8 Schwingungen und Wellen

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1 8 Schwingungen und Wellen 8.1 Einleitung und Begriffe Das Studium von Wellen, Schwingungen und wie sie mit Materie wechselwirken ist von fundamentaler Bedeutung in der quantitativen Beschreibung der Natur. Dies hängt vor allem damit zusammen, dass fast alle Methoden mit denen wir etwas über die Welt erfahren über die Wechselwirkung von Wellen mit dem Untersuchungsgegenstand, bzw. mit der Anregung von Schwingungen in diesem Gegenstand funktionieren. Wenn wir etwas hören, sind es die Schall-Wellen, die Schwingungen in unserem Ohr anregen, wenn wir etwas sehen, dann sind es die elektromagnetischen Wellen des Lichtes, die Schwingungen der Elektronen in den Rezeptor-Molekülen unserer Augen anregen. Aber auch im Bereich der instrumentellen Methoden sind es Schwingungen und Wellen, die den allergrössten Teil der Methoden bestimmen. Bei der Kernspinresonanz sind es wiederum elektromagnetische (Radio-)Wellen, die eine Oszillation von Kernspins anregen, in der Seismologie werden Schallwellen in der Erde benützt um etwas über den Aufbau des Gesteins zu erfahren. Bei Beugungsexperimenten, wie z.b. der Kristallbestimmung durch Röntgenstrahlen, ist es die Überlagerung vieler verschiedener Teilwellen nach der Wechselwirkung mit dem Kristall, die uns das Beugungsbild und damit die Kristall-Struktur geben. Wir wollen uns also erst einmal begrifflich klar machen, worin sich Wellen und Schwingungen unterscheiden und dann sehen, wie wir diese mathematisch beschreiben können. Unter einer Welle versteht man eine sich in einem kontinuierlichen Medium, (das kann ein Gas, eine Flüssigkeit oder ein Festkörper sein) ausbreitende Störung. Bei einer Wasserwelle, ist die Störung ist eine lokale Verschiebung von Flüssigkeitsschichten, die sich über die Oberfläche hinweg ausbreitet. Bei einer Seilwelle, die wir z. B. durch durch einen kräftigen Schlag auf ein gespanntes Seil erzeugen können, besteht die Störung in einer örtlich begrenzten Auslenkung von Seilelementen aus ihrer normalen Position. Eine solche Störung wandert im kontinuierlichen Medium, also hier dem Seil, entlang. Eine Schwingung besteht dagegen aus der periodischen Oszillation eines Gegenstandes um eine Bestimmte Position herum. Eine Schwingung kann sich also im Gegensatz zu einer Welle NICHT ausbreiten. Allerdings, können wir im allgemeinen eine Welle als Überbegriff von vielen, miteinander gekoppelten schwingungsfähigen Systemen betrachten: Bei der in der Vorlesung demonstrierten hängenden Kette von Oszillatoren besteht die Störung in einer Auslenkung des einzelnen Oszillators aus seiner Ruhelage, die durch die Kopplung auf den nächsten Nachbarn übertragen werden kann. Ein fester Körper kann, wie wir das in der Festigkeitslehre gesehen haben, als ein System von lauter atomaren Oszillatoren angesehen werden, die elastisch an eine Ruhelage in einem dreidimensionalen Gitter gebunden sind. Wird nun an einem Punkt eine Störung erzeugt, z. B. durch einen Schlag, dann breitet sich diese Störung durch die Kopplung unter den einzelnen Oszillatoren im Kristall aus. Dies ist der Mechanismus der Schallwellenausbreitung in festen Körpern. Die zu einer Schallwelle gehörende Störung besteht aus einer Verschiebung von Atomen, Gruppen von Atomen oder auch von makroskopischen Schichten. Dies gilt auch für Schallwellen in Gasen. Mit der Verschiebung von Gasschichten geht auch eine wandernde Druckwelle, eine lokale Erhöhung oder Erniedrigung des Drucks einher. Unterschiedliche Kopplungen, bzw. 197

2 rückstellende Kräfte (Scherung, Kompression) bewirken entsprechend unterschiedliche Schallwellen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern. Bei elektrischen Wellen in Kabeln, bei Licht und anderen elektromagnetischen Wellen besteht die Störung in zeitlich und örtlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern. Wichtige Begriffe für die Beschreibung von Wellen sind die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die Grösse (Amplitude) der Störung (auch Erregung) genannt und die Richtung der Störung relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit. Stehen Ausbreitungsgeschwindigkeit und Richtung der Störung senkrecht aufeinander, so spricht man von transversalen Wellen, sind beide parallel zueinander so spricht man von longitudinalen Wellen. Beispiele für rein transversale Wellen sind die Wellen des elektromagnetischen Spektrums, Licht, Röntgenstrahlen, etc., Schallwellen in Gasen sind rein longitudinal, Schallwellen in festen Körpern können sowohl longitudinal als auch transversal sein. 8.2 Schwingungsfähige Systeme: Rekapitulation Wir haben bereits bei der Diskussion von Anwendungen der Newton schen Prinzipien Schwingungen kennengelernt. Besonders haben wir Federpendel und mathematische Pendel als Systeme behandelt. Im allgemeinen Sinne sprechen wir dann von einer Schwingung, wenn eine physikalische Grösse sich um einen Ruhewert herum zeitlich ändert. Schwingungen können periodisch sein, zeitlich anwachsen oder ausklingen (=gedämpfte Schwingung). Schwingungen können von sich aus ablaufen oder erzwungen werden. Weitere Beispiele von schwingungsfähigen Systemen sind im Mittel- und Innenohr zu finden, wo das Trommelfell, der Hammer und die Basilarmembranen entsprechend den ankommenden Schallwellen zu schwingen beginnen, und so den Sensoren im Ohr erlauben, entsprechende Signale an das Nervenzentrum zu schicken. Schwingende elektrische Ladungen erzeugen elektromagnetische Wellen (Licht, Radiowellen, etc.), Moleküle und Atome im Gitter der Festkörper schwingen um ihre Ruhelage, ihre kinetische Energie entspricht der gespeicherten Wärmemenge. Eine Schwingung kommt dann zustande, wenn es rücktreibende Kräfte gibt, die das System bei einer Auslenkung in die Ruhelage zurückzudrängen suchen. In der Ruhelage ist deshalb die potentielle Energie stets minimal. Eine Schwingung heisst harmonisch, falls die Auslenkung f(t) in Form einer Sinus oder Cosinusfunktion beschrieben werden kann: f(t) = f 0 cos(ω 0 t δ) dabei nennt man f 0 die Amplitude der Schwingung, ω 0 die Eigen(kreis)frequenz, die auch die Periode T = 2π/ω 0 bestimmt, und δ die Phasenkonstante. Die Phase ist im Wesentlichen bestimmt durch die Anfangsbedingungen und ob wir die Schwingung als Sinus oder Kosinus Funktion beschreiben wollen. ω 0 ist durch die physikalischen Eigenschaften des Systems festgelegt, z.b. war bei einer Feder ω 0 = k/m und bei einem Fadel-Pendel ω 0 = g/l. Das heisst, dass wir aus der Beobachtung 198

3 der Frequenz der Schwingung etwas über diese physikalischen Eigenschaften lernen können. Darauf beruhen im Wesentlichen die oben angesprochenen spektroskopischen Methoden. Die Amplitude schliesslich wird dadurch festgelegt, wie viel Energie im schwingenden System vorhanden ist, also wie gross die Auslenkung maximal ist. Harmonische Schwingungen sind immer eine Lösung der Differentialgleichung d 2 f dt 2 + ω2 0f = 0 wie wir das in Kap. 4 gesehen haben, und man sich auch durch einsetzen überzeugen kann. Im Fall der Pendel lässt sich die Differentialgleichung auch direkt aus den Bewegungsgleichungen herleiten. Die totale Energie eines harmonisch (also ungedämpft) schwingenden Systems ist konstant. Wenn Reibung im System vorkommt (das System also dissipativ ist), ist die im Pendel gespeicherte Energie ist nicht mehr konstant, sie nimmt langsam ab. Entsprechend ändert sich die Gleichung welche die Schwingung beschreibt. Die Amplitude der Schwingung muss mit der Zeit abnehmen, man spricht auch von einer gedämpften Schwingung. Die dazugehörige Differentialgleichung muss also zusätzliche Terme aufweisen. In der Bewegungsgleichung entspricht dies der Reibungskraft. Wenn wir von einer viskosen Reibung ausgehen, ist die Kraft proportional zur Geschwindigkeit mit der sich das Objekt bewegt. Das heisst in der allgemeinen Gleichung ergibt sich ein zusätzlicher Term der proportional zu df dt ist und wir erhalten: d 2 f dt df τ 0 dt + ω2 0f = 0 wobei τ 0 hier eine charkteristische Zeitskala beschreibt, auf der die Amplitude abklingt. Man nennt diese auch die Abklingzeit. Wenn wir uns eine gedämpfte Schwingung vor Augen halten, so wie wir sie in der Vorlesung gesehen haben, können wir zwei klar getrennte Regime der Lösung sehen: Einerseits ergibt sich eine Schwingung, deren Amplitude allerdings mit der Zeit abnimmt. Dies können wir beschreiben als eine Funktion f(t) = f 0 exp( t/τ) cos(ωt). Hier haben wir die Zeit schon so gesetzt, dass bei t = 0 die Auslenkung maximal, nämlich f 0 ist. Das zweite Verhalten, ist das einer Bewegung die nicht mehr schwingt, sondern wo die Bewegung so stark gedämpft wird, dass das Objekt direkt in der Ruhelage wieder stillsteht. Das heisst die Amplitude lässt sich durch eine exponentiell abklingende Funktion beschreiben. Sie muss exponentiell sein, da ja in der Gleichung jeweils Terme proportional zu verschiedenen Ableitungen der Funktion vorkommen. Das heisst in dem Fall ist die Amplitude gegeben durch f(t) = f 0 exp( t/τ). Wenn wir diese Lösung einsetzen können wir die Abklingzeit τ bestimmen: ( 1 τ 2 1 τ τ 0 + ω 2 0)f 0 exp( t/τ) = 0 da dies für alle Zeiten gelten muss, können wir durch die Zeitabhängigkeit teilen, sowie durch f 0 und erhalten als Gleichung für τ: (1 τ τ 0 + τ 2 ω 2 0) = 0 Diese quadratische Gleichung lässt sich lösen und wir erhalten: τ = 1/τ 0 ( 1/τ0 2 4ω2 0 2ω0 2 = 1 1 ω0 2 2τ 0 1 4τ 2 0 ω 2 0 ) 199

4 bzw. 1 τ = 1 + 2τ 0 1 4τ 2 0 ω 2 0 Wenn die Abklingzeit τ 0 sehr kurz ist (also bei sehr starker Dämpfung), ergibt die obige Gleichung auch eine Zeitskala für den Abfall der Anregung von τ = τ 0. Wenn allerdings 4ω 2 0 > 1/τ 2 0 oder ω 0 > 1/(2τ 0 ), dann steht in der Lösung für τ die Wurzel einer negativen Grösse, was einer imaginären Grösse entspricht. Das heisst in diesem Fall wird die Bewegung nicht mehr durch einen einfachen exponentiellen Abfall beschrieben. Schliesslich haben wir es mit einer reellen Schwingung zu tun. Setzen wir als Lösung also wie oben schon beschrieben eine Oszillation mit abklingender Amplitude an: f(t) = f 0 exp( t/τ) cos(ωt). Wenn wir das in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: ( 1 τ 2 1 τ τ 0 ω 2 + ω 2 0)f 0 exp( t/τ) cos(ωt) + ( 2ω τ ω τ 0 )f 0 exp( t/τ) sin(ωt) = 0 Da der Sinus und der Kosinus unabhängige Funktionen sind, müssen die Vorfaktoren von beiden Termen jeweils Null sein um die Gleichung zu jeder Zeit zu erfüllen. Damit erhalten wir zwei bestimmende Gleichungen: 1 τ 2 1 ω 2 + ω0 2 = 0 τ τ 0 und 2ω τ ω τ 0 = 0 Die zweite dieser Gleichungen gibt uns direkt eine Beziehung zwischen τ und τ 0, nämlich: τ = 2 τ 0. Das können wir in der ersten Gleichung einsetzen und erhalten: 1 4τ0 2 ω 2 + ω0 2 = 0 Damit ergibt sich die Kreisfrequenz der gedämpften Schingung zu ω = ω Hier würden 4τ0 2 wir wieder eine imaginäre Grösse erhalten, aber diesmal im umgekehrten Fall, nämlich wenn 1/τ0 2 > 4ω2 0. Die beiden Fälle sind damit auch mathematisch sauber getrennt. Zu beachten ist, dass an der Grenze zwischen diesen beiden Fällen, also wenn ω 0 = 1/(2τ 0 ) gilt, der Abfall der Amplitude am schnellsten ist und innerhalb der halben Periode einer Schwingung stattfindet. Bei einer solchen Dämpfung welche die Schwingung am schnellsten zum Erliegen bringt spricht man auch von kritischer Dämpfung. Die verschiedenen Fälle der gedämpften Schwingung die wir hier diskutiert haben sind in Fig graphisch dargestellt. Eine einheitliche Beschreibung des Prozesses erhält man wenn man komplexe Zahlen benützt. Dann kann man den direkten Ansatz über die Exponentialfunktion für alle Fälle gebrauchen, wobei die Kosinus und Sinus-Funktionen durch imaginäre Exponentialfunktionen beschrieben sind: exp(ix) = cos(x) + i sin(x). Der imaginäre Teil der Lösung beschreibt dann also die Kreisfrequenz der Schwingung, während der Realteil die abklingende Amplitude beschreibt. 200

