Mathematik Vorkurs. G. Finsel S. Heitmann K. Ronneberger. hochschule für angewandte wissenschaften. university of applied sciences

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1 Mathematik Vorkurs G. Finsel S. Heitmann K. Ronneberger. Auflage 004

2 Inhaltsverzeichnis 1 Zahlensysteme Natürliche und ganze Zahlen Rationale Zahlen Teilbarkeitsregel Die vier Grundrechenarten Das Rechnen mit Brüchen Reelle Zahlen Potenzen Binomische Formeln Wurzeln Irrationale Zahlen Logarithmen Komplexe Zahlen Funktionen 1.1 Der Begriff der Funktion Darstellung von Funktionen Analytische Darstellung Darstellung durch Wertetabellen Graphische Darstellung Parameterdarstellung Eigenschaften von Funktionen Monotonie Gerade/ungerade Funktionen Beschränktheit Injektive, surjektive und bijektive Funktionen Umkehrfunktionen Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion Graph von Funktion und Umkehrfunktion

3 .5 Rationale Funktionen Lineare Funktionen Lösung von linearen Gleichungen und von linearen Gleichungssystemen mit oder 3 Variablen Quadratische Funktionen Lösen von quadratischen Gleichungen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Bruch- und Wurzelgleichungen Transzendente Funktionen Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen Trigonometrische Funktionen Winkeleinheiten Recht- und schiefwinklige Dreiecke Definition der trigonometrischen Funktion am Kreis Graphen der trigonometrischen Funktionen Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen Zyklometrische Funktionen Berechnungen am Dreieck Rechtwinklige Dreiecke Schiefwinklige Dreiecke Näherungsformel für trigonometrische Funktionen Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion Die Hyperbelfunktionen Die Areafunktionen Einführung in die Vektorrechnung Geometrie von Vektoren Norm (Betrag) eines Vektors Skalarprodukt von Vektoren Kreuzprodukt

4 1 Zahlensysteme 1.1 Natürliche und ganze Zahlen Darstellung der natürlichen Zahlen auf der Zahlengerade: Abkürzungen: N Menge der natürlichen Zahlen N 0 Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null Es gibt keine größte natürliche Zahl Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengerade: bzw Abkürzung: Z Menge der ganzen Zahlen 4

5 1. Rationale Zahlen 1..1 Teilbarkeitsregel Definition: Läßt sich eine natürliche Zahl b ohne Rest durch eine natürliche Zahl a teilen, so wird der Divisor a Teiler der Zahl b genannt. Spezialfälle: 1. Jede natürliche Zahl ist Teiler von sich selbst.. Jede natürliche Zahl ist Teiler der Zahl Jede natürliche Zahl hat den Teiler 1. Eine natürlich Zahl, die keinen echten Teiler besitzt (d.h. nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt), wird Primzahl genannt, z.b.:,3,5,7,11,13,17,19,3,9,... Eine natürlich Zahl, die echte Teiler hat, wird zusammengesetzte Zahl genannt, z.b.: 4,6,8,9,10,1,14,15,16,18,... Sieht man von der Reihenfolge ab, so läßt sich jede zusammengesetzte Zahl eindeutig in ein Produkt aus Primfaktoren zerlegen, z.b.: 165 = Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist genau dann durch teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch teilbar ist. 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 4 teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist, oder die letzten beiden Ziffern Nullen sind. 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 5 oder 0 ist. 6 teilbar, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 8 teilbar, wenn die aus ihren letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 5

6 Definition: Jede Zahl, die sich als Quotient ganzer Zahlen darstellen läßt heißt rationale Zahl. Darstellung der rationalen Zahlen auf der Zahlengerade: Abkürzung: Q Menge der rationalen Zahlen. 1.. Die vier Grundrechenarten Addition Grundregeln: (1) a + b = b + a Kommutativgesetz () a + 0 = 0 + a = a neutrales Element (3) (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz Vorzeichenregelung: (1) (+a) + (+b) = +a + b = a + b () ( a) + ( b) = a b = (a + b) (3) (+a) + ( b) = +a b = a b (4) ( a) + (+b) = a + b = (a b) 6

7 Subtraktion Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. Vorzeichenregelung: Eine Zahl wird subtrahiert, indem sie mit entgegengesetztem Vorzeichen addiert wird. (1) (+a) (+b) = (+a) + ( b) = a b () ( a) ( b) = ( a) + (+b) = a + b (3) (+a) ( b) = (+a) + (+b) = a + b (4) ( a) (+b) = ( a) + ( b) = a b Multiplikation Grundregeln: (1) a b = b a Kommunikativgesetz () a 1 = 1 a = a neutrales Element (3) (a b) c = a (b c) Assoziativgesetz (4) a (b + c) = a b + a c = (b + c) a Distributivgesetz Vorzeichenregelung: Zwei Faktoren mit gleichen Vorzeichen ergeben ein positives, mit ungleichen Vorzeichen ein negatives Produkt. (1) (+a) (+b) = +a b = ab () ( a) ( b) = +a b = ab (3) (+a) ( b) = a b = ab (4) ( a) (+b) = a b = ab Spezialfälle: a 0 = 0 (a + b) (c + d) Multiplikation von Klammern = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd 7

8 Division Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Vorzeichenregelung: Der Quotiont ist positiv, wenn Divident und Divisor gleiche Vorzeichen haben, negativ bei ungleichen Vorzeichen. (1) (+a) : (+b) = +a : b = a b () ( a) : ( b) = +a : b = a b (3) (+a) : ( b) = a : b = a b (4) ( a) : (+b) = a : b = a b Spezialfälle: a b = a b = a b (a + b) : c = a : c + b : c = a c + b c a b = ma mb ma mb = a b m Z, m Z, Erweitern Kürzen 1..3 Das Rechnen mit Brüchen Addition/Subtraktion von Brüchen Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man den Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält. a c + b c = a + b c bzw. a c b c = a b c a,b,c Z Ungleichnamige Brüche müssen vor der Addition (Subtraktion) gleichnamig gemacht werden ( geschicktes Erweitern, so daß beide Brüche den gleichen Nenner haben). a b + c d = ad bd + cb ad + cb = bd bd 8

9 Multiplikation von Brüchen a b c d = ac bd a b m = am b a,b,c,d,m Z Division von Brüchen Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert. a : b c = a c b = ac b a b : c = a b 1 c = a bc a b : c d = a b c d = a b d c a,b,c Z Doppelbruch Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche Endliche Dezimalzahlen Endliche Dezimalzahlen können durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz und anschließendes Kürzen sehr einfach in Brüche umgerechnet werden. Sei d eine Dezimalzahl mit x Nachkommastellen, so gilt: d = p 10x 10 x 9

10 Unendliche periodische Dezimalzahlen Für eine unendliche periodische Dezimalzahl p mit Periodenlänge y gilt analog: p = d(10y 1) 10 y 1 Beispiele: (1) Kürzen mit 5: = 10 = = 1 4 () Kürzen mit 9: 0.45 = 0.45 (10 1) = 99 = =

11 1.3 Reelle Zahlen Potenzen Definition: a n ist die abkürzende Schreibweise für a a a... a, und zwar n-mal. Potenz Exponent Basis a n Rechenregel: a > 0 oder b > 0 oder m,n Z (1) a m a n = a m+n () a n b n = (a b) n (3) a n = 1 a n (4) am a n = am n ) n (5) an ( a b n = b (6) (a n ) m = a n m = (a m ) n Spezialfälle: (7) a 1 = a, a 0 = 1 für a 0 0 n = 0 für n 0, 1 n = 1 (8) ( a) n = +a n, ( a) n+1 = a n Binomische Formeln (1) (a + b) = a + ab + b () (a b) = a ab + b (3) (a + b)(a b) = a b Höhere Potenzen: (a ± b) 3 = a 3 ± 3a b + 3ab ± b 3 (a ± b) 4 = a 4 ± 4a 3 b + 6a b ± 4ab 3 + b 4 11

