann in einer Koordinatendartellung (in Bezug auf eine Orthonormalbai) gechrieben werden al: v, v b v b b i i i i i i Vektor Koordinate Baivektor 43

44 Beipiel: Fourierreihe Für den Funktionenraum (VR!) der Funktionen f(t) it p -periodichen, co( nt ), in( nt ), n IN eine n+ dimenionale Orthonormalbai bzgl. de Skalarprodukt p f, g f ( t) g( t) dt p 44

45 Fourierreihe Folglich kann jede periodiche Funktion (hier Periode p ) gechrieben werden al: f t f ( t), b b mit: i i i f t ao an co( nt) bn in( nt) n n p a f ( t), f ( t) dt p o p an f ( t),co( nt) f ( t) co( nt) dt p o p bn f ( t),in( nt) f ( t) in( nt) dt p o 45

46 Gram-Schmidtche Orthonormaliierungverfahren 46

47 Legendreche Polynome Skalarprodukt: 3 4,,,,,... x x x x wird orthonormaliiert: 47

48 Legendreche Polynome Felder/Maxwell- Gleichungen in Kugelkoordinaten: 48

49 Tchebycheff-Polynome Tiefpafilter H() c c T n 49

50 Butterworth-Filter (maximal flach) n o j H n it die Ordnung Normaliiert auf o = rad/ B B B B B Butterworth Polynome Butterworth Polynome: ) ( ) ( ˆ j B j H n n j H ) ( ˆ 5

51 Butterworth Übertragungfunktion und P/N-Diagramm 5

52 Butterworth-Filter H c / j c N n Nenner von H() für Butterworth Filter ( + + )( + ) 4 ( )( ) 5 ( + ) ( )( ) 6 ( )( )( ) 7 ( + )( )( )( ) 8 ( )( +. + )( )( ) 5

53 Vergleich verchiedenen Filterfunktionen (8.Ordnung) 53

54 Warum ein wirkliche Vertändni der KWSR und der Zuammenhang zur Sytem-DGL o wichtig it: Indutriebeipiele - Fehlverhalten, da eine Urache in komplexen Polen hat und nun erklärbar wird 54

55 Analye integrierter Schaltungen Folded Cacode CMOS OTA in C (.8) Übertragungfunktion? Dominanter Pol? Stabilität? Referenz: numeriche Simulation mit Spectre M agnitude H d B L E. E. E4. E6. E8. E Frequency 55

56 Symboliche Analye? Semi-ymboliche Löung der Übertragungfunktion: Ordnung der Differentialgleichung:... 9 Numeriche Größenordnung der Koeffizienten: Volltändige ymboliche Löung:...Berechnung unmöglich! Anzahl der Produktterme im Nenner:

57 Pol-/Nulltellendiagramm de CMOS-FC-OTA Zoom: Im Im Re Re

58 Handanalye? Kleinignalchaltbild: 5 Tranitoren, Widertände expandiert: 58 Elemente (57 R, 63 C, 3 gm, 8 Quellen) gedruckt: über.5* 4 Seiten 5 Giga km Regal ~ Lichttag!!! Handanalye ohne Vereinfachungen unmöglich aber welche Elemente können weggelaen werden??? 58

59 Original Handrechnungen eine Entwickler (Auzug) 6

60 Infineon Anwendungbeipiel P/Z Analye: Fehleranalye de C Folded-Cacode Operationvertärker Analog Inyde: Extraktion de paraitären Polpaar M agnitude H d B L Wa veruracht die Reonanzüberhöhung bei MHz? Ungenäherte volle ymboliche Übertragungfunktion > 5x 9 Terme gedruckt.5* 4 Seiten 5 Giga km Regal ~ Lichttag!!! Symboliche Approximation! Interpretation der ymbolichen Formel: Finden jener Parameteränderungen, die verwendet werden können, um den imaginären Teil de komplexen Pol zu vermindern -. E. E HCC + CLL gm$mn6 - CC CL +. E4. E6. E8 Frequency Cg$MP5 gm$mn6 HCg$MP5 HCC + CLL gm$mn6-4 CC CL gm$mp5l CC Cg$MP5 CL Vergrößern CGS MP5 zur F-Kompenation! 6

61 Infineon Anwendungbeipiel P/Z Analye: Fehleranalye de C Folded-Cacode Operationvertärker Cg$MP5 =. e-... e- H%.. %L Im Pole % 4. 7 Analog Inyde: Extraktion de paraitären Polpaar M agnitude H d B L Re % Zero % % -. E. E HCC + CLL gm$mn6 - CC CL +. E4. E6. E8 Frequency Cg$MP5 gm$mn6 HCg$MP5 HCC + CLL gm$mn6-4 CC CL gm$mp5l CC Cg$MP5 CL Vergrößern CGS MP5 zur F-Kompenation! 63

62 Infineon Wirele Baeband Abteilung (WS BB): C OP mit Augangtrombegrenzer (.8m) 64

63 WS BB: C OP mit Augangtrombegrenzer Simulation ergibt unerklärbar großen paraitären Bulklecktrom in der Augangtromenor-Schaltung 65

64 Problem: Paraitärer Bulklecktrom in Tranitor MP MP6: Source-Bulk Diode kurzgechloen, da S = B t imulierter Bulktrom IB(MP6); Strom ollte null ein! t

65 Gründe für den paraitären Bulktrom? Bug im Simulator? Bug im Devicemodell (BSIM3) oder der Modellimplementierung? Bug in den Modellparametern? oder Deignfehler? 67

66 Erte Ergebnie MOS Modell (nichtlinear) Magnitude AC-Analye für I BulkM6. E. E. E4. E6 Frequency Cbd$MP6$XI Hgm$MMA$XI + gm$mmb$xil gm$mn6$xi gm$mp$xi RR VV C$XC$XI gm$mn5$xi gm$mp$xi HRR + RR + RR9 + HCggb$MMA$XI + Cggb$MMB$XIL RR HRR + RR9L L t Tranientverhalten Reonanzeffekt beteiligt: Komplexe() Polpaar(e) 68

67 Ergebni: Die Regelchaltung hat ein komplexe Polpaar mit kleinem Realteil im Vergleich zum Imaginärteil Symboliche Polextraktion ergibt: 69