Allgemeine Relativitätstheorie. Mitschrift von Harald Höller mit Ergänzungen nach einer Vorlesung von Prof. Robert Beig SS05

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1 Allgemeine Relativitätstheorie Mitschrift von Harald Höller mit Ergänzungen nach einer Vorlesung von Prof. Robert Beig SS

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Einführung Einleitung Minkowski-Metrik Gekrümmte Raumzeiten - Vorschau Tensorfelder Vektorfelder, Kovektorfelder Skalarfelder Tensorfelder höherer Stufe Kovariante Ableitung Definition und Eigenschaften Kovariante Ableitung auf Kovektorfeld Additivität und weitere Eigenschaften der Kovarianten Ableitung Der Krümmungstensor Physikalischeres Die Metrik Definition und Eigenschaften Einführung einer Metrik Geodätische Kurven - Vorschau Weitere Eigenschaften von R Geodäte einer Kurve Definition und Eigenschaften Der Lichtkegel Gleichung für geodätische DeviationJacobi-Gleichung Gleichung für geodätische DeviationNewton sche Version Newton-Limes Gravitative Rotverschiebung Fluss eines Vektorfeldes ξ µ (x) Gravitative Rotverschiebung (Fortsetzung) Einstein sche Feldgleichungen Einschub:Die physikalischen Gesetze in Anwesenheit von Gravitationsfeldern Einstein sche Feldgleichungen (Fortsetzung)

3 2.4.3 Newton-Limes für Staub Exakte Lösung der Einstein-Vakuum Gleichungen Rotverschiebung Kraft auf stationären Beobachter Kausale Geodäten in Schwarzschild Perihelverrückung Lichtstrahlen Lösungen der Einstein schen Feldgleichungen mit Wellencharakter - Im Vakuum Gravitationswellen

4 Kapitel 1 Mathematische Einführung 1.1 Einleitung Die spezielle Relativitätstheorie (SRT) fußt auf zwei Postulaten; dem Relativitätsprinzip und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Das Äquivalenzprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie - wie später verdeutlicht - verallgemeinert das Relativitätsprinzip, das alleine schon die Existenz einer (numerisch nicht definierten) invarianten Geschwindigkeit zur Folge hat. Das Äquivalenzprinzip sagt salopp formuliert, dass es für geeignet kleine Experimente nicht unterscheidbar ist, ob sich der Beobachter in einem Gravitationsfeld in Ruhe befindet, oder er seine Experimente in einem gleichmäßig beschleunigten Raumschiff durchführt. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Feldtheorie der Gravitation. Feldtheorie: - geg.: Feld, ges.: Bewegung der Materie Bewegungsgleichung x(t) = Φ( x) (1.1) - geg.: Konfiguration der Materie, ges.: Feld Feldgleichungen: Φ = 4πGρ (1.2) Poissongleichung ρ( x) = Mδ 3 ( x) (1.3) Quellfunktion, Dichteverteilung Lösung für 1.3 Φ( x) = GM r (1.4) Newton sches Gravitationspotential 3

5 Die Poissongleichung ist eine Feldgleichung der Gravitation, die jedoch die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit nicht berücksichtigt. Hier wirkt die Kraft (Potential) instantan. Am Anfang der ART stand die Suche nach der korrekten Formulierung der Felgleichungen für die Gravitation. Äquivalenzprinzip - Verallgemeinerung des Relativitätsprinzips m t x(t) = ms Φ( x) (1.5) m t m s ist universell Äquivalenz zweier Vorgänge: 1. Fallexperimente - freier Fall bzw. kräftefreie Bewegung 2. Inertailsystem (1.) und (2.) unterscheidbar für Experimentator m x = m Φ (1.6) betrachten in einem frei fallenden Koordinatensystem x = x g 2 t2 (1.7) - Newtonsches Potential Φ wird wegtransformiert - Näherungsbetrachtung, wo Gezeitenphänomene (Inhomogenitäten des Gravitationsfeldes) vernachlässigbar. analog: 1. ruhende Masse im Gravitationsfeld 2. beschleunigtes Bezugssystem In der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) ausgezeichnete Klasse derartiger Bezugssysteme (Koordinatensysteme) um zwischen Inertialsystemen zu transformieren. R 4 : (x 0, x 1, x 2, x 3 ) bzw. (t, x) = (x µ ) Minkowski-Raum (4-dim Raum der Ereignisse) Minkowski-Metrik 1.2 Minkowski-Metrik Die Metrik ist ein Tensor zweiter Stufe, der in einem (metrischen) Raum definiert, wie Längen gemessen werden. Im einfachsten Fall, dem euklidischen Raum entspricht diesem Tensor die Einheitsmatrix; die Metrik ist positiv definit. In der SRT werden Ereignisse in der Raumzeit über die 4

6 Minkowski-Metrik beschrieben (negativ definit). Einige Eigenschaften der Metrik g µν : g µν = g νµ (1.8) ds 2 = µ,ν g µν dx µ dx ν (1.9) R 3 : ds 2 = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 in euklidischem Raum R 4 : ds 2 = (dt) 2 + (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 in Minkowski-Raum Linienelement g µν = η µν = (1.10) Minkowski-Metrik η µν Transformation: x µ = F µ (x µ ) g µν g µν(x ) (1.11) bzw. Rücktrafo: df µ dx µ df ν dx ν g µ ν (x ) = g µν (x) (1.12) x µ = G µ (x µ ) g µ ν (x ) g µν (x) (1.13) dg µ dx µ dg ν dx ν g µν (x) = g µ ν (x ) (1.14) Die Klasse von Transformationn zwischen Inertialsystemen sind jene, wo folgende Relation gilt g µ ν (x ) = η µν (x) Betrachten: Vektor v µ, bilden Skalarprodukt mit sich selbst Poincaré-Transformation η µν v µ v ν < 0 5

7 Gerade, deren SP der Tangenten < 0 Unterlichtgeschwindigkeit η µν v µ v ν = 0 Geraden, deren SP der Tangenten = 0 Lichtgeschwindigkeit ART: metrischer Tensor g µν nicht notwendigerweise konstant Beschreibung gekrümmter Raumzeiten. 1.3 Gekrümmte Raumzeiten - Vorschau Eine mathematische Beschreibung gekrümmter Räume liefert die Differentialgeometrie. In diesem Formalismus lässt sich der Begriff der inneren Krümmung definieren, mittels dessen eine gekrümmte Raumzeit zur Beschreibung nicht in einen höherdimensionalen, flachen Raum eingebettet werden muss. Beispiel. Kugeloberfläche (Polarkoordinaten) im R 3 In der Tensoranalysis, dem mathematischen Hauptwerkzeug der Differentialgeometrie haben Tensorfelder ein allgemeines, wohldefiniertes Transformationsverhalten. In gekrümmten Räumen gibt es kein ausgezeichnetes Koordinatensystem. Beispiel. In einem VR (affiner Raum) eine Klasse von Koordinaten x µ = A µ νx ν + c µ (A, c konst.) entspricht der Menge aller Schiefwinkeligen KS mit beliebigem Ursprung. Beispiel (Allgemein: beliebigige Koordinatentransformation). x µ x µ = F µ (x µ ) wobei F beliebige Funktion, deren Umkehrung (G) existieren muss und in beide Richtungen differenzierbar. x µ = G µ (x µ ) 1.4 Tensorfelder Vektorfelder, Kovektorfelder Vektorfeld: Tensorfeld 1. Stufe Vektorfeld v µ (x): v µ (x) v µ (x) v µ (x) = F µ x ν (G(x))vν (G(x)) (1.15) 6

8 Kovektorfeld w µ (x) : w µ (x) = F µ x ν (x)w ν(f (x)) (1.16) }{{} x w µ (x) = Gµ x ν (x)w ν(g(x) (1.17) }{{} x G µ x ρ w µ = F µ G µ } x ν {{ x ρ w ν } δ ν ρ = δ ν ρw ν (1.18) F µ (G(x)) = x µ x ρ F µ (G(x)) = δ µ ρ (1.19) Skalarfelder Skalarfeld: Tensorfeld 0. Stufe Φ(x) = Φ(x) Das Gradientenfeld zu einem SF ist Beispiel für ein Kovektorfeld Behauptung. Das ist wahr. w µ (x) = Bemerkung. Konvention: KS haben Index oben. x µ Φ = µφ (1.20) Tensorfelder höherer Stufe Transformation kovarianter TF 2. Stufe: t µν (x) = xρ x µ x σ x ν t ρσ(x(x)) (1.21) t ρσ (x) = xµ x ρ x ν x σ t µν(x(x)) (1.22) Beispiel (Linienelement). Linienelement ds entspricht einem symmetrischen kovarianten TF 2. Stufe. ds 2 = g µν dx µ dx ν (1.23) x µ = x µ (x ν ) dx µ = xµ x ρ dxρ (1.24) dx ν = xν x σ dxσ (1.25) (1.26) 7

