7. Ebene Balkenstatik

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1 7. Ebene Balkenstatik ls Balken oder Träger werden (prismatische) Bauteile beeichnet, die Lasten (Kräfte und omente) längs und quer u ihrer chse aufnehmen können. y q F Lastebene Die Längsachse eines horiontal gelagerten, ebenen Balkens eigt nach rechts in positive -Richtung, die y-koordinate kommt aus der Zeichenebene heraus. Die -chse bildet mit der - und der y-koordinate ein Rechtshändiges System, eigt also nach unten. Der ebene Balken ist nur in seiner --Ebene durch Kräfte belastet. Biegemomente wirken in der Lastebene um die y-chse. 1

2 Balken können beliebige Querschnitte besiten, die in der y--ebene liegen und in -Richtung veränderlich sein können. b L y h Die Querschnittsabmessungen Höhe h und Breite b eines Balkens sind klein gegenüber seiner Länge L. Die Form der Querschnittsfläche ist beliebig. h b 2

3 Im Unterschied um Stab kann ein Balken neben Längskräften auch Querkräfte und damit Biegemomente aufnehmen. Da die Höhe des Balkens vernachlässigbar ist, werden alle Kräfte und omente auf die ittellinie des Balkens beogen, d. h. im Gegensat u Scheiben ereugen Kraftkomponenten in Balkenlängsachse kein oment. Unter den genannten Voraussetungen lassen sich die Beanspruchungen am Balken analytisch berechnen. Er stellt daher ein wichtiges Element der Technischen echanik dar und wird oftmals auch als Näherung für kompliiertere Bauteile verwendet, für die eine geschlossene Lösungen nicht angegeben werden kann. 3

4 7.1 uflagerreaktionen Sämtliche uflagerungen lassen sich auch beim ebenen Balken wieder auf drei Grundfälle urückführen. Gelenklager Gleitlager Einspannung Die uflagerreaktionen werden wie folgt ermittelt: Festlegung des Koordinatensystems Eintragen der uflagerreaktionen in Koordinatenrichtung Zerlegung der Lasten in ihre - und -Komponenten nwendung der Gleichgewichtsbedingungen ΣF =, ΣF = und Σ= Die uflagerreaktionen werden meist als Druckkräfte eingetragen 4

5 Beispiel 1: Eingespannter Balken mit Einellast F=5kN Freikörperbild α=53 B L=,5 m F 5

6 Beispiel 2: Gelagerter Balken mit Einellast F=3 kn Freikörperbild F a=,7 m L=1 m B 6

7 Beispiel 3: Gelagerter Balken mit omentenlast =6 knm Freikörperbild L=3 m B 7

8 Übung: Gelagerter Balken mit Einellast F=6 kn Freikörperbild F B C 2a = 1 m a 8

9 7.2 Schnittgrößen F 1 F 2 F 1 Q F 2 Führt man an einem im Gleichgewicht befindlichen Balken einen gedanklichen Schnitt durch, müssen die Teile nach der Trennung ebenfalls im Gleichgewicht sein. Schnitt Beim ebenen Balken treten an der Schnittstelle folgende Schnittgrößen auf: Normalkräfte N Querkräfte Q Biegemomente Die Schnittgrößen am linken und am rechten Ufer besiten wieder gleichen Betrag, aber entgegengesette Orientierung und heben sich nach außen hin auf. Q N B 9

10 Um die Richtung der Schnittgrößen eindeutig festulegen, wird beim Balken eine sog. Voreichenkonvention vereinbart: Schnittgrößen (Normalkräfte, Querkräfte und Biegemomente) sind positiv, wenn ihr Vektor an positiven Schnittufern in positive und an negativen Schnittufern in negative Koordinatenrichtung eigt y Q n r + N Ein Schnittufer ist positiv, wenn die äußere Flächennormale den selben Richtungssinn wie positive -chse besitt und negativ, wenn sie in negative Koordinatenrichtung eigt N n r Q positives negatives Schnittufer 1

