Gyroskop. Kreisel mit 3 Achsen

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1 Gosko Kesel mt 3 Achsen Zusammenfassung Mt dem Gosko (Kesel mt 3 Achsen) kann man Keselhänomene we Rchtungsstabltät, Päesson und Nutaton untesuchen. Im volegenden Vesuch sollen veschedene lneae Zusammenhänge wschen den Keselegenschaften emttelt und m weteen das Täghetsmoment auf we unteschedlche Aten beechnet weden. Dau weden Päessonsfequen, Rotatonsfequen, Kmoment und Nutatonsfequen mt wengen Messmtteln bestmmt und de ehaltenen Resultate auf he Genaugket untesucht. Theoetsche Gundlagen Jede stae Köe, de sch um enen festen Punkt deht, stellt enen Kesel da. Bestt e beüglch ene duch senen Schweunkt gehenden Achse ene Rotatonssmmete, scht man von enem smmetschen Kesel. De Smmeteachse st Hauttäghetsachse und wd häufg Fguenachse genannt. Ist de Schweunkt enes solchen Kesels glechetg de Dehunkt de Rotaton, so legt en käftefee Kesel vo, denn sene egene Schwee beenflusst de Keselbewegung ncht (das Schweemoment st glech Null): Abbldung 1 En Kesel, auf den en Dehmoment,.B. en Schweemoment ode en magnetsches Moment, wkt, hesst schwee Kesel. Das m Vesuch vewendete Gosko st ene besondee Fom des smmetschen Kesels und kann sowohl als käftefee, als auch als schwee Kesel beteben weden. Dehungen um Achsen snd Sondefälle de Keselbewegung. Man fndet se.b. be navgatoschen Keselgeäten (Keselkomass), be oteenden Maschnentelen (Räde, Schwungscheben, Roto von Moto, Geneato, Tubne usw.), be de Ede und andeen Hmmelsköen abe auch be atomaen Dehbewegungen. 3/23/2007 1

2 Päesson des smmetschen Kesels En smmetsche Kesel möge sch unächst käftefe um sene m Raum uhende Fguenachse dehen. Dese st glechetg Rchtung des Dehmulsvektos L und de Wnkelgeschwndgket ω sowe de desen Vektoen ugeodneten Achsen, de Dehmulsachse und de momentanen Dehachse. Wegen dem Dehmulssat behält de Kesel be venachlässgbaen Rebungskäften den Betag und de Rchtung des Dehmulses unveändet be. Wkt abe wähend de Zet dt en äussees Dehmoment M auf den Kesel, so ändet sch de Dehmuls gemäss folgende Glechung: dl = M dt (1) De Vekto dl hat also stets deselbe Rchtung we de Dehmomentvekto M Abbldung 2 Mt nachfolgende Übelegung folget man Glechung (1): Wd de Kesel als Sstem von Massenelementen aufgefasst, so tägt jedes enelne Element mt senem Bahnmuls um Gesamtdehmuls L be. Defntonsgemäss glt folgende Beehung: L = ( ) (2) Dabe st de Radusvekto, de von enem Beugsunkt auf de Achse um -ten Massenelement geht. Duch Dffeentaton von Glechung (2) kann ehält man folgenden Zusammenhang: dl d d = + (3) dt dt dt 3/23/2007 2

3 d Wel glt, wd de este Ausduck de echten Sete veschwnden. Das dt Vektoodukt des weten Tems stellt das duch ene Kaft F veusachte Dehmoment M d da, denn es st = F und F = M, so dass übe dt dl = M = M (4) dt unmttelba Glechung (1) gefolget weden kann. Be de Dehmulsändeung gbt es we nteessante Sealfälle: a) De Dehmomentvekto M veläuft n Rchtung L Dann legt auch dl aallel u L. De Vektoaddton L + dl wkt sch nu auf den Betag des Dehmulses aus, sene Rchtung blebt damt ehalten. Je nach dem Rchtungssnn des Dehmomentes wd de Kesel angeteben ode abgebemst. b) Das Dehmoment M st senkecht u L Dann steht dl senkecht u L (sehe Abbldung 2). In desem Falle wecht de Dehmulsachse n Rchtung des Dehmomentes M, also senkecht u wkenden Kaft, aus. Solange en Dehmoment wkt, läuft de Dehmulsvekto auf de Mantelfläche enes Keskegels glechfömg um, de Kesel äedet. De Öffnungswnkel 2 α des Keskegels wd duch de Anfangsbedngungen gegeben. Fü de Wnkelgeschwndgket ω de Päesson folgt aus Abbldung 2: dϕ 1 dl M ω = = = (5) dt L snα dt L snα Daaus folgt: M = ω L snα (6) Des st de Betag des Vektooduktes M = ω L (7) das de duch en Dehmoment M veusachte Päesson enes Kesels beschebt. De allgemene Fall, dass de Vektoen M und L enen belebgen Wnkel enschlessen, kann übe ene Komonentenelegung auf de uvo dskuteten Sealfälle uückgefüht weden. 3/23/2007 3

