Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus:

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1 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Simulation einer mündlichen Prüfung (Analysis schriftl., affine Geometrie / lineare Algebra mündl.) Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

2 SCHOOL-SCOUT Analysis schriftl., affine Geometrie/lineare Algebra mündl.seite 3 von 7 Mündlicher Teil (über 3 Minuten): Teil 1 (mit Bezug auf die erste Aufgabe): - Tragen Sie Ihre Ergebnisse aus dem schriftlichen Teil in 1 Minuten vor! - Skizzieren Sie den Graphen der Funktion! - *Nehmen wir an, sie wollten die Fläche eines Rotationskörpers bestimmen, der durch die Geraden x=1, x= und den Graphen der Funktion abgegrenzt wird und um die x-achse rotiert. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise in ein paar Sätzen! Teil - Fragen aus der linearen Algebra: Bei geometrischer Betrachtung, welche mögliche Lagen zwischen einer Ebene und einer Gerade kennen Sie? ) Wie können diese Fälle rechnerisch in Erscheinung treten? D.h., wie kann man rechnerisch die Lage zwischen Gerade und Ebene ermitteln? 3) Was bedeutet der Begriff "orthogonal" in Bezug auf zwei Geraden in der Ebene und wie nennt man zwei Geraden allgemein, die in einer Ebene liegen? 4) Wie kann man rechnerisch zwei Geraden auf Orthogonalität untersuchen? 5) Gegeben sei die Ebene, die durch die Punkte A(1//5) B(/1/) und C(3/4/ festgelegt wird. Ermitteln Sie die Lage der Geraden zu dieser Ebene, die durch die Punkte D(4/3/- ) und E(//) bestimmt wird! (Tipp: Überprüfen sie erst mal, ob die Gerade in der Ebene liegt!) 6) * Was ist der sog. Normalenvektor und wie berechnet man ihn? /Bemerkung: *-Fragen sind in erster Linie für Einserkandidaten gedacht/ info@school-scout.de Internet: Fax: 51/648

3 SCHOOL-SCOUT Analysis schriftl., affine Geometrie/lineare Algebra mündl.seite 4 von 7 Lösung Teil 1: a) D(f) = IR und W(f) = IR +, da sowohl die e-funktion, als auch das Polynom für ganz IR definiert sind, wobei die e-funktion (und auch alle Potenzen) nur positive Werte zurückgeben. Grenzwertverhalten: lim f(x) = e = x -> lim f(x) = e = x -> -, da das Polynom unendlich groß wird., da der höchste Grad des Polynoms () gerade ist (Parabelform). Ich möchte an dieser Stelle darauf hinweisen, dass man auf die Limes-Schreibweise besonders achten sollte, denn wenn man einfach "lim" schreibt, dann könnte man leicht Punkte verlieren. Mir hat man damals Punkte hierfür abgezogen, da sie sonst keinen Fehler fanden. Ich habe mich sehr gefreut! Also auf mathematische Genauigkeit achten, sonst gehen die Punkte flöten! b) Schnittpunkt mit der y-achse: f() = e *-+1 =e Schnittpunkt mit der x-achse: Der Schnittpunkt ist P(/e). f(x) =, dies geht jedoch nicht, da die Funktion nur echt positive Werte annimmt. c) f '( x) e Dies gilt nach der Kettenregel, wobei die innere Funktion diesmal die Potenz ist. f '( x) x x e 4x 1 x Demnach existiert (möglicherweise) ein Schnittpunkt bei P(,5/e 7/8 ). Wir prüfen die dazu hinreichende Bedingung anhand der zweiten Ableitung. 1 4 x x x f ''( x) 4e e ( 4) e Dieses Ergebnis folgt mit der Produktregel und der Kettenregel Setzen wir nun die gefundene Stelle ein: f ''( ) 4e 4 Hiernach existiert die Extremstelle und ist ein Minimum. Suchen wir nun nach Wendestellen und betrachten: f ''( x) ( 4) e x ( Es existieren keine Wendestellen, da eine Quadratzahl, hier -, niemals negativ sein kann. Hier müsste sie jedoch -4 ergeben, damit die Gleichung erfüllt ist. 4) info@school-scout.de Internet: Fax: 51/648

4 SCHOOL-SCOUT Analysis schriftl., affine Geometrie/lineare Algebra mündl.seite 5 von 7 Nun zum Monotonieverhalten: Die Funktion f ist auf dem Intervall ]- ; 1/4[ streng monoton fallend und auf dem Intervall [1/4; [ monoton steigend. Dies folgt aus dem Grenzwertverhalten und der Existenz des gefundenen Tiefpunktes. (An dieser Stelle muss man darauf achten, dass man das Monotonieverhalten über ganz D(f) angibt, so schließt man erst die Stelle 1/4 aus dem ersten Intervall aus, so kann man auch strenge Monotonie behaupten, und in dem zweiten Intervall nimmt man die Stelle hinzu, was zufolgen hat, dass man nicht mehr von strenger Monotonie sprechen darf, wenn die Extremstelle im Intervall ist. Keine Angst, diese Bemerkung war der mathematischen Vollständigkeit halber, keinem wird der Kopf abgebissen, wenn er hier etwas anders macht.) d) Ist die Funktion Achsensymmetrisch? f ( x) e ( x) e x f ( x) Ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung? ( x) x x f ( x) e e e f ( x) Dies folgt allein schon daraus, dass -f(x) negativ ist für alle x und f(-x) positiv. So können sie unmöglich gleich sein! Die vier Aufgabenteile sind in den 3 Minuten sehr wohl machbar, man muss ja nicht soviel kommentieren wie ich es tue, spätestens muss man jedoch diese Sachen im mündlichen Teil erwähnen, wenn man auf eine zwei oder eins hinauswill. Der mündliche Teil: Man geht hier an die Tafel und schreibt ganz locker los, erklärt alles soweit, wie ich das gemacht habe und dann kann nichts mehr schief gehen. Wenn man mit seinem Vorträgchen fertig ist, bekommt man noch ein-zwei Fragen zur Aufgabe gestellt, wie Skizze des Funktionsgraphen: y P 1 4 e x info@school-scout.de Internet: Fax: 51/648

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