E1 Wheatstonesche Brücke

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1 Wheatstoesche Brücke Physikalische Grudlage Grudbegriffe Elektrischer Widerstad Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Gesetze Potetiometer Wheatstoesche Brücke 1. Kirchhoffsche Gesetze WirdaeieelektrischeLeitereieSpaugU agelegtudesfließteistrom I,dadefiiert ma folgedes Verhältis als de Widerstad des Leiters. R= U I (SI-Eiheit:1Ω=1 V ). (1.1) A Falls R ur vom Verhältis U/I ud icht vo de Eizelgröße selbst abhägt, wird R Ohmscher Widerstad geat. Es gilt da das Ohmsche Gesetz U= R I, (1.2) i dem R=cost. vorausgesetzt wird. Zur Berechug der Ströme ud Spauge i Netzwerke - daruter versteht ma jede beliebige Kombiatio aus Spaugsquelle, Widerstäde ud Leitugsdrähte - beötigt ma ebe dem Ohmsche Abbildug 1.1: Kirchhoffsche Gesetze Gesetz die Kirchhoffsche Sätze: Kotesatz I jedem Kotepukt eier Schaltug ist die Summe der zufließede Ströme gleich der Summe der abfließede Ströme(Abb. 1.1a)). Gibt ma de zufließede Ströme positives, de wegfließede Ströme egatives Vorzeiche, da erhält der Kotesatz die Form: I i =0. (1.3) Elektrodyamik ud Optik 1

2 Wheatstoesche Brücke Maschesatz I jeder Masche eies Netzwerkes(Abb. 1.1b) ist die Summe der Spauge aller Spaugsquelle gleich der Summe der Spaugsabfälle a de Widerstäde der Masche: U i = R i I i. (1.4) Für die praktische Berechuge muss für jede Masche ei Umlaufsi ud für jede Zweig der Masche eie Zählrichtug des Stromes festgelegt werde; diese Festleguge köe willkürlich erfolge. Zur Berechug eier Masche(Abb. 1.1b)) gehe ma vo eiem Kotepukt der Masche aus ud bereche im Umlaufsi die Summe der Spauge ud der Spaugsabfälle. Wird eie Spaugsquelle vom Mius- zum Pluspol durchlaufe, rechet ma die Spaug positiv, aderfalls egativ. Stimme ageommee (techische) Stromrichtug ud Umlaufsi überei, so gilt der Spaugsabfall am Widerstad als positiv, aderfalls egativ. Für die dargestellte Masche erhält ma bei Beachtug dieser Regel U 1 +U 2 +U 4 = I 1 R 1 I 2 R 2 I 3 R 3 I 4 R Widerstadsetzwerke WerdeOhmscheWiderstädeR 1, R 2,...R ieiemgleichstromkreiszusammegeschaltet,so köesiezueiemresultieredewiderstadr g zusammegefasstwerde.uterawedug des Ohmsche Gesetzes ud der Kirchhoffsche Sätze ergibt sich R g = R i, (1.5) 1 R g = 1 R i. (1.6) Abbildug 1.2: Widerstadswürfel Mit diese Formel lasse sich kompliziertere Netzwerke oft eifacher bereche als durch die direkte Awedug der Kirchhoffsche Sätze (Gl. (1.3) u.(1.4)). Beispielsweise erhält ma für zwölf gleichgroße Widerstäde R, die die Kate eies Würfels bilde (Abb. 1.2), folgede Werte für de GesamtwiderstadR g zwischeaudb (Würfelkate) R g = 7 R (1.7) 12 zwischeaudc (Flächediagoale) R g = 3 R (1.8) 4 zwischeaudd (Raumdiagoale) R g = 5 R (1.9) 6 Elektrodyamik ud Optik 2

3 Wheatstoesche Brücke 3. Widerstadsmessug Auf der Grudlage der Defiitio des Widerstades (Gl. (1.1) köte eie BestimmugvoRdurchdieMessugvoSpaug ud Strom mit eiem Schaltugsaufbau ach Abb. 1.3a) oder 1.3b) erfolge. Beide Schaltuge führe aber zu systematische Fehler bei der Bestimmug vo R. Bei der sog. spaugsrichtige Schaltug(Abb. 1.3a)) wird die Spaug Abbildug 1.3: Messug vo Strom ud Spaug am Widerstad R korrekt gemesse, aber der Strommesser A erfasst auch de durch de Spaugsmesser V fließede Strom. Der Strom würde ur da richtig gemesse, we der Spaugsmesser eie uedlich hohe Iewiderstad hätte. Mit der sog. stromrichtige Schaltug köte die Spaug ur da richtig gemesse werde, we der Iewiderstad des Strommessers R A = 0 wäre. Eifache Labormessmittel erfülle diese Aforderuge im Allgemeie icht hireiched. Auf der Grudlage der Kirchhoffsche Gesetze wäre eie Korrektur dieser systematische Fehler möglich, würde aber die Ketis bzw. eie zusätzliche Bestimmug der Iewiderstäde der beutzte Messgeräte erforder. Diese isbesodere die Präzisiosmessug vo Widerstäde erschwerede Umstäde köe bei eier Messug vo R mit der Wheatstoesche Brücke (Abb. 1.4) umgegage werde. SiebestehtauseiemubekateWiderstadR x, eiemnormalwiderstadr N,eiemPotetiometer P, eiem empfidliche Azeigeistrumet I, eier SpaugsquelleU o udeiemschalters.derwiderstad des Potetiometers wird durch eie verstellbare Schleifkotakt i die Teilwiderstäde R 1 udr 2 geteilt. Zur Messug wird das Potetiometer so eigestellt, dass das Azeigegerät bei geschlosseem Schalter keie Ausschlag zeigt, d.h. zwische de Pukte A ud B keie Potetialdifferez besteht ud damit kei Strom fließt. I diesem Fall spricht Abbildug 1.4: Brückeschaltug ma vom Brückegleichgewicht ud die Kirchhoffsche Gesetze liefer ach dem Maschesatz (Gl. (1.4)) ud ach dem Kotesatz (Gl. (1.3)) die folgede Zusammehäge: I x R x = I 1 R 1 bzw. I N R N = I 2 R 2 Zusammegefasst erhält ma I x = I N bzw. I 1 = I 2 R x = R N R 1 R 2. (1.10) ZurBestimmugdesWiderstadesR x istsomiturdieketisdesnormalwiderstadesr N sowie des Widerstadsverhältisses R 1 /R 2 otwedig. Das Azeigeistrumet wird ausschließlich Elektrodyamik ud Optik 3