4 Nutaton des smmetschen Kesels Abbldung 3 Wenn sch be enem oteenden smmetschen Kesel de Fguen-, de Dehmulsund de momentane Dehachse ncht decken (Abbldung 3), teten komlete Vehältnsse auf: De momentane Dehachse und de Fguenachse bescheben je enen Keskegel um de Dehmulsachse, de bem käftefeen Kesel he Rchtung m Raum bebehält (Dehmulssat). De Kegel ollen aufenande so ab, daß he Achsen stets ene Ebene blden und be enem velängeten Kesel uenande de n Abbldung 3 geegte Lage haben. De Bewegung de Fguenachse um de Dehmulsachse st gut u beobachten und wd Nutaton genannt, de ugehöge Keskegel st de Nutatonskegel. De momentane Dehachse wandet m Keselköe. Füht man en köefestes katessches Koodnatensstem en, dessen Achsen,, mt den Hauttäghetsachsen des Kesels usammenfallen und be dem n Rchtung de Fguenachse west, läßt sch de Wnkelgeschwndgket um de momentane Dehachse duch he Komonenten m köefesten Beugssstem ausdücken: ω = ω + ω j + ω k (8), j, k snd de Enhetsvektoen m köefesten Beugssstem. Entsechend glt fü den Dehmuls: L = ω I + ω I j + ω I k (9) I, I, I snd de Hauttäghetsmomente des Keselköes. Fü den smmetschen Kesel glt: I = I = I Damt kann man also folgen: L = I ( ω + ω j) + ω I k (10) Mt Glechung (8) ehält man schlesslch: 3/23/2007 4

5 1 I ω = L + 1 ω k (11) I I De este Summand auf de echten Sete st de Wnkelgeschwndgket ω N de Fguenachse um de Dehmulsachse, und somt de Wnkelgeschwndgket de Nutaton. Se hat de Rchtung des Dehmulses. Wd de Peodendaue mt TN beechnet, so glt fü den Betag de Wnkelgeschwndgket und damt fü de Kesfequen de Nutatonsbewegung: 2 π 1 ω N = = L (12) T N I Wel sch de Bewegung de Fguenachse lecht beobachten lässt, kann de Nutatonsfequen elatv enfach eementell bestmmt weden. Eement Mateal Zu Duchfühung des Eements wd folgendes Mateal benötgt: Gosko Schnu Gewchtstelle fü Schltgewchte Gabellchtschanke mt Zähle Stouh Schltgewchte (1 50g und 4 je 10g) Zusätlches Mateal: Zusatschebe mt daugehögem Gegengewcht 3/23/2007 5

6 Vesuchsduchfühung Bevo de Vesuch gestatet weden kann, muss en schmale Paestefen (um Besel en selbstklebendes Etkett) am Rand de Schebe des Goskos angebacht weden. Achtung: Es st unbedngt weches Mateal u vewenden, damt en Gff n den oteenden Kesel ncht u Veletungen fühen kann! De Gabellchtschanke muss nun so ostonet weden, dass be jede Umdehung de Paestefen de Lchtschanke untebcht. Je nach Eement muss mt Hlfe des Betebatenschaltes, welche sch echts auf de Fontsete des Moduls befndet, de gewünschte Messat engestellt weden. Dabe snd folgende Zählaten möglch: - Imulsählung - Zetmessung wähend de Abschattung - Zetmessung wschen we Abschattungen - Zetmessung weschen de esten und de dtten Abschattung Wude de benötgte Betebsat gewählt, so muss anschlessend de SET-Taste, welche sch lnks auf de Fontsete des Moduls befndet, betätgt weden. Est dann st ene vohege Betebsat beendet. Das Dücken de SET-Taste beetet mme ene Messung vo und stellt de Ansechsemfndlchket automatsch otmal en. Aufgaben 1) Dekte Messung des Täghetsmoments de Keselschebe aus de Wnkelbeschleungung be bekanntem Dehmoment 2) Untesuchung des Zusammenhangs wschen de Daue enes Päessonsumlaufs und de Rotatonsfequen de Kesschebe 3) Untesuchung des Zusammenhangs wschen de Päessonsfequen und dem auf de Keselachse ausgeübten Kmoment be jewels glechen Rotatonsfequenen 4) Bestmmung des Täghetsmoments aus de Päessonsdaue, de Rotatonsfequen und dem auf de Keselachse ausgeübten Kmoment 5) Untesuchung des Zusammenhangs wschen de Rotatonsfequen de Kesschebe und de Nutatonsfequen Anletung Wll man de Zusammenhänge wschen Päesson und Nutaton quanttatv untesuchen, so weden folgende Hlfsmttel benötgt: - De Päessons- und Nutatonsfequen snd so nedg, dass man se mt ene Stouh emtteln kann. - De Umdehungset de Kesschebe wd mt de Gabellchtschanke gemessen. 3/23/2007 6