11 7.2.1 Berechnung der Schnittgrößen Zur Berechnung der unbekannten Schnittgrößen N, Q und stehen beim ebenen Balken genau drei unabhängige Gleichgewichtsbedingungen u Verfügung. Bei bekannten uflagerkräften können somit die Schnittgrößen an beliebiger Stelle des Balkens ermittelt werden. Diese sind i. allg. über der Länge des Balkens veränderlich. Vorgehensweise: Festlegung des Koordinatensystems Eintragung und Berechnung der uflagerreaktionen Balken an einer Stelle schneiden und Schnittgrößen entsprechend der Voreichenkonvention eintragen nwendung der Gleichgewichtsbedingungen ΣF =, ΣF = und Σ= liefert die Schnittgrößen N, Q und Die Gleichgewichtsbedingungen können am positiven Schnittufer (linkes Teilsystem) oder am negativen Schnittufer (rechtes Teilsystem) aufgestellt werden. 11

12 Beispiel 1: Eingespannter Balken mit Einellast F=5kN α=53 Linkes Schnittufer: S L=,5 m B 12

13 ... Fortsetung F=5kN B S L=,5 m α=53 Rechtes Schnittufer: 13

14 Zur übersichtlichen Darstellung werden die Schnittgrößen über der Balkenlänge grafisch aufgetragen N F=5kN L=,5 m B Q omentenlinie Querkraftlinie Normalkraftlinie 14

15 7.2.2 ehrfeldträger Wie aus dem vorhergehenden Beispiel deutlich wird, sind Schnittgrößen i. allg. von der Koordinate in Balkenlängsrichtung abhängig. n den ngriffspunkten der Lasten bw. der uflagerkräfte treten Unstetigkeiten der Schnittgrößen auf, d.h. es ergeben sich unterschiedliche Felder des Balkens, für die der Schnittgrößenverlauf u ermitteln ist. Felder F 1 α B F y Es werden daher bei ehrfeldträgern neben einem globalen Koordinatensystem ur Bestimmung der uflagerreaktionen für jedes Feld unabhängige lokale Koordinaten ur Beschreibung des Schnittgrößenverlaufs eingeführt. 15

16 Beispiel 1: Gelagerter Balken mit Einellast F=3 kn Feld 1 (linkes Schnittufer) 1 2 S 1 a=,7 m L=1 m B 16

17 ... Fortsetung F 1 2 Feld 2 (linkes Schnittufer): a=,7 m S 2 B L=1 m 17

18 ...Fortsetung (alternativ) F 1 2 Feld 2 (rechtes Schnittufer) a=,7 m S 2 B L=1 m 18

19 ...Graphische Darstellung Die Einellast bewirkt in der Querkraftlinie einen Sprung. Die Sprunghöhe entspricht dem Betrag der eingeleiteten Last. Die Höhe der Querkraft korreliert mit den Beträgen der uflagerkräfte. Die omentenlinie besitt an der Lasteinleitungsstelle einen Knick Die Steigung der omentenlinie entspricht der Querkraft im jeweiligen Feld Das maimale Biegemoment tritt an der Stellen auf, an der die Querkraft das Voreichen wechselt (Nulldurchgang). N F=3 kn // -2,1 kn B Q,9 kn + F B,63 knm + 19

20 c) Gelagerter Balken mit omentenlast =6 knm Feld 1 (linkes Schnittufer) 1 2 S 1 a=2m L=3 m B 2

21 ...Fortsetung 1 2 Feld 2 (rechtes Schnittufer) a=2m S 2 B L=3 m 21

22 ...Graphische Darstellung Das eingeleitete oment bewirkt keine Normalkräfte. Die Querkräfte sind über der Balkenlänge konstant und korrelieren mit den uflagerkräften. Die omentenlinie besitt an der Lasteinleitungsstelle einen Sprung. Ein positives Lastmoment bewirkt einen negativen Sprung in der omentenlinie, ein negatives Lastmoment einen positiven omentensprung. Die Steigung der omentenlinie entspricht der Querkraft und ist über der Balkenlänge konstant. Das maimale Biegemoment tritt an der Lasteinleitungsstelle auf. N Q =6 knm // 4 knm + -2 knm B 2 kn+ B 22