5 Schwache Daempfung Starke Daempfung Kritische Daempfung t [s] t [s] Ueberkritische Daempfung t [s] t [s] Abbildung 8.88: Verschiedene Fälle gedämpfter Schwingung. Im schwach gedämpften Fall ergibt sich eine beinahe harmonische Schwingung, im stark gedämpften Fall eine exponentiell abklingende Schwingung. Im überkritisch gedämpften Fall ergibt sich ein exponentieller Abfall, der im kritischen Fall am schnellsten ist. 8.3 Erzwungene Schwingungen, Resonanz Nachdem wir uns angesehen haben, wie sich ein schwingungsfähiges System verhält wenn es sich selbst überlassen wird, wollen wir nun eine von Aussen angetriebe Schwingung betrachten. Dazu setzen wir eine oszillierende, äussere Kraft F ext = F 0 cos(ωt) an. Damit wird die Bewegungsgleichung des Federpendels ohne Dämpfung: mẍ = kx + F ext = kx + F 0 cos(ωt) Wenn wir wie oben diese Gleichung in eine generische Gleichung umwandeln mit der Eigenfrequenz ω 0 = k/m, dann erhalten wir: ẍ(t) + ω 2 0x(t) = F 0 /m cos(ωt) 201

6 Weil das Pendel mit einer bestimmten Frequenz angeregt wird, die fest vorgegeben ist, wird das Pendel auch mit dieser Frequenz (Ω) schwingen. Das wird jedenfalls sicherlich nach langer Zeit der Fall sein. Das heisst die Lösung der Gleichung muss die Form haben: x(t) = x 0 cos(ωt). Das können wir oben einsetzen und erhalten: ( Ω 2 + ω 2 0)x 0 cos(ωt) = F 0 /m cos(ωt) Das heisst, die Beschleunigung ändert sich periodisch, wie die Anregung, aber die Amplitude der Oszillation ist zeitlich konstant. Diese können wir bestimmen indem wir auf beiden Seiten durch den Kosinus teilen, also: x 0 (ω 2 0 Ω 2 ) = F 0 /m Falls die Frequenz mit der wir das Pendel antreiben (Ω)die gleiche ist wie die Eigenfrequenz (ω 0 ), dann steht auf der linken Seite die Amplitude multipliziert mit etwas sehr kleinem (im Extremfall null), während auf der rechten Seite die gegebene Beschleunigung der Antreibung steht, also eine bestimmte Grösse. Das heisst die Amplitude wird in diesem Fall beliebig gross. Physikalisch heisst das, dass man eine Schwingung zu einer sehr grossen Amplitude anregen kann, sofern man mit der richtigen Frequenz anregt. Diese grosse Anregung mit einer kleinen Kraft, nennt man Resonanz. Wir können dies noch etwas quantitativer machen, indem wir die Gleichung oben nach x 0 auflösen, dann erhalten wir: x 0 = F 0 m(ω 2 0 Ω2 ) Hier können wir drei Grenzfälle betrachten: Die resonante Anregung haben wir gerade diskutiert. Wenn die Anregungsfrequenz der Eigenfrequenz entspricht wird der Nenner oben Null und damit erhalten wir eine beliebig (unendlich) grosse Amplitude der angeregten Oszillation. Die Amplitude wird in Wirklichkeit natürlich nicht unendlich gross, da vorher andere Effekte zum tragen kommen, wie zum Beispiel, dass die Feder kaputt geht. Davon haben wir in der Vorlesung einige Beispiele gesehen. Der zweite Grenzfall ist der einer sehr kleinen Anregungsfrequenz. In diesem Fall können wir Ω oben vernachlässigen und erhalten eine Amplitude von x 0 = F 0 /(mω 2 0 ) = F 0/k. Dies können wir uns auch direkt überlegen, denn eine kleine Anregungsfrquenz heisst, dass wir sehr langsam anregen. Im Extremfall regen wir gar keine Oszillation an in der Zeit während der wir beobachten. Das heisst, wir bekommen eine Ausdehung der Feder, die gerade der angelegten Kraft geteilt durch die Federkonstante entspricht. Der letzte Grenzfall ist der einer sehr schnellen, hochfrequenten Anregung. Dann ist Ω sehr viel grösser als ω 0. Physikalisch bedeutet das, dass wir innerhalb einer natürlichen Schwingung der Pendels sehr viele Anregungsperioden haben. Damit können wir keine grosse Amplitude anregen. Im Grenzfall wird die Amplitude x 0 = F 0 /(mω 2 ), für sehr hohe Frequenzen bleibt also keine Amplitude mehr übrig. Ausserdem sehen wir, dass die Amplitude nun eine negatives Vorzeichen hat, was soviel bedeutet wie dass die Schwingung des Pendels der der Anregung gerade entgegengesetzt ist. Die Kosinusfunktion ist also gerade um eine halbe Periode (oder 180 ) verschoben. Diese Phasenverschiebung wird bei der Dämpfung noch wichtig werden. Wenn wir die Dämpfung auch noch betrachten wollen, ändert sich die Bewegungsgleichung entsprechend zu: mẍ = kx fẋ + F ext = kx fẋ + F 0 cos(ωt) 202

7 Beziehungsweise für die generische Gleichung: ẍ(t) + 1/τ 0 ẋ(t) + ω 2 0x(t) = F 0 /m cos(ωt) wobei 1/τ 0 = f/m die natürliche Zeitskala der Dämpfung ist, so wie wir das oben beim freien Pendel besprochen haben. Auch hier wird das Pendel schlussendlich mit der gleichen Frequenz schwingen müssen mit der es angeregt wird. Das heisst auch hier wird die Amplitude schlussendlich durch eine Oszillation beschrieben: x(t) = x 0 cos(ωt + δ). Hier haben wir jetzt aber mitgenommen, dass durch die Dämpfung eine Phasenverschiebung zwischen der Oszillation und der Anregung entstehen kann. Ohne Dämpfung haben wir das ja auch schon gesehen, dass für hohe Frequenzen die Oszillation der Anregung entgegen steht. Diese Verschiebung kann aber mit Dämpfung alle möglichen Werte haben. Das heisst wir erhalten in der Beschreibung nicht nur Kosinusterme, wie oben sondern auch Sinusterme. Das könnten wir mit Hilfe der komplexen Zahlen beschreiben, wir können aber auch explizit die Sinus und Kosinusterme mitnehmen. Wenn wir die obige Amplitude in der Schwingungsgleichung einsetzen, erhalten wir: ( ( Ω 2 + ω 2 0) cos(ωt + δ) Ω/τ 0 sin(ωt + δ) ) x 0 = F 0 /m cos(ωt) Um die verschiedenen Einflüsse der Sinus und Kosinus Schwingungen zu trennen, müssen wir die Terme mit der Phasenverschiebung als reine Sinus oder Kosinusfunktionen schreiben. Dazu benötigen wir die beiden trigonometrischen Beziehungen, welche den Sinus und den Kosinus der Summe von zwei Winkeln bestimmen: und cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) wir erhalten also als Beschreibung der angeregten Schwingung: ( ( Ω 2 + ω 2 0)(cos(Ωt) cos(δ) sin(ωt) sin(δ))) Ω/τ 0 (sin(ωt) cos(δ) + cos(ωt) sin(δ)) ) x 0 = F 0 /m sin(ωt) Hier können wir nun alle Terme proportional zum Kosinus und alle Terme proportional zum Sinus zusammenfassen, was gibt: [ x0 ( ( Ω 2 + ω 2 0) cos(δ) Ω/τ 0 sin(δ) ) F 0 /m ] cos(ωt) = x 0 ( ( Ω 2 + ω 2 0) sin(δ) + Ω/τ 0 cos(δ) ) sin(ωt) Da der Sinus und der Kosinus immer um 90 phasenverschoben sind, kann diese Gleichung nur dann richtig sein, wenn die Vorfaktoren vor Sinus und Kosinus jeweils gleich null sind. Das heisst die obige Gleichung gibt uns effektiv zwei Gleichungen, die wir zur Bestimmung von x 0 und δ benützen können. Wir erhalten: x 0 ( ( Ω 2 + ω 2 0) cos(δ) + Ω/τ 0 sin(δ) ) = F 0 /m ( Ω 2 + ω 2 0) sin(δ) = Ω/τ 0 cos(δ) 203

8 Die zweite dieser Gleichungen ergibt die Phasenverschiebung zu: Ω tan(δ) = τ 0 (ω0 2 Ω2 ) In den Grenzfällen hoher und kleiner Frequenz ergibt sich wie beim dämpfungsfreien Pendel eine Phasenverschiebung von null bzw Bei resonanter Anregung, also wenn Ω = ω 0 divergiert der Tangens, was einer Phasenverschiebung von 90 entspricht. Das können wir uns auch physikalisch vorstellen, denn wenn wir ein Pendel oder eine Schaukel mit der resonanten Frequenz anregen, geben wir die meiste Anregung dann wenn die Schaukel in voller Fahrt ist. Dann ist ja die Dämpfung am grössten und wir müssen am meisten anregen um die Bewegung aufrecht zu erhalten. 2 a = a = a = a = a =0.1 2 a =0.5 Abbildung 8.89: Frequenzabhängigkeit der Amplitude für ein schwingungsfähiges System in der Nähe der Resonanz Ω/ω 0 = 1. Von oben links nach unten rechts reihenweise geordnet entsprechen die sechs Bilder sechs verschiedenen Werten der Dämpfung a 2/(τ 0 ω 0 ), und zwar a 2 = 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1, 0.5 Die Amplitude der angeregten Schwingung erhalten wir aus der ersten der Gleichungen oben 204

9 wenn wir die Beziehung für die Phasenverschiebung einsetzen. Dazu brauchen wir die Beziehung zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus eines Winkels: sin(δ) = tan(δ)/ 1 + tan 2 (δ) und cos(δ) = 1/ 1 + tan 2 (δ). Mit der Beziehung für den Tangens erhalten wir: Ω sin(δ) = τ 0 (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + (Ω/τ 0 ) 2 cos(δ) = (ω 2 0 Ω2 ) (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + (Ω/τ 0 ) 2 Diese beiden Beziehungen setzen wir nun oben ein und erhalten: ( ) (ω0 2 x Ω2 ) 2 0 (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + (Ω/τ 0 ) + Ω 2 = F 2 (ω 2 0 /m 0 Ω 2 ) 2 + (Ω/τ 0 ) 2 oder τ 2 0 x 0 ( (ω 2 0 Ω2 ) 2 + (Ω/τ 0 ) 2 ) = F 0 /m Daraus ergibt sich direkt der Betrag der Amplitude: x 0 = F 0 m (ω 2 0 Ω2 ) 2 + (Ω/τ 0 ) 2 Das heisst wenn die Schwingung gedämpft ist tritt keine Resonanzkatastrophe mehr auf, die Amplitude der angeregten Schwingung wird selbst bei resonanter Anregung nicht divergieren. Ausserdem verschiebt sich die Frequenz bei der die maximale Anregung erreicht wird zu etwas kleineren Frequenzen. Durch ableiten der Funktion und null setzen erhält man hier eine maximale Anregung bei der Frequenz Ω 2 max = ω τ 2 0. Ein überdämpftes System hat also keine maximale Anregung mehr. Wenn die Dämpfung sehr klein ist (τ 0 sehr gross), dann ergibt sich im Grenzwert die Kurve die wir oben schon besprochen haben. Die verschiedenen Resonanzanregungen sind graphisch in der Figur 8.89 dargestellt. Aus dieser Darstellung ist auch ersichtlich, dass mit zunehmender Dämpfung immer mehr Frequenzen zu einer Anregung führen können, dass aber die angeregte Amplitude auch immer kleiner wird. Wir sehen also, dass wir durch externe Kräfte Schwingungen anregen können, wie sie bei Konstruktionen, aber auch bei Elektronen in Atomen vorkommen können. Wenn die Anregung der Frequenz der Eigenschwingung entspricht, kann sich eine grosse Schwingung ergeben, bzw. wird ein grosser Teil der Anregung von der Schwingung aufgenommen. Solche Prozesse der Resonanzabsorption bilden die Grundlage aller spektroskopischen Methoden, wie sie in der Physik, Chemie und Biologie gebraucht werden. Durch die Anregung lässt sich die Eigenfrequenz sehr genau bestimmen, welche wiederum von den physikalischen (bzw. chemischen) Eigenschaften des Stoffes abhängt, wie zum Beispiel der Bindungsenergie. Diese Eigenschaften hängen auch von der Umgebung ab, was z.b. in der NMR-Spektroskopie (siehe später, Kap ) zur Untersuchung der Molekularstruktur von komplizierten Molekülen verwendet wird. 8.4 Eindimensionale und harmonische Wellen Wie oben schon angetönt, kann eine Ansammlung aus schwingenden Systemen das Medium für die Ausbreitung einer Welle bilden. Wie man solche Wellen beschreibt, wollen wir uns in diesem 205