9 Transformation kontravarianter TF 3. Stufe: t µνλ = xµ x σ x ν x ρ x λ x τ tσρτ (1.27) Transformation gemischter TF 2. Stufe: Beispiel. t µ ν = xµ x ρ x σ x ν tρ σ (1.28) δ µ 0 für µ = ν ν = 1 für µ ν Operationen mit Tensorfeldern: Addition (TF gleichen Typs) Tensorprodukt t ν µ = w µ v ν t = w v Spezialfall: Φv ν, Φw µ t µν = w µ k ν k ν w ν Spurbildung (Kontraktion) Behauptung. t ν µ t µ µ : gem. TF SF Beweis. Beispiel (Spezialfall). M = R 4 Φ(x), w ν (x), v ρ (x)... t ν µ = xν x σ x ρ x µ t σ ρ t µ µ = xσ = t ρ ρ x µ } x µ {{ x ρ } δ σ ρ t ρ σ w µ (x) = µ Φ ist Kovektorfeld Betrachten: VF v ν (x) µ v ist Tensorfeld, aber nur unter affinen Koordinatentransformationen. Für allgemeine Trafos gilt das nicht. Einführung einer allgemeineren Ableitung kovariante Ableitung 8

10 v µ (x) = xµ x σ (x(x)vν (x(x)) x ρ vµ (x) = xµ x λ x σ x ρ ( x λ vσ ) x ρ zweite partielle Ableitungen Tensoren hängen jedoch nur von ersten Ableitungen der Transformationen ab. µ v ν stimmt im ursprünglichen Koordinatensystem überein mit Unter affinen Transformationen ist µ v ν = x µ vν + Γ ν µλv λ (1.29) Γ µ νλ = xρ x ν x σ x λ 2 x µ x ρ x σ (1.30) 2 x µ x ρ x σ = 0 und wird als die bekannte Forn der partiellen Ableitung identifiziert. 1.5 Kovariante Ableitung Definition und Eigenschaften Definition. µ v ν = x µ vν + Γ ν µλv λ (1.31) Das ist eine Form der kovarianten Ableitung (mehrere Definitionen möglich), die unten stehende Bedingungen erfüllen soll. Bemerkung. Wenn Γ verschwindet: flache, kovariante Ableitung ( µ heißt flach). x µ : Γ µ νλ = 0 Liste von Forderungen an eine kovariante Ableitung für beliebige TF: 1. µ Φ = Φ 2. µ (t s......) = µ t µ s Leibnitzregel im Sinne des Tensorprodukts z.b.: λ (w µ v ν ) = ( λ w µ v ν ) + w µ ( λ v ν ) 4. µ (w ν v ν ) = ( µ w ν )v ν + w ν ( µ v ν ) 5. µ ν Φ = ν µ Φ (Additivität) (Torsionsfreiheit) 9

11 Bemerkung. Obige flache kovariante Ableitung erfüllt (5.), denn µ ν Φ ν µ Φ µ ν Φ ν µ Φ Weil Tensor, gilt das für alle KS ( Torsionsfreiheit) Satz (o. Bew.). Jedes µ angewandt auf VF ist von der Form µ v ν = µ v ν + Γ ν µλv λ Betrachten: Koordinatensystem x µ v(λ) ν = δ ν µ = e (λ) λ numeriert VF dim µ v(λ) ν = Γ ν µρv ρ (λ) = Γ ν µλ Konnexionskoeffizient: Kovariante Ableitung bezüglich eines VF VF. Die Γ sind die Entwicklungskoeffizienten des Koordinaten-VF Kovariante Ableitung auf Kovektorfeld Regel: µ (w ν v ν ) = ( µ w µ )v ν + w ν ( µ v ν ) µ (w ν v ν ) = ( µ w ν )v ν + w ν ( µ v ν ) w ν ( µ v ν + Γ ν µλv λ ) µ w ν = µ w ν Γ λ µνw λ (1.32) Bemerkung (o.bew.). gemischte VF darstellbar als Tensorprodukt von ko- und kontravarianten VF. Jedes t ν µ ist von der Form t ν µ = i w µ i v ν i Additivität und weitere Eigenschaften der Kovarianten Ableitung Additivität: λ (w µ v ν ) λ t ν µ λ t ν µ = λ t ν µ + Γ ν λρt ρ µ Γ ρ λµ tν ρ (1.33) 10

12 Weitere Eigenschaften: Γ µ νλ = Γµ λν (1.34) Beweis. µ ν Φ = ν µ Φ µ ν Φ + Γ λ µν λ Φ = ν µ Φ + Γ λ νµ λ Φ Bemerkung. Gleichung 1.34 gilt wegen Torsionsfreiheit. Bemerkung. Nicht jedes Kovektorfeld ist Gradient eines SF, aber Darstellung also solcher immer möglich an einer festen Stelle ẋ w λ (ẋ) = λ w ν (ẋ)x ν Γ µ νλ = xγ x ν 2 x µ x ρ x σ x ρ x λ (1.35) Beweis. Übungen Transformation von Γ : λ δ ν µ = 0 (1.36) Γ µ νλ = xµ... x ρ x µ } {{... } inhomogenert erm (1.37) Der Krümmungstensor Betrachten ein kovariantes Vektorfeld w µ µ ( ν w λ ) = µ ( ν w λ Γ ρ νλ w ρ) =... Betrachten: = µ ν w λ µ (Γ ρ νλ w ρ) + ΓΓ... R ρ µνλ ( µ ν ν µ )(w λ ) = Φ( µ ν ν µ )w λ (1.38) ist der Riemann sche Krümmungstensor. = R ρ µνλ w ρ (1.39) w λ w λ = Φw λ Beweis (für obige Gleichung). A priori µ (Φw λ ) mittels Produktregel. Es zeigt sich aber, dass 1.38 nicht von Ableitungen von φ abhängt. µ (Φw λ ) = ( µ Φ)w λ + Φ µ w λ ν µ(φw λ ) = ( ν ( µ Φ))w λ + µ Φ ν w λ + + ν Φ µ w λ + Φ ν µ w λ ( µ ν µ ν ) =. }. {{... }. Ableitungen von φ verschwinden (1.40) 11

13 Ricci-Idenitäten: ( µ ν ν µ )v λ = R λ µνρ v ρ (1.41) [ µ, ν ] t λ σ = Rµνσ ρ t λ ρ Rµνρ t ρ σ (1.42) λ Eigenschaften von R: 1 3 R ρ µνλ + R ρ νµλ = 0 (1.43) [ ] R ρ µνλ + R ρ λµν + Rρ µλν = 0 (1.44) }{{} ρ R total antisymmetrischer Tensor [µνλ] Beweis. Die Gleichung 1.44 heißt 1. Bianchi-Identität. [[µ ν] λ] Φ = R ρ [µνλ] ρφ [µ [ν λ]] Φ = 0 Beweis. Die Gleichung 1.45 heißt 2. Bianchi-Identität. ρ [σ Rµν]λ = 0 (1.45) benützen R σ νλρ + R σ [µ ν λ] w ρ = [µ [ν λ]] w ρ ρνλ R σ λρν = 0 = [µ (R σ νλ]ρ w σ) = ( [µ R σ νλ]ρ ) + R Allgemeine Formel: total antisymmetrisieren σ [νλ ρ µ]w σ = [µ R σ νλ]ρ w σ (R νλρ µw σ ) +... σ t [µνλ] = 1 6 (t µνλ t νµλ + t λµν t µλν + t νλµ t λµν ) (1.46) 12