12 Für die n-te Potenz des Ausdruckes (a ± b) erhält man die Koeffizienten der gemischten Terme mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks. Pascalsches Dreieck Verschiedene Aspekte des Potenzierens a n = b: 1. Potenzrechnung gegeben: a,n gesucht: b Schreibweise: a n = b Beispiel: 3 = 8. Wurzelrechnung gegeben: b,n gesucht: a Schreibweise: n b = a Beispiel: 3 8 = 3. Logarithmenrechnung gegeben: a,b gesucht: n Schreibweise: log a b = n Beispiel: log 8 = Wurzeln Definition: Unter der n-ten Wurzel n b aus einer Zahl b versteht man diejenige Zahl a, die mit n potenziert b ergibt. (1. Umkehrung des Potenzierens). n b = a a n = b 1

13 Rechenregeln: (1) n a = a 1 n n,m Z a > 0 oder b > 0 n a m = a m n Zusammenhang mit der Potenzrechnung () n a n b = n (ab) (3) (4) (5) n a n b = n a b n m a = n m a = m n a n a m = ( n a) m Spezialfälle: (6) n 1 = 1 n 0 = 0 (7) 1 a = a n a n = a (8) a = a spezielle Bezeichnungsweise 13

14 1.3.4 Irrationale Zahlen Behauptung: Es gibt keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert ergibt! Beweis: Es sei x die Zahl, deren Quadrat ergibt: Annahme: x = x = x ist eine rationale Zahl, d.h. x = a b, mit a,b Z, wobei a und b keinen gemeinsamen Teiler mehr besitzen (d.h. der Bruch ist vollständig gekürzt). x = = a b b = a a ist gerade a kann aber nur dann gerade sein, wenn in der Primzahlzerlegung von a eine vorkommt, also a ist durch 4 teilbar. und damit b ist durch 4 teilbar. b ist durch teilbar b ist durch teilbar a ist kürzbar im Widerspruch zur Annahme b x ist keine rationale Zahl! 14

15 Man kann die Zahl jedoch durch rationale Zahlen nähern: Intervallschachtelung 1 = 1, = 4 1 < < 1.5 =.5 1 < < = < < = < < = < < = < < = < < = < < = < < usw. Schneller funktioniert das Heronverfahren Das Heronverfahren ist ein iteratives Verfahren zur Berechnung eines Nährungswertes für a. Man startet mit einem groben Nährungswert x 0 und berechnet mit dessen Hilfe einen besseren Nährungswert x 1. Diesen benutzt man wiederum, um einen noch besseren Nährungswert x zu berechnen und so fort: x n+1 = 1 ) (x n + axn n = 0,1,... Beispiel: 6, a = 6, x0 = 3 x 1 = 1 ) (x 0 + 6x0 = 1 ( ) = =.5 x = 1 ) (x 1 + 6x1 = 1 ( ) =.45.5 x 3 = 1 ) (x + 6x = 1 ( ) = x 4 = , x 5 = 15

16 Der Taschenrechner liefert: 6 = Beide Prozesse lassen sich beliebig lange fortsetzen, ohne daß man den genauen Wert erhält oder sich eine periodische Wiederholung der Dezimalstellen ergibt. Daher sind, 6 usw. unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche. Definition: Unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche nennt man irrationale Zahlen. Die irrationalen Zahlen bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen R. Für je zwei reelle Zahlen a,b gilt genau eine der folgenden drei Beziehungen: a < b oder a = b oder a > b Beziehungen der Form a < b und a > b werden als Ungleichungen bezeichnet. Zu ihnen zählt man auch die Beziehungen a b und a b. Definition: Unter dem Betrag einer reellen Zahl wird der Abstand des zugeordneten Bildpunktes zum Nullpunkt verstanden. Er wird durch das Symbol a gekennzeichnet und ist stets positiv: a a > 0 a = 0 falls a = 0 a a < 0 Es gilt: a 0 Beispiele: 3 = 3 5 = 5 π = π x + = { x + falls x 1 (x + ) falls x < 1 denn es gilt: x + 0 x x 1 x + < 0 x < x < 1 16

17 Spezielle Teilmengen von R N 0 = {0,1,,3,4,...} natürliche Zahlen mit 0 N= {1,,3,4,...} natürliche Zahlen Z= {0,±1,±,±3,...} ganze Zahlen Q= {x x = a, mit a Z,b N} rationale Zahlen b Wichtige Intervalle 1. Endliche Intervalle [a,b] = {x a x b} [a,b) = {x a x < b} (a,b] = {x a < x b} (a,b) = {x a < x < b} abgeschlossenes Intervall halboffenes Intervall halboffenes Intervall offenes Intervall. Unendliche Intervalle [a, ), (,b], (a, ) (,b) (,0] =R 0, [0, ) =R+ 0 (, ) =R Logarithmen Das Logarithmieren ist die zweite Umkehrung des Potenzierens. Mit Hilfe des Logarithmus läßt sich bei bekannter Potenz b und Basis a der Exponent n ermitteln: n = log a b Numerus Logarithmus Basis Sprechweise: n ist der Logarithmus von b zur Basis a. Rechenregeln: (1) a log a b = b () log a (b c) = log a b + log a c 17

18 ( ) b (3) log a = log c a b log a c (4) log a (b x ) = x log a b Spezialfälle: (5) log a a = 1 log a 1 = 0 ( ) 1 (6) log a = log b a b (7) log a x b = 1 x log a b Spezielle Bezeichnungsweise: log 10 lg Dekadischer Logarithmus log e ln Natürlicher Logarithmus log lb Binärer Logarithmus Umrechnung von einer Basis auf die andere: Beweis: nach (1) gilt: mit (4) log a b = log c b log c a a log a b = b log c (a log a b) = log c b log a b log c a = log c b log a b = log c b log c a 1.4 Komplexe Zahlen Eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist eine imaginäre Zahl: 9 = 9 ( 1) = 9 1 = 3 1 a = a ( 1) = a 1 = a 1 1 wird als eine neue Zahl eingeführt, die nach Euler imaginäre Einheit genannt und mit dem Buchstaben j bezeichnet wird. j = 1 j = 1 18

19 Imaginäre Zahlen sind nun neben der imaginären Einheit j auch alle reellen Vielfachen a j,a R, also z.b. 3 j, j, 17 j Zu beachten ist, daß vor Anwendung von Rechenregeln auf imaginäre Zahlen diese stets als Produkt zu schreiben sind, das den Faktor j enthält, also Definition: a = j a a b = j a j b = j ab = ab 3 7 = j 3 j 7 = j 81 = 9 Als komplexe Zahl z bezeichnet man die Zahl z = a + jb a,b R Abkürzung: C - Menge der komplexen Zahlen Gleichheit von Komplexen Zahlen: Sonderfälle: a + jb = c + jd genau dann, wenn a = c und b = d a = 0 b = 0 imaginäre Zahl reelle Zahl Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene: 5 j 4 j 3 j j 1 j Im(z) (imaginäre Achse) 4+3 j j j 6 3 j 3 j 4 j 5 j 6 j Re(z) (reelle Achse) 19