10 Kapitel anschauen. Wir beginnen mit dem Fall einer eindimensionalen Welle, also einer Welle die sich nur in eine Richtung ausbreitet. Als Beispiel wählen wir ein langes, gespanntes, elastisches Seil, das lokal durch einen Schlag (oder ein Zupfen) deformiert wird. Diese Auslenkung wird entlang des Seils weiterlaufen und stellt in diesem Fall die Welle dar. Die Störung, die dem Seil entlang wandert, und zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 erzeugt wird, soll durch eine Funktion u(x, t = 0) u(x, 0) beschrieben werden. x ist die Koordinate entlang des Seils. Die Erregung u, in diesem Fall die Deformation des Seil senkrecht zur Seilrichtung, breitet sich mit der Geschwindigkeit v aus. Wir nehmen an, dass die Störung (Welle) nicht gedämpft ist, d. h. dass sie ihre Höhe nicht ändert und auch die Form erhalten bleibt. Man nennt die Störung dann dispersionsfrei. Die Formtreue der Störung in Funktion von Ort und Zeit impliziert u(x, t) = u(x + x, t + t) Das heisst wir haben zu einem späteren Zeitpunkt t + t die gleiche Form der Störung, aber an einem anderen Ort, x + x. Wenn wir wissen mit welcher Geschwindigkeit sich die Störung ausbreitet, nämlich mit v, dann sind x und t direkt miteinander verknüpft über v = x t Damit können wir zeigen, dass die separaten Orts- und Zeitabhängigkeiten der Form der Welle durch eine Funktion ũ von nur einer Variablen vom Typ u(x, t) = ũ(x vt) beschrieben werden kann. Wenn wir das in der Beziehung der Formerhaltung einsetzen erhalten wir: u(x + x, t + t) = ũ(x + x v(t + t)) = ũ(x vt + ( x v t)) = ũ(x vt) = u(x, t) Die Grössen x und t sind also nicht mehr unabhängige Variablen, sondern miteinander durch die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v verknüpft. Während die obige Welle in positiver x-richtung läuft, wird eine in negativer x-richtung kaufende Welle, durch die Funktion u(x, t) = u(x + vt) beschrieben. Das Vorzeichen kann man sich leicht klarmachen. Breitet sich eine Welle in der positiven x Richtung aus, so kommt der vordere Teil der Welle, die Wellenfront (mit positivem x gegenüber dem Wellenzentrum) bei festem x früher an, bei Ausbreitung in negativer Richtung kommt dieser Teil später an. 206

11 Harmonische Wellen: Eine wichtige Klasse von ungedämpften Wellen sind die harmonischen Wellen. Sie sind deshalb so wichtig, weil sich jede beliebige Störung als eine Überlagerung von harmonischen Störungen auffassen lässt (auch die oben gezeichnete Form eines Pulses). Damit werden wir uns beim Kapitel zur Fourier-Zerlegung noch ausführlich befassen. Für eine harmonische Welle ist die Erregung eine harmonische Funktion (also Sinus oder Kosinus) sowohl des Ortes wie der Zeit u(x, t) = u(x ± vt) = u 0 sin k(x ± vt) Das Argument der Sinus-Funktion, die sogenannte Phase der Welle muss dimensionslos sein. Deshalb mussten wir den zusätzlichen Faktor k, die sogenannte Wellenzahl mit der Dimension einer reziproken Länge einführen. (Achtung: Die hier eingeführte Wellenzahl k hat nichts mit Federkonstante k zu tun! Hier werden für zwei verschiedene physikalische Grössen traditionell die gleichen Buchstaben verwendet.) Die Grösse u 0 nennt man Amplitude. Graphisch können wir eine harmonische Welle in zwei Bildern wiedergeben. Im Orts- oder Momentanbild wird u als Funktion von x zu einem bestimmten Zeitpunkt t aufgetragen, im Zeitbild wird u als Funktion von t an einem festen Ort x dargestellt. Beide Darstellungen ergeben Sinus- Kurven, doch ist ihre physikalische Bedeutung ganz verschieden. Im Ortsbild wird die räumliche Periode Wellenlänge genannt, und mit dem Buchstaben λ bezeichnet. Mit u(x, t) = u(x + λ, t) folgt u 0 sin(kx + kλ kvt) = u 0 sin(kx kvt) kλ = 2π, λ = 2π k λ hat die Dimension [Länge]. Im Zeitbild tritt die zeitliche Periode T auf, gelegentlich auch Schwingungsdauer genannt. Mit u(x, t) = u(x, t + T ) folgt: u 0 sin(kx kvt kvt ) = u 0 sin(kx kvt) kvt = 2π, kv = 2π T ω Die Kreisfrequenz ω hat die Dimension [Zeit 1 ]. Statt ω können wir auch die Frequenz ν verwenden: ω 2πν, ν = 1 T kv = 2πν Die Wellengeschwindigkeit (auch Phasengeschwindigkeit genannt) v ist also gegeben durch 207

12 v = ω k = λν = λ T Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle ist in der Regel durch das Medium bestimmt, also für einen bestimmten Wellentyp und ein festes Medium unveränderbar. Verändert man daher die Frequenz ν, so ändert sich auch λ entsprechend. Kleinere Wellenlängen entsprechen höheren Frequenzen und umgekehrt. Mit diesen verschiedenen Beziehungen erhält man folgende Schreibmöglichkeiten für eine harmonische Welle (am gebräuchlichsten ist die zweite Form (*)): u = u 0 sin(kx kvt) = u 0 sin(kx ωt) (*) = u 0 sin(2π(x/λ νt)) = u 0 sin(2π(x/λ t/t )) Die gewisse Ähnlichkeit der mathematischen Form von Welle und Schwingung stiftet oft Verwirrung. Eine Welle wird beschrieben durch eine von Ort und Zeit abhängige Funktion u = u 0 sin(kx ωt). Eine Schwingung einer physikalischen Grösse f wird beschrieben durch eine nur von der Zeit abhängige Funktion f = f 0 sin(ωt δ). 8.5 Wellengleichung, Wellengeschwindigkeit für verschiedene Wellentypen Betrachten wir nocheinmal die Störung des gespannten Seils und versuchen wir die räumliche und zeitliche Änderung der Störung zu beschreiben. Das Seil ist in x-richtung gespannt und wird in y-richtung, senkrecht dazu, ausgelenkt. Das Ganze wird also eine transversale Welle und wir wollen die x- und t-abhängigkeit der Störung y(x, t) beschreiben. Für ein Stück des Seils der Länge dx an der Stelle x haben wir die Bewegungsgleichung in y-richtung. m 2 y t 2 = F y(x) F y (x + dx) Hier ist F y die Projektion der Zug-Kraft auf die y-richtung. Die Zug-Kraft mit der das Seil an beiden Enden gezogen wird läuft immer entlang des Seils, d.h. die Projektion auf die y-richtung wird durch die Steigung des Seils am Ort x, also α(x), und die totale Zug-Kraft F gegeben: F y (x) = F α(x). Die Steigung des Seils ist aber nichts anderes als die Ableitung der Auslenkung y nach dem Ort x, also α(x) = y x (x). Wenn wir das für die Kräfte einsetzen haben wir für die Bewegungsgleichung des Seilstücks: m 2 y t 2 = F ( y y (x) x x (x + dx)) = F dx 2 y x 2 208

13 um die endgültige Gleichung zu erhalten müssen wir die Masse des kleinen Volumenelementes noch als Funktion seiner Grösse angeben: m = ρadx, wobei ρ die Dichte des Materials ist und A die Querschnittsfläche des Seils. Dann erhalten wir eine Beziehung zwischen der zeitlichen Änderung der Auslenkung und deren räumlichen Änderung, ganz ähnlich wie wir das bei der Diffusion in Kapitel 5.3. gesehen haben. 2 y t 2 = σ 2 y ρ x 2 wobei σ = F/A die Zugspannung in dem Seil ist. Der Vorfaktor auf der rechten Seite hat die Einheit des Quadrats einer Geschwindigkeit und somit kann man die Gleichung allgemein so schreiben, dass 2 y t 2 = v2 2 y x 2, wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung ist. Diese Gleichung, die Wellengleichung, gilt ganz allgemein für alle Arten von Wellen. Rein mathematisch können wir z.b. zeigen, dass die harmonische Welle die Wellengleichung erfüllt. Wir erhalten diese Gleichung durch zweimaliges Ableiten der Störung nach der Zeit, an festem Ort, bzw. nach dem Ort, zu fester Zeit: ( ) du dx t=const. u dx = u 0k cos(kx ωt) ( ) du u dt x=const. dt = u 0ω cos(kx ωt) ( d 2 ) u dx 2 2 u t=const. dx 2 = u 0k 2 sin(kx ωt) ) ( d 2 u dt 2 x=const. 2 u dt 2 = u 0ω 2 sin(kx ωt) 2 u Wellengleichung : dt 2 = v2 2 u dx 2 Die Wellengleichung gilt aber auch für jede andere Funktion u = u(x vt), also für jede formstabile Welle. Das heisst Wellen bei denen keine Dämpfung auftritt. Der physikalische Inhalt der Wellengleichung ergibt sich wie wir oben gesehen haben, wenn man eine konkrete Situation untersucht, bei der Wellen auftreten. In der Elektrizitätslehre (Elektrodynamik) sind die Grundgleichungen, die elektrische Felder und Magnetfelder verknüpfen, die Maxwell schen Gleichungen (siehe später). Für elektromagnetische Wellen (u = E, B) folgt aus den Maxwell-Gleichungen dann die obige Wellengleichung, die sich auch auf drei räumliche Dimensionen erweitern lässt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist dann die Lichtgeschwindigkeit. In der Mechanik haben wir als Grundgleichungen die Newton schen Prinzipien kennengelernt. Viele mechanische Grössen können als Erregung oder Störung in einer Welle auftreten, z. B. Druck p, Verschiebung r. Angewendet auf die spezielle Situation folgt dann aus den Grundgleichungen der Mechanik die entsprechende Wellengleichung mit der entsprechenden Geschwindigkeit v. Finden wir bei der Behandlung eines Systems eine solche Wellengleichung, wissen wir, dass Wellen auftreten können, und wir kennen die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Beispiel longitudinale Schallwelle in einem Stab: Wird ein Stab an einem Ende angestossen, so pflanzt sich die entstehende Deformation longitudinal längs des Stabs fort. Dies 209

14 nennt man eine Schallwelle. Wir betrachten zu einer festen Zeit (Ortsbild) ein Stück dieses Stabs, das die Ruhelänge dx hat und zwischen den Querschnitten an den Stellen x und x + dx. liegt. Die Verschiebung des Querschnitts bei x gegenüber der Ruhelage ist u(x), diejenige bei x + dx entsprechend u(x + dx). Die Längenänderung von dx beträgt somit du = u(x + dx) u(x). Die relative Längenänderung ɛ(x) = du/dx lässt sich mit dem Hooke schen Gesetz mit der an dieser Stelle des Stabs auftretenden Zugspannung in Verbindung setzen: du σ(x) = ɛ(x) = dx E Die Masse des Elements des Stabs (Dichte ρ, Querschnittsfläche A) ist dm = Aρdx, und das 2. Newton sche Prinzip liefert dann die Bewegungsgleichung (für festes x): dm d2 u dt 2 = u dσ Aρdxd2 = (σ(x + dx) σ(x)) A = dt2 dx Adx = E d2 u dx 2 Adx ( d 2 ) ( u d 2 ) u ρ dt 2 = E dx 2 2 u t 2 = E 2 u ρ x 2 x=fest Der Vergleich dieser Beziehung mit derjenigen, die wir für die Seilwelle gefunden haben, ergibt für die longitudinale Schallwelle eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von E v = ρ Beispiel transversale Schallwellen: Schallwellen können in Festkörpern auch transversal sein. Dabei ersetzt das Schubmodul G das Elastizitätsmodul E: G v = ρ Wegen G < E gilt dann v(transversal) < v(longitudinal). Da es in Gasen und Flüssigkeiten keine Scherkräfte gibt, ist dort G = 0, es gibt also keine Transversalwellen. Erdbebenwellen haben jedoch eine longitudinale und eine transversale Komponente mit ungefähren Geschwindigkeiten v L = 8 km/s > v T = 4 km/s. Die verschiedenen Laufzeiten zu seismischen Registierinstrumenten erlauben eine Bestimmung des Epizentrums. (siehe auch Abbildung 8.90). Das Fehlen der Transversalwellen in Flüssigkeiten führt zum Beispiel auch dazu, dass seismische Wellen im Inneren der Erde anders fortgepflanzt werden als in der Kruste. Ausserdem findet man im Studium der longitudinal- und transversal Eigenschaften seismischer Wellen, dass die Erde einen festen Kern haben muss. Ein biologische Anwendung von Erschütterungswellen an der Erdoberfläche stellt die Ortung des nachtaktiven Wüstenskorpions durch die Interpretation der zu verschiedenen Zeiten an den Sensoren der Beine ankommenden Schallwellen dar. t=fest 210