14 Kapitel 2 Physikalischeres 2.1 Die Metrik Definition und Eigenschaften Die Metrik ist ein nicht singuläres (keine Nullen in Hauptdiagonale) Tensorfeld der Gestalt g µν = g νµ. Als Abildung interpretiert, bildet er den Raum der kontravarianten in den Raum der kovarianten Vektoren ab und das eindeutig umkehrbar, denn die nicht-singularität bedeutet auch, dass die Determinante des metrischen Tensors 0 ist. Betrachten: fixen Punkt ẋ : g µν (x) = xλ x µ x σ x ν g λσ (2.1) Bemerkung. Wenn ẋ x µ, sodass g µν ẋ = (, + +), dann heißt g µν Lorentz-Metrik (Metrik der SRT). Das gilt aber nur für den infinitesimalen Punkt und nicht für Umgebung von ẋ. Bemerkung. Wenn g µν nicht singulär inverse Metrik g µν mit g µν g νλ = δ µ λ (2.2) Auch für den kontravarianten Tensor gilt g µν = g νµ. Definition. Kovariante Ableitung hei st flach, wenn x µ : Γ µ νλ Bemerkung. In SRT der Fall. Bisher wurde keine Metrik benützt (aus didaktischen Gründen). = 0 in der speziellen Metrik Einführung einer Metrik Eine Raumzeit-Metrik einzuführen hat ihre physikalischen Gründe in der ART. Die Forderung an eine Metrik der ART ist, dass sie im Kleinen sein soll, wie die Minkowski-Metrik. Die Metrik ist ein symmetrisches TF g µν = g (µν) mit Minkoswki-Signatur. Betrachten: fixen Punkt ẋ : 13

15 Koordinatentranformation in beliebigem... x mit g µν (ẋ) = η µν wo η µν = Allgemein: g µν ist regulär, d.h. g µν : g µν g νλ = δ µ λ. Definition. Eine Metrik hei st flach, wenn x µ : g µν = η µν, d.h. hat überall Minkowski-Signatur. Weitere Forderung (experimentell): µ ist mit g µν verträglich (im Sinne von µ ist metrisch.) Beispiel (SRT). µ g µν = 0 (2.3) µ = µ g µν = η µν µ g µν = 0 (ist tensorielle Relation) gilt für alle KS : µ g µν = 0 Bemerkung. Aus Obigem µ bzw. g µν flach Bemerkung. Γ µ νλ = Γµ (νλ) (2.4) Kovariante Ableitungen ( viele ). Forderungen legen eine bestimmte fest. Satz. µ wird durch Verträglichkeitsforderung eindeutig festgelegt. Beweis. µ g νλ = µ g νλ Γ ρ µνg ρλ Γ ρ µλ g νρ }{{} Beh.: es gibt eindeutige Lösung inγ µ νλ = 0 (2.5) Γ ρ µνg ρλ + Γ ρ µνg νρ = µ g νλ (+) Γ ρ λµ g ρν + Γ ρ λν g µρ = λ g µν (+) Γ ρ νλ g ρµ + Γ ρ νµg λρ = ν g λµ ( ) 2Γ ρ µλ g νρ = µ g νλ + λ g µν ν g λµ g νσ Γ µ νλ = 1 2 gµρ ( ν g λρ + λ g νρ ρ g νλ (2.6) mit µ... Levi-Civita-Ableitung Folgerung. g µν flach Γ µ νλ flach. Christoffel-Symbole Γ = 0 Metrik konstant 14

16 2.1.3 Geodätische Kurven - Vorschau Eine Kurve ist eine Abbildung der Gestalt λ R x µ = x µ (λ) In euklidischer Geometrie bedeutet das für die Darstellung einer Geraden x i (λ) = c i λ + d i, c i, d i konstant Jedoch gilt diese einfache Darstellung nur in einer flachen Metrik. Nicht allgemein konstanter Vektor. BILD Länge von ẋ durch Parametrisierung bestimmt. λ λ = F (λ) F > 0 monoton wachsende Funktion Durch Reparametrisierung ändert das Kurvenbild nicht, lediglich die Länge des Tangentialvektors ändert sich im Allgemeinen. Bemerkung. ẋ µ transformiert korrekt. ẋ µ ist zwar nur entlang der Kurve definiert, trotzdem besitzt er unter Transformationen die Eigenschaften eines Vektors. v µ (λ) = ẋ µ (λ) Definition. x µ (λ) heißt Geodäte, wenn gilt ẍ µ (λ) + Γ µ νρẋ ν (λ)ẋ ρ (λ) = 0 (2.7) Verallgemeinerung des Begriffes einer Geraden. Geodätengleichung Weitere Eigenschaften von R Definition. σ R µνλρ = Rµνλ g σρ (2.8) R µνλρ = R µνλρ = R µνρλ (2.9) R [µνλ]ρ = 0 (2.10) = 1 3 (R µνλρ + R λµνρ + R νλµρ ) (2.11) [µ R νλ]ρσ = 0 (2.12) Lemma. R µνλρ = R λρµν (2.13) 15

17 Beweis. 2R µνλρ = R µνλρ + R µνλρ = R λµνρ R νλµρ R µρνλ R ρνµλ = R λµρν + R νλρµ + R µρλν + R ρνλµ = 2R µνλρ Definition. Kontrahierter Krümmungstensor bzw. Ricci-Tensor R µν = R σ µσν (2.14) = R µσνρ g σρ Bemerkung. R µν = R (µν) (2.15) Beweis. R µν = R µσνρ g σρ R νρµσ g σρ = R νµ Definition. Krümmungsskalar bzw. Ricci-Skalar R = R µν R µν (2.16) Definition. Einsteintensor G µν = R µν 1 2 Rg µν (2.17) Bemerkung. G µν = G (µν) (2.18) folg aus Symmetrie des Ricci-Tensors und der Symmetrie der Metrik. Alle Krümmungsgrößen und Einsteintensor sind eindeutig durch die Metrik bestimmt - führt zum geometrischen Teil der Einsteingleichungen. Lemma. Kontrahierte Bianchi-Identitäten Divergenzfreiheit µ G µν = g µλ λ G µν = 0 (2.19) 16

18 Beweis. 0 = µ R νλρσ + λ R µνρσ + ν R λµρσ g λσ = g λσ µ R νλρσ + σ R µνρσ ν R µρ }{{} µg λσ R νλρσ = µr νρ = µ R νρ ν R µρ + σ R µνρσ g µρ = ρ R νρ ν R + σ R νσ = 2 σ R σν ν R = µ G µν = µ (R µν 1 2 Rg µν) = µ R µν 1 2 νr = Geodäte einer Kurve Definition und Eigenschaften Koordinatentransformation: ẋ µ = v µ (λ) ẋ µ (λ) = dxµ dλ Definition. x µ (λ) heißt geodätisch, wenn x µ x µ (x ν ) v µ = dxµ dλ = xµ x ν x ν λ = xµ x ν vν = v µ (λ) ẍ µ (λ) + Γ µ νρẋ ν (λ)ẋ ρ (λ) = 0 (2.20) bzw. v µ + Γ µ νρv ν v ρ = 0 (2.21) Betrachten: Kurvenschar v ν ν v µ }{{} kovariante Ableitung in Richtung v = }{{} v ν ( ν v µ + Γ µ νλ vλ ) Tangentenvektor an eine der Kurven v ν ν v µ = dxν dλ x ν vµ = d dλ vµ = ẍ µ Geodätengleichung: ν v = 0 SRT: 17

19 x µ : g µν = η µν, Γ µ νλ = 0 (2.22) Geodätengleichung: ẍ µ = 0 x µ (λ) = c µ λ + d µ c µ = ẋ µ Bemerkung. Geodätengleichung ist nicht invariant unter λ λ = F (λ) Erhaltungsgröße : κ = v µ v ν g µν (2.23) ist entlang der Geodäte erhalten. Beweis (für 2.125). κ = v ρ ρ κ = v ρ ρ (v µ v ν g µν ) = (v ρ ρ v µ ) }{{} v µ + v ν v ρ ρ v µ }{{} +v ρ v µ v ν ρ g µν =0 wegen Geodätengleichung =0 wegen Geodätengleichung = 0 κ erhalten Der Lichtkegel Lorentz-Signatur: ZEICHNEN Betrachten lichtartige Vektoren v, also solche, wo g µν v µ v ν = 0. weiters soll gelten v 0 und g µν = η µν. Die Vektoren v µ können als Lichtstrahlen identifiziert werden im Sinne von tangential zu Objekten, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. η µν v µ v ν < 0 raumartige Vektoren Keine physikalische Bedeutung. η µν v µ v ν > 0 zeitartige Vektoren Vektoren innerhalb des Lichtkegels tangential zur Bahn von Beobachtern mit v < c η µν v µ v ν = 0 lichtartige Vektoren Vektoren, die den Lichtkegel aufspannen (Lichtstrahlen). Lichtkegel noch einmal; andere Betrachtungsweise: ZEICHNUNG Der Punkt P... ẋ µ = 0 ist jetzt Ursprung des Tangentenraums im Punkt an eine gekrümmte Manigfaltigkeit. Dann gilt wieder das Bild der SRT. 18