20 Rechenregeln: (1) (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) () (a + jb) (c + jd) = (a c) + j(b d) (3) (a + jb) (c + jd) = (ac bd) + j(ad + bc) Binomische Formeln: (1) (a + jb) = a + jab b () (a jb) = a jab b (3) (a + jb) (a jb) = a + b Division: (1) () (3) a + jb = a c c + j b c a + jb j(a + jb) = jc j c = ja b c (a + jb) (a + jb) (c jd) = (c + jd) (c + jd) (c jd) ac + bd + j(bc ad) = c + d ac + bd bc ad = c + j + d c + d = b c j a c 0

21 Funktionen.1 Der Begriff der Funktion Definition: Eine Funktion ist eine Menge geordneter Paare (x, y). Dabei wird jedem Element x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zugeordnet. Die Elemente x D heißen Argument oder unabhängige Variable, die Elemente y = f (x) W heißen Funktionswert oder abhängige Variable der Funktion. Die Menge D aller Argumente bildet den Definitionsbereich, die Menge W den Wertebereich der Funktion. Die Menge aller Funktionswerte f (D) wird Wertemenge genannt, für sie gilt f (D) W.. Darstellung von Funktionen..1 Analytische Darstellung f : D W x y = f (x) (Angabe der Zuordnungsvorschrift), bzw. f : y = f (x) oder f : y = y(x) Leseart: y = f (0) Funktionswert an der Stelle x = 0 y = f (a) Funktionswert an der Stelle x = a y = f (x 1 ) Funktionswert an der Stelle x = x 1 Die Zuordnungsvorschrift wird i.a. durch eine Gleichung (Funktionsgleichung) dargestellt, z.b. y = x + 5 oder y x 5 = 0 1

22 Man nennt die verschiedenen Formen der Funktionsgleichungen: explizite Form nach y y = f (x) z.b. y = x 1 explizite Form nach x x = f (y) z.b. x = 1 y + 1 implizite Form F(x,y) = 0 z.b. y x + 1 = 0.. Darstellung durch Wertetabellen x y y = x 1 Dies findet häufige Verwendung bei der Aufnahme von Meßergebnissen und für Funktionentafeln...3 Graphische Darstellung Kartesisches Koordinatensystem Es kann jedem Punkt ein geordnetes Paar (x,y) zugeordnet werden. Die Menge graph f = {(x,y) x D,y W : y = f (x)} bildet dann den Graphen oder die Kurve der Funktion f. Polarkoordinaten Um die Lage eines Punktes in der Ebene festzulegen, kann man statt der kartesischen Koordinaten (a,b) auch den Abstand r vom Ursprung (0,0) und den Winkel ϕ, den die Verbindungslinie zwischen Punkt und Ursprung mit der x-achse bildet, angeben. Der Winkel ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt. y b r P(a,b) ϕ a x

23 Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten: r = a + b, tanϕ = b a Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten: a = r cosϕ b = r sinϕ..4 Parameterdarstellung Es ist möglich, sowohl x als auch y in Abhängigkeit einer Hilfsvariablen oder eines Parameters darzustellen: x = Φ(t) y = Ψ(t) t : Hilfsvariable Die Parameterdarstellung ist häufig vorteilhaft bei der Beschreibung von Bewegungsvorgängen. Beispiel: Waagerechter Wurf x = ν 0 t y = 1 gt Die Parameterdarstellung kann in kartesische Form gebracht werden, indem eine der beiden Gleichungen nach t hin umgestellt und dann in die andere eingesetzt wird: t = x ν 0 y = 1 g ( x ν 0 ) y = g ν0 x Der resultierende Graph ist eine Parabel (Wurfparabel). 3

24 .3 Eigenschaften von Funktionen.3.1 Monotonie Definition: Eine Funktion f heißt in einem Intervall I monoton steigend, wenn für alle x 1,x I gilt: x 1 < x f (x 1 ) f (x ) Eine Funktion f heißt unter den gleichen Bedingungen monoton fallend, falls gilt: x 1 < x f (x 1 ) f (x ) Man spricht von streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend, falls gilt: x 1 < x f (x 1 ) < f (x ) bzw. x 1 < x f (x 1 ) > f (x ).3. Gerade/ungerade Funktionen Definition: Eine Funktion f heißt gerade Funktion, wenn mit jedem x D auch x D ist, und für alle x D gilt: f (x) = f ( x) Die Kurven gerader Funktionen sind stets symmetrisch zur y-achse (Achsensymmetrie). Eine Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn mit jedem x D auch x D ist, und für alle x D gilt: f (x) = f ( x) Die Kurven ungerader Funktionen sind stets symmetrisch zum Koordinatenursprung (Punktsymmetrie). Beispiele: (1) f (x) = x 1 x + 1 ist gerade, denn f ( x) = ( x) 1 ( x) + 1 = x 1 x + 1 = f (x) 4

25 () f (x) = 3x(x 5) ist ungerade, denn f ( x) = 3( x)(( x) 5) = 3x(x 5) = f (x) (3) f (x) = x + x + 3 ist weder gerade noch ungerade, denn f ( x) = ( x) + ( x) + 3 = x x + 3 f (x) f (x) (3) unsym metrisch () punkt symmetrisch (1) achsen symmetrisch Beschränktheit Definition: Eine Funktion heißt nach oben beschränkt bzw. nach unten beschränkt, wenn die Wertemenge f (D) nach oben bzw. nach unten begrenzt ist. Sie heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Beispiele: (1) y = x 3 + 3x D = R, f (D) = R nicht beschränkt () y = x D = R, f (D) = [, ) nach unten beschränkt (3) y = 3 x D = (,3], f (D) = [0, ) nach unten beschränkt (4) y = ln(9 x ) D = ( 3,3), f (D) = (,ln9] nach oben beschränkt 5

26 10 () 5 (1) (3) 0 5 (4) Injektive, surjektive und bijektive Funktionen Definition: Eine Funktion f : gilt: D W, x y = f (x) heißt injektiv, wenn für alle x 1,x D x 1 x f (x 1 ) f (x ), d.h. falls jedem y W höchstens ein x D zugeordnet ist. Sie heißt surjektiv, falls f (D) = W, d.h. falls jedem y W mindestens ein x D zugeordnet ist. Ist eine Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv, so wird sie bijektiv genannt, d.h. jedem y W ist genau ein x D zugeordnet und umgekehrt. 6

27 Beispiele: 16 y = x f : R R, x y = x weder injektiv noch surjektiv f : R R + 0, x y = x surjektiv f : R + 0 R, x y = x injektiv f : R + 0 R+ 0, x y = x bijektiv 1 x + y = D = W = R keine Funktion D = [ 1,1] W = [ 1,1] keine Funktion D = [ 1,1] W = [0,1] surjektiv D = [0,1] W = R + 0 injektiv D = [0,1] W = [0,1] bijektiv 7

28 .4 Umkehrfunktionen Ist f : D W, x y = f (x) bijektiv, so gibt es zu jedem y W genau ein Urbild x mit f (x) = y. Man nennt die Funktion, welche jedem y W sein Urbild x zuordnet, die Umkehrfunktion zu f ; sie ist ebenfalls bijektiv und wird mit f 1 : W D, y x = f 1 (y) bezeichnet. Meist behält man die unübliche Schreibweise der Variablen nicht bei, sondern vertauscht x und y und schreibt: f 1 : y = f 1 (x).4.1 Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. y = f (x) nach x auflösen und anschließend die Variablen vertauschen.. zunächst die Variablen vertauschen und dann x = f (y) nach y auflösen. Beispiel: f : y = x y = f (x) nach x auflösen: x = y 1 x = y 1 Variablen vertauschen: f 1 : y = x 1. Variablen tauschen: x = y + 1 x = f (y) nach y auflösen x 1 = y x 1 = y f 1 : y = x 1 Es gilt: f 1 ( f (x)) = x bzw. f ( f 1 (x)) = x 8