15 Abbildung 8.90: Anwendung von Schallwellen bei der Untersuchung tiefliegender Bodenschichten, z. B. bei der Suche nach Ölfeldern. Die Explosion am Punkt S sendet sowohl longitudinale wie transversale Schallwellen aus, die sich im Granit in allen Richtungen ausbreiten. Die Wellen sind in der Abbildung der Klarheit halber nur jeweils in einer Halbkugel getrennt gezeichnet. Wellenfronten sind Oberflächen (in diesem Fall Kugeln), auf denen die Störung, die die Welle verursacht, den gleichen Wert hat. Strahlen sind Linien senkrecht zur Wellenfront, die die Ausbreitungsrichtung der Welle angeben. Die kurzen Doppelpfeile, die die Strahlen markieren, zeigen die Richtung der Schwingung, die dünne Schichten des Mediums bei der Passage der Welle machen. Beispiel longitudinale Schallwellen in Gasen: In Gasen kommen nur longitudinale Schallwellen vor. Das Gas wird abwechslungsweise komprimiert und expandiert, was einer Verschiebung u der Luftmoleküle in Ausbreitungsrichtung entspricht (siehe Abbildung 8.91). Die physikalische Behandlung ist analog zur Schallwelle im Stab, nur tritt anstelle von E nun die (adiabatische) Kompressibilität (bulk modulus) χ auf, die wie folgt definiert ist: E 1 χ χ = 1 V dv dp = Volumenabnahme Druckzunahme Da die Kompression schnell geht, können wir sie adiabatisch behandeln. Mit der Adiabatengleichung pv κ =const folgt χ = 1/pκ und somit für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen in Gasen: 1 κp v = χρ = ρ = kb T κ m wobei für den letzten Ausdruck noch die ideale Gasgleichung in der Form p/ρ = k B T/m mit Temperatur T und der Masse der Gasmoleküle m verwendet wurde. Für Stickstoff bei T = 300 K ergibt sich v = 353 m/s. Wie gross wird die Druckschwankung, innerhalb einer Schallwelle? Eine Schallwelle im Gas äussert sich als kleine, lokale Volumenänderungen des Gases. Bei einer Schallwelle mit Verschiebung der Luftmoleküle u(x, t) ergibt sich aus geometrischen Ueberlegungen eine relative Volumenänderung V/V = u/ x. Verwenden wir von der obigen Definition der Kompressibilität die Beziehung p = 1 χ V V 211

16 Abbildung 8.91: Verschiebung der Luftschichten in einer longitudinalen Schallwelle in einem Gas. und nehmen eine harmonische Welle der Form u = u 0 sin(kx ωt) an, erhalten wir als Druckschwankung: p = p 0 cos(kx ωt) mit p 0 = u 0 k χ = u 0 ρ v ω wobei wir für die letzte Umformung die obigen Ausdrucke für die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = ω/k und v = 1/χρ verwendet haben. p 0 nennt man die Schalldruckamplitude. 8.6 Energietransport durch Wellen Mit einer fortlaufenden Welle irgendeines Typs wird Energie transportiert. Der Energiefluss einer Welle hängt von der kinetischen Energie der schwingenden Einzelelemente sowie der Ausbreitungsgeschwindigkeit ab. Als Beispiel betrachten wir wieder eine transversale Seilwelle: Die Energie des Seilelements dx mit der Masse dm = Aρdx (ρ = Dichte, A = Querschnittsfläche): de = dm 2 v2 max = Aρdx u 2 2 0ω 2 Hier haben wir benutzt, dass die maximale Geschwindigkeit v max des Seilelements sich aus dem Maximum der zeitlichen Ableitung der Auslenkung u = u 0 sin(kx ωt) ergibt: ( ) u v max = = u 0 ω t Die Energiemenge de, die im Zeitintervall dt durch den Seilquerschnitt strömt, ist dann max de dt = de dx dx dt = ρa 2 u2 0ω 2 v 212

17 Die durch die Fläche des Seilquerschnitts A pro Zeiteinheit fliessende Energie wird Intensität I der Welle genannt. I = de dt 1 A = ρv 2 u2 0ω 2 Diese Definition der Intensität gilt für alle Wellen. Wir stellen also fest: Intensität u 2 0 Amplitude der Welle im Quadrat ω 2 Frequenz der Welle im Quadrat v Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle Wegen v = λ ν folgt ausserdem: Je kleiner die Wellenlänge, desto grösser die transportierte Energie. Die Einheit der Intensität ist [I] = W/m 2. Wir werden unten sehen, dass beim Schall häufig auch eine andere Einheit benützt wird um Intensitäten anzugeben, die auf dem Logarithmus der Intensität beruht. Das ist das dezibel (db). Die Definition der Intensität einer Welle können wir auch benützen um die Abstandsabhängigkeit der Intensität einer gegebenen Quelle zu bestimmen. Bei einer ungedämpften Welle ist die total transportierte Energie konstant. Das heisst, de dt = konst = IA Das heisst für die Intensität der Welle gilt eine Kontinuitätsgleichung. Wenn wir also an zwei Punkten die Intensität bestimmen wollen, wissen wir, dass I 1 A 1 = I 2 A 2 gelten muss. Für eine Punktquelle, welche die Welle in alle drei Raumrichtungen gleichmässig abstrahlt, muss also die Fläche in einem bestimmten Abstand durch den die Welle transportiert wird diejenige einer Kugeloberfläche sein: I 1 4πr 2 1 = I 24πr 2 2 oder I 1 I 2 = r2 2 r Physiologische Aspekte von Schallwellen Die Messung von Schallintensitäten leitet über zur Diskussion von einigen physiologischen Aspekten des Hörens, d. h. der Verarbeitung von Schallwellen im Ohr. Schallintensitätsmesser, welche die Druckänderungen durch einen Ton messen, sind als physikalische Messgeräte in W/m 2 geeicht. Dem Arbeitsphysiologen aber, der sich für den Krach in einer Maschinenhalle interessiert, wäre mit einem solchen Messinstrument nicht gedient. Schall stört nur, wenn man ihn hören kann. Ultraschall macht keinen Lärm. Aber auch im Hörbereich wertet das Ohr nicht alle Frequenzen gleich. Seine höchste Empfindlichkeit liegt im Frequenzbereich um 3 khz - nicht ohne Grund brüllen Babies bevorzugt auf dieser Frequenz. Hier hören die Eltern (bzw. die Mutter) bereits eine Intensität W/m 2. Schon bei einer Frequenz von 1 khz erfordert die Schallwelle die zehnfache Intensität, wie uns Abbildung 8.93 zeigt. Aus dem gleichen Grund ist der technische Aufwand in einem Orchester für die tiefen Töne ungleich grösser als für die hohen 213

18 Abbildung 8.92: Aufbau des menschlichen Ohrs: Gehörgang, Trommelfell und Mittelohr mit Gehörknöchelchen und Eustachischer Röhre, Innenohr mit den drei Ringen des Gleichgewichtsorgans (Labyrinth) und der Schnecke, an der der Gehörnerv ansetzt. Abbildung 8.93: Frequenzabhängigkeit des Hörvermögens: Die Kurven geben an, bei welchen Schallintensitäten und -frequenzen das menschliche Ohr einen bestimmten Lautstärkeeindruck hat. Die oberste Kurve entspricht in etwa der Schmerzgrenze, die unterste der Hörgrenze. Töne. Einer Piccoloflöte stehen sechs Kontrabässe gegenüber, statt eines Hauchs bedarf es der kräftigen Armbewegungen von sechs Streichern um das menschliche Ohr zu erreichen. Nicht nur die Frequenzabhängigkeit, sondern auch die Tatsache, dass die Sinnesorgane (hier das Ohr) innerhalb des empfindlichen Bereichs keine Messinstrumente mit linear geeichter Skala sind, macht die physikalische Intensitätseinheit physiologisch sinnlos. Würde das Ohr Intensität linear wahrnehmen, könnte es niemals den viele Zehnerpotenzen abdeckenden Intensitätsbereich verarbeiten der im täglichen Leben auftritt. Folglich wird das Ohr (wie übrigens auch das Auge) logarithmisch reagieren. Man benützt daher bei der Angabe einer Schallintensität eine logarithmische Skala, die wie folgt definiert ist: N [Dezibel (db)] = 10 log 10 I I 0 Die dimensionslose Grösse N ist ein Mass für Schallintensität relativ zu einer Referenzintensität I 0. Diese legt den Nullpunkt der Skala fest und wurde so gewählt, dass sie in etwa der Wahrnehmungsgrenze des menschlichen Ohres bei ν = 1000 Hz entspricht: I 0 = W / m 2. Bei dieser Frequenz entspricht also z. B. I = I 0 0 db, I = 10I 0 10 db und I = 100I 0 20 db. Das heisst eine Intensität von z.b. I = 1W/m 2 entspricht einer Intensität von log 10 (I/I 0 ) = log 10 (1/10 12 ) = 12 Bel oder 120 db. Die Frequenzabhängigkeit der empfundenen Lautstärke wird in der dba - Skala (Abbildung 8.94) mit berücksichtigt. Man untersucht bei welcher Lautstärke eine grosse Anzahl von Versuchspersonen einen Ton einer anderen Frequenz als etwa gleich laut empfindet wie den Normalton eines bestimmten db Werts. Für die Normfrequenz ν = 1000 Hz stimmen dba- und db-skala überein. Wegen ihrer Frequenzunabhängigkeit kann die dba-skala auch für Geräusche verwendet werden, die mehrere Frequenzen enthalten. Beispiele für typische dba - Werte sind in Tabelle

19 Abbildung 8.94: dba - Werte auf der Dezibelskala der Schallintensität in Funktion der Frequenz der Schallwelle. angeben. Der Hörbereich des Menschens beginnt bei 20 Hz, die obere Grenze um 20 khz liegt bei jüngeren Menschen höher als bei älteren. Schallwellen, die aus der Luft in unser Ohr gelangen, regen das Trommelfell zum Schwingen an. Zur möglichst reflexionsfreien Weiterleitung der einfallenden Energie an die Eintrittsmembran des Innenohrs (ovales Fenster) dienen die dazwischen liegenden Knöchelchen Hammer, Amboss und Steigbügel. Die Grundlagen hinter der Reflexion von Wellen werden wir uns im übernächsten Kapitel anschauen. Vom ovalen Fenster wandern die Wellen längs der sogenannten Basilarmembran und zwar so, dass verschiedene Frequenzen an verschiedenen Stellen der Membran resonant grosse Amplituden erzeugen. Die geometrische Anordnung der Basilarmembran sorgt also dafür, dass wir aus der komplizierten zeitlichen Änderung des Drucks eine Folge von Tönen machen. Nur da wo die Basilarmembran resonant angeregt wird, feuern die Nervenzellen die den unter der Basilarmembran liegenden Haarzellen zugeordnet sind. Die Frequenzinformation wird in eine Ortsinformation, bzw. eine Sequenz von Nervensignalen verwandelt und ans Hirn geschickt. Eine harmonische Welle, welche nur eine bestimmte Stelle der Basilarmembran anregt, wird als reiner Ton wahrgenommen. Was ein solcher reiner Ton ist und wie wir verschiedene Geräusche als Summe reiner Töne auffassen können wird uns im nächsten Kapitel beschäftigen. Das ist die Grundlage der Fourier-Zerlegung. Treten zwei harmonische Wellen gleicher Frequenz auf, so hängt ihre Wirkung von der relativen Phase ab. Sind die beiden Wellen in Phase, so ist die gesamte Amplitude die Summe der Einzelamplituden. Sind sie um π ausser Phase, so resultiert die Differenz der Amplituden. Diese sogenannten Interferenzeffekte spielen bei der Raumakustik Art des Schalls dba Wert Blätterrauschen/ sehr ruhiges Zimmer 10/ 20 Gespräche/ lärmige Strasse 60/ 70 laute Musik 80 vorbeifahrender Zug bis 100 Flugzeugmotor in 4 m Abstand 130 Hörschaden je nach Dauer der Einwirkung ab ca. 80 Tabelle 8.15: Typische Lautstärken von Geräuschen gemessen in dba. 215