20 Geodäte γ: x µ (λ) heißt zeitartig, raumartig, lichtartig, wenn Tangentenvektor die Eigenschaft besitzt. Wenn Geodäte an einem Punkt diese Eigenschaft hat, hat sie diese in jedem Punkt. Einmal zeitartig, immer zeitartig Physikalische Interpretation Nullgeodäten sind Lichtstrahlen Zeitartige Geodäten entsprechen frei fallenden Beobachtern (kräftefreie Bewegung) Sei γ zeitartige Geodäte: Wählen λ so, dass v µ v ν g µν < 0 v µ v ν g µν = 1 λ ist eindeutig bis auf λ λ bzw. λ λ + c λ = s (2.24) s heißt Eigenzeit. Fordern physikalischer Entsprechung wie in SRT: Eigenzeit des Beobachters. Bemerkung. s macht auch Sinn für nicht frei fallende Beobachter. x µ (λ) : v µ v ν g µν < 0 aber nicht notwendigerweise geodätisch. Betrachten: p M : x µ : Γ µ νλ }{{} (p) = 0 Kraftterm Der Term mit g (z.b. im Riemann-Tensor) entspricht dem Gravitationsanteil, der nicht wegtransformiert werden kann. Dieser kann als Kraftänderung bzw. Gezeitenkraft bezeichnet werden Gleichung für geodätische Deviation Jacobi-Gleichung Gesucht sind Geodäten, die infinitesimal verschieden von einer gegeben geodätischen Kurve γ sind (Linearisierung). Gegebene Geodäte: x µ. ẍ µ (λ) + Γ µ νρ(x(λ))ẋ ν (λ)ẋ ρ (λ) = 0 x µ (λ) = x µ (λ) + δx µ Führt zu einer gewöhnlichen, linearen Differentialgleichung 2. Ordnung für δx µ Annahme: x µ ist wieder Geodäte 19

21 vernachlässigbare Terme O (δx) 2 x µ (λ, σ)... x µ (λ) = x µ (λ, 0) festes σ für σ = 0 (ursprüngliche Geodäte) δx µ (λ) = xµ (λ, σ) σ = w µ v µ = xµ λ v ν ν v µ = 0 (Geodätengleichung) v ν ν w µ = v ν ν w µ + v ν Γ µ νρw ρ w ν ν v µ = w ν ν v µ + w ν Γ µ νρv ρ (2.25) (v µ, w µ ) ist VF in 2-dim. Fläche, die durch Schar von Geodäten aufgespannt wird. v µ in Richtung Geodäte w µ in Richtung benachbarter Geodäte [v, w] µ = v ν ν w µ w ν ν v µ = v ν ν w µ w ν ν v µ = v ν x µ xµ ν wν σ λ = 2 x µ λ σ 2 x µ σ λ = 0 (2.26) Betrachten: wegen 2.26 folgt 2 νw µ = ν v ν ν w µ = (v ρ ρ )(v ν ν )w µ = v ρ ρ (w ν ν v µ ) = (v ρ ρ w ν )( ν v µ ) + w ν v ρ ρ ν v µ = (v ρ ρ w ν )( ν v µ ) + w ν v ρ ν ρ v µ + w ν v ρ R µ ρν λ vλ 2 νw µ = R µλρν v ρ v λ w ν (2.27) gilt σ, auch für σ = 0. σ = 0 : 20

22 2 νδx µ = R µλρν v ρ v λ δx ν (2.28) Das ist die gesuchte Gleichung für w. Beispiel. Zwei Teilchen im Aufzug Gezeitenkräfte messbar Gleichung für geodätische Deviation Newton sche Version Im euklidischen, flachen Raum sehen die analogen Gleichungen (klarerweise ohne Riemann-Tensor) so aus: ẍ i = i Φ x i (t) = x i (t) + δx i (t) ẍ(t) = ( i Φ)(x(t)) T aylor Entwicklung = ( i Φ)(x(t)) ( j i Φ)(x(t))δx j (t) + O( x) 2 δẍ i (t) = ( j i Φ) (x(t)) }{{} δx j (t) (2.29) geg. Keplerbahn ist Gleichung der Bahnstörung; die zweiten partiellen Ableitungen enstprechen der Rolle des Riemann-Tensors. Flacher Raum kein Gravitationsfeld Γ µ νλ = 0 R µνλρ = 0 Es gilt Umkehrung: R µνλρ = 0 KS : Γ µ νλ = 0 d.h. g µν,λ = Newton-Limes Betrachten Geodäte z µ (λ); erfüllt Geodätengleichung z µ + Γ µ νλżν ż ρ = 0 Koordinatensystem (x 0 = t, x i ) = x µ, wo t die absolute Newton sche Zeit. 1. g µν = η µν + h µν wobei h µν klein im Sinne von Gravitationsfeld schwach. 21

23 Betrachten nun wieder Eigenzeit λ żνż λ = ρ g νρ dz (2.30) 2. Geschwindigkeit klein: v c v i = dzi dt = O(ɛ) z µ = z µ (λ)... Teilchenbahn; wählen t als Parameter Außerdem: dz µ dt = ( 1 v i ) v i = dzi dt = O(ɛ) b i = d2 z i dt 1 = O(ɛ2 ) t = O(ɛ) (alles passiert langsam ) h µν = O(ɛ 2 ) Diese Annahmen bewirken Übergang in Newton sche Bewegungsgleichungen. Bewegungsgleichungen: d 2 z µ dλ 2 + dz ν dz ρ Γµ νρ dλ dλ = 0 (2.31) Beschreibt z.b. Kepler-Ellipse. λ(t) = t t 0 g 00 = 1 + h 00 g µν dz µ dz dz ν dz dt (2.32) g 0i = h 0i g ij = δ ij + h ij λ(t) = t(1 + O(ɛ 2 )) (2.33) µ = i: d 2 z i dt 2 }{{} Newton sche Beschleunigung + Γ i dz ν νρ dt dz ρ dt }{{} auch mindestens O(ɛ 2 ) weil h µν= O(ɛ 2 ) (+ Terme höherer Ordnung) (2.34) d 2 z i dt 2 + Γi 00 + O(ɛ 2 ) = 0 (2.35) 22

24 Γ µ νρ = 1 2 gµν ( ν g ρσ + ρ g νσ ν g νρ ) }{{} g=η+h g h g µρ g ρν = δ µ ν g µρ (η νρ + h νρ ) g µν = η µν = δ µ ν (2.36) Taylorentwicklung: g µν = η µν h µν + O(ɛ 2 ) h µν = η µρ η νσ h ρσ (h µν ) 1 (muss gar kein Inverses haben) (η µν h µν )(η νρ + h νρ ) = δ µ ρ + h µ ρ h µ ρ + O(ɛ 2 ) g µν = η µν h µν + O(ɛ 2 ) (2.37) Γ i 00 = 1 2 δij (2 0 h 0j j h 00 ) }{{}}{{} O(ɛ 3 ) O(ɛ 2 ) = 1 2 i h 00 (2.38) Newton sche Bewegungsgleichungen: d 2 z i dt 2 = 1 2 i h 00 + O(ɛ 3 ) (2.39) Newton scher Limes der Geodätengleichung Setzen h 00 = 2φ c 2 (2.40) g µν dx µ dx ν = ( 1 + 2φ)dt 2 + δ ij dx i dx j (2.41) Newton sches Linienelement der ART, so hat die Metrik in diesem Limes physikalische Infor- Setzt man das Potential z.b.: Φ = GM r mation. 2.3 Gravitative Rotverschiebung Die Gravitative Rotverschiebung ist ein fundamentaler Effekt der ART. (MEHR) Betrachten zwei Beobachter in Ruhe in einem stationären Gravitationsfeld: Licht wird vom einem zum anderen Beobachter gesandt. Das Signal soll von einem Punkt niedrigeren Potentials zu einem 23