29 Beispiel: f : y = f (x) = x x R + f 1 : y = f 1 (x) = x f 1 ( f (x)) = f 1 (x ) = x = x f ( f 1 (x)) = f ( x) = ( x) = x.4. Graph von Funktion und Umkehrfunktion Für eine graphische Darstellung bedeutet eine Vertauschung der Variablen eine Vertauschung der Koordinaten. Man erhält die graphische Darstellung der Umkehrfunktion, indem man den Graph der Funktion f an der Geraden y = x spiegelt. Beispiele: 10 y = x 5 0 y = exp(x) y = ln(x)

30 10 y = x y = x 5 0 y = + x y = x Rationale Funktionen.5.1 Lineare Funktionen Die allgemeine Form einer linearen Funktion (Funktion 1. Grades) lautet: y = mx + b wobei m und b beliebige Konstanten aus R sind. Die Kurve einer Funktion 1. Grades ist stets eine Gerade. y y= mx + b y y 1 b x 1 x Steigungsdreieck x m= y - y 1 x x 1-30

31 In der Funktion y = mx + b ist b der Abschnitt auf der y-achse (Achsenabschnitt) und m die Steigung der Geraden. Für diese gilt: y y y m = y y 1 x x 1 = f (x ) f (x 1 ) x x 1 y 1 x y 1 = x y = 3x y 3 = x Spezialfälle: 1. b = 0 y = mx Gerade durch den Ursprung. m = 0 y = b Gerade parallel zur x-achse 3. x = a a R Gerade parallel zur y-achse (KEINE Funktion!) Abgesehen von den beiden zuletzt genannten Spezialfällen sind Geraden stets streng monoton steigend (m > 0) oder streng monoton fallend (m < 0). Daher sind Geraden immer bijektive Funktionen. Nullstellen einer linearen Funktion Die Stelle x, an der die Funktion die x-achse schneidet, nennt man Nullstelle. Sie kann der graphischen Darstellung entnommen werden, oder aber rechnerisch bestimmt werden. Rechnerische Bestimmung der Nullstelle: In die Funktionsgleichung für y den Wert 0 einsetzen und die entstehende Gleichung nach x auflösen. 31

32 Beispiel: y = x + 3 Nullstelle: 0 = x = x : x = 3.5. Lösung von linearen Gleichungen und von linearen Gleichungssystemen mit oder 3 Variablen Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung mit einer Variablen besitzt genau eine Lösung ax + b = 0, a 0 x = b a Die Lösung einer linearen Gleichung mit einer Variablen stimmt mit der Nullstelle der zugehörigen Funktion y = ax + b überein. graphische Lösungsmöglichkeit Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen läßt sich stets in folgender Form angeben: ax + by = c Ein Zahlpaar (x, y), das diese Gleichung zu einer wahren Aussage macht heißt Lösung dieser Gleichung. Eine Gleichung mit zwei Variablen hat i.a. uendlich viele Lösungen, die, graphisch dargestellt, auf der Geraden ax + by = c liegen. Um zwei Variablen eindeutig festzulegen, reicht eine einzige Gleichung nicht aus. Erst ein System aus zwei Gleichungen kann ein Wertepaar (x, y) eindeutig festlegen, das sowohl die erste als auch die zweite Gleichung löst. 3

33 Beispiel: 3x + y = 15 5x 6y = } Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen x+y=15 Schnittpunkt (4,3) 3 4 5x 6y= Für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ergeben sich drei Möglichkeiten: 1. Die Geraden schneiden sich genau eine Lösung. Die Geraden sind parallel keine Lösung 3. Die Geraden sind gleich unendlich viele Lösungen Numerische Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems: Einsetzverfahren Eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen umgestellt. Der enstehende Ausdruck wird dann an Stelle dieser Variablen in die zweite Gleichung eingesetzt. Es entsteht eine neue Gleichung mit einer Unbekannten, die man lösen kann. 33

34 Beispiel: (1) 3x + y = 15 () 5x 6y = (1) nach y auflösen: (3) y = 15 3x In () einsetzten: 5x 6(15 3x) = Ausrechnen: 5x x = 3x = 9 x = 4 Ergebnis für x in (3) einsetzen: y = = 3 Gleichsetzungsverfahren Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die so entstehenden Ausdrücke gleich. Es entsteht wiederum eine Gleichung mit nur einer Variablen. Beispiel: (1) 3x + y = 15 () 5x 6y = Auflösung beider Gleichungen nach y: (3) y = 15 3x (4) 6y = 5x y = 5 6 x 1 3 Gleichsetzen: 15 3x = 5 6 x 1 3 Auflösen nach x: 90 18x = 5x 3x = 9 x = 4 Wert für x in (3) einsetzen: y = = 3 34

35 Additionsverfahren Man multipliziert eine der Gleichungen mit einem geeigneten Faktor, so daß eine der Variablen herausfällt, wenn man die neuen Gleichungen addiert. Es entsteht wieder eine Gleichung mit einer Variablen. Beispiel: (1) 3x + y = 15 () 5x 6y = Multiplikation von (1) mit 6: (3) 18x + 6y = 90 (4) 5x 6y = Addition von (3) und (4): 18x + 5x + 6y 6y = x = 9 x = 4 Wert für x in () einsetzen: 5 4 6y = 6y = 18 y = 3 Lineare Gleichungssysteme (drei Gleichungen mit drei Variablen) Zur Lösung dieser Gleichungssysteme werden ebenfalls Einsetz, Gleichsetz und Additionsverfahren verwendet. Beispiel: (1) 4x + y z = 0 () 3x + y + 3z = 16 (3) 5x y + 3z = 1 (1) + (3) : (4) 9x + z = 1 () + (3) : (5) 13x + 9z = 40 9(4) + (5) : (6) 68x = 68 35

36 x = 1 (4) z = 1 9x = = 3 (1) y = z 4x = = Probe: = = = = = = Quadratische Funktionen Eine Funktion der Form y = ax + bx + c a,b,c R, a 0 heißt quadratische Funktion. Spezielle Formen: 1. y = x Normalparabel Eigenschaften: gerade Funktion Scheitelpunkt bei S = (0, 0) D = R f (D) = R + 0 surjektiv. y = x + q Eigenschaften: Die Normalparabel ist um q auf der y-achse verschoben gerade Funktion S = (0,q) D = R f (D) = [q, ) surjektiv 36

37 8 7 y=x y=x S=(0,) Scheitelpunkt S 3 y=x 4 4 S=(0, 4) y = x + px + q Eigenschaften: Die entstehende Normalparabel ist sowohl in x als auch in y-richtung verschoben weder gerade noch ungerade Die Bestimmung des Scheitelpunktes anhand der gegebenen Form der Gleichung ist schwierig. Es läßt sich jedoch jede Gleichung der Form y = x + px+ q durch geeignete Umformung (quadratische Ergänzung) in die Gestalt y = (x x s ) + y s bringen. Der Scheitelpunkt ist dann gegeben durch S = (x s,y s ) 37