20 Abbildung 8.95: Schematische Darstellung der Basilarmembran und ihrer Resonanzfrequenzen. Bild aus Zinke-Allmang. eine grosse Rolle. Wir werden sie etwas später ausführlich behandeln. 8.8 Fourier-Zerlegung und Fourier-Reihe Wir haben uns bisher häufig auf Wellen beschränkt, die harmonische Funktionen des Orts und der Zeit sind. Z.B. ganz am Anfang dieses Kapitel bei den Ortsbildern und Zeitbildern war dies der Fall. Dies ist ähnlich wie wir in der Mechanik (Kap 4.5.) Energie-Funktionen immer über einen harmonischen Oszillator beschrieben haben. Genauso wie damals ist das nicht nur eine mathematische Vereinfachung, sondern hat einen tieferen physikalischen Grund. Man kann nämlich jede Bewegung als Summe von harmonischen Oszillationen (also Schwingungen einer idealen Feder) auffassen. Mathematisch formuliert wurde dies von Joseph Fourier, so dass jede periodische Funktion als Summe von harmonischen Funktionen aufgefasst werden kann. Ist u(t) eine solche periodische Funktion mit einer Periode T, d. h. u(t + T ) = u(t), dann gilt u(t) = (A n cos ω n t + B n sin ω n t) mit ω n = 2πn T n=0 Sind die Fourier-Koeffizienten A n und B n bekannt, so ist u(t) eindeutig bestimmt. Ist umgekehrt u(t) vorgegeben, so lassen sich A n und B n berechnen: A 0 = 1 T T 0 u(t)dt, B 0 = 0 A n = 2 T T 0 u(t) cos(ω n t)dt, B n = 2 T T 0 u(t) sin(ω n t)dt (n 1) 216

21 Die Fourier-Koeffizienten oder ihre graphische Darstellung, das sogenannte Frequenzspektrum eignen sich sehr gut dazu, komplizierte periodische Funktionen eindeutig zu charakterisieren. Wir haben oben gesehen, dass das Ohr genau das macht, denn die Grösse der Anregung der Basilamembran an einem bestimmten Ort entspricht gerade der Fourier-Komponente der Anregung. Das Nervensignal, welches das Ohr nach der räumlichen Auftrennung des Signals ausschickt entspricht genau einem Frequenz-Spektrum des gehörten. Aber auch in technischen Instrumenten, die wir später noch kennenlernen wie Kernspinresonanz, Massenspektrometrie, Elektrokardiogrammen und Elektroencephalogrammen taucht die Fourier-Zerlegung grundlegend in der Methode auf. Wir haben die Funktionen bisher als Fuktionen der Zeit betrachtet, wie sie in den obigen Anwendungen vorkamen, aber dieselbe Zerlegung liesse sich auch im Ort vornehmen. Wenn man eine Ortsfunktion nach Fourier-Komponenten zerlegt, muss die Frequenz ω, bzw. die Periode T durch die Wellenzahl k, bzw. die Wellenlänge λ ersetzt werden: A n = 2 λ u(x) = u(x + λ) = λ 0 A 0 = 1 λ (A n cos k n x + B n sin k n x) mit k n = 2πn λ n=0 λ u(x) cos(k n x)dx, 0 u(x)dx, B 0 = 0 B n = 2 λ λ 0 u(x) sin(k n x)dx (n 1) Auch hier gibt es eine Vielzahl von Anwendungen, die bekanntesten sind die der Streumethoden, bzw. der Kristallographie, wo der räumlich periodische Kristall ein Streubild hervorruft, das der Fourier-Zerlegung dieser Struktur entspricht. Bei Kristallen ist das Streubild wieder eine periodische Struktur. Abbildung zeigt als Beispiel die Fourier-Zerlegung der periodischen Sägezahn-Funktion: u(x) = 1 2 x, 0 x λ; u(x + λ) = u(x) λ Aus den obigen Formeln können wir die Koeffizienten berechnen A n = 2 λ λ 0 (1 2 x λ ) cos(k nx)dx = 0, B n = 2 λ und es ergibt sich u(x) = 1 2 x λ = 2 (sin kx + 12 π sin(2kx) + 13 ) sin(3kx) +... = 2 π λ 0 (1 2 x λ ) sin(k nx)dx = 2 π n=1 1 n 1 n sin(2πnx λ ) Beispiel: Schwebung Als Beispiel einer diskreten Fourier-Transformation betrachten wir zwei Schwingungen mit leicht unterschiedlicher Frequenz. Also wir haben u 1 (t) = u 0 cos((ω δω)t) und u 2 (t) = u 0 cos((ω + δω)t). Die Gesamtschwingung ist dann durch die Summe der beiden Schwingungen gegeben: u(t) = u 1 (t)+u 2 (t) = u 0 (cos((ω δω)t)+cos((ω+δω)t)). Wenn wir dazu wieder die Summenformel des Kosinus betrachten: cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ± sin(α) sin(β), dann erhalten wir u(t) = u 0 (cos(ωt) cos(δωt) + sin(ωt) sin(δωt) + cos(ωt) cos(δωt) sin(ωt) sin(δωt)) 217

22 Abbildung 8.96: Die im ersten Bild (oben links) dargestellte Sägezahn-Kurve wird in ihre Fourier-Komponenten zerlegt. Das zweite bis fünfte Bild zeigen die Kurve im Vergleich zur Fourier- Reihe, die nach dem ersten, zweiten, dritten bzw. vierten Term abgebrochen wird. Das letzte Bild (unten rechts) zeigt das dazugehörige Fourier-Spektrum, d. h. die Amplitude des entsprechenden Summanden in der Fourier- Reihe. Die beiden Sinus-Terme heben sich gegenseitig weg und wir erhalten für die Gesamtschwingung: u(t) = 2u 0 cos(δωt) cos(ωt) Das heisst wir haben eine Schwingung mit der mittleren Frequenz ω, aber sie ist moduliert auf einer Zeitskala 1/(2δω). Das heisst nach einer Zeit π/(2δω) löschen sich die beiden Schwingungen aus um sich dann bei π/(δω) wieder zu verstärken. Wenn wir die Fourier-Zerlegung dieser Schwingung betrachten, dann wissen wir aufgrund der Problemstellung, dass wir nur Fourier- Komponenten bei ω δω und bei ω +δω haben. Das können wir auch auffassen als ein Maximum bei der Frequenz ω mit einer Breite von 2δω. Das heisst eine Schwingung mit der Frequenz ω, die auf der Zeit 1/(2δω) abfällt. Da es aber eine diskrete Fourier-Zerlegung ist, muss sich das periodisch fortsetzen. Auch nicht-periodische Funktionen (T ) lassen sich nach Fourier zerlegen. Statt der Fourier- Koeffizienten A n und B n, die zu festen Werten von ω = ω n gehören, müssen wir dann Funktionen A(ω), bzw. B(ω) betrachten die eine kontinuierliche Frequenz-Verteilung darstellen. Das diskrete Frequenzspektrum von oben wird also zu einem kontinuierlichen Spektrum, die Fourier-Summe wird zum Fourier-Integral. Dies können wir uns dadurch plausibel machen, als dass die Terme in der Fourier-Summe ja immer kürzeren Zeiten entsprechen. Der erste Fourier-Koeffizient ist dann auch genau bei der Frequenz die der ursprünglichen Periode der Funktion entspricht. Wenn wir also zu längeren Zeiten der Beschreibung kommen wollen, da die Funktion nicht mehr periodisch ist, müssen wir immer kleinere Frequenzen mitnehmen. Die Unterschiede der zu betrachteten Frequenzen werden dann beliebig klein, was einer kontinuierlichen Verteilung der Fourier-Komponenten entspricht. 218

23 Abbildung 8.97: Schematische Darstellung der Fourier-Transformation einer scharfen Anregung. Bei kurzer Anregungsdauer sind viele Frequenzen in der Fourier-Transformation benötigt, weshalb eine breite Kurve resultiert. Bei einer längeren Anregung, wird die Fourier-Transformation enger. Bild aus Zinke-Allmang. Diese allgemeine Eigenschaft des Übergangs zur Betrachtung der Fourier-Komponenten, dass kurze Abschnitte in der einen Grösse langen Abschnitten in der zugehörenden Grösse entsprechen lässt sich auch in der Fourier-Zerlegung einer Kasten-Funktion verschiedener Breite sehen. Dies ist schematisch in Fig gezeigt. In Kapitel 13 werden wir sehen, dass dies eine andere Formulierung der Unschärferelation der Quantenmechanik entspricht (dort beschreiben wir Materiewellen). Mathematisch formuliert heisst das, dass wir eine beliebige Funktion u(t) darstellen als Integral von harmonischen Funktionen: u(t) = (A(ω) cos(ωt) + B(ω) sin(ωt))dω Wobei die Funktionen A(ω) und B(ω), man nennt sie auch Fourier-Komponenten oder Fourier- Transformierte, die Funktion vollständig beschreiben. Wie wir schon oben gesagt haben, ist bei einem bestimmten System, das von verschiedenen harmonischen Wellen angeregt wird zu erwarten, dass die Fourier-Komponenten gerade das Resonanzverhalten widerspiegeln. Das ist z.b. bei der Basilarmembran so, weshalb diese auch direkt ein Frequenz-Spektrum des gehörten ausgibt. Das wollen wir uns jetzt nocheinmal quantitativ am gedämpften Oszillator überlegen. Wir werden so auch gleich eine Methode sehen, wie wir eine Differenzialgleichung behandeln können ohne sie wirklich zu lösen. 219

24 Zur Erinnerung: wir hatten die generische Gleichung für den gedämpten harmonischen Oszillator aufgestellt als ẍ(t) + 1 τ 0 ẋ(t) + ω0 2 x(t) = K(t), wobei K(t) die Anregung war. Da wir jede Funktion in Fourier-Komponenten zerlegen können, können wir die Auslenkung auch schreiben als x(t) = (A(ω) cos(ωt) + B(ω) sin(ωt))dω. Da die Fourier-Komponenten nicht von der Zeit abhängen, ist es sehr einfach die zeitliche Ableitung der Funktion zu berechnen, denn dazu müssen wir nur die harmonischen Funktionen ableiten. Wir finden also: ẋ(t) = ( ω A(ω) sin(ωt) + ω B(ω) cos(ωt))dω und ẍ(t) = ( ω 2 A(ω) cos(ωt) ω 2 B(ω) sin(ωt))dω. Wenn wir dies in die Bewegungsgleichung des Oszillators einsetzen haben wir es dort nicht mehr mit einer Differentialgleichung zu tun, sondern einer normalen Gleichung in ω, woraus wir die Abhängigkeiten der Fourier-Komponenten bestimmen können. Setzen wir also die Fourier- Transformierten ein: [ ((ω0 2 ω 2 )A(ω) + ω B(ω)) cos(ωt) + ((ω0 2 ω 2 )B(ω) ω ] A(ω)) sin(ωt) dω = K(t) τ 0 τ 0 Die Anregung können wir nun ebenfalls in Fourier-Komponenten darstellen, und weil wir nur die Beiträge von Anregungen der Form eines Kosinus betrachten wollen (wie oben), wissen wir: K(t) = K cos(ωt)dω. Wenn wir also nun die Terme im Integral oben mit Kosinus und die mit Sinus zusammenfassen, dann wissen wir, dass der Term vor dem Sinus null sein muss und derjenige vor dem Kosinus gleich K. Wir erhalten also wieder zwei Gleichungen, die wir benötigen um A(ω) und B(ω) zu bestimmen: ((ω 2 0 ω 2 )A(ω) + ω τ 0 B(ω)) = K aus der zweiten Gleichung erhalten wir: oder ((ω 2 0 ω 2 )B(ω) ω τ 0 A(ω)) = 0 (ω 2 0 ω 2 )B(ω) = ω τ 0 A(ω) B(ω) = Das können wir in der ersten Gleichung einsetzen: (ω 2 0 ω 2 )A(ω) + oder [ (ω 2 0 ω 2 ) 2 + ω 2 /τ 2 0 (ω 2 0 ω2 ) ω τ 0 (ω 2 0 ω2 ) A(ω) ω 2 τ 2 0 (ω2 0 ω2 ) A(ω) = K ] A(ω) = K und damit erhalten wir: [ (ω0 2 A(ω) = K ] ω2 ) (ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 /τ0 2 [ ω (ω0 2 B(ω) = K ] [ ] ω2 ) ω/τ 0 τ 0 (ω0 2 ω2 ) (ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 /τ0 2 = K (ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 /τ