25 Punkt höheren Potentials geschickt werden. Der aufsteigende Lichtstrahl kommt rotverschoben an. Zunächst ist jedoch der Begriff Stationarität in diesem Zusammenhang zu klären: 2 Möglichkeiten: 1. KS: x µ = (t, x i ), sodass g µν von t unabhängig 2. zeitartiges Killing-Vektorfeld ( ) SRT: g µν = η µν Killing-VF ξ : µ ξ ν + ν ξ µ = 0 (2.42) 10 unabhängige Lösungen dieses Gleichungsystems (im Sinne konstanter Linearkombinationen). ξ µ = F µν x ν + c µ F µν = T µν (2.43) F = 0 c µ (Translation - 4 Gleichungen) F 0 F (Lorentz-Transformation - 6 Gleichungen) 10 Gleichungen Wollen 1 Symmetrie: Zeitunabhängigkeit Gruppentheorie, Symmetrien Fluss eines Vektorfeldes ξ µ (x) Fluss ist einparametrige Familie von Transformationen φ µ (x; λ) = y µ das heißt für jedes (x, λ) gibt es einen neuen Punkt y µ. y µ ist Lösung eines Systems gewöhnlicher DG 1. Ordnung. φ µ (x; λ) = ξ µ (φ(x; λ)) φ µ (x; 0) = x µ (Anfangsbedingung) (2.44) Aus dem Fundamentalsatz für gew. DG folgt, dass man für kleine λ stets eine Lösung finden kann. ξ µ... infinitesimale Betrachtung 24

26 φ µ... endliche Betrachtung Metrik g µν : Transformation Φ(x) (aktive Trafo) g µν (x) = Φρ Φ σ x µ x ν = g µν (x) (2.45) Wenn 2.45 gilt, dann heißt Φ Symmetrie von g µν. Sieht die Metrik nach einer Koordinatentransformation gleich aus, spricht man von einer diskreten Symmetrie. 1-parametrige Symmetriegruppe (kontinuierliche Symmetrie): φ(x(λ)) Betrachten: 0 = [ φ ρ, µ φ σ, ν g ρσ (φ) + + φ ρ, µ φσ, ν g ρσ (φ) + φ ρ, µ φ σ, ν g ρσ, τ φτ ] τ=0 (2.46) φ µ (x; 0) = x µ φ µ, ρ (x; 0) = δ µ ρ φ µ (x; 0) = ξ µ (x) φ ρ, µ (x; 0) = ξ ρ, µ (x) (2.47) ξ ρ, µ g ρν + ξ σ, ν g µσ + g µν, τ ξ τ = 0 (2.48) ξ µ ist Killing-VF Behauptung. Im Allgemeinen ist 2.48 g µν = η µν : µ ξ ν ν ξ µ = 0 (2.49) Killing-Gleichung für Minkoswki-Metrik 0 = µ ξ ν + ν ξ µ (2.50) Definition. (Γ, g µν ) heißt stationär, wenn Killing-Vektorfeld ξ µ, sodass ξ µ ξ ν g µν = 0 (2.51) Dann ist ξ µ zeitartig. Bemerkung. Aus dieser 2. Möglichkeit, die Stationarität zu definieren, folgt die 1. 25

27 Satz (o.bew.). Sei VF ξ µ (x) 0 (Wirbelfreiheit nötig) KS x µ, sodass 0.. ξ µ = δ µ i = 1 i-te Komponente.. 0 Das bedeutet, man findet ein Koordinatensystem, in dem VF parallel ist mitschwimmendes KS. Sei nun ξ µ ein zeitartiges Killing-VF (t, x i ) : ξ µ (x) = δ µ 0 (2.52) Killing-Gleichung: In diesem Sinne ist die Metrik also zeitlich konstant. 2ξ ρ, µ g µν + g µν, ρ ξ ρ = 0 (2.53) g µν, 0 = 0 (2.54) Die Killing-Gleichung hat im Allgemeinen keine eindeutige Lösung. Dieser mathematische Sachverhalt widerspiegelt die Tatsache, dass es in realen Raumzeiten keine Symmetrien gibt. 2. Beobachtung, die durch Killing-VF beschrieben werden können: Bewegung entlang der Integralkurven Ruhen im KS. Ruhende Beobachter in einer solchen Raumzeit: u µ = ξ µ ξ ν ξ ρ g νρ (2.55) Zusammenfassend: Geschwindigkeits-VF g µν = η µν + h µν g 00 = g µν ξ µ ξ ν = 1 + 2Φ c 2 (2.56) ξ µ 1 =

28 z + Γ µ νλżµ ż ν = 0 g µν = 1 (2.57) äquivalent: ẍ i = i Φ (2.58) g µν zeitlich unverändert Gravitative Rotverschiebung (Fortsetzung) Wir betrachten nun also eine zeitlich unveränderte Metrik, das heißt ein stationäres Gravitationsfeld. ξ µ ξ ν g µν = 0 µ ξ ν + ν ξ µ = 0 ξ µ = g µν x ν (2.59) Zwei ruhdende Beobachter (A,B) im Gravitationsfeld folgen Trajektoren dieses VF ξ µ ; Bahnkurven sind die Killing-Felder (im Allgemeinen keine Geodäten - z.b. wir auf Erde) GRAFIK w = k µ u µ = (k, u) (2.60) Frequenz w 2 w 1 = (k, u) 2 (k, u) 1 (2.61) Lemma. k µ ξ µ ist konstant entlang dieses Lichtstrahls. k ist ein Symmetrieobjekt. Rotverschiebung k µ = k µ µ k ν = 0 (2.62) k 2 = 0 (nicht benützen) (2.63) k ν ν (ξ µ k λ ) = k ν k λ ν ξ µ + }{{} 0 wegen Geodätengleichung - Lichtstrahl ist Nullgeodtäte = 0 = k ν k λ (ν ξ µ) = 0 (2.64) 27

29 w 2 w 1 = ξ 2 1 ξ 2 2 (2.65) Newton-Limes: ξ 2 = 1 2Φ c 2 (2.66) w 2 = 1 Φ1 c 2 w Φ2 c 2 = 1 Φ 2 Φ 1 c (2.67) Erde: Φ = GM r w 2 w 1 = 1 + GM c 2 1 r 2 1 r 1 (2.68) < 1 Rotverschiebung Aufsteigend: r 2 > r : Vessot et al. auf 0.01 GM c Einstein sche Feldgleichungen Gesucht ist ein Analogon zur Poissongleichung, die ja nicht Lorentz-kontravariant ist. Φ = 4πGρ Diese Gleichung, die ein Feld beschreibt das den Quellen sklavisch folgt, verletzt das Kausalitätsprinzip der SRT. Die Objekte, die uns nun zur Verfügung stehen, sollen noch einmal zusammengestellt werden: g µν, Γ µ }{{} νλ, R ρ µνλ, σ R ρ µνλ }{{}}{{} Metrik g g Suchen Tensorgleichung der Form: 2 Φ = Quellen. 1. Idee: Abwesenheit von Quellen 28

30 ρ Erster Einfall: Rµνλ = 0 g µν flach. (FALSCH) Richtige Einstein-Gleichung im Vakuum nach Spurbildung: R µν = 0 (2.69) 2. Idee: Anwesenheit von Materie/Energie Ansatz: R µν T µν wobei T der Energie-Impuls-Tensor der Materie ist (vgl. Maxwell-Gleichungen) Einschub: Die physikalischen Gesetze in Anwesenheit von Gravitationsfeldern (i) Punktteilchen: Punktteilchen bewegen sich entlang von Geodäten. m > 0 : (v, v) = 1 m = 0 : (v, v) = 0 (ii) EM-Feld: Im Vakuum: (R 4, η µν ) µ F νλ = 0 µ F µν = 0 (2.70) Prinzip der minimalen Kopplung. Anwesenheit von Masse: (M, g µν, µ µ ) [µ F νλ] = 0 µ F µν = 0 (2.71) Feldgleichungen haben in frei fallendem Bezugssystem SRT-Gestalt, d.h. Γ verschwindet und µ µ. Bemerkung. Auch aus (ii) der korrekten Formulierung der Maxwell-Gleichungen folgt, dass sich Lichtstrahlen auf Nullgeodäten bewegen ( Grenzwert der geometrischen Optik). Das heißt (i) und (ii) sind konsistent. 29