23 7.2.3 Semigrafisches Verfahren Querkraft- und omentenlinie lassen sich allein aus den berechneten uflagerkräften ermitteln. Zunächst werden alle Kräfte und uflagerreaktionen voreichengerecht eingetragen und daraus der Querkraftverlauf konstruiert. Die Querkräfte stellen die Steigung der omentenlinie dar. Das oment lässt sich aus dem Produkt der Querkräfte und der ugehörigen Längen bestimmen. Hierbei sind am positiven (linkem) Schnittufer die Querkräfte voreichengerecht einuseten, am negativen (rechten) Schnittufer ist das Voreichen umukehren. Erstreckt sich die Berechnung über mehrere Felder, sind die für jedes Feld ermittelten omente voreichengerecht aufuaddieren. =,9 kn F=3 kn,7 m,3 m B = 2,1 kn Q,9 kn + F B -2,1 kn,63 knm + 23

24 Beispiel: Balken mit oment und Einellast Gegeben: F = 2 kn, = 2 knm, a =,5 m C B F a a a Q 24

25 Übung: Gelagerter Balken mit Einellasten Gegeben: F 1 = 4 kn, F 2 = 2 kn, a = 1 m C F 1 B F 2 a a a Q 25

26 7.3 Verteilte Lasten Verteilte Lasten infolge Eigengewicht, Schnee- oder Windbelastung wirken auf ebene Träger idealisiert als linienförmige Last. Hierbei wirkt auf jedes Trägerelement der Länge der Kraftanteil F. Die mittlere Belastungsintensität im Bereich ergibt sich aus q m = F q() F Für den Grenübergang erhält man die Streckenlast lim F = df d = q( ) B Die Einheit der Streckenlast q() ist Kraft/Länge [N/mm, kn/m]. 26

27 Umgekehrt erhält man durch Integration eine ur Streckenlast äquivalente Resultierende: F a R R q() F = q( ) d R Für das resultierende oment der Streckenlast ergibt sich analog: F = R R R a = q( ) d Die Resultierende muss das gleiche oment wie die Streckenlast beüglich eines beliebigen Punktes besiten. Für den Punkt erhält man R mit dem bstand R der Resultierenden F R. a B 27

28 Sett man die Integrale ein, folgt = R F R R = a q( ) d a q( ) d R a S F R q() = q()d Der usdruck entspricht der Koordinate des Flächenschwerpunktes S, wenn q()d als Fläche aufgefasst wird Der bstand R der Resultierenden F R ist gleich dem bstand des Flächenschwerpunktes der Fläche unter der Belastungskurve q(). Die Resultierende der Streckenlast entspricht der Belastungsfläche. geht mit ihrer Wirkungslinie durch deren Schwerpunkt. Streckenlasten können durch Resultierende ersett werden, die im jeweiligen Schwerpunkt der Belastungsfläche angreifen. 28

29 Konstante Streckenlast: a q Linear veränderliche Streckenlast: q() = q a a q 29

30 a) Eingespannter Balken mit konstanter Streckenlast q = 6 kn/m L=,5 m B 3

31 ... Fortsetung q N Q 31

32 b) Gelagerter Balken mit Dreiecklast q() = q /L L=1 m q = 6 kn/m B 32

33 ... Fortsetung 33

34 ... Fortsetung q() N Q 34

35 7.4 Belastungsfunktion und Schnittkräfte Wie das vorhergehende Beispiel eigt, tritt das maimale oment an der Stelle auf, an der die Querkraft durch Null geht. Betrachtet man ein herausgeschnittenes Balkenelement der Länge mit der Belastungsfunktion q(), so ergeben sich unterschiedliche Schnittgrößen an den Schnittufern. us dem Kräftegleichgewicht folgt q() F = = Q + q( ) + ( Q + Q) q() q( ) + Q = Q a + Q+ Q Das omentengleichgewicht liefert = = ( + ) Q + q( ) a Q + q( ) a = ~ 35

36 Im Grenübergang geht mit auch a und damit lim Q = dq d = q() lim = d d = Q( ) Die bleitung der Querkraft nach der Koordinate ist gleich der negativen Belastungsfunktion. Die bleitung des oments nach der Koordinat liefert die Querkraft, nochmalige bleitung liefert die negative Belastungsfunktion. Q ( ) = q( ), ( ) = Q( ), ( ) = q( ) Umgekehrt ergibt sich durch Integration der negativen Belastungsfunktion -q() die Querkraft Q(), durch nochmalige Integration das oment (). Q ( ) + c = = q( ) d 1 ( ) Q ( ) d + c1 + c2 36