38 Beispiel: y = x 6x + 7 y = x 6x y = x 6x + 9 y = (x 3) D = R f (D) = [y s, ) surjektiv 10 8 y=(x ) S=(,4) y=x y=(x ) 0 S=(,0) y = ax + bx + c Eigenschaften: Der Faktor a vor dem x bewirkt eine Streckung oder Stauchung der Normalparabel. Für Werte a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet. 38

39 10 8 y=x 6 4 y=0.5x y=x y= 0.5x 8 y= x Auch hier läßt sich der Scheitelpunkt nach entsprechender quadratischer Ergänzung direkt ablesen. Beispiel: y = 1 x + x + 3 y = 1 (x 4x 6) y = 1 (x 4x ) Faktor 1 ausklammern Quadratische Ergänzung y = 1 (x 4x ) y = 1 ((x ) 10) y = 1 (x ) + 5 S = (, 5) Faktor 1 einmultiplizieren Scheitelpunkt ablesen 39

40 .5.4 Lösen von quadratischen Gleichungen Jede quadratische Gleichung der Form: ax + bx + c = 0 läßt sich in die Normalform x + px + q = 0 umwandeln. Die Lösung einer in Normalform gegebener quadratischen Gleichung läßt sich mit der p-q-formel berechnen: x 1/ = p ( p ) ± q Eine quadratische Gleichung besitzt je nach dem Zahlenwert unter der Wurzel: (1) ( p ) q > 0 Lösungen () ( p ) q = 0 1 Lösungen (3) ( p ) q < 0 keine reellen Lösungen Graphische Lösung quadratischer Gleichungen 1. Möglichkeit: Man zeichnet die zugehörige Parabel und liest die Nullstellen ab.. Möglichkeit: Man bringt das quadratische Glied allein auf eine Seite x = px q und zeichnet y = x und y = px q Die Schnittstellen beider Kurven sind dann die Nullstellen. 40

41 Beispiel: y = x + x 10 8 y=x 6 4 (,4) 0 y=x +x (1,1) y= x Ganzrationale Funktionen Eine Funktion der Form f (x) = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 mit a n,a n 1,,a 1,a 0 R, a n 0 wird ganzrationale Funktion n-ten Grades oder auch Polynomfunktion n-ten Grades genannt. Beispiele: f (x) = x 5 3x 4 + x + 3 f (x) = x x 5x + 4 f (x) = x 4 7x 3 5x + Polynom 5. Grades Polynom 3. Grades in Normalform Polynom 4. Grades in Normalform 41

42 50 00 f(x)=x 4 7x 3 5x f(x)=x 5 3x 4 +x f(x)=x 3 + x 5x Kurvenverlauf: Die Kurve verläuft durch den Punkt (0,a 0 ). Die Funktion ist entweder nach unten oder nach oben beschränkt, falls n gerade ist: a n > 0: nach unten beschränkt a n < 0: nach oben beschränkt Die Funktion ist nicht beschränkt, falls n ungerade ist. Bestimmung von Nullstellen: (1) graphisch, indem man die Kurve der Funktion zeichnet und die Schnittpunkte an der x-achse abliest. () Zwischen zwei x-werten, für die der eine Funktionswert positiv und der andere negativ ist, liegt mindestens eine Nullstelle. Daher gibt es die Möglichkeit der Intervallschachtelung. Beispiel: f (x) = x 3 x + 3 f ( ) = 1, f ( 1) = 4 im Intervall (-,-1) liegt eine Nullstelle. 4

43 f ( 1.5) =.65 < x 0 < 1.5 f ( 1.75) = < x 0 < 1.75 f ( 1.85) = < x 0 < 1.85 f ( 1.9) = < x 0 < 1.85 f ( 1.88) = < x 0 < 1.88 f ( 1.89) = < x 0 < 1.89 f ( 1.895) = < x 0 < usw. Merkregel: Existiert bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Nullstelle, so ist diese Teiler von a 0. Beispiel: f (x) = x 3 + 6x + 1x hat die Teiler 1,,3,13,6 f (1) = 54 f ( 1) = 10 f () = 100 f ( ) = 0 f (13) = 3510 f (6) = 04 f ( 13) = 1430 f ( 6) = x 0 = ist die Nullstelle. (3) Für ein Polynom. Grades lassen sich die Nullstellen mit Hilfe der p-q-formel berechnen. Insbesondere läßt sich jedes Polynom der Form f (x) = ax 4 + bx + c durch die Substitution t = x in die Form eines Polynoms. Grades bringen: f (t) = at + bt + c Polynomdivision Ist f n (x) ein Polynom n-ten Grades, und ist x 0 eine Nullstelle von f n (x) ohne Rest, so ist f n (x) durch (x x 0 ) teilbar: f n (x) = (x x 0 ) f n 1 (x) Der Grad des Polynoms f n 1 ist um 1 niedriger als der von f n (x). Man bestimmt f n 1 (x) durch Polynomdivision. 43

44 Beispiel: f n (x) = x 3 6x + 11x 6 hat die Nullstelle x 0 = 1 (x 3 6x + 11x 6) : (x 1) = x 5x + 6 x (x 1) (x 3 x ) 5x + 11x 5x(x 1) ( 5x + 5x) 6x 6 (6x 1) (6x 6) 0 f (x) = (x 1) (x 5x + 6) Die weiteren Nullstellen lassen sich dann mit der p-q-formel berechnen. Die Betragsfunktion Die Funktion f : R R + x f (x) = x heißt Betragsfunktion. Man erhält die graphische Darstellung des Betrages einer Funktion f (x), indem man alle Punkte der graphischen Darstellung von f (x) die unterhalb der x-achse liegen an dieser spiegelt. 44

45 15 10 f(x)= x+1 + x 1 + x 5 f(x)= x 0 f(x)=x Gebrochenrationale Funktionen Jede Funktion, deren Funktionsgleichung sich auf die Form f (x) = g(x) h(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m 1 + b 1 x + b 0 mit g(x), h(x) ganzrationale Funktionen n-ten, bzw. m-ten Grades bringen läßt, heißt gebrochen rationale Funktion. Es werden die beiden Fälle unterschieden: n m: unecht gebrochenrational n < m: echt gebrochenrational Unecht gebrochenrationale Funktionen lassen sich durch Polynomdivision auf die Form bringen, wobei f (x) ganzrationale Funktion g (x) h(x) f (x) = g(x) h(x) = f (x) + g (x) h(x) echt gebrochenrationale Funktion. Definitionsbereich: i.a. R ohne die Nullstellen des Nenners. 45

46 Definition: Die reelle Zahl x p f (x) = g(x) h(x), falls heißt Pol (bzw. Polstelle) einer gebrochenrationalen Funtion h(x p ) = 0 und g(x p ) 0. An den Polstellen ist der Funktionswert nicht definiert. In der Umgebung der Polstelle wächst der Funktionswert über alle Grenzen. Beispiel: f (x) = x 1 x 3 + x 8x 1 hat die Polstellen x p1 = 3 und x p = g(3) = 9 1 = 8 g( ) = 4 1 = 3 h(3) = = 0 h( ) = = f(x)= x 1 x 3 +x 8x 1 0 Asymptote Pol Pol Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen Die reelle Zahl x 0 ist die Nullstelle von f (x) = g(x) h(x), falls g(x 0 ) = 0 und h(x 0 ) 0 Reduktion auf Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen. 46

47 Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen Als Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion f (x) bezeichnet man diejenige Funktion a(x), an die sich der Graph der Funktion f (x) für x ± anschmiegt bzw. annähert. Es gilt: (1) Für m = n ist die Gerade f (x) = a n b m Asymptote () Für n < m ist die x-achse Asymptote (3) Für n > m ist nach Polynomdivision f (x) = g(x) h(x) = f (x) + g (x) h(x) Funktion f (x) Asymptote. die ganzrationale f(x)= x +3x+1 x a n Asymptote f(x) = = b m