31 (iii) Staub : Als Staub bezeichnet man ein System (bzw. Kontinuum) nicht wechselwirkender Punktteilchen. Der Energie-Impuls-Tensor für dieses Materiemodell (ρ > 0) hat folgende Gestalt: T µν = ρu µ u ν (2.72) Bemerkung. T µν divergenzfrei. ν T µν = 0 (2.73) Für das geodätische Geschwindigkeitsfeld u gilt: g µν u µ u ν = 1 (2.74) Der Energie-Impuls-Tensor ist für Staub und ideale Flüssigkeiten eine fundamentale Größe. (UE) (iv) Ideale Flüssigkeit: Die Teilchen in Flüssigkeiten stehen miteinander in Wechselwirkung. Eine Relation, die Druck und Dichte miteinander in Beziehung setzt, heißt Zustandsgleichung (ρ = ρ(p)). Unter einder idealen Flüssigkeit versteht man ein System mit isotropem Druck (u nicht geodätisch), keinen dissipativen Vorgängen oder Konvektion. Die korrekten relativistischen Gleichungen zur Beschreibung solcher Systeme sind die Verallgemeinerung der Euler-Gleichungen der Hydrodynamik. ν T µν = 0 (2.75) Das sind 4 Gleichungen, wovon 3 Gleichungen zur Beschreibung der mechanischen Feldtheorie genügen. Die vierte Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung Einstein sche Feldgleichungen (Fortsetzung) Zu Beginn des Kapitels wurden schon die ersten Ideen zur Formulierung der Feldgleichungen rekonstruiert. Die Vakuumgleichung 2.69 wurde formuliert und für die Suche nach der korrekten Gleichung bei Anwesenheit von Quellen die Restriktion der Divergenzfreiheit des Energie-Impuls- Tensors berücksichtigt erwähnt. G µν = R µν 1 2 g µνr ν G µν = 0 (2.76) µ R = 0 (2.77) R T µ T = 0 T = konst In einem isolierten System gilt: T 0 irgendwo T = 0 überall Im Falle des Maxwell-Feldes ist das so. 30

32 G µν = konst T µν konst = 8πG c 4 (2.78) + Materiegleichungen (Maxwell...) Diese Konstante ist auch über den Newton schen Limes bestimmbar. Im Vakuum: G µν = 0 R µν = 0 R µν 1 2 Rg µν = 0 g µν R 1 2 4R = 0 R = 0 R µν = 0 (2.79) ρ Rµνλ = 2 [µ Γ ρ ν]λ + 2Γρ λ[µ Γρ ν]σ (2.80) Annahme: Gravitationsfeld schwach, d.h. g µν = η µν + h µν. Γ µ νλ = 1 2 gµρ ν g λρ + λ g νρ ρ g νλ }{{} O(h) g η weilo(h 2 ) = 0 = 1 2 ηµρ ν h λρ + λ h νρ + ρ h νλ + O(h 2 ) (2.81) verwenden h µ ν = η µρ h ρν R ρ µνλ = [µ ( ν] h ρ λ + λ h ρ ν] ρ h ν]λ ) + O(h 2 ) = λ [µ h ρ ν] + ρ [µ h ν]λ + O(h 2 ) (2.82) Linearisierter Riemann-Tensor R µν = 1 2 λ µ h + λ ρ h ρ µ ρ µ h ρλ 1 2 ρ h µλ = 1 2 h µν 1 2 µ λ h + (µ ρ h λ)ρ + O(h 2 ) ( = ρ ρ = η µρ µ ρ ) (2.83) = 1 2 h µν 1 2 µ ν h + (µ ρ h ν)ρ + O(h 2 ) (2.84) 31

33 R = g µν R µν = 1 2 h 1 2 h + µ ν h µν + O(h 2 ) = h + µ ν h µν + O(h 2 ) (2.85) G µν = 1 2 h µν 1 2 µ ν h + (µ ρ h ν)ρ 1 2 η µν( h + ρ σ h ρσ ) + O(h 2 ) (2.86) G µν = κt µν R µν 1 2 g µνr = κt µν (Spurbildung) R = κt (2.87) R µν = κ(t µν 1 2 g µνt ) (2.88) Äquivalente Form der Einstein-Gleichung Newton-Limes für Staub Betrachten den Energie-Impuls-Tensor T im Falle von Staub (T µν 0 i, also?!?!? in der Metrik η µν und den Koordinaten (t, x i ). = ρu µ u ν ) für den Grenzfall R 00 = R(T g 00T ) (2.89) T = ρ (2.90) Kann Koordinatensystem immer so legen, dass Spur u µ u µ = 1. Bemerkung. Kleine Geschwindigkeiten: u µ = δ µ 0 + O(h2 ) (Staub bewegt sich langsam). R 00 = κ(ρ ( ρ)) = κ 2 ρ = 1 2 h 00 }{{} 2Φ c 2 = κc2 2 ρ (2.91) 32

34 ρ... Massendichte; T... Energiedichte Φ = κc2 2 ρ (2.92) κ = 8πG c 4 (2.93) Bemerkung. In diesem Limes sind restliche Gleichungen erfüllt. Kugelsymmetrische, zeitunabhängige Lösungen: G µν = 8πG c 4 T µν (2.94) Newton: Φ = 4πGρ (R 3, δ ij ); Φ 0, r 0 Φ( x) = G ρ( x) x x d3 x (2.95) Wenn ρ = ρ(r) Φ = Φ(r) und Φ = GM r, wobei M = ρd 3 x. Andere Betrachtung: Poissongleichung: Φ = 0; Φ 0, r 0 1 r 2 r (r2 r )Φ = 0 Φ + 2 r Φ = 0 Φ(r) = konst + konst r (2.96) RB: konst= 0 Φ = konst r ; konst = GM Das ART-Analogon ist die Schwartzschild-Lösung der Einstein schen Feldgleichungen Exakte Lösung der Einstein-Vakuum Gleichungen Man betrachtet wieder ein kugelsymmetrisches, zeitunabhängiges Gravitationsfeld. Die Lösungen dieses Spezialfalls sind die Schwarzschild-Metriken (1-parametrige Schar von Lösungen). Bemerkung. Das Verhältnis von Radius einer Massenverteilung zum (theoretischen) Schwarzschildradius sagt etwas darüber aus, wie relativistisch das Objekt ist. Der Newton sche Grenzfall ergib sich für GM Rc 2 1. Newton: 33

35 Φ = 4πGρ ρ = 0 Φ = 0 Φ 1 r Φ 1 r 2 Φ 0, r 0 (2.97) Beweis. Φ Φ = 0 R 3 = ( (Φ Φ) ( Φ) 2 )d 3 x R 3?!?!?!?!? (2.98) In der Newton schen Theorie gibt es also keine Lösung (i.e. Feld) ohne Masse. In der ART (und der Elektrodynamik) ist das nicht der Fall. Satz (Birkhoff-Theorem). Kugelsymmetrie impliziert Stationarität. Bemerkung. Analoge Aussage für Elektrodynamik. Vorgehensweise: Kugelsymmetrie g µν (x µ ) R ρ µνλ R µν = 0 Beispiel für kugelsymmetrische Metrik: Minkowski ds 2 = g µν dx µ dx ν = dt 2 + d x 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) }{{} dω 2 (2.99) Killing-VF sind eine 1-parametrige Gruppe, die g µν invariant lassen. µ ξ ν + ν ξ µ = 0 Die SO(3) ist eine 3-parametrige Symmetriegruppe. Drei Killing-VF (ξ, η, ζ) bilden Lie-Algebra unter Kommutatoren. Wie muss nun eine Metrik aussehen, die diese Symmetrien hat. Skalarfeld im R 3 Φ(x) invariant unter SO(3) Φ(x) = Φ(r). Allgemeiner Ansatz für Metrik: 34