7 1) De Wnkelbeschleungung kann gefunden weden, ndem man uest de Keselachse mt de Doelmuffe fet und dann an de an de Seltommel aufgewckelte Schnu en Gewchtsstück hängt. Anschlessend wd de Daue Δt de Beschleungung von de Fegabe de Schebe bs um Aufseten des Gewchtsstücks auf dem Fussboden gestot und sofot de Wnkelgeschwndgket ωe de Schebe emttelt. Paktschewese wd dau de Daue fü enen Schebenumlauf gemessen. Dese Messung gelngt, ndem man de Reset-Taste an de Gabellchtschanke dückt und dese dann sowet an de Keselschebe hean füht, bs de aufgeklebte Blende den Lchtweg untebcht. De Betebsat de Lchtschanke muss so engestellt sen, dass de este Abdunkelung den Zähle statet und de wete Abdunkelung den Zähle stot. Schlesslch ehält man de Wnkelbeschleungung we folgt: d ω E = ω dt Δt Das bedeutet also fü das Täghetsmoment I de Keselschebe: D Δt I = ω E Dabe st D = m g das bekannte Dehmoment ( m : Masse des beschleungten Gewchtsstückes, : Radus de Seltommel (= 22.5mm) 2) Um de Rotatonsfequen f des Goskos als Funkton de Daue t enes Päessonsumlaufes u untesuchen, muss das Gegengewcht auf de Keselachse so ostonet weden, dass es das Dehmoment, das de Keschebe auf de hoontale Achse ausübt, genau komenset (entscht käftefeem Kesel). Mt de bem Vesuch belegenden Schnu kann de Kesel aufgeogen weden, ndem de Schnu um de Seltommel gewckelt wd. Duch asches Wegehen de Schnu wd ene bestmmte Rotatonsfequen de Schebe eecht, welche sofot mt de Lchtschanke gemessen 3/23/2007 7

8 weden muss. Möglchst asch wd danach ene Masse von 50g bw. 100g n de Nut an dem de Schebe gegenübelegenden Ende de Keselachse engehängt weden. Mt de Stouh wd de Zet gemessen, de de Kesel fü enen halben Päessonsumlauf benötgt. Schlesslch muss das Gewcht wede entfent und de Rotatonsfequen eneut bestmmt weden. De Mttelwet de beden gemessenen Rotatonsfequenen wd n ene Gafk übe de gemessenen Päessonsdaue engetagen. 3) Duch wedeholtes Duchfühen von Aufgabe 2) mt jewels veschedenen Massen kann en Zusammenhang wschen dem Kmoment Dk und de Päessonsfequen f gefunden weden. Dabe weden de gemessenen Wete u den veschedenen Gewchten n enem Dagamm veanschaulcht und mtenande veglchen. 4) Das Täghetsmoment I des Goskos kann mt folgende Methode beechnet weden: Dk I = 2 4 π a Mt D k = m g R und a = Stegung de Geade aus Aufgabe 2) bw. 3), wobe R : Abstand des Angffsunktes de Masse m vom Lageunkt de Keselachse ( R 27cm ). 5) Soll en Zusammenhang wschen de Nutatonsfequen f n und de Rotatonsfequen f de Kesschebe analset weden, so muss ene Nutaton duch enen lechten setlchen Schlag auf de Keselachse eeugt weden. Es wd jewels de Daue ene geegneten Anahl von Nutatonsumläufen gestot und, we beets n den vohegegangenen Aufgaben, uvo und danach de Umdehungset de Kesschebe mt de Lchtschanke bestmmt. Assstent: D. Enco Gnecco, Raum 3.01a, enco.gnecco@unbas.ch 3/23/2007 8