37 Die Integrationskonstanten c 1 und c 2 lassen sich aus den Randbedingungen gewinnen. Randbedingung Symbol Querkraft Q oment Gleitlager, Gelenklager i. a. Führung i. a. Freies Ende Einspannung i. a. i. a. 37

38 38 Für den Balken unter Dreiecklast ergibt sich: L q q ) ( = = d q Q ) ( ) ( + = d c L q ) 2 ( 1 2 Randbedingungen: ) ( L q L q = it L = 1 m und q = 6 kn/m folgt die Querkraft- und omentenlinie c 2 = = d Q ) ( ) ( c c L q + + = ) (! = = L q c 6 1 = ) (! = = L = d L q c L q + = ) ( L q L q Q = kn 3 2 = 1 knm 3 = c c L q + + = c L c L L q + + =

39 Biegemomenten- und Querkraftlinien (nach J. dam: Festigkeitslehre und FE-nwendungen) 39

40 ... Biegemoment- und Querkraftlinien (Fortsetung) (nach J. dam: Festigkeitslehre und FE-nwendungen) 4

41 7.5 ehrteilige Balkensysteme ehrteilige Balkensysteme bestehen aus mindestens wei Balken, die mit Gelenken oder seltener durch Führungen miteinander verbunden sind. 1 1 q G 2 2 B 2 3 C ehrere durch Gelenke verbundenen Balken, die auf einer gemeinsamen Linie liegen, werden als Gerberträger beeichnet. Stat. Bestimmtheit: D = a n a uflagerreaktionen Zwischenreaktionen n nahl der Balken D = = ehrteilige Balkensysteme sind immer auch ehrfeldträger Die unbekannten uflagerreaktionen müssen beim Gerberbalken an den Teilsystemen unter Berücksichtigung der Gelenkkräfte ermittelt werden. 41

42 Beispiel: Dreifeld-Gerberbalken mit Streckenlast q G S B a a a C 42

43 ... Fortsetung 43

44 ... Fortsetung G N Q q C B Das oment ist im Lager und C sowie im Gelenk G Null. us der Bedingung a! Q( 1 ) = q( 1) = 2 folgt im ersten Feld ein lokales aimum = ( = ) = 1ma 1 a = 2 q a ( a a Das betragsmäßig größte oment tritt an der Stelle des Lagers B auf 4 ) = q 8 a 2 q ma = ( 2 = a) = ( a a + a 2 ) 2 = q bw. a 2 ma = 3 = a) ( = q a 2 44

45 6.6 Trägerdimensionierung Sind die Biegemomente eines Trägers bekannt, lassen sich damit die Querschnitte der Balken auslegen (dimensionieren). b b b - Biegemoment Die Festigkeitsbedingung für Balken lautet: Hierin ist σ b = W b b σ ul σ b - Biegespannung [N/mm 2 ] W b - Widerstandsmoment [mm 3 ] σ ul - ulässige Spannung 45

46 der Fachhochschule der Trier Trier Prof. Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. T. Preußler T. Das Widerstandsmoment W b ist ein aß für den Widerstand eines Trägers gegen Biegung und ist von der Geometrie des Balkenquerschnitts abhängig. Für einfache Querschnitte und genormte Profile ist das Widerstandmoment in Tabellen aufgeführt. (nach J. dam: Festigkeitslehre und FE-nwendungen) 46

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48 Das erforderliche Widerstandsmoment für einen Balken ergibt sich aus W erf d erf σ bma it W b =π d 3 /32 folgt für den erforderlichen Durchmessers eines Kreisquerschnitts ul 3 32 π σ bma it W b =b h 2 /6 folgt für die Querschnittsabmessungen eines Rechteckprofils h erf σ 6 ul b σ bma ul b ma W erf 3 π d erf b 32 σ ma ul bw. bma Hierin ist h die Höhe und b die Breite des Rechteckquerschnitts. b erf 6 2 h σ ul ul 48

49 Beispiel 1: Träger mit rechteckiger Querschnittsfläche Gegeben: b ma = 2 knm C F 1 B F 2 a a a 49

50 Beispiel 2: Gerberbalken mit Rechteckquerschnitt Gesucht: b 2 und h 1 für q = 8 kn/m, σ ul = 2 N/mm 2, a =,5 m und h 2 = 5 mm h 1 q h 2 5