25 Der Betrag der Anregung ergibt sich dann aus der Summe der Quadrate von A und B, also x 0 (ω) = A 2 (ω) + B 2 (ω) oder mit den Ergebnissen von oben eingesetzt: [ (ω0 2 x 0 (ω) = K ω2 ) 2 ((ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 /τ0 2 + (ω/τ 0 ) 2 ] [ (ω 2 )2 ((ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 /τ0 2 = K 0 ω 2 ) 2 + (ω/τ 0 ) 2 ] )2 ((ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 /τ0 2)2 [ ] 1 = K (ω 2 0 ω 2 ) 2 + ω 2 /τ0 2 Das ist genau die Resonanzkurve die wir vorher durch Lösen der Differentialgleichung gefunden hatten. Damit sehen wir auch, dass die Fourier-Transformierte tatsächlich die Resonanzkurve beschreibt, wie man sich dies auch physikalisch vorstellen kann. Wir sehen also, dass die Resonanzkurve (oder Fourier-Transformierte) das schwingende System beschreibt. Das Maximum der Kurve entspricht der Frequenz der Schwingung, und die Breite der Kurve dem zeitlichen Abfall der Schwingung. Dass die Breite der Fourier-Transformierten einer Abklingzeit entspricht können wir uns auch plausibel machen wenn wir uns an die Schwebung erinnern. Je weiter die beiden Frequenzen auseinander waren (also je breiter die Fourier-Zerlegung), desto kürzer war der Abstand auf dem sich die Signale ausgelöscht hatten. Die Schwebung entspricht einer diskreten Fourier-Zerlegung, wenn wir nun zu einer kontinuierlichen Fourier-Transformierten gehen, ist das Endergebnis nicht mehr periodisch, weil wir sehr viele nah beieinander liegende Frequenzen aufsummiert haben, aber die Schwingung geht immernoch in der gleichen Zeitskala gegen null - die Einzelschwingungen löschen sich immernoch gleich aus. Das heisst wir haben eine Abklingzeit die der inversen Breite der Fourier-Transformierten entspricht. Ebenso können wir uns plausibel machen, dass ein Maximum in der Fourier-Transformierten der Frequenz einer Schwingung entspricht. Je nachdem wie hoch das Maximum ist wird die Frequenz klarer sein. Im Extremfall ist das Maximum eine einzelne Fourier-Komponente, was direkt einer harmonischen Schwingung mit einer einzelnen Frequenz entspricht. In jedem schwingungsfähigen System, das in der Musikerzeugung eingesetzt wird, kommt der schlussendliche Ton durch die Resonanzkurve des jeweiligen Instruments zustande, ob es nun die Saite einer Geige oder die Luft in einer Orgelpfeife ist. Der Klangkörper führt dazu, dass die Schwingung der Saite oder der Luft auch Oberschwingungen zur eigentlich angeregten Grundschwingung angeregt. Diese Oberschwingungen entsprechen einer Vielfachen der Grundfrequenz und sind somit als Fourier-Komponenten einer diskreten Fourier-Zerlegung zu sehen. Die relativen Anteile der Obertöne entsprechen gerade den Fourierkoeffizienten. Sie bestimmen die Klangfarbe des Instruments. (Für die spezifische Klangfarbe eines Musikinstrumentes spielt allerdings auch die Art der Anregung eine wichtige Rolle). In der Tat unterscheiden sich die Wellenformen verschiedener Blasinstrumente sehr stark, auch wenn die gleiche Note gespielt wird (Abbildung 8.109). 8.9 Superposition, Reflexion und Transmission Das physikalische Prinzip hinter der Fourier-Zerlegung ist das Superpositionsprinzip. Pflanzen sich mehrere Wellenzüge im gleichen Medium fort überlagern sich diese und dabei können sie 221

26 sich verstärken oder reduzieren, ja sogar gegenseitig auslöschen - genauso wie wir es in der Fourierzerlegung gesehen haben. Abbildung 8.98 illustriert eine solche Situation am Beispiel zweier Wellenpulse, die in entgegengesetzter Richtung einem Seil entlang laufen. Während der kurzen Zeit, in der sie überlappen, kann je nach Beobachtungszeitpunkt im Ortsbild eine verstärkte wie auch reduzierte Auslenkung der Seilelemente beobachtet werden. Abbildung 8.98: Superposition zweier Wellenzüge in einem gespannten Seil. Gezeigt sind neun Ortsbilder zu verschiedenen Zeiten t. Die von links und von rechts einlaufenden Wellen überlagern sich für in einen kurzen Zeitintervall. Die totale Erregung kann stärker oder schwächer sein als die einzelne Welle für sich. Die Zentren der Wellenzüge sind mit Pfeilen markiert. Eine präzisere Formulierung des Superpositionsprinzips lautet: Wenn zwei oder mehr Wellen dasselbe Medium passieren, ist die Verschiebung irgendeines Teilchens die Summe der Verschiebungen, die das Teilchen von den einzelnen Wellen erhielte. Das Superpositionsprinzip gilt für jede Art von Erregung und für jeden Wellentyp. Trifft eine Welle auf eine Grenze zwischen zwei Medien, so können je nach Situation verschiedene Effekte auftreten. Eine solche Grenze kann vielerlei Gestalt haben, eine Schallwelle die sich in Luft fortpflanzt trifft auf eine Wand, eine Schallwelle in einem Stab erreicht dessen Ende, eine elektrische Welle wird in ein Koaxialkabel geschickt, dessen Ende offen oder kurzgeschlossen 222

27 ist, eine elektromagnetische Lichtwelle tritt von Luft in das Glas einer Brille ein, in einem See ändert sich die Wassertiefe an einer Stelle drastisch in der Nähe eine Untiefe, usw. In allen Fällen beobachtet man, dass die Wellen sich verändern, Teile laufen weiter, dringen in das neue Medium nach der Grenze ein, andere Teile werden an der Grenze reflektiert, und laufen im ursprünglichen Medium rückwärts. Man nennt spricht von Transmission beim Übergang in das neue Medium und von Reflexion beim im alten Medium verbleibenden Anteil. In Abbildung 8.99 ist skizziert, wie eine Schallwelle in zwei Anteile aufgespalten wird, wenn sie vom Medium 1 an einer Grenzfläche in ein neues Medium 2 übertritt. Relevant für die Ausbreitung von Schallwellen sind, wie wir gesehen haben die Materialkonstanten Dichte ρ i, Elastizitätsmodul E i bzw. die Ausbreitungsgeschwindigkeit v i = E i /ρ i (i = 1, 2) in den verschiedenen Medien. In der Nähe der Grenzfläche überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip die einlaufende Welle und die reflektierte Welle, die sich im gleichen Medium in entgegengesetzter Richtung bewegen. Abbildung 8.99: Jede Zeile zeigt vier zu verschiedenen Zeiten registrierte Ortsbilder einer Schallwelle, die bei x = 0 auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien trifft (1: x < 0, 2: x > 0). Die oberste Zeile zeigt nur den einfallenden Wellenzug, die zweite nur den reflektierten, die dritte den durchgehenden (transmittierten) und die letzte Zeile schliesslich die totale Schallwelle, d. h. die Summe aller drei Anteile. (r = (ρ 1 v 1 )/(ρ 2 v 2 ) = 0.1, v 1 = v 2 ) 223

28 Um quantitativ zu ermitteln wie gross der reflektierte und der transmittierte Anteil für eine gegebene Situation sind, konzentrieren wir uns auf Schallwellen, und schränken uns ferner auf harmonische Störungen ein. Letzteres tun wir allerdings nur um die mathematische Diskussion möglichst einfach zu halten, die Resultate gelten für jede Wellenform. Medium 1 Medium 2 x = 0 Einlaufende Welle: u i = A cos(k 1 x ω 1 t) Auslaufende Welle: u t = C cos(k 2 x ω 2 t) ( +x) ( +x) Auslaufende Welle: u r = B cos(k 1 x + ω 1 t) ( x) Für x = 0 gilt zu allen Zeiten (Gleichheit der Erregung an der Grenzfläche): A cos( ω 1 t) + B cos(ω 1 t) = C cos( ω 2 t) ω 1 = ω 2, λ 1 λ 2 = v 1 ω 1 ω 2 v 2 = k 2 k 1 = v 1 v 2, A + B = C Dabei haben wir am Schluss noch die universelle Wellenbeziehung v = λ ν = ω/k verwendet. Für x = 0 gilt zu allen Zeiten (Gleichheit der Normalspannungen an der Grenzfläche): σ = ɛe = u x E, σ 1 = σ 2 k 1 A sin( ω 1 t)e 1 + k 1 B sin(ω 1 t)e 1 = Ck 2 sin( ω 2 t)e 2 E 1 k 1 ( A + B) = Ck 2 E 2 (A B) = C k 2 k 1 E 2 E 1 = C v 1 v 2 E 2 E 1 Die beiden obigen Beziehungen für A + B und A B stellen zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten B und C dar. Bevor wir sie auflösen, verwenden wir noch die Beziehung für die Ausbreitungsgeschwindigkeit als Funktion der charakteristischen Konstanten des Materials v = E/ρ. Wir definieren weiter die Schallhärte Z = v ρ = Eρ = E/v. Dann ergibt die Auflösung der beiden Gleichungen das Verhältnis der Amplituden der reflektierten bzw. transmittierten Welle zu der der einfallenden Welle B A = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 C A = 2Z 1 Z 1 + Z 2 Wir wollen auch noch die Verhältnisse für die Intensitäten, also den Energiefluss pro Zeit und Fläche I = ρ 2 u2 0 ω 2 v (siehe Abschnitt über Energietransport) berechnen. Mit Reflexionskoeffizient (R) bezeichnet man das Verhältnis der reflektierten zur einfallenden Intensität: R = B 2 A 2 = (r 1 r + 1 )2 r Z 1 Z 2 224

29 Es ist also gerade gleich dem Verhältnis der Amplituden im Quadrat, da sich einfallende und reflektierende Welle im gleichen Medium bewegen. Der Transmissionskoeffizient ist das Verhältnis der transmittierten zur einfallenden Intensität: T = C 2 A 2 ρ 2 v 2 ρ 1 v 1 = 4r (r + 1) 2 Die Erhaltung der Energie verlangt, dass R + T = 1 gilt, was die obigen Ausdrücke erfüllen. Der Unterschied in der Schallhärte Z der Medien bestimmt also die Reflexion an der Grenzfläche. In Abbildung sind verschiedene Situationen illustriert für den Übergang von einem schallharten zu einem schallweichem Material und umgekehrt. Spezialfälle: i) ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 B = 0, C = A. Es tritt keine Reflexion auf: R = 0, T = 1. ii) ρ 1 v 1 >> ρ 2 v 2 B = A, C = 2A. Es tritt nur Reflexion auf: R = 1, T = 0. Die totale Amplitude an der Stelle x = 0 beträgt A + B = 2A, freies Ende. iii) ρ 1 v 1 << ρ 2 v 2 B = A, C = 0. Auch hier tritt nur Reflexion auf: R = 1, T = 0. Allerdings ist die Amplitude der reflektierten Welle der einfallenden gerade entgegengesetzt. Man sagt auch es tritt ein Phasensprung auf. Damit werden wir uns in der Optik noch näher beschäftigen. Die Amplitude an der Stelle x = 0 ist A + B = 0, fixiertes oder kurzgeschlossenes Ende. Als Beispiel wollen wir betrachten wie eine Schallwelle aus der Luft in einen mit Wasser gefüllten Körper eindringen kann. Das muss ja bei uns im Ohr passieren, wo die Schallwellen aus der Luft kommen, die Basilarmembran aber in einer Flüssigkeit ist, so dass die Schallwellen (im Mittelohr) den Übergang von der Luft in Wasser machen müssen. Luft hat eine Dichte von etwa ρ 1 = 1.2 kg/m 3 und eine Schallgeschwindigkeit von v 1 = 330m/s. Wasser dagegen hat eine Dichte von ρ 2 = 10 3 kg/m 3 und eine Schallgeschwindigkeit von etwa v 2 = 1600m/s. Wir erhalten also ρ 1 v 1 = 400kg/(m 2 s) und ρ 2 v 2 = kg/(m 2 s). Damit sind wir hier im Grenzfall (iii), den wir doch etwas genauer machen müssen: Dann gilt T 4ρ 1v 1 ρ 2 v 2. Mit den Zahlen von oben erhalten wir also eine transmittierte Intensität von T = 0.001, also nur etwa ein Tausendstel der Intensität des Schalls kommt von der Luft ins Wasser und umgekehrt. Das kann man leicht ausprobieren indem man versucht unter Wasser zu sprechen, was nur sehr schwer zu hören ist. Allerdings ist unser Ohr auch auf kleine Schallintensitäten empfindlich, was heisst, dass das Ohr einen Weg gefunden hat um diese kleine Transmittivität zu umgehen. Das ist der Grund für die Konstruktion im Mittelohr aus Amboss, Hammer und Steigbügel, welche mittels eines Hebels die Schwingungen der Luft verstärken und diese dann direkt auf der Gehörkanal geben, wo auch noch eine Verringerung im Durchmesser eine zusätzliche Verstärkung ergibt. Damit erhält man sogar eine Netto-Verstärkung der Schallintensität im Mittelohr! Wird eine Welle in ein unbekanntes Medium geschickt, so kann aus dem reflektierten Anteil auf Unstetigkeiten der Schallhärte ρv und aus der Laufzeit auf die räumliche Distanz zu dieser oder 225