36 ds 2 = g 00 dt 2 + 2g 0i dtdx i + g ij dx i dx j (2.100) Annahme: Wirkung von SO(3) x i x i = r i jx j x i = δ ij x j v i ( x) invariant unter SO(3) v i ( x) = v(r)x i steht orthogonal auif die Sphäre g 0i transformiert in dieser Weise h ij ( x) = w(r)δ ij + u(r)x i x j g ij transformiert in diser Weise g ij dx i dx j v(r)d x 2 + w(r) ( xd x) 2 }{{} rdr ds 2 = g 00 (t, r)dt 2 + }{{}... dtdr +... dr (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.101) 2g 0r(t,r) t = t τ(r) dt = dt + τ dr 2g 00 τ + 2g 0r = 0 (2.102) Ergibt also eine gewöhnliche DG für τ; g 00 < 0. Man kann ein solches τ finden, sodass der Term mit 2g 0r (t, r) verschwindet. wobei allgemein (F, G, H)(t, r). ds 2 = F 2 dt 2 + G 2 dω 2 + H 2 dr 2 (2.103) Annahme: F, G, H von t unabhängig H = 1 dr = Hdr G(r) = r G = rh (Schwarzschild-Koordinaten) (irotrope Koordinaten) 3 Möglichkeiten die Metrik weiter zu vereinfachen. ds 2 = F 2 dt 2 + G 2 dω 2 + H 2 dr 2 wobei mit (F, G, H)(r) ein kugelsymmetrischer, zeitunabhängiger Ansatz gewählt wurde. 35

37 H 1 R rr = F F + 2G (2.104) G = 0 (2.105) 1 F 2 R tt = F F + 2F G (2.106) F G = 0 (2.107) R φφ G 2 sin 2 θ = G G + F G F G 1 G 2 + G 2 G 2 (2.108) = 0 (2.109) wobei die jeweils ersten Zeilen Identitäten und die Gleichungen 2.105, 2.107, Feldgleichungen darstellen. Bilden nun : G G F G F G = 0 G F F G F 2 = 0 G F = konst o.b.d.a: konst = 1 Multiplikation von mit F G 2 ergibt: F G 2 + 2F GG = 0 F G 2 = konstant = c G = F G = F = c G 2 (2.110) eliminieren alle Ableitungen von F, G aus Mit diesem Ansatz sind alle Gleichungen erfüllt. 2c G 3 1 G 2 + F G 2 = 0 (2.111) F = 1 2c G (2.112) 36

38 ds 2 = (1 2c G )dt2 + G 2 dω 2 + dr 2 (2.113) Neue Koordinate: r = G(r) dr = G dr = F dr ds 2 = (1 2c r )dt2 + 2 r dω2 + (1 2c r ) 1 dr 2 (2.114) Familie der Schwarzschild-Raumzeiten in SS-Koordinaten Bedeutung von c: Wenn c = 0, vereinfacht sich zur Minkowski-Raumzeit (Newton-Limes). g 00 = 1 2Φ c 2 Licht Φ = GM r für r r g 00 = 1 + 2c c Licht c = GM c 2 Licht 1 + 2GM rc 2 Licht (2.115) In der ART ist es üblich geometrische Einheiten zu verwenden, das heißst die Naturkonstanten c = G = 1 zu setzen. Damit ist die Schwarzschild-Raumzeit in SS-Koordinaten und geometrischen Einheiten folgender Gestalt: ds 2 = (1 2M 1 r )dt M r 2M < r < dr 2 + r 2 dω 2 (2.116) Bemerkung. Die Einschränkung 2M < r < rührt von den zwei Unstetigkeitsstellen an r = 2M (dem Schwarzschild-Radius) bzw. r = 0 her. Wie später noch zu zeigen sein wird, ist die Singularität am Schwarzschild-Radius eine mathematische, in dem Sinne, dass man Koordinaten finden kann, in denen diese Unstetigkeit verschwindet (Eddington-Finkelstein-Koordinaten). Folgerungen: Rotverschiebung Wir betrachten nun die Rotverschiebung als Effekt in der SS-Raumzeit in den Koordinaten (t, r, θ, φ). 37

39 VF ξ µ = ξ µ µ = t (2.117) ist Killing-VF für g µν und sagt in der Metrik, was ruhend bedeutet. (L ξ g) µν = ξ λ µ g µν + 2g λ(µ ν) ξ λ (2.118) = 0 ξ µ Killing-VF w 2 w 1 = = ξ 2 (r 1 ) ξ 2 (r 1 ) 1 2M r 1 (2.119) 2M r 2 < 1 (r 1 < r 2 ) ξ µ ξ ν g µν = g 00 = 1 2M r = ξ (2.120) Der Fall 2M < r < ist zwar auch Lösung der Einstein-Gleichung aber es existiert kein Newton- Limes. Für r 2M w2 w 1 rotverschoben an. 0, ein Signal von dieser Stelle versandt käme also unendlich Kraft auf stationären Beobachter Beobachter: u µ = ξ µ ξ 2 u 2 = 1 (2.121) u µ µ u ν = F ν F µ u µ = 0 (2.122) F µ ist ein raumartiger Vektor, der angibt, wieviel Kraft nötig ist. 38

40 u µ = u µ = 1 2 2M r 1 2 2M r ξ µ ξ µ µ t = (1, 0, 0, 0) ξ µ = G 2 µ t = λ µ t ν ξ µ = ( ν λ) µ t + λ ν µ t = µ ξ ν (KF) = ( µ λ) ν t λ µ ν t λ µ ν t = ( (µ λ)( ν) t) ν ξ µ = ( [ν λ)( µ] t) u µ = = u µ = 1 ξ 2 ξµ 1 ξ 2 λµ 1 ξ 2 λ µ u µ µ u ν = 1 ξ µ 1 µ [ ξ ν ] λ λ = 1 λ ξµ µ ξ ν = 1 1 λ ξµ 2 [( µλ) ν t ( ν λ) µ t] F ν = λ ( νλ) (2.123) F 2 = F ν F µ g νµ = ( 1 λ )2 (λ ) 2 g rr 1 4 = F = 1 M 2 r 4 1 2M r 1 1 2M r }{{} für r 2M M r 2 }{{} Newton scher Term (2.124) 39

41 2.4.5 Kausale Geodäten in Schwarzschild Kausale Geodäten sind Nullgeodäten (Lichtstrahlen) oder zeitartige Geodäten. Betrachten: Kurven x µ (s) ẋ µ = dxµ ds ẋ µ ẋ ν g µν = κ (2.125) κ = 0, 1 Koordinatentransformation auf Polarkoordinaten g µν besitzt folgende diskrete Symmetrien: x(s) = (t(s), r(s), θ(s), φ(s)) t t φ φ r r θ π θ Äquator-Abbildung Starten bei t(0), r(0), φ(0) und θ(0) = π 2, θ(0) = 0. Das heißt das Teilchen startet am Äquator in Richtung Äquator, also θ π 2. Das stellt keine Beschränkung an die Allgemeinheit dar, zumal die Kugel für jeden beliebigen Startpunkt und Richtung so gedreht werden kann, dass die oben genannten AB erfüllt sind. Die Gleichung entspricht einer Normierungsbedingung (keine Bewegungsgleichung). ẋ µ ẋ ν g µν = (1 2M 1 r )ṫ M r ξ µ µ = t ; ẋ µ ξ ν g µν ist erhalten für jeden Killingvektor. ṙ 2 + r 2 φ2 (2.126) ṫ(1 2M r ) = konst = E (2.127) Bemerkung. M = 0 E = ṫ = 1 1 v 2 (2.128) η µ µ = φ ; Metrik von φ unabhängig. 40

42 l = ẋ µ η ν g µν (2.129) = φr 2 (2.130) l z 1 2ṙ (1 2M l2 )( r r 2 + κ) = 1 }{{} 2 E2 (2.131) V eff Perihelverrückung Φ = = = dφ (2.132) l dṙ dτ ; dτ = (2.133) r2 r E 2 V (r) dr (2.134) 2 rmax( E2 2 ) r min( E2 2 ) r 2 wobei E2 2 nahe bei V (r +) Allgemeine Formel: Φ(V (r + )) = π lπ Φ = r+ 2 V (r + ) (2.135) )( l2 V (r) = 1 2 (1 2M + 1) (2.136) r r2 r + = l2 l 2M + 4 4M 2 3l2 (2.137) V (R) = M R 1 3M R (2.138) setzen x = l M (2.139) Φ = Φ = π x π 4 4 3x2 2 x x x 2 x (2.140) 1 12 x x 2 (2.141) Nach Taylor-Entwicklung lässt sich umschreiben und x rücksubstituieren: exakte Formel für stabile Kreisbahn 41