48 f(x) = 3x 4x + 3 x 1 = 3x 1 + x 1 Asymptote f(x) = 3x Pol Asymptote 5 f(x) = x + x 4 0 f(x) = x 3 4x + 8 4x 8 Pol 5 = x + x 4 + x

49 .5.7 Bruch- und Wurzelgleichungen Bruchgleichungen Bei Bruchgleichungen lassen sich die Brüche sofort beseitigen, indem man beide Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert. Rechenweg: 1. Bestimmung des Hauptnenners. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt eine ganzrationale Gleichung 3. Klammern auflösen, ordnen, zusammenfassen 4. Gleichung nach x auflösen 5. Probe Beispiel: 10 x x x 1 = 7x + 6 x + 1,x x x x Hauptnenner links: 1 = 1 6(x + 1) 7x = + x + 1 x + 1 7x + 6 Hauptnenner rechts: (x+1) 6 = x + 1 6x x = x = x 100 x = x 100 x = 100 7x + 6 x + 1 Probe: = 6 = Wurzelgleichungen Bei Wurzelgleichungen lassen sich die Wurzeln sofort beseitigen, indem man die Gleichung entsprechend potenziert. Rechenweg: 1. Wurzeln isolieren bzw. gleichverteilen. Potenzieren der Gleichung (notfalls mehrmals) 3. Klammern auflösen 4. Probe 49

50 Beispiel: 4 x + 3x + 9 x + = 0,x Quadrieren x + 3x + 9 = x + Nochmals quadrieren x + 3x + 9 = (x + ) x + 3x + 9 = x + 4x + 4 x = 5 Probe: = 7 = Transzendente Funktionen Exponentialfunktionen Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f : R R + x f (x) = a x a R heißt Exponentialfunktion. Eigenschaften Alle Graphen haben einen gemeinsamen Punkt (0,1) für f (x) = a x (0, 1) für f (x) = a x Die Funktionen besitzen keine Nullstellen. Die x-achse ist Asymptote. Bei der Funktion f (x) = b a x verschiebt sich der y-achsenschnittpunkt nach (0,b). 50

51 Beispiel: 10 8 f(x) = e x f(x) = e x 6 4 f(x) = e x f(x) = 3e x Die dargestellte Exponentialfunktionen mit der Eulerschen Zahl e als Basis spielen in der Mathematik eine besondere Rolle (Siehe hierzu auch Abschnitt auf Seite 71). Die Eulersche Zahl e ist definiert als: Logarithmusfunktionen e = n=0 1, n! Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f : R + R x f (x) = log a x a R heißt Logarithmusfunktion. 51

52 Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der zugehörigen Exponentialfunktion. Eigenschaften: Alle Graphen haben den gemeinsamen Punkt (1,0). Alle Logarithmusfunktionen haben einen Pol an der Stelle x p = 0. Sie sind streng monoton. f(x) = lb(x) 0 f(x) = ln(x) f(x) = lg(x) wobei log 10 lg log e ln log lb (vergleiche auch Seite 18).5.9 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen können nach entsprechender Umformung durch Exponentenvergleich, Logarithmierung oder Substitution gelöst werden. Exponentenvergleich: a x = a p x = p 5

53 Logarithmieren: a x = b p lg(a x ) = lg(b p ) Substitution: b a x + c a x + d = 0 t = a x b t + c t + d = 0 x lg(a) = p lg(b) x = p lg(b) lg(a) Rückführung auf eine quadratische Gleichung Logarithmische Gleichungen 1. Gleichungen der Form log a f (x) = b a log a f (x) = a b haben die Lösung f (x) = a b, f (x) > 0. Gleichungen der Form log a f 1 (x) = log a f (x) haben die Lösung f 1 (x) = f (x) 3. Gleichungen der Form log a f 1 (x) = log b f (x) lassen sich umrechnen in log b f 1 (x) = 1 log a b log b f (x) und damit auf den. Fall zurückführen 53

54 3 Trigonometrische Funktionen 3.1 Winkeleinheiten Gradmaß 1 Vollkreis ˆ= 360 o Grad 1 o ˆ= 60 Minuten 1 ˆ= 60 Sekunden Bogenmaß Das Bogenmaß ϕ oder arcϕ ist das Verhältnis der Bogenlänge zum Radius am Kreisausschnitt mit dem Winkel ϕ: r ϕ b arcϕ = ϕ = b r Ein Vollkreis : ϕ = π Als Einheit des Bogenmaßes wird das Radiant (rad) verwendet. Da es das Verhältnis zweier Strecken ist, ist das Bogenmaß im engeren Sinne jedoch einheitslos. Umrechnung: ϕ = ϕ 180o π in Grad, ϕ = ϕ π 180 o in rad 54

55 3. Recht- und schiefwinklige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Diejenige Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel bilden, werden Katheten genannt. Für das rechtwinklige Dreieck gilt der Satz des Pythagoras, der besagt, daß die Summe der Quadrate der Katheten a und b gleich dem Quadrat der Hypotenuse c ist: a + b = c Die Fläche A des rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich nach der Formel A = 1 a b c α sinα = a c cosα = b c b β. a tanα = a b cotα = b a Schiefwinklige Dreiecke Sinussatz (siehe auch Seite 69): γ C sin(α) = h c b b h c a sin(β) = h c a A α c. β B sin(α) b = sin(β) a Es ergibt sich der Sinussatz: a sinα = b sinβ = c sinγ 55

56 Cosinussatz: (siehe auch Seite 70) C γ h c b a. α A c β B Es gilt: a = b + c bccosα b = a + c accosβ c = a + b abcosγ 56

57 3.3 Definition der trigonometrischen Funktion am Kreis y-achse sinϕ = y r r ϕ x y x-achse cosϕ = x r tanϕ = y x cotϕ = x y Speziell r = 1 (Einheitskreis): y-achse sinϕ = y 1 = y 1 ϕ x y x-achse cosϕ = x 1 = x tanϕ = y x cotϕ = x y 57

58 3.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen Sinus: f : R [ 1,1] x f (x) = sin(x) Cosinus: f : R [ 1,1] x f (x) = cos(x) 1 cos x sin x π π 1π 0 π 1π π 3 π 58

59 Tangens: f : R \{(n + 1) π n Z} R x f (x) = tan(x) 10 8 f(x) = tan x π π 1π 0 π 1π π 3 π Cotangens: f : R \{nπ n Z} R x f (x) = cot(x) 10 8 f(x) = cot x π π 1π 0 π 1π π 3 π 59

60 Periodizität der trigonometrischen Funktionen Periode π: Periode π: sin(x + k π) = sinx cos(x + k π)= cosx tan(x + k π) = tanx cot(x + k π) = cotx Spezielle Funktionswerte x 0, π π 6, 5 6 π π 4, 3 4 π π 3, 3 π π π 3 π 0 o, 360 o 30 o, 150 o 45 o, 135 o 60 o, 10 o 90 o 180 o 70 o f (x) sin(x) 0 cos(x) 1 ± ± ± tan(x) 0 ± ±1 ± 3 0 cot(x) ± 3 ±1 ± Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen ( π ) sinx = cos x ( π ) cosx = sin x ( π ) tanx = cot x ( π ) cotx = tan x tanx cotx = tan x = 1 cos x 60