30 Abbildung 8.100: Die Hufeisennase kann eine fliegende Motte in totaler Dunkelheit lokalisieren und auch ihre Geschwindigkeit feststellen, indem sie Schallwellen aussendet (Ultraschall: ν 80 khz, von Menschen nicht hörbar) und die von der Motte reflektierten Signale registriert. auch anderen Unstetigkeiten geschlossen werden. Diese Methode wird in der Geologie (z. B. Erdbebenwellen) angewandt, in der Schiffahrt dient das Echolot zur Messung der Wassertiefe. Fledermäuse, Wale und Delphine orientieren sich im Dunkeln durch Aussenden von Ultraschallsignalen, kommunizieren mit Artgenossen, lokalisieren Beutetiere oder orientieren sich beim Flug im Dunkeln (siehe Abbildung 8.100). Auch in der Medizin wird die Ultraschall-Echographie z. B. in der pränatalen Diagnostik verwendet (siehe Abbildung 8.101). Auch hier muss übrigens dafür gesorgt werden, dass die Schallwellen vom Ultraschallgerät in den Körper glangen können. Deshalb wird der Kontakt mit Hilfe eines Gels hergestellt, das ähnliche elastische Eigenschaften hat wie der menschliche Körper, das aber direkten Kontakt mit der Ultraschallquelle machen kann Stehende Wellen Ist das Medium, in dem sich die Wellen ausbreiten, räumlich begrenzt, so können unter geeigneten Bedingungen stehende Wellen auftreten. Unter stehenden Wellen versteht man Wellen, die an festen Stellen im Raum Knoten (Punkte, Linien oder Flächen verschwindender Auslenkung) oder Bäuche (maximale Auslenkung) zeigen. Das Phänomen der stehenden Wellen tritt in ein-, zwei- und dreidimensionalen Systemen auf. Wir wollen es aber der Einfachheit halber erst einmal an einem eindimensionalen System, nämlich einer schwingenden Saite illustrieren. Wird eine Saite, welche an beiden Enden fest eingespannt ist, angezupft, so wird die so erzeugte Welle am eingespannten Ende reflektiert und überlagert sich der einlaufenden. Wiederholt man das Anzupfen in geeigneten Zeitabständen, so kann man die sogenannten Grund- und Oberschwingungen der Saite anregen, wie sie in Abbildung gezeigt sind. Die niedrigste Antriebsfrequenz, bei der eine stehende Welle mit Knoten nur an den beiden Enden der Saite entsteht, gehört zur Grundschwingung, bei der die Wellenlänge doppelt so gross ist wie die Länge der Saite. Bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz treten die Oberschwingungen auf, deren Wellenlängen ganzzahligen Bruchteilen der doppelten Saitenlänge entsprechen. Diese Beobachtungen lassen sich mit unseren Kenntnissen über die Reflexion an festen Enden und 226

31 Abbildung 8.101: Eine Ultraschallaufnahme eines Foetus der nach seinem Daumen sucht, um zu saugen. Die Frequenz der benutzten Schallwellen ist etwa 5 MHz. Abbildung 8.102: Reflexion und Transmission von Schallwellen an der Grenzfläche zweier Materialien. Oben links: r = 0.1, v 1 = 2v 2, d. h. Übergang schallweich zu schallhart mit Reduktion der Ausbreitungsgeschwindigkeit; oben rechts: r = 0.1, v 2 = 2v 1, d. h. Übergang schallweich zu schallhart mit Vergrösserung der Ausbreitungsgeschwindigkeit; unten links: r = 10, v 1 = 2v 2, d. h. Übergang schallhart zu schallweich mit Reduktion der Ausbreitungsgeschwindigkeit; unten rechts: r = 10, v 2 = 2v 1, d. h. Übergang schallhart zu schallweich mit Vergrösserung der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die vier verschiedenen Kurven zeigen Ortsbilder der totalen Erregung zu vier verschiedenen Zeiten durchgezogen: vor dem Auftreffen auf die Grenzfläche, nur einlaufender Anteil erkennbar lang gestrichelt: der Anfang des Wellenzugs hat die Grenze schon erreicht, kurz gestrichelt: das Ende des Wellenzugs erreicht die Grenze, reflektierte und durchgehende Anteile sind deutlich erkennbar, kurz-lang gestrichelt: nur noch auslaufende Anteile erkennbar. 227

32 Abbildung 8.103: Stehende Wellen in einer Saite der Länge L = 0.5 m. Bei der Grundschwingung bewegen sich alle Saitenelemente in Phase auf und ab. Für die Wellenlänge gilt λ = 2L = 1 m. Für die Oberschwingungen (in der vertikalen Achse versetzt gezeichnet) findet man λ n = 2L/n. n ist eine ganze Zahl. An den eingespannten Enden tritt immer ein Knoten auf. Abbildung 8.104: Die fünf zu verschiedenen Zeiten aufgenommenen Ortsbilder der einfallenden und reflektierten, nach links bzw. rechts fortlaufenden, harmonischen Wellen zeigen, wie die Überlagerung der beiden Wellen zu einer stehenden Welle führen kann, bei der die Knoten und Bäuche ortsfest sind. mit dem Superpositionsprinzip erklären. Abbildung illustriert die diskutierte Situation. Mit u(x, t) bezeichnen wir die transversale Auslenkung der Saite, die bei x = 0 und x = L eingespannt ist. Die von rechts (x > 0) auf die Einspannstelle bei x = 0 einlaufende Welle u(x, t) = u 0 cos(kx + ωt) überlagert sich der dort mit umgekehrter Amplitude reflektierten, nach rechts auslaufenden Welle u(x, t) = u 0 cos(kx ωt). Die Reflexion an einem festen Ende haben wir ja gerade besprochen, die reflektierte Welle hat die umgekehrte Amplitude wir die einfallende. Für die totale Auslenkung ergibt sich also: u(x, t) = u 0 cos(kx + ωt) u 0 cos(kx ωt) = 2u 0 sin kx sin ωt Weil wir das Seil an den beiden Enden (bei x = 0 und x = L) eingespannt haben, muss die Auslenkung dort verschwinden. Für x = 0 ist das im Ansatz schon enthalten, für x = L ergibt sich damit aber eine Bedingung die die stehende Welle erfüllen muss und die uns etwas über das 228

33 System sagt: u(l, t) = 2u 0 sin(kl) sin(ωt) = 0 Weil das für alle Zeiten so sein muss, wissen wir, dass also gelten muss sin kl = 0, denn schliesslich ändert sin(ωt) mit der Zeit und u 0 soll ja nicht null sein wenn es eine stehende Welle hat. Der Sinus ist gerade dann null, wenn sein Argument ein vielfaches von 180, bzw. π ist, also erhalten wir: kl = nπ, n = ganz Bezeichnen wir den Wert der Wellenzahl k, der zur ganzen Zahl n gehört, mit k n, die dazugehörige Wellenlänge mit λ n, so ergibt sich k n = 2π λ n = nπ L λ n = 2L n Da zwischen Wellenzahl und Frequenz die eindeutige Beziehung ω n = k n v besteht, gilt ferner ω n = nπ L v Die Erregung längs der Saite lässt sich damit schreiben als u n (x, t) = 2u 0 sin(k n x) sin(ω n t), 0 x L Während bei fortlaufenden Wellen nur die Geschwindigkeit durch das wellentragende Medium vorgegeben ist, sind bei stehenden Wellen durch die Begrenzung zusätzlich die Wellenlängen, bzw. Frequenzen quantisiert, d. h. es kommen nur diskrete Werte vor. Dem Wert n = 1 entspricht die Grundfrequenz ω 1 = 2πν 1 = π L v, λ 1 = 2L Die Oberschwingungen (Obertöne ) entsprechen den Zahlen n = 2, 3..., also ganzen Vielfachen der Grundfrequenz, wie wir vorher schon bemerkten. Die erste Oberschwingung unterscheidet sich von der Grundschwingung in der Frequenz um einen Faktor zwei, oder musikalisch formuliert um eine Oktave. Bei nichtresonanter Anregung, wie dies z. B. beim Streichen, Schlagen oder Zupfen eines Saiteninstruments geschieht, werden nicht nur stehende Wellen einer definierten Frequenz angeregt, sondern ein ganzes Spektrum davon. Der allgemeine Schwingungszustand ist dann jeweils eine Superposition harmonischer Normalschwingungen, u(x, t) = n A n cos(ω n t + δ n ) sin k n x das haben wir vorhin auch schon bei der Fourierzerlegung gesehen. Beispiele - Membranen, Hohlkörper: Wie gesagt, treten stehende Wellen auch in zwei und mehrdimensionalen Systemen auf. Abbildung zeigt die Grund- und Oberschwingungen 229

34 Abbildung 8.105: Der durch die horizontalen Balken angedeutete Frequenzbereich der gezeichneten Streichinstrumente und Saxophone hängt mit der Grösse des Instruments zusammen. Die Frequenzskala ist durch die Tasten angedeutet, die Frequenzen nehmen von links nach rechts zu. einer Stimmgabel. Die Stimmgabel ist häufig mit einem hölzernen Hohlkörper verbunden, dessen Dimensionen so eingerichtet sind, dass die Grundfrequenzen übereinstimmen (siehe auch Abschnitt 8.11). Der Hohlkörper wirkt als Resonator, der die Schallwelle in der Stimmgabel in eine Schallwelle im Raum, die in allen Richtungen wahrnehmbar ist, verwandelt. Die gleiche Funktion haben natürlich auch die Körper der Saiteninstrumente. Die Wellenlängen der Grundschwingungen sind immer durch die linearen Dimensionen bestimmt. Je tiefer die Töne und Frequenzen sind, desto grösser sind die Klangkörper (siehe Abbildung 8.105). Bildet man das Verhältnis der Wellenlängen von Oberschwingungen untereinander und zur Grundschwingung, so ergibt dies nicht notwendigerweise ganze Zahlen. Dies ist nur für die einfachen eindimensionalen Systeme so. Für schwingende Gläser, Sägen und andere komplexere Systeme findet man die Schwingungszustände häufig nur experimentell, oder numerisch am Computer. Für quadratische und kreisförmige Membranen lassen sich die Normalschwingungen sichtbar machen, indem man die Membranen mit Schmirgelpulver bestreut. Nur an den Knoten bleibt das Pulver auf der angestrichenen Membran liegen. Man nennt die entsprechenden Figuren nach ihrem Entdecker Chladni sche Klangfiguren (Abbildungen und 8.107) Stehende Schallwellen in Pfeifen Auch mit Schallwellen lassen sich stehende Wellen erzeugen. Eine Flöte oder Pfeife besteht im einfachsten Fall aus einem beidseitig offenen Rohr. Wie früher erklärt, kann eine Schallwelle durch die Auslenkung der Moleküle u = u 0 sin(kx ωt) (Verschiebungswelle) oder den Schalldruck p = p 0 cos(kx ωt) beschrieben werden. Die beiden Wellen sind um eine Viertelperiode phasenverschoben. An den offenen Enden der Röhre ist der Schalldruck verschwindend klein, dort befinden sich also Knoten der Schalldruckwelle p(x, t). Besitzt die Röhre ein abgeschlossenes Ende, können sich an der Wand des Verschlusses die Moleküle nicht mehr bewegen, deshalb hat die Verschiebungswelle dort einen Knoten. 230

35 Abbildung 8.106: Grund- und Oberschwingungen einer Stimmgabel (oben). Ernst Chladni ( ) führt 1809 Kaiser Napoleon seine Klangfiguren vor (unten). Abbildung 8.107: Stehende Wellen in einer Kesselpauke. Die beobachteten Muster entsprechen den Chladni schen Klangfiguren für eine kreisförmige Membran. Die Schalldruckwelle ist gegenüber der Verschiebungswelle um π/2 phasenverschoben. Dies sieht man besonders gut bei Pfeifen, in denen stehende Wellen angeblasen werden. Abbildung zeigt die Grundschwingung einer beidseitig offenen Pfeife, oben die Verschiebung, unten den Schalldruck zu verschiedenen Zeiten. Analog zur eingespannten Saite finden wir: (i) Beidseitig geschlossene Pfeife : λ n = 2L n, ω n = nπ L v (ii) Beidseitig offene Pfeife : λ n = 2L n ω n = nπ L v Für eine Pfeife die auf der einen Seite geschlossen und auf der anderen offen ist, wird die Wellenlänge der Grundschwingung doppelt so lang, wie man sich mit Hilfe einer Skizze leicht überzeugt: (iii) Einseitig offene Pfeife; λ n = 4L 2n 1, ω n = Diese Resultate lassen sich experimentell bestätigen durch (2n 1)π v 2L Anblasen verschiedener Orgelpfeifen: Die längsten Pfeifen produzieren die tiefsten Töne, das einseitige Schliessen einer offenen Pfeife während des Anblasens: die Grundfrequenz halbiert sich, die Wellenlänge verdoppelt sich, die Höhe des Pfeifentons nimmt ab, 231