4 Wheatstoesche Brücke als Spaugsidikator zum Abgleiche der Messbrücke beutzt ud muss deshalb icht geeicht sei. Die Betriebsspaug U o muss weder bekat och besoders kostat sei, eie Verrigerug würde aber zu sikeder Empfidlichkeit der Azeige ud damit zur Herabsetzug der Messgeauigkeit führe. Aufgabe 1. Es sid drei Widerstäde eizel ud i 5 verschiedee Dreierkombiatioe je sechsmal auszumesse. 2. Die Widerstäde für die Dreier-Kombiatioe sid außerdem aus de Messwerte der Eizelwiderstäde zu bereche(gl.(1.5) bzw.(gl.(1.6)) ud mit de Messwerte der Dreierkombiatioe zu vergleiche. 3. A eiem Widerstadswürfel aus 12 gleichgroße Eizelwiderstäde R sid die jeweilige Gesamtwiderstäde über eie Kate, eie Flächediagoale ud eie Raumdiagoale zu messe ud daraus R zu bereche(gl.(1.7),(1.8),(1.9)). Versuchsdurchführug Der Schaltugsaufbau erfolgt ach Abb Das Potetiometer besteht aus eiem homogee Nickeldraht der Läge l = 1 m mit eiem verschiebbare Schleifkotakt, welcher de Draht i zwei Abschitte mit de Teilläge x ud l x uterteilt. Dadurch wird das Widerstadsverhältis R 1 /R 2 durch ei Lägeverhältis ausgedrückt ud aus der Gleichug für die Wheatstoesche Brücke(Gl.(1.10)) folgt R x = R N x l x Der Normalwiderstad R N wird durch Dekadewiderstäde gebildet. Beim Messvorgag wird zuächst der uempfidlichste Messbereich des Azeigeistrumetes gewählt, der Schleifkotakt etwa i Mittelstellug geschobe ud bei wiederholtem kurzzeitige Taste des Schalters das BrückegleichgewichtdurcheiepassedeWahldesNormalwiderstadesR N aäherdherbeigeführt. Die aschließede Feieistellug erfolgt ur och mit dem Schleifkotakt des Potetiometers, wobei das Brückegleichgewicht jeweils durch kurze Schalterbetätigug getestet wird. Bei abgeglicheer Brücke darf auch im empfidlichste Messbereich keie Zeigerbewegug bemerkbarsei.theoretischkötebeibeliebigemnormalwiderstadr N jederwiderstadr x gemesse werde (Gl. (1.10)), da der Quotiet R 1 /R 2 alle Werte zwische Null ud uedlich aehme ka. Die Messgeauigkeit wird jedoch am größte für R x = R N, d. h. R 1 /R 2 = 1. Dies lässt sich durch Diskussio der relative Messusicherheit vo R x begrüde. Bei Verachlässigug des Fehlers vo l gilt: (1.11) u Rx = u R N lu x + R x R N x(l x). Das Miimum der Messusicherheit liegt vor, we der Neer x(l x) maximal wird, d. h. bei x=l/2 bzw. R 1 = R 2. Der Normalwiderstad sollte also immer dem Messproblem agepasst werde. Elektrodyamik ud Optik 4

5 Wheatstoesche Brücke Frage 1. Was besage die Kirchhoffsche Gesetze ud wie sid sie auf die Wheatstoesche Brücke azuwede? 2. Leite Sie de Gesamtwiderstad für die Reiheschaltug(Gl.(1.5)) ud die Parallelschaltug(Gl.(1.6)) vo Eizelwiderstäde ab. 3. Leite Sie die Beziehuge Gl.(1.7) bis Gl.(1.9) für de Widerstadswürfel ab. 4. Diskutiere Sie Vor- ud Nachteile Ihe bekater Methode zur Widerstadsmessug. 5. Wie verädert ma die Messbereiche vo Strom- ud Spaugsmesser? 6. Was versteht ma uter dem spezifische Widerstad? Elektrodyamik ud Optik 5