61 sin x + cos x = 1 tanx = sinx cosx Trigonometrischer Pythagoras cotx = cosx sinx Man kann jede Funktion durch die anderen ausdrücken, z.b.: cosx = ± cotx 1 + cot x 3.5 Additionstheoreme D E α C sin(α + β) = AE OE = AD + DE OE = BC OE + DE OE = BC + DE OE = BC OC OC OE + EC OE DE EC O β α A B = sinα cosβ + sinβ cosα Analog ergibt sich: sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ tan(α ± β) = cot(α ± β) = tanα ± tanβ 1 tanα tanβ cotα cotβ 1 cotβ ± cotα 61

62 Vielfache eines Winkels Aus den Additionstheoremen ergibt sich für α = β: sin(α) = sinα cosα cos(α) = cos α sin α tan(α) = tanα 1 tan α cot(α) = cot α 1 cotα Setzt man in den Additionstheoremen β = α,3α,... so ergeben sich entsprechende Formeln für sin(3α),sin(4α) usw. Formelsammlung Produkte trigonometrischer Funktionen sinα sinβ = 1 cos(α β) 1 cos(α + β) cosα cosβ = 1 cos(α β) + 1 cos(α + β) sinα cosβ = 1 sin(α β) + 1 sin(α + β) Potenzen trigonometrischer Funktionen sin x = 1 cos(x) sin 3 x = sin 4 x = 3sinx sin(3x) 4 3 4cos(x) + cos(4x) 8 cos x = 1 + cos(x) cos 3 x = cos 4 x = 3cosx + cos(3x) cos(x) + cos(4x) 8 6

63 3.6 Goniometrische Gleichungen Die Auflösung der goniometrischen Gleichungen (Gleichungen, die die Winkelfunktionen enthalten) kann man in 5 Schritte aufgliedern: 1. Vereinheitlichung der Argumente. Vereinheitlichung der Funktionstypen 3. Substitution der übriggebliebenen Winkelfunktion 4. Lösen der algebraischen Gleichung und anschließende Berechnung des Winkels 5. Probe Beispiel: Für ( sinx + sin x + π ) = 0 wird eine Lösung im Hauptwertebereich gesucht: x [0,π) bzw. x [0,360 ) Schritt 1: nach dem Additionstheorem gilt: sinx + sinxcos ( π ) + cosxsin ( π ) = 0 sinx + cosx = 0 Schritt : sinx = cosx tanx = 1 Schritt 3 und 4: x = 135 oder 315 Schritt 5: sin135 + sin( ) = 0 sin315 + sin( ) = 0 x = 135 bzw. x = 4 3π und x = 315 bzw. x = 7 4π sind Lösungen im Hauptwertebereich; oder allgemein: x = 3 4 π + kπ und x = 7 π + kπ k Z 4 63

64 3.7 Zyklometrische Funktionen Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen heißen zyklometrische Funktionen. Man bezeichnet mit y = arcsinx die Umkehrfunktion zu der auf [ π, π ] eingeschränkten Funktion y = sinx und nennt arcsin den arcussinus von x: f : [ 1,1] [ π, π ] x y = arcsinx Umkehrfunktion zu y = cos x: f : [ 1,1] [0,π] x y = arccosx Umkehrfunktion zu y = tan x: f : R [ π, π ] x y = arctanx Umkehrfunktion zu y = cot x: f : R [0,π] x y = arccot x 64

65 Es gilt also: arcsin(sinx) = x arccos(cosx) = x arctan(tanx) = x arccot (cotx) = x und sin(arcsinx) = x cos(arccosx) = x tan(arctanx) = x cot(arccot x) = x Graphische Darstellung: 0.5 π y = arcsin x y = sin x π 0.5 π π 65

66 π y = arccos x 0.5 π y = cos x π π π y = tan x 0.5 π y = arctan x π π π 0.5 π π π 66

67 π 0.5 π y = arcot x y = cot x π π π 0.5 π π π Spezielle Werte: f (x)\x -1 1 arcsin π arccos π π π 4 π π 3 4 π 3 π π π 6 π π 4 π 4 π 3 π 6 π 0 f (x)\x arctan π 3 arccot π 4 π π 3 4 π 3 π π π 6 π 3 π 4 π 4 π 3 π 6 67

68 Es gilt: arcsinx + arccosx = π 1 x 1 arccot x + arctanx = π arccot x = arctan 1 x arcsinx = arctan x 1 x x > 0 x < 1 arccot x = arccos arctanx = arcsin x 1 + x x 1 + x arccosx = arccot x 1 x x < 1 Arcusfunktionen negativer Argumente: y = arcsin( x) = arcsin x y = arccos( x) = π arccosx y = arctan( x) = arctan x y = arccot ( x) = π arccot x Die zyklometrischen Additionstheoreme folgen aus den Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen: arcsinx 1 + arcsinx = arcsinz x 1 + x 1 x 1x 0 π arcsinz x 1 + x > 1 x 1 > 0 x > 0 π arcsinz x 1 + x > 1 x 1 < 0 x < 0 mit z = x 1 1 x + x 1 x 1 weitere Formeln: Formelsammlung 68

69 3.8 Berechnungen am Dreieck Rechtwinklige Dreiecke sinα = a c cosα = b c c α b tanα = a b a + b = c cotα = b a A = 1 ab β. a sinβ = b c cosβ = a c 3.8. Schiefwinklige Dreiecke Sinussatz: C b γ h c a sinα = h c b sinβ = h c a A α c. β B bsinα = asinβ Es ergibt sich: a sinα = b sinβ = c sinγ 69

70 Cosinussatz: C γ h c b. α β A c p q a B a = h c + q h c = b p a = b + q p p = c + q a = b + (c + q) q = b + c + cq + q q = b + c + cq da q b = cos(180 α) = cosα q = bcosα a = b + c bccosα b = a + c accosβ c = a + b abcosγ 70

71 3.9 Näherungsformel für trigonometrische Funktionen sinx = x x3 3! + x5 5! x7 ±... x R 7! cosx = 1 x! + x4 4! x6 ±... x R 6! tanx = x x x x x R, x < π cotx = 1 x 1 3 x 1 45 x3 945 x5... x R, 0 < x < π arcsinx = x + 1 x x x x R, x < 1 7 arccosx = π x 1 x x5... x R, x < 1 5 arctanx = x x3 3 + x5 5 x7 ±... x R, x 1 7 arccot x = π x + x3 3 x5 5 + x7 ±... x R, x 1 7 Für kleine Winkel gilt insbesondere: sinx x tanx cos x Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion Eulersche Formeln: y = e jϕ = cosϕ + j sinϕ y = e jϕ = cosϕ j sinϕ 71

72 Mit Hilfe der Eulerschen Formeln lassen sich komplexe Zahlen relativ einfach darstellen: Im(z) II b 1 I z = a + jb r 1 a r ϕ ϕ 1 a 1 Re(z) III z = a + jb b IV - a ϕ r = cos - b r = sinϕ b = tan ϕ a - r = a + b z = a + jb Kartesische Form = r cosϕ + jr sinϕ = r(cos ϕ + j sin ϕ) Goniometrische Form = re jϕ Exponentialform Bei der Überführung einer komplexen Zahl in die goniometrische Form oder in die Exponentialform sind besonders bei der Bestimmung des Winkels ϕ die entsprechenden Vorzeichen zu beachten: a b z liegt im ϕ liegt zwischen tanϕ positiv positiv I. Quadranten 0 und 90 positiv negativ positiv II. Quadranten 90 und 180 negativ negativ negativ III. Quadranten 180 und 70 positiv positiv negativ IV. Quadranten 70 und 360 negativ a = 0 ϕ = 90 falls b > 0 ϕ = 70 falls b < 0 7