36 das Betreiben von Pfeifen mit leichtem (Helium) und schwerem Gas (CO 2 ): v(he) > v(co 2 ) ν(he) > ν(co 2 ), das Betreiben mit heissem und mit kaltem Gas: v = κrt/m, eine heisser Pfeifenton ist höher als ein kalter. Abbildung 8.108: Grundschwingung einer beidseitig offenen Pfeife. Oben: Verschiebungswelle u, unten: Druckwelle p. Abbildung 8.109: Wellenformen verschiedener Blasinstrumente Interferenz und Beugung Oft kommt die Phasenverschiebung δ der beiden Teilwellen dadurch zustande, dass sie von einer gemeinsamen Quelle bis zum Beobachtungspunkt wo sie sich überlagern verschiedene Wege zurückgelegt haben. Zwischen dem Wegunterschied und der Phasenverschiebung δ besteht die Beziehung δ = 2π = k. λ Das heisst die Phasenverschiebung ist gerade dadurch charakterisiert welchem Teil einer Wellenlänge der Wegunterschied entspricht. Konstruktive Interferenz erhalten wir für = λδ 2π = mλ, destruktive Interferenz für = (m + 1/2)λ (m ganz) Einer der grundlegenden Interferenzversuche ist das Doppelspaltexperiment. Eine Welle trifft in diesem Versuch auf zwei Spalte. Die einfallende ebene Welle lässt an den Spalten zwei Kugelwellen entstehen. Das Experiment (Abbildung 8.110) lässt sich mit Schallwellen, Wasserwellen, 232

37 d Q 1 Q 2 α 1 α 2 r 1 D r 2 P (x) x x Abbildung 8.110: Young scher Interferenzversuch mit einem Doppelspalt. Die einfallende ebene Welle erzeugt an den Spalten kohärente Kugelwellen, die sich überlagern. Man beobachtet die Intensitätsverteilung in Punkten P im Abstand x vom Zentrum eines Schirms mit festem Abstand D zu den Spalten. Die Intensitätsverteilung zeigt ein Streifenmuster mit abwechselnd maximaler und minimaler Intensität. Mikrowellen oder monochromatischem Laserlicht durchführen, wichtig ist lediglich, dass die Spaltabstände vergleichbar mit der Wellenlänge sind. Die Kugelwellen von den beiden Spalten mit Abstand d werden auf einem Schirm im Abstand D beobachtet. Der Wegunterschied der bei Q 1 entstehenden Welle relativ zu der bei Q 2 entstehenden Welle bis zum Punkt P (x) ist gegeben durch (x, d << D): = r 2 r 1 = D 2 + (x + d 2 )2 D 2 + (x d 2 )2 12 x2 D (1 + ( D 2 + xd ) 2D 2 + d2 4D 2 ) 12 x2 D (1 + ( D 2 xd ) 2D 2 + d2 4D 2 ) = dx D Der Phasenunterschied ist daher was zu der Intensitätsverteilung auf dem Schirm führt: Maxima werden auftreten für I(x) 4A 2 cos 2 k 2 δ = k = 2πd λd x, = 4A2 cos 2 kxd 2D = 4A2 cos 2 πxd λd. πdx λd = mπ (m ganz) x = md λ d, α = 1 2 (α 1 + α 2 ) x D = mλ d 233

38 x Wir beobachten äquidistante Hell- Dunkel-Streifen, deren Abstand umso grösser ist, je kleiner der Quellenabstand d und je grösser die Wellenlänge λ ist. α r 1 Q 1 r 2 d Q D 2 ~α P (x) x I (x) Für Schallwellen haben wir den Sachverhalt mit zwei Lautsprechern die einem Sinusgenerator angetrieben werden als Quellen demonstriert. Dabei haben wir auch gesehen, dass wir das Interferenzmuster verändern können indem wir die Phasenbeziehung der beiden Quellen ändern. Wenn die Quellen gerade gegenphasig tönen, ergeben sich bei den Maxima plötzlich Minima und umgekehrt. Beugung Bisher haben wir angenommen, dass die Öffnungen in einem Schirm so klein sind, dass sie als Punktquellen von emittierten Kugelwellen dienen können. Dies gilt, solange ihr Durchmesser s klein gegenüber der Wellenlänge λ ist. Ausgedehnte Öffnungen bestehen aus einem Kontinuum von Punkten, von denen Sekundärwellen ausgehen, wobei die Phasen ebenfalls kontinuierlich verteilt sind. Wir leiten den Ausdruck für die Intensitätsverteilung von einem breiten Einzelspalt (Intensität I 0 u 2 0 ) her, in dem wir ihn als Sequenz von N Punkten im Abstand d = s/n darstellen, wobei von jedem eine Welle mit der Amplitude u 0 /N (I = I 0 /N 2 ) ausgehen soll. Beobachten wir unter dem Winkel α so ist der Wegunterschied zwischen den Wellenzügen von benachbarten Punkten wieder = d sin α. Die Intensitätsverteilung aus der Überlagerung der Anteile der N Punkte ist, wie wir aus dem vorigen Abschnitt wissen: I = I 0 N 2 sin 2 (Nk /2) sin 2 (k /2) (k klein) I = I 0 sin 2 (Nk /2) (Nk /2) 2. Wir ersetzen durch die Spaltbreite s und den Beobachtungswinkel α: N 2 k = s 2π 2d λ d sin α = π λ s sin α g(α), I = I sin 2 g(α) 0 g(α)

39 Das Hauptmaximum (Nenner = 0) liegt bei: sin g(α) = g(α) = sin α = α = 0, I max = I 0. Minima treten auf, wenn der Zähler verschwindet, der Nenner jedoch nicht, d. h. für πs sin α λ = ±nπ (n 0, ganz) sin α = ± nλ s. Nebenmaxima, deren Intensitäten mit n rasch kleiner werden, liegen bei sin α = ±(n )λ s, I max,n= I 0. I (α) α min α min S α Die Breite des Hauptmaximums ist bestimmt durch sin α min,1 = λ/s, d. h. sie ist umso grösser, je kleiner die Spaltbreite ist. Mit s 0 erhalten wir die Kugelwelle in allen Richtungen. Beugungseffekte treten immer auf, wenn eine Lichtwelle seitlich begrenzt wird, z. B. an Rändern vor Blenden und von Linsen. Sie sind um so ausgeprägter, je kleiner die Blenden und je grösser die Wellenlänge des Lichts ist. Da alle optischen Instrumente mit begrenzten Lichtbündeln arbeiten, ist Beugung unvermeidlich und limitiert das Auflösungsvermögen. Unter Auflösungsvermögen versteht man die minimale Distanz, bei der die Beugungsbilder zweier benachbarter Punkte gerade noch trennbar sind, also die entsprechenden Hauptmaxima gerade noch um den Winkel α min voneinander getrennt sind Dopplereffekt Wenn auf der Autobahn ein Polizeiauto mit Sirene an uns vorbeifährt, nehmen wir eine Änderung der Schall-Frequenz (also der Tonhöhe) war. Dies gilt für alle Wellen die ein bewegter Beobachter aufnimmt, bzw. die von einer bewegten Quelle ausgehen. Lange bevor dies an Autobahnen täglich zu hören war, hat Christian Doppler dies für Licht postuliert. Wir wollen uns diesen Effekt, der von Fledermäusen bei der Jagd, im Spital bei der pränatalen Diagnostik oder in der Astrophysik bei der Untersuchung der Geschichte des Universums verwendet wird nun noch quantitativ anschauen. Ein Lautsprecher strahle eine Welle der Wellenlänge λ, Frequenz ν aus. Wenn sich die Quelle (in der Vorlesung mit Hilfe eines bewegten Lautsprechers realisiert) mit Geschwindigkeit v Q auf den Beobachter zu bewegt, dann beobachtet dieser eine verkürzte Welle mit Wellenlänge λ. Die Verkürzung beträgt gerade v Q /ν, wie man sich anhand einer Skizze überzeugen kann. Damit wird λ = λ v Q ν = v ν v Q ν = v v Q ν 235

40 Die beobachtete Frequenz erhöht sich deshalb ν = v λ = ν 1 v Q v Bewegt sich die Quelle vom Beobachter fort, ändert das Vorzeichen von v Q und damit wird die beobachtete Freuquenz tiefer. Wird die Quellengeschwindigkeit v Q grösser als die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Ueberschallgeschwindigkeit), dann sammelt sich die abgestrahlte Intensität in einem Kegel, dem Mach schen Kegel, der sich mit der Quelle an der Spitze durch den Raum bewegt. Der Beobachter nimmt einen Ueberschallknall war, wenn der Kegel an ihm vorbeikommt. Den Mach schen Kegel kann man auch schön bei Schiffen oder schwimmenden Enten beobachten, wenn diese sich mit einer Geschwindigkeit grösser als die Oberflächen-Wellengeschwindigkeit im See bewegen. Wenn sich nicht die Quelle, sondern der Beobachter (oder Detektor) bewegt wird die Situation leicht anders. Dieser sieht entsprechend seiner Bewegung die Wellenberge in schnellerer oder langsamerer Folge. Dann wird die neue Frequenz: ν = ν ± v D λ = ν(1 ± v D v Hier bedeutet das positive Vorzeichen in der Geschwindigkeit, dass sich der Beobachter auf die Quelle zubewegt und das negative, dass er sich von der Quelle wegbewegt. Wir haben also wieder eine höhere Frequenz wenn wir uns auf die Quelle zubewegen und eine tiefere wenn wir uns davon wegbewegen. Wenn wir nun also mittels Echolot etwas beobachten, das sich bewegt, treten beide oben genannten Effekte auf. Das kann bei einem Ultraschall sein, bei dem man den Blutfluss untersuchen will und das bewegte Teilchen ein Erythrozyt ist oder bei einer Fledermaus, die eine fliegende Mücke fangen will. Einerseits erfährt das bewegte Teilchen also eine Frequenzverschiebung da es als bewegender Detektor aufgefasst werden kann. Dann reflektiert es Schall dieser Frequenz als bewegte Quelle. Die Frequenzverschiebung die das Ultraschallgerät oder die Fledermaus erfährt ist durch die Kombination der Effekte gegeben und wir messen die Frequenz ν. ν = ν 1 + v O/v 1 v O /v wobei v O die Geschwindigkeit des sich bewegenden Objektes relativ zur Quelle (also der Fledermaus oder dem Ultraschallgerät) ist. Da sich Fliegen typischerweise mit Geschwindigkeiten fortbewegen die klein sind gegenüber der Schallgeschwindigkeit, können wir die Näherung v O v machen und erhalten näherungsweise eine Frequenzänderung ν = ν ν = ν ( 1 + vo /v 1 v O /v 1 ) = ν 1 + v O/v (1 v O /v) 1 v O /v = ν 2v O/v 1 v O /v 2ν v O v 8.14 Ausbreitung von Wellen im Raum Wie wir gesehen haben wird in vielen Fällen eine Welle zunächst in einem nahezu eindimensionalen Medium erzeugt, z. B. einem dünnen Stab, einer Saite oder einer Pfeife. Zur möglichst 236

41 vollständigen Übertragung dieser Wellen an den umgebenden Raum dienten oft zusätzliche Resonatoren, z. B. Körper von Streichinstrumenten, die Rachen-Mundhöhle beim Sprechen etc. Die durch diese Resonatoren ausgesendeten Wellen pflanzen sich dann dreidimensional fort. Die mathematischen Aspekte dieser Wellenausbreitung im Raum sollen nun kurz gestreift werden. Die Wellenerregung ist im allgemeinen Fall von allen drei Ortskoordinaten sowie der Zeit abhängig und eine Lösung der dreidimensionalen Wellengleichung, welche in kartesischen Koordinaten gegeben ist durch 2 ( u 2 ) t 2 = u v2 x u y u z 2 Zwei spezielle Lösungstypen dieser Gleichung wollen wir im folgenden diskutieren, nämlich ebene Wellen und Kugelwellen. Bewegt man in einem Wassertrog eine Blechplatte auf und ab, so entstehen längs der Kante des Blechs Wellenfronten (Wellenberge und -täler), deren Kamm parallel zur Kante ist und die sich dann in einer Richtung senkrecht zur Kante ausbreiten. Die aufeinanderfolgenden Wellenfronten sind parallel zueinander und für alle Punkte einer zur Ausbreitungsrichtung senkrechten Ebene ist die Erregung konstant. Kugelwellen kann man in der gleichen Anordnung erzeugen, indem man einen Stift auf und ab bewegt, d. h. von einem Punkt ausgehende Wellen erzeugt. Die Orte konstanter Erregung sind nun Kreise mit dem Ausgangsort der Wellen als Zentrum, im Raum entsprechend Kugelflächen. Wiederum steht der Vektor der Fortpflanzungsgeschwindigkeit senkrecht zu den Wellenfronten. Ebene Wellen: Wählen wir die x-richtung in Fortpflanzungsrichtung, so hat eine ebene Welle die Form u( r, t) = u(x, y, z, t) = u(x vt) mit v x, v x = v = ω k Die Flächen konstanter Phase ( x vt = konstant) sind Ebenen senkrecht zur x-richtung ((y, z) Ebene), welche sich mit der Geschwindigkeit dx/dt = v fortbewegen ((x = vt+konst.). Handelt es sich speziell um harmonische Wellen, so ist 237