43 Φ = π(1 + 3 x 2 + O( 1 )) (2.142) x4 2Φ = 2π + G2 6πM 2 c 2 l 2 + O( M 4 l 4 ) (2.143) Der Betrag von M l ist im Sonnensystem für den Merkur am größten. Die Restverrückung des Merkur-Perihels beträgt 43 /Jahrhundert. Der Neutronen-Doppelstern PSR mit einer Perihelvorrückung von 4Â /Jahr gilt als indirektes Nachweisobjekt für einen Gravitationswellenstrahler. Es wird eine Zunahme der Umlaufzeit der beiden Neutronensterne beobachtet. Man interpretiert diesen Effekt als Verlust von kinetischer Energie dieses gebundenen Systems, die als Form von Gravitationswellen abgestrahlt wird. WOS IS DO?! Lichtstrahlen Betrachten: r(φ) ṙ V (r) = E2 2 (2.144) V (r) = l2 2r 2 Ml2 r 3 (2.145) 1 2 ( dr l2 )2 dφ r 4 + l2 2r 2 Ml2 r 2 = E2 2r (2.146) Bahngleichung ( ME ) 2 = β 2 (l 0) (2.147) l v = M r d dφ = (2.148) v 2 + v 2 2v 3 = β 2 (2.149) = 1 b 2 (2.150) wobei b der Impaktparameter in Einheiten von M. Flacher Raum: u(r(φ)) = 1 r sin φ = b r ( du dφ )2 = cos2 φ b 2 (2.151) (2.152) 42

44 v 0 : v 2 β 2 v 2 + f(v) = β 2 f(v) = v 2 2v 3 (2.153) f (v) = 2(v 3v 2 ) (2.154) Die Funktion f(v) hat ihr Minumum bei V = 0, das Maximum bei v = 1 3. GRAFIK v 0 (β) ist monoton wachsend für v β f( 1 3 ) = 1 27 v 2 0 2v 3 0 = β 2 (2.155) Gesamter Ablenkwinkel: Φ(β) = v0(β) 0 v = dv dφ Φ = v0(β) Auswertung für kleine β v 0 (β) β. 0 dv v (2.156) dv 2v3 + β 2 v 2 v = v 0 t (neue Variable t (nicht Zeit)) Φ = 2 = 2 = dt 1 t2 2v 0 (1 t 3 ), 0 v dt 1 t 1 + t 2v0 (1 + t + t 2 ) dt 1 t 2 (2.157) = π (2.158) 43

45 Φ = π + v 0 ( d Φ) +... dv 0 = π + v 0 I t 3 I = 2 dt (1 t 2 ) 3/2 0 (Taylor) = 4 Φ = π + 4 b = π + 4GM v 0 c 2 + O(M ) (2.159) Linearer Effekt Lichtablenkung: Betrachten Gleichung für v 0 [0, 1/3). v 0 = M r 0 φ π + 4GM r 0 c 2, r 0 groß v r 0 3M (2.160) GRAFIK Aus dem Grenzfall lässt sich aus nun wieder der Ablenkwinkel berechnen und es stellt sich heraus, dass dieser gegen geht. Für den Fall r 0 = 3M wird der Lichtstrahl auf eine Kreisbahn gezwungen. Hierfür muss das betreffende Objekt klarerweise kompakter 3M sein. Unterhalb dieses Radius gibt es keine Streuung des Lichtes. Im Kapitel über Gravitationslinsen wird uns dieser Effekt wieder begegnen Lösungen der Einstein schen Feldgleichungen mit Wellencharakter - Im Vakuum Im quellfreien Raum gilt R µν = 0 und stellt ein System quasilinearer (linear in höchsten Ableitungen) PDG 2. Ordnung dar. zum Vergleich: Maxwellgleichungen in Minkowski-Metrik: [µ F νλ] = 0 (2.161) µ F µν = 0 (2.162) 44

46 ist ein lineares System partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Zum lösen des Gleichungssystems führt man ein Vektorpotential A µ ein mit F µν = 2 [µ A ν] (2.163) es gilt Bemerkung. Dieser Teil der Gleichungen sieht in gekrümmten Räumen gleich aus. µ F µν = A ν (2.164) = ν µ A µ = 0 (2.165) Bemerkung. A nur bis auf Eichtransformation eindeutig. A µ A µ A µ = A µ + Λ µ (2.166) [µ Λ ν] = 0 (2.167) Λ : Λ µ = µ Λ Das bedeutet, man kann Λ so wählen, dass µ A µ = 0 (2.168) µ A µ = µ A µ + µ µ Λ (2.169)?? = µ A µ + Λ (2.170) Λ = µ A µ (2.171)?? heißt Lorentz-Eichung Die Wellengleichung in der Maxwell schen Theorie mit Anfangswerproblem lautet Φ = 0 (2.172) AWP: = η µν ν (2.173) Φ(0, x) Φ (0, x) t Propagation der Störung maximal mit c. Die Lösungen sind räumlich lokalisiert ZEICHNEN In ART: 45

47 Auch hier werden solch lokalisierte Lösungen gesucht, wobei nichtlineare Effekte zu Fokussierung führen. Im Folgenden werden die Einstein Gleichungen am Minkowski-Raum linearisiert. Man betrachtet schwache Felder, das heißt Metriken nahe bei η µν. Betrachten: g µν (λ) Die Raumzeit wird als dynamisches Objekt aufgefasst ( g schwingt ). Betrachtet man die Schwarzschild- Lösung, dann gibt es eine Monopol-Strahlung?!?!. g µν (0) = η µν (2.174) d dλ g µν(λ) = h µν R µν (g(λ = 0)) = 0 (2.175) d dλ R µν = 0 δr µν (h) = 1 2 h µν 1 2 h, µν +h λ (µ,ν)λ (2.176) h = η µν h µν h λ (µ,ν)λ = 1 2 ηλρ (h ρµ, µλ ) (2.177) Die Gleichung ist eine lineare EV-Gleichung Eichinvarianz. h h h µν = h µν + 2Λ (µ,ν) h = h + 2Λ µ, µ h ρ µ,νρ = h ρ µ,νρ + Λ ρ, ρµν + Λ µ,ν h µν = daher geht über in δr µν (h) = 1 2 h µν 1 2 h, µν +h ρ (µ,ν) (2.178) g µν = η µν R µν [ g] = 0 Diffeomorphismus: x µ x µ = Φ µ (x ν ) ist ursprüngliche Metrik in anderem Koordinatensystem. g µν = Φ µ, ρ (x)φ ν, σ (x)g µν (Φ(x)) (2.179) 46

48 z.b.: g µν (x) = η µν (also konstant bzw. flach) R µν [g] = 0 Φ λ (x) stellt eine 1-parametrige Form von Koordinatentranformation dar. bilden d dλ Φ µ λ (x) = ξµ (x) (2.180) Φ µ 0 = x µ d dλ R µν[g λ ] = 0 (2.181) Linearisieren an flacher Metrik. ist immer Lösung der Gleichung mit ξ µ = η µν ξ ν. δr µν ( d dλ g λ)l ξ η µν = µ ξ ν + ν ξ µ (2.182) Bemerkung. Linearisierter Ricci-Tensor ist (sowie linear. Riemann-Tensor) Eich-invariant. Kurz Rückkehr zu Maxwell: A µ = 0 A µ, µ = 0 A µ = A µ + Λ, µ (2.183) ist verbleibende Eichinvarianz, wobei Λ = 0. Entwickeln nach ebenen Wellen: A µ = C µ e i(k,x) + C µ e i(k,x) (2.184) C µ, k = konst (k, x) k µ x µ = k µ x ν η µν A µ = C µ (k, k)e i(k,x) C µ (k, k)e i(k,x) = k 2 A µ (2.185) Licht propagiert entlang Nullgeodäten des Minkowski-Raumes 47

49 2.5 Gravitationswellen 48