73 b = 0 ϕ = 0 falls a > 0 ϕ = 180 falls a < 0 Hauptwertebereich für ϕ : 0 bis 360 bzw. 0 bis π Multiplikation komplexer Zahlen in Exponentialform Seien z 1 = r 1 e jϕ 1 und z = r e jϕ z 1 z = r 1 e jϕ 1 r e jϕ = r 1 r e jϕ 1 e jϕ = r 1 r e j(ϕ 1+ jϕ ) = r 1 r e j(ϕ 1+ϕ ) Beispiel: Im(z) z z z Re(z) z 1 = 3 e j45 z = 1.5 e j15 z = z 1 z = 3 e j e j15 = e j45 e j15 z = 4.5 e j60 Der Zeiger z 1 wird um den Winkel ϕ = 15 gedreht und um den Faktor 1.5 gestreckt. Division komplexer Zahlen in Exponentialform z 1 und z seien definiert wie gehabt, dann gilt: z 1 z = r 1e jϕ1 r e jϕ = r 1 r e j(ϕ 1 ϕ ) 73

74 Beispiel: Im(z) z z 10 z Re(z) z 1 = 5 e j10 z =.5 e j45 z = z 1 z = 5 e j10.5 e j45 = 5.5 e j(10 45 ) z = e j75 Die komplexe Zahl z 1 wird um den Winkel ϕ = 45 gedreht und um den Faktor r =.5 gestaucht. Potenzieren komplexer Zahlen in Exponentialform Beispiel: umschreiben in Exponentialform: also r = z = re jϕ z n = (re jϕ ) n = r n (e jϕ ) n z n = r n e jnϕ = r n (cos(nϕ) + j sin(nϕ)) z 5 = (1 j 3) = = 4 = tanϕ = 3 1 = 3 ϕ = 60 a > 0, b < 0 IV. Quadrant ϕ = ϕ = 300 z = 1 j 3 = e j300 z 5 = (e j300 ) 5 = 5 e j = z 5 = 3 e j60 74

75 3.10 Die Hyperbelfunktionen y = sinhx = ex e x y = coshx = ex + e x D = R D = R W = R W = [1, ) y = tanhx = sinhx coshx = ex e x e x + e x D = R W = ( 1,1) y = cothx = coshx sinhx = ex + e x e x e x D = R\{0} W = R\[ 1,1] Graphische Darstellung: y = coth x 1 0 y = cosh x y = sinh x 1 0 y = tanh x Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen: e x = sinhx + coshx e x = coshx sinhx cosh x sinh x = 1 tanhxcothx = 1 75

76 sinh( x) = sinh x cosh( x) = cosh x tanh( x) = tanh x coth( x) = coth x ungerade Funktion gerade Funktion ungerade Funktion ungerade Funktion Additionstheoreme sinh(x ± y) = sinhxcoshy ± coshxsinhy cosh(x ± y) = coshxcoshy ± sinhxsinhy sinh(x) = sinhxcoshx cosh(x) = cosh x + sinh x Beziehung zwischen Einheitskreis und Hyperbelfunktionen P cot t P sin t tan t coth t tanh t sinh t cos t cosh t x = cost y = sint x + y = cos t + sin t = 1 x + y = 1 Kreisgleichung x = cosht y = sinht x y = cosh t sinh t = 1 x y = 1 Hyperbelgleichung 76

77 3.11 Die Areafunktionen Um die Umkehrfunktion der Hyperbelfunktionen zu bilden, führt man ein weiteres neues Funktionssymbol ein: Die Umkehrfunktion zu y = sinhx ist: y = arsinh x D = R W = R (gelesen: area sinus hyperbolicus) Entsprechend: y = arcosh x D = [1, ) W = [0, ) y = artanh x D = ( 1,1) W = R y = arcoth x D = (, 1) (1, ) W = R\0 Graphische Darstellung: y = arcoth x y = arsinh x y = arcosh x 1 y = artanh x Es gilt: arsinh (sinh x) = sinh(arsinh x) = x arcosh (cosh x) = cosh(arcosh x) = x artanh (tanh x) = tanh(artanh x) = x arcoth (coth x) = coth(arcoth x) = x 77

78 Wichtige Zusammenhänge: y = arsinh x = ln(x + x + 1) ln(x + x 1) x 1, y > 0 y = arcosh x = ln(x x 1) x 1, y < 0 y = artanh x = 1 ( ) 1 + x ln x < 1 1 x y = arcoth x = 1 ( ) 1 + x ln x > 1 x 1 78

79 4 Einführung in die Vektorrechnung 4.1 Geometrie von Vektoren In der Ebene und im Raum lassen sich Vektoren geometrisch als gerichtete Strecken oder Pfeile darstellen. Die Richtung des Vektors entspricht dann der Pfeilrichtung, sein Betrag der Pfeillänge. v B A: Anfangspunkt B: Endpunkt A v: Länge des Vektors v: Vektor mit seiner Richtung Vektoren heißen äquivalent, wenn ihre Länge und Richtung überein stimmen: u w v äquivalente Vektoren Da man Vektoren meist ausschließlich durch Länge und Richtung charakterisiert, betrachtet man äquivalente Vektoren als gleich, auch wenn sie verschiedene Anfangsund Endpunkte haben: v = w = z Die Summe ṽ + w zweier Vektoren v und w ist der folgendermaßen bestimmte Vektor: Man ordne v und w so an, daß der Anfangspunkt von w mit dem Endpunkt von v zusammenfällt. Der Vektor v + w entspricht dann dem Pfeil vom Anfangspunkt von v 79

80 zum Endpunkt von w. v v +w w Summe v + w v w v + w w + v w v v + w = w + v Der zu v negative Vektor ṽ ist der Vektor mit dem gleichen Betrag wie v, aber entgegengesetzter Richtung: -v v Für diesen Vektor gilt: v + ( v) = 0 Die Differenz ṽ w ist dann definiert als: v w = v + ( w) - w v - w v v v - w - w w w Haben v und w denselben Anfangspunkt, so stellt der vom Endpunkt von w zum Endpunkt von v gehende Vektor die Differenz v w dar. Das Produkt kṽ, k R ist der Vektor, dessen Länge sich als das k -fache der Länge von v ergibt; seine Richtung stimmt für k > 0 mit der Richtung von v überein, für k < 0 ist sie entgegengesetzt. -3v v 0.5v -v v 80

81 Ein Vektor der Gestalt k v heißt skalares Vielfaches von v. Skalare Vielfache sind parallele Vektoren. Vektoren im Koordinatensystem Bei der Behandlung von Vektoren erweist sich die Einführung rechtwinkliger Koordinaten oft als zweckmäßig. Ebene ( dimensionaler Raum) Sei v ein Vektor in der Ebene, dessen Anfangspunkt im Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegt. Die Koordinaten (x 1,y 1 ) seines Endpunktes sind die Komponenten von ṽ, was man als v = (x 1,y 1 ) schreibt. y y 1 0 v x 1 x Die Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar lassen sich einfach auf die Komponentenschreibweise übertragen: y v + w v = (x 1,y 1 ) y 1 v w = (x,y ) y w v + w w v + w = (x 1 + x,y 1 + y ) v x v w = (x 1 x,y 1 y ) k v = (kx 1,ky 1 ) k R x 1 x y 1- y y y w v - w v - w k. y 1 y k.v y 1 x v x 1- x x 1 x y 1 v x 1 k.v k.x 